Αναστασία Σολέα Διατριβή Μάστερ

Transcript

1 Περίληψη: Η Γραφίνη (Graphene), το μοναδικό πραγματικά δισδιάστατο υλικό που έχουμε στη Φυσική Συμπυκνωμένη Ύλης (ή, γενικότερα, που ξέρουμε στη Φύση), έχει χαρακτηρισθεί τα τελευταία λίγα χρόνια ως το υλικό-θαύμα ( wonder material ). Παρόλο που ο βασικός λόγος είναι ότι έχει ιδιότητες ιδιαίτερα κατάλληλες για εφαρμογές (είτε συμβατικές είτε εξωτικές) στην τεχνολογία και μάλιστα σε μαζική βιομηχανική παραγωγή σύμφωνα με τρέχουσες εκτιμήσεις εν τούτοις χαρακτηρίζεται και από πολλές μη-συμβατικές ιδιότητες, που η μελέτη τους οδηγεί σε βαθύτερη κατανόηση θεμελιακής Φυσικής. Στη Γραφίνη, για παράδειγμα, οι φορείς φορτίου (ηλεκτρόνια και οπές) συμπεριφέρονται ως Σχετικιστικά σωματίδια (ικανοποιούν μια εξίσωση του Dirac αντί για την εξίσωση του Schrödinger) και μάλιστα ως σωματίδια με μηδενική μάζα (αλλά με ταχύτητα του φωτός περίπου 300 φορές μικρότερη από την κανονική ταχύτητα του φωτός c). Επομένως έχει κανείς τη δυνατότητα και πειραματικά σε ένα μικρό εργαστήριο να μελετήσει αρκετά θέματα που αφορούν Σωματιδιακή Φυσική, Κοσμολογία και γενικότερα θέματα της Φυσικής Υψηλών Ενεργειών. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό υπάρχει σε όλα και έντονο τοπολογικό περιεχόμενο, και αυτό αναδεικνύεται στην εντέλεια με την εμπλοκή του Κβαντικού Φαινομένου Hall (Quantum Hall Effect, QHE). Σχετικά με το QHE, και ιδιαίτερα το Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall (IQHE), παρόλο ότι αυτό ανακαλύφθηκε το 1980, όσο περνάνε τα χρόνια η θεμελιώδης σημασία του συνειδητοποιείται όλο και περισσότερο. Για παράδειγμα, τώρα κατανοούμε ότι ένα σύστημα IQHE ήταν το πρώτο παράδειγμα ενός Τοπολογικού Μονωτή, μιας νέας κατάστασης της Ύλης που χαρακτηρίσθηκε μόλις πρόσφατα (μαζί με νέα υλικά που ανακαλύφθηκαν πρώτα θεωρητικά και αμέσως μετά πειραματικά τα τελευταία λίγα χρόνια). Αυτή η νέα κατάσταση της Ύλης βασίζεται σε τοπολογικές ιδιότητες και έννοιες (και οι ιδιότητές της και τα διάφορα σχετικά φαινόμενα έχουν προέλευση τοπολογική, και άρα είναι όλα εξαιρετικά ευσταθή μερικά επιζώντας και σε κλασικές συνθήκες!) και όχι σε κάποιο Σπάσιμο Συμμετρίας ως συνήθως (όπως συμβαίνει π.χ. σε κρυστάλλους, σιδηρομαγνήτες, Υπεραγωγούς κλπ). Στη Γραφίνη, η εμφάνιση του IQHE ήταν αρχικά έκπληξη το δείχνει το γεγονός ότι το φαινόμενο έχει ονομασθεί «Ανώμαλο» γιατί προκύπτει πειραματικά ότι εμφανίζεται σε ειδικές ημιακέραιες τιμές κάποιας παραμέτρου (αντί για ακέραιες τιμές όπως συμβαίνει στο συμβατικό IQHE). Επίσης να πούμε ότι παρατηρείται και σε θερμοκρασία δωματίου! (παρ όλη την κβαντικότητα του φαινομένου). Σε αυτή τη Διατριβή έχουμε προσπαθήσει να εμβαθύνουμε στη Φυσική αυτού του ανώμαλου φαινομένου, σε συνάρτηση πάντα με τις Σχετικιστικές ιδιαιτερότητες της Γραφίνης, αλλά και των τοπολογικών πτυχών που κρύβονται στο IQHE (και στο συμβατικό, αλλά και στην έκφρασή του στη Γραφίνη). Είναι ίσως σημαντικό να επισημάνουμε ότι η παρούσα Διατριβή δεν είναι στο επίπεδο μιάς Διπλωματικής Εργασίας Προπτυχιακού επιπέδου με στόχο την επιφανειακή (και εγκυκλοπαιδικού τύπου) περιγραφή μιας ομάδας εξωτικών ιδιοτήτων της Γραφίνης. Αυτό έχει γίνει καλά στη βιβλιογραφία τα τελευταία χρόνια: έχουν γραφτεί αρκετά και εκλαϊκευμένα άρθρα πρόσφατα, όπως π.χ. πάνω στο Παράδοξο Klein (ή καλύτερα Klein Tunnelling), ή στο φαινόμενο Zitterbewegung. Φαίνεται όμως ότι καλά άρθρα στα θέματα που καταπιάνει αυτή η Διατριβή (άρθρα δηλ. που να μπορούν να διαβασθούν και από μη-ειδικούς στον τομέα, και να είναι γραμμένα με λίγο παιδαγωγικό χαρακτήρα) δεν έχουν ακόμα κατά τη γνώμη μας γραφτεί. Γι αυτό και κύριος στόχος αυτής της Διατριβής Μάστερ είναι, μέσα από μια σύνθεση (αλλά και λεπτομερειακή ανάλυση) διαφορετικών (και εξειδικευμένων) μελετών να παρουσιασθεί μια εικόνα των γενικών τοπολογικών πτυχών του φαινομένου αυτού (και της έκφρασής του στη Γραφίνη) που να έχει συνοχή. Σελίδα 1 από 201

2 Στο τέλος της Διατριβής και πέρα από τον κύριο στόχο της παρουσιάζoνται πρωτότυπα αποτελέσματα μιάς προκαταρκτικής προσπάθειας να μελετηθεί το περιβάλλον της Γραφίνης με ένα τρόπο πιο εύκολο από το συνηθισμένο (της προσέγγισης Tight-Binding): δίκτυα πολλών μονοδιάστατων αγώγιμων δρόμων που είναι συνδεδεμένοι με ένα τρόπο που δημιουργεί τη δομή της Γραφίνης (ένα δίκτυο Γραφίνης ) επιλύονται ακριβώς ως προς το ενεργειακό τους φάσμα (με χρήση ουσιαστικά γενικευμένων κβαντικών κανόνων Kirchoff). Σε ένα τέτοιο μοντέλο (με πολλές εκτεταμένες καταστάσεις που διαχωρίζονται πάνω σε κόμβους μοντέλο που είναι ουσιαστικά στο αντιδιαμετρικό όριο από αυτό της συνηθισμένης προσέγγισης Tight-Binding όπου τον κύριο λόγο έχουν ισχυρά-εντοπισμένες ή δέσμιες καταστάσεις) προσφέρουμε κάποια προκαταρκτικά αποτελέσματα που φαίνεται ότι προσδίδουν σε πολλές από τις ιδιότητες της Γραφίνης μια ευρύτερη γενικότητα, προερχόμενες από τη βασική εξαγωνική συμμετρία και όχι από τις λεπτομέρειες των αλληλεπιδράσεων. Σελίδα 2 από 201

3 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή... 5 Ανώμαλο Κβαντικό φαινόμενο Hall... 7 Κεφάλαιο 2. Η κρυσταλλική δομή της γραφίνης Κεφάλαιο 3. Το μοντέλο tight-binding στη γραφίνη Οι ενεργειακές ζώνες τύπου Ένα άτομο ανά στοιχειώδη κυψελίδα Δύο άτομα ανά στοιχειώδη κυψελίδα γραφίνη Εξίσωση Schrödinger Ιδιοτιμές ενέργειας Λύση για τη γραφίνη Πλησιέστεροι γείτονες Συμμετρικό μοντέλο Ασύμμετρο μοντέλο Δεύτεροι πλησιέστεροι γείτονες Παρακάτω πλησιέστεροι γείτονες Κεφάλαιο 4. Σημεία Dirac Κώνοι Dirac Σημεία Dirac Πώς προκύπτουν οι κώνοι Dirac Triangular Warping στην γραφίνη Ιδιοσυναρτήσεις στη γειτονιά των σημείων Dirac Τα δύο σημεία Dirac μαζί ο ενοποιημένος συμβολισμός Κεφάλαιο 5. Χειραλικότητα (Chirality) ή Ελικότητα (Helicity) Κεφάλαιο 6. Φάση Berry Αδιαβατικό Θεώρημα Η φάση του Berry σε σύστημα με χρονική εξάρτηση μέσω παραμέτρων Η φάση του Berry στη γραφίνη Η διακριτή γεωμετρική φάση του Pancharatnam Κεφάλαιο 7. Κυκλοτρονική Ενεργός Μάζα (Cyclotron Effective Mass), Πυκνότητα καταστάσεων και φύση του υλικού γραφίνη Κεφάλαιο 8. Σχετικιστικά σωματίδια με σπιν Εξίσωση Dirac Κεφάλαιο 9. Σωματίδιο σε μαγνητικό πεδίο Στάθμες Landau σε επίπεδο κυματοσυναρτήσεων Μη σχετικιστικά επίπεδα Landau Σχετικιστικά επίπεδα Landau Γραφίνη Στάθμες Landau με αλγεβρική μέθοδο τελεστών και kets Μη σχετικιστικά επίπεδα Landau Σχετικιστικά επίπεδα Landau Σελίδα 3 από 201

4 Ημικλασσική θεώρηση των σταθμών Landau Εκφυλισμός των σταθμών Landau Κεφάλαιο 10. Ακέραιο Κβαντικό φαινόμενο Hall Το επιχείρημα του Laughlin Ισοδυναμία του δισδιάστατου συστήματος σε κάθετο μαγνητικό πεδίο με κύλινδρο (για την επιλογή της βαθμίδας Landau) Μετασχηματισμοί βαθμίδας στην Κβαντική Μηχανική Κβαντικό σωματίδιο σε Aharonov Bohm δακτυλίδι Το επιχείρημα του Laughlin Κεφάλαιο 11. Τοπολογική προέλευση της κβάντωσης της αγωγιμότητας Hall Παγκοσμιότητα του φαινομένου Κεφάλαιο 12. Το Ανώμαλο Κβαντικό Φαινόμενο Hall στη γραφίνη Κεφάλαιο 13. Mέθοδος πίνακα μεταφοράς για τη μελέτη των καταστάσεων άκρων Μονοδιάστατο πλέγμα Δισδιάστατο σύστημα: Ορθογώνιο Ορθογώνιο σύστημα σε μαγνητικό πεδίο Μέθοδος πίνακα μεταφοράς για το ορθογώνιο σύστημα Δισδιάστατο κυψελοειδές σύστημα: Γραφίνη Μέθοδος πίνακα μεταφοράς για το κυψελοειδές πλέγμα (της γραφίνης) Κεφάλαιο 14. Κβαντικό Δίκτυο Γραφίνης Επίλογος Παράρτημα Ι. Ο άνθρακας, τα ατομικά τροχιακά του και οι υβριδισμοί τους Παράρτημα ΙΙ. Ενεργειακές ζώνες τύπου σ Παράρτημα ΙΙΙ. Αγωγιμότητα Hall για μηδενισμό των σε πολλά σημεία Βιβλιογραφία Σελίδα 4 από 201

5 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή Εικόνα 1.1 Οι δύο επιστήμονες που κατάφεραν να απομονώσουν πειραματικά τη γραφίνη. Αριστερά ο Konstantin Novoselov και δεξιά ο Andre Geim Το 2004, δύο πειραματικοί Φυσικοί στο Πανεπιστήμιο του Manchester στο Ηνωμένο Βασίλειο, οι Konstantin Novoselov και Andre Geim κατάφεραν να απομονώσουν πειραματικά ένα νέο υλικό, αποτελούμενο από ένα μόνο στρώμα άνθρακα, με εξαιρετικές ιδιότητες και συναρπαστικές προοπτικές εφαρμογών τόσο στην επιστήμη όσο και στη βιομηχανία. Το νέο αυτό υλικό γνωστό ως γραφίνη από προηγούμενες θεωρητικές μελέτες έμελλε να αποτελέσει ένα ιδιαίτερα σημαντικό εκπρόσωπο της οικογένειας των δομών του άνθρακα. Εικόνα 1.2 Αριστερά η επιφάνεια ενός κρυστάλλου γραφίτη και δεξιά ένα μόνο στρώμα γραφίτη, η λεγόμενη γραφίνη Η θεωρητική μελέτη της γραφίνης ξεκινά από πολύ νωρίς (1947), όταν ο Wallace παρουσίασε στο άρθρο του [1] την ενεργειακή δομή του δισδιάστατου άνθρακα, για να ακολουθήσουν τα άρθρα των McClure [2] και Slonczewski, Weiss [3]. Η μελέτη της γραφίνης, ή δισδιάστατου άνθρακα, σε θεωρητικό πάντα επίπεδο, συνέχισε για ακόμα έξι περίπου δεκαετίες στη διάρκεια των οποίων ήρθαν στο φως ακόμα πιο ενδιαφέρουσες ιδιότητες, όπως το γεγονός ότι ερωτήματα στη Φυσική Υψηλών Ενεργειών μπορούσαν τώρα να μελετηθούν πειραματικά στο μικρό χώρο του εργαστηρίου, αφού οι φορείς στη γραφίνη προκύπτει ότι συμπεριφέρονται σαν φερμιόνια Dirac με μηδενική μάζα. Γιατί όμως το φανταστικό αυτό υλικό άργησε τόσο να κάνει την εμφάνισή του στον πραγματικό κόσμο ; Ο λόγος είναι ότι, μέχρι την ανακάλυψη της γραφίνης, υπήρχε η πεποίθηση ότι όλα τα δισδιάστατα υλικά είναι θερμοδυναμικά ασταθή και άρα αδύνατο να υπάρχουν. Η θεωρία Σελίδα 5 από 201

6 των Landau και Peierls [4],[29] υποδείκνυε ότι οι θερμικές διακυμάνσεις σε καθαρά δισδιάστατους κρυστάλλους μικρών διαστάσεων θα οδηγούσαν σε μετατοπίσεις των ατόμων συγκρίσιμες με τις μεταξύ τους αποστάσεις σε οποιαδήποτε πεπερασμένη θερμοκρασία, με αποτέλεσμα την καταστροφή της δομής του κρυστάλλου. Το επιχείρημα αυτό επέκτειναν αργότερα οι Mermin και Wagner [4],[5],[29], ενώ μια σειρά πειραματικών παρατηρήσεων επιβεβαίωνε τους θεωρητικούς αυτούς ισχυρισμούς. Για αυτό το λόγο όλες οι δισδιάστατες δομές μέχρι το 2004 μελετούνταν ως μέρος τρισδιάστατων δομών, κυρίως ως επιστρώματα τρισδιάστατων κρυστάλλων με την ίδια κρυσταλλική διάταξη. Η θεωρία όμως αυτή απεδείχθη τελικά ότι δεν ήταν στη γενικότητά της ορθή. Στο δισδιάστατο πλέγμα της γραφίνης, το μικρό μέγεθος (<<1mm) και η μεγάλη ισχύς των δεσμών μεταξύ των ατόμων αποτρέπουν τη δημιουργία παραμορφώσεων στον κρύσταλλο ακόμα και σε αυξημένες θερμοκρασίες. Συμπληρωματικά, ένα ελαφρύ ζάρωμα του πλέγματος στην τρίτη (κάθετη) διεύθυνση της τάξης των 10nm, το οποίο έχει επιβεβαιωθεί και πειραματικά, οδηγεί στην προσθήκη ελαστικής ενέργειας στο σύστημα αλλά καταστέλλει τις θερμικές δονήσεις. Εικόνα 1.3 Ένα στρώμα γραφίνης με εμφανές το ζάρωμα που υφίσταται και το οποίο ενισχύει τη σταθερότητα του δισδιάστατου πλέγματος Για την ανακάλυψή τους οι Novoselov και Geim πήραν το βραβείο Nobel Φυσικής του Εντύπωση προκαλεί η απλότητα του τρόπου απομόνωσης της γραφίνης, με χρήση ταινίας scotch ενός συνηθισμένου μολυβιού (γραφίτη), όπως φαίνεται στην πιο κάτω εικόνα. (Η οποία βέβαια αποτελεί υπεραπλούστευση, γιατί στην ανακάλυψη έπαιξαν ρόλο και προχωρημένες οπτικές μέθοδοι, με τις οποίες μπορούσαν να επιβεβαιώσουν ότι όντως είχαν απομονώσει ένα μόνο στρώμα γραφίνης). Εικόνα 1.4 Καρτούν που δείχνει ένα απλό τρόπο απομόνωσης της γραφίνης, γεγονός που χάρισε το βραβείο Νόμπελ στους δύο πιο πάνω επιστήμονες Σελίδα 6 από 201

7 Όπως αναφέρεται και στην Περίληψη, δεν είναι στόχος αυτής της Διατριβής Μάστερ να παρουσιάσει με εκλαϊκευμένο τρόπο όλες τις εντυπωσιακές ιδιότητες της γραφίνης. Θα δώσουμε έμφαση στο Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall και την Ανώμαλη Εκδοχή του στη γραφίνη, γιατί είναι ένα θέμα που έχει προεκτάσεις σε νέες καταστάσεις της ύλης που ανακαλύφθηκαν μόλις πρόσφατα (Τοπολογικοί Μονωτές) με εξωτικές ιδιότητες χρήσιμες σε πολλές άλλες περιοχές (όπως π.χ. στην περιοχή των Κβαντικών Υπολογιστών). Ανώμαλο Κβαντικό φαινόμενο Hall Εδώ θυμίζουμε αρχικά στον αναγνώστη ότι στα συνηθισμένα δισδιάστατα συστήματα ημιαγωγών, μέσα σε κάθετο μαγνητικό πεδίο, μπορούμε σε κβαντικές συνθήκες (πολύ χαμηλές θερμοκρασίες, πολύ ισχυρά μαγνητικά πεδία, πολύ καθαρά υλικά) να παρατηρήσουμε το Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall με τα πλατώ της αγωγιμότητας Hall να εμφανίζονται σε ακέραια πολλαπλάσια της ποσότητας : (1.1) (όπου ο εκφυλισμός του συστήματος στα σχήματα σημειωμένος με, π.χ. το γνωστό για σωματίδια με σπιν και το αρνητικό/θετικό πρόσημο να αντιστοιχεί σε ηλεκτρόνια/οπές) Εικόνα 1.5 Τα πλατώ της αγωγιμότητας Hall, μαζί με τις στάθμες Landau για ένα συνηθισμένο ημιαγωγό (α) αριστερά για ηλεκτρόνια και (β) δεξιά για οπές Οι εικόνες προέρχονται από το [6] και έχουν υποστεί επεξεργασία Στα διαγράμματα φαίνονται αυτά τα πλατώ της αγωγιμότητας Hall, αριστερά για ηλεκτρόνια και δεξιά για οπές, καθώς επίσης και τα (διευρυμένα) λεγόμενα επίπεδα Landau σαν συνάρτηση του αριθμού των πλήρως κατειλημμένων σταθμών Landau, με μπλε χρώμα για τα ηλεκτρόνια και με πορτοκαλί για τις οπές. Ο αναγνώστης παραπέμπεται στον κύριο κορμό της εργασίας για υπενθύμιση όλων των εννοιών και της Φυσικής του Φαινομένου. Σελίδα 7 από 201

8 Είναι επίσης χρήσιμο να υπενθυμίσουμε ότι στο Φαινόμενο αυτό βλέπουμε ότι μακροσκοπικές ποσότητες (συναρτήσεις απόκρισης, όπως ο συντελεστής αγωγιμότητας Hall που συνδέει το ρεύμα στην διεύθυνση που δημιουργείται από ηλεκτρικό πεδίο στη διεύθυνση) είναι κβαντωμένες σε παγκόσμιες τιμές (ανεξάρτητες του υλικού, της θερμοκρασίας, των προσμίξεων κ.ο.κ.) μάλιστα με σχετική ακρίβεια μεγαλύτερη από, γι αυτό το φαινόμενο έχει άμεσο αντίκτυπο στη Μετρολογία (επαναπροσδιορισμός του SI). Στη γραφίνη το Κβαντικό Φαινόμενο Hall μπορεί να παρατηρηθεί σε πολύ ψηλότερες θερμοκρασίες από τα συνηθισμένα συστήματα ημιαγωγών (ακόμα και σε θερμοκρασία δωματίου) και παρουσιάζει μια πολύ βασική διαφορά από το συνηθισμένο. Τα πλατώ της αγωγιμότητας Hall παρουσιάζονται, σε αυτή την περίπτωση σε ημιακέραια πολλαπλάσια της ποσότητας : (1.2) και, σε αντίθεση με τους συνηθισμένους ημιαγωγούς, μπορούμε να παρατηρήσουμε στο ίδιο υλικό και τους δύο τύπους φορέων, ηλεκτρόνια και οπές (εξ ου και το ενοποιημένο σχήμα). Ο εκφυλισμός στη γραφίνη είναι (για λόγους που θα δούμε στο κυρίως κείμενο). Εικόνα 1.6 Τα πλατώ της αγωγιμότητας Hall, μαζί με τις στάθμες Landau για ένα στρώμα γραφίνης. Με μπλε χρώμα σημειώνονται οι στάθμες Landau για τα ηλεκτρόνια και με πορτοκαλί για τις οπές Η εικόνα προέρχεται από το [6] και έχει υποστεί επεξεργασία Η ανωμαλία του φαινομένου στη γραφίνη οφείλεται στο γεγονός ότι εμφανίζεται επίπεδο Landau με ακέραιο και ενέργεια που έχει το μισό εκφυλισμό των άλλων επιπέδων Landau, αφού το μοιράζονται τα ηλεκτρόνια και οι οπές, με αποτέλεσμα τα πρώτα πλατώ να εμφανίζονται σε (1.3) (αντί σε ) και όλα τα άλλα να είναι μετατοπισμένα κατά αυτή την ποσότητα. Σελίδα 8 από 201

9 Οι τελευταίες για αυτή την ενότητα εικόνες δείχνουν (α) την πειραματική απόδειξη των πιο πάνω θεωρητικών ισχυρισμών, όπου η ποσότητα που μας ενδιαφέρει είναι αυτή που διαγράφεται με μαύρο χρώμα και αποτελεί ουσιαστικά την αντίστροφη ποσότητα της αγωγιμότητας Hall (αντίσταση Hall ) και (β) τη σχηματική αναπαράσταση των αντίστοιχων ποσοτήτων που φαίνονται στην πειραματική εικόνα για σκοπούς σύγκρισης. Εικόνα 1.7 Αντίσταση Hall (με μαύρο) και διαμήκης μαγνητοαντίσταση (με κόκκινο) σε T=30mK και V g =15V για ηλεκτρόνια (φαίνονται τουλάχιστον δύο πλατώ, ενώ αρχίζει να φαίνεται και το τρίτο) και στο ένθετο οι αντίστοιχες ποσότητες για οπές σε T=1.6K και V g =-4V. Η εικόνα προέρχεται από το [7], όπου μπορεί κανείς να βρει περαιτέρω πληροφορίες Εικόνα 1.8 Σχηματική αναπαράσταση των ποσοτήτων που φαίνονται στην Εικόνα 1.7, για ηλεκτρόνια και οπές μαζί. Η εικόνα προέρχεται από το [7] Στις τελευταίες αυτές εικόνες φαίνεται επίσης το γεγονός ότι όταν είμαστε σε πλατώ της αγωγιμότητας Hall (αντίστοιχα της αντίστασης Hall) η διαμήκης αγωγιμότητα και διαμήκης αντίσταση μηδενίζονται, ακριβώς όπως συμβαίνει και στο συμβατικό Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall στους ημιαγωγούς. Ο λόγος που το gate voltage της τελευταίας εικόνας το οποίο εμφανίζεται και στις περισσότερες πειραματικές εικόνες είναι αντίστοιχο με το μαγνητικό πεδίο είναι ο εξής: Ο αριθμός των (spinless) ηλεκτρονίων μέσα στον κύκλο Fermi στο χώρο δίνεται από (1.4) Σελίδα 9 από 201

10 (όπου οι διαστάσεις του συστήματος, η ορμή Fermi (ή ακτίνα του κύκλου Fermi), ο αριθμός των ηλεκτρονίων και η επιφανειακή πυκνότητα ηλεκτρονίων όλα αυτά θα τα δούμε αναλυτικά στο κυρίως κείμενο). Οπότε καθώς αλλάζουμε το και άρα την ενέργεια Fermi του συστήματος και άρα την, αλλάζουμε και την επιφανειακή πυκνότητα ηλεκτρονίων. Ο αριθμός όμως τώρα των πλήρως κατειλημμένων σταθμών Landau είναι, (1.5) και για να μεταβάλουμε το χρειάζεται να μεταβάλουμε το μαγνητικό πεδίο, ή αντίστοιχα, την επιφανειακή πυκνότητα ηλεκτρονίων (μέσω του ). Τα ίδια ισχύουν και για τις οπές. Aκρίβεια του IQHE στη γραφίνη Η ακρίβεια των μετρήσεων για την αντίσταση Hall στη γραφίνη είναι ακόμα μεγαλύτερη από αυτή των συνηθισμένων ημιαγωγών, (στο άρθρο [69] αναφέρεται ακρίβεια μέχρι και!) με αποτέλεσμα οι κβαντωμένες τιμές της αντίστασης Hall στο νέο αυτό υλικό να χρησιμοποιηθούν για τον επαναπροσδιορισμό των μονάδων της μάζας και του ρεύματος στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI) (2011), καθιστώντας την αλλαγή αυτή τη μεγαλύτερη που έχει υποστεί το σύστημα τον τελευταίο μισό αιώνα! [69] Σελίδα 10 από 201

