B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e
|
|
- Ἄννας Ιωαννίδης
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα κεηαβνιώλ πξνθύπηεη όηη: Η ζπλάξηεζε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην, θαη γ λ ε ζ ί ωο θζίλνπζα ζην,. Β. Δίλαη α β άξα έρνπκε: Β3. Δίλαη Η ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη η ν π η θ ό κ έ γ η ζ ην ην ().,, κε α, β, θαη ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην lnα lnβ α β βlnα α lnβ lnα lnβ α β α β νπόηε είλαη: β α β α ln ln,
2 8 46 ln ln ln ln Καηαζθεπάδνπκε πίλαθα πξνζήκσλ ηεο. () είλαη, γηα θαη Δπνκέλσο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη: Αιιά είλαη:, γηα E Ω d d d d ln ln d d ln d ln d ln u ddu u ln d udu ln u ddu u 4 ln d udu 5 E η.κ 39. Θ Ε Μ Α Β B. Βξίζθνπκε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο C κε ηνλ άμνλα. Έρνπκε 3 3 () ε γξαθηθή παξάζηαζε C ηεο ζπλάξηεζεο ηέκλεη ηνλ ζην ζεκείν A,. Οκνίσο βξίζθνπκε ηα ζεκεία ηνκήο ηεο C κε ηνλ άμνλα. Έρνπκε
3 8 47 g() 3 3 ή ε γξαθηθή παξάζηαζε C ηεο ζπλάξηεζεο g ηέκλεη ηνλ ζηα ζεκεία θαη A, B,. Δπνκέλσο νη C θαη C η έ κ λ ν λ η α η ζην ζεκείν A, θαη A. B. Γηα λα βξνύκε ηηο ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ησλ C θαη C ιύλνπκε ηελ εμίζσζε g, νπόηε έρνπκε: 3 3 g Δθαξκόδνπκε ζρήκα Hornr ζηελ () θαη έρνπκε: ή Γ,9, αθνύ C θαη C ηέκλνληαη ζηα ζεκεία A, θαη g 9. Δπνκέλσο κνλαδηθό δεύηεξν ζεκείν πνπ νη θακπύιεο ηέκλνληαη είλαη ην,9. Οη ζπλαξηήζεηο παξάγσγν: 3 () θαη g() 3 3 είλαη παξαγσγίζηκεο ζην κε 3 () 3 θαη g () Οπόηε είλαη () 3 θαη g () 6, άξα είλαη: θαη g g Δπνκέλσο νη C, C έρνπλ θ ν η λ ή ε θ α π ην κ έ λ ε ζην ζεκείν,9 B3. Θεσξνύκε ηελ ζπλάξηεζε 3 3 h g , Από ην πξνεγνύκελν εξώηεκα Β είλαη: ή Μειεηάκε ην πξόζεκν ηεο ζπλάξηεζεο h: 8 h() Δπνκέλσο ην δεηνύκελν ε κ β α δ ό λ είλαη:
4 EΩ hd hd 3 4d η.κ Θ Ε Μ Α Β Β. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην κε παξάγσγν: Έρνπκε: () ( α) α( ) α α α α. α α α α α α () α () Τ.Δ. Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε ζπλάξηεζε παξνπζηάδεη έ λ α α- θ ξ ό η α η ν ( ε ι ά ρ η ζ η ν ), γηα θάζε α, ην 3 3 (α) ( α)α α( α) α α α α α α α α α Β. Τν αθξόηαην (α) α α είλαη αξλεηηθόο αξηζκόο, άξα α α Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, α θαη α ζύκθσλα κε ην Θ ε ώ ξ ε κ α B o l za n o, νπόηε () ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ, ηέηνην ώζηε άξα ε Β3. Έρνπκε α α,. C ηέκλεη ηνλ άμνλα ζε έ λ α ηνπ ι ά ρ η ζ η ν λ ζεκείν, α ()d 5 5 α 5 α 4.
5 Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, σο ινγαξηζκηθή θαη παξαγσγίζηκε ζην, κε παξάγσγν (), γηα θάζε ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην,, νπόηε είλαη θαη άξα αληηζηξέςηκε. Έζησ () y. Δίλαη y y y ln( ). (), B. Οη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ηεο C θαη ηεο επζείαο κε εμίζσζε y είλαη: Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε () ln( ) ln( ) h() ln( ) ε νπνία έρεη πξνθαλή ξίδα ην. Δπίζεο είλαη h () = h (), h () > θαη h () < h () h() T.M. h()= ην είλαη κνλαδηθή ξίδα ηεο h, νπόηε ζεκείν ηνκήο ηεο y είλαη ην O,. C κε ηελ επζεία Οκνίσο νη ηεηκεκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνκήο ηεο C θαη ηεο επζείαο κε εμίζσζε y είλαη:
6 8 8 Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε ε νπνία έρεη πξνθαλή ξίδα ην. Δπίζεο είλαη t () = 4 () t() t (), t () > θαη t () < t () t() Τ.Δ. t()= Απνδεηθλύεηαη επνκέλσο όηη θαη ε t έρεη κνλαδηθή ξίδα ην, νπόηε ζεκείν ηνκήο ηεο C κε ηελ επζεία y B3. Έρνπκε: O,. είλαη ην lim g() = lim = lim =. ε δ ε λ ε ί λ α η θ α ηαθόξπ θε α ζ ύ κ π η ωη ε. lim g() = lim επεηδή = lim lim θαη lim. Οπόηε ε είλαη θ α η α θ ό ξ π θε α ζ ύ κ π η ωη ε. Δπνκέλσο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη E Ω () ()d Λόγσ όκσο ηεο ζπκκεηξίαο ησλ C, C σο πξνο ηε επζεία y ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη δηπιάζην από ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε C κε ηε επζεία y.
