Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το διάστημα Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z ισχύει z = z, τότε οπωσδήποτε είναι και z = z β) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί τότε πάντα ισχύει: Re z z = Re z Re z γ) Αν για κάθε, A με ισχύει f ()d, τότε η f είναι - δ) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο A και ισχύει R, τότε η f είναι κοίλη. f () + > για κάθε ε) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,] με f()f() > για κάθε (,), τότε η f οπωσδήποτε δεν έχει ρίζα στο (,) ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Α. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών Ζ για τους οποίους ισχύει: z i z 4 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β) Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό του παραπάνω γεωμετρικό τόπου που έχει το μικρότερο μέτρο. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Β. Έστω ο μιγαδικός αριθμός Ζ με z A για τον οποίο ισχύει: z 3 z α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 z z 3 β) Αν ισχύει 3, τότε να αποδείξετε z z z z ΜΟΝΑΔΕΣ 6

2 ΘΕΜΑ Γ Α. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με f() = και f() = 3. Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε να είναι f = ΜΟΝΑΔΕΣ 3 β) Υπάρχει ένα τουλάχιστον [,] τέτοιο ώστε να είναι: 3 4f = f() + f + f() γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον 3 (,) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο 3 3 A,f να είναι παράλληλη στην ευθεία y = + Β. Δίνονται οι αριθμοί Α d, Β e d και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο A συνάρτηση f με f f 3, για την οποία για κάθε Α f f e Β n3 A ισχύει α) Να αποδείξετε ότι Α n3 και Β e και κατόπιν να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f e έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα, ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο A για την οποία για κάθε 3 A ισχύει: f () + 4f() = 4 α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της. β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ) Αν g() = + f(), A, τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει: g(4) + z - + z - f(4) - i = ΜΟΝΑΔΕΣ 7 δ) Να λύσετε την ανίσωση: f < 6 + ΜΟΝΑΔΕΣ 8

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία. Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο A, τότε για, A ισχύει η ισοδυναμία f f < f f < β) Ισχύει z Re(z) για κάθε z C γ) Αν για, A με ισχύει f ()d της f έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα, τότε η γραφική παράσταση δ) Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο A και ισχύει A, τότε η f αντιστρέφεται - ε) Ισχύει 4 = 4 ln4 για κάθε A f () ημ - > για κάθε ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Α. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z με z = και z + = α, να αποδείξετε ότι: α) α α - β) Re(z) = γ) z - z + = α - 3 Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει z - 4 = + z. Κατόπιν αν z, z είναι σημεία του παραπάνω γεωμετρικού τόπου τότε να αποδείξετε ότι z - z 4. ΜΟΝΑΔΕΣ 3

4 ΘΕΜΑ Γ Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ημ z = + - α οποίο ισχύει z + z - και η συνάρτηση f με τύπο + βi, με A, α >, β A, για τον f() = κ + λ, κ, λ A της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο + την ευθεία y = α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, κ, λ. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I = d f() - γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο - g() = f(t)dt + f(t)dt - + 4, A είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της. ΜΟΝΑΔΕΣ 3 B. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο A και ισχύουν: f f, για κάθε A και f f, για κάθε A α) Να αποδείξετε ότι f e β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. έχει δύο ακριβώς ρίζες στο διάστημα γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f, ΘΕΜΑ Δ Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : συνάρτηση g : A A για τις οποίες ισχύουν: A A με f = και η,για κάθε A () f f t dt e f t f t 37 g f t dt f t dt dt 8 3 f t f f d f d οι γραφικές παραστάσεις C f,c g των f και g αντίστοιχα εφάπτονται σε σημείο με τεταγμένη Να αποδείξετε ότι: α) Η g είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της.