11 Κεφάλαιο 2. Η κρυσταλλική δομή της γραφίνης Γραφίνη ονομάζουμε το δισδιάστατο πλέγμα από άτομα άνθρακα σε κυψελοειδή δομή, όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.1. Εικόνα 2.1 Η κρυσταλλική δομή της γραφίνης Τα άτομα του άνθρακα έχουν 4 ηλεκτρόνια σθένους. Τρία από αυτά σχηματίζουν ισχυρούς δεσμούς με τα γειτονικά άτομα, ενώ το τέταρτο βρίσκεται στην κατάσταση 2p z με κομβικό επίπεδο το επίπεδο του πλέγματος και άξονα συμμετρίας κάθετο σ αυτό. Τα τρία ηλεκτρόνια που σχηματίζουν τους δεσμούς δεν συμβάλλουν στην αγωγιμότητα της γραφίνης (αλλά χρησιμεύουν στη δημιουργία της κρυσταλλικής δομής), γι αυτό τελικά λαμβάνουμε υπ όψιν μας μόνο το τέταρτο ηλεκτρόνιο, όταν θέλουμε να περιγράψουμε τις ηλεκτρονικές ιδιότητες της γραφίνης. [10] Η κυψελοειδής δομή δεν είναι πλέγμα Bravais, δηλαδή όλα τα κρυσταλλικά σημεία δεν αντιλαμβάνονται το ίδιο τοπικό περιβάλλον (π.χ. δύο γειτονικά άτομα δεν είναι ισοδύναμα). Μπορούμε όμως να χωρίσουμε τα κρυσταλλικά σημεία σε δύο ισοδύναμα πλέγματα, το ένα μέσα στο άλλο με αποτέλεσμα η συνολική δομή να ειδωθεί σαν πλέγμα Bravais με βάση δύο ατόμων (παίρνουμε στοιχειώδη κυψελίδα με δύο ανόμοια, γειτονικά άτομα). Μια επιλογή για τη στοιχειώδη αυτή κυψελίδα είναι το παραλληλόγραμμο που φαίνεται στην Εικόνα 2.2. Αν ονομάσουμε τα δύο άτομα διαφορετικού τύπου Α και Β, τότε μπορούμε να δούμε το πλέγμα μας σαν αποτέλεσμα της ένωσης δύο εξαγωνικών (ή τριγωνικών) υποπλεγμάτων, του Α (αποτελούμενο από τα άτομα τύπου Α) και του Β (αποτελούμενο από τα άτομα τύπου Β). Οπότε τελικά και ολόκληρο το πλέγμα μπορεί να ειδωθεί σαν εξαγωνικό (τριγωνικό) με διατομική βάση. [10] Το σύστημά μας είναι δισδιάστατο, οπότε χρειαζόμαστε δύο ανύσματα (βάση) για να το περιγράψουμε. Μια συνηθισμένη και βολική επιλογή αποτελούν τα ανύσματα και που φαίνονται στην Εικόνα 2.2. Τα ανύσματα αυτά μας μεταφέρουν σε άτομα του ιδίου τύπου, βλέποντας όμως τα ανόμοια άτομα ως διακόσμηση της στοιχειώδους κυψελίδας, καλύπτουμε ολόκληρη την κρυσταλλική δομή. Σελίδα 11 από 201

12 a 2 a 1 y : A sublattice : B sublattice Εικόνα 2.2 Η κρυσταλλική δομή της γραφίνης με τους δύο μη ισοδύναμους τύπους σημείων να φαίνονται με διαφορετικό χρώμα (μαύρο για τα Α και άσπρο για τα Β) και (α) αριστερά η επιλογή της στοιχειώδους κυψελίδας σαν ένα παραλληλόγραμμο και (β) δεξιά τα ανύσματα βάση για το πλέγμα x Μαθηματικά, επιλέγοντας τις κατευθύνσεις και όπως φαίνονται στην Εικόνα 2.2, τα ανύσματα και γράφονται ως εξής: ( ) (2.1) όπου, το μήκος των δεσμών στη γραφίνη. Τα ανύσματα και του αντιστρόφου πλέγματος [8] πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση (2.2) Οπότε παίρνουμε ( ) ( ) (2.3) Περιληπτικά Επιλέγουμε τα ανύσματα ( ως βάση για το ευθύ πλέγμα και αυτά δίνουν τα ανύσματα ως βάση για το αντίστροφο πλέγμα. ) Σελίδα 12 από 201

13 Με βάση αυτά τα ανύσματα, το αντίστροφο πλέγμα έχει τη μορφή που φαίνεται στην Εικόνα 2.3. a 2 a 1 Εικόνα 2.3 Το αντίστροφο πλέγμα για τη γραφίνη με την επιλογή ανυσμάτων που έχουμε κάνει Για να βρούμε τώρα την (πρώτη) ζώνη Brillouin, που είναι ως γνωστό η κυψελίδα Wigner-Seitz του αντιστρόφου πλέγματος, πρέπει να πάρουμε ένα σημείο του αντιστρόφου πλέγματος, να το ενώσουμε νοητά με τους πλησιέστερους γείτονές του και να φέρουμε τις μεσοκαθέτους στις νοητές αυτές γραμμές. Από τις τομές αυτών των μεσοκαθέτων προκύπτει τελικά ένα κλειστό χωρίο που έχει σχήμα εξαγωνικό, περιστραμμένο κατά 30 σε σχέση με το ευθύ πλέγμα (Εικόνα 2.4). Αυτό το εξάγωνο αποτελεί και μια επιλογή για τη στοιχειώδη κυψελίδα του αντιστρόφου πλέγματος - την καλύτερη μάλιστα, αφού σέβεται και την περιστροφική συμμετρία του πλέγματος. Εικόνα 2.4 Η Wigner-Seitz κυψελίδα του αντιστρόφου πλέγματος (πρώτη ζώνη Brillouin) Όπως είναι γνωστό από τη στοιχειώδη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, το αντίστροφο πλέγμα και ιδιαίτερα η πρώτη ζώνη Brillouin είναι πολύ σημαντικά στην περιγραφή των ηλεκτρονικών ιδιοτήτων των κρυστάλλων. Για παράδειγμα το ενεργειακό φάσμα (που αποτελείται γενικά από ζώνες και χάσματα) είναι συνάρτηση του αντιστρόφου χώρου (δηλαδή οι ενέργειες είναι συναρτήσεις κυματανυσμάτων ) και αρκεί να περιγραφεί (σχεδιαστεί ως επιφάνεια) μόνο μέσα στην πρώτη ζώνη Brillouin (βλέπε π.χ. Εικόνα 2.3 για τη γραφίνη). Αλλά όχι μόνο αυτό. Και οι ιδιότητες των κυματοσυναρτήσεων στον αντίστροφο χώρο (μέσω των vorticities τους) περιγράφουν τοπολογικές ιδιότητες (βλέπε IQHE Κεφάλαιο 11 και Παράρτημα ΙΙΙ) Σελίδα 13 από 201

14 Κεφάλαιο 3. Το μοντέλο tight-binding στη γραφίνη Στο Παράρτημα Ι ο αναγνώστης μπορεί να βρει πληροφορίες σχετικά με τον άνθρακα, τα ατομικά τροχιακά του και τους υβριδισμούς του. Περιληπτικά αναφέρουμε ότι στη γραφίνη έχουμε τέσσερα τροχιακά και για κάθε άτομο άνθρακα, τα τρία από τα οποία ( και ) συνδυάζονται για να δημιουργήσουν δεσμούς μέσα στο επίπεδο της γραφίνης, ενώ το τέταρτο, έχει άξονα κάθετο στο επίπεδο της γραφίνης. Το ηλεκτρόνιο που βρίσκεται σε αυτή την κατάσταση ονομάζεται ηλεκτρόνιο και είναι υπεύθυνο για την αγωγιμότητα και τις σημαντικές ιδιότητες της γραφίνης. Σε αυτή την ενότητα θα δείξουμε με αρκετή λεπτομέρεια τον τρόπο με τον οποίο προκύπτουν οι ενεργειακές ζώνες τύπου, οι οποίες μας ενδιαφέρουν περισσότερο γιατί καθορίζουν τις ιδιότητες της γραφίνης, ενώ αν κανείς ενδιαφέρεται μπορεί να ανατρέξει στο Παράρτημα ΙΙ για να δει κάπως πιο επιγραμματικά το πώς προκύπτουν και οι υπόλοιπες έξι ενεργειακές ζώνες τύπου. Οι ενεργειακές ζώνες τύπου Στη μέθοδο tight-binding, ξεκινούμε από ένα αρχικό μοντέλο στο οποίο το κάθε ηλεκτρόνιο που μελετούμε είναι δεσμευμένο σε ένα μόνο άτομο του πλέγματος και περιγράφεται από μια τοπική κυματοσυνάρτηση (την τοπική κατάσταση Wannier) και προσθέτουμε στη συνέχεια τις αλληλεπιδράσεις με τα γειτονικά άτομα διαταρακτικά. Μπορούμε να λάβουμε υπόψιν μας μόνο πλησιέστερους γείτονες ή περισσότερους (πιο μακριά) ανάλογα με το βαθμό ακρίβειας που θέλουμε να έχουν τα αποτελέσματά μας. Στη γραφίνη προκύπτει ότι η πιο σημαντική πληροφορία για το ενεργειακό φάσμα περιέχεται ήδη στην προσέγγιση πλησιέστερων μόνο γειτόνων. Στην ενότητα που ακολουθεί, αφού περιγράψουμε γενικά τη μέθοδο tight binding [1], [9], [10],[13], θα βρούμε το ενεργειακό φάσμα στην προσέγγιση πλησιέστερων και δεύτερων γειτόνων, θα σχολιάσουμε το πώς επηρεάζει το ενεργειακό φάσμα ο συνυπολογισμός δεύτερων πλησιέστερων γειτόνων και θα εξηγήσουμε ότι, όπως επιβεβαιώνουν τα αποτελέσματα, η προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων είναι αρκετή (δίνει τη σημαντική πληροφορία) για την εύρεση του ενεργειακού φάσματος της γραφίνης (γεγονός το οποίο μπορεί να αποδειχθεί μέσα από μια ανάλυση με θεωρία ομάδων [11]). Ένα άτομο ανά στοιχειώδη κυψελίδα Για να θυμίσουμε τη μέθοδο tight-binding ας πάρουμε πρώτα την απλούστερη περίπτωση στην οποία έχουμε πλέγμα Bravais (δηλαδή όλα τα πλεγματικά σημεία είναι ισοδύναμα) με ένα άτομο στη στοιχειώδη κυψελίδα και ένα ηλεκτρόνιο ανά άτομο. Τα άτομα του υποτιθέμενου δισδιάστατου πλέγματος περιγράφονται από τα ανύσματα, όπου και ακέραιοι. Η μέθοδος tight-binding βασίζεται στην υπόθεση ότι κάθε ηλεκτρόνιο είναι αρχικά δεσμευμένο στο ιόν στη θέση, περιγράφεται δηλαδή με μεγάλη ακρίβεια από τη Χαμιλτονιανή (3.1) όπου, η θέση του ηλεκτρονίου και η μάζα του. Σελίδα 14 από 201

15 Λαμβάνοντας υπ όψιν όμως και τα υπόλοιπα ιόντα του πλέγματος, θα έπρεπε κανονικά να έχουμε τη Χαμιλτονιανή, (3.2) όπου ο αριθμός όλων των σημείων του πλέγματος. Αφού όμως η Χαμιλτονιανή (3.1) 14οδηγεί σε αρκετά ακριβείς λύσεις, αρχίζουμε με αυτή και μελετούμε τη συνεισφορά στη δυναμική ενέργεια από τα άλλα ιόντα διαταρακτικά. Έστω ότι η δέσμια (θεμελιώδης) κατάσταση της περιγράφεται από την ατομική ( κυματοσυνάρτηση ) ή απλά. Αυτή είναι η κατάσταση Wannier που περιγράφει το ηλεκτρόνιο γύρω από το απομονωμένο άτομο ή ιόν, πριν ακόμα συνυπολογίσουμε αλληλεπιδράσεις με γείτονες. Τη συνολική Χαμιλτονιανή για το σύστημα αποτελεί το άθροισμα των Χαμιλτονιανών για κάθε ηλεκτρόνιο : (3.3) Τώρα, η Χαμιλτονιανή του συστήματος θα πρέπει να ικανοποιεί τη μεταφορική συμμετρία του πλέγματος, θα πρέπει δηλαδή να παραμένει δηλαδή αμετάβλητη κάτω από μετατόπιση κατά ένα τυχαίο άνυσμα του πλέγματος. Με άλλα λόγια, η Χαμιλτονιανή θα πρέπει να μετατίθεται με κάθε μεταφορικό τελεστή του πλέγματος, [ ] (3.4) Αυτό μπορούμε να το δούμε λίγο πιο αναλυτικά. H Χαμιλτονιανή του συστήματος πρέπει να είναι περιοδική: (3.5) Οπότε, (3.6) το οποίο ουσιαστικά λέει ότι πρέπει να ισχύει η σχέση μετάθεσης (3.4). Επιπρόσθετα όμως, το αποτέλεσμα της εφαρμογής δύο διαδοχικών μετατοπίσεων στο σύστημα δεν εξαρτάται από τη σειρά με την οποία εφαρμόζουμε τις μετατοπίσεις (με άλλα λόγια η ομάδα των μετατοπίσεων είναι αβελιανή): οπότε (3.7) (3.8) Για να συμβαίνει αυτό οι κυματοσυναρτήσεις πρέπει να είναι ταυτόχρονα και ιδιοσυναρτήσεις όλων των, το οποίο οδηγεί στο ότι αυτές πρέπει να ικανοποιούν το θεώρημα Bloch: (3.9) Σελίδα 15 από 201

16 με το άνυσμα του αντιστρόφου πλέγματος, δηλαδή (3.10) Το άνυσμα ονομάζεται κυματάνυσμα Bloch, συνδέεται άμεσα με τη λεγόμενη κρυσταλλική ορμή και χαρακτηρίζει τις κυματοσυναρτήσεις, με αποτέλεσμα να πρέπει να το χρησιμοποιήσουμε σαν δείκτη σε αυτές: (3.11) Μια συνηθισμένη μορφή μιας κυματοσυνάρτησης στην κβαντομηχανική είναι γραμμικός συνδυασμός επίπεδων κυμάτων, για διάφορους λόγους μεταξύ των οποίων και το γεγονός ότι η ολοκλήρωση των επίπεδων κυμάτων είναι εύκολη και μπορεί να γίνει αναλυτικά. Εδώ όμως η μορφή αυτή δε μας βολεύει, αφού είναι δύσκολο να συνδέσουμε την κυματοσυνάρτηση επίπεδων κυμάτων με τα ατομικά τροχιακά του πλέγματος (ατομικές κυματοσυναρτήσεις). Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε την πιο χρήσιμη μορφή για την κυματοσυνάρτηση (3.12) η οποία δεν είναι άλλη από την κυματοσυνάρτηση Bloch. Η μορφή αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του γραμμικού συνδυασμού ατομικών τροχιακών (Linear Combination of Atomic Orbitals - LCAO) και θα αποτελέσει τη γενική, δοκιμαστική κυματοσυνάρτηση στο φορμαλισμό της tight-binding. Περιληπτικά Οι κυματοσυναρτήσεις Bloch που χρησιμοποιούμε έχουν τη μορφή Μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι η (3.12) όντως ικανοποιεί το θεώρημα Bloch (για οποιαδήποτε απομονωμένη ατομική συνάρτηση ), αφού ( ) (3.13) όπου ορίσαμε τα νέα ανύσματα μέσω μετατόπισης πάνω στο πλέγμα κατά, (3.14) και αξιοποιήσαμε το ότι ο κρύσταλλος εκτείνεται σε άπειρο χώρο. Άρα δικαίως την ονομάσαμε κυματοσυνάρτηση Bloch. Η πιο πάνω μορφή οδηγεί, μαζί με περιοδικές συνοριακές συνθήκες στο ότι ο αριθμός των τροχιακών καταστάσεων ισούται με τον αριθμό των κυψελίδων. [8] Σελίδα 16 από 201

17 Δύο άτομα ανά στοιχειώδη κυψελίδα γραφίνη Στην περίπτωση που έχουμε δύο άτομα ανά στοιχειώδη κυψελίδα, όπως συμβαίνει στη γραφίνη, μπορούμε να γράψουμε τη δοκιμαστική συνάρτηση σαν (χειριζόμενοι το κάθε υποπλέγμα ξεχωριστά): ( ) ( ), (3.15) όπου και μιγαδικές συναρτήσεις της κρυσταλλικής ορμής και (3.16) (3.17) και τα ανύσματα του υποπλέγματος τα ανύσματα του υποπλέγματος ένα άνυσμα που ενώνει τα σημεία ενός εξαγωνικού (τριγωνικού) πλέγματος Bravais με τα σημεία του υποπλέγματος ένα άνυσμα που ενώνει τα σημεία ενός εξαγωνικού (τριγωνικού) πλέγματος Bravais με τα σημεία του υποπλέγματος. Στην περίπτωση που επιλέξουμε π.χ. το υποπλέγμα σαν το πλέγμα Bravais αναφοράς, το άνυσμα θα είναι μηδενικό και το άνυσμα θα είναι αυτό που μας παίρνει από το υποπλέγμα στο υποπλέγμα. Σημειώσεις: ( 1. Στους παράγοντες φάσεις κανονικά θα έπρεπε να είχαμε ) ( και ), όμως οι φάσεις και μπορούν να απορροφηθούν στους συντελεστές και. 2.. Όπως ήδη αναφέραμε, παίρνουμε το τριγωνικό υποπλέγμα σαν το πλέγμα Bravais, οπότε έχουμε και η σχετική μετατόπιση των δύο υποπλεγμάτων και. 3. Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι ο αριθμός τόσο των σημείων όσο και των σημείων είναι ίσος με, τον αριθμό των κυψελίδων στο σύστημα. Εξίσωση Schrödinger Ιδιοτιμές ενέργειας Η στατική εξίσωση Schrödinger για το σύστημα (3.18) μπορεί να πολλαπλασιαστεί από τα αριστερά με για να δώσει (3.19) ( ) ( ) ( ) ( ) Σελίδα 17 από 201

18 Αυτό μπορεί να γραφτεί σε μορφή πινάκων σαν (3.20) όπου (3.21) με στοιχεία πίνακα,,, (3.22) και (3.23) με στοιχεία πίνακα,,, (3.24) ο πίνακας επικάλυψης (overlap matrix) που περιγράφει την έλλειψη ορθογωνιότητας μεταξύ των δοκιμαστικών κυματοσυναρτήσεων. Στα πιο πάνω πρέπει κανείς να προσέξει την ολοκλήρωση ως προς τον ευθύ χώρο, με αποτέλεσμα οι διάφορες ποσότητες να είναι τώρα συναρτήσεις μόνο της κρυσταλλικής ορμής. Για να βρούμε τις ιδιοτιμές πρέπει να λύσουμε την secular εξίσωση [ ] (3.25) Η εξίσωση αυτή έχει δύο λύσεις, όσες και οι συνιστώσες της κυματοσυνάρτησης, που αντιστοιχούν, όπως θα δείξουμε σε λίγο σε δύο τιμές μιας παραμέτρου. Οπότε αν εισαγάγουμε ακόμα ένα δείκτη στις ενέργειες, η (3.25) γίνεται [ ] (3.26) Περιληπτικά Με τη μέθοδο tight-binding προκύπτει ότι για να βρούμε το ενεργειακό φάσμα χρειάζεται να λύσουμε την εξίσωση [ ] όπου ( ) και ( ) Σελίδα 18 από 201

19 Λύση για τη γραφίνη Ας αφήσουμε τώρα το γενικό αυτό φορμαλισμό, για να πάμε να υπολογίσουμε τις ποσότητες που μας ενδιαφέρουν στο σύστημα της γραφίνης. Το στοιχείο ΑΒ του πίνακα υπολογίζεται ως εξής: όπου έχουμε αντικαταστήσει το, με [ ] [ ] (3.27) και άρα το δίνει το άθροισμα όλων των ατομικών Χαμιλτονιανών (υποθέτοντας ότι έχουμε απομονωμένα άτομα για αρχή )και το όλες τις διαταραχές λόγω των δυναμικών που νιώθουν από γείτονες (τους πλησιέστερους σε πρώτη προσέγγιση και παρακάτω γείτονες σε καλύτερες προσεγγίσεις). Στη συνέχεια, με αλλαγή μεταβλητής (3.28) ( ) και, συρρικνώνοντας τα δύο αθροίσματα σε ένα χρησιμοποιώντας τις διαφορές, ( ) όπου η onsite ενέργεια κάθε πλεγματικού σημείου τύπου και (3.29) ( ), (3.30) ( ). (3.31) Σελίδα 19 από 201

20 Το υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα μπορούν να βρεθούν με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, οπότε έχουμε τελικά την εξίσωση για τις ιδιοτιμές: [ ] (3.32) [ ] (3.33) με τα να παίρνουν τιμές και και ο πίνακας ονομάζεται πίνακας hopping. Στη γραφίνη τα άτομα τύπου και είναι τα ίδια, άρα έχουν και τις ίδιες ενέργειες, οπότε. Αυτή η ενέργεια δεν είναι άλλη από την ενεργεια του τροχιακού (όπως δείχνει και η τελευταία ισότητα). Θα αγνοήσουμε αυτή την εσωτερική (onsite) ενέργεια στα πιο κάτω, αφού προκαλεί απλά μια μετατόπιση στις ενεργειακές στάθμες η οποία δεν αλλάζει τη φυσική του συστήματος. Έχουμε λοιπόν να λύσουμε την εξίσωση [ ] (3.34) Επιλέγουμε το υποπλέγμα σαν πλέγμα Bravais οπότε έχουμε, όπως αναφέραμε πιο πάνω, και (ή οποιαδήποτε άλλη επιλογή για τη σχετική μετατόπιση των υποπλεγμάτων και ), όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.1. Περιληπτικά Για τη γραφίνη χρειάζεται τελικά να λύσουμε την εξίσωση με τα να παίρνουν τιμές και, [ ] ( ) ( ) και ούτω καθεξής. Σελίδα 20 από 201

21 Πλησιέστεροι γείτονες Εδώ θα αρχίσουμε τις προσεγγίσεις που αφορούν το ποια γειτονικά άτομα θα χρησιμοποιηθούν στον προηγούμενο φορμαλισμό. Θα δουλέψουμε σε όλα τα παρακάτω με άτομο τύπου χωρίς να χάνεται η γενικότητα και θα δούμε τις αλληλεπιδράσεις του με τα άλλα ιόντα. Σε μια πρώτη προσέγγιση θα λάβουμε υπόψιν μας μόνο τις αλληλεπιδράσεις με τους πλησιέστερους γείτονες [9],[16]. a 3 a 2 Β 2 δ 1 Β 1 δ 2 Α a 1 δ 3 Β 3 Εικόνα 3.1 Ένα τυχαίο άτομο (χωρίς να χάνεται η γενικότητα, τύπου Α), τα ανύσματα που το συνδέουν με τους πλησιέστερους του γείτονες και τα ανύσματα του ευθέος πλέγματος Οι ποσότητες ( ) ( ) (3.35) μέσα στον ορισμό του στοιχείου πίνακα για τους γείτονες, και είναι όλες οι ίδιες (ας τις συμβολίσουμε όλες με ), αφού ολοκληρώνουμε ως προς όλο το δισδιάστατο χώρο και το πλέγμα μας έχει περιστροφική συμμετρία. Η διαφορά ανάμεσα σε κάθε γείτονα είναι η φάση με την οποία πολλαπλασιάζεται το. Το στοιχείο ΑΒ του πίνακα hopping δίνεται τελικά από το άθροισμα των φάσεων αυτών επί το : όπου (3.36) Παρόλο που εδώ δε χρησιμοποιούμε τις συνιστώσες των ανυσμάτων και κατευθείαν (τις χρησιμοποιούμε έμμεσα) είναι καλό να τις γράψουμε, γιατί θα τις χρειαστούμε αργότερα (Κεφάλαιο 4 κτλ). Από την Εικόνα 3.1 λοιπόν, βρίσκουμε ότι τα έχουν συνιστώσες ( ), ( ), (3.37) Παρόμοιο με το (3.36) αποτέλεσμα έχουμε και για τα και στοιχεία του πίνακα επικάλυψης ( και αντίστοιχα), όπου τα ολοκληρώματα Σελίδα 21 από 201

22 ( ) ( ) ( ) ( ) (3.38) για τους γείτονες, και είναι όλα τα ίδια (και ας τα καλέσουμε όλα με το σύμβολο ), οπότε (3.39) Τα άλλα δύο στοιχεία του πίνακα επικάλυψης δίνουν μονάδα, όταν χρησιμοποιηθούν κανονικοποιημένες ατομικές κυματοσυναρτήσεις: (3.40) Συνοψίζοντας, και (3.41) Με αυτά τα δεδομένα η secular εξίσωση (3.34) γίνεται [ ] (3.42) ( ) (3.43) ή, διαφορετικά, Το μέτρο της ποσότητας όπου (3.44) (3.45) υπολογίζεται εύκολα, Σελίδα 22 από 201

23 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Οπότε (3.46) (3.47) Αυτή η έκφραση μπορεί να τροποποιηθεί περισσότερο εφαρμόζοντας την επιλογή βασικών διανυσμάτων που έχουμε κάνει (2.1) (το τελικό αποτέλεσμα για το ενεργειακό φάσμα είναι βέβαια ανεξάρτητο από αυτή την επιλογή): και ( ) (3.48) Οπότε ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.49) Πριν προχωρήσουμε στην γραφική απεικόνιση του ενεργειακού φάσματος, είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι, αν αγνοούσαμε την επικάλυψη των γειτονικών τροχιακών (s=0) θα παίρναμε ενέργειες συμμετρικές ως προς το επίπεδο της ενέργειας Fermi (που όπως θα δούμε είναι η μηδενική ενέργεια ): όπου (3.50) Αυτή την περίπτωση θα τη δούμε ξεχωριστά στα διαγράμματα που ακολουθούν (θα την ονομάσουμε συμμετρικό μοντέλο ) αν και δε διαφέρει ποιοτικά από την ασύμμετρη. Σελίδα 23 από 201

24 Συμμετρικό μοντέλο Το ενεργειακό φάσμα (3.50) έχει, όπως βρήκαμε πιο πάνω, τη μορφή όπου, δηλαδή (3.51) Το φάσμα φαίνεται στην Eικόνα 3.2 αμέσως πιο κάτω. Εικόνα 3.2 Το ενεργειακό φάσμα για το συμμετρικό μοντέλο στην προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων Το πρώτο πράγμα που παρατηρεί κανείς στο ενεργειακό φάσμα είναι η απουσία οποιουδήποτε χάσματος μεταξύ των δύο ζωνών, της ζώνης αγωγιμότητας και της ζώνης σθένους. Οι δύο ζώνες συναντώνται σε συγκεκριμένα σημεία, τα οποία στη συνέχεια θα ονομάσουμε σημεία Dirac, γύρω από τα οποία το ενεργειακό φάσμα είναι, όπως επίσης θα δείξουμε πιο κάτω, γραμμικό και ισοτροπικό (με αποτέλεσμα να σχηματίζονται οι κώνοι Dirac ). Αν τώρα κόψει κανείς την πιο πάνω τρισδιάστατη εικόνα κατακόρυφα εκεί όπου, θα πάρει την εξής δισδιάστατη εικόνα: Εικόνα 3.3 Κατακόρυφη τομή του πιο πάνω ενεργειακού φάσματος στο Σελίδα 24 από 201

