ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 13 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ A Α Λάθος β Σωστό γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό Α Έστω ότι υπάρχουν Τότε ισχύουν: ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΙR τέτοι ώστε ) κι g ) g ) ) + ln + ) < ln( + ) < (άτοπο γιτί + > ) κι ) g ) ) + ln + ) < ) + ln + ) < (άτοπο γιτί ) κι ln( + ) > ) Άρ ) κι g) γι κάθε ΙR κι επειδή κι g είνι συνρτήσεις συνεχείς στο ΙR, διτηρούν στθερό πρόσημο β Έστω ότι υπάρχει ΙR ώστε ο ) + g ο ) g ) ) () Τότε είνι () ) g 6 ) ) + ln () + ) < ) + ) + ln + ) < (άτοπο) Άρ η εξίσωση ) + g) είνι δύντη στο ΙR ΘΕΜΑ Β Β Είνι ) ημ ) ημ ) ημ ημ ) ημ ημ ημ ) ) +

2 ημ ημ lim lim ημ ημ ημ lim lim ημ Σύμφων με το κριτήριο πρεμβολής lim ) () συνεχής στο Επίσης ) ) ημ ημ ) ημ ) ημ ημ ) ημ + ημ lim ημ κι lim + + Σύμφων με το κριτήριο πρεμβολής ) ) () lim lim () ) g ) Β Είνι + () ) g) e ) g ) e Όμως + () ) g) e ) g) e ) g ) Από τις () κι (): + + ) g ) ) g) g ) ) g ) g) ) ) g ) g) ) ) g ) ) ΘΕΜΑ Γ Γi Γι είνι () + () () + () () Σχήμ Hrner γι το () γιτί η είνι

3 Άρ () ( () )( () + () + ) () ή () + () + (δύντη) ii Έστω ότι υπάρχει Τότε ισχύει: ΙR ώστε ) ) + ) + + (άτοπο) Άρ ) γι κάθε ΙR κι επειδή η είνι συνεχής, διτηρεί στθερό πρόσημο στο ΙR Όμως () > Άρ ) > γι κάθε ΙR iii Είνι ) + ) + + ) + ) ( ) )( ) + ) + ) + ( ) ) ) + ) ) ) ) + ) [ ) + ) + ] + ) [ ) + ) + + ] + ) ) + ) ) + ) + + Είνι l + ) im ( συνεχής) ) + ) + + () + () + ) ) () Άρ lim lim () Γi Ισχύει ) g) < γι κάθε ΙR () Έστω ότι οι c κι c g έχουν έν κοινό σημείο, το Α, y ) Τότε ισχύει ) g ) () Γι η () γίνετι ) g) < g ) < (άτοπο) Άρ c κι c g δεν έχουν κοινά σημεί, δηλδή ) g) γι κάθε ΙR () ii Θεωρούμε τη συνάρτηση h) ) g), ΙR Η h είνι συνεχής στο ΙR κι λόγω της () h) γι κάθε ΙR Άρ η h διτηρεί στθερό πρόσημο στο ΙR Όμως h () () g() > (πό υπόθεση) ()

4 Άρ h ) > ) g) > ) > g) γι κάθε ΙR iii Έστω β Τότε () κι g(β) β g() Είνι h () () g() (άτοπο) Άρ β Χωρίς βλάβη της γενικότητς θεωρούμε ότι < β Αν K) ) + g), ΙR, τότε: H Κ) είνι συνεχής στο ΙR άρ κι στο [,β] ΙR K () () + g() g() K (β) (β) + g(β) β g(β) Από την () κτλβίνουμε ότι ) κι g) γι κάθε ΙR Επειδή κι g είνι συνεχείς στο ΙR, διτηρούν στθερό πρόσημο Συνεπώς, λόγω της (), ν ) > γι κάθε ΙR τότε g) < γι κάθε ΙR κι ν ) < γι κάθε ΙR τότε g) > γι κάθε ΙR Επομένως g () (β) < Κ() Κ(β) < κι σύμφων με το θεώρημ Blzan υπάρχει ο (,β) ώστε Κ ) ) + g) ΘΕΜΑ Δ Δi Επειδή ) γι κάθε [,9 ] κι συνεχής, η διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,9] Αν ) < γι κάθε [,9 ] τότε () () (9) < (άτοπο) Άρ ) > γι κάθε [,9 ] ii Αν γι κάθε [,9 ] ισχύει ) < τότε () <, () < κι (9) < Άρ () () (9) < 7 (άτοπο) Αν γι κάθε [,9 ] ισχύει ) > τότε () >, () > κι (9) > Άρ () () (9) > 7 (άτοπο) Άρ υπάρχει έν τουλάχιστον [,9 ] ώστε ) iii Αν γι κάθε [,9 ] ισχύει ) < τότε () <, () < κι (9) < 9 Άρ () () (9) < 7 (άτοπο) Αν γι κάθε [,9 ] ισχύει ) > τότε () >, () > κι (9) > 9 Άρ () () (9) > 7 (άτοπο) Άρ υπάρχει ξ [,9 ] ώστε (ξ) ξ, δηλδή η εξίσωση ) έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο [,9] Δi Επειδή lim ) + <, είνι ) + < κοντά στο 6 6

5 Δηλδή ) < < κοντά στο 6 () Όμως ) ) γι κάθε ΙR Άρ η συνάρτηση ) διτηρεί στθερό πρόσημο στο ΙR, κι λόγω της () είνι ) < ) < γι κάθε ΙR ii Είνι )( ) ) ) ) ) ) + + ( ) ) + + ) () Επειδή ) < ) < γι κάθε ΙR () ) + ) +, ΙR iii Η είνι γνησίως ύξουσ κι συνεχής στο ΙR (πό υπόθεση) Άρ (A) ( lim ), lim )) + Είνι ) , <, > Άρ lim ) lim + + κι lim ) lim Επομένως (A) (,) ) + iv ) e + e + > e > e e > e > Άρ e + > γι κάθε >

6 6 Συνεπώς ο ριθμός + δεν νήκει στο σύνολο τιμών της κι η εξίσωση ) e + είνι δύντη στο ΙR e ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΒΑΒΟΥΡΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΦΡΟΝΤΙΣΤΕΣ SCIENCE PRESS