5 β) Η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον A με f δ) Για κάθε A ισχύει: e t u e f t tdt dt f t dt du dt ln t t ε) Ισχύει: στ) Η εξίσωση: έχει δύο ακριβώς ρίζες. e π f e f t dt f π f t dt f f t dt =

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 Α.. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ Α..Να δώσετε τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού z. Α.3. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο A, δύο διαδοχικές ρίζες της είναι το και 3 και ισχύει f 3 () + f() >, τότε είναι f() > για κάθε (,3) β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο A και ισχύει f () + 8f () + < για κάθε A, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο A γ) Για οποιοδήποτε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z + 5 > δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο A και για κάθε, A με ισχύει f f 5 d, τότε η f αντιστρέφεται. ε) Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο A με συνεχή 4 παράγωγο. Αν για κάθε A ισχύει ft dt, τότε είναι 3 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, w για τους οποίους ισχύει: z + i w = z - i α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z για τους οποίους ισχύει: w = 3 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ β) Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z = α + βi, α,β A είναι σημείο του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 3 α + (β + 5) - 5 = έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (,)

7 ΜΟΝΑΔΕΣ 3 ΘΕΜΑ Γ Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο A, με A ισχύει: α) Να αποδείξετε ότι f e f f f f και για κάθε, A β) Να αποδείξετε ότι ισχύει f, για κάθε A γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: ε) Να υπολογίσετε το όριο : ΘΕΜΑ Δ I Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: d lnf lim f t dt 3 f dt d t ημ 3 α) Να αποδείξετε ότι: 3 d ημ β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. Κατόπιν να βρείτε πότε η γραφική παράσταση C f της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα δ) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση. ε) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 6 f f ln 3 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα, στ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της f και τους άξονες.

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ 5 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 5 Α. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η f είναι συνεχής στο α,β και f α f β, τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f α και f β υπάρχει ένας τουλάχιστον α,β ώστε να είναι f η α,β., τέτοιος ΜΟΝΑΔΕΣ Β. Να δώσετε τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο - Γ. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν lim f() = α, τότε η ευθεία y = α λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + β. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα f(),f() γ. Για δύο συναρτήσεις f, g συνεχείς στο διάστημα [α,β] ισχύει πάντα β β β f() g()d = f()d g()d δ. Αν lim f, τότε α α α lim f ε. Για οποιονδήποτε z * ισχύει z z ΜΟΝΑΔΕΣ ΘΕΜΑ Β Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει z 4 z α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού αριθμού w για τον οποίο ισχύει z 8 w ΜΟΝΑΔΕΣ 7 z 4

9 z 3 4i Β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύει w i α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z αν γνωρίζετε ότι ο μιγαδικός αριθμός w είναι πραγματικός. β. Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό z με το ελάχιστο μέτρο. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 ΘΕΜΑ Γ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει t 3 3 e e f tdt e e α. Να βρείτε τον τύπο της f. β. Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, τέτοια ώστε να είναι: e f f 7 δ. Για κάθε α να αποδείξετε ότι ισχύει f α f 3α f α ε. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f την εφαπτομένη της C f στο και τις ευθείες και. ΘΕΜΑ Δ Α. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f, 6 α. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε τις ασύμπτωτες της C f ΜΟΝΑΔΕΣ 6 β. Να βρείτε το όριο lim f t dt ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Β. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα α,β με συνεχή παράγωγο και f για κάθε α,β. Αν fα β για α,β τότε να αποδείξετε ότι: α. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο α,β ΜΟΝΑΔΕΣ 6 αβ β f d f d ΜΟΝΑΔΕΣ 7 α α β. Ισχύει

10 ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑΚΟ ΟΡΓΑΝΙΜΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΔΣΙΚΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ 4 ΑΠΡΙΛΙΟΤ 5 ΘΔΜΑ A Α. Έζηω κία ζπλάξηεζε f παξαγωγίζηκε ζ έλα δηάζηεκα α,β, κε εμαίξεζε ίζωο έλα ζεκείν ζην νπνίν όκωο ε f είλαη ζπλερήο. Αλ f ζην α, θαη f ζην,β, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ην f είλαη ηνπηθό κέγηζην ηεο f. ΜΟΝΑΓΔ Β. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηνπ κέηξνπ ελόο κηγαδηθνύ αξηζκνύ z. ΜΟΝΑΓΔ 5 Γ. Να ραξαθηεξίζεηε κε ηελ έλδεημε Σωζηό (Σ) ή Λάζνο (Λ) ηηο παξαθάηω πξνηάζεηο: α. Αλ lim f() =, ηόηε ε επζεία y = ιέγεηαη νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην β. Αλ ηζρύεη f g γηα θάζε, ηόηε ε ζπλάξηεζε g f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην γ. Η ζπλάξηεζε f κε ηύπν f ln, έρεη θαηαθόξπθε αζύκπηωηε. δ. Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο z,z ηζρύεη z z,ηόηε ζε θάζε πεξίπηωζε ηζρύεη θαη z z ε. Γηα νπνηνλδήπνηε z * ηζρύεη z z ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ B Α. Έζηω α β θαη z,w κε z β θαη z β. Αλ ηζρύoπλ z α z α z β z β 8 3 w 3αi 3 βi i w 9,ηόηε: α. Να απνδείμεηε όηη α β ΜΟΝΑΓΔ 4 β. Να βξείηε ην γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ εηθόλωλ ηνπ w ΜΟΝΑΓΔ 4 γ. Να βξείηε ηνλ κηγαδηθό αξηζκό w κε ην κηθξόηεξν κέηξν ΜΟΝΑΓΔ 5 θαη Β. Δίλεηαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο z γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη z 3 z α. Να βξείηε ην γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ εηθόλωλ ηνπ z ΜΟΝΑΓΔ 5 z z 3 β. Αλ ηζρύεη 3 ηόηε λα απνδείμεηε όηη z z z z ΜΟΝΑΓΔ 7

11 ΘΔΜΑ Γ Η ζπλάξηεζε f είλαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα, θαη ηζρύνπλ: f f e e, γηα θάζε, κε Η επζεία κε εμίζωζε y εθάπηεηαη ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C f ηεο e f ζε ζεκείν ηεο κε ηεηκεκέλε e f 9 e α) Να απνδείμεηε όηη f, ΜΟΝΑΓΔ 7 β) Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα. ΜΟΝΑΓΔ 6 γ) Αλ F f t dt,,ηόηε λα απνδείμεηε όηη ην εκβαδόλ Ε ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο F, ηνλ άμνλα θαη ηηο επζείεο θαη δίλεηε από ηνλ ηύπν: E 3F e ΜΟΝΑΓΔ 6 δ) Να ππνινγίζεηε ην όξην: ΘΔΜΑ Γ lim 3t f 3t dt t 5 f t 3 dt ΜΟΝΑΓΔ 6 Η ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε θαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην κε f 3 f 3e Αλ ηζρύνπλ lim 3 θαη f γηα θάζε ηόηε λα απνδείμεηε νηη: α) Ιζρύνπλ f 6 θαη f 6 3 γηα θάζε ΜΟΝΑΓΔ 6 β) Η f παξνπζηάδεη ειάρηζην ζε ζεκείν, ΜΟΝΑΓΔ 6 γ) Η εμίζωζε f t dt έρεη κνλαδηθή ξίδα ην ΜΟΝΑΓΔ 6 δ) Τν εκβαδόλ ηνπ ρωξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε C f ηεο f, ηελ εθαπηνκέλε ηεο C f ζην θαη ηηο επζείεο θαη είλαη ίζν κε f d ΜΟΝΑΓΔ 7

12 ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑΚΟ ΟΡΓΑΝΙΜΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΔΣΙΚΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ 9/4/5 ΘΔΜΑ Α Α. Έζηω κία ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα Δ. Αλ ε f είλαη ζπλερήο ζην Δ θαη f γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε f είλαη ζηαζεξή ζε όιν ην δηάζηεκα Δ. ΜΟΝΑΓΔ Β. Πόηε ιέκε όηη κία ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζ έλα δηάζηεκα Δ θαη παξαγωγίζηκε ζην εζωηεξηθό ηνπ Δ είλαη θπξηή θαη πόηε ιέκε όηη είλαη θνίιε; ΜΟΝΑΓΔ 5 Γ. Να ραξαθηεξίζεηε κε ηελ έλδεημε Σωζηό (Σ) ή Λάζνο (Λ) ηηο παξαθάηω πξνηάζεηο: α. Αλ lim f() = +, ηόηε ε επζεία κε εμίζωζε = ιέγεηαη θαηαθόξπθε αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f. 5 β. Αλ ηζρύεη f f γηα θάζε ηόηε ε ζπλάξηεζε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην γ. Ιζρύεη ε ηζνδπλακία lim f() lim f() δ. Οη πνιπωλπκηθέο ζπλαξηήζεηο βαζκνύ κεγαιύηεξνπ ή ίζνπ ηνπ δελ έρνπλ αζύκπηωηεο. ε. Η ζπλάξηεζε F κε ηύπν F t dt, είλαη γλεζίωο αύμνπζα. ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ Β Α. Έζηω ν κηγαδηθόο αξηζκόο z C γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη 3 i z iz 7 z α. Να βξείηε ην γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ εηθόλωλ ηνπ z ΜΟΝΑΓΔ 7 β. Να ππνινγίζεηε ηε κέγηζηε θαη ειάρηζηε ηηκή ηνπ κέηξνπ z ΜΟΝΑΓΔ 8 z iz Β. Aλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο αξηζκνύο z,z ηζρύεη z iz I ηόηε λα απνδείμεηε όηη z z ΜΟΝΑΓΔ

13 ΘΔΜΑ Γ Α. Θεωξνύκε ηηο ζπλαξηήζεηο f,g: ηέηνηεο, ώζηε g() f() γηα θάζε. Να βξείηε: α. ηελ αζύκπηωηε ηεο C f θαη ηεο f() lim = 5 Cg ζην ΜΟΝΑΓΔ 3 g() 6 β. ην όξην L lim ΜΟΝΑΓΔ 4 f() g() θαη Β. Η ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε f θαη f γηα θάζε. Επηπιένλ ηζρύεη α. Να απνδείμεηε όηη f 3 f f γηα θάζε e ΜΟΝΑΓΔ 3 β. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα θαη λα βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο. ΜΟΝΑΓΔ 3 γ. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε f έρεη δύν αθξηβώο ξίδεο ζην δηάζηεκα, ΜΟΝΑΓΔ 4 δ. Γηα θάζε α λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη ε. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηζρύεη α α f d f d ΜΟΝΑΓΔ 4 α lim dt f t ΜΟΝΑΓΔ 4 ΘΔΜΑ Γ Η ζπλάξηεζε f είλαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην, κε ζπλερή δεύηεξε παξάγωγν θαη ππάξρνπλ α,β κε α β ηέηνηα ώζηε λα είλαη f α f β. Επηπιένλ νξίδνπκε ηε ζπλάξηεζε g κε ηύπν: g f α β αβ, α. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ α,β ζην νπνίν ε εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο C g ηεο g είλαη παξάιιειε ζηνλ άμνλα β. Να ππνινγίζεηε ην όξην lim α α α f t dt e f β α f α α εκ α ΜΟΝΑΓΔ 6 ΜΟΝΑΓΔ 6 γ. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη f μ f μ ΜΟΝΑΓΔ 7 δ. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ α,β ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη: α f d β α f f β ΜΟΝΑΓΔ 6