25 Σε αυτή φαίνεται κάπως πιο καθαρά η γραμμικότητα του ενεργειακού φάσματος κοντά στα σημεία Dirac. Αμέσως όμως θα διερωτηθεί κανείς γιατί, όπως και στην πιο πάνω εικόνα, χρησιμοποιήσαμε δύο διαφορετικά γράμματα και για τα σημεία Dirac. Ο λόγος είναι ότι, όπως στο ευθύ πλέγμα, είχαμε σημεία δύο τύπων, και, σαν συνέπεια της κυψελοειδούς δομής της γραφίνης (δομής που δεν είναι πλέγμα Bravais), έτσι και εδώ, τα δύο διαφορετικά σημεία και είναι μη ισοδύναμα (δεν μπορούν δηλαδή να συνδεθούν με άνυσμα του αντιστρόφου πλέγματος). Άλλωστε και η πρώτη ζώνη Brillouin έχει κυψελοειδές σχήμα, οπότε θα περιμέναμε αυτή την ιδιαιτερότητα. Οι δύο ζώνες ονομάζονται ζώνη σθένους (κάτω) και ζώνη αγωγιμότητας (πάνω), αφού η κάτω είναι πλήρως κατειλημμένη, σε μηδενική θερμοκρασία, από ηλεκτρόνια (θα εξηγήσουμε το λόγο στην αρχή του Kεφαλαίου 4), ενώ η πάνω είναι πλήρως άδεια και έτοιμη να φιλοξενήσει οποιοδήποτε ηλεκτρόνιο καταφέρει να διεγερθεί. Είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι, η ύπαρξη δύο ζωνών οφείλεται στην παρουσία δύο ατόμων στη στοιχειώδη κυψελίδα της γραφίνης (ή υποπλεγμάτων), η σχέση όμως μεταξύ των δύο ζωνών και δύο υποπλεγμάτων δεν είναι ένα προς ένα. Στο κάτω κάτω δεν υπάρχει κάποιος λόγος για να ευνοήσουμε ή να αδικήσουμε ενεργειακά κάποιο από τα δύο υποπλέγματα. Η ζώνη σθένους είναι η ζώνη δεσμών π (bonding) ενώ η ζώνη αγωγιμότητας είναι η ζώνη αντιδεσμών π* (antibonding). Περισσότερες πληροφορίες για την αντιστοιχία υποπλεγμάτων ζωνών θα δώσουμε σε επόμενη σχετική ενότητα (βλέπε Κεφάλαιο 5). Στην αμέσως επόμενη εικόνα βλέπουμε γραμμές σταθερής ενέργειας (Energy Contour Plots) της ζώνης αγωγιμότητας, με σημειωμένα κάποια σημαντικά σημεία. Τα και είναι τα σημεία Dirac που έχουμε ήδη αναφέρει, το σημείο είναι αντιπρόσωπος των μέσων των ευθύγραμμων τμημάτων που ενώνουν δύο γειτονικά, μη ισοδύναμα σημεία Dirac, ενώ το είναι το κέντρο της ζώνης Brillouin. Τα σημεία αυτά έχουν να παίξουν το ρόλο τους όταν κανείς μελετήσει τις συμμετρίες και τις τοπολογικές ιδιότητες της γραφίνης. Εικόνα 3.4 Ενεργειακά Contours για τη ζώνη αγωγιμότητας στο συμμετρικό μοντέλο στην προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων. Η μαύρη γραμμή στο σχήμα δείχνει τις κατακόρυφες τομές του ενεργειακού φάσματος που δίνουν την επόμενη εικόνα για την ενέργεια Σελίδα 25 από 201

26 Οι μαύρες γραμμές που φαίνονται στην πιο πάνω εικόνα δείχνουν τις διαφορετικές κατακόρυφες τομές που μπορούμε να κάνουμε στο τρισδιάστατο σχήμα και οι αντίστοιχες ενέργειες απεικονίζονται στο επόμενο διάγραμμα. Με αυτό τον τρόπο όλη η σημαντική πληροφορία του ενεργειακού φάσματος συνοψίζεται σε δισδιάστατη μορφή. Εικόνα 3.5 Κατακόρυφες τομές του ενεργειακού φάσματος όπως υποδεικνύονται από τη μαύρη γραμμή της προηγούμενης εικόνας. Η εικόνα προέρχεται από το [12] Ασύμμετρο μοντέλο Όταν τώρα λάβουμε υπ όψιν και την επικάλυψη γειτονικών τροχιακών, χαλάμε πλέον τη συμμετρία ηλεκτρονίων-οπών (ζώνης σθένους και ζώνης αγωγιμότητας αντίστοιχα). Στις δύο πρώτες εικόνες φαίνεται ξεκάθαρα αυτή η ασυμμετρία στο ενεργειακό φάσμα (3.44) (με ), Εικόνα 3.6 (α) Αριστερά: Το ενεργειακό φάσμα για το ασύμμετρο μοντέλο στην προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων και (β) Δεξιά: Κατακόρυφη τομή του ενεργειακού φάσματος στο Σελίδα 26 από 201

27 ενώ στην εικόνα των ενεργειακών contours της ζώνης αγωγιμότητας φαίνεται ότι η γραμμικότητα του φάσματος χαλάει πιο γρήγορα (σε μικρότερη απόσταση από τα σημεία Dirac). Το χαρακτηριστικό του διαγράμματος που το προδίδει αυτό είναι το τριγωνοποιημένο contour γύρω από τα σημεία Dirac. Αυτό συμβαίνει γιατί έχουμε συνεισφορά και από όρους δεύτερης τάξης λόγω του παρονομαστή που δεν είχαμε πριν, και αυτοί δίνουν μη αμελητέα συνεισφορά όταν είμαστε λίγο μακριά από τα σημεία Dirac. Και πάλι, το θέμα χρήζει περισσότερης συζήτησης, την οποία και θα κάνουμε στη συνέχεια. Να αναφέρουμε μόνο ότι το φαινόμενο απόκλισης από την κυκλική μορφή του φάσματος (αν κοιτάξει κανείς από πάνω, όπως συμβαίνει στα contour plots) ονομάζεται triangular warping και είναι ακόμα πιο έντονη η παρουσία του στην προσέγγιση δεύτερων πλησιέστερων γειτόνων. Εικόνα 3.7 (α) Αριστερά: Ενεργειακά Contours για τη ζώνη αγωγιμότητας στο ασύμμετρο μοντέλο στην προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων. Η μαύρη γραμμή στο σχήμα δείχνει τις κατακόρυφες τομές του ενεργειακού φάσματος που δίνουν την εικόνα για την ενέργεια στα (β) Δεξιά [12] Οι ποσότητες και υπολογίζονται αριθμητικά με μεθόδους προσαρμογής σε ab initio υπολογισμούς κατά μήκος αξόνων με συμμετρία και έχουν τις τιμές (3.52) Σελίδα 27 από 201

28 Περιληπτικά Στην προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων έχουμε και τα οποία δίνουν όπου ο δείκτης της ενεργειακής ζώνης Με την επιλογή ( ) ( ) ( ) ( ) αλλά βέβαια το ενεργειακό φάσμα είναι ανεξάρτητο αυτής της επιλογής (με άλλη επιλογή ανυσμάτων υπήρχε περίπτωση να είναι περιστραμμένο ως προς το επίπεδο k αλλά είναι και πάλι το ίδιο ενεργειακό φάσμα) Τα ανύσματα έχουν συνιστώσες ( ), ( ), Στο συμμετρικό μοντέλο τα παραπάνω τροποποιούνται σε και τα οποία δίνουν όπου ο δείκτης της ζώνης Σελίδα 28 από 201

29 Δεύτεροι πλησιέστεροι γείτονες Σε μια καλύτερη προσέγγιση [10],[13], λαμβάνοντας υπ όψιν και τους δεύτερους πλησιέστερους γείτονες (άτομα στο σχήμα), το μόνο που αλλάζει είναι ότι έχουμε μια έξτρα αλληλεπίδραση στον πίνακα hopping: ( ) (3.53) όπου το τρέχει από 1 μέχρι 6 για να καλύψει τους 6 δεύτερους πλησιέστερους γείτονες. Α 3 Α 2 a 3 a 2 Β 2 δ 1 Β 1 Α 4 δ 2 Α a 1 Α 1 δ 3 Α 5 Β 3 Εικόνα 3.8 Ένα τυχαίο άτομο (χωρίς να χάνεται η γενικότητα, τύπου Α), οι πλησιέστεροι και δεύτεροι πλησιέστεροι γείτονές του και τα ανύσματα του ευθέος πλέγματος Α Οι ποσότητες ( ) (3.54) είναι και πάλι όλες οι ίδιες μεταξύ τους (λόγω περιστροφικής συμμετρίας), οπότε η πιο πάνω έκφραση απλοποιείται: ( ) (3.55) Η διαδικασία που ακολουθήσαμε για τους πλησιέστερους γείτονες θα είναι παρόμοια και εδώ, με τη διαφορά ότι θα εμφανίζονται και οι παραπάνω έξτρα όροι: ( ( ) ( ) ) (3.56) και (3.57) Σελίδα 29 από 201

30 Άρα λοιπόν η secular εξίσωση (3.34) γίνεται [ και δίνει το ενεργειακό φάσμα, που έχει τη μορφή ] (3.58) ( ) όπου (3.59) Χρησιμοποιώντας την τιμή που δίνει ο Goerbig [10] για την τιμή της παραμέτρου (3.60) μαζί με τις τιμές για τα και που είχαμε και πριν (3.52), έχουμε ολοκληρωμένη εικόνα του ενεργειακού φάσματος (3.59): Εικόνα 3.9 (α) Αριστερά: Το ενεργειακό φάσμα στην προσέγγιση δεύτερων πλησιέστερων γειτόνων και (β) Δεξιά: Κατακόρυφες τομές του ενεργειακού φάσματος αντίστοιχες αυτών που φαίνονται στη Εικόνα 3.7 Η εικόνα στα δεξιά προέρχεται από το [10] Σημειώνουμε εδώ ότι οι παράμετροι tight-binding διαφέρουν λίγο σε άλλες δουλειές, π.χ. στο [14], σελίδα 4, πίνακας Ι. Η ακριβής τιμή τους εξαρτάται από τη μέθοδο προσαρμογής που χρησιμοποιεί κανείς και στο τέλος της ημέρας είναι στις περισσότερες δουλειές ίσες σε προσέγγιση ενός σημαντικού ψηφίου. Η συνεισφορά από τους δεύτερους πλησιέστερους γείτονες στην ενέργεια είναι (πέρα από τη μετατόπιση ) δεύτερης τάξης ως προς και αυτό, όπως έχουμε αναφέρει, προκαλεί την παραμόρφωση των contours γύρω από τα σημεία Dirac από κυκλικά σε πιο τριγωνικά. Αυτή η παραμόρφωση ονομάζεται triangular warping και θα τη δούμε λίγο πιο αναλυτικά στο επόμενο κεφάλαιο. Αν συγκρίνουμε τα contours γύρω από τα σημεία Dirac με και χωρίς τους όρους δεύτερης τάξης παίρνουμε (ποιοτικά) την εικόνα της επόμενης σελίδας. Σελίδα 30 από 201

31 Εικόνα 3.10 Τριγωνική παραμόρφωση (triangular warping) του ισοτροπικού φάσματος γύρω από το σημείο Dirac Κ αν κανείς λάβει υπ όψιν του και όρους δεύτερης τάξης ως προς την παράμετρο. Η εικόνα προέρχεται από το [13] Περιληπτικά Στην προσέγγιση δεύτερων πλησιέστερων γειτόνων έχουμε ( ( ) ( ) ) και τα οποία δίνουν ( ) όπου ο δείκτης της ενεργειακής ζώνης Σελίδα 31 από 201

32 Παρακάτω πλησιέστεροι γείτονες Έχουν γίνει και άλλες οργανωμένες προσπάθειες για υπολογισμό του ενεργειακού φάσματος λαμβάνοντας υπ όψιν και παρακάτω πλησιέστερους γείτονες, όπως π.χ. το άρθρο των Reich et al [14] οι οποίοι παίρνουν και τρίτους πλησιέστερους γείτονες. Κάποια διαγράμματα της δουλειάς τους φαίνονται πιο κάτω: Εικόνα 3.11 Διαγραμματικά η συμπερίληψη και τρίτων πλησιέστερων γειτόνων στον tight binding υπολογισμό. Η εικόνα προέρχεται από το [14] Εικόνα 3.12 Λεπτομέρειες για την εικόνα μπορούν να βρεθούν στο σχετικό άρθρο, τα σημαντικά για μας στοιχεία είναι ότι (α) στο κέντρο το ενεργειακό φάσμα στην προσέγγιση τρίτων πλησιέστερων γειτόνων ταυτίζεται σχεδόν με τους ab initio υπολογισμούς, ενώ (β) στα δεξιά η διαφορά στην ενέργεια για τους ab initio υπολογισμούς και για τους τρίτους πλησιέστερους γείτονες είναι και πάλι πολύ μικρή. Η εικόνα προέρχεται από το [14] Το τελικό αποτέλεσμα δεν έχει όμως μεγάλη διαφορά από αυτό που πήραμε στην προσέγγιση πλησιέστερων μόνο γειτόνων. Αυτό δεν είναι τυχαίο, μπορεί να δειχθεί με χρήση της θεωρίας ομάδων [11] ότι τα σημεία Dirac εμφανίζονται πάντα στα σημεία που τα είδαμε και η γραμμικότητα του ενεργειακού φάσματος (που ήδη αναφέραμε πριν, αλλά θα μελετήσουμε με προσοχή και στη συνέχεια) παραμένει, όσους γείτονες και να λάβουμε υπ όψιν μας στο υπολογισμό. Αυτό το γεγονός φαίνεται να μας μαθαίνουν και τα αποτελέσματα που βγάζουμε σε ένα πρωτότυπο κομμάτι (βλέπε Κεφάλαιο 14) της διατριβής αυτής, στο οποίο δείχνουμε πώς η γραμμικότητα του φάσματος γύρω από τα σημεία Dirac (αλλά και άλλα γενικά χαρακτηριστικά των ζωνών) προκύπτουν από μια απλή θεώρηση ενός Κβαντικού Δικτύου της γραφίνης και επιβολή των απαραίτητων συνθηκών στους κλάδους και στους κόμβους. Σελίδα 32 από 201

33 Κεφάλαιο 4. Σημεία Dirac Κώνοι Dirac Ας επιστρέψουμε στους π δεσμούς και στις σχετικές ζώνες επικεντρώνοντας από εδώ και πέρα το ενδιαφέρον μας στις ηλεκτρονικές ιδιότητες της γραφίνης. Επειδή όπως είδαμε κάθε άτομο άνθρακα συνεισφέρει ένα π ηλεκτρόνιο και κάθε ηλεκτρόνιο μπορεί να είναι σε κατάσταση με σπιν πάνω ή κάτω, η κάτω ενεργειακή ζώνη (π ζώνη, ζώνη σθένους) είναι πλήρως κατειλημμένη ενώ η πάνω ενεργειακή ζώνη ( ζώνη, ζώνη αγωγιμότητας) είναι εντελώς άδεια. (Για στοιχειώδεις κυψελίδες, έχουμε 2 άτομα ανά στοιχειώδη κυψελίδα, άρα δύο ηλεκτρόνια ανά στοιχειώδη κυψελίδα, σύνολο ηλεκτρόνια, όσες και οι δυνατές καταστάσεις στη ζώνη σθένους, αν λάβουμε υπόψιν μας και το σπιν - υπενθυμίζουμε από τη Φυσική Στερεάς Κατάστασης ότι κάθε ζώνη περιέχει αριθμό τροχιακών καταστάσεων ίσο με τον αριθμό των κυψελίδων του πλέγματος). Οπότε το επίπεδο Fermi ταυτίζεται με το επίπεδο το οποίο ορίζουν τα σημεία στα οποία οι δύο ζώνες συναντώνται. Τα σημεία αυτά ονομάζονται σημεία Dirac, γιατί στη γειτονιά τους η σχέση ενέργειας ορμής είναι γραμμική, όπως και στην εξίσωση Dirac. Η ιδιότητα αυτή είναι ισοτροπική, οπότε η ενέργεια στο τρισδιάστατο διάγραμμα έχει κωνικό σχήμα γύρω από τα σημεία Dirac (κώνος Dirac). Εικόνα 4.1 Κώνος Dirac γύρω από το σημείο Dirac Κ. Στην εικόνα φαίνεται καθαρά η γραμμικότητα και ισοτροπικότητα του φάσματος. Η ζώνη αγωγιμότητας σημειώνεται με κόκκινο χρώμα και η ζώνη σθένους με μπλε Σελίδα 33 από 201

34 Σημεία Dirac Ας ξεκινήσουμε όμως από την αρχή και ας αξιοποιήσουμε τις αναλυτικές εκφράσεις των ενεργειακών ζωνών που βρήκαμε πριν (Κεφάλαιο 3). Πρώτα χρειάζεται να βρούμε τις θέσεις των σημείων στα οποία οι δύο ενεργειακές ζώνες συναντώνται. Θυμίζουμε ότι την προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων το ενεργειακό φάσμα (3.44) έχει, όπως έχουμε δείξει στην Σελίδα 22 την εξής μορφή: με και όπου Αν εξισώσουμε τις δύο ενέργειες (4.1) { } { } Άρα τελικά τα σημεία Dirac θα δώσει η συνθήκη (4.2) Και αφού ο μόνος μιγαδικός αριθμός που δίνει μέτρο μηδέν είναι ο μηδενικός, πρέπει τελικά να λύσουμε τις δύο εξισώσεις Αλλά { (4.3) { (4.4) Θυμίζουμε ότι τα ανύσματα και έχουν συνιστώσες (3.37) ( ), ( ), Σελίδα 34 από 201

35 Με αυτές τις συνιστώσες οι εξισώσεις (4.4) μπορούν να λυθούν, με χρήση τριγωνομετρίας στις πράξεις, για να βρεθούν οι θέσεις των σημείων Dirac. Αυτή τη διαδικασία δείχνουμε στις σελίδες που ακολουθούν. Από την εξίσωση (4.4)(α) έχουμε ( ( )) ( ( )) ( ) (4.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.6) Ενώ από την εξίσωση (4.4)(β) παίρνουμε ( ( )) ( ( )) ( ) (4.7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] (α) ή ( ) (β) (4.8) Σελίδα 35 από 201

36 Οι πιο πάνω σχέσεις στις οποίες καταλήξαμε έχουν άπειρες λύσεις για τα, όσα και τα σημεία σε ολόκληρο το χώρο των κρυσταλλικών ορμών στα οποία συναντώνται οι ζώνες. Εμάς όμως μας ενδιαφέρουν μόνο αυτά που βρίσκονται μέσα στην πρώτη ζώνη Brillouin: a 2 Ο π a a 1 π a Εικόνα 4.2 Πρώτη ζώνη Brillouin με τις σχετικές αποστάσεις που θα μας βοηθήσουν να περιορίσουμε το διάστημα των λύσεων για τα σημεία Dirac Με τη βοήθεια της Εικόνας 4.2, αν θέσουμε μια αρχή των αξόνων πάνω στο σημείο του αντιστρόφου πλέγματος που βρίσκεται στο κέντρο της πρώτης ζώνης Brillouin (χωρίς να χάνεται η γενικότητα), τα και τρέχουν μεταξύ των πιο κάτω τιμών: (ιδιότητα βαρυκέντρου τριγώνου) (4.9) και 4 4 (4.10) Οπότε τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε και να βρούμε τα σημεία που ικανοποιούν τις εξισώσεις μας και βρίσκονται μέσα στη ζώνη Brillouin. Θα πρέπει να είναι 6 στο σύνολο. Με λύση της (4.8)(α) παίρνουμε (4 ) ( ) ( ) Σελίδα 36 από 201

37 Οπότε έξω από τη ζώνη Brillouin έξω από τη ζώνη Brillouin ( ) Αυτές οι δύο τιμές είναι στα άκρα της ζώνης, για τα άλλα ζώνη Brillouin. Άρα για την (4.8)(α) έχουμε δύο λύσεις παίρνουμε σημεία έξω από τη ( ) (4.11) Προχωρούμε τώρα στην (4.8)(β): ( ) (4 ) ) μέσα στη ζώνη Brillouin Για τα άλλα παίρνουμε σημεία έξω από τη ζώνη Brillouin. Στην διεύθυνση και για τα άλλα ( ) παίρνουμε σημεία έξω από τη ζώνη Brillouin. ) 4 έξω από τη ζώνη Brillouin Σελίδα 37 από 201

38 Άρα τελικά για την (4.8)(β) έχουμε τέσσερις λύσεις ( ) (4.12) Μαζεύοντας και τις έξι λύσεις (δηλαδή τα έξι σημεία στη ζώνη Brillouin όπου οι ενεργειακές ζώνες συναντώνται) σε ένα πίνακα: ( 4 ) ( 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ) 4 Πίνακας 4.1 Τα έξι σημεία Dirac στην πρώτη ζώνη Brillouin, χωρισμένα σε δύο στήλες ισοδύναμων μεταξύ τους σημείων, τύπου Κ (πρώτη στήλη) και Κ (δεύτερη στήλη) Αυτά τα σημεία φαίνονται και στην πιο κάτω Εικόνα 4.3: a 2 Κ Κ Κ 4 Ο Κ a 1 Κ Κ Εικόνα 4.3 Διαγραμματικά οι θέσεις των έξι σημείων Dirac μέσα στην πρώτη ζώνη Brillouin Τα έξι αυτά σημεία όμως δεν όλα ισοδύναμα μεταξύ τους. Χωρίζονται σε δύο ομάδες, τις δύο στήλες στον πίνακα. Τα σημεία σε κάθε στήλη είναι αντίστοιχα (δηλαδή φυσικά ισοδύναμα), αφού μπορούμε να τα συνδέσουμε με ένα άνυσμα του αντιστρόφου πλέγματος. Για παράδειγμα, ( ) ( ) ( ) (4.13) Αυτό δε συμβαίνει μεταξύ σημείων από διαφορετικές στήλες. Άρα τελικά μπορούμε να πάρουμε σαν εκπροσώπους των δύο μη ισοδύναμων σημείων, τα και 4, δηλαδή τα ( ) (4.14) Σελίδα 38 από 201

39 όπου (4.15) Συμβολίζουμε το σημείο και όλα τα ισοδύναμά του ως και το σημείο (το σημείο που είναι μη-ισοδύναμο στο ) και όλα τα ισοδύναμά του ως. Ο βαθμός ελευθερίας που σχετίζεται με την τιμή του ονομάζεται valley βαθμός ελευθερίας. Αν έχουμε είμαστε σε (ή γύρω από) ένα σημείο Dirac τύπου, ενώ αν έχουμε είμαστε σε (ή γύρω από) ένα σημείο. Τέλος, σημειώνουμε ότι στην πραγματικότητα τρεις από τις έξι πλευρές του εξαγώνου που ονομάσαμε ζώνη Brillouin δεν περιλαμβάνονται στη ζώνη Brillouin γιατί τα σημεία που βρίσκονται πάνω τους έχουν ισοδύναμους εκπροσώπους στις ακριβώς απέναντι πλευρές. Οπότε η λύση των εξισώσεων (4.4) δίνει από την αρχή δύο μη ισοδύναμα σημεία στη ζώνη Brillouin. [10] Περιληπτικά Τα σημεία Dirac χωρίζονται σε δύο ομάδες μη ισοδύναμων σημείων του αντιστρόφου πλέγματος και. Εκπρόσωπος των σημείων είναι το ενώ εκπρόσωπος των είναι το Αυτά γράφονται και σαν όπου ο δείκτης του valley (βαθμού ελευθερίας). Σελίδα 39 από 201

40 Πώς προκύπτουν οι κώνοι Dirac Έχοντας εντοπίσει τις θέσεις των σημείων Dirac (4.14), 4 (4.16) ας αναπτύξουμε τις ενέργειες στη γειτονιά τους (γύρω από αυτά) [10],[13]. Για να το κάνουμε αυτό ορίζουμε ένα άνυσμα το οποίο έχει σαν αρχή του ένα σημείο Dirac και το μέτρο του οποίου είναι μικρό (με την έννοια που θα δούμε αμέσως πιο κάτω). Έστω λοιπόν με (4.17) (4.18) Θυμίζουμε στον αναγνώστη ότι το είναι το μήκος των δεσμών στη γραφίνη και ισούται με. Οπότε το μικρό για το μέτρο του έχει την έννοια και η κατάλληλη παράμετρος ως προς την οποία θα αναπτύξουμε την ενέργεια είναι το. (4.19) Η σχέση (4.19) μπορεί διαφορετικά να γραφτεί σαν (4.20) Αυτό μπορεί να επιτευχθεί με δύο τρόπους,, (4.21) το συνηθισμένο όριο της Στερεάς Κατάστασης, ή, ισοδύναμα, (4.22) (σε μεγάλη απόσταση από τον κρύσταλλο βλέπουμε το μικρό), το λεγόμενο συνεχές όριο. Τα τελευταία δύο χρόνια είναι αρκετά δημοφιλής η ιδέα ότι, με το συνεχές όριο μπορεί π.χ. το σπιν να είναι στ αλήθεια ψευδοσπίν, δηλαδή ο εσωτερικός βαθμός ελευθερίας (και σε άλλα συστήματα) να προέρχεται από διακριτές ιδιότητες του χώρου, παρόλο που αυτές δεν είναι ορατές στις ενέργειες που δουλεύουμε. [63] Στο όριο το : λοιπόν επεξεργαζόμαστε κατάλληλα του εκθέτες των φάσεων στην έκφραση για ( ) ( ) (4.23) { [ ( )] [ ( )]} { [ ( )] [ ( )]} { [ ] [ ]} Σελίδα 40 από 201

41 Τώρα, για μικρό,,, οπότε { ( )} { ( )} { } ( ) ( ) Υπενθυμίζουμε τις συνιστώσες των εμπλεκόμενων ανυσμάτων (3.37),(4.15): ( ), ( ), 4 Αντικαθιστώντας αυτές παίρνουμε 4 (α) 4 (4.24) (β) (γ) Και τελικά, ( ) ( ) ( ) ( ) (4.25) Το πιο κάτω διάγραμμα δείχνει το διάνυσμα ( ) συναρτήσει των συντεταγμένων και. Μπορούμε να δούμε ξεκάθαρα ότι, στη γειτονιά των σημείων Dirac μορφή (4.25). 4 όπου τα και γίνονται και, το άνυσμα έχει τη σωστή Σελίδα 41 από 201

42 Εικόνα 4.4 Το άνυσμα ( ) συναρτήσει των συντεταγμένων και. Η εικόνα είναι εμπνευσμένη από το [16] Από την έκφραση για το μπορούμε να δούμε πολύ εύκολα πώς προκύπτει το ισοτροπικό και γραμμικό φάσμα (κώνοι) γύρω από τα σημεία Dirac: (4.26) (4.27) όπου (4.28) η ταχύτητα Fermi. Αυτή η έκφραση είναι εντάξει διαστατικά, αφού δεξιά έχουμε μονάδες Γενικότερα, (4.29) οπότε, για τη γραμμική σχέση διασποράς της γραφίνης έχουμε οπότε όντως, (4.30) (4.31) Σελίδα 42 από 201