7 Αιιά απν εξώηεκα Β έρνπκε όηη άξα 4 E Ω () d d t(), E = ( )d = = = 5 η.κ. 4. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην σο πξάμεηο ζπλερώλ θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν ( ) (3 ) 3 ( 3) () = < ( ) ( ) ( ) γηα θάζε. ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί λ ν π ζ α ζην. B. Δθόζνλ ε είλαη γλεζίωο θζίλνπζα άξα είλαη θαη νπόηε νξίδεηαη θαη ε αληίζηξνθή ηεο. Θέηνπκε () y, νπόηε 3 y y 3 y 3y 3 y y y 3 y 3 y = ln, > y y 3 3 () = ln κε, B3. Έρνπκε: I d d. () 3 Θέηνπκε u du, νπόηε d. Γηα είλαη u θαη γηα είλαη u
8 4 Δίλαη u I = du. (3 u)u u A B u Au 3B ub, νπόηε (3 u)u 3 u u Α = Α Β = 3 3B = B = 3 B4. Έρνπκε: 3 3 I du ln(3 u) ln u 3 u u = ln(3 ) ln 4 ln ln ln νπόηε Δπεηδή ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα ζην Οκνίσο επεηδή ε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα. 4 5, είλαη (4 ) (5 ) (6 ) (8 ) από ηηο ζρέζεηο () θαη () πξνθύπηεη όηη Θ Ε Μ Α Β study4ams Β. Γηαθξίλνπκε δύν πεξηπηώζεηο: Αλ ι ηόηε
9 ι ι ι 43 Δ(ι) = ()d = (ln )d = () lnd (ι ) = ι ι = ln d ι = ιlnι (ι ) ι = = ιlnι ι ι = ιlnι ι (αθνύ ι ην ln ). Αλ ι ηόηε ι Δ(ι) = ( ())d = ( ln)d = ( ι) () lnd = Β. Έρνπκε: ι ι ι = ι ln (ln) d = ι ιlnι ( ι) = ιlnι ι. ι lnι lim Δ(ι) = lim (ιlnι ι ) = lim ιlnι = lim = ι ι ι ι ι (lnι) ι = lim = lim = lim ( ι) =. ι ι ι ι ι Β3. Η εμίζσζε ηεο ε θαπην κ έ λ ε ο ηεο Αιιά ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο είλαη: Β4. Γηα θάζε έρνπκε: ε : y ( ) ( )( ). ( ) ln θαη ( ) Μ, ( ) είλαη: C ζην ζεκείν ε: y ( ) ή ε: y. (), ε είλαη θ ν ί ι ε, νπόηε ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο εθαπηνκέλεο ζην Μ βξίζθεηαη π ά λ ω από ηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο, κε ε μ α ί ξ ε ζ ε ην ζεκείν επαθήο
10 44 Δπνκέλσο: ΔΩ = d (ln )d = 4 = lnd ( ) = () lnd = [ln] d = ln ln = = η.κ Θ Ε Μ Α Β study4ams Β. Η έρεη πεδίν νξηζκνύ ην, είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε κε () 3 γηα θάζε. ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην. Β. Από ην εξώηεκα Β έρνπκε όηη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην, άξα είλαη νπόηε α λ ηη ζ η ξ έ θ ε ηαη. Β3. Η είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην, άξα ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη: Δίλαη: lim (), lim () 3 lim () = lim ( ) = = 3 lim () = lim ( ) =. = (, ).
11 Δπνκέλσο ην π ε δ ί ν ν ξ η ζ κ ν ύ ηεο Β4. Δίλαη: Θέηνπκε (y), νπόηε είλαη: d (y)dy θαη, 45 είλαη: D = = (, ). I = ()d. άξα ηα λέα άθξα νινθιήξσζεο είλαη θαη. Δπνκέλσο: I = ()d = ((y)) (y)dy = y (y)dy = [y(y)] (y) (y)dy = 4 y 3 y y y () (y)dy = () ( y y )dy = y = 4 4 ( ) = 9 = 3 = Θ Ε Μ Α B Β. Αλ ε είλαη ζπλερήο, ζα είλαη ζπλερήο θαη ζην 3, Δίλαη lim () lim(α ) 9α lim () lim () ( ) 3 lim () lim lim lim( ) (3) 9α. 3 ( 3) Β. Γηα 3 είλαη : 9α α 9
12 Δπνκέλσο '() Αθόκε είλαη 46 ( 3) ( 3) ( ) ( 3) ( )( 3) ( 3) ( ) ( ) 4 () ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο C ζην ζεκείν () ε: y 4 4 4, Οπόηε από ηηο ζρέζεηο () θαη () πξνθύπηεη όηη A 4, 4 είλαη : ε : y ( ) ( 4), άξα ε : y 5. Β3. Η είλαη ζπλερήο ζην,, άξα ην δεηνύκελν ε κ β α δ ό είλαη 3 7 Ε = () d = α d = α d = α = α η.κ Θ Ε Μ Α B 6 Β. Δίλαη () , Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν () ( ) Δίλαη () γηα, άξα ε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην,, άξα «-». Β. Αθνύ ε είλαη «-» είλαη αληηζηξέςηκε. Αξρηθά βξίζθνπκε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. Η είλαη ζπλερήο ζην, θαη γλεζίσο αύμνπζα, άξα αθνύ (A), (),lim (), lim () lim ( 4 6) lim νπόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο αληίζηξνθήο ηεο.
13 8 8 Έρνπκε : 47 () y ( ) y ( ) y y y Β3. i. Έρνπκε :, κε () () ή 3, άξα ηα θνηλά ζεκεία ηεο C θαη ηεο επζείαο y είλαη ηα Α, θαη Β3,3. Οκνίσο πξνθύπηεη όηη ηα θνηλά ζεκεία ηεο C θαη ηεο επζείαο y είλαη ηα Α, θαη Β3,3. Από ην πξνεγνύκελν εξώηεκα πξνθύπηεη όηη ηα θνηλά ζεκεία ησλ είλαη ηα Α, θαη Β3,3. C θαη Λόγσ ηεο ζπκκεηξίαο ησλ C, C σο πξνο ηε επζεία y ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη δηπιάζην από ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ ζρεκαηίδεη ε y. ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη: Δίλαη 3 3 E Ω () ()d () d () C C κε ηε επζεία () 3 Δπνκέλσο ην δεηνύκελν εκβαδόλ είλαη
14 EΩ () d = 4 6d = 6 η.κ Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. Β. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην σο πειίθν ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ θαη παξαγσγίζηκε ζην κε παξάγσγν (), γηα θάζε. ε είλαη γλεζίωο αύμνπζα, ζπλεπώο θαη -, άξα αληηζηξέθεηαη. Ε ύ ξ ε ζ ε η ε ο α λ ηίζηξν θ ε ο : y y y y y y y ln y y y y () ln,, Β. Έρνπκε () ln ε εμίζσζε έρεη κ ν λ α δ η θ ή ξ ί δ α ην κ ε δ έ λ. Β3. Δίλαη / / I ()d ln d / / Θέηνπκε u, νπόηε είλαη d du γηα είλαη u θαη γηα είλαη u
15 Αιιά Δπνκέλσο / / 49 u I ln du u u u u ln ln ln, νπόηε u u u / / / u u u I ln du ln du ln du I u u u / / / I I I I 48. Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. 4 Β. Δίλαη Αθόκε παξαγσγίζηκε ζην σο άζξνηζκα παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν m 4 5. () ln m lnm 4 ln4 5 ln5 Δπεηδή (), γηα θάζε έρνπκε () (), γηα θάζε, δειαδή ε παξνπζηάδεη νιηθό ειάρηζην ζην. ε παξνπζηάδεη αθξόηαην ζην ην είλαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο ε είλαη παξαγσγίζηκε ζην Σύκθσλα κε ην ζ ε ώξ ε κ α F r m a t έρνπκε (). () ln m lnm 4 ln4 5 ln5 ln lnm ln4 ln5 ln ln m ln 4 ln5 ln(m) ln m m Β. Δπεηδή ε παξνπζηάδεη ειάρηζην ζην, ζα ηζρύεη (), γηα θάζε. 4 5 Δ(Ω) ()d ( 4 5 )d ln ln ln 4 ln η.κ ln ln ln 4 ln5
16 Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. 6 Β. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην σο πειίθν ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ θαζώο θαη παξαγσγίζηκε ζην κε παξάγσγν (), γηα θάζε. Δπνκέλσο ε ζπλάξηεζε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θζί λ ν π ζ α ζην. Β. α ηξόπνο Έρνπκε Θέηνπκε u, νπόηε είλαη: d du d du u I d d () Γηα είλαη u θαη γηα είλαη u νπόηε ην νινθιήξσκα γξάθεηαη: Έζησ όηη ππάξρνπλ A,B u u I du du u u u u ώζηε λα ηζρύεη ε ηζόηεηα u Α Β u u u u u Α(u ) Βu u (Α Β)u Α Α Β Α Α Β Δπνκέλσο β ηξόπνο I du ( ) du ln u ( ) ln u u u ln ln ( ) ln ln ( ) ln ln
17 Δίλαη : 43 I d d d d d d d ln ln ln Β3. Γηα ηζρύνπλ 5 θαη θαη Από εξώηεκα Β γλσξίδνπκε όηη ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα, άξα (5 ) (6 ) θαη (7 ) (8 ). Με πξόζζεζε θαηά κέιε ησλ δύν ηειεπηαίσλ αληζνηήησλ πξνθύπηεη όηη (5 ) (7 ) (6 ) (8 ) 5. Θ Ε Μ Α Β Ε Π Α Ν. 7 Β. Δίλαη εκ3 εκ3 lim () lim 3 lim Β. H είλαη ζπλερήο ζην, άξα Αιιά, lim 3 lim () lim () (), θαη lim Γηα, ε είλαη παξαγσγίζηκε κε Οπόηε Β3. Έρνπκε β, επνκέλσο β 3. () α βεκ α 3εκ π π π π α 3εκ π π π α 3 α 3.
18 43 π π 3 π 3 3 π 3π ()d 3 3ζπλ d 3εκ Θ Ε Μ Α Β Ο. Ε. Φ. Ε 4 Β. i. Έρνπκε: Τν θιάζκα Σην Γ είλαη Αθόκα: νπόηε: lim g() g () () () θαη lim () () νξίδεηαη ζε δηάζηεκα Γ ηεο κνξθήο g() g () () () () g () g () (), g () lim (). Από ην πξώην ζεώξεκα ηνπ D L H o s p i t a l πξνθύπηεη: ii. άξα ε Πάιη, άξα ε Δίλαη α,, αθνύ (). g() g() g () L lim lim lim () () () lim g() lim g(), C έρεη ζην ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ πηωη ε ηελ επζεία y. lim () lim () ( ), C έρεη ζην π ι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ επζεία y. B. Έζησ όηη ε g έρεη δύν δηαθνξεηηθέο ξίδεο ξ,ξ ζην κε ξ ξ. (απόδεημε κε άηνπν) Δθαξκόδεηαη ην ζ ε ώξ ε κ α Roll γηα ηελ g ζην ξ,ξ γηαηί, σο παξαγσγίζηκε ζην : ε g είλαη ζπλερήο ζην ξ,ξ ε g είλαη παξαγσγίζηκε ζην ξ,ξ, θαη αθόκα
19 g(ξ ) g(ξ ). 433 Δπνκέλσο, ππάξρεη μ ξ,ξ ηέηνην, ώζηε Τόηε: g μ. (μ) g (μ) (μ). Άηνπν γηαηί (). Έηζη, ε g έρεη ην πνιύ κία ξίδα ζην. B3. Έρνπκε () g () () g() (), άξα, από ηηο ζπλέπεηεο ηνπ Θ. Μ. Τ. ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ, ππάξρεη αξηζκόο c ηέηνηνο, ώζηε Δπεηδή ππάξρνπλ ηα όξηα από ηελ () είλαη ίζα. Πξνθύπηεη επνκέλσο:, είλαη: lim () () g() c () ή () g() c 4 () θαη c 4 c 4. () g() 4, lim g() c 4, [Σηελ () θαηαιήγνπκε θαη κε νινθιήξσζε ησλ δύν κειώλ ηεο () g () ] 5. Θ Ε Μ Α Β Ο. Ε. Φ. Ε 5 Β. Γηα θάζε, ln () (ln ) (ln ) (ln ) Β. Έρνπκε δηόηη Β3. Γηα θάζε, lim () lim ln lim θαη lim ln
20 8 Δίλαη 434 ln (ln ) ln ln ln () ln ln ln ln () () Σ.Κ. Β4. Έρνπκε / / ( ) ln M, ην ζεκείν θακπήο. ln ln ln E d d d (ln (ln ) / 6 8 η.κ ( ) ln ln ( ) 8 ( ) ( ) 53. Θ Ε Μ Α Β Ο. Ε. Φ. Ε 8 Β. Η είλαη ζπλερήο γηα, σο πνιπσλπκηθή θαη γηα, σο άζξνηζκα ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εκ κε ηελ ζηαζεξή c()=ι. Σην έρνπκε: lim () lim(εκ ι) ι, Αθόκα. lim () lim (κ ) Γηα λα είλαη ε ζπλάξηεζε ζπλερήο ζην πξέπεη θαη αξθεί: lim () lim () () ι Δπνκέλσο, ε δεηνύκελε ηηκή είλαη
21 435 ι Β. Γηα έρνπκε: () () εκ ι εκ εκ lim lim lim lim Γηα έρνπκε: () () (κ ) (κ ) lim lim lim κ Γηα λα είλαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγίζηκε ζην πξέπεη θαη αξθεί: () () () () lim lim κ κ Δπνκέλσο, ε δεηνύκελε ηηκή είλαη Β3. Δίλαη π.ρ. (π) (π) ι, άξα Β4. Δίλαη κ ε ζπλάξηεζε δελ είλαη. εκ, αλ (), αλ θαη π π π ()d ()d ()d ( )d (εκ )d π ζπλ π 54. Θ Ε Μ Α Β Ο. Ε. Φ. Ε Β. i. Η, σο πνιπσλπκηθή, είλαη ζπλερήο θαη δύν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην κε () 4ι ι θαη () 4 4ι Δπεηδή ζην παξνπζηάδεη θακπή, είλαη ( ), δειαδή ii. Δπεηδή ι είλαη 4 4ι ι 3 () 4 θαη () 4 4 () 4 4 Δπνκέλσο ε είλαη θ ν ί ι ε ζην δηάζηεκα, θαη θ π ξ ηή ζην,.
22 436 Β. Θέηνπκε u (). Δπεηδή είλαη 3 lim () lim(4 ) 3 3 Β3. i. Η δεηνύκελε αξρηθή είλαη ε γηαηί γηα θάζε εκ() εκu lim lim () u 3 u 4 3 F() 4 c, κε c ζηαζεξά, είλαη 4 3 F () ( 4 c) 4 () Τν ζεκείν, αλήθεη ζηε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο F, νπόηε F(), άξα Δπνκέλσο ii. F() c 4 3 F() 4,. Βξίζθνπκε ηηο ξίδεο ηεο ζπλάξηεζεο: 3 () 4 4 ( 3) ή 3 Τν δεηνύκελν εκβαδόλ Δ ηζνύηαη κε ην νινθιήξσκα Σην δηάζηεκα 3, είλαη άξα Τόηε E 3 () d () 4 ( 3) E 3 ()d E F() F( 3) 6 7 η.κ 55. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN
23 8 437 Β. H ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, σο πξάμεηο ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν ln ln,, νπόηε : ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα κεηαβνιώλ πξνθύπηεη όηη ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί- λ ν π ζ α ζην, θαη γ λ ε ζ ί ω ο α ύ μ ν π ζ α ζην,. Β. Η παξνπζηάδεη ε ι ά ρ η ζ η ν γηα άξα είλαη : ηελ ηηκή, ln ln ln, γηα θάζε Β3. Σην δηάζηεκα, ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα, νπόηε : άξα Δπνκέλσο, ζην, E d d ln d ln d d ln d d ln ln d d ln d d ln η.κ
24 Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN B. Η C ηέκλεη ηνλ άμνλα yy ζην ζεκείν Δπίζεο είλαη νπόηε, κε ε εμίζσζε ηεο ε θ α πηνκέλεο (ε) ηεο, C ζην (ε) : y 7 5 (ε) : y (ε) : y 8 4 Β. Κ α η α θ ό ξ π θ ε α ζ ύ κ πη ωη ε A θαη Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ε lim lim 4 4, είλαη : C έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ επζεία κε εμίζσζε. Π ι ά γ η α ή ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην θαη ζην lim lim lim lim ε lim lim 4 lim y 4. C έρεη πι ά γ η α α ζ ύ κ πηωη ε ζην ηελ επζεία κε εμίζσζε Οκνίσο απνδεηθλύεηαη όηη ε C έρεη πι ά γ η α α ζ ύ κ π η ωη ε ζην ηελ επζεία κε εμίζσζε y 4.
25 B3. Σην δηάζηεκα, είλαη 439, νπόηε : E d 4 d 4 ln 4 4 ln6 ln 4 ln6 4 5 ln η.κ. 57. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 5 Β. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, άξα lim lim () lim lim α α ln lim lim ln lim lim lim DLH από ηελ ζρέζε () πξνθύπηεη όηη Β. i. Έρνπκε επεηδή α α. lim lim lim DLH ln lim lim lim ln lim lim ε ζπλάξηεζε δ ε λ ε ί λ α η π α ξ α γ ωγ ί ζ η κ ε ζην. ii. Δίλαη Γηα. είλαη, ln,
26 8 Γηα είλαη 44 ln ln ln ln ln ln 8 () () Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην, θαη, θαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί λ ν π ζ α ζην iii. Σην δηάζηεκα, είλαη νπόηε:,. ln, E d d ln d ln d ln ln d d 4 η.κ Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 7 Β. Η h είλαη παξαγσγίζηκε ζην σο άζξνηζκα δύν παξαγσγίζηκσλ ζην ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν h () () () 4 () () ( 4 ) ε h είλαη ζ ηαζεξή ζην. Β. Δίλαη h 4, νπόηε: h() = () = =
27 επεηδή ε h είλαη ζηαζεξή ζην νπόηε Β3. Δίλαη Β3. Δίλαη Δίλαη Δπίζεο 44, έρνπκε h, γηα θάζε, () () () () t 3t t 3t t I tdt dt 3t dt dt dt 3t t I I() 3 3 lim lim lim ( ) ( ) lim lim lim lim lim ( ) () DLH DLH lim = 3 3 θαη lim = 3 I() lim lim lim lim Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 8 Β. Δίλαη ln ln () = =, >
28 8 44 Η ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζην, κε παξάγσγν Δίλαη ln (ln) ln() ln () = = =, > ln () ln ln ln () ln ln ln () ln ln ε είλαη γ λ ε ζ ί ω ο α ύ μ ν π ζ α ζην, θαη γ λ ε ζ ί ωο θζί λ ν π ζ α ζην [, ). Παξνπζηάδεη νιηθό κ έ γ η ζ η ν γηα Β. Δίλαη, ην () =. ln ( ln ) lim () lim lim () DLH επεηδή είλαη lim =. Β3. Δίλαη () () ln I = ()d d d ln ln d ln ln ln 4 [] Τ.Μ. 6. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN
29 B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν Δίλαη () ( ) () () > () Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα κεηαβνιώλ πξνθύπηεη όηη H είλαη γ λ ε ζ ί ωο θζίλνπζα ζην (, ] θαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην [, ). Η παξνπζηάδεη ν ι η θ ό ε ι ά ρ η ζ η ν γηα B. Έρνπκε άξα ε ζπλάξηεζε είλαη θ π ξ η ή. B3. Έρνπκε Πξνθαλήο ξίδα ην, αθνύ., ηελ ηηκή () = ( ) = 4 >, () () () () () () Δπνκέλσο ε εμίζσζε () έρεη κ ν λ α δ η θ ή ξ ί δ α ην. B4. Η εθαπηνκέλε ηεο C ζην = είλαη ε ε : y θαη επεηδή ε είλαη θ π ξ ηή, ε επαθήο, άξα C βξίζθεηαη πάλω από ηελ εθαπηνκέλε κε ε μ α ί ξ ε ζ ε ην ζεκείν () () (). E Ω = [() ] d = [ ] d = ()=
30 = = = η.κ. 6. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 4 B. Η ζπλάξηεζε έρεη πεδίν νξηζκνύ ην A, άξα ε y y)., νπόηε έρνπκε ln lim () lim lim ln, δηόηη lim ln θαη lim C έρεη θ α ηαθόξπθε α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ (δειαδή ηνλ άμνλα Δπίζεο έρνπκε άξα ε ln lim () lim lim lim DLH C έρεη ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ π η ωη ε ηελ y (δειαδή ηνλ άμνλα ). B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην, θαη παξαγσγίζηκε κε παξάγσγν ln ln ln () ln () ln ln ln () ln ln () () ()=/ Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα πξνθύπηεη όηη ε είλαη γ λ ε ζ ί ωο α ύ μ ν π ζ α ζην, θαη γ λ ε ζ ί ωο θ ζ ί λ ν π ζ α ζην,. Η παξνπζηάδεη ν ι η θ ό κ έ γ η ζ ην ην ln ()
31 445 Δίλαη B3. Έρνπκε () (), γηα θάζε. ln () ln. Αλαδεηνύκε ην πξόζεκν ηεο ζην δηάζηεκα νπόηε έρνκε,, () () () () ln ln ln EΩ ()d d (ln ln) ( ) η.κ. ln 6. Θ Ε Μ Α Β ΟΜΟΓΕΝΩN 5 B. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη ην (, ), άξα πηζαλή θαηαθόξπθε αζύκπησηε είλαη ε επζεία (ν άμνλαο yy ). Δίλαη lim ln = ( ) = =. Δπνκέλσο ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο έρεη θαηαθόξπθε αζύκπησηε ηελ επζεία. Γηα λα βξνύκε αλ ππάξρεη νξηδόληηα αζύκπησηε ππνινγίδνπκε ην επνκέλσο ε lim ln = =, C δ ε λ έ ρ ε η ν ξ η δ ό λ ηη α α ζ ύ κ πηωη ε ζην. B. Έζησ, (, ) κε <. Δίλαη < ln < ln () θαη
32 Από () θαη () πξνθύπηεη 446 < > < (). ( ) < ( ) επνκέλσο ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην (, ), άξα αλ έρεη ιύζε, απηή είλαη κνλαδηθή. Δπεηδή ε ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο σο δηαθνξά ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ θαη είλαη θαη γλεζίσο αύμνπζα, ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο ζην δηάζηεκα (, ) είλαη ην ην δηάζηεκα, αθνύ lim (), lim () lim () = =. θαη lim () =. Δπνκέλσο αθνύ πεξηέρεηαη ζην ζύλνιν ηηκώλ ην ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο έρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ζεκείν ηνκήο κε ηνλ άμνλα ησλ θαη αθνύ είλαη γλεζίσο αύμνπζα απηό ζα είλαη κνλαδηθό. Δπνκέλσο ε εμίζσζε Ε λ α ι ι α θ η η θ ά έρεη κνλαδηθή ξίδα. Δθαξκνγή ζ ε ωξ ή κ α ηνο Bol z a n o ζην [, ]. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο ζην [, ] σο δηαθνξά ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ. Δίλαη Οπόηε ()() <, () = < θαη () = >. άξα από ην ζ ε ώξ ε κ α Bol z a n o ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα B3. Γηα θάζε > είλαη Τν δεηνύκελν εκβαδό ηζνύηαη κε (, ) ώζηε ( ) =. ()> > () > () () >.
33 447 ()> EΩ = () d = ()d = ln d = lnd d = () ln d [ln] = [ln] (ln) d ln ln ln ln d ln ln ln d ln ln [] ln ln ln ln ln (ln ln ) (ln ln ) ln ln ln ln ln ln ( )ln η.κ.
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
Διαβάστε περισσότεραΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
Διαβάστε περισσότεραΓ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
Διαβάστε περισσότεραiii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
Διαβάστε περισσότεραΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
Διαβάστε περισσότεραΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο
Διαβάστε περισσότεραf '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
Διαβάστε περισσότεραf x 2xln x x x 2ln x 1 x f x 0 x 2ln x 1 0 2ln x 1 0 ln x ln e x e
8 9 6. Θ Ε Μ Α B 4 Β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο ζπλάξηεζεο είλαη Α,. Ζ πξώηε παξάγωγνο ηεο ζπλάξηεζεο είλαη : ln ln ln ln e ln ln ln ln e e To πξόζεκν ηεο ', ε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ηεο θαίλνληαη ζηνλ παξαθάηω
Διαβάστε περισσότεραMaster Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
Διαβάστε περισσότερα(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)
Διαβάστε περισσότεραΟ γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν
Διαβάστε περισσότερα3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα
wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε
Διαβάστε περισσότεραΕπωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 3 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
Διαβάστε περισσότεραΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ
ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο
Διαβάστε περισσότεραΑζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
Διαβάστε περισσότεραx x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
Διαβάστε περισσότεραΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
Διαβάστε περισσότεραΒ. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):
Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )
Διαβάστε περισσότεραx-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.
Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ
Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε
Διαβάστε περισσότεραα) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Διαβάστε περισσότεραΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
Διαβάστε περισσότεραH ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
Διαβάστε περισσότερα1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη
ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ
1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη
Διαβάστε περισσότεραΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
Διαβάστε περισσότερα3x 4y 12. 3x 4y 10. 8x 2y 7 :
. α. Σν ζύζηεκα 4y : έρεη 9 y 0 άξα είλαη αδύλαην ή έρεη άεηξεο ιύζεηο. Αιιά ην αξαάλσ ζύζηεκα γξάθεηαη: β. Σν αξαάλσ ζύζηεκα 4 D 6 6 0 9 4y,ην ννίν ξνθαλώο είλαη αδύλαην. 4y 0 είλαη αδύλαην, εεηδή νη
Διαβάστε περισσότεραΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2
ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ
Διαβάστε περισσότεραΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
Διαβάστε περισσότεραx x 15 7 x 22. ΘΔΜΑ Α 3x 2 9x 4 3 3x 18x x 5 y 9x 4 Α1. i. . Η ιύζε είλαη y y x 3y y x 3 2x 6y y x x y 6 x 2y 1 y 6
ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΔΒΡΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜ/ΝΙΑ 4 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ 08 ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΩΡΔ ΘΔΜΑ Α Α i 9 4 8 8 5 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 4 Η ύζε είλαη,, 6 6 6 5 7 0 5 Γηα 5 ε εμίζωζε 7 Η ύζε είλαη,, 5 γίλεηαη : 5 7 5 7 i 4 4 4
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
Διαβάστε περισσότεραΜονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.
Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΣΩΝΗ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ
ΑΝΣΩΝΗ ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ ΧΡΗΙΜΕ ΕΠΙΗΜΑΝΕΙ ΣΙ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΜΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΤΠΟΔΕΙΞΕΙ ΑΠΟ ΣΟΝ ΚΩΣΑ ΕΡΙΦΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 009 w w w m a t h e m a t i c a g r ΑΝΣΩΝΗ K ΚΤΡΙΑΚΟΠΟΤΛΟ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα 1 από 18 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ
ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ Σελίδα από 8 ΛΥΣΔΙΣ ΑΣΚΗΣΔΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΔΩΝ ) Να γπάτεηε με μοπθή διαζηήμαηορ ή ένυζηρ διαζηημάηυν ηα ζύνολα: i) {R/-
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r
1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε
Διαβάστε περισσότεραΔξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,
Διαβάστε περισσότεραΜεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο:
Μεζνδνινγία Κύθινπ Κύθινο νλνκάδεηαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ελόο ζπλόινπ άπεηξσλ ζεκείσλ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από έλα ζηαζεξό ζεκείν, ην θέληξν ηνπ. Άξα, έλαλ θύθιν ηνλ ραξαθηεξίδνπλ δύν ζηνηρεία, ην θέληξν
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ
ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ 06 ΣΑΞΖ : Β ΖΜ/ ΝΗΑ : 9 05 06 ΜΑΘΖΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα Α ( Α =0, Α = 5 ) ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ i. Αλ ηόηε ii. iii. Οη επζείεο x x, y y
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:
Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο
Διαβάστε περισσότεραΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Διαβάστε περισσότεραΣήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ
Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)
Διαβάστε περισσότερα=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 ΓΔΝΗΚΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) κε πιεπξέο α, β, γ Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μάθημα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: ευτέρα, Ιουνίου 9 7: : ΤΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ
ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ
Διαβάστε περισσότεραΔπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.
ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε
Διαβάστε περισσότεραΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΜΑ 1 0. Έζησ Α, Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω ώζηε λα ηζρύνπλ: (i) Ζ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί έλα ηνπιάρηζηνλ
Διαβάστε περισσότεραΑζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis
Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x
Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 4 ( ) 7 ( )( ) (ii) 5 7 9 4 (iv) 5 6 4 9 6 0 9 6 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : 7 5 8 (ii) 4 6 8 5 8 ( 6) 4 4 5 (iv) 7 5 4 7 0 7 ( ) 4 8 4 5 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 0 5
Διαβάστε περισσότεραΦςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη
Διαβάστε περισσότερα1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.
ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s
Διαβάστε περισσότεραΤν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δωξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δωξεά απνθιεηζηηθά από ην ψεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.
Διαβάστε περισσότεραΆζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ
Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕΔ Άξοναρ Άξονα κε απσή ηο θαη μοναδιαίο διάνςζμα ηο OI i θαη ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε νλνκάδνπκε κηα επζεία πάλσ ζηελ νπνία έρνπκε επηιέμεη ζεκεία θαη Ι έηζη ώζηε ην δηάλπζκα OI λα έρεη
Διαβάστε περισσότεραΚευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
Διαβάστε περισσότεραΕξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα )
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα ) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Βϋ Γενικοφ Λυκείου» Κεφ. 1ο: Γραμμικά Συςτήματα 1.1 Γραμμικά υςτιματα (χωρίσ τισ αποδείξεισ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ. Κιείδεο Κσλζηαληίλνο ΥΟΛΗ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΥΑΝΟΛΟΓΙΑ ΣΕ
ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ Κιείδεο Κσλζηαληίλνο ΥΟΛΗ ΣΕΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΥΑΝΟΛΟΓΙΑ ΣΕ Άδεηεο Υξήζεο Τν παξόλ εθπαηδεπηηθό πιηθό ππόθεηηαη ζε άδεηεο ρξήζεο Creative Cmms. Γηα εθπαηδεπηηθό πιηθό, όπσο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και
Διαβάστε περισσότεραΆμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)
Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα
Διαβάστε περισσότεραQ Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό
Διαβάστε περισσότεραΑ. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
Διαβάστε περισσότερα(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΑΝΑΛΤΗ Θεσξία, Μεζνδνινγία θαη Αζθήζεηο Δπηκέιεηα: Άιθεο Σδειέπεο Αζήλα Πεξηερφκελα ΔΝΟΣΗΣΑ ε:... ΓΔΝΙΚΑ ΠΔΡΙ ΤΝΑΡΣΗΔΧΝ ΑΚΗΔΙ... ΔΝΟΣΗΣΑ ε: ΟΡΙΑ - ΤΝΔΥΔΙΑ...
Διαβάστε περισσότεραΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. (δει. ν n έρεη έλαλ ηνπιάρηζηνλ δηαηξέηε πνπ αλήθεη ζην ζύλνιν 2,..., n 1
ΠΡΩΣΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Οπιζμόρ : Έλαο αθέξαηνο θαιείηαη πξώηνο αλ νη κόλνη ζεηηθνί δηαηξέηεο ηνπ είλαη νη θαη. Αλ ν αθέξαηνο δελ είλαη πξώηνο ηόηε ν θαιείηαη ζύλζεηνο. Παπαηήπηζη : i) Αλ ν αθέξαηνο είλαη ζύλζεηνο
Διαβάστε περισσότερα66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι
1 66. Ομογενής ράβδος ποσ περιζηρέθεηαι Λεπηή νκνγελήο ξάβδνο Α κήθνπο L=1 θαη κάδαο Μ=Kg, κπνξεί λα ζηξέθεηαη ζε θαηαθόξπθν επίπεδν ρωξίο ηξηβέο γύξω από νξηδόληην άμνλα πνπ πεξλά από ην άθξν ηεο Α. Σην
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
Διαβάστε περισσότεραΤν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνληηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαλέκεηαη δσξεάλ απνθιεηζηηθά από ηνλ ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr
Τν εθπαηδεπηηθό πιηθό ηεο Φξνηηζηεξηαθήο Δθπαίδεπζεο Τζηάξα δηαέκεηαη δσξεά απνθιεηζηηθά από ην ςεθηαθό ηόπν ηνπ schooltime.gr Η έα ηζηνζειίδα καο : www. Μ ΑΘΗΜ ΑΤΙΚΑ α x +β< 0 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ α.(β +γ )α.
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. 1. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων. y ημω= y π M(,y) ζςνω= π ξ σ εθω= y, 0 ζθω=, y 0 y.σπιγωνομεηπικοί απιθμοί γωνίαρ
Διαβάστε περισσότεραΝα ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1) Nα βρείτε τα Σ.Κ. τθσ ςυνάρτθςθσ
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ - 0 - Άρα A [-] - 0 - + - + KK KA KK KA ΣΚ ΣΚ ΣΚ Τα ςθμεία Α Β00 και Γ είναι ςθμεία καμπισ Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ ϋϋ0 θμ0 κπ κη κπ κπ+π
Διαβάστε περισσότεραΈκδοζη /10/2014. Νέα λειηοσργικόηηηα - Βεληιώζεις
Έκδοζη 2.89.31 08/10/2014 Η έκδοζη 2.89.31, περιλαμβάνει : Βεληιώζεις Καηάζηαζη Υπερφριών (Ε8) Αναγγελία πρόζληυης (Ε3) 08/10/2014 1 Βεληιώζεις Καηάζηαζη Υπερφριών (Ε8) Επεηδή ζηελ ειεθηξνληθή ππνβνιή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Θεσξνύκε ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α, Β, Γ, Γ. Γείμηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε ΡΑ ΡΓ ΡΒ ΡΓ, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. *Αλ ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν θαη Ρ έλα ζεκείν
Διαβάστε περισσότερα