14 ΘΔΜΑ Α ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑΚΟ ΟΡΓΑΝΙΜΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΔΣΙΚΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ Α. Αλ νη ζπλαξηήζεηο f,g είλαη παξαγωγίζηκεο ζην, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε f g είλαη παξαγωγίζηκε ζην θαη ηζρύεη f g f g ΜΟΝΑΓΔ Β. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηνπ νιηθνύ ειαρίζηνπ κηαο ζπλάξηεζεο f κε πεδίν νξηζκνύ ην Α. ΜΟΝΑΓΔ 5 Γ. Να ραξαθηεξίζεηε κε ηελ έλδεημε Σωζηό (Σ) ή Λάζνο (Λ) ηηο παξαθάηω α. Αλ πξνηάζεηο: lim f() = -, ηόηε ε επζεία = ιέγεηαη νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f. β. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην δηάζηεκα [,], ηόηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην δηάζηεκα f(),f() γ. Γηα δύν ζπλαξηήζεηο f, g ζπλερείο ζην δηάζηεκα [α,β] ηζρύεη πάληα β β α f() - g() d = f()d g()d α α β δ. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην κε ζπλερή παξάγωγν θαη γηα θάζε, κε ηζρύεη αύμνπζα. f d, ηόηε ε f είλαη γλεζίωο ε. Γηα νπνηνλδήπνηε z * ηζρύεη -z = -z ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ Β Α. Δίλεηαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο z γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη z z i α. Να βξείηε ην γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ εηθόλωλ ηνπ z ΜΟΝΑΓΔ 7 β. Να βξείηε ην ζεκείν ηνπ γεωκεηξηθνύ ηόπνπ κε ηε κέγηζηε απόζηαζε από ην θνηλό ζεκείν ηνπ άμνλα yy θαη ηνπ γεωκεηξηθνύ ηόπνπ. ΜΟΝΑΓΔ 7 Β. Δίλεηαη ν κηγαδηθόο αξηζκόο z γηα ηνλ νπνίν ηζρύεη z - i z 4 α. Να βξείηε ην γεωκεηξηθό ηόπν ηωλ εηθόλωλ ηνπ z ΜΟΝΑΓΔ 5 β. Να βξείηε ην κηγαδηθό αξηζκό κε ην ειάρηζην κέηξν. ΜΟΝΑΓΔ 6

15 ΘΔΜΑ Γ Α. Οη ζπλαξηήζεηο f θαη g είλαη παξαγωγίζηκεο ζην θαη ηζρύνπλ: f e f g g g g, γηα θάζε π 3 4 g t dt g 4εκ 5εκ ζπλ d, γηα θάζε g, γηα θάζε θαη f α.να απνδείμεηε όηη g e, ΜΟΝΑΓΔ 3 β. Να απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα. ΜΟΝΑΓΔ 4 γ. Να απνδείμεηε όηη f γηα θάζε ΜΟΝΑΓΔ 4 Β. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα,α, όπνπ α. Αλ F f t dt,,α θαη F α 4, ηόηε: α. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ,α, ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη β. Ν α ππνινγίζεηε ην νινθιήξωκα θ α θ θ θf f f α f μ 3 6 α ΜΟΝΑΓΔ 3 f F d ΜΟΝΑΓΔ 3 γ. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε,α ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ,α, ηέηνην ώζηε λα είλαη α f t dt α f ΜΟΝΑΓΔ 4 δ. Να απνδείμεηε όηη α lim t f t dt ΜΟΝΑΓΔ 4 Θέμα Γ Η ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε θαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα,, κε f γηα θάζε θαη ηζρύεη: f 3 t f t dt, α. Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f θαη θαηόπηλ λα κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηε κνλνηνλία, ηα αθξόηαηα θαη ηελ θπξηόηεηα. ΜΟΝΑΓΔ 8 β. Να απνδείμεηε όηη e d e ΜΟΝΑΓΔ 8 γ. Να απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε g κε ηύπν: t g e dt e, έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα μ ζην δηάζηεκα, θαη θαηόπηλ λα απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ μ,μ, ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη μg μ μ g μ e ΜΟΝΑΓΔ 9

16 ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΑΚΟ ΟΡΓΑΝΙΜΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΔΣΙΚΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΚΤΡΙΑΚΗ ΜΑÏΟΤ 5 ΘΔΜΑ Α Α. Έζηω κία ζπλάξηεζε f, ε νπνία είλαη ζπλερήο ζε έλα δηάζηεκα Γ. Αλ f ζε θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Γ,ηόηε λα απνδείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζε όιν ην Γ. ΜΟΝΑΓΔ Β. Να δώζεηε ηνλ νξηζκό ηεο θπξηήο ζπλάξηεζεο ζε έλα δηάζηεκα Γ. ΜΟΝΑΓΔ 5 Γ. Να ραξαθηεξίζεηε κε ηελ έλδεημε Σωζηό (Σ) ή Λάζνο (Λ) ηηο παξαθάηω πξνηάζεηο: α. Αλ z, ηόηε ηζρύεη πάληα z z Re z εκ α α β. Ιζρύεη lim β β, α,β γ. Η ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζην. Αλ ηζρύεη f f 3, ηόηε νη εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο θάζεηεο. C f ηεο f ζηα θαη 3 είλαη δ. Η ζπλάξηεζε f είλαη νξηζκέλε ζην. Αλ νξίδεηαη εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο είλαη f C f ηεο f ζην θαη ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα γωλία 45, ηόηε ε. Αλ ε ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο ζην θαη ηζρύεη β γ f d α α f d ηόηε είλαη γ β f d ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ Β Α. Έζηω νη κηγαδηθνί αξηζκνί z,z,z 3 κε z z z3 α, α. Να απνδείμεηε όηη:

17 z z α. Ο αξηζκόο z z είλαη θαληαζηηθόο. ΜΟΝΑΓΔ 7 β. Ιζρύεη z z z3 zz zz3 z3z α ΜΟΝΑΓΔ 7 Β. Αλ Α,Β είλαη αληίζηνηρα νη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z,z θαη ν αξηζκόο z iz είλαη θαληαζηηθόο, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγωλν ΟΑΒ, όπνπ Ο ε z iz αξρή ηνπ ζπζηήκαηνο, είλαη ηζνζθειέο ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ Γ Έζηω ε παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f :, θαη ε ζπλάξηεζε g:, γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ: f f ln, γηα θάζε f g ln, γηα θάζε f α) Να απνδείμεηε όηη ε g είλαη ζηαζεξή θαη λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο. ΜΟΝΑΓΔ 4 β) Να βξείηε ηνλ ηύπν ηεο f θαη θαηόπηλ λα κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηελ θπξηόηεηα θαη ηα ζεκεία θακπήο. ΜΟΝΑΓΔ 4 γ) Να ππνινγίζεηε ην όξην: lim 3 3 f t dt δ) Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ,,e, ηέηνηα ώζηε λα ηζρύεη: e ΜΟΝΑΓΔ 4 f f ε) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε e ηζρύεη: 4 e ΜΟΝΑΓΔ 4 f 3 f 4 f

18 ΜΟΝΑΓΔ 4 ζη) Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ,e, ηέηνην ώζηε λα ηζρύεη: μ f μ f t dt f μ f μ e ΜΟΝΑΓΔ 5 Θέμα Γ Α. Γηα ηελ παξαγωγίζηκε ζπλάξηεζε f: ηζρύεη: t f t f e dt ln e, γηα θάζε α. Να απνδείμεηε όηη 4 f ln e ΜΟΝΑΓΔ e β. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα νξίζεηε ηελ αληίζηξνθε ζπλάξηεζε. ΜΟΝΑΓΔ 4 γ. Να κειεηήζεηε ηε ζπλάξηεζε f ωο πξνο ηα θνίια θαη θαηόπηλ λα βξείηε ηελ αζύκπηωηε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ΜΟΝΑΓΔ 3 δ. Αλ α,β κε α β,ηόηε λα απνδείμεηε όηη f α f β f β f α ΜΟΝΑΓΔ 4 Β. Έζηω f,g παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην, όπνπ ε f είλαη άξηηα θαη γηα ηεv g ηζρύνπλ g θαη g. Οξίδνπκε ηε ζπλάξηεζε F κε ηύπν: β F f g t dt α Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη έλα ηνπιάρηζηνλ μ α,β, ηέηνην ώζηε λα είλαη f μ Γ. Αλ F ΜΟΝΑΓΔ 5 α β 4εκtdt α lim εκ,ηόηε λα βξείηε ηνλ ηύπν ηεο ζπλερνύο ζπλάξηεζεο f ζην, κε f γηα θάζε,, αt α f e θαη γηα ηελ νπνία ηζρύεη f αe f t dt. Σηε ζπλέρεηα λα κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηε κνλνηνλία. ΜΟΝΑΓΔ 5