43 Εικόνα 4.5 Η πρώτη ζώνη Brillouin με τα σημεία και τους κώνους Dirac. Η εικόνα προέρχεται από το [15] Περιληπτικά Αναπτύσσοντας την ποσότητα γύρω από τα σημεία Dirac παίρνουμε Αναπτύσσοντας την ενέργεια γύρω από τα σημεία Dirac παίρνουμε το γραμμικό ενεργειακό φάσμα όπου η ταχύτητα Fermi. Triangular Warping στην γραφίνη Οι σημαντικότερες ιδιότητες της γραφίνης προκύπτουν αναπτύσσοντας την ενέργεια και τη Χαμιλτονιανή σε γραμμικούς μόνο όρους ως προς την παράμετρο γύρω από τα σημεία Dirac, οπότε και παίρνουμε, όπως έχουμε δείξει, τους κώνους Dirac. Σε αυτή την παράγραφο θα λάβουμε υπ όψιν μας για λίγο και όρους δεύτερης τάξης ως προς για να δούμε πώς αυτοί επηρεάζουν τη συμμετρία και την ισοτροπικότητα του φάσματος. Προκύπτει τελικά ότι έχουμε τριγωνική παραμόρφωση του ισοτροπικού φάσματος, που στην εικόνα των ενεργειακών contours φαίνεται σα να το τραβήξαμε σε τρεις συγκεκριμένες κατευθύνσεις. [10],[13] Οι όροι δεύτερης τάξης στο ενεργειακό φάσμα προέρχονται αφενός από το διαγώνιο όρο της έκφρασης (3.59) ( ) (4.32) στην προσέγγιση δεύτερων πλησιέστερων γειτόνων και αφετέρου από το ανάπτυγμα του που προκύπτει από τους μη διαγώνιους όρους σε όρους και δεύτερης τάξης ως προς. Σελίδα 43 από 201

44 Θέλουμε να δούμε πώς θα τροποποιηθεί το ενεργειακό φάσμα (3.59) ( ) λαμβάνοντας υπ όψιν μας και αυτούς τους όρους δεύτερης τάξης. Όλη η πληροφορία που χρειαζόμαστε περιέχεται στο ανάπτυγμα του γύρω από τα σημεία Dirac, οπότε ας κοιτάξουμε και πάλι το στην έκφραση (4.23) και ας υπολογίσουμε τους όρους δεύτερης τάξης: (4.33) όπου ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα τελικά (4.34) Από αυτή την έκφραση μπορούμε να υπολογίσουμε και το μέτρο του σε δεύτερη τάξη: ( ) ( ) (4.35) Σελίδα 44 από 201

45 Και γράφοντας τώρα τα και σε πολικές συντεταγμένες, (4.36) ( ) ( ) (4.37) Ο τελευταίος όρος είναι και αυτός που είναι υπεύθυνος για την τριγωνική παραμόρφωση, αφού περιέχει τον παράγοντα που κάνει προνομιούχες τρεις κατευθύνσεις από το σημείο Dirac προς τα έξω. Η τριγωνική αυτή παραμόρφωση φαίνεται στο πιο κάτω διάγραμμα: Εικόνα 4.6 Η τριγωνική παραμόρφωση (triangular warping) του ενεργειακού φάσματος γύρω από ένα σημείο Dirac K. Το γκρίζο χρώμα αντιστοιχεί στην προσέγγιση δεύτερης τάξης που συζητήσαμε, ενώ το μαύρο σε ακόμα πιο ακριβή προσέγγιση. Η εικόνα προέρχεται από το [10] Τέλος, ας δώσουμε για πληρότητα την έκφραση που δίνει τη συνολική προσέγγιση μέχρι όρους δεύτερης τάξης για την ενέργεια: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) (4.38) με το όπως το υπολογίσαμε πιο πάνω. Σελίδα 45 από 201

46 Ιδιοσυναρτήσεις στη γειτονιά των σημείων Dirac Σε αυτή την ενότητα θα βρούμε τις ιδιοσυναρτήσεις για τη γραφίνη γύρω από τα σημεία Dirac. Όπως έχουμε δει, οι κώνοι Dirac προκύπτουν από το όριο (4.2) που με τη σειρά του δίνει (4.20) Για τα δύο μη ισοδύναμα σημεία Dirac όμως παίρνουμε διαφορετικά (4.25): (4.39) Σε αυτά που ακολουθούν θα υπολογίσουμε τις ιδιοσυναρτήσεις σε δύο βήματα, αρχικά κάνοντας προσεγγίσεις σε πρώτη τάξη ως προς, κρατώντας το συμβολισμό (χωρίς να διαχωρίζουμε δηλαδή τα δύο σημεία και ) και στη συνέχεια θα πάμε πιο κοντά σε κάθε σημείο Dirac, αναπτύσσοντας και το όπως πιο πάνω, σαν συνάρτηση του (του κυματανύσματος με αρχή αξόνων το σχετικό σημείο Dirac). Ο λόγος που κάνουμε την επισήμανση αυτή είναι το γεγονός ότι η πρώτη έκφραση που θα βρούμε για την ιδιοσυνάρτηση θα φαίνεται να μην εξαρτάται από το δείκτη μ του valley και μπορεί να οδηγήσει σε λάθος συμπεράσματα (αφού οι ιδιοσυναρτήσεις εξαρτώνται από το μ και μάλιστα με τρόπο που να οδηγεί στη διατήρηση της χειραλικότητας επόμενο κεφάλαιο). Είμαστε τώρα λοιπόν έτοιμοι να κάνουμε τους απαραίτητους υπολογισμούς: Η tight-binding Χαμιλτονιανή για τη γραφίνη στην προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων είναι, όπως δείξαμε (3.41): (4.40) Οι ιδιοσυναρτήσεις της έχουν τη μορφή (4.41) και βάζοντάς τις στην εξίσωση Schrödinger, (4.42) έχουμε (4.43) όπου [ ] [ ] (4.44) αγνοώντας τους όρους δεύτερης και κάθε μεγαλύτερης τάξης ως προς. Σελίδα 46 από 201

47 Βάζοντας την ενέργεια πίσω στην εξίσωση Schrödinger παίρνουμε { (4.45) όπου (4.46) Οπότε τελικά οι ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής γράφονται ως εξής: (4.47) και αφού τις κανονικοποιήσουμε, παίρνουμε τη μορφή (4.48) Μια άλλη επιλογή για την ιδιοσυνάρτηση, η οποία χρησιμοποιείται περισσότερο και στη βιβλιογραφία είναι η ( ) (4.49) Γενικότερα, έχουμε μια αυθαιρεσία φάσης στην ιδιοσυνάρτηση η οποία εξαρτάται από την κρυσταλλική ορμή και μπορεί να δημιουργήσει σύγχυση στον υπολογισμό της φάσης Berry στη γραφίνη. Θα το ξεκαθαρίσουμε όμως αυτό στο σχετικό κεφάλαιο. Θυμίζουμε και πάλι στον αναγνώστη την πιο πάνω επισήμανση: Η μορφή αυτή της ιδιοσυνάρτησης (4.48) (ή αντίστοιχα η (4.49)) δεν είναι η τελική! Αυτή θα προκύψει από τη διαδικασία που ακολουθεί. Σελίδα 47 από 201

48 Τα δύο σημεία Dirac μαζί ο ενοποιημένος συμβολισμός Η Χαμιλτονιανή (4.40) με την περαιτέρω προσέγγιση (4.39) γίνεται [ ] [ ] (4.50) όπου οι πρώτοι δύο πίνακες Pauli. Αν πάρουμε τώρα τις δύο valleys ξεχωριστά, Για, [ ] (4.51) (Οι ενέργειες δεν εξαρτώνται από το μ, δηλαδή από το κατά πόσο η κρυσταλλική ορμή είναι στη γειτονιά του ή του ) Για, [ ] (4.52) Βάζοντάς τα όλα ((4.51) και (4.52)) μαζί, ( ή, αλλάζοντας τις συνιστώσες και, ) ( ) (4.53) Σελίδα 48 από 201

49 που συμβολικά μπορεί να γραφτεί σαν (4.54) όπου, ο τρίτος πίνακας Pauli, αποφεύγοντας το συμβολισμό αφού τον έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει. Πιο απλά μπορούμε να γράψουμε (4.55) έχοντας όμως υπ όψιν μας ότι για το μπαίνει πρώτη η συνιστώσα στην ιδιοσυνάρτηση, ενώ για το μπαίνει πρώτα η συνιστώσα H μορφή που έχουν οι ιδιοσυναρτήσεις πριν τις αναπτύξουμε γύρω από τα σημεία Dirac θυμίζουμε ότι είναι οι ακόλουθη (σχέσεις (4.48) και (4.49)): ( και ( ) (4.56) ) (4.57) (για έχουμε την ίδια σχέση αλλά με αντεστραμμένες συνιστώσες στην κυματοσυνάρτηση και αντίθετη ενέργεια, -, που ανιστοιχεί σε αντίθετο, ) Όταν είμαστε στη γειτονιά αυτών των σημείων (4.39): Για (4.58) { Σελίδα 49 από 201

50 Για (4.59) { Στα πιο πάνω, (4.60) η γωνία που σχηματίζει το κυματάνυσμα με το θετικό άξονα (δηλαδή η φάση του ). Οπότε η σύνδεση της φάσης του με τη φάση του κοντά στα σημεία Dirac δεν είναι απλή, όπως συχνά αφήνεται να εννοηθεί στη βιβλιογραφία. Στην πραγματικότητα, ούτε η πιο πάνω αναπαράσταση είναι μοναδική. Το σημαντικό στοιχείο είναι ότι καθώς αλλάζουμε την αριστερόστροφα (θετικά) η αλλάζει αριστερόστροφα στο σημείο και δεξιόστροφα στο σημείο (αυτό έχει να κάνει με τη χειραλικότητα, που θα δούμε στο Κεφάλαιο 5). Αυτός είναι και ο λόγος που επιλέγουμε, χωρίς να χάνεται η γενικότητα, (4.61) (βλέπε ξανά Εικόνα 4.4) Οπότε έχουμε ( ) (4.62) και ( ) ( ) ( ) (4.63) ή χρησιμοποιώντας και το δείκτη του valley μ ( και ( ) ) (4.64) Άρα τελικά έχουμε την ίδια έκφραση για τα δύο valleys. Είναι όμως σημαντικό να θυμόμαστε ότι η γωνιά στις δύο κυματοσυναρτήσεις δεν είναι η ίδια! Στην πρώτη περίπτωση είναι η γωνιά του κυματανύσματος σε σχέση με το (ή γύρω από το) πρώτο σημείο Dirac, ενώ στη δεύτερη περίπτωση είναι η γωνιά του κυματανύσματος σε σχέση με το δεύτερο σημείο Dirac. Σελίδα 50 από 201

51 Περιληπτικά Οι ιδιοσυναρτήσεις κοντά στα σημεία Dirac είναι ή αντίστοιχα, με. ( ) Σελίδα 51 από 201

52 Κεφάλαιο 5. Χειραλικότητα (Chirality) ή Ελικότητα (Helicity) Οι τελευταίες εκφράσεις (4.64) κάπως προδίδουν τη διατήρηση της χειραλικότητας ή ελικότητας των σωματιδίων αφού σε αυτές εμφανίζεται το γινόμενο. Ας εξετάσουμε αυτό τον ισχυρισμό όμως πιο προσεκτικά. Η σχετική ποσότητα που χαρακτηρίζει τις κυματοσυναρτήσεις ονομάζεται ελικότητα και ορίζεται ως η προβολή του τελεστή της ορμής στην κατεύθυνση του ψευδοσπίν (όπως το είδαμε στη σχέση (4.55)). Ψευδοσπίν ονομάζουμε το βαθμό ελευθερίας που περιγράφει τα πλάτη πιθανότητας της κυματοσυνάρτησης στα δύο υποπλέγματα (δύο πιθανές τιμές ως συνέπεια των δύο υποπλεγμάτων). Περισσότερη ανάλυση για το ψευδοσπίν θα κάνουμε λίγο παρακάτω. Στην κβαντομηχανική ο τελεστής της ελικότητας ορίζεται ως εξής: (5.1) Είναι προφανές ότι οι ιδιοσυναρτήσεις (που μπορεί να είναι ): είναι και ιδιοσυναρτήσεις του, με ιδιοτιμές (5.2) Για να το αποδείξουμε αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι (4.55): και (4.27): γύρω από τα σημεία Dirac. (5.3) Αφού λοιπόν (γύρω από τα σημεία Dirac και μόνο) και άρα τελικά (5.4) επιβεβαιώνοντας τα πιο πάνω αποτελέσματα. Οπότε τα ηλεκτρόνια/οπές κοντά στο σημείο θετική/αρνητική ελικότητα, ενώ στο σημείο ισχύουν τα αντίθετα. έχουν Οι πιο πάνω εξισώσεις δείχνουν ότι ο τελεστής έχει τις δύο ιδιοτιμές του στην κατεύθυνση της ορμής ή στην αντίθετη κατεύθυνση (αφού οι είναι ήδη ιδιοσυναρτήσεις της κρυσταλλικής ορμής). Αυτό σημαίνει ότι οι καταστάσεις κοντά στα σημεία Dirac έχουν καλά ορισμένη χειραλικότητα ή ελικότητα, δηλαδή η ελικότητα είναι καλός κβαντικός αριθμός όσο ισχύει η προσεγγιστική Χαμιλτονιανή (5.3). Θυμόμαστε βέβαια πάντα ότι το στη γραφίνη αναφέρεται στο ψευδοσπίν που συνδέεται με τα δύο υποπλέγματα (ή αντίστοιχα με τις ζώνες π και π*) και όχι στο πραγματικό σπιν. Σε μεγαλύτερες (ή μικρότερες) ενέργειες ή στην παρουσία πεπερασμένου η ελικότητα παύει να είναι καλός κβαντικός αριθμός. [13], [19] Στο σημείο αυτό είναι καλό να ξεκαθαρίσουμε τη σχέση μεταξύ ζωνών και υποπλεγμάτων, η οποία, όπως έχουμε αναφέρει προηγουμένως στην εργασία αυτή, δεν είναι ένα προς ένα. Σελίδα 52 από 201

53 Αναμφίβολα, ο τελεστής στη μορφή της προσεγγιστικής Χαμιλτονιανής, σχετίζεται με την ύπαρξη δύο υποπλεγμάτων στη δομή της γραφίνης και όπως είπαμε ονομάζουμε αυτό το βαθμό ελευθερίας ψευδοσπίν (pseudospin). Πότε όμως θα λέμε ότι μια κατάσταση έχει ιδιοτιμή του ψευδοσπίν 1 και πότε -1; Σε αρκετές πηγές στη βιβλιογραφία αφήνεται λανθασμένα να νοηθεί ότι έχουμε ψευδοσπίν 1 για το ένα υποπλέγμα και ψευδοσπίν -1 για το άλλο. Αυτό όμως δεν είναι σωστό, είναι οι ζώνες που έχουν δείκτες 1 και -1. Και αυτές με τη σειρά τους κρύβουν μια συνεργασία μεταξύ των δύο υποπλεγμάτων. Για να είμαστε πιο ακριβείς, ας πάμε πίσω στον ορισμό του τελεστή και ας δούμε ότι αυτός σχετίζεται με το σχετικό πλάτος πιθανότητας της κυματοσυνάρτησης στα υποπλέγματα και. Η κατάσταση με ψευδοσπίν πάνω αντιπροσωπεύει την συγκέντρωση των ηλεκτρονίων στο υποπλέγμα μόνο (η πιθανότητα το ηλεκτρόνιο να είναι πάνω σε άτομο τύπου είναι μηδέν), ή, με πιο σωστούς όρους, τον εντοπισμό της ηλεκτρονικής πυκνότητας στο υποπλέγμα. Αντίστοιχα έχουμε ψευδοσπίν κάτω για τον εντοπισμό της ηλεκτρονικής πυκνότητας στο υποπλέγμα. Στη γραφίνη η ηλεκτρονική πυκνότητα μοιράζεται συνήθως μεταξύ των δύο υποπλεγμάτων, οπότε το μέρος της κυματοσυνάρτησης που οφείλεται στο ψευδοσπίν είναι γραμμικός συνδυασμός των ψευδοσπίν πάνω και κάτω: ( ), (5.5) αφού (4.64): e e e e A e e e A e e e B e e e e B e e e e e e e e e e e e A e e e e e e e B e e e e e ( μλeiθ q ) Εικόνα 5.1 Εντοπισμός της ηλεκτρονικής πυκνότητας (α) στο υποπλέγμα Α (β) στο υποπλέγμα Β και (γ) συνδυασμός των δύο Σελίδα 53 από 201

54 Με το συμβολισμό (5.5) ( ) για την συνολική κυματοσυνάρτηση μπορούμε τώρα να επιστρέψουμε στην έννοια της ελικότητας και να αποδείξουμε ότι αυτή είναι καλά ορισμένη στα σημεία Dirac με ένα διαφορετικό τρόπο. Ας γράψουμε τον τελεστή του ψευδοσπίν σαν και την κρυσταλλική ορμή γύρω από τα σημεία Dirac σαν Για να δούμε τη σύνδεση του ψευδοσπίν με την κρυσταλλική ορμή γύρω από τα σημεία Dirac πρέπει να βρούμε την αναμενόμενη τιμή του τελεστή ψευδοσπίν ως προς την πιο πάνω κυματοσυνάρτηση (5.5) (5.6) ( ) ( ) (5.7) ( ) ( ) (5.8) ( ) ( ) Οπότε τελικά (5.9) Από εδώ φαίνεται η άμεση σύνδεση με την κρυσταλλική ορμή (5.10) και το γεγονός ότι (5.11) επιβεβαιώνοντας τη διατήρηση της ελικότητας. Οπότε στο σημείο το ψευδοσπίν είναι παράλληλο στη διεύθυνση της κρυσταλλικής ορμής για τα ηλεκτρόνια (πάνω ζώνη) και αντιπαράλληλο για τις οπές (κάτω ζώνη), ενώ στο σημείο ισχύουν τα αντίθετα. Σελίδα 54 από 201

55 q y q y σ σ e K θ q K θ q q x q x σ e σ Εικόνα 5.2 Στο σημείο Κ (δεξιά) το ψευδοσπίν είναι παράλληλο στη διεύθυνση της κρυσταλλικής ορμής για τα ηλεκτρόνια και αντιπαράλληλο για τις οπές, ενώ στο σημείο Κ (αριστερά) ισχύουν τα αντίθετα Περιληπτικά Κοντά στα σημεία Dirac έχουμε διατήρηση της χειραλικότητας, με τα ηλεκτρόνια/οπές κοντά στο σημείο να έχουν θετική/αρνητική ελικότητα, ενώ στο σημείο ισχύουν τα αντίθετα. Οι κυματοσυναρτήσεις έχουν τη μορφή ( ) όπου το ψευδοσπίν πάνω δείχνει εντοπισμό της ηλεκτρονικής πυκνότητας στο υποπλέγμα Α και το ψευδοσπίν κάτω εντοπισμό της ηλεκτρονικής πυκνότητας στο υποπλέγμα Β. Σελίδα 55 από 201

56 Κεφάλαιο 6. Φάση Berry Μεταφέρουμε και πάλι εδώ τις κυματοσυναρτήσεις (4.64) για να σχολιάσουμε περαιτέρω: ( ) και ( ) Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι χρησιμοποιώντας τη δεύτερη επιλογή για τις κυματοσυναρτήσεις, αλλάζοντας τη σχετική γωνιά κατά η σχετική κυματοσυνάρτηση πολλαπλασιάζεται με ένα παράγοντα. Στις περισσότερες πηγές στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι το γεγονός αυτό δείχνει ότι τα σημεία και σχετίζονται με μια φάση Berry. Αυτό όμως δεν είναι απόλυτα ορθό επιχείρημα, γιατί κανείς θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει την πρώτη επιλογή για τις κυματοσυναρτήσεις και να συμπεράνει, λανθασμένα, ότι η φάση του Berry στο σύστημα είναι ίση με. Ο σωστός τρόπος για να δείξουμε ότι η φάση Berry για τη γραφίνη είναι είναι αυτός που ακολουθούμε αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο. Πρώτα όμως ας θυμίσουμε στον αναγνώστη πώς εμφανίζεται στη Φυσική η φάση Berry, καθώς και σχετιζόμενες ποσότητες που θα χρειαστούμε παρακάτω. Αδιαβατικό Θεώρημα Το αδιαβατικό θεώρημα λέει [20] ότι αν αλλάξουμε σταδιακά (και αργά) μια Χαμιλτονιανή από σε και το σύστημά μας είναι αρχικά στην στιγμιαία n-ιοστή ιδιοκατάσταση της (δηλαδή για κάθε χρόνο ), τότε θα μεταφερθεί από την χρονικά εξαρτημένη εξίσωση Schrödinger στην n-ιοστή ιδιοκατάσταση της, υποθέτοντας ότι το φάσμα είναι διακριτό και δεν έχουμε εκφυλισμούς. (Δηλαδή η πολύ αργή (αδιαβατική) αλλαγή της δεν επιφέρει μεταπτώσεις σε άλλες ιδιοκαταστάσεις). Το παραπάνω είναι πιο τεκμηριωμένο για περιπτώσεις που η μεταβάλλεται με το χρόνο μέσω της εξάρτησής της από παραμέτρους (οι οποίες αλλάζουν αργά με το χρόνο), όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα. Όμως, καταχρηστικά, κάποιοι χρησιμοποιούν αυτή τη θεωρία και σε περίπτωση ρητής (explicit) εξάρτησης της από το χρόνο, γι αυτό και ξεκινούμε με αυτή την ενότητα. Αν η Χαμιλτονιανή μας είναι χρονοανεξάρτητη και το σύστημα ξεκινά από την n-ιοστή ιδιοκατάσταση (6.1) τότε το σύστημα μένει σε αυτή, παίρνοντας ως γνωστό απλά ένα παράγοντα φάσης, Για μια Χαμιλτονιανή που εξαρτάται από το χρόνο, (6.2) (6.3) όπου οι στιγμιαίες ιδιοσυναρτήσεις αποτελούν ορθοκανονικό και πλήρες σετ, (6.4) Σελίδα 56 από 201

57 η γενική λύση της εξίσωσης Schrödinger (6.5) μπορεί να γραφτεί σαν γραμμικός συνδυασμός αυτών: (6.6) όπου η δυναμική φάση. (6.7) Με μερικές πράξεις μπορούμε να υπολογίσουμε και τους συντελεστές κατάλληλο όριό τους στην αδιαβατική προσέγγιση. και να πάρουμε το Πρώτα βάζουμε την (6.6) στην (6.5), [ ] (6.8) αλλά από τις (6.3) και (6.7) φαίνεται ότι μπορούμε να απλοποιήσουμε τους δύο τελευταίους όρους για να πάρουμε [ ] (6.9) Το εσωτερικό γινόμενο της τελευταίας εξίσωσης με ένα δίνει (6.10) Παράλληλα, με χρονική παραγώγιση της (6.3) παίρνουμε και το εσωτερικό γινόμενο αυτής με μια δίνει Πίσω στην (6.10) [ ( )] (6.11) Σελίδα 57 από 201

58 Στην αδιαβατική προσέγγιση αγνοούμε το άθροισμα στα δεξιά και παίρνουμε μόνο τον πρώτο όρο, (6.12) Αυτή η διαφορική εξίσωση έχει λύση (6.13) όπου (6.14) Αν τώρα το σύστημα ξεκινά στην κατάσταση, δηλαδή (6.15) τότε παίρνουμε το τελικό αποτέλεσμα (6.16) όπου (6.17) η δυναμική φάση και (6.18) η λεγόμενη γεωμετρική φάση. Αυτό αποδεικνύει όντως το γεγονός ότι το σύστημα μένει στην αρχική ιδιοκατάσταση παίρνοντας μόνο δύο παράγοντες φάσης. Περιληπτικά Το αδιαβατικό θεώρημα λέει [20] ότι αν αλλάξουμε σταδιακά (και αργά) μια Χαμιλτονιανή από σε και το σύστημά μας είναι αρχικά στην n-ιοστή ιδιοκατάσταση της, τότε θα μεταφερθεί από την χρονικά εξαρτημένη εξίσωση Schrödinger στην n-ιοστή ιδιοκατάσταση της, υποθέτοντας ότι το φάσμα είναι διακριτό και δεν έχουμε εκφυλισμούς. Σελίδα 58 από 201

59 Η φάση του Berry σε σύστημα με χρονική εξάρτηση μέσω παραμέτρων [20], [21], [22] Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε ένα σύστημα του οποίου η Χαμιλτονιανή εξαρτάται από το χρόνο μέσω μιας σειράς παραμέτρων, : (6.19) Σε αυτή την περίπτωση και οι ιδιοσυναρτήσεις από το χρόνο, μέσω των παραμέτρων, του συστήματος θα εξαρτώνται έμμεσα (6.20) Θέλουμε να μελετήσουμε την αδιαβατική εξέλιξη του συστήματος καθώς μεταβάλλουμε τις παραμέτρους κατά μήκος ενός κλειστού μονοπατιού στο χώρο των παραμέτρων. Έστω ότι οι στιγμιαίες ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής έχουν σαν βάση το ορθοκανονικό σετ { } με ενέργειες : (6.21) Η στιγμιαία αυτή εξίσωση Schrödinger δεν είναι αρκετή για να καθορίσει πλήρως τις ιδιοσυναρτήσεις - έχουμε αυθαιρεσία φάσης (που εξαρτάται από τις παραμέτρους ). Στην ανάλυση που ακολουθεί, υποθέτουμε ότι η φάση αυτή των ιδιοσυναρτήσεων είναι ομαλή (συνεχής) και μονότιμη κατά μήκος του μονοπατιού στο χώρο των παραμέτρων. Υποθέτοντας ότι μεταβάλλουμε τις παραμέτρους αρκετά αργά (αδιαβατικά), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αν αρχίσουμε με μια ιδιοσυνάρτηση ( ), το σύστημα θα παραμείνει στην ιδιοσυνάρτηση αυτή, η οποία εν τω μεταξύ εξελίσσεται χρονικά σε ( ) (ιδιοσυνάρτηση της στιγμιαίας Χαμιλτονιανής ( )) σε όλη την ακόλουθη διαδικασία (από το Αδιαβατικό Θεώρημα). Για τη χρονοεξαρτημένη εξίσωση Schrödinger η ιδιοσυνάρτηση παίρνει, όπως δείξαμε και μια έξτρα δυναμική φάση: [ ( )] ( ) (6.22) Άρα το μόνο που μας απομένει είναι να προσδιορίσουμε τη (γεωμετρική) φάση της κβαντικής κατάστασης του συστήματος, [ ( )] (6.23) τέτοια ώστε [ ( )] [ ( )] ( ) (6.24) Η κατάσταση πρέπει να ικανοποιεί τη χρονοεξαρτημένη εξίσωση Schrödinger ( ) (6.25) Σελίδα 59 από 201

60 και άρα, όπως έχουμε δείξει, η έκφραση που δίνει τη γεωμετρική φάση είναι η (6.26) μόνο που τώρα (6.27) οπότε τελικά (6.28) όπου και οι αρχικές και τελικές τιμές των παραμέτρων αντίστοιχα. Προσέξτε ότι ο χρόνος έχει εξαφανιστεί παίζουν ρόλο μόνο οι αρχικές και τελικές τιμές, των παραμέτρων. Αν τώρα η Χαμιλτονιανή επιστρέψει στην αρχική της μορφή (δηλαδή ) μετά από χρόνο T, σημαίνει ότι έχουμε κλειστό μονοπάτι ολοκλήρωσης στο χώρο των παραμέτρων, η πιο πάνω έκφραση ονομάζεται φάση του Berry και έχει παίξει σημαντικότατο ρόλο σε πρόσφατες ανακαλύψεις σε πολλές και διαφορετικές περιοχές της Φυσικής. Δίνεται από τη σχέση (6.29) Παρατηρήστε και πάλι ότι η ποσότητα αυτή είναι καθαρά γεωμετρική (δεν εξαρτάται από τη διάρκεια της κυκλικής διαδικασίας (σε αντιδιαστολή με τη δυναμική φάση)). Αυτό μπορούμε να το γράψουμε και σαν (6.30) όπου (6.31) η λεγόμενη Berry connection ή το διανυσματικό δυναμικό Berry. H Berry connection εξαρτάται από τη βαθμίδα (ή από την ελευθερία φάσης που έχουμε να πολλαπλασιάζουμε τα στιγμιαία ιδιοανύσματα ), αφού αν κάνουμε μια αλλαγή φάσης, με την τυχαία ομαλή (smooth) συνάρτηση τότε (6.32) (6.33) και η Berry connection αλλάζει σε που έχει όντως τη μορφή ενός μετασχηματισμού βαθμίδας. (6.34) Σελίδα 60 από 201

61 Η φάση Berry αλλάζει σε ( ) ( ) (6.35) όπου και το τελικό και αρχικό σημείο στο χώρο των παραμέτρων, πάνω στο μονοπάτι. Για ένα γενικό μονοπάτι θα μπορούσαμε να επιλέξουμε την έτσι ώστε η να είναι μηδενική, γι αυτό και ο κόσμος αγνοούσε τη γεωμετρική φάση μέχρι το 1984, όταν ο Berry έδειξε ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Όταν όμως το μονοπάτι είναι κλειστό, οπότε και η επιλογή βαθμίδας ( προϋποθέτει ότι η ) είναι μονότιμη, οπότε ( ) ( ) (6.36) και άρα η φάση του Berry που ορίζεται δεν αλλάζει (είναι gauge invariant) και δεν μπορεί γενικά να αγνοηθεί (είναι μετρήσιμη ποσότητα). Επισημαίνουμε και πάλι ότι, η φάση του Berry (6.37) εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία του χώρου των παραμέτρων, άσχετα από το πώς αυτές αλλάζουν με το χρόνο κατά τη διάρκεια της αδιαβατικής διαδικασίας (δεδομένου βέβαια ότι η αλλαγή τους γίνεται όντως αδιαβατικά). Θα δούμε αργότερα ότι η λεγόμενη Berry curvature που είναι πιο θεμελιακή ποσότητα από τη φάση του Berry, ορίζεται τοπικά ως (6.38) και η φάση του Berry τότε για μια κυκλική διαδικασία δίνεται από (6.39) (δηλαδή η φάση Berry η ροή της Berry curvature διαμέσου μια επιφάνειας που περιορίζεται από τον κυκλικό δρόμο ). Σελίδα 61 από 201

62 Περιληπτικά Για ένα σύστημα του οποίου η Χαμιλτονιανή εξαρτάται από το χρόνο παραμέτρων, : μέσω μιας σειράς οι στιγμιαίες ιδιοσυναρτήσεις { } με ενέργειες : μαζεύουν, εκτός από τη γνωστή δυναμική φάση και μια γεωμετρική φάση [ ( )], όταν μεταβάλουμε αδιαβατικά τη Χαμιλτονιανή. Για ένα κλειστό μονοπάτι στο χώρο των παραμέτρων παίρνουμε τη φάση Berry που είναι μετρήσιμη ποσότητα, εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία του χώρου των παραμέτρων και δίνεται από τον τύπο όπου η λεγόμενη Berry connection ή το διανυσματικό δυναμικό Berry. Η Berry curvature ορίζεται ως και έχουμε τη σχέση Σελίδα 62 από 201

63 Η φάση του Berry στη γραφίνη Θυμίζουμε για ακόμα μια φορά τις ιδιοσυναρτήσεις γύρω από τα σημεία Dirac (4.64) ( ) και ( ) Αν τώρα προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε το αποτέλεσμα που είδαμε πριν (6.37): για να βρούμε τη φάση του Berry στη γραφίνη (με παράμετρο τώρα την κρυσταλλική ορμή,, δηλαδή για κυκλικά αδιαβατικά ταξίδια του γύρω από κάθε σημείο Dirac), θα διαπιστώσουμε ότι οι δύο εναλλακτικές επιλογές (φάσεων) (4.64) για την κυματοσυνάρτηση π.χ. γύρω από το σημείο : και ( ) δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα. Σε πολικές συντεταγμένες (6.40) και το μονοπάτι που θα θεωρήσουμε εδώ ας είναι ένας κύκλος γύρω από το σημείο Dirac. Επιλογή 1: (6.41) (6.42) Επιλογή 2: ( ) (6.43) Σελίδα 63 από 201

64 ( ) ( ) ( ) ( ) (6.44) Ποιος είναι ο λόγος που παίρνουμε δύο διαφορετικά αποτελέσματα; Και ποιο από τα δύο είναι το σωστό; Το κλειδί στο πιο πάνω παράδοξο είναι το γεγονός ότι με την πρώτη επιλογή η φάση της κυματοσυνάρτησης αλλάζει με ομαλό (συνεχή) τρόπο και στο τέλος της ημέρας επαναφέρει τις κυματοσυναρτήσεις στην αρχική τους τιμή (μονοτιμία των που υποθέσαμε για να βγάλουμε το αποτέλεσμα (6.37)), όπως δηλαδή πρέπει να συμβαίνει για να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον πιο πάνω τύπο για τη φαση του Berry. Το τι συμβαίνει με τη δεύτερη επιλογή είναι ότι όλη η συνεισφορά στη φάση Berry όταν πάμε γύρω από το σημείο Dirac σε κλειστό κύκλο έρχεται από το τελευταίο σημείο. Πιο σωστά, είναι η διαφορά στη φάση της κυματοσυνάρτησης όταν είμαστε σε και σε που δίνει τη φάση Berry, γεγονός το οποίο επικαλούνται και όλες οι πηγές στη βιβλιογραφία. Οι Park και Marzari [23] το δείχνουν αυτό και με τον κατάλληλο φορμαλισμό, τον οποίο θα δείξουμε αμέσως. Η διακριτή γεωμετρική φάση του Pancharatnam [24] Η μεγάλη διαφορά στη δουλειά του Pancharatnam (που φαίνεται ότι ήταν η πρώτη φορά που εμφανίστηκε στη Φυσική (Οπτική) μια γεωμετρική φάση χωρίς η αξία της να συνειδητοποιηθεί ούτε από τον ίδιο το συγγραφέα) είναι το γεγονός ότι αφορά τη διακριτή γεωμετρική φάση και δεν απαιτεί τη συνέχειά της, σε αντίθεση με τη δουλειά του Berry που δείξαμε πριν. Ας πάμε λοιπόν να δούμε το φορμαλισμό αυτό. Έστω ότι έχουμε, όπως και πριν, μια Χαμιλτονιανή που εξαρτάται από μια σειρά παραμέτρων, (6.45) Οι κυματοσυναρτήσεις ανήκουν όλες στο ίδιο χώρο Hilbert και άρα πρέπει να ικανοποιούν συνοριακές συνθήκες ανεξάρτητες των παραμέτρων και υποθέτουμε ότι η θεμελιώδης κατάσταση δεν είναι εκφυλισμένη. Ορίζουμε τη διαφορά φάσης μεταξύ των θεμελιωδών ιδιοκαταστάσεων σε δύο διαφορετικά σημεία στο χώρο των παραμέτρων ως (6.46) (6.47) Σελίδα 64 από 201

65 Για δύο συγκεκριμένες καταστάσεις, η φάση είναι μοναδική modulo 2π, εκτός από την πολύ ειδική περίπτωση που οι καταστάσεις είναι ορθογώνιες. Δεν έχει όμως φυσική σημασία, αφού η φάση των συναρτήσεων μπορεί να οριστεί διαφορετικά (επιλογή βαθμίδας). Ας επιλέξουμε τώρα ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων και ας υπολογίσουμε τη συνολική διαφορά φάσης κατά μήκος του κλειστού μονοπατιού που συνδέει τα σημεία με συγκεκριμένη σειρά, όπως φαίνεται στο πιο κάτω διάγραμμα: Εικόνα 6.1 Κλειστό μονοπάτι στο χώρο των παραμέτρων. Η εικόνα προέρχεται από το [24] ( 4 ) ( 4 ) (6.48) Με αυτό τον τρόπο (με κυκλική διαδικασία), οι αυθαίρετες φάσεις λόγω επιλογής βαθμίδας ακυρώνονται σε ζευγάρια και τελικά η είναι ανεξάρτητη βαθμίδας. Οπότε η φάση αυτή είναι μετρήσιμο μέγεθος και, σε αντίθεση με τα συνηθισμένα μετρήσιμα μεγέθη, δε μπορούμε να τη γράψουμε σαν αναμενόμενη τιμή κάποιου Ερμιτιανού τελεστή. Αν τώρα πάρουμε το όριο στο οποίο έχουμε άπειρα (και πολύ κοντινά ) σημεία να σχηματίζουν ένα κλειστό μονοπάτι, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, προκύπτει η φάση Berry: Εικόνα 6.2 Το κλειστό μονοπάτι στο χώρο των παραμέτρων στο όριο που έχουμε άπειρα, πολύ κοντινά σημεία. Η εικόνα προέρχεται από το [24] Σελίδα 65 από 201

66 Σε αυτό το όριο η διαφορά φάσης δύο πολύ κοντινών σημείων και είναι (6.49) Αν τώρα υποθέσουμε ότι αυτή αλλάζει με παραγωγίσιμο τρόπο (η παράγωγός της δηλαδή ορίζεται) παίρνουμε, σε κυρίαρχη τάξη (leading order) ως προς (6.50) Και στο όριο τώρα που τα σημεία σχηματίζουν ένα κλειστό συνεχές μονοπάτι παίρνουμε (6.51) όπου η γραμμική διαφορική μορφή (6.52) είναι πραγματική (επειδή οι καταστάσεις είναι κανονικοποιημένες). Σύντομη απόδειξη του τελευταίου ισχυρισμού: (6.53) Άρα τελικά η φάση Berry γ ορίζεται ως (6.54) σε συμφωνία με αυτό που είχαμε βρει και πιο πάνω. Επεξήγηση του παραδόξου Χρησιμοποιώντας λοιπόν αυτή τη διακριτή έκδοση της φάσης Berry μπορούμε να δούμε ότι παίρνουμε το σωστό αποτέλεσμα και με τις δύο επιλογές φάσης για την κυματοσυνάρτηση γύρω από τα σημεία Dirac. Επιλέγουμε ένα κλειστό κυκλικό μονοπάτι (συγκεκριμένης ενέργειας) γύρω από ένα σημείο Dirac, π.χ. το, όπως φαίνεται στο σχήμα: Σελίδα 66 από 201

67 Εικόνα 6.3 Κλειστό μονοπάτι σταθερής ενέργειας γύρω από το σημείο Dirac Κ, και διακριτοποίησή του. Η εικόνα προέρχεται από το [23] Με αυτό τον τρόπο (6.55) όπου (6.56) Επιλογή 1 (6.41): ( [ ] ) (6.57) Επιλογή 2 (6.43): ( ) { ( ) } (6.58) { } Περιληπτικά Η φάση Berry στη γραφίνη είναι ίση με π. Αυτό θα παίξει σημαντικό ρόλο στην παρουσία του Ανώμαλου Κβαντικού Φαινομένου Hall, όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 11. Σελίδα 67 από 201

68 Απουσία Οπισθοσκέδασης (Backscattering) στη γραφίνη Χρησιμοποιώντας τώρα την κυματοσυνάρτηση (4.64): μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να έχουμε σκέδαση σε γωνιά. (6.59) (6.60) (6.61) όπου η διαφορά φάσης των ανυσμάτων,. Oπότε η πιθανότητα σκέδασης σε γωνιά είναι (6.62) Αυτή η κατανομή φαίνεται, σχεδιασμένη, σε πολικές συντεταγμένες, στο πιο κάτω διάγραμμα: Εικόνα 6.4 Πιθανότητα σκέδασης σε γωνία φ στη γραφίνη Όπως φαίνεται καθαρά τόσο από τη σχέση (6.62), όσο και από το διάγραμμα, η πιθανότητα να έχουμε σκέδαση σε γωνία ίση με π είναι μηδενική, με άλλα λόγια έχουμε απουσία οπισθοσκέδασης (backscattering). Γι αυτό το λόγο αν έχουμε μια κατάσταση άκρου αυτή ταξιδεύει χωρίς να οπισθοσκεδάζεται. Όπως θα δούμε αργότερα, μελετώντας τις λεγομενες καταστάσεις άκρων (edge states), η πλήρης απουσία οπισθοσκέδασης οδηγεί σε χειραλικό (chiral) ρεύμα, δηλαδή σε ρεύμα που ρέει σε μια πάντα διεύθυνση (και το οποίο είναι αναίσθητο σε σκεδάσεις πάνω σε μημαγνητικές προσμίξεις). Σελίδα 68 από 201

69 Κεφάλαιο 7. Κυκλοτρονική Ενεργός Μάζα (Cyclotron Effective Mass), Πυκνότητα καταστάσεων και φύση του υλικού γραφίνη Κυκλοτρονική ενεργός μάζα [8], [19], [25], [26] H κυκλοτρονική ενεργός μάζα, καθορίζεται στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης από τις ημικλασικές εξισώσεις κίνησης των φορτίων (ηλεκτρονίων ή οπών) μέσα σε μαγνητικό πεδίο και δίνεται από τη σχέση [8] (7.1) όπου, το εμβαδό στον (δισδιάστατο) χώρο της κρυσταλλικής ορμής (της σφαίρας/κύκλου Fermi). Για ένα συμβατικό σύστημα (με ) θα παίρναμε σταθερή (βλέπε πιο κάτω), ενώ για τη γραφίνη, όπου κοντά στα σημεία Dirac έχουμε, και άρα τελικά (7.2) (7.3) όπου η (επιφανειακή) πυκνότητα των φορέων. Η πιο πάνω έκφραση ισχύει για ηλεκτρόνια, αλλά και για τις οπές ισχύει ακριβώς η ίδια σχέση, με απόλυτη τιμή στην πυκνότητα των φορέων. Με προσαρμογή των πειραματικών δεδομένων στην πιο κάτω κατανομή παίρνουμε την πιο κάτω εικόνα [25] Εικόνα 7.1 Η ταχύτητα του κυκλότρου για τους φορείς της γραφίνης σαν συνάρτηση της πυκνότητας φορέων (θετικής για τα ηλεκτρόνια και αρνητικής για τις οπές). Με κύκλους φαίνονται τα πειραματικά δεδομένα και με πράσινη γραμμή η προσαρμοσμένη κατανομή. Η εικόνα προέρχεται από το [25] Σελίδα 69 από 201

70 με τιμή προσαρμογής για την ταχύτητα Fermi. (7.4) Σημειώνουμε επίσης εδώ τη σχέση μάζας ενέργειας για το φαινομενικά σχετικιστικό σύστημα της γραφίνης (7.5) με την ταχύτητα Fermi να παίζει το ρόλο της ταχύτητας του φωτός. Το γεγονός ότι τα πειραματικά δεδομένα προσαρμόζονται με τόσο καλό τρόπο στην κατανομή αποτελεί ουσιαστικά απόδειξη της ύπαρξης σωματιδίων Dirac με μηδενική μάζα στη γραφίνη, αφού σε ένα σύστημα με παραβολικό ενεργειακό φάσμα θα παίρναμε, όπως είπαμε σταθερή ενεργό μάζα (σε 2 διαστάσεις) αντί αυτού που παίρνουμε. Πράγματι, για ελεύθερους φορείς θα είχαμε (7.6) και άρα τελικά (7.7) Πυκνότητα καταστάσεων Σε ένα γενικό δισδιάστατο σύστημα, για να βρούμε την πυκνότητα καταστάσεων ως προς την ενέργεια,, χρησιμοποιούμε αυτή της κρυσταλλικής ορμής, μαζί με τον τύπο που συνδέει ενέργεια και κρυσταλλική ορμή. Με περιοδικές συνοριακές συνθήκες στα άκρα του (ορθογώνιου) χώρου συνιστώσες της κρυσταλλικής ορμής κβαντώνονται ως εξής: προκύπτει ότι οι (7.8) όπου το μήκος του συστήματος (που υποθέτουμε ότι είναι ένα μεγάλο τετράγωνο). Oπότε η πυκνότητα καταστάσεων στο χώρο (που ισούται με τον αριθμό καταστάσεων ανά μονάδα επιφάνειας στον αληθινό χώρο και ανά μονάδα επιφάνειας στο χώρο ) είναι (7.9) όπου ο εκφυλισμός λόγω ψευδοσπίν και valley. Σελίδα 70 από 201

71 Αν τώρα θέλουμε να συσχετίσουμε την πυκνότητα ως προς την ενέργεια με αυτή, είναι χρήσιμο να κοιτάξουμε την πιο κάτω εικόνα, όπου όντως φαίνονται τα σημεία στις κατάλληλες θέσεις: k y k dk k x Εικόνα 7.2 Η διακριτότητα του χώρου k και το μέτρημα καταστάσεων Θέλουμε να μετρήσουμε πόσα σημεία έχουμε σε μια απειροστή λεπτή κυκλική λωρίδα σαν αυτή που φαίνεται στο σχήμα και να συνδέσουμε αυτό τον αριθμό με τον αριθμό των ενεργειών στις οποίες αντιστοιχούν ούτως ώστε να βρούμε τον αριθμό των καταστάσεων ανά ενέργεια : και παρόμοια για την κάτω ζώνη, οπότε τελικά προκύπτει (7.10) Οι τελευταίες εκφράσεις ισχύουν μόνο γύρω από τα σημεία Dirac, αφού χρησιμοποιήσαμε τη γραμμικότητα του ενεργειακού φάσματος και η πυκνότητα καταστάσεων προκύπτει να είναι γραμμική ως προς την ενέργεια εκεί, με ασυνέχεια της παραγώγου. Οι Hobson και Nierberg [27] κατάφεραν να βρουν σε αναλυτική μορφή την πυκνότητα καταστάσεων για ολόκληρο το φάσμα των ενεργειών, στην προσέγγιση μόνο πλησιέστερων γειτόνων. Αυτή φαίνεται διαγραμματικά στην πιο κάτω εικόνα: Σελίδα 71 από 201

72 Εικόνα 7.3 Πυκνότητα καταστάσεων στη γραφίνη σαν συνάρτηση της ενέργειας, μαζί με μεγέθυνση κοντά στο σημείο Dirac όπου η πυκνότητα καταστάσεων είναι προσεγγιστικά γραμμική. Η εικόνα προέρχεται από το [19]. Μέταλλο ή ημιαγωγός; - Ελάχιστη αγωγιμότητα στη γραφίνη [28], [29], [30] Η γραφίνη ονομάζεται ημιμέταλλο αλλά και ημιαγωγός με μηδενικό χάσμα. Ο λόγος για την πρώτη ονομασία είναι το γεγονός ότι το ενεργειακό φάσμα δεν έχει χάσματα, αλλά ακριβώς πάνω στα σημεία Dirac δεν έχουμε φορείς για να άγουν ηλεκτρικό ρεύμα (μηδενική πυκνότητα καταστάσεων εκεί). Από την άλλη, ονομάζεται και ημιαγωγός με μηδενικό χάσμα γιατί ακριβώς δεν είναι μέταλλο με τη συνηθισμένη έννοια. Σύμφωνα όμως με τους Geim και Novoselov [29] η ονομασία μέταλλο είναι η ορθή για τη γραφίνη, αφού ακόμα και σε (μηδενική πυκνότητα φορέων), προκύπτει ότι έχουμε μη- μηδενική αγωγιμότητα, τη λεγόμενη ελάχιστη δυνατή αγωγιμότητα, που θεωρητικά προκύπτει να είναι ίση με ενώ πειραματικά μετριέται ως (7.11) (7.12) Η απουσία του παράγοντα από τα πειραματικά δεδομένα δεν έχει ακόμα εξηγηθεί. (Έχει αποκαλεστεί the problem of the missing ). Στην επόμενη εικόνα παρουσιάζουμε τις πειραματικές τιμές της ελάχιστης αγωγιμότητας για 50 δείγματα γραφίνης. Η απόκλιση των τιμών από την ελάχιστη αγωγιμότητα είναι σχετικά μικρή. Σελίδα 72 από 201

73 Εικόνα 7.4 Η ελάχιστη δυνατή αγωγιμότητα στη γραφίνη για 50 δείγματα γραφίνης. Ανεξάρτητα από την κινητικότητα (mobility) μ των φορέων, οι τιμές συγκεντρώνονται γύρω από την τιμή και μόνο ένα παίρνει τη θεωρητική τιμή. Η εικόνα προέρχεται από το [29] Περιληπτικά H κυκλοτρονική ενεργός μάζα για τη γραφίνη είναι με την πυκνότητα φορέων. Η πυκνότητα καταστάσεων γύρω από τα σημεία Dirac δίνεται από τη σχέση Η γραφίνη σαν υλικό είναι ημιμέταλλο ή ημιαγωγός μηδενικού χάσματος και εμφανίζει ελάχιστη αγωγιμότητα (πειραματική) που δεν είναι σε συμφωνία με θεωρητική αναμενόμενη τιμή Σελίδα 73 από 201

74 Κεφάλαιο 8. Σχετικιστικά σωματίδια με σπιν Εξίσωση Dirac [31],[10] Το ανάπτυγμα του ενεργειακού φάσματος γύρω από τα σημεία Dirac (Κεφάλαιο 4), έχει προκύψει να είναι γραμμικό, θυμίζοντας το ενεργειακό φάσμα της (2+1) διάστατης εξίσωσης Dirac για σωματίδια με μηδενική στην περίπτωσή μας μάζα. Θυμίζουμε γρήγορα στον αναγνώστη την εξίσωση Dirac σε 2+1 διαστάσεις (δηλαδή για διαστατικότητα χώρου ), για να επιβεβαιώσουμε ότι αυτή είναι όντως η μορφή την οποία μιμείται η γραφίνη γύρω από τα σημεία Dirac. Στη σχετικιστική κβαντομηχανική ο χώρος και ο χρόνος σχετίζονται. Τα ανύσματα έχουν τώρα τέσσερις συνιστώσες, μια χρονική και τρεις χωρικές: (8.1) Η ενέργεια είναι αντίστοιχη με την παράγωγο ως προς χρόνο και η ορμή είναι αντίστοιχη με την παράγωγο ως προς χώρο:, (8.2) Λόγω της άμεσης σύνδεσης του χώρου και του χρόνου, σε μια σχετικιστική εξίσωση η τάξη του χώρου πρέπει να είναι ίδια με την τάξη του χρόνου. Σε μια πιο παλιά προσπάθεια οι Klein και Gordon εισηγήθηκαν την εξίσωση Klein-Gordon (για σωματίδια χωρίς σπιν), η οποία έκανε χρήση δεύτερων παραγώγων ως προς χρόνο και χώρο, η οποία όμως είχε παρουσιάσει διάφορα προβλήματα, μεταξύ των οποίων αρνητικές πυκνότητες πιθανότητας και αρνητικές ενέργειες. Στη συνέχεια ο Dirac εισηγήθηκε μια νέα σχετικιστική εξίσωση με πρώτες παραγώγους ως προς χώρο και χρόνο, η οποία δίνει θετικές πυκνότητες πιθανότητας και στην οποία η αρνητικές ενέργειες μπορούν να ερμηνευτούν ως λύσεις της εξίσωσης για αντισωματίδια. Η περίφημη εξίσωση Dirac έχει τη μορφή (στην απουσία οποιωνδήποτε ηλεκτρομαγνητικών πεδίων για ελεύθερο σωματίδιο): ή όπου τα [ ] (8.3) [ ] (8.4) είναι τελεστές τους οποίους θα υπολογίσουμε πιο κάτω. Αν πάρουμε το τετράγωνο τη σχέσης (8.4) (αν εφαρμόσουμε δηλαδή τους τελεστές δύο φορές) παίρνουμε [ ][ ] (8.5) Κάνοντας τώρα κάποιες πράξεις, [ ][ ] [ ][ ] (σύμβαση Einstein για άθροισμα δεικτών) Σελίδα 74 από 201

75 [ 4 ] [ 4 ] (8.6) όπου στον πρώτο όρο συμμετροποιήσαμε το (δεν πρέπει να αλλάζει με την ανταλλαγή με ) και στον τελευταίο αλλάξαμε το με (δεν αλλάζει κάτι αφού αθροίζονται οι δείκτες). Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε κυματοσυνάρτηση, οπότε 4 (8.7) Το τετράνυσμα τώρα της ορμής έχει τη μορφή (8.8) και στην ειδική περίπτωση που είμαστε στο σύστημα αναφοράς στο οποίο το σωματίδιο είναι ακίνητο (σύστημα ηρεμίας), (8.9) Τα εσωτερικά γινόμενα των τετρανυσμάτων στην σχετικιστική φυσική πρέπει να είναι αμετάβλητα κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz (Lorentz invariants ή scalars), δηλαδή σταθερές της κίνησης, οπότε για κάθε δύο τετρανύσματα και πρέπει να ισχύει όπου τα τονούμενα δείχνουν μετασχηματισμό Lorentz (αλλαγή συστήματος αναφοράς). Σαν ειδική περίπτωση αυτού, πρέπει να ισχύει ότι (8.10) (8.11) Στα πιο πάνω όταν ο δείκτης κατεβαίνει, το χωρικό κομμάτι του τετρανύσματος παίρνει ένα έξτρα πρόσημο πλην (Αυτό είναι απλά σύμβαση, στην περίπτωση που η signature που χρησιμοποιούμε είναι, εναλλακτικά θα μπορούσε να πάρει ένα έξτρα πλην το χρονικό κομμάτι, οπότε και θα είχαμε signature. Το σημαντικό είναι το σχετικό πρόσημο του χωρικού και χρονικού κομματιού του τετρανύσματος να είναι αντίθετο). Άρα και (8.12) Οπότε η σχέση (8.11) μας δίνει τελικά 4 4 (8.13) Σελίδα 75 από 201

76 Αυτή είναι η γενική σχέση που δίνει την ενέργεια σε ένα σχετικιστικό σύστημα και άρα κάθε σχετικιστική εξίσωση, και άρα και η εξίσωση Dirac, πρέπει να την υπακούει. Από τη σχέση (8.7) βλέπουμε ότι πρέπει να ισχύουν τα εξής για τους τελεστές να βρούμε: που ψάχνουμε (8.14) Άρα οι τελεστές πρέπει να είναι πίνακες ( για την ώρα κάποιος αυθαίρετος ακέραιος), με επιπλέον ιδιότητες τις πιο κάτω: 1. Η Χαμιλτονιανή είναι ερμιτιανή, οπότε και οι τελεστές : (8.15) και (8.16) 2. και, (8.17) οπότε οι τελεστές έχουν ιδιοτιμές. 3. (8.18) (8.19) Οπότε το πρέπει τελικά να είναι άρτιος αριθμός. Παρόμοια και για το β συμπεραίνουμε τελικά ότι όλοι οι ζητούμενοι τελεστές-πίνακες πρέπει να έχουν άρτιες διαστάσεις. Η μικρότερη δυνατή διάσταση είναι η, όπως στην περίπτωση της γραφίνης. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε (παίζει ρόλο η διαστατικότητα του χώρου που εδώ είναι ) να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες Pauli στη θέση των τελεστών που ψάχνουμε,, και, οπότε η δισδιάστατη χαμιλτονιανή έχει τη μορφή (8.20) (Για (αν είχαμε ) η μορφή αλλάζει με όχι προφανή τρόπο, αλλά αυτή η περίπτωση δεν έχει να κάνει με τη γραφίνη και ως εκ τούτου δε θα ασχοληθούμε μαζί της). Μπορούμε να δούμε ότι αυτή η μορφή ταυτίζεται με την (4.55) (με προηγουμένως, για ) που βρήκαμε (8.21) Δε θα ασχοληθούμε περισσότερο σε αυτή τη διατριβή με τις σχετικιστικές ιδιότητες της γραφίνης, ο αναγνώστης μπορεί αν ενδιαφέρεται να ανατρέξει στη διατριβή μάστερ [32] για να βρει σχετικές συζητήσεις. Σελίδα 76 από 201

77 Κεφάλαιο 9. Σωματίδιο σε μαγνητικό πεδίο [39] Σε αυτή την ενότητα μπαίνουμε στην καρδιά του προβλήματος που μας ενδιαφέρει. Θα ασχοληθούμε με την κίνηση ηλεκτρονίων σε δισδιάστατο σύστημα, υπό την επίδραση ομογενούς μαγνητικού πεδίου κάθετου στην δισδιάστατη επιφάνεια. Αν και αυτό δεν είναι το ιδανικότερο μοντέλο στη γραφίνη, όπου έχουμε κρύσταλλο και ο αριθμός των ηλεκτρονίων, συνδέεται με τη δομή του κρυσταλλικού πλέγματος, εντούτοις δίνει μια πρώτη αίσθηση του τι συμβαίνει και οδηγεί σε σημαντικά τοπολογικά φαινόμενα τόσο στους συνηθισμένους δισδιάστατους ημιαγωγούς όσο και στο σύστημα της γραφίνης. Εξάλλου στο όριο που το είναι μικρό (continuum model), τα ηλεκτρόνια δε βλέπουν πλέον την κρυσταλλική δομή της γραφίνης και άρα το jellium model που μελετούμε εδώ δεν είναι και τόσο κακή προσέγγιση. Σε αυτά που ακολουθούν λοιπόν μελετούμε τις στάθμες Landau για ελεύθερα ηλεκτρόνια (και αργότερα, στο Κεφάλαιο 10, θα λάβουμε υπ όψιν μας και το κρυσταλλικό περιβάλλον). Η Χαμιλτονιανή που περιγράφει ένα ελεύθερο μη σχετικιστικό σωματίδιο σε τρεις διαστάσεις (ή, στην περίπτωσή μας, σε δύο διαστάσεις) είναι η γνωστή: (9.1) όπου η ενεργός μάζα, η οποία λαμβάνει υπ όψιν της το περιβάλλον του σωματιδίου, π.χ. κρύσταλλο. Αν τώρα το σωματίδιο βρίσκεται σε μαγνητικό πεδίο, η Χαμιλτονιανή που το περιγράφει θα αλλάξει σύμφωνα με την ελάσσονα αντικατάσταση, πρέπει δηλαδή να αντικαταστήσουμε την κανονική με την κινηματική ορμή (η οποία θυμίζουμε ότι είναι η ποσότητα που έχει φυσική σημασία: είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδας και σχετίζεται άμεσα με τον τελεστή της ταχύτητας [ ] με το γνωστό τρόπο ) Στην πιο πάνω έκφραση Α είναι το διανυσματικό δυναμικό από το οποίο παίρνουμε το μαγνητικό πεδίο μέσω της σχέσης και είναι το φορτίο του σωματιδίου και ισούται με για ένα ηλεκτρόνιο, οπότε έχουμε ( ) (9.2) Η συνηθισμένη μέθοδος για να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα είναι να λύσουμε την εξίσωση Schrödinger σε επίπεδο κυματοσυναρτήσεων, για να βρούμε τις ενέργειες και τις κυματοσυναρτήσεις για τα επίπεδα Landau. Υπάρχει όμως και μια πιο αφηρημένη αλγεβρική μέθοδος, η οποία μένει στο επίπεδο τελεστών και kets και δίνει έμφαση στις σταθερές της κίνησης του προβλήματος, με αποτέλεσμα να δείχνει καλύτερα τις κρυμμένες δυναμικές συμμετρίες. Εμείς θα ακολουθήσουμε και τις δύο (γιατί η καθεμιά από τις δύο έχει τη δική της χρησιμότητα σε διαφορετικές περιστάσεις) και θα δείξουμε (προς ικανοποίηση του αναγνώστη για τη συνέπεια των διαφορετικών μεθόδων) ότι τα αποτελέσματα που παίρνουμε είναι τα ίδια. Σελίδα 77 από 201

78 1. Στάθμες Landau σε επίπεδο κυματοσυναρτήσεων (λύση σε συγκεκριμένη βαθμίδα) Μη σχετικιστικά επίπεδα Landau [33], [34] ( ) (9.3) Ας δουλέψουμε στη βαθμίδα Landau : η Χαμιλτονιανή τότε γίνεται { } (9.4) και άρα η εξίσωση Schrödinger: { } (9.5) Και τώρα, αφού [ ], μπορούμε να ψάξουμε για κοινές ιδιοσυναρτήσεις των και. Πράγματι, βρίσκουμε ότι στην διεύθυνση η κυματοσυνάρτηση (ιδιοσυνάρτηση της ) θα έχει τη μορφή επίπεδου κύματος (ώστε να είναι ταυτόχρονα και ιδιοσυνάρτηση του ), οπότε (9.6) και όλο το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στην εύρεση της μορφής της. Η δράση του πάνω στην δίνει: { } { } { } { } Πίσω στην εξίσωση Schrödinger τώρα παίρνουμε { } Διαιρούμε όλους τους όρους με, { } Σελίδα 78 από 201

79 (9.7) και, χρησιμοποιώντας τη σχέση όπου, η συχνότητα του κυκλότρου (9.8) έχουμε τελικά ότι η ζητούμενη πρέπει να ικανοποιεί την μονοδιάστατη εξίσωση Schrödinger (9.9) Αυτή η διαφορική εξίσωση είναι στην ουσία η εξίσωση Schrödinger για ένα μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή, μετατοπισμένο (shifted) στη θέση ισορροπίας του κατά (9.10) στην διεύθυνση. Χρησιμοποιώντας την έκφραση για το λεγόμενο μαγνητικό μήκος (9.11) δηλαδή (9.12) η μετατόπιση αυτή του κέντρου της ταλάντωσης μπορεί να γραφτεί σαν (Σημειώστε ότι, σε αντίθεση με το χαρακτηριστικό μήκος (9.13) (9.14) ενός μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή, το είναι ανεξάρτητο της μάζας, γεγονός το οποίο έχει να κάνει με την παγκοσμιότητα του Κβαντικού Φαινομένου Hall που θα δούμε παρακάτω, σε όλα τα υλικά ανεξάρτητα της μάζας των ηλεκτρονίων.) Σελίδα 79 από 201

80 Ως γνωστόν, οι ενέργειες δεν εξαρτώνται από τη θέση ισορροπίας, οπότε έχουμε που είναι οι λεγόμενες στάθμες Landau. (9.15) Οι λύσεις της εξίσωσης (9.9) είναι πολυώνυμα Hermite επί μια γκαουσιανή συνάρτηση: ( ) (9.16) Βάζοντας το αποτέλεσμα αυτό πίσω στην κυματοσυνάρτηση (9.6) παίρνουμε με (9.17) Οι κυματοσυναρτήσεις εξαρτώνται τόσο από το όσο και από το, τη στιγμή που οι ενέργειες εξαρτώνται μόνο από το. Αυτό δείχνει ότι οι στάθμες Landau είναι εκφυλισμένες, γιατί σε κάθε ενέργεια αντιστοιχούν πολλές καταστάσεις, καθεμιά με διαφορετικό. Αμέσως πιο κάτω θα βρούμε και αριθμητικά αυτό τον εκφυλισμό (ο οποίος αναμένουμε ότι θα είναι πολύ μεγάλος μακροσκοπικός) Στη διεύθυνση έχουμε τρέχον κύμα και μπορούμε να υποθέσουμε ότι το σύμπαν στο οποίο ζει το ηλεκτρόνιο είναι ένα ορθογώνιο διαστάσεων επί. Εφαρμόζοντας περιοδικές συνοριακές συνθήκες στη x διεύθυνση το κβαντώνεται ως εξής: (9.18) με (9.19) Επίσης, το παίρνει τιμές από μέχρι (χωρίς να χάνεται η γενικότητα), οπότε και το κέντρο της ταλάντωσης περιορίζεται μεταξύ αυτών των τιμών: (9.20) Το οποίο τελικά περιορίζει τις τιμές που μπορεί να πάρει το : Σελίδα 80 από 201

81 (9.21) Ο εκφυλισμός, τώρα, μιας στάθμης Landau μπορεί να βρεθεί μετρώντας πόσες (κβαντωμένες) τιμές για το έχουμε μέσα σε αυτό το διάστημα: (9.22) (9.23) όπου η συνολική ροή που διαπερνά την επιφάνεια και το κβάντο μαγνητικής ροής. Πολλές φορές συμφέρει να γράψουμε διαφορετικά τον πιο πάνω εκφυλισμό σαν το πηλίκο της ολικής επιφάνειας διά το εμβαδό που αντιστοιχεί σε μια μικροκατάσταση, (9.24) Συγκρίνοντας με την έκφραση (9.22) παίρνουμε (9.25) Οπότε μια (μικρο)κατάσταση αντιστοιχεί σε εμβαδό (το οποίο δίνει και μια χοντρική φυσική ερμηνεία για το μαγνητικό μήκος ). Μια άλλη φυσική ερμηνεία θα δοθεί αργότερα σε αυτό το Κεφάλαιο. Περιληπτικά Για ένα μη σχετικιστικό ηλεκτρόνιο σε κάθετο στο δισδιάστατο επίπεδο έχουμε τη Χαμιλτονιανή ( ) Στη βαθμίδα Landau προκύπτουν οι ιδιοσυναρτήσεις με όπου το λεγόμενο μαγνητικό μήκος. Οι ενέργειες (στάθμες Landau) είναι εκφυλισμένες με βαθμό εκφυλισμού. Σελίδα 81 από 201

82 Σχετικιστικά επίπεδα Landau Γραφίνη [35], [36], [37], [13] Η Χαμιλτονιανή για ένα massless σχετικιστικό σωματίδιο με φορτίο e σε μαγνητικό πεδίο είναι ( ) (9.26) (Θυμίζουμε ότι η ταχύτητα Fermi παίζει το ρόλο της ταχύτητας του φωτός). Επίσης πρέπει να επισημανθεί ότι έχουμε επιπρόσθετα ελάσσονα αντικατάσταση σε σχέση με πριν. Στη γραφίνη όμως, όπως δείξαμε, έχουμε μια μεγαλύτερη χαμιλτονιανή, που οφείλεται στην παρουσία δύο μη ισοδύναμων σημείων στο αντίστροφο πλέγμα στο χώρο των ορμών. Θυμίζουμε την εξίσωση (4.53): ( ) Οπότε, (9.27) ( ) Θυμίζουμε ότι για ένα κρύσταλλο (περιοδικό δυναμικό) η Χαμιλτονιανή που προκύπτει από την tight-binding μέθοδο είναι συνάρτηση της κρυσταλλικής ορμής και για να πάμε στην κανονική ορμή (ή στην κινηματική ορμή, όταν είμαστε μέσα σε μαγνητικό πεδίο) χρειάζεται να κάνουμε την αντικατάσταση Peierls [38] (9.28) Στη γραφίνη χρησιμοποιούμε την (μικρή σε μέτρο) κρυσταλλική ορμή σε σχέση με τα κρίσιμα Dirac στην πιο πάνω έκφραση: (9.29) οπότε και προκύπτει η πιο πάνω μορφή (9.27). Ας παραλείψουμε για λίγο τους δείκτες : (9.30) Σελίδα 82 από 201

83 Η εξίσωση Dirac (9.31) ( ) (και πάλι παραλείποντας τους πολλούς δείκτες στις ενέργειες ), μπορεί να γραφτεί αναλυτικά, σαν τέσσερις μονοδιάστατες εξισώσεις: { (9.32) Συνδυάζοντας την πρώτη (9.32)(α) με τη δεύτερη (9.32)(β) εξίσωση μπορούμε να βρούμε τη λύση (κυματοσυναρτήσεις και ενέργειες) για τα σημεία στο χώρο των ορμών: Η ποσότητα ή αντίστοιχα, [ ] (9.33) Αυτή η μη-μεταθετικότητα των, ([ ] ) είναι στη βάση της Φυσικής του Κβαντικού Φαινομένου Hall που θα συζητήσουμε, όχι μόνο στη Γραφίνη αλλά και στους συμβατικούς ημιαγωγούς (όπως βέβαια είναι και στη βάση των επιπέδων Landau και του εκφυλισμού τους, που είδαμε προηγουμένως και θα ξαναδούμε παρακάτω). Συνεχίζοντας, (9.34) Σελίδα 83 από 201

84 Αν δουλέψουμε και πάλι στη βαθμίδα Landau και γράψουμε την κυματοσυνάρτηση σαν (9.35) έχουμε, όπως και πριν (9.9), αλλά με αντί : { } Παρατηρούμε ότι και πάλι το δεξί μέλος της εξίσωσης αντιστοιχεί σε μονοδιάστατο μετατοπισμένο αρμονικό ταλαντωτή με την ίδια θέση ισορροπίας και με ενέργειες (9.36) Οπότε τελικά (9.37) Οι πρώτες μερικές ενέργειες (για τη συνιστώσα ) είναι λοιπόν (9.38) Παρατηρείστε ότι έχουμε και μηδενική ενέργεια ως επιτρεπόμενη (σε αντίθεση με το προηγούμενο μη-σχετικιστικό πρόβλημα). Τι θα γινόταν όμως αν λύναμε τις εξισώσεις (9.32)(α) και (9.32)(β) ως προς ; Ας το δοκιμάσουμε! Και πάλι, από την (9.32)(α) και (9.32)(β) έχουμε Σελίδα 84 από 201

85 (9.39) Και, αν δουλέψουμε στην ίδια βαθμίδα με τον ίδιο τρόπο, τελικά (9.40) Εδώ (για τη συνιστώσα ), οι πρώτες μερικές ενέργειες είναι (9.41) Η μεγάλη διαφορά αυτού του αποτελέσματος με το (9.37) είναι το γεγονός ότι δεν παίρνουμε ενέργεια εδώ, σε αντίθεση με την (9.37). Αυτό έχει ενδιαφέρουσες συνέπειες στον εκφυλισμό των επιπέδων Landau. Για, η κυματοσυνάρτηση έχει μη μηδενικές συνιστώσες τόσο για το όσο και για το υποπλέγμα. Για όμως, μόνο η μία είναι μη μηδενική: στο σημείο που εξετάσαμε η συνιστώσα είναι μηδενική και η όχι (στη λύση της συνιστώσας έχουμε τέτοια ενέργεια, ενώ στη λύση της δεν έχουμε). Για να βρούμε τις ενέργειες για τα (9.32): { σημεία χρειάζεται απλά να παρατηρήσουμε τις εξισώσεις Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι οι λύσεις για τα σημεία είναι ίδιες με αυτές των σημείων, αν αλλάξουμε και (9.42) Άρα θα έχουμε ουσιαστικά τις ίδιες ενέργειες με αλλαγμένες όμως συνιστώσες. Αυτό δεν δίνει κάτι διαφορετικό ως προς τη φυσική του προβλήματος, οπότε ας επικεντρωθούμε στα σημεία. Πριν αφήσουμε όμως τα σημεία αναφέρουμε ότι η μη μηδενική συνιστώσα της κυματοσυνάρτησης για ενέργεια μηδέν είναι η στα σημεία και η στα σημεία. Σελίδα 85 από 201

86 Η ασυμμετρία μεταξύ της συμπεριφοράς των κυματοσυναρτήσεων στα και υποπλέγματα προέρχεται από την ασυμμετρία στις θέσεις των και πλησιέστερων γειτόνων. Σε αυτή την ιδιότητα των κυματοσυναρτήσεων για τα επίπεδα Landau στη γραφίνη οφείλει την εκδήλωσή του το Ανώμαλο Κβαντικό Φαινόμενο Hall, όπως θα δείξουμε αργότερα (Κεφάλαιο 12). Ας προχωρήσουμε τώρα στις κυματοσυναρτήσεις των σημείων. Από τη σχέση (9.17): μπορούμε αμέσως να γράψουμε (9.43) και μπορούμε να βρούμε τη συνιστώσα από τη σχέση (9.32)(α): (9.44) Για να το κάνουμε όμως αυτό χρειάζεται να ξέρουμε κάποιες ιδιότητες των πολυωνύμων Hermite. Ένας ορισμός του πολυωνύμου Hermite n-οστής τάξης είναι ο εξής: (9.45) Από εδώ μπορούμε να δείξουμε δύο σημαντικές αναδρομικές (recurring) σχέσεις. Γενικά, [Απόδειξη: Ισχύει για, έστω ότι ισχύει για Θα δείξουμε ότι ισχύει για, ότι δηλαδή: Σελίδα 86 από 201

87 [ ] ] Αυτή η σχέση δίνει τελικά την αναδρομική σχέση για τα πολυώνυμα Hermite (9.46) Επίσης, αν παραγωγίσουμε το, και, χρησιμοποιώντας την πιο πάνω σχέση (9.46), (9.47) Μπορούμε λοιπόν τώρα να επιστρέψουμε πίσω στο πρόβλημά μας. Αρχίζουμε με τις πιο κάτω παραγωγίσεις: (9.48) Βάζοντας τώρα όλα αυτά πίσω στη σχέση (9.44), με χρήση της (9.43) παίρνουμε όπου τα ορίσματα των Hermite είναι όλα και χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις για το μαγνητικό μήκος και τη θέση ισορροπίας του μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή ( και ) παίρνουμε Η τελευταία σχέση απλοποιείται πολύ αφού οι περισσότεροι όροι διαγράφονται για να μείνει τελικά (9.49) Σελίδα 87 από 201

88 Και αφού η ενέργεια δίνεται από τον τύπο (9.37), (9.50) Ξεχωρίζουμε τις περιπτώσεις που έχουμε (αντίστοιχα ), οπότε ( ) ( ) (9.51) και (αντίστοιχα ), οπότε ( ) (9.52) Βλέπουμε στα παραπάνω ξεκάθαρα τις ιδιότητες των κυματοσυναρτήσεων που είχαμε παρατηρήσει προηγουμένως. Θυμίζουμε ότι στο το πλην αντιστοιχεί στην αρνητική ενέργεια και το συν στην θετική. Τέλος, για τα σημεία όπως είπαμε έχουμε τα ίδια αποτελέσματα, με αντεστραμμένες συνιστώσες και αντίθετες ενέργειες ( ) ( ) (9.53) ( ) (9.54) Τα αποτελέσματα θα χρησιμοποιηθούν για την κατανόηση του Ανώμαλου Κβαντικού Φαινομένου Hall στο Kεφάλαιο 12. Σελίδα 88 από 201

89 Περιληπτικά Για ένα massless σχετικιστικό σωματίδιο με φορτίο e σε κάθετο ομογενές μαγνητικό πεδίο η Χαμιλτονιανή είναι ( ) Οι ενέργειες (στάθμες Landau) είναι τώρα με ιδιαιτερότητα (μισός εκφυλισμός) στη στάθμη. Στη βαθμίδα Landau προκύπτουν οι ιδιοσυναρτήσεις (για τα σημεία Dirac ) ) για (αντίστοιχα ), ( ) για (αντίστοιχα ), οπότε ( και αντίστοιχες για τα : ) για (αντίστοιχα ), ( ) για (αντίστοιχα ), οπότε ( ) ( ) ) ) ( ) ) Σελίδα 89 από 201

90 2. Στάθμες Landau με αλγεβρική μέθοδο τελεστών και kets (ανεξάρτητη βαθμίδας) Ξεκινώντας από τη σχέση μετάθεσης θέσης και ορμής και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα μπορούμε να αποδείξουμε ότι Απόδειξη (με Επαγωγή): Για n=1 ισχύει. Έστω ότι ισχύει για : Πρέπει να δείξουμε ότι ισχύει και για [ ] (9.55) [ ] [ ] [ ] (9.56) [ ] (9.57) [ ], δηλαδή ότι [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Παρόμοια [ ] [ ] (9.58) ενώ παίρνουμε μηδενικό αποτέλεσμα για μεταθέτες διαφορετικών θέσεων και ορμών, όπως π.χ. [ ] (9.59) Αν τώρα κάνουμε ανάπτυγμα Taylor οποιασδήποτε αναλυτικής συνάρτησης της θέσης, (9.60) παίρνουμε [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ] ) Σελίδα 90 από 201

91 και [ ] Άρα τελικά [ ] (9.61) Ας χρησιμοποιήσουμε τα παραπάνω στοιχειώδη αποτελέσματα στα όσα ακολουθούν: Οι συνιστώσες της κινηματικής ορμής ικανοποιούν τις σχέσεις μετάθεσης [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Όμως Οπότε τελικά Στα πιο πάνω το Kronecker δέλτα που ορίζεται ως [ ]. (9.62) { (9.63) και το σύμβολο Levi-Civita που ορίζεται ως { (9.64) ενώ έχουμε και πάλι χρησιμοποιήσει τη σύμβαση του Einstein για τους δείκτες. Για το μαγνητικό πεδίο σταθερό, στη -διεύθυνση, (9.65) [ ] [ ], (9.66) ενώ [ ] [ ] Σελίδα 91 από 201

92 Χρησιμοποιώντας το μαγνητικό μήκος, μπορούμε εναλλακτικά να γράψουμε τη (9.66) σαν [ ] (9.67) Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές αναβίβασης και καταβίβασης (ladder operators), (9.68) με στόχο να απλοποιήσουμε, όπως θα δούμε πιο κάτω, τη διαδικασία της λύσης. Ο ονομάζεται τελεστής καταβίβασης και ο τελεστής αναβίβασης γιατί, όπως και στον αρμονικό ταλαντωτή κατεβάζουν και ανεβάζουν αντίστοιχα την ενέργεια του συστήματος κατά ένα επίπεδο. Οι τελεστές αυτοί έχουν οριστεί πολλαπλασιασμένοι με κατάλληλο παράγοντα ώστε να δίνουν τη σχέση μετάθεσης [ ] : [ ] [ ] ([ ] [ ] [ ] [ ]) { } [ ] (9.69) Αντιστρέφοντας τις σχέσεις (9.68) μπορούμε να γράψουμε τις συνιστώσες της κινηματικής ορμής συναρτήσει των τελεστών αναβίβασης και καταβίβασης: και (9.70) Σημειώστε ότι, όπως αναφέρεται και στον τίτλο, η μέθοδος αυτή ισχύει για οποιαδήποτε βαθμίδα (τα αποτελέσματα είναι δηλαδή ανεξάρτητα της μορφής του που υπάρχει μέσα στην κινηματική ορμή ). Μη σχετικιστικά επίπεδα Landau [39] Ας δούμε πρώτα την εικόνα την εικόνα των επιπέδων Landau για ένα μη σχετικιστικό σύστημα πριν προχωρήσουμε στο σχετικιστικό σύστημα των ηλεκτρονίων στη γραφίνη. (9.71) (S: Schrödinger, B: Μαγνητικό πεδίο) Σελίδα 92 από 201

93 { } { } { } {[ ] } (9.72) όπου, η συχνότητα του κυκλότρου Όπως και στον αρμονικό ταλαντωτή, ο τελεστής αριθμού (number operator), (Σημειώστε ότι, ως γνωστό, ) (9.73) (9.74) Εδώ πρέπει να προειδοποιήσουμε τον αναγνώστη ότι η πιο πάνω μορφή για τις καταστάσεις δεν είναι η τελική, αφού δε δίνει τις εκφυλισμένες καταστάσεις μέσα σε κάθε στάθμη Landau. Αυτή (9.110) θα τη δούμε στην επόμενη ενότητα, μετά από κατάλληλη συζήτηση για τους τελεστές του κέντρου της κυκλικής ημικλασικής τροχιάς. Οι ενέργειες δίνονται από τη σχέση Επίπεδα Landau (9.75) Οι τελεστές λοιπόν είναι inter-landau Level τελεστές (κατεβάζουν και ανεβάζουν αντίστοιχα την ενέργεια κατά ένα επίπεδο). Όπως θα δούμε όμως παρακάτω υπάρχει και ένα δεύτερο ζευγάρι (intra-landau Level τελεστές ) που δεν μας βγάζουν έξω από τον υπόχωρο του εκφυλισμού της κάθε στάθμης Landau και με πολλαπλή τους δράση μετράει κανείς τον εκφυλισμό. Η παρουσία τους οφείλεται σε μια άλλη διανυσματική σταθερά της κίνησης όπως θα δούμε. Εικόνα 9.1 Οι στάθμες Landau για ένα μη σχετικιστικό σύστημα σαν συνάρτηση (του μαγνητικού πεδίου ή) του δείκτη της στάθμης. Η εικόνα προέρχεται από το [39] Σελίδα 93 από 201

94 Σχετικιστικά επίπεδα Landau [39], [40], [41] Για massless σχετικιστικό σωματίδιο φορτίου e σε μαγνητικό πεδίο τώρα, ισχύει η εξίσωση Dirac, για την οποία η Χαμιλτονιανή έχει τη μορφή (9.26): ( ) (9.76) που αξίζει να σημειωθεί ότι γράφεται αμέσως συναρτήσει των τελεστών αναβίβασης και καταβίβασης: (9.77) όπου η ταχύτητα Fermi για τη γραφίνη. (D: Dirac, B: Μαγνητικό πεδίο) Εδώ ας ορίσουμε μια χαρακτηριστική συχνότητα. (9.78) Πρέπει να λύσουμε την εξίσωση (9.79) όπου η κυματοσυνάρτησή μας έχει δύο συνιστώσες (αφού η χαμιλτονιανή είναι ένας 2 2 πίνακας): (9.80) Βάζοντας αυτό στην πιο πάνω εξίσωση και με χρήση του νέου έχουμε: { (9.81) (9.82) Οπότε το συμπεριφέρεται σαν την στον αρμονικό ταλαντωτή: (9.83) Όπως και στις Σελίδες 84,85, αν λύσουμε ως προς την άλλη συνιστώσα της κυματοσυνάρτησης θα πάρουμε παρόμοιο ενεργειακό φάσμα, χωρίς όμως τη μηδενική ενέργεια: (9.84) Σελίδα 94 από 201

95 (9.85) Το δίνει τη ζώνη αγωγιμότητας και το τη ζώνη σθένους. Οι ενεργειακές στάθμες Landau που έχουν προκύψει φαίνονται στην πιο κάτω εικόνα: Εικόνα 9.2 Οι στάθμες Landau για το σχετικιστικό σύστημα της γραφίνης σαν συνάρτηση (του μαγνητικού πεδίου ή) του δείκτη της στάθμης. Η εικόνα προέρχεται από το [39] Έχοντας τώρα βρει τη μια συνιστώσα της κυματοσυνάρτησης μπορούμε να βρούμε και την άλλη: (για ) (9.86) Οπότε τελικά η κυματοσυνάρτηση ορίζεται (διαφορετικά για και ) ως εξής: ( ) ( ) (9.87) Τα παραπάνω είναι σε συμφωνία με αυτά που είχαμε βρει προηγουμένως (9.51),(9.52)(Σελίδα 88). Και πάλι όμως (όπως και στη μη σχετικιστική περίπτωση), η πιο πάνω μορφή για τις κυματοσυναρτήσεις δεν είναι η τελική, αφού αυτή (9.111) χρειάζεται και ένα έξτρα δείκτη που σχετίζεται με το κέντρο της ημικλασικής τροχιάς, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Σελίδα 95 από 201

96 Περιληπτικά Ορίζουμε τους τελεστές αναβίβασης και καταβίβασης (ladder operators), οι οποίοι κατεβάζουν και ανεβάζουν αντίστοιχα την ενέργεια του συστήματος κατά ένα επίπεδο και για τους οποίους ισχύει η σχέση μετάθεσης [ ] Για το μη σχετικιστικό σύστημα η Χαμιλτονιανή μπορεί να γραφτεί ως όπου δίνοντας τα επίπεδα Landau, η συχνότητα του κυκλότρου, και τις ιδιοκαταστάσεις σε ket μορφή (η οποία όμως δεν είναι η τελική, αυτή θα τη δούμε στη συνέχεια και θα έχει έξτρα δείκτη που σχετίζεται με το κέντρο της ημικλασικής τροχιάς). Για το massless σχετικιστικό σωματίδιο φορτίου e η Χαμιλτονιανή δίνοντας τα επίπεδα Landau με ιδιαιτερότητα (μισό εκφυλισμό στη στάθμη ) και τις ιδιοκαταστάσεις ( ) ( ) (η οποία και πάλι δεν είναι η τελική, αυτή θα τη δούμε στη συνέχεια και θα έχει έξτρα δείκτη που σχετίζεται με το κέντρο της ημικλασικής τροχιάς). Σελίδα 96 από 201

97 Ημικλασσική θεώρηση των σταθμών Landau (ο εκφυλισμός ως εκδήλωση μιας δυναμικής συμμετρίας) Οι κλασσικές εξισώσεις κίνησης για ένα ηλεκτρόνιο μάζας (λαμβάνοντας υπ όψιν το περιβάλλον του κρυστάλλου) σε μαγνητικό πεδίο είναι (αφού ): ( ) (9.88) { (9.89) Ολοκληρώνοντας τις δύο αυτές εξισώσεις παίρνουμε { (9.90) Και, συνδυασμένες, δίνουν τη διαφορική εξίσωση για το (9.91) και την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση για το (9.92) για τις οποίες μια λύση είναι η εξής: { (9.93) Η κίνηση που περιγράφουν αυτές οι εξισώσεις είναι η γνωστή κυκλική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Οι τελεστές δείχνουν το κέντρο της κυκλικής κίνησης του ηλεκτρονίου, (ή καλούμενο στη βιβλιογραφία ως guiding centre), το οποίο είναι προφανώς σταθερά της κίνησης, ενώ οι τελεστές όπου { (9.94) δείχνουν την κίνηση ως προς το κέντρο του κύκλου, ή αλλιώς την πορεία της ακτίνας. Σελίδα 97 από 201

98 Επίσης, από τις (9.90) έχουμε τις πιο κάτω εκφράσεις για τις συνιστώσες της ακτίνας: { (9.95) οπότε η Χαμιλτονιανή (9.96) γράφεται άμεσα συναρτήσει μόνο του : ή ισοδύναμα (9.97) Το γεγονός ότι η Χαμιλτονιανή εξαρτάται μόνο από τον τελεστή της ακτίνας και όχι από τον τελεστή του κέντρου δίνει μια αρχική ένδειξη του εκφυλισμού ως προς τη θέση του κέντρου. Ισοδύναμα, ο εκφυλισμός είναι συνέπεια μιας δυναμικής συμμετρίας, της σταθεράς της κίνησης, αν οριστούν τελεστές με τον ίδιο τρόπο όπως και στο κλασικό πρόβλημα (δηλαδή και ) R R c Εικόνα 9.3 Διαγραμματικά οι τελεστές της θέσης, του κέντρου και της ακτίνας σε μια ημικλασική θεώρηση όπου έχουμε κίνηση σε κυκλική τροχιά r Εκφυλισμός των σταθμών Landau Το πλήρες σύστημά μας περιγραφόταν αρχικά από τέσσερις τελεστές:,, και. Στην ανάλυση σε επίπεδο τελεστών που ακολουθήσαμε πιο πάνω χρησιμοποιήσαμε μόνο δύο τελεστές, τους και (Inter-Landau Level τελεστές). Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουμε καταγράψει όλη την πληροφορία που έχουμε για το σύστημα. Για να το πετύχουμε αυτό, πρέπει να ορίσουμε δύο νέους, ανεξάρτητους τελεστές που η δράση τους θα μας δείχνει κάτι περισσότερο για το σύστημα. Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι οι τελεστές που περιγράφουν το σύστημα έρχονται σε ζευγάρια συζυγών τελεστών, οπότε και οι δύο νέοι τελεστές που θα βρούμε θα πρέπει να αποτελούν συζυγές ζεύγος. Σελίδα 98 από 201

99 Παίρνοντας ως κίνητρο την προηγούμενη εύρεση των τελεστών κέντρου (σταθερές της κίνησης), είναι φανερό ότι μια πολύ καλή επιλογή για το ζεύγος αυτό που χρειαζόμαστε μπορεί να οριστεί σαν, (9.98) Οι τελεστές και είναι πολύ σημαντικοί αφού έχουν την ιδιότητα να μας μεταφέρουν από τη μια εκφυλισμένη κατάσταση σε άλλη, μέσα στην ίδια στάθμη Landau (διότι όπως θα δούμε και όπως αναμένεται από τα πάνω μετατίθενται με τη Χαμιλτονιανή). Από τις σχέσεις (9.90) που είδαμε προηγούμενα ότι δίνουν τους τελεστές κέντρου { (9.99) μπορούμε να βρούμε τη σχέση μετάθεσης μεταξύ τους [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (9.100) (αφού το διανυσματικό δυναμικό είναι συνάρτηση μόνο της θέσης). Η σχέση μετάθεσης μεταξύ των και δίνει τότε [ ] [ ] ([ ] [ ] [ ] [ ]) { } [ ] (9.101) Επίσης μπορούμε να βρούμε τις σχέσεις μετάθεσης μεταξύ των, και των,. Πρώτα βρίσκουμε τις σχέσεις μετάθεσης των με τους τελεστές : [ ] [ ] [ ] [ ] (9.102) (αφού η είναι ανεξάρτητη του ) [ ] [ ] (9.103) (αφού η είναι ανεξάρτητη του ) [ ] (9.104) [ ] [ ] [ ] [ ] (9.105) Σελίδα 99 από 201

100 Άρα παίρνουμε και άρα τελικά [ ] [ ] [ ] [ ] (9.106) [ ] [ ] [ ] [ ] Τις τελευταίες σχέσεις μπορούμε να τις γράψουμε συνοπτικά: [ ] (9.107) Πιο συγκεκριμένα οι και μετατίθενται και με τη χαμιλτονιανή [ ] (9.108) τόσο για τη μη σχετικιστική όσο και για τη σχετικιστική χαμιλτονιανή στην παρουσία μαγνητικού πεδίου Β, με αποτέλεσμα η δράση τους να μην αλλάζει τη στάθμη Landau, αλλά να μας μεταφέρει από τη μια εκφυλισμένη κατάσταση στην άλλη μέσα στην ίδια στάθμη Landau. Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να παρατηρήσουμε ότι το σετ { } είναι ισομορφικό με το σετ { } για ένα μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή, (όπου το χαρακτηριστικό μήκος), αφού οι αντίστοιχοι τελεστές ικανοποιούν τις ίδιες σχέσεις μετάθεσης: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ] ) { [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { [ ] Έτσι η δράση των τελεστών και είναι ανάλογη με αυτή των τελεστών αναβίβασης και καταβίβασης στον αρμονικό ταλαντωτή, με μόνη διαφορά ότι οι και ανεβάζουν και κατεβάζουν το δείκτη του κέντρου (βλέπε παρακάτω) και όχι την ενέργεια. Γι αυτό το λόγο ονομάζονται και intra-landau Level τελεστές, μας μεταφέρουν από τη μια κατάσταση στην άλλη (αντίστοιχα από το ένα κέντρο στο άλλο), μέσα στον υπόχωρο του εκφυλισμού. Αν συνδυάσουμε τους και σε ένα τελεστή αριθμού, ο οποίος συνδέεται με ένα νέο ακέραιο κβαντικό αριθμό (αντίστοιχο με τον n στο μονοδιάστατο αρμονικό ταλαντωτή) (9.109) Σελίδα 100 από 201

101 Οι καταστάσεις που περιγράφουν το σύστημα είναι τελικά τανυστικό γινόμενο των και, (9.110) και οι Ψ της γραφίνης περιγράφονται ως εξής: ( ) (Αυτές είναι οι (9.87) που βρήκαμε στη Σελίδα 95 με έξτρα δείκτη ) ( ) (9.111) Υπολογίζοντας τον τελεστή μπορούμε να συνδέσουμε και τον ακέραιο με το κέντρο της κυκλικής κίνησης: ( [ ] ) (9.112) (9.113) Άρα, για τις εκφυλισμένες καταστάσεις μέσα σε μια στάθμη Landau, οι αποστάσεις των κέντρων των κυκλικών κινήσεων είναι κβαντωμένες και ο κβαντικός αριθμός που τις αριθμεί είναι το που έχουμε αναφέρει πιο πάνω: (9.114) Από εδώ μπορούμε να βρούμε τον εκφυλισμό των σταθμών Landau μετρώντας πόσα κέντρα χωρούν σε κύκλο ακτίνας, για ένα κυκλικό σύστημα με επιφάνεια : (9.115) Το αποτέλεσμα αυτό που εδώ το βρίσκουμε με χρήση κυκλικής γεωμετρίας, είναι το ίδιο που βρήκαμε και στην Landau βαθμίδα (όπου είχαμε χρησιμοποιήσει ορθογώνια γεωμετρία). Αυτό ήταν αναμενόμενο, αφού ο βαθμός εκφυλισμού είναι μετρήσιμη ποσότητα και άρα ανεξάρτητη βαθμίδας. Σε μια μακροσκοπική επιφάνεια, ο αριθμός των εκφυλισμένων καταστάσεων ισούται επίσης με (9.116) όπου ο πιο πάνω βαθμός εκφυλισμού και συνηθίζεται να ορίζεται ο παράγοντας κατάληψης ως Σελίδα 101 από 201

102 (9.117) Το ακέραιο μέρος του παράγοντα κατάληψης δείχνει τον αριθμό των σταθμών Landau που είναι πλήρως κατειλημμένες, ενώ το κλασματικό μέρος του παράγοντα κατάληψης δείχνει τι μέρος της τελευταίας στάθμης Landau στην οποία έχουμε ηλεκτρόνια είναι κατειλημμένο. Εναλλακτικά οι intra-landau Level τελεστές με χρήση της ψευδοορμής Οι πιο πάνω intra-landau Level τελεστές (9.98) μπορούν εναλλακτικά να εκφραστούν συναρτήσει της ψευδοορμής (9.118) όπως θα δείξουμε αμέσως πιο κάτω. Από τις εξισώσεις κίνησης (9.88) ( ) ( ) ( ) (9.119) και άρα τελικά η ψευδοορμή είναι σταθερά της κίνησης στην παρουσία του ομογενούς μαγνητικού πεδίου. Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι σε συστήματα με πολλά αλληλεπιδρώντα σωματίδια, η συνολική ψευδοορμή είναι επίσης σταθερά της κίνησης. Έτσι ο συμβολισμός που θα δείξουμε πιο κάτω για τους intra-landau Level τελεστές μπορεί να επεκταθεί αμέσως σε τέτοια συστήματα, γεγονός που τον καθιστά πλεονεκτικό σε σχέση με αυτό που δείξαμε, με το κέντρο της κυκλικής κίνησης (που χρησιμοποιεί ο περισσότερος κόσμος). Στο σύστημά μας η σύνδεση μεταξύ ψευδοορμής και κέντρου της κυκλικής κίνησης είναι απλή: και, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (9.95): προκύπτει ότι (9.120) Αντιστρέφοντας τη σχέση αυτή παίρνουμε (9.121) Σελίδα 102 από 201

103 Θυμίζουμε τους intra-landau Level τελεστές (9.98) που ορίσαμε πριν, με (9.101) και (9.112), [ ] και τους ξαναγράφουμε συναρτήσει, αυτή τη φορά, των συνιστωσών της ψευδοορμής: (9.122) (9.123) οπότε θα μπορούσαμε από την αρχή να είχαμε ορίσει τους intra-landau Level τελεστές ως, (9.124) (συγκρίνετε τη μορφή τους με τους πιο πίσω σε αυτό το κεφάλαιο - (9.68)!) και αυτοί θα έκαναν την ίδια δουλειά με τους αφού ικανοποιούν τις ανάλογες σχέσεις και [ ] [ ] [ ] (9.125) (9.126) Παρόλο ότι οι τελεστές ή και η ψευδοορμή δε θα χρησιμοποιηθούν περαιτέρω σε αυτή τη Διατριβή, σημειώνουμε ότι η αναφορά σε αυτούς είναι χρήσιμη, καθότι: ) φαίνεται ότι η ψευδοορμή είναι ένα ξεχασμένο μέγεθος στη βιβλιογραφία τα τελευταία 20 χρόνια (την περιοχή μονοπωλούν οι guiding centre τελεστές ), αλλά κυρίως ) όπως ήδη αναφέρθηκε, η ψευδοορμή έχει καλές ιδιότητες (διατήρησης) ακόμα και στην παρουσία αλληλεπιδράσεων (many-body περιπτώσεις), περιπτώσεις στις οποίες οι τελεστές δεν γενικεύονται. Έως αυτό το σημείο λύσαμε το πρόβλημα Landau και για συμβατικό και για σχετικιστικό massless σωματίδιο (Dirac) σε μεγάλο βαθμό λεπτομέρειας και με λίγο διαφορετικές οπτικές, ώστε να δώσουμε όσο το δυνατό βαθύτερη κατανόηση της Φυσικής των Σταθμών Landau (που είναι διαφορετικές στις δύο περιπτώσεις Schrödinger και Dirac) καθώς και του εκφυλισμού τους. Στα επόμενα, το στυλ παρουσίασης (και η μεθοδολογία) θα αλλάξει, καθώς θα επικεντρωθούμε στην αξιοποίηση των πάνω στο Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall, με μεθόδους πιο γεωμετρικές και τοπολογικές. Σελίδα 103 από 201

104 Περιληπτικά Από τις ημικλασικές εξισώσεις κίνησης έχουμε όπου η θέση του σωματιδίου και τους τελεστές του κέντρου της κυκλικής κίνησης. Επίσης έχουμε τους τελεστές της ακτίνας για τους οποίους ισχύει { οπότε η Χαμιλτονιανή του μη σχετικιστικού ηλεκτρονίου δεν εξαρτάται από το κέντρο, γεγονός που δίνει τον εκφυλισμό, τον οποίο παίρνουμε δρώντας με τους τελεστές, για τους οποίους ισχύει η σχέση μετάθεσης [ ] αφού [ ]. Έχουμε επίσης τις σχέσεις [ ] [ ] σε συμφωνία με το γεγονός ότι η Χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται από το κέντρο. Ονομάζουμε τους inter-landau Level τελεστές και τους intra-landau Level τελεστές. Οι ιδιοσυναρτήσεις παίρνουν την μορφή με ( ) το δείκτη της στάθμης Landau και το δείκτη του κέντρου και Ο παράγοντας κατάληψης των σταθμών Landau ορίζεται ως, το ακέραιο μέρος του δείχνει τον αριθμό των σταθμών Landau που είναι πλήρως κατειλημμένες, ενώ το κλασματικό μέρος του δείχνει τι μέρος της τελευταίας στάθμης Landau στην οποία έχουμε ηλεκτρόνια είναι κατειλημμένο. Τους intra-landau Level τελεστές μπορούμε να τους ορίσουμε και διαφορετικά με χρήση της ψευδοορμής, ως, Αυτοί κάνουν την ίδια δουλειά και μπορούν να γενικευτούν σε συστήματα αλληλεπιδρώντων σωματιδίων. Σελίδα 104 από 201

105 Κεφάλαιο 10. Ακέραιο Κβαντικό φαινόμενο Hall Στις παραγράφους που ακολουθούν, θα παρουσιάσουμε το κβαντικό φαινόμενο Hall με τον εξής τρόπο: Αρχικά θα συζητήσουμε το επιχείρημα του Laughlin σε ένα μοντέλο Jellium, που εξηγεί την κβάντωση της αγωγιμότητας Hall στο ψαχνό/εσωτερικό (bulk) του υλικού (αποδίδοντάς την σε πλήρη κατάληψη ακέραιου αριθμού επιπέδων Landau), ενώ στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε ένα ανεξάρτητο επιχείρημα που δείχνει την κβάντωση της αγωγιμότητας Hall λόγω ρεύματος στα άκρα του υλικού. Έπειτα, σε μια μεγαλύτερη (και ίσως σημαντικότερη) ενότητα θα δείξουμε την τοπολογική προέλευση της κβάντωσης της αγωγιμότητας Hall (τώρα παίρνοντας υπ όψιν την κρυσταλλική δομή των ατόμων, που στο μοντέλο Jellium αγνοήθηκε) με χωριστές θεωρήσεις είτε του εσωτερικού / ψαχνού (bulk) του συστήματος στο θερμοδυναμικό όριο (άπειρο σύστημα), είτε της φυσικής των άκρων / επιφανειών ενός πεπερασμένου συστήματος και θα εξηγήσουμε γιατί οι δύο αγωγιμότητες που προκύπτουν από τις δύο θεωρήσεις είναι τελικά ίσες (ένα εντυπωσιακό και δύσκολο θεώρημα αντιστοίχισης εσωτερικού-άκρων). Μάλιστα από την bulk θεώρηση θα προκύψει μια εντελώς διαφορετική ερμηνεία του ακεραίου (που εμφανίζεται στο στο Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall): δεν είναι απλά αριθμός κατειλημμένων σταθμών Landau, ή και αριθμός καταστάσεων άκρων, αλλά θα είναι ένας αριθμός Chern : αριθμός κβάντων ροής που περιέχονται μέσα στη συνολική ροή της Berry curvature (βλέπε Kεφάλαιο 6, σχέσεις (6.38)και (6.39)) μέσα από τη μαγνητική ζώνη Brillouin (η οποία έχει τοπολογία torus). Το επιχείρημα του Laughlin Για απλότητα παίρνουμε αρχικά spinless ηλεκτρόνια (αγνοούμε δηλαδή παντού το σπιν). Ισοδυναμία του δισδιάστατου συστήματος σε κάθετο μαγνητικό πεδίο με κύλινδρο (για την επιλογή της βαθμίδας Landau) Θυμίζουμε ότι έχουμε δισδιάστατο σύστημα σε σταθερό μαγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο του συστήματος και στη συνηθισμένη περίπτωση (ορθογώνιο σύστημα, όχι ακόμα στη γραφίνη) προκύπτουν οι στάθμες Landau (9.15): Στην περίπτωση που επιλέγουμε τη βαθμίδα Landau για την περιγραφή του συστήματος (ή οποιαδήποτε άλλη βαθμίδα Landau είναι όλες ισοδύναμες αφού μπορούμε να πάμε από τη μια στην άλλη με μια περιστροφή στον πραγματικό χώρο), έχουμε δείξει ότι στη διεύθυνση έχουμε επίπεδα κύματα, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε περιοδικές συνοριακές συνθήκες (9.18): (ώστε σε μια θερμοδυναμική θεώρηση του κυρίου μέρους του συστήματος (bulk) να μην έχουμε αναφορά στα άκρα σε αυτή τη διεύθυνση). Αυτό δείχνει ότι το σύστημά μας είναι ισοδύναμο με ένα κύλινδρο που προκύπτει ενώνοντας τα δύο άκρα στη x διεύθυνση (με επιβολή μονοτιμίας-μοναδικότητας των κυματοσυναρτήσεων σε κάθε σημείο της επιφάνειας του κυλίνδρου), με το μαγνητικό πεδίο τοπικά κάθετο σε κάθε σημείο της επιφάνειάς του, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: Σελίδα 105 από 201

106 B y B L y y x x L x Εικόνα 10.1 Το δίπλωμα του ορθογώνιου συστήματος με περιοδικές συνοριακές συνθήκες στη x διεύθυνση σε κύλινδρο, με το μαγνητικό πεδίο τοπικά καθετο σε κάθε σημείο της επιφάνειάς του. Για να παρατηρήσουμε το φαινόμενο Hall και να πάρουμε τάση Hall ( στο σχήμα) στην διεύθυνση (με ηλεκτρόδια στα άκρα του κυλίνδρου) χρειάζεται να περάσουμε ρεύμα στη διεύθυνση. Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε με ένα ηλεκτρικό πεδίο στην διεύθυνση : E B y B E L y y x V H x L x Εικόνα 10.2 Βάζοντας και ηλεκτρικό πεδίο στη x διεύθυνση, έχουμε κίνηση των ηλεκτρονίων με αποτέλεσμα την εμφάνιση τάσης στα άκρα του κυλίνδρου, της λεγόμενης τάσης Hall Το ηλεκτρικό αυτό πεδίο μπορούμε να το δημιουργήσουμε περνώντας χρονικά μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή τύπου Aharonov Bohm μέσα από τον εσωτερικό χώρο του κυλίνδρου και μεταβάλλοντας αδιαβατικά την τιμή της. Για να δούμε όμως πώς μπορούμε να το κάνουμε αυτό, αλλά και για να θυμίσουμε ορισμένες έννοιες ( τύπου gauge ) και φαινόμενα (τύπου Aharonov-Bohm) που κρύβονται πίσω από τη Φυσική που θα συζητήσουμε, είναι καλό να ανοίξουμε μια παρένθεση λίγων σελίδων, για να δώσουμε πρώτα μια ανασκόπηση των μετασχηματισμών βαθμίδας και της φυσικής ενός σωματιδίου σε Aharonov Bohm δακτυλίδι (ως το απλούστερο σύστημα που κρύβει τη σχετική Φυσική). Σελίδα 106 από 201

107 Μετασχηματισμοί βαθμίδας στην Κβαντική Μηχανική [33] Σύμφωνα με την Κλασσική Ηλεκτροδυναμική η απόκλιση του μαγνητικού πεδίου σε κάθε σημείο του χώρου πρέπει να είναι μηδενική: (10.1) Οπότε το μαγνητικό πεδίο ισούται με τον στροβιλισμό κάποιου διανυσματικού δυναμικού Α (εφόσον το Β είναι καλή συνάρτηση ): (10.2) Ο νόμος του Faraday όμως συνδέει το ηλεκτρικό πεδίο με τη χρονική μεταβολή του μαγνητικού πεδίου: (10.3) Οπότε πρέπει παράλληλα να ισχύει ότι (10.4) και αφού το είναι καλή συνάρτηση, μπορούμε να ανταλλάξουμε τις χωρικές και χρονικές παραγώγους για να πάρουμε (10.5) (10.6) Η ποσότητα της παρένθεσης πρέπει τότε να ισούται με την κλίση κάποιου βαθμωτού δυναμικού (ή καλύτερα ): (10.7) (10.8) Τα δυναμικά και όμως δεν είναι μοναδικά, αν κάνουμε μια νέα (ταυτόχρονη, συνδυασμένη) επιλογή (10.9) τα πεδία και που είναι οι μετρήσιμες ποσότητες δεν αλλάζουν. Αυτή η αλλαγή των δυναμικών ονομάζεται μετασχηματισμός βαθμίδας (κάθε ζεύγος και είναι και μια βαθμίδα). Τι γίνεται όμως με την εξίσωση Schrödinger; Σελίδα 107 από 201

108 Με την επιλογή δυναμικών A και V η χρονοεξαρτημένη εξίσωση Schrödinger έχει τη μορφή (10.10) Η ίδια εξίσωση θέλουμε να ισχύει και μετά από ένα μετασχηματισμό βαθμίδας. Στη γενική περίπτωση όμως, η νέα κυματοσυνάρτηση δε θα είναι ίδια με την παλιά. (10.11) Είναι εύκολο να δειχτεί ότι η σωστή επιλογή για την είναι η παλιά πολλαπλασιασμένη επί ένα παράγοντα φάσης: (10.12) (Σημειωτέον ότι αυτή η σχέση πρέπει να γράφεται πριν την επιβολή οποιωνδήποτε συνοριακών συνθηκών στην Ψ! Δείτε ως παράδειγμα την εφαρμογή στη Σελίδα 110) Κβαντικό σωματίδιο σε Aharonov Bohm δακτυλίδι [33], [42] Παίρνοντας ως παράδειγμα (εφαρμογής των πάνω) το πιο απλό σύστημα, ένα σωματίδιο που είναι περιορισμένο σε μονοδιάστατο δακτυλίδι, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, μέσα από το οποίο περνάει (στατική) μαγνητική ροή, το ενεργειακό φάσμα θα προκύψει να επηρεάζεται από την παρουσία αυτής της μαγνητικής ροής ( ακόμα και αν οι μαγνητικές γραμμές είναι μακριά από το σωματίδιο δεν αγγίζουν το δακτυλίδι και άρα δεν ασκείται στο σωματίδιο δύναμη Lorentz). Αυτό γίνεται με τον τρόπο που θα δείξουμε πιο κάτω (ουσιαστικά εκδήλωση του φαινομένου Aharonov- Βohm) και δε θα συνέβαινε αν το σωματίδιο ήταν κλασσικό. Φ R Εικόνα 10.3 Το πρόβλημα κβαντικού σωματιδίου σε μονοδιάστατο Aharonov-Bohm δακτυλίδι Σελίδα 108 από 201

109 Οι κυματοσυναρτήσεις που ικανοποιούν τη χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger εξαρτώνται μόνο από την αζιμουθιακή γωνία φ: Σε κυλινδρικές συντεταγμένες (ρ,φ,z) (10.13) Επειδή όμως κινούμαστε μόνο στην διεύθυνση, και, οπότε (10.14) Μπορούμε πρώτα να λύσουμε την εξίσωση Schrödinger για το σύστημα χωρίς τη ροή και μετά να πάμε στο σύστημα με τη ροή με μετασχηματισμό βαθμίδας (σχέσεις (10.9)και (10.12)). Στο σύστημα χωρίς τη ροή, η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger για μια ιδιοσυνάρτηση είναι οπότε (10.15) ( ). (10.16) Θέλουμε τώρα να βρούμε ένα διανυσματικό δυναμικό παρουσία της μαγνητικής ροής: που να λαμβάνει υπόψιν του την (10.17) Μπορούμε να διαλέξουμε ένα διανυσματικό δυναμικό που έχει μόνο φ συνιστώσα (αυτό θα κάνει τη διαφορά στην ευκολία επίλυσης, χωρίς να επηρεάζει τις μετρήσιμες ποσότητες), η οποία είναι, στην απλούστερη περίπτωση σταθερά: (10.18) Σε αυτή την περίπτωση έχουμε άρα μπορούμε να διαλέξουμε, (10.19) (10.20) Για να πάμε από το σύστημα χωρίς τη ροή στο σύστημα με τη ροή πρέπει να κάνουμε το μετασχηματισμό βαθμίδας (λιγάκι αφελής όρος, γιατί τελικά είναι singular και όχι συνήθης) όπου και (10.21) Σελίδα 109 από 201

110 Ενώ το βαθμωτό δυναμικό V ήταν και παραμένει μηδενικό γιατί το που δίνει το διανυσματικό δυναμικό μπορεί να επιλεγεί χρονοανεξάρτητο. Το κατάλληλο μπορεί να βρεθεί από (10.22) Άρα τελικά, αγνοώντας τη σταθερά, (10.23) Παρατηρείστε ότι το είναι πλειότιμο! δηλαδή αλλάζει κάτω από αζιμουθιακές μεταβολές, άρα δεν είναι μοναδικό σε ένα συγκεκριμένο σημείο του χώρου. Γι αυτό και ο μετασχηματισμός είναι singular, και αυτό είναι η μαθηματική έκφραση του φαινομένου Aharonov- Bohm όπως θα δούμε στη συνέχεια: Οι ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής με τη ροή είναι ( ) Αν το σωματίδιο είναι ηλεκτρόνιο, ( [ ] ) (10.24) Και τώρα η επιβολή συνθηκών, π.χ. της μονοτιμίας/μοναδικότητας σε κάθε σημείο του δακτυλιδιού: Η κυματοσυνάρτηση πρέπει να είναι περιοδική ως προς αζιμουθιακά ταξίδια κατά 2π, (10.25) (10.26) (10.27) Παρατηρούμε ότι το ενεργειακό φάσμα έχει επηρεασθεί από την παρουσία της μαγνητικής ροής ακόμα κι αν αυτή δε βρίσκεται στην περιοχή που κινείται το ηλεκτρόνιο ένα καθαρά κβαντικό φαινόμενο (οφείλεται δηλαδή στην κβαντική συνοχή κατά μήκος όλης της περιφέρειας του δακτυλιδιού). Σελίδα 110 από 201

111 Τελειώνοντας αυτή την παρένθεση, να πούμε ότι η συναρτησιακή εξάρτηση των ενεργειών του σωματιδίου από τη (μη-προσβάσιμη!) μαγνητική ροή είναι ουσιαστικά εκδήλωση του ευρέως γνωστού φαινομένου Aharonov-Bohm. [42] Και μια δραματική συνέπειά του είναι η εμφάνιση των λεγόμενων επίμονων ρευμάτων (persistent currents) ακόμα και σε ένα κανονικό μεταλλικό (δηλαδή μη-υπεραγώγιμο) διπλωμένο σύστημα, όπως το πάνω δακτυλίδι, λόγω του πολύ γνωστού αποτελέσματος ότι: το μέσο ηλεκτρικό ρεύμα κατά μήκος της διπλωμένης διεύθυνσης (στο πάνω, κατά μήκος του δακτυλιδιού) δίνεται ουσιαστικά από την απλή παράγωγο της ενέργειας ως προς τη ροή (όταν έχουμε το σύστημα σε μια συγκεκριμένη ιδιοσυνάρτηση, σαν τις πιο πάνω, με καλά-ορισμένη ενέργεια ), δηλαδή (10.28) (για γρήγορη απόδειξη βλέπε στη συνέχεια). Οπότε, η πάνω εκδήλωση του φαινομένου Aharonov-Bohm, ότι δηλαδή μια εξαρτάται συναρτησιακά από τη, οδηγεί αμέσως σε μη-μηδενικό ρεύμα (ακόμα και στην ground state, χαμηλότερη κατάσταση) το οποίο δε σβήνει ποτέ! (είναι dissipationless!), είναι και πάλι μια εκδήλωση της κβαντικής συνοχής κατά μήκος της δηλωμένης διεύθυνσης. (Παρεμπιπτόντως, αυτά τα επίμονα ρεύματα παρατηρήθηκαν πειραματικά μόλις πρόσφατα [43] ) [Απόδειξη: Αν θεωρήσουμε για λίγο ότι η μεταβάλλεται με το χρόνο, δηλαδή ότι είναι, τότε από το Νόμο του Faraday, η τάση που δημιουργείται εξ επαγωγής είναι ίση με (10.29) Η παραγόμενη ηλεκτρική ισχύς ισούται με το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας, (10.30) Άρα τελικά το ρεύμα ισούται με ] Προσέξτε ότι, παρόλο ότι θεωρήσαμε αποτέλεσμα γίνεται απλή παραγώγιση στο τέλος ο χρόνος εξαφανίστηκε, και το τελικό (αν θεωρήσουμε απειροστές αλλαγές). Είναι επίσης σημαντικό να σημειωθεί ότι, λόγω της γενικότητας του επιχειρήματος, το τελικό αποτέλεσμα ισχύει και για many-body συστήματα, το αποτέλεσμα δηλαδή δε βλέπει τις λεπτομέρειες (αλληλεπιδράσεις του συστήματος) Σημειώνουμε ότι ο πάνω τύπος για το ρεύμα θα χρησιμοποιηθεί και στο επιχείρημα του Laughlin, στο οποίο επιστρέφουμε στη συνέχεια. Σελίδα 111 από 201

112 Το επιχείρημα του Laughlin [44], [45], [33] B x y I Φ Εικόνα 10.4 Ο κύλινδρος Laughlin που προέκυψε από το δίπλωμα του ορθογώνιου συστήματος στη x διεύθυνση, με στατική μαγνητική ροή να περνά μέσα από τον κενό του χώρο, παράλληλα στον άξονα του κυλίνδρου Ας επιστρέψουμε μετά από αυτή την παρένθεση στον κύλινδρο Landau (που προέκυψε από το δίπλωμα του ορθογώνιού μας συστήματος κατά τη διεύθυνση) και ας περάσουμε μέσα από τον κενό χώρο (και παράλληλα στον άξονα του κυλίνδρου) μια στατική μαγνητική ροή. Ως αποτέλεσμα, το διανυσματικό δυναμικό παντού έχει δύο συνεισφορές: έχουμε το διανυσματικό δυναμικό στη στάθμη Landau (10.31) να αντιπροσωπεύει την παρουσία του τοπικά κάθετου μαγνητικού πεδίου και το διανυσματικό δυναμικό Aharonov Bohm (10.32) να είναι υπόλογο για την παρουσία της Aharonov Bohm ροής. Το διανυσματικό δυναμικό για το σύστημα είναι το άθροισμα των πιο πάνω: ( [ ] ) (10.33) Οπότε, αν το πρόβλημα Landau λυθεί πάλι από την αρχή, με τα μετατοπισμένα όπως πάνω, τελικά προκύπτει ότι τα κέντρα των ταλαντώσεων του ταλαντωτή στην διεύθυνση είναι τώρα στις νέες θέσεις (10.34) και άρα αν τώρα προσδώσουμε χρονική εξάρτηση στην μαγνητική ροή μεταβολή της κατά τα κέντρα των ταλαντώσεων μετακινούνται κατά, με (αδιαβατική) (10.35) Αν η μεταβολή της μαγνητικής ροής ισούται με ένα κβάντο μαγνητικής ροής, (10.36) Σελίδα 112 από 201

113 τότε (10.37) Δεδομένου του που είχαμε βρει στο Kεφάλαιο 9, (και της κβάντωσης του ) παρατηρούμε ότι το είναι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών ). Ισοδύναμα, μπορούμε να αναγνωρίσουμε τον αριθμητή είναι το εμβαδό που αντιστοιχεί σε μια μικροκατάσταση ηλεκτρονίου. Οπότε καθώς οι καταστάσεις κινούνται προς τα αριστερά κατά, διαγράφουν επιφάνεια (αυτή είναι η μικροσκοπική επιφάνεια (9.25) της Σελίδας 81). Όπως και αν το δούμε, η μεταβολή της ροής κατά έχει ως αποτέλεσμα την μετακίνηση των καταστάσεων στην αμέσως επόμενη θέση. Και αν υποθέσουμε, ότι κοιτάμε καταστάσεις που βρίσκονται σε μια πλήρως κατειλημμένη στάθμη Landau (κάθε κατάσταση έχει ένα spinless ηλεκτρόνιο) τότε τα ηλεκτρόνια μεταβαίνουν στις επόμενες διαθέσιμες καταστάσεις (μέσα στην ίδια στάθμη Landau), που με τη σειρά τους είναι άδειες γιατί τα ηλεκτρόνιά τους με τη σειρά τους μετακινήθηκαν παρακάτω. Φ Δy Εικόνα 10.5 Με τη μετακίνησή τους προς τα αριστερά οι καταστάσεις διαγράφουν επιφάνεια S 2πl B 2 ίση με τη μακροσκοπική επιφάνεια που αντιστοιχεί σε μια μικροκατάσταση Για να παρατηρήσουμε λοιπόν το ακέραιο κβαντικό φαινόμενο Hall και για να ισχύει το επιχείρημα που παρουσιάζουμε εδώ, πρέπει ο παράγοντας κατάληψης να είναι ακέραιος αριθμός, δηλαδή να έχουμε πλήρως κατειλημμένες στάθμες Landau (με το ακέραιο) και την αμέσως επόμενη στάθμη εντελώς άδεια (όπως βέβαια και όλες τις επόμενες). Αυτό συμβαίνει γιατί πρέπει η εικόνα των σταθμών Landau πριν και μετά τη μεταβολή της μαγνητικής ροής κατά να είναι η ίδια (ώστε η Φυσική πριν και μετά από τον αντίστοιχο μετασχηματισμό βαθμίδας να είναι ισοδύναμη, όπως ισχύει γενικά στη Φυσική). Αυτό φαίνεται διαγραμματικά στο πιο κάτω αριστερό σχήμα (επισημαίνουμε ότι η εικόνα αυτή είναι ημικλασική, δηλαδή κάθε κατάσταση αναπαρίσταται από έναν ημικλασικό κύκλο): Εικόνα 10.6 Η ημικλασική εικόνα για μια στάθμη Landau πριν και μετά τη μεταβολή της μαγνητικής ροής κατά Φ 0 (πάνω και κάτω αντίστοιχα) για μια πλήρως κατειλημμένη (αριστερά) στάθμη Landau και μια μερικώς κατειλημμένη (δεξιά) στάθμη Landau. Σελίδα 113 από 201

114 Η μετακίνηση αυτή των κέντρων των κυκλικών τροχιών (και άρα των ηλεκτρονίων) δημιουργεί τάση Hall (και συνεπώς ηλεκτρικό πεδίο Hall ) λόγω του ότι κατ αυτή τη μετακίνηση γίνεται έργο (βλέπε αμέσως πιο κάτω). B x y Ι Φ V H Εικόνα 10.7 Η μεταβολή της μαγνητικής ροής κατά Φ 0 στον κύλινδρο του Laughlin έχει σαν αποτέλεσμα τη δημιουργία ρεύματος στη x διεύθυνση και την ίδια στιγμή τάσης Hall στη y διεύθυνση Για να γίνει η μεταβολή της ροής κατά κατά ) απαιτείται έργο και να κινηθούν τα ηλεκτρόνια ( στον αριθμό, το καθένα (10.38) όπου ο αριθμός των ηλεκτρονίων ισούται με (10.39) όπου = ο ακέραιος αριθμός κατειλημμένων σταθμών (ο παράγοντας κατάληψης (filling factor) που είδαμε στο Κεφάλαιο 9) και = ο βαθμός εκφυλισμού κάθε στάθμης (Σημειώνουμε ότι το αρνητικό πρόσημο μπροστά από το άνυσμα έχει κατεύθυνση στην αρνητική κατεύθυνση) έχει προστεθεί γιατί το αντίστοιχο Έτσι τελικά (10.40) Αυτό δείχνει ότι η συλλογική κίνηση των ηλεκτρονίων στην επιφάνεια του κυλίνδρου μπορεί να αναχθεί στην μεταφορά ενός μόνο ηλεκτρονίου ανά στάθμη Landau από τη μια άκρη του κυλίνδρου στην άλλη ( κβαντική αντλία φορτίου, charge pump ). (Αυτό άλλωστε φαίνεται σύντομα και από το ότι, όπως ο αναγνώστης μπορεί να επαληθεύσει). Σελίδα 114 από 201

115 Όπως είδαμε νωρίτερα, το δημιουργούμενο εξ επαγωγής ρεύμα (λόγω μεταβολής της μαγνητικής ροής) δίνεται από τη σχέση (10.41) Στην περίπτωσή μας λοιπόν, (10.42) και άρα τελικά η αγωγιμότητα Hall, που συνδέει το ρεύμα και την τάση σε κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις και που εδώ δίνεται από τη σχέση έχει τη μορφή (10.43) (10.44) Προκύπτει λοιπόν από πολύ γενικές αρχές ( βαθμίδας ), αλλά και με χρήση μιας εικόνας σταθμών Landau ότι ο συντελεστής αγωγιμότητας Hall έχει παγκόσμιες κβαντωμένες τιμές, που εξαρτώνται μόνο από θεμελιακές σταθερές της Φυσικής (ανεξάρτητα από το υλικό, την καθαρότητά του, τη θερμοκρασία κλπ αρκεί βέβαια οι συνθήκες να είναι τέτοιες που να έχουμε πλήρη κβαντική συνοχή στο σύστημά μας). Αυτό φαίνεται και πειραματικά με την ανάπτυξη πλατώ που έχουν όντως τις πιο πάνω τιμές (και είναι επικεντρωμένα γύρω από σειρά τιμών του κάθετου μαγνητικού πεδίου (10.45) όπου [Απόδειξη: η επιφανειακή πυκνότητα ηλεκτρονίων ] και τα πλατώ οποία έχουν αξιοσημείωτη ευστάθεια (οριζοντιότητα) με ακρίβεια συνηθισμένους ημιαγωγούς και ακόμα μεγαλύτερη στη γραφίνη. στους Στην επόμενη σελίδα φαίνεται η αντίσταση (resistivity) Hall και η διαμήκης αντίσταση σαν συνάρτηση του μαγνητικού πεδίου. Οι εκφράσεις που συνδέουν τις αγωγιμότητες με τις αντιστάσεις είναι (λόγω του τανυστικού τους χαρακτήρα), (10.46) Στα παράθυρα τιμών όπου η έχει πλατώ, έχουμε μηδενισμό της διαμήκους αντίστασης (αλλά και της αγωγιμότητας αφού από τη σχέση (10.46)) Σελίδα 115 από 201

116 Οπότε προκύπτει ότι η αντίσταση Hall είναι αντιστρόφως ανάλογη και αντίθετη της αγωγιμότητας Hall, (10.47) εξ ου και το επόμενο σχήμα (για ηλεκτρόνια). ρ xy ρ xx Εικόνα 10.8 Η αντίσταση Hall (γραφική με τα πλατώ) και η διαμήκης αντίσταση σαν συνάρτηση του κάθετου μαγνητικού πεδίου για ένα δισδιάστατο σύστημα ενός συνήθους ημιαγωγού. Κατά μήκος των πλατώ η αντίσταση Hall έχει σταθερή τιμή, ενώ την ίδια ώρα η διαμήκης αντίσταση μηδενίζεται. Η παρουσία των πλατώ πάνω στις σωστές κβαντωμένες τιμές προκύπτει ότι οφείλεται και στην αταξία που υπάρχει στο υλικό, που για να τη συζητήσουμε, χρειάζεται μια μικρή αναφορά στην πυκνότητα καταστάσεων. Η πυκνότητα καταστάσεων για το ιδανικό (καθαρό) σύστημα των επιπέδων Landau έχει τη μορφή δέλτα συναρτήσεων, όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: D(E) ω c ω c 5 ωc 7 ω c ω c E Εικόνα 10.9 Πυκνότητα καταστάσεων των επιπέδων Landau σε ένα συνηθισμένο δισδιάστατο ημιαγωγό σε ομογενές κάθετο μαγνητικό πεδίο για ένα ιδανικό (καθαρό) σύστημα Σελίδα 116 από 201

117 Όπως έχουμε πει πιο πάνω, η ενέργεια Fermi του συστήματος χρειάζεται να βρίσκεται μέσα σε ένα από τα χάσματα των επιπέδων Landau, έτσι ώστε να έχουμε πλήρως κατειλημμένες στάθμες Landau και την αμέσως επόμενη εντελώς άδεια, με αποτέλεσμα να έχουμε, όπως είδαμε μεταφορά ακέραιου αριθμού ηλεκτρονίων, ίσο με τον παράγοντα κατάληψης, από τη μια άκρη του κυλίνδρου στην άλλη. Η πιο πάνω γραφική παράσταση απεικονίζει την κατάσταση που θα είχαμε σε ένα ιδανικό σύστημα, χωρίς ατέλειες και προσμίξεις. Σε ένα πραγματικό σύστημα, στην παρουσία ατελειών και προσμίξεων, οι πιο πάνω δέλτα συναρτήσεις διευρύνονται και παίρνουμε την εξής εικόνα: D(E) extended states localised states ω c ω c 5 ωc 7 ω c ω c E Εικόνα Πυκνότητα καταστάσεων των επιπέδων Landau σε ένα συνηθισμένο δισδιάστατο ημιαγωγό σε ομογενές κάθετο μαγνητικό πεδίο για ένα πραγματικό σύστημα με ατέλειες και προσμίξεις Μόνο οι άσπρες περιοχές συνεισφέρουν στην αγωγιμότητα Hall γιατί αντιστοιχούν σε εκτεταμένες καταστάσεις ενώ οι γκρίζες περιοχές αντιστοιχούν σε εντοπισμένες καταστάσεις που δε μας ενδιαφέρουν (παίζουν όμως όπως προαναφέραμε το ρόλο τους για να μας δίνουν τα πλατώ!). Η προηγούμενη συνθήκη να βρίσκεται η ενέργεια Fermi (ή το χημικό δυναμικό) σε ένα από τα χάσματα γίνεται τώρα ότι πρέπει αυτή να βρίσκεται στα λεγόμενα χάσματα κινητικότητας (mobility gaps) που είναι οι γκρίζες περιοχές στην Εικόνα 10.10). Σελίδα 117 από 201

118 Συμμετρικό επιχείρημα Πριν προχωρήσουμε στην επισήμανση ενός συμμετρικού επιχειρήματος, στο οποίο εναλλάσσονται οι ρόλοι της τάσης Hall και του ρεύματος, ας δείξουμε διαγραμματικά το επιχείρημα του Laughlin που έχουμε ως τώρα αναλύσει: Αδιαβατική μεταβολή της μαγνητικής ροής κατά Φ Ρεύμα Ι x στη x διεύθυνση (εξ Επαγωγής) Μετακίνηση των κέντρων των κυκλικών τροχιών στην y διεύθυνση Έργο κατά τη μετακίνηση Τάση Hall στη y διεύθυνση Σύνδεση των δύο - Αγωγιμότητα Hall Εικόνα Το επιχείρημα του Laughlin διαγραμματικά Σελίδα 118 από 201

119 Μπορούμε τώρα εναλλακτικά να δούμε να δούμε την τάση Hall ως συνέπεια του φαινομένου της Επαγωγής (άρα τώρα το είναι κατά τη διεύθυνση) και το ρεύμα ως αποτέλεσμα της μετακίνησης των κέντρων των κυκλικών τροχιών που είδαμε (κατά τη διεύθυνση). B y V H Φ x Ι Εικόνα Ξανά το διπλωμένο σύστημα κύλινδρος με το ρεύμα τώρα στη y διεύθυνση την τάση Hall στη x διεύθυνση Η τάση εξ επαγωγής (λόγω μεταβολής της μαγνητικής ροής) είναι, σύμφωνα με το Νόμο του Faraday (10.48) Ενώ το ρεύμα, λόγω μετακίνησης των ηλεκτρονίων (όπως έχουμε επισημάνει προηγουμένως, ενός ανά στάθμη Landau) είναι (10.49) (με τον αριθμό των πλήρως κατειλημμένων σταθμών Landau). Συνδέοντας τα δύο, (10.50) (10.51) οπότε παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα με αυτό του Laughlin. Αυτή η συμμετρία στην εναλλαγή ρόλων έχει να κάνει με το γεγονός ότι το ακέραιο κβαντικό φαινόμενο Hall έχει τοπολογική προέλευση. Αν κλείσουμε για παράδειγμα τον πιο πάνω κύλινδρο σε torus, η αγωγιμότητα Hall μπορεί γενικότερα να συνδεθεί, όπως θα δούμε στη συνέχεια, με ένα τοπολογικά αναλλοίωτο αριθμό (Chern number), που όπως θα προκύψει από μια πιο σοφιστικέ θεώρηση χαρακτηρίζει την τοπολογία της πρώτης ζώνης Brillouin (στο χώρο- ), ανεξάρτητα από τις μικροσκοπικές λεπτομέρειες του συστήματος. Σελίδα 119 από 201

120 Στην επόμενη εικόνα βλέπουμε διαγραμματικά και πάλι το πιο πάνω συμμετρικό επιχείρημα. Αδιαβατική μεταβολή της μαγνητικής ροής κατά Φ Τάση V H στη x διεύθυνση (εξ Επαγωγής) Μετακίνηση των κέντρων των κυκλικών τροχιών στην y διεύθυνση Ρεύμα Ι y στη y διεύθυνση Σύνδεση των δύο - Αγωγιμότητα Hall Εικόνα Το συμμετρικό επιχείρημα διαγραμματικά Τελειώνοντας την παράγραφο αυτή, δείχνουμε το κλείσιμο του κυλίνδρου σε torus και τα δύο ισοδύναμα επιχειρήματα (Laughlin και συμμετρικό) στο δημιουργούμενο torus. V H x y Φ V H Φ I I Εικόνα (α) Αριστερά: Τρόπος δημιουργίας του torus και (β) Δεξιά: Με λιλά χρώμα οι ρόλοι ρεύματος και τάσης Hall για το επιχείρημα του Laughlin και με πράσινο για το συμμετρικό επιχείρημα Σελίδα 120 από 201

121 Επιχείρημα με άκρα [46] Όπως και στην προηγούμενη παράγραφο, έχουμε το δισδιάστατό μας σύστημα σε κάθετο μαγνητικό πεδίο και ας υποθέσουμε ότι και πάλι βάζουμε στη διεύθυνση ένα μικρό εξωτερικό δυναμικό το οποίο θα προκαλέσει την μετακίνηση των κέντρων των κυκλικών τροχιών. Εδώ όμως θα αντιμετωπίσουμε διαφορετικά την κατάσταση, χρησιμοποιώντας επιχειρήματα που αφορούν τις καταστάσεις άκρων αντί το κύριο μέρος (εσωτερικό) του συστήματος. Από την ημικλασική λύση του προβλήματος (φορτίο σε κάθετα μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο που ακολουθεί κυκλοειδή κίνηση) προκύπτει ότι η ταχύτητα του κέντρου της κυκλικής τροχιάς αντιστοιχεί στην κλασσική drift velocity (που προκύπτει ότι είναι από στοιχειώδη Ηλεκτρομαγνητισμό), και αν η ακτίνα της κλασσικής τροχιάς είναι αρκετά μικρή και η ταχύτητα περιστροφής αρκετά μεγάλη ούτως ώστε το δυναμικό που βλέπει το ηλεκτρόνιο σε κάθε περιστροφή να είναι περίπου σταθερό, μπορούμε να πάρουμε μέσο όρο ως προς το χρόνο, πρακτικά να αντικαταστήσουμε το με, οπότε έχουμε (και με επιπλέον αντικατάσταση ) (10.52) όπου Β το κάθετο μαγνητικό πεδίο και το εξωτερικό δυναμικό. Στο όριο άπειρης ισχύος του μαγνητικού πεδίου (ή, πιο πρακτικά, πολύ μεγάλης ισχύος) οι κλασσικές τροχιές ταυτίζονται με τις ισοδυναμικές γραμμές του εξωτερικού δυναμικού, (10.53) ή, αντίστοιχα, (10.54) Η κίνηση χωρίζεται επομένως σε δύο μέρη, τη γρήγορη περιστροφή γύρω από το κέντρο της τροχιάς και την αργή κίνηση του κέντρου πάνω στις ισοδυναμικές γραμμές Μετά την κβάντωση των ενεργειών που προκαλεