ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΤΡΑΠΕΖΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΒΑ «Νέες Αρχές Διοίκησης Επιχειρήσεων» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΤΡΑΠΕΖΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Ιωάννης Γιαννίκος Παπλά Νεκταρία - Κονδύλω Διπλωματούχος χημικός μηχανικός Πάτρα 2009

2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΒΑ «Νέες Αρχές Διοίκησης Επιχειρήσεων» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΤΡΑΠΕΖΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΛΑ ΝΕΚΤΑΡΙΑ-ΚΟΝΔΥΛΩ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΓΙΑΝΝΙΚΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Τριμελής εξεταστική επιτροπή: Γιαννίκος Ιωάννης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρουλάκης Γεώργιος, Επίκουρος Καθηγητής Βουτσινάς Βασίλης, Αναπληρωτής Καθηγητής Πάτρα

3 Ευχαριστία Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματοποιήθηκε στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράμματος MBA «Νέες Αρχές Διοίκησης Επιχειρήσεων» του τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου Πατρών, κατά τα έτη Την εποπτεία της εργασίας αυτής είχε ο Επίκουρος Καθηγητής του τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Ιωάννης Γιαννίκος, τον οποίο και θέλω να ευχαριστήσω θερμά τόσο για την επιστημονική βοήθεια που μου παρείχε όσο και για την ευγενική υποστήριξή του κατά την εκπόνηση αυτής της εργασίας. Πάτρα, Φεβρουάριος 2009 Παπλά Νεκταρία - Κονδύλω 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Πολυκριτηριακή Ανάλυση & Επιχειρησιακή Έρευνα Μεθοδολογικό Πλαίσιο Πολυκριτηριακής Ανάλυσης Βασικές Μεθοδολογικές Προσεγγίσεις Πολυκριτήριος μαθηματικός προγραμματισμός ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Ταξινόμηση των προβλημάτων και μοντέλων χωροθέτησης Εφαρμογές της ανάλυσης χωροθέτησης ΜΟΝΤΕΛΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ Προβλήματα κάλυψης (Covering problems) Μοντέλο Συνόλου Κάλυψης (Location Set Covering Model) Το μοντέλο μέγιστης κάλυψης (Maximum covering location model) Προβλήματα Διακέντρων (Center problems) Προβλήματα Διακέντρων κορυφής (vertex center problems) Πρόβλημα p-διασποράς (p- dispersion) Προβλήματα Διαμέσων (Median Problems) Πρόβλημα Ρ-Διάμεσος (P-median) Fixed Charge Facility Location Model Δυναμικά προβλήματα χωροθέτησης Στοχαστικά Προβλήματα Χωροθέτησης ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΤΡΑΠΕΖΙΚΩΝ ΚΑΤ/ΤΩΝ

5 6. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ανάλυση της περιοχής ενδιαφέροντός μας Χαρακτηριστικά της περιοχής - πληθυσμός Οικονομικά χαρακτηριστικά της υπό εξέταση περιοχής Τραπεζική κάλυψη της περιοχής ενδιαφέροντός μας Ανάλυση εσόδων - εξόδων Ανάλυση εσόδων Ανάλυση εξόδων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

6 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Πολυκριτηριακή Ανάλυση Αποφάσεων (ΠΑΑ) (Multicriteria Decision Making, MCDM) είναι ο κλάδος εκείνος της Επιχειρησιακής Ερευνας (Operational Research) που ασχολείται με την επίλυση προβλημάτων λαμβάνοντας υπόψη περισσότερα του ενός κριτήρια απόφασης. Η διαδικασία λήψης απόφασης είναι η διαδικασία εκείνη που αποβλέπει στην επιλογή μιας λύσης (δράσης) από ένα σύνολο εναλλακτικών επιλογών. Η λήψη απόφασης γίνεται από τον αποφασίζοντα ο οποίος συγκρίνει και αξιολογεί τις εναλλακτικές λύσεις (επιλογές) ώστε να επιλεχθεί τελικά η καταλληλότερη λύση για κάποιο συγκεκριμένο πρόβλημα. Η εισαγωγή περισσοτέρων του ενός κριτηρίων στη διαδικασία λήψης απόφασης οδηγεί σε μια πιο ρεαλιστική απεικόνιση των πραγματικών προβλημάτων. Η πολυκριτηριακή θεώρηση προσφέρει μεγαλύτερη ευελιξία και καλύτερη αντιμετώπιση των προβλημάτων διότι εξετάζονται περισσότερες διαστάσεις. Γι αυτό και η Πολυκριτηριακή Ανάλυση Αποφάσεων αποτελεί έναν από τους ταχύτερα αναπτυσσόμενους κλάδους της Επιχειρησιακής Ερευνας. Στην Πολυκριτηριακή Ανάλυση Αποφάσεων η συμμετοχή του αποφασίζοντα στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητη ώστε να εκφράσει τις προτιμήσεις του σε σχέση με τις επιδόσεις των εναλλακτικών επιλογών στα εξεταζόμενα κριτήρια και να καταλήξει στην τελική του απόφαση. Αν υπάρχει κάποια εναλλακτική επιλογή που να έχει την καλύτερη επίδοση ως προς όλα τα κριτήρια τότε η λύση του προβλήματος είναι προφανής. Αυτό όμως σπάνια συμβαίνει γιατί τα κριτήρια απόφασης είναι συνήθως αλληλοσυγκρουόμενα εκφράζοντας διαφορετικά χαρακτηριστικά των εναλλακτικών επιλογών. Τα προβλήματα της ΠΑΑ είναι χαμηλού βαθμού δόμησης (ill structured problems), δηλαδή η ορθολογική λύση δεν καθορίζεται από το ίδιο το πρόβλημα (όπως όταν υπάρχει μόνο ένα κριτήριο απόφασης) αλλά αποτελεί αντικείμενο αναζήτησης με την άμεση εμπλοκή του αποφασίζοντα στη διαδικασία αυτή, ο οποίος εκφράζει τις υποκειμενικές του προτιμήσεις. Ένα από τα πιο συνήθη και ιδιαίτερα σημαντικό πρόβλημα που αντιμετωπίζεται στη λήψη αποφάσεων είναι η χωροθέτηση εγκαταστάσεων (facility location). 6

7 Η τοποθεσία που θα επιλεγεί για τη δημιουργία μιας εγκατάστασης καθορίζει ως επί το πλείστον την επιτυχημένη παροχή υπηρεσιών για τις οποίες σχεδιάστηκε η εγκατάσταση αυτή. Η χωροθέτηση εγκαταστάσεων αντιπροσωπεύει μακροχρόνιες επενδύσεις λόγω του κόστους απόκτησης ιδιοκτησίας και των υψηλών κατασκευαστικών εξόδων. Προκειμένου λοιπόν να είναι επιτυχημένη η λειτουργία της εγκατάστασης και η επένδυση παραγωγική θα πρέπει να διαμορφωθεί μία ορθολογική διαδικασία λήψης απόφασης που θα επικεντρώνεται στους σημαντικούς παράγοντες και στα χαρακτηριστικά που επηρεάζουν την αποδοτικότητα της εγκατάστασης. Στην παρούσα εργασία εξετάζουμε το πρόβλημα της χωροθέτησης τραπεζικών καταστημάτων στα πλαίσια της πολυκριτηριακής ανάλυσης αποφάσεων. Αναλυτικότερα: Στο δεύτερο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας αναφερόμαστε στις βασικές αρχές της πολυκριτηριακής ανάλυσης αποφάσεων, στη σημασία της για την επιχειρησιακή έρευνα, στο μεθοδολογικό πλαίσιο της πολυκριτήριας ανάλυσης και στις βασικές μεθοδολογικές προσεγγίσεις της. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφερόμαστε γενικά στο πρόβλημα της χωροθέτησης εγκαταστάσεων και παρουσιάζουμε τα βασικότερα μοντέλα προσέγγισης του προβλήματος αυτού. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στο γενικό πρόβλημα της χωροθέτησης τραπεζικών καταστημάτων και στους παράγοντες που επηρεάζουν τη λήψη σχετικών αποφάσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας λαμβάνοντας υπόψη μας τους παράγοντες αυτούς παρουσιάζουμε μία εφαρμογή, κατά την οποία επιχειρούμε να μελετήσουμε το πρόβλημα της εγκατάστασης ενός νέου τραπεζικού καταστήματος μιας μεγάλης ελληνικής τράπεζας. Η ανάλυση που παρουσιάζουμε αφορά τόσο το χωροταξικό όσο και το οικονομικό κομμάτι της λήψης της απόφασης για το άνοιγμα της νέας Μονάδας. Για την ανάλυση των οικονομικών δεδομένων που κατορθώσαμε να συλλέξουμε κάνουμε χρήση του προγράμματος Excel. 7

8 Η ανάλυση που παρατίθεται οδηγεί στην εξαγωγή συμπεράσματος για το άνοιγμα ή όχι του νέου τραπεζικού καταστήματος στην περιοχή ενδιαφέροντός μας. Ακολουθεί παράθεση της βιβλιογραφίας στην οποία ανατρέξαμε κατά τη συγγραφή της παρούσας εργασίας που χρησιμοποιήθηκε και τέλος στο παράρτημα παρουσιάζονται συγκεντρωτικά σε πίνακες τόσο τα δεδομένα όσο και τα αποτελέσματα της οικονομική ανάλυσης που κάναμε. 8

9 2. Η ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Η πολυκριτηριακή ανάλυση αποφάσεων (Δούμπος, 2006) αποτελεί ένα εξελιγμένο πεδίο της επιχειρησιακής έρευνας, ο οποίος τις τελευταίες τρεις δεκαετίες έχει γνωρίσει ιδιαίτερη άνθηση τόσο σε θεωρητικό όσο και σε πρακτικό επίπεδο. Βασικό ρόλο στην ανάπτυξη και διάδοση της πολυκριτηριακής ανάλυσης αποτέλεσε η απλή διαπίστωση ότι η επίλυση πολύπλοκων και ιδιαίτερα σημαντικών προβλημάτων λήψης αποφάσεων δεν είναι δυνατό να πραγματοποιείται μέσω μιας μονόπλευρης και μονοδιάστατης ανάλυσης. Κατά την προσπάθεια, όμως, εξέτασης όλων των παραμέτρων ενός προβλήματος και των κριτηρίων-παραγόντων που επηρεάζουν τη λήψη της κατάλληλης απόφασης, γεννάται ένα ιδιαίτερα σημαντικό πρόβλημα, το οποίο ορισμένες φορές αποθαρρύνει τους αποφασίζοντες και αναλυτές από την υιοθέτηση αυτής της πιο ρεαλιστικής προσέγγισης. Το πρόβλημα αυτό αναφέρεται στον τρόπο με τον οποίο μπορεί να πραγματοποιηθεί η σύνθεση όλων των παραμέτρων ώστε να επιτευχθεί η λήψη ορθολογικών αποφάσεων. Η αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού αποτελεί το βασικό αντικείμενο της πολυκριτηριακής ανάλυσης αποφάσεων. Η κύρια όμως ειδοποιός διαφορά της πολυκριτηριακής ανάλυσης από άλλες εναλλακτικές προσεγγίσεις, δεν είναι η απλή σύνθεση όλων των παραμέτρων ενός προβλήματος. Αυτή πραγματοποιείται και μέσω άλλων μεθοδολογικών προσεγγίσεων. Το βασικό χαρακτηριστικό γνώρισμα της πολυκριτηριακής ανάλυσης είναι η πραγματοποίηση της αναγκαίας σύνθεσης υπό το πρίσμα της πολιτικής λήψης των αποφάσεων και του συστήματος προτιμήσεων και αξιών, το οποίο συνειδητά ή ασυνείδητα χρησιμοποιεί ο αποφασίζων. Το χαρακτηριστικό αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία στο χώρο της λήψης αποφάσεων. Όπως είναι κατανοητό, το αποτέλεσμα της όποιας ανάλυσης πραγματοποιείται με σκοπό την αντιμετώπιση ενός προβλήματος λήψης αποφάσεων, έχει ως τελικό αποδέκτη τον ίδιο τον αποφασίζοντα. Συνεπώς, η ανάπτυξη υποδειγμάτων λήψης αποφάσεων μέσω μεθοδολογικών προσεγγίσεων που δεν είναι σε θέση να ενσωματώσουν τον αποφασίζοντα και τις προτιμήσεις του στη διαδικασία ανάπτυξης των υποδειγμάτων αυτών, ουσιαστικά προσδίδουν στον αποφασίζοντα έναν παθητικό 9

10 ρόλο, ο οποίος περιορίζεται στην παρακολούθηση και εφαρμογή των αποτελεσμάτων μαθηματικών υποδειγμάτων. Υπό το πρίσμα των παρατηρήσεων αυτών, η πολυκριτηριακή ανάλυση έχει δώσει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην έρευνα θεμάτων που σχετίζονται με την ανάλυση, μαθηματική μοντελοποίηση και αναπαράσταση των προτιμήσεων που διέπουν την πολιτική λήψης αποφάσεων από τη πλευρά του εκάστοτε αποφασίζοντα. Απώτερος στόχος είναι η παροχή των απαραίτητων πληροφοριών για την υποστήριξη της διαδικασίας λήψης των αποφάσεων, συμβάλλοντας στον εντοπισμό των βασικών χαρακτηριστικών του εξεταζόμενου προβλήματος καθώς και των ιδιαιτεροτήτων των διαθέσιμων εναλλακτικών λύσεων. Οι μεθοδολογικές εξελίξεις που έχουν πραγματοποιηθεί κατά τη διάρκεια της ιστορικής πορείας του χώρου της πολυκριτηριακής ανάλυσης, καλύπτουν, όλα τα είδη των προβλημάτων λήψης αποφάσεων (επιλογή, κατάταξη, ταξινόμηση, περιγραφή). Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται αναλυτικότερα οι κύριες μεθοδολογικές προσεγγίσεις της πολυκριτηριακής. Ως πρώτη τεκμηριωμένη προσπάθεια επιστημονικής αντιμετώπισης του προβλήματος της σύνθεσης πολλαπλών κριτηρίων μπορεί να θεωρηθεί η εργασία του Pareto (1896), ο οποίος έθεσε τις απαραίτητες αξιωματικές βάσεις, εισάγοντας παράλληλα μια εκ των πλέον βασικών εννοιών της σύγχρονης πολυκριτηριακής ανάλυσης, την έννοια της αποτελεσματικότητας (efficiency). Μεταπολεμικά, ο Koopmans (1951) επέκτεινε την έννοια της αποτελεσματικότητας του Pareto εισάγοντας την έννοια του αποτελεσματικού συνόλου, δηλαδή του συνόλου των εναλλακτικών δραστηριοτήτων οι οποίες δεν κυριαρχούνται από καμία άλλη εναλλακτική δραστηριότητα (non-dominated set of alternatives). Κατά την ίδια περίπου χρονική περίοδο ( ) οι Von Neumann και Morgenstern (1944) αναπτύσσουν τη θεωρία χρησιμότητας, η οποία αποτελεί τη βάση ενός από τα κυριότερα μεθοδολογικά ρεύματα της πολυκριτηριακής ανάλυσης αποφάσεων. Στη δεκαετία του 1960 όλες οι προαναφερθείσες «προκαταρκτικές» ερευνητικές εργασίες αποτέλεσαν το έναυσμα για την πραγματοποίηση περαιτέρω έρευνας από τους Charnes και Cooper (1961) όσον αφορά τη σύνδεση της θεωρίας του γραμμικού προγραμματισμού και της πολυκριτηριακής ανάλυσης (προγραμματισμός στόχων - goal programming), καθώς και από τον Fishburn (1965) όσον αφορά την επέκταση της 10

11 θεωρίας χρησιμότητας σε προβλήματα λήψης αποφάσεων υπό καθεστώς πολλαπλών κριτηρίων. Περί τα τέλη της δεκαετίας του 1960 η πολυκριτηριακή ανάλυση άρχισε να απασχολεί και τους Ευρωπαίους επιχειρησιακούς ερευνητές. Πρωτοπόρος μεταξύ αυτών υπήρξε ο Roy (1968) ο οποίος ανέπτυξε τη θεωρία των σχέσεων υπεροχής (outranking relations) και θεωρείται ο ιδρυτής της «Ευρωπαϊκής σχολής» της πολυκριτηριακής ανάλυσης. Τις επόμενες δύο δεκαετίες ( ) η πολυκριτηριακή ανάλυση αναπτύχθηκε ραγδαία σε θεωρητικό επίπεδο αλλά και σε θέματα πρακτικών εφαρμογών για την αντιμετώπιση διαφόρων πολύπλοκων πραγματικών προβλημάτων λήψης αποφάσεων. Προς την κατεύθυνση αυτή σημαντική υπήρξε η συμβολή της πληροφορικής και της επιστήμης των υπολογιστών. Η ταχύτατη τεχνολογική πρόοδος που συντελέστηκε στους χώρους αυτούς, κυρίως κατά τις τελευταίες δύο δεκαετίες, έδωσε τα απαραίτητα μέσα για την υλοποίηση των μεθοδολογικών εξελίξεων της πολυκριτηριακής ανάλυσης σε ολοκληρωμένα πληροφορικά συστήματα (πολυκριτηριακή συστήματα υποστήριξης αποφάσεων), τα οποία παράλληλα συνέβαλλαν και στην προώθηση των πρακτικών εφαρμογών της πολυκριτηριακής ανάλυσης. 11

12 2.1 Πολυκριτηριακή Ανάλυση & Επιχειρησιακή Έρευνα Το «παραδοσιακό» μεθοδολογικό πλαίσιο της επιχειρησιακής έρευνας βασίζεται στα στάδια που παρουσιάζονται γραφικά στο Σχήμα 1 (Δούμπος, 2006). Σχήμα 1: Το μεθοδολογικό πλαίσιο της επιχειρησιακής έρευνας Στο πρώτο στάδιο πρέπει να πραγματοποιηθεί η διαμόρφωση του προβλήματος. Το στάδιο αυτό αφορά: Τον καθορισμό των μεταβλητών απόφασης (decision variables). Οι μεταβλητές απόφασης αφορούν το σύνολο των παραγόντων οι τιμές των οποίων πρέπει να προσδιοριστούν προκειμένου να αντιμετωπιστεί το πρόβλημα. Για παράδειγμα, σε ένα πρόβλημα διαχείρισης παραγωγής, οι μεταβλητές μπορούν να αφορούν το επίπεδο παραγωγής διαφόρων προϊόντων, το είδος και το όγκο των χρησιμοποιούμενων πρώτων υλών, κλπ. Τον προσδιορισμό του στόχου του προβλήματος (objective). Ο στόχος προσδιορίζει το κριτήριο αξιολόγησης της ποιότητας των πιθανών λύσεων στο πρόβλημα. Παραδείγματα στόχων είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους, η ελαχιστοποίηση του κινδύνου, κλπ. 12

13 Τον προσδιορισμό του χώρου των εφικτών λύσεων (feasible solutions). Στην πλειοψηφία των προβλημάτων λήψης αποφάσεων, οι πιθανές λύσεις του προβλήματος προσδιορίζονται από ένα σύνολο περιορισμών. Οι περιορισμοί αυτοί αφορούν τα διαθέσιμα μέσα (υλικά, κεφάλαια, ανθρώπινοι πόροι) καθώς και το περιβάλλον στο οποίο λαμβάνεται η απόφαση (για παράδειγμα νομικοί περιορισμοί). Βάσει της παραπάνω διαμόρφωσης του προβλήματος, το δεύτερο στάδιο αφορά στην κατασκευή του κατάλληλου μοντέλου που περιγράφει το πρόβλημα. Ως μοντέλο ορίζεται η μαθηματική αναπαράσταση (περιγραφή) του προβλήματος στην οποία αποτυπώνονται όλες οι μεταβλητές απόφασης, στόχοι και περιορισμοί. Βέβαια, στις περισσότερες περιπτώσεις η πραγματικότητα είναι πολύ πολύπλοκη ώστε να αναπαρασταθεί με πληρότητα σε ένα σύνολο μαθηματικών σχέσεων. Για το λόγο αυτό, η κατασκευή του μοντέλου βασίζεται πάντα σε κάποιες υποθέσεις, ώστε να είναι δυνατή η ποσοτική ανάλυση του προβλήματος. Όσο πιο ρεαλιστικές είναι οι υποθέσεις στις οποίες βασίζεται το μοντέλο, τόσο αυξάνεται η πιθανότητα το μοντέλο να συμβάλει με επιτυχία στην αντιμετώπιση του εξεταζόμενου προβλήματος. Το τρίτο στάδιο της ανάλυσης αφορά την επίλυση του μοντέλου με την κατάλληλη μαθηματική διαδικασία (μέθοδο, αλγόριθμο) έτσι ώστε να προσδιοριστούν οι τιμές των μεταβλητών απόφασης οι οποίες αντιστοιχούν σε μια εφικτή λύση που βελτιστοποιεί τον στόχο του προβλήματος. Η φάση της αξιολόγησης αφορά την ανάλυση της ποιότητας της λύσης (ευαισθησία, ευστάθεια, κλπ.) συναρτήσει των παραμέτρων του μοντέλου, των υποθέσεων που πραγματοποιήθηκαν και των δεδομένων του προβλήματος. Τέλος, το τελευταίο στάδιο της ανάλυσης αφορά την υλοποίηση της λύσης και την υποστήριξή της (αιτιολόγηση) σε περίπτωση όπου αυτό κριθεί απαραίτητο. 13

14 2.2 Μεθοδολογικό Πλαίσιο Πολυκριτηριακής Ανάλυσης Βάσει των ιδιαιτεροτήτων που παρουσιάζουν τα προβλήματα λήψης αποφάσεων με πολλαπλά κριτήρια, ο χώρος της ΠΑΑ έχει τους ακόλουθους τρεις βασικούς στόχους (Δούμπος, 2006): Την ανάλυση της ανταγωνιστικής φύσης των κριτηρίων. Τη μοντελοποίηση των προτιμήσεων του αποφασίζοντος. Τον εντοπισμό ικανοποιητικών λύσεων. Για την επίτευξη αυτών των στόχων ο Roy (1996) πρότεινε ένα γενικό μεθοδολογικό πλαίσιο, το οποίο και ακολουθείται στα πλαίσια της πολυκριτηριακής ανάλυσης. Το πλαίσιο αυτό αποτελείται από τέσσερα στάδια και παρουσιάζεται γραφικά στο Σχήμα 9. Όπως είναι εμφανές το προτεινόμενο μεθοδολογικό πλαίσιο περιλαμβάνει τέσσερις φάσεις-στάδια μεταξύ των οποίων είναι δυνατή η δυνατότητα αναδράσεων. Τα στάδια αυτά αναλύονται στη συνέχεια. Σχήμα 2: Το μεθοδολογικό πλαίσιο της πολυκριτηριακής ανάλυσης 14

15 Αντικείμενο της απόφασης Το πρώτο αυτό στάδιο του μεθοδολογικού πλαισίου της ΠΑΑ αφορά τον καθορισμό του συνόλου των εναλλακτικών δραστηριοτήτων και της προβληματικής της ανάλυσης. Ως «εναλλακτική δραστηριότητα» ή απλά «εναλλακτική» (alternative ή action) ορίζεται κάθε πιθανή επιλογή η οποία αποτελεί λύση του εξεταζόμενου προβλήματος και η οποία πρέπει να αξιολογηθεί ως προς την καταλληλότητά της. Το σύνολο των εναλλακτικών δραστηριοτήτων μπορεί να προσδιοριστεί είτε ως ένα διακριτό σύνολο (discrete set), είτε ως ένα συνεχές σύνολο (continuous set). Μετά τον προσδιορισμό του συνόλου των εναλλακτικών δραστηριοτήτων, απαιτείται ο καθορισμός της προβληματικής της ανάλυσης (decision problematic). Γενικά, υπάρχουν τέσσερις προβληματικές που καλύπτουν το σύνολο των πρακτικών περιπτώσεων: Προβληματική α (επιλογή, choice): Η προβληματική τύπου α αναφέρεται στην επιλογή μίας ή περισσότερων εναλλακτικών οι οποίες θεωρούνται ως οι πλέον κατάλληλες. Για παράδειγμα, κατά την χωροθέτηση ενός εργοστασίου η προβληματική αφορά την επιλογή της πλέον κατάλληλης τοποθεσίας. Προβληματική β (ταξινόμηση, classification/sorting): Η προβληματική τύπου β αναφέρεται στην ταξινόμηση των εναλλακτικών δραστηριοτήτων σε προκαθορισμένες ομοιογενείς κατηγορίες. Για παράδειγμα, κατά την αξιολόγηση μιας αίτησης δανειοδότησης το αντικείμενο της ανάλυσης αφορά την αξιολόγηση του αιτούντα (επιχείρηση ή ιδιώτη) και την ταξινόμησή του είτε στην κατηγορία των αποδεκτών αιτήσεων, είτε στην κατηγορία των απορριπτέων αιτήσεων. Προβληματική γ (κατάταξη, ranking): Η προβληματική τύπου γ αναφέρεται στην κατάταξη των εναλλακτικών δραστηριοτήτων από τις καλύτερες προς τις χειρότερες. Για παράδειγμα, κατά εισαγωγή των μαθητών σε μια πανεπιστημιακή σχολή απαιτείται η κατάταξή τους βάσει της βαθμολογίας τους στις εισαγωγικές εξετάσεις. 15

16 Προβληματική δ (περιγραφή, description): Η προβληματική τύπου δ αναφέρεται στην περιγραφή των εναλλακτικών δραστηριοτήτων βάσει των επιδόσεών τους στα επιμέρους κριτήρια αξιολόγησης. Η επιλογή της κατάλληλης προβληματικής σχετίζεται αποκλειστικά και μόνο με το πρόβλημα που εξετάζεται. Επιπλέον, σε ορισμένες περιπτώσεις πιθανόν να απαιτείται ο συνδυασμός δύο προβληματικών για την καλύτερη αντιμετώπιση του προβλήματος. Συνεπής οικογένεια κριτηρίων Στο δεύτερο στάδιο της διαδικασίας καθορίζεται μια συνεπής οικογένεια κριτηρίων (consistent family of criteria). Ως κριτήριο θεωρείται μια μονότονη συνάρτηση x, δηλωτική των προτιμήσεων του αποφασίζοντος, τέτοια ώστε για κάθε δυο εναλλακτικές x και x να ισχύει: x > x x P x x = x x I x όπου: - x και x είναι οι επιδόσεις των εναλλακτικών x και x στο κριτήριο x - P και Ι είναι αντίστοιχα οι σχέσεις προτίμησης και αδιαφορίας οριζόμενες έτσι ώστε: x P x η εναλλακτική x προτιμάται της x (προτίμηση) x Ι x οι εναλλακτικές x και x είναι ισοδύναμες (αδιαφορία) Για τη λήψη ορθολογικών αποφάσεων με πολλαπλά κριτήρια, θα πρέπει να διασφαλιστεί ότι το σύνολο των εξεταζόμενων κριτηρίων διαμορφώνει μια συνεπή οικογένεια κριτηρίων. Ένα σύνολο κριτηρίων (x1, x2,..., xn) θεωρείται ότι διαμορφώνει μια συνεπή οικογένεια κριτηρίων εάν και μόνο αν διαθέτει τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες: 16

17 Μονοτονία (monotonicity) Ένα σύνολο κριτηρίων θεωρείται ότι διαθέτει την ιδιότητα της μονοτονίας αν και μόνο αν για οποιεσδήποτε δυο εναλλακτικές x και x τέτοιες ώστε x i > x ι για κάποιο κριτήριο xi και x j = x j για όλα τα υπόλοιπα κριτήρια xj (j i), συμπεραίνεται ότι x P x. Επάρκεια (exhaustivity) Ένα σύνολο κριτηρίων θεωρείται ότι διαθέτει την ιδιότητα της επάρκειας αν και μόνο αν για οποιεσδήποτε δυο εναλλακτικές x και x τέτοιες ώστε x i = x ι για όλα τα κριτήρια xi, συμπεραίνεται ότι x Ι x. Μη πλεονασμός (non redundancy) Ένα σύνολο κριτηρίων θεωρείται ότι διαθέτει την ιδιότητα του μη πλεονασμού εάν και μόνο αν η διαγραφή ενός οποιουδήποτε κριτηρίου xi οδηγεί σε παραβίαση των ιδιοτήτων της μονοτονίας ή της επάρκειας. Μοντέλο ολικής προτίμησης Μετά την ολοκλήρωση των δύο προηγούμενων σταδίων της ανάλυσης (αντικείμενο του προβλήματος, διαμόρφωση συνεπούς οικογένειας κριτηρίων), το επόμενο στάδιο αφορά την κατασκευή και χρησιμοποίηση ενός μοντέλου ολικής προτίμησης (global evaluation model). Ως μοντέλο ολικής προτίμησης θεωρείται η σύνθεση όλων των κριτηρίων έτσι ώστε να επιτευχθεί ο στόχος της ανάλυσης ανάλογα με την προβληματική που έχει καθοριστεί. Το μοντέλο ολικής προτίμησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση για: Τον προσδιορισμό μιας συνολικής αξιολόγησης κάθε εναλλακτικής. Την πραγματοποίηση διμερών συγκρίσεων μεταξύ των εναλλακτικών. Τη διερεύνηση του συνόλου των εναλλακτικών λύσεων, όταν αυτό είναι συνεχές. Η ανάπτυξη του μοντέλου ολικής προτίμησης μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο τρόπους: 17

18 Αλληλεπιδραστικά μέσω της συνεργασίας του αναλυτή με τον αποφασίζοντα. Στην προσέγγιση αυτή ο αποφασίζοντας καθορίζει ένα σύνολο παραμέτρων σχετικών με την πολιτική λήψης των αποφάσεων που ακολουθεί (για παράδειγμα, τα βάρη των κριτηρίων). Αναλύοντας τις αποφάσεις που λαμβάνει ο αποφασίζων έτσι ώστε να αναπτυχθεί το κατάλληλο μοντέλο ολικής προτίμησης που είναι συμβατό με την πολιτική λήψης των αποφάσεων που ακολουθεί ο αποφασίζων. Η προσέγγιση αυτή έχει αρκετές ομοιότητες με τη μεθοδολογία της παλινδρόμησης η οποία είναι ιδιαίτερα διαδεδομένη στο χώρο της στατιστικής. 2.3 Βασικές Μεθοδολογικές Προσεγγίσεις Στο χώρο της ΠΑΑ έχουν αναπτυχθεί τις τελευταίες τρεις δεκαετίες διάφορες μεθοδολογίες. Οι μεθοδολογίες αυτές μπορούν να χωριστούν σε διάφορες κατηγορίες ανάλογα με τη μορφή του μοντέλου ολικής προτίμησης που χρησιμοποιούν, αλλά και τη διαδικασία ανάπτυξης του μοντέλου. Βάσει αυτής της θεώρησης, οι Pardalos et al. (1995) πρότειναν την ακόλουθη κατηγοριοποίηση: Πολυκριτήριος μαθηματικός προγραμματισμός (multi-objective mathematical programming) Πολυκριτηριακή θεωρία χρησιμότητας (multiattribute utility theory) Θεωρία των σχέσεων υπεροχής (outranking relations theory) Αναλυτική-συνθετική προσέγγιση (preference disaggregation approach) 18

19 Σχήμα 3: Οι βασικές μεθοδολογικές προσεγγίσεις της πολυκριτηριακής ανάλυσης Όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 3, μεταξύ των τεσσάρων αυτών βασικών προσεγγίσεων της πολυκριτηριακής ανάλυσης αποφάσεων, οι τρεις τελευταίες, δηλαδή η πολυκριτηριακή θεωρία χρησιμότητας, η θεωρία των σχέσεων υπεροχής και η αναλυτική-συνθετική προσέγγιση, προσανατολίζονται προς την αντιμετώπιση διακριτών προβλημάτων λήψης αποφάσεων. Απώτερος στόχος τους, είναι η σύνθεση όλων των κριτηρίων με σκοπό την αξιολόγηση ενός πεπερασμένου συνόλου εναλλακτικών δραστηριοτήτων σύμφωνα με τις προβληματικές της επιλογής, κατάταξης ή ταξινόμησης. Αντίθετα ο πολυκριτήριος μαθηματικός προγραμματισμός αποτελεί μια γενίκευση της γνωστής θεωρίας του μαθηματικού προγραμματισμού σε περιπτώσεις όπου πρέπει να βελτιστοποιηθούν πολλαπλές αντικειμενικές συναρτήσεις. Όπως βέβαια είναι εμφανές από το παραπάνω σχήμα η συμβολή του κάθε θεωρητικού ρεύματος της πολυκριτηριακής ανάλυσης δεν περιορίζεται στην αντιμετώπιση μόνο ενός είδους προβλημάτων λήψης αποφάσεων (συνεχή ή διακριτά). Αναλυτικότερα, η πολυκριτηριακή θεωρία χρησιμότητας, η θεωρία των σχέσεων υπεροχής και η αναλυτική-συνθετική προσέγγιση μπορούν να χρησιμοποιηθούν και ως 19

20 εργαλεία για την αντιμετώπιση συνεχών προβλημάτων, συμβάλλοντας στην αποτύπωση του συστήματος αξιών και προτιμήσεων του αποφασίζοντος σε ένα μαθηματικό υπόδειγμα. Το υπόδειγμα αυτό χρησιμοποιούμενο σε συνδυασμό με τεχνικές πολυκριτήριου μαθηματικού προγραμματισμού μπορεί να οδηγήσει στην επίλυση συνεχών προβλημάτων (για παράδειγμα καθορισμός της σύνθεσης ενός χαρτοφυλακίου χρεογράφων το οποίο βελτιστοποιεί τη συνάρτηση χρησιμότητας του επενδυτή). Αντίστοιχα, και ο πολυκριτήριος μαθηματικός προγραμματισμός μπορεί να συμβάλει στην αντιμετώπιση διακριτών προβλημάτων. 20

21 Πολυκριτήριος μαθηματικός προγραμματισμός Οταν το σύνολο των δυνατών επιλογών του αποφασίζοντα δεν δίδεται ρητά αλλά έμμεσα μέσω των τιμών των μεταβλητών απόφασης ενός προβλήματος μαθηματικού προγραμματισμού, τότε το πρόβλημα ανήκει στον Πολυκριτήριο Μαθηματικό Προγραμματισμό - ΠΚΜΠ (Multiple Objective Mathematical Programming, MOMP). Οι μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών απόφασης που πρέπει να ικανοποιούνται αποτελούν τους περιορισμούς του προβλήματος, ενώ οι συναρτήσεις εκείνες των μεταβλητών απόφασης που πρέπει να αριστοποιηθούν ονομάζονται αντικειμενικές συναρτήσεις. Με τον όρο λύση του προβλήματος εννοείται κάθε συνδυασμός τιμών που μπορούν να λάβουν οι μεταβλητές απόφασης. Ο ΠΚΜΠ επιλύει το πρόβλημα της διανυσματικής βελτιστοποίησης που αποτελεί μία επέκταση της βαθμωτής βελτιστοποίησης (scalar optimization) με την οποία ασχολείται ο συμβατικός Μαθηματικός Προγραμματισμός με μία αντικειμενική συνάρτηση. Οταν επιπλέον οι περιορισμοί και οι αντικειμενικές συναρτήσεις είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών απόφασης τότε το πρόβλημα ανήκει στον Πολυκριτηριακό Γραμμικό Προγραμματισμό - ΠΚΓΠ (Multiple Objective Linear Programming, MOLP) που αποτελεί με τη σειρά του επέκταση του συμβατικού Γραμμικού Προγραμματισμού (ΓΠ). Το πρόβλημα του Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού (ΠΚΓΠ) Η εισαγωγή πολλών αντικειμενικών συναρτήσεων σ ένα πρόβλημα ΓΠ δημιουργεί το πρόβλημα της γραμμικής διανυσματικής μεγιστοποίησης (linear vector maximum problem). Με τον όρο μεγιστοποίηση εννοείται γενικότερα η αριστοποίηση αφού και η ελαχιστοποίηση μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μεγιστοποίηση με αλλαγή προσήμου. Η ανάλυση των προβλημάτων αυτών αποτελεί το αντικείμενο του ΠΚΓΠ. 21

22 Το πρόβλημα του ΠΚΓΠ μαθηματικά ορίζεται ως εξής: max {c 1 x = z 1 } max {c 2 x = z 2 }.... max {c p x = z p } υπό τους περιορισμούς x S = {x R n / Ax = b, x 0, b R m } S : το εφικτό χωρίο των περιορισμών n : ο αριθμός των μεταβλητών m : ο αριθμός των περιορισμών p : ο αριθμός των αντικειμενικών συναρτήσεων c i z i : το διάνυσμα γραμμής των συντελεστών της i αντικειμενικής συνάρτησης : η τιμή της i αντικειμενικής συνάρτησης Α : η μήτρα (m n) των συντελεστών b : το διάνυσμα (m 1) των σταθερών όρων (δεξί σκέλος περιορισμών) x : το διάνυσμα (n 1) των μεταβλητών απόφασης Οι μεταβλητές απόφασης εκφράζουν τα μεγέθη εκείνα του προβλήματος για τα οποία πρέπει να υπολογιστούν οι τιμές τους. Τα ήδη γνωστά μεγέθη του προβλήματος (μήτρα A, διανύσματα b και c i ) ονομάζονται και παράμετροι του προβλήματος. Οι αντικειμενικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις των μεταβλητών απόφασης, των οποίων επιδιώκεται η βελτιστοποίηση (μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση). Οι περιορισμοί είναι οι διάφορες σχέσεις (ισότητες ή ανισότητες και ) που πρέπει να πληρούν οι μεταβλητές απόφασης σύμφωνα με το πρόβλημα και οριοθετούν το εφικτό χωρίο S. Με τον όρο λύση ενός προβλήματος ΠΚΓΠ, εννοείται ο συνδυασμός των τιμών που λαμβάνουν οι μεταβλητές απόφασης. Αν η λύση αυτή ανήκει στο S (οι τιμές των μεταβλητών απόφασης ικανοποιούν τους περιορισμούς) τότε πρόκειται για εφικτή λύση του προβλήματος αλλιώς χαρακτηρίζεται ώς μη εφικτή λύση. 22

23 3. ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Η χωροθέτηση εγκαταστάσεων (facility location) αποτελεί ένα συνηθισμένο και πολύ σημαντικό πρόβλημα που απαιτεί λήψη αποφάσεων. Η πληθώρα των αποφάσεων που πρέπει να παρθούν πάνω σε προβλήματα επιλογής τόπου εγκατάστασης (π.χ. που θα εγκαταστήσουμε αεροδρόμια και λιμάνια, πυροσβεστικούς σταθμούς, σχολεία, νοσοκομεία, στάσεις λεωφορείων, εργοστάσια κ.λ.π.) κάνει ιδιαίτερα σημαντική την ανάλυση χωροθέτησης (location analysis) στα πλαίσια της διοίκησης λειτουργιών και της επιχειρησιακής έρευνας. Η σημαντικότητα της ανάλυσης χωροθέτησης πηγάζει από τους ακόλουθους παράγοντες: 1. Αποφάσεις χωροθέτησης παίρνονται συχνά σε όλα τα επίπεδα της ανθρώπινης οργάνωσης, από μεμονωμένα άτομα και οικογένειες μέχρι εταιρίες, κυβερνητικές υπηρεσίες ακόμα και παγκόσμιες. 2. Τέτοιες αποφάσεις συνήθως έχουν στρατηγική σημασία. Και τούτο διότι αφενός απαιτούν μεγάλα ποσά κεφαλαίων και αφετέρου τα οικονομικά τους αποτελέσματα είναι μακροπρόθεσμα. Στον ιδιωτικό τομέα οι αποφάσεις χωροθέτησης επηρεάζουν σημαντικά την ικανότητα μιας εταιρίας να συναγωνιστεί στην αγορά. Στο δημόσιο τομέα επηρεάζουν την αποτελεσματικότητα με την οποία προσφέρονται οι δημόσιες υπηρεσίες και την ικανότητα προσέλκυσης τόσο των νοικοκυριών όσο και άλλων οικονομικών δραστηριοτήτων. 3. Συχνά έχουν σαν αποτέλεσμα διάφορα οικονομικά φαινόμενα μεταξύ των οποίων συγκαταλέγονται η μόλυνση, κυκλοφορική συμφόρηση και οικονομική ανάπτυξη. 4. Τα μοντέλα χωροθέτησης συνήθως είναι εξαιρετικά δύσκολο να επιλυθούν. Ακόμα και τα πιο βασικά από αυτά είναι υπολογιστικά δυσεπίλυτα για μεγάλες απαιτούν πληροφοριακά συστήματα. Η υπολογιστική πολυπλοκότητα των μοντέλων χωροθέτησης είναι η κύρια αιτία που αυτά δεν αναπτύχθηκαν ευρέως έως ότου εξελίχθηκαν οι υπολογιστές. 23

24 Τέλος, η δομή των προβλημάτων χωροθέτησης (οι στόχοι, οι περιορισμοί και οι μεταβλητές) καθορίζονται κάθε φορά από το συγκεκριμένο πρόβλημα που εξετάζεται. Συνεπώς δεν υπάρχει ένα γενικό μοντέλο χωροθέτησης κατάλληλο για όλες τις υπάρχουσες εφαρμογές. Η μοντελοποίηση των προβλημάτων χωροθέτησης απαιτεί κατανόηση των πραγματικών λειτουργιών που πρόκειται να αντικατοπτριστούν στο μοντέλο. Τα μοντέλα πρέπει ν αντανακλούν κάθε πλευρά της λειτουργίας σε πραγματικές συνθήκες. Τα προβλήματα χωροθέτησης συχνά εμπεριέχουν αντικρουόμενους στόχους. Στόχος της μοντελοποίησης είναι ν αναγνωρίσει τους συμβιβασμούς μεταξύ των στόχων ενώ θα συλλαμβάνει όσο το δυνατό περισσότερο από το πραγματικό πρόβλημα. 3.1 Ταξινόμηση των προβλημάτων και μοντέλων χωροθέτησης Τα προβλήματα και τα μοντέλα χωροθέτησης μπορούν να ταξινομηθούν με πολλούς τρόπους. Η κατηγοριοποίηση μπορεί να βασιστεί: στην τοπογραφία που χρησιμοποιείται (π.χ. στα συνεχή έναντι των διακριτών προβλημάτων χωροθέτησης, προβλήματα με δένδρα έναντι αυτών που βασίζονται σε γενικά γραφικά, και προβλήματα που χρησιμοποιούν διαφορετικούς μετρητές απόστασης) είτε στον αριθμό των μονάδων που θα τοποθετηθούν. Μπορούν επίσης να κατηγοριοποιηθούν ανάλογα με τη φύση των δεδομένων εισόδου (π.χ. αν αυτά είναι στατικά ή δυναμικά, αν είναι γνωστά με βεβαιότητα ή πιθανολογούνται). Περαιτέρω κατηγοριοποίηση μπορεί να γίνει ανάλογα με το αν απαιτείται η επίτευξη ενός ή πολλαπλών στόχων κ.λ. 24

25 3.2 Εφαρμογές της ανάλυσης χωροθέτησης Η ανάπτυξη και η απόκτηση ενός νέου κέντρου παροχής υπηρεσιών είναι μια δαπανηρή έρευνα και ευαίσθητη στο χρόνο διαδικασία. Προτού αγοραστεί ή κατασκευαστεί ένα νέο κέντρο παροχής υπηρεσιών πρέπει να οριστούν κάποιες καλές θέσεις, πρέπει να οριστούν οι κατάλληλες προδιαγραφές των δυνατοτήτων των κέντρων παροχής υπηρεσιών και επιπλέον πρέπει να κατανεμηθούν μεγάλα ποσά κεφαλαίου. Tα υψηλά κόστη που συνδέονται με τη διαδικασία της Χωροθέτησης Κέντρων Παροχής Υπηρεσιών (Facility Location) μετατρέπουν την οποιαδήποτε έρευνα Χωροθέτησης (location project) σε μια διαδικασία μακράς διάρκειας. Έτσι, όλα τα κέντρα παροχής υπηρεσιών που θα τοποθετήσουμε αναμένεται να παραμείνουν σε εφαρμογή για ένα εκτεταμένο χρόνο. Ο καθορισμός των καλύτερων θέσεων για κάθε νέο κέντρο παροχής υπηρεσιών αποτελεί μια σημαντική στρατηγική πρόκληση. Τα προβλήματα της Χωροθέτησης Κέντρων Παροχής Υπηρεσιών περιλαμβάνουν την τοποθέτηση ενός ή περισσότερων κέντρων παροχής υπηρεσιών σε μια περιοχή όπου υπάρχει ζήτηση ενώ βελτιστοποιούμε την κύρια αντικειμενική συνάρτηση. Μια συχνή απλοποίηση αυτού του μετασχηματισμού είναι η αντικατάσταση της συνεχούς ζήτησης στην περιοχή με ένα διακεκριμένο σύνολο από σημεία ζήτησης (demand points) τα οποία το καθένα αναπαριστάνει μια υποπεριοχή. Η κύρια αιτία που γίνεται η αντικατάσταση αυτή είναι το ότι είναι ευκολότερο να κατασκευάσεις την αντικειμενική συνάρτηση βασιζόμενος σε ένα πεπερασμένο σύνολο από σημεία ζήτησης (demand points) παρά σε μια συνεχή συναρτησιακή ζήτηση (continuous functional demand). Συχνά, η αντικειμενική συνάρτηση συνίσταται σαν ένα σύνολο από όρους, ένα για κάθε σημείο ζήτησης. Στη συνεχή τυποποίηση, αυτό το άθροισμα αντικαθίσταται από ένα διπλό ολοκλήρωμα στην περιοχή. Οι εφαρμογές στα μοντέλα της Χωροθέτησης Κέντρων Παροχής Υπηρεσιών ποικίλουν. Μερικές από αυτές είναι η τοποθέτηση αποθηκών, εργοστασίων, νοσοκομείων, η λιανική αγορά αγαθών (retail outlet) και διάφορα άλλα κλασικά παραδείγματα. Συναντάμε επίσης εφαρμογές της Χωροθέτησης Κέντρων Παροχής Υπηρεσιών στην τοποθέτηση ηλεκτρονικών συνιστωσών (electronic components), σειρήνων συναγερμού, συστημάτων πυρόσβεσης, κεραιών ραντάρ, εξερευνητικών πετρελαιοπηγών κλπ. Αυτά ονομάζονται facilities (κέντρα παροχής υπηρεσιών, 25

26 παροχές, υπηρεσίες). Σκοπός της Χωροθέτησης Κέντρων Παροχής Υπηρεσιών είναι να βρεθεί η καλύτερη θέση (ή θέσεις) για κάθε κέντρο παροχής υπηρεσιών. Επίσης, πολλές εφαρμογές της Ανάλυσης Χωροθέτησης αναφέρονται στην τοποθέτηση ενός ή περισσότερων κέντρων παροχής υπηρεσιών με τέτοιο τρόπο ώστε να βελτιστοποιούνται κάποια σταθερά αντικείμενα όπως η ελαχιστοποίηση του κόστους μεταφοράς, η προώθηση ισοδύναμων υπηρεσιών στους πελάτες επιτυγχάνοντας το κέρδος των περισσοτέρων μετοχών της αγοράς. Τα προβλήματα της Χωροθέτησης Κέντρων Παροχής Υπηρεσιών αποτελούν την αφορμή για τη λύση διαφόρων γεωμετρικών και συνδυαστικών προβλημάτων. Η έρευνα των προβλημάτων της Χωροθέτησης Κέντρων Παροχής Υπηρεσιών συνδέει πολλά ερευνητικά πεδία όπως τις εφαρμογές σε Ερευνητικές και Διοικητικές Επιστήμες, τη Μηχανολογία Μηχανικών σε βιομηχανίες, τη Γεωγραφία, τα Οικονομικά, την Επιστήμη των Υπολογιστών, τα Μαθηματικά, το marketing, την Ηλεκτρολογία Μηχανικών, τον Μη Γραμμικό Προγραμματισμό και άλλα σχετικά πεδία. Επιπλέον, η Χωροθέτηση Κέντρων Παροχής Υπηρεσιών είναι ένα σημαντικό στοιχείο για το σχεδιασμό στρατηγικών για ένα γενικό φάσμα των δημόσιων και ιδιωτικών φιρμών. Όταν μια επιχείρηση θέλει να βγάλει στην αγορά κάποια νέα προϊόντα, ο κατασκευαστής θα πρέπει να διαλέξει τον τόπο που θα τοποθετηθεί μια αποθήκη ή ένα city planner το οποίο περιλαμβάνει π.χ τους πυροσβεστικούς σταθμούς. Οι σχεδιαστές στρατηγικών καλούνται συχνά να πάρουν τις ανάλογες χωρικές αποφάσεις κατανομής. Επειδή οι τάσεις της αγοράς εξελίσσονται και πολλοί περιβαλλοντικοί παράγοντες αλλάζουν, η ανάγκη για επανατοποθετήσεις (relocations) εξαπλώνεται και οι προσαρμοσμένες υπηρεσίες εξασφαλίζουν την εξέλιξη των νέων απαιτήσεων του σχεδιασμού. Οι χωροθετικές αποφάσεις (location decisions) εμφανίζονται και αυτές σε μια ποικιλία προβλημάτων του ιδιωτικού και του δημόσιου τομέα. Στον δημόσιο τομέα ενδεικτικά μπορεί να αναφερθεί η χωροθέτηση πυροσβεστικών σταθμών, αστυνομικών τμημάτων και ασθενοφόρων. Και στις τρεις περιπτώσεις η χωροθέτηση είναι δυνατόν να μεταφραστεί σε αύξηση των πιθανοτήτων καταστροφής περιουσίας ή / και απώλειας ζωής. Στον ιδιωτικό τομέα, οι βιοτεχνίες και οι βιομηχανίες θα πρέπει να χωροθετήσουν γραφεία, χώρους παραγωγής, κέντρα διανομής και καταστήματα πώλησης. Σε αυτήν την περίπτωση εσφαλμένες χωροθετικές αποφάσεις θα οδηγήσουν σε αύξηση του 26

27 επενδυτικού κόστους και μείωση της ανταγωνιστικότητας της επιχείρησης. Επομένως, η επιτυχία ή η αποτυχία λειτουργιών του δημόσιου και του ιδιωτικού τομέα εξαρτάται σε σημαντικό βαθμό από τις θέσεις που θα επιλεγούν για τις συγκεκριμένες λειτουργίες. Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι και τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση και την ανεύρεση των βέλτιστων χωροθετικών προτύπων και της χωρικής αλληλεπίδρασης. 27

28 4. ΜΟΝΤΕΛΑ ΧΩΡΟΘΕΤΗΣΗΣ Στη συνέχεια αναφερόμαστε σε επτά κλασικά μοντέλα χωροθέτησης. 4.1 Προβλήματα κάλυψης (Covering problems) Σε πολλά προβλήματα χωροθέτησης η παροχή υπηρεσιών στους πελάτες (από τα υπάρχοντα κέντρα εξυπηρέτησης) εξαρτάται από την απόσταση του πελάτη από το κέντρο παροχής υπηρεσίας. Οι πελάτες γενικά, αν και όχι πάντα, απευθύνονται στο πλησιέστερο κέντρο εξυπηρέτησης. Συχνά, η υπηρεσία θεωρείται ικανοποιητική αν ο πελάτης βρίσκεται μέσα σε μια δεδομένη απόσταση από το κέντρο παροχής της και ανεπαρκής όταν η απόσταση υπερβαίνει μια κρίσιμη τιμή. Αυτό οδηγεί στην έννοια της κάλυψης (coverage). Με κάθε σημείο ζήτησης i σχετίζεται ένα σύνολο Ni από υποψήφια (εναλλακτικά) κέντρα παροχής υπηρεσίας j τα οποία μπορούν να εξυπηρετήσουν ή να καλύψουν το σημείο ζήτησης. Το κλειδί για την τοποθέτηση κάποιων κέντρων παροχής υπηρεσιών είναι η «κάλυψη»(«coverage»). Για να χαρακτηρίζεται ένα κέντρο παροχής υπηρεσιών ως επικαλυπτόμενο (covered) πρέπει να χαρακτηρίζεται απαραίτητα και από ένα συγκεκριμένο χρόνο. Τα προβλήματα κάλυψης χωρίζονται σε δύο κύριες ομάδες. Τα προβλήματα για τα οποία: (α) η κάλυψη απαιτείται (β) η κάλυψη βελτιστοποιείται Δύο τέτοια προβλήματα στα οποία φαίνεται αυτή η διαφορά είναι: (α) το πρόβλημα Συνόλου Κάλυψης (Locating Set Covering Problem) (β) το πρόβλημα Μέγιστης Κάλυψης (Maximal Covering Problem) 28

29 4.1.1 Μοντέλο Συνόλου Κάλυψης (Location Set Covering Model) Πρόκειται ίσως για το πιο απλό μοντέλο ανάλυσης χωροθέτησης. Το πρόβλημα του συνόλου κάλυψης είναι να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος της τοποθέτησης ενός αριθμού κέντρων εξυπηρέτησης από ένα σύνολο υποψηφίων κέντρων, έτσι ώστε κάθε σημείο ζήτησης να καλύπτεται από ένα τουλάχιστον κέντρο παροχής υπηρεσίας. Το μοντέλο αυτό αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως μοντέλο Συνόλου Κάλυψης, γιατί δημιουργεί για όλα τα σημεία ζήτησης ένα σύνολο από κέντρα παροχής υπηρεσιών, τα οποία είναι χωροθετημένα εντός ενός ορίου απόστασης ή χρόνου από κάθε σημείο ζήτησης, ώστε να καλύπτουν όλα τα σημεία ζήτησης. Ο κύριος σκοπός του μοντέλου συνόλου κάλυψης (Location Set Covering Model, LSCM) είναι η πλήρης κάλυψη κάθε σημείου ζήτησης στην υπό εξέταση περιοχή. Στο πρόβλημα του Συνόλου Κάλυψης το αντικείμενο είναι να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος της τοποθέτησης του κέντρου παροχής υπηρεσιών έτσι ώστε ένα συγκεκριμένο επίπεδο κάλυψης να επιτευχθεί. Το πρόβλημα αυτό καθορίζει τον ελάχιστο αριθμό και τις θέσεις των κέντρων παροχής υπηρεσιών που χρειάζονται για την ικανοποίηση (κάλυψη) όλων των απαιτήσεων χρησιμοποιώντας μία ορισμένη μέγιστη αποδεκτή απόσταση υπηρεσίας ή έναν μέγιστο αποδεκτό χρόνο S (coverage distance/time) δηλ. για κάθε σημείο ζήτησης να υπάρχει ένα κέντρο παροχής υπηρεσιών εντός απόστασης ή χρόνου t ij (σε απόσταση μικρότερη ή ίση με t ij ). Για τη μαθηματική τυποποίηση αυτού του προβλήματος ορίζουμε τα εξής: Είσοδοι: α ij : παίρνει την τιμή 1 αν η υποψήφια θέση j μπορεί να καλύψει την ζήτηση i f j : το σταθερό κόστος τοποθέτησης ενός κέντρου παροχής υπηρεσιών στον κόμβο j. 29

30 Οι μεταβλητές απόφασης (decision variables) είναι οι εξής: Έτσι, βάσει των πιο πάνω συμβολισμών, το πρόβλημα του Συνόλου Κάλυψης τυποποιείται ως εξής: MINIMIZE f j X j (1) j υπό τους περιορισμούς: aij X j 1 i (2) j X J 0, 1 j (3) Η αντικειμενική συνάρτηση (1) περιγράφει την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους της τοποθέτησης των κέντρων παροχής υπηρεσιών που έχουν επιλεγεί. Ο περιορισμός (2) απαιτεί ότι κάθε ζήτηση i να καλύπτεται από ένα τουλάχιστον κέντρο παροχής υπηρεσιών. Η πιο πάνω τυποποίηση δεν κάνει διαχωρισμό ανάμεσα στους βασικούς κόμβους και το μέγεθος της ζήτησης. Κάθε κόμβος είτε περιλαμβάνει έναν απλό πελάτη είτε ένα μεγάλο τμήμα της ολικής ζήτησης πρέπει να επικαλυφθεί με μία ειδική απόσταση ανεξάρτητα από το κόστος. Αν η επικαλυπτόμενη απόσταση S είναι μικρή, όσον αφορά την διάταξη των κόμβων ζήτησης (demand nodes), η περιγραφή της επικάλυψης μπορεί να αναφέρεται σε ένα μεγάλο αριθμό κέντρων παροχής υπηρεσιών οι οποίες θα τοποθετηθούν. Επιπρόσθετα, αν ο πιο απομακρυσμένος κόμβος (outlying node) έχει ό μικρή ζήτηση, ο λόγος μπορεί να μεγαλώσει ό ά ί πολύ. 30

31 4.1.2 Το μοντέλο μέγιστης κάλυψης (Maximum covering location model) Το μοντέλο συνόλου κάλυψης είναι πραγματικά οριακός σταθμός στην ανάπτυξη των χωροθετικών μοντέλων. Ένα από τα βασικά προβλήματα που σχετίζονται με το μοντέλο συνόλου κάλυψης είναι ότι ο αριθμός των κέντρων παροχής υπηρεσιών που χρειάζονται για να καλύψουν όλα τα σημεία ζήτησης είναι πιθανό να υπερβαίνει τον αριθμό των κέντρων που πρακτικά μπορούν να τοποθετηθούν (για οικονομικούς και άλλους λόγους). Επιπλέον, το μοντέλο του συνόλου κάλυψης αντιμετωπίζει όλα τα σημεία ζήτησης με πανομοιότυπο τρόπο. Τα δύο αυτά θέματα οδήγησαν στη θεώρηση ενός δεδομένου (συγκεκριμένου) αριθμού κέντρων εξυπηρέτησης που πρέπει να τοποθετηθούν, τα οποία μεγιστοποιούν το ποσό της καλυπτόμενης ζήτησης (σε αντίθεση με τον αριθμό των καλυπτόμενων σημείων ζήτησης). Πρόκειται για το μοντέλο Μέγιστης Κάλυψης (maximum covering location model) που πρότειναν οι Church και Revelle (1974). Το πρόβλημα Μέγιστης Κάλυψης μεγιστοποιεί το ποσό της επικαλυπτόμενης ζήτησης μέσα στην αποδεκτή απόσταση υπηρεσίας (acceptable service distance) S τοποθετώντας ένα σταθερό αριθμό από κέντρα παροχής υπηρεσιών. Ουσιαστικά, το πρόβλημα αυτό μεγιστοποιεί τον αριθμό των χρηστών που μπορούν να ικανοποιηθούν από την χωροθέτηση Ρ-κέντρων παροχής υπηρεσιών. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να εκφραστεί ως εξής: Να χωροθετηθούν Ρ-κέντρα παροχής υπηρεσιών σε σημεία ενός δικτύου, έτσι ώστε το μέγιστο μέρος (όχι το σύνολο) του πληθυσμού / χρηστών να βρίσκεται μέσα σ ένα ορισμένο χρόνο ή απόσταση. Το πρόβλημα αυτό τυποποιείται μαθηματικά ως εξής: Ορίζουμε: h i : η ζήτηση / απαίτηση του πελάτη στον κόμβο i Ρ : ο αριθμός των κέντρων παροχής υπηρεσιών που θα τοποθετηθούν 31

32 Οι μεταβλητές απόφασης (decision variables) είναι οι εξής: Bάσει των πιο πάνω συμβολισμών, το πρόβλημα Μέγιστης Κάλυψης τυποποιείται ως εξής: ΜΑΧΙΜΙΖΕ h i Z i (4) i υπό τους περιορισμούς: Z i a X i (5) j ij j X j P (6) j X J 0, 1 j (7) Z i 0, 1 i (8) Η αντικειμενική συνάρτηση (4)περιγράφει την μεγιστοποίηση του ποσού απαίτησης (ζήτησης) που καλύπτεται. Ο περιορισμός (5) καθορίζει ποιοι κόμβοι ζήτησης (demand nodes) καλύπτονται μέσα στην αποδεκτή απόσταση υπηρεσιών. Κάθε κόμβος i μπορεί να θεωρηθεί επικαλυμμένος (covered) (με Z i = 1) εάν υπάρχει κάποιο κέντρο παροχής υπηρεσιών το οποίο να βρίσκεται επί κάποιου τόπου j που είναι μέσα στο S του κόμβου i. Εάν κανένα τέτοιο κέντρο παροχής υπηρεσιών δεν τοποθετείται επί κάποιου τόπου j S, το δεξί μέλος του περιορισμού (5) θα είναι μηδέν, αναγκάζοντας κατά συνέπεια το Ζ i να μηδενιστεί. Ο περιορισμός (6) καθορίζει ότι δεν μπορούμε να τοποθετήσουμε περισσότερα από P κέντρα παροχής υπηρεσιών. Οι περιορισμοί (7) και (8) είναι οι περιορισμοί για τις μεταβλητές απόφασης. 32

33 4.2 Προβλήματα Διακέντρων (Center problems) Μια άλλη κατηγορία προβλημάτων χωροθέτησης είναι η κλάση των προβλημάτων P-Διακέντρων (Ρ-center). Σε τέτοια προβλήματα με βελτιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης επιδιώκουμε την τοποθέτηση ενός δεδομένου αριθμού κέντρων παροχής υπηρεσιών (ενός ή Ρ) με τέτοιο τρόπο ώστε ελαχιστοποιείται η μέγιστη απόσταση (ή χρόνος) ενός οποιουδήποτε σημείου από κοντινότερο κέντρο παροχής υπηρεσιών αυτού. Αυτή η απόσταση (ή χρόνος) ονομάζεται απόσταση (ή χρόνος) επικάλυψης. Τέτοια προβλήματα είναι κατάλληλα για τον σχεδιασμό της χωροθέτησης κέντρων παροχής υπηρεσιών «επείγουσας βοήθειας», όπως για παράδειγμα Κέντρων Υγείας, Πυροσβεστικών σταθμών, Αστυνομικών τμημάτων κ.λ.π. Δηλαδή, αν παραστήσουμε με δίκτυο ένα οδικό δίκτυο, με τις κορυφές του να παριστάνουν κοινότητες, αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα να χωροθετηθούν στην «άριστη» θέση νοσοκομείο, ή ένας πυροσβεστικός σταθμός ή ένα αστυνομικό τμήμα ή τελικά οποιαδήποτε υπηρεσία παροχής κατεπειγουσών υπηρεσιών. Στην γενική περίπτωση του προβλήματος έχουμε να χωροθετήσουμε ένα μεγάλο αριθμό τέτοιων κέντρων παροχής υπηρεσιών. Σ αυτήν την περίπτωση, η πλέον απομακρυσμένη περιοχή του γραφήματος, πρέπει να είναι προσιτή το λιγότερο από ένα κέντρο παροχής υπηρεσιών μέσα σε μια ελάχιστη απόσταση. Αυτά τα προβλήματα που απαιτούν την χωροθέτηση κέντρων παροχής υπηρεσιών και ο αντικειμενικός σκοπός (αντικειμενική συνάρτηση) είναι η ελαχιστοποίηση της μεγαλύτερης απόστασης οποιασδήποτε κορυφής από το πλησιέστερο κέντρο παροχής υπηρεσιών, ονομάζονται minimax προβλήματα χωροθέτησης (Minimax location problems). Οι θέσεις των κέντρων παροχής υπηρεσιών ονομάζονται κέντρα (centers) του γραφήματος. Στο σχήμα που ακολουθεί απεικονίζονται οι σχέσεις μεταξύ των μοντέλων κάλυψης, μέγιστης κάλυψης και διακέντρων. 33

34 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΛΥΨΗΣ (SET COVERING PROBLEM) ΔΕΔΟΜΕΝΑ: ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ: Σημεία ζήτησης Εναλλακτικές τοποθεσίες Απόσταση μεταξύ σημείων ζήτησης και εναλλακτικών θέσεων Ο ελάχιστος αριθμός θέσεων για να καλυφθούν ΟΛΑ τα σημεία ζήτησης ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1) Απαιτούνται πολλές θέσεις 2) Ανάγκη για χαλάρωση των προδιαγραφών του προβλήματος Χαλάρωση των απαιτήσεων της της συνολικής ζήτησης Χαλάρωση της απόστασης κάλυψης ΜΟΝΤΕΛΟ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΛΥΨΗΣ (MAXIMUM COVERING PROBLEM) ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΑΚΕΝΤΡΩΝ (MINIMAX OR CENΤER PROBLEM) ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Σημεία ζήτησης Αριθμός θέσεων Ρ Επίπεδα ζήτησης στα σημεία ζήτησης ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Σημεία ζήτησης Υποψήφιες θέσεις Αποστάσεις Αριθμός θέσεων Ρ ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ: Θέσεις των Ρ κέντρων παροχής υπηρεσιών που μεγιστοποιούν την καλυπτόμενη ζήτηση ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ: Χωροθέτηση Ρ κέντρων παροχής υπηρεσιών έτσι ώστε όλη η ζήτηση να καλύπτεται και η απόσταση κάλυψης να ελαχιστοποιείται Σχήμα 4: Σχέσεις μεταξύ των μοντέλων κάλυψης, μέγιστης κάλυψης και διακέντρων 34

35 Τα προβλήματα διακέντρων (center problems) μπορούν να διακριθούν στις ακόλουθες δύο κατηγορίες: 1. vertex center problems: τα προβλήματα στα οποία ζητείται η χωροθέτηση του κέντρου παροχής υπηρεσιών μόνο στους κόμβους του δικτύου (κορυφές του γραφήματος), και 2. absolute center problems: τα προβλήματα στα οποία ζητείται η χωροθέτηση του κέντρου παροχής υπηρεσιών οπουδήποτε στο δίκτυο (είτε στις κορυφές του γραφήματος είτε πάνω στις ακμές του γραφήματος) Στη συνέχεια αναφερόμαστε εν συντομία στα vertex center problems Προβλήματα Διακέντρων κορυφής (vertex center problems) Εάν οι θέσεις των κέντρων παροχής υπηρεσιών είναι περιορισμένες στους κόμβους του δικτύου, τα προβλήματα αυτά ονομάζονται προβλήματα Διακέντρων κορυφής (vertex center problems και node center problems). Το πρόβλημα αυτό τυποποιείται μαθηματικά ως εξής: Ορίζουμε: d ij : η απόσταση ανάμεσα στους κόμβους κατανομής i και τις πιθανές θέσεις j h i : η ζήτηση / απαίτηση του πελάτη στον κόμβο i Ρ : ο αριθμός των κέντρων παροχής υπηρεσιών που θα τοποθετηθούν 35

36 Οι μεταβλητές απόφασης (decision variables) είναι οι εξής: Υ ij : το ποσοστό της ζήτησης στον κόμβο i που εξυπηρετείται από ένα κέντρο παροχής υπηρεσιών στον κόμβο j W: η μέγιστη απόσταση μεταξύ του κόμβου ζήτησης (demand node) και του κοντινότερου κέντρου παροχής υπηρεσιών. Bάσει των πιο πάνω συμβολισμών, το πρόβλημα Διακέντρων κορυφής (vertex P-center problem) τυποποιείται ως εξής: MINIMIZE W (9) υπό τους περιορισμούς: Yij 1 i (10) j X j P (11) Y j X i j (12) ij j, W d i (13) j ij X J 0, 1 j (14) Y ij 0 i, j (15) Η αντικειμενική συνάρτηση (9) είναι απλά η ελαχιστοποίηση της μέγιστης απόστασης μεταξύ οποιουδήποτε κόμβου ζήτησης και του κοντινότερου κέντρου παροχής υπηρεσιών. Ο περιορισμός (10) δείχνει ότι κάθε ζήτηση προσδιορίζεται σε κάποια θέση του κέντρου παροχής υπηρεσιών. O περιορισμός (11) απαιτεί ότι, ακριβώς Ρ υπηρεσίες θα τοποθετηθούν ενώ ο περιορισμός (12) επιτρέπει την εισχώρηση μόνο των θέσεων στις οποίες έχουν τοποθετηθεί τα κέντρα παροχής υπηρεσιών. Ο 36

37 περιορισμός (13) ορίζει την μέγιστη απόσταση μεταξύ οποιουδήποτε κόμβου απαίτησης i και του κοντινότερου κέντρου παροχής υπηρεσιών του j. Τέλος, οι περιορισμοί (14) και (15) είναι περιορισμοί των μεταβλητών απόφασης. 4.3 Πρόβλημα p-διασποράς (p- dispersion) Το πρόβλημα p-διασποράς (p-dispersion) τοποθετεί κέντρα παροχής υπηρεσιών για να μεγιστοποιήσει την ελάχιστη απόσταση ανάμεσα σε οποιοδήποτε ζευγάρι των κέντρων παροχής υπηρεσιών. 4.4 Προβλήματα Διαμέσων (Median Problems) Σε μερικά προβλήματα απαιτείται να γίνει η χωροθέτηση ενός κέντρου παροχής υπηρεσιών σε κορυφή ενός δοσμένου γραφήματος κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα όλων των συντομότερων αποστάσεων των κορυφών του από αυτή την υπηρεσία. Η άριστη χωροθέτηση του κέντρου παροχής υπηρεσιών ονομάζεται διάμεσος (median) του γραφήματος και λόγω της φύσης της αντικειμενικής συνάρτησης αυτή η κατηγορία προβλημάτων ονομάζεται minsum προβλήματα χωροθέτησης (minsum location problems). Το πρόβλημα παρουσιάζεται στην πράξη κάτω από διάφορες μορφές: χωροθέτηση κέντρων διακοπτών σε τηλεφωνικά δίκτυα, υποσταθμοί ηλεκτρικής ενέργειας σε δίκτυα, αποθήκες διανομής σε οδικό δίκτυο (όπου οι κορυφές παριστάνουν τους πελάτες). Οι πιο πάνω είναι μερικές από τις περιοχές εφαρμογής του προβλήματος minsum. Η θεωρητική και ιστορική απαρχή της επίλυσης προβλημάτων χωροθέτησης κατανομών στα πλαίσια της θεωρίας γραφημάτων είναι ο αλγόριθμος Hakimi (1964) ο 37

38 οποίος προσπάθησε να λύσει τη χωροθέτηση κέντρων σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστημα. Ένα παράδειγμα στο οποίο ζητείται να βρεθεί η διάμεσος του γραφήματος, είναι αυτό της εξυπηρέτησης ενός αριθμού πελατών από μια μόνο αποθήκη. Οι πελάτες μπορούν να ομαδοποιηθούν κατά γειτονιές, έτσι ώστε κάθε ομάδα πελατών να απαιτεί ένα συνολικό αριθμό φορτώσεων. Έτσι το φορτηγό φορτώνει από την αποθήκη, διανέμει τα εμπορεύματα σε μια ομάδα πελατών και γυρίζει στην αποθήκη. Μπορούμε να παραστήσουμε τις ομάδες πελατών με κορυφές του γραφήματος και το οδικό δίκτυο με τις ακμές του γραφήματος. Στην πράξη, σε κάθε ομάδα πελατών μπορεί να αντιστοιχηθεί ένα βάρος wi, που να αντιπροσωπεύει τη «σπουδαιότητα» του πελάτη (π.χ. μπορεί να είναι ανάλογο προς την ετήσια ζήτηση αυτού του πελάτη ή να είναι η συχνότητα με την οποία το φορτηγό πρόκειται να επισκεφθεί αυτήν την ομάδα πελατών για να ικανοποιήσει την ζήτηση). Ο αντικειμενικός σκοπός θα είναι να βρεθεί εκείνη η θέση για την χωροθέτηση της αποθήκης ώστε το σύνολο των χιλιομέτρων, που θα καλύψει το φορτηγό να είναι ελάχιστο. Ένας σημαντικός τρόπος για να μετρήσουμε την αποτελεσματικότητα της χωροθέτησης ενός κέντρου παροχής υπηρεσιών είναι να καθορίσουμε την απόσταση που χρειάζεται να διανύσει κάποιος που βρίσκεται σε ένα σημείο και θέλει να επισκεφτεί το συγκεκριμένο κέντρο παροχής υπηρεσιών. Με τον όρο κόστος της απόστασης εννοούμε τον χρόνο του ταξιδιού και την απόσταση του ταξιδιού από μια τοποθεσία / θέση σε άλλη. Όσο η μέση απόσταση ταξιδιού αυξάνεται, η αποδοχή της τοποθέτησης μειώνεται και έτσι η αποτελεσματικότητα της συγκεκριμένης τοποθέτησης μειώνεται. Αυτή η σχέση ισχύει κυρίως για κέντρα παροχής υπηρεσιών όπως οι βιβλιοθήκες, τα σχολεία και τα κέντρα υπηρεσιών άμεσης ανάγκης. Ένας ισοδύναμος τρόπος για να μετρήσουμε την αποτελεσματικότητα της χωροθέτησης όταν οι απαιτήσεις δεν επηρεάζονται από το επίπεδο του κέντρου παροχής υπηρεσιών είναι η μέτρηση της απόστασης ανάμεσα στους κόμβους ζήτησης και τα κέντρα παροχής υπηρεσιών. Αυτό γίνεται συνδέοντας την ποσότητα της κάθε απαίτησης και υπολογίζοντας το ολικό βάρος της σταθμικής απόστασης ανάμεσα στη ζήτηση και το συγκεκριμένο κέντρο παροχής υπηρεσιών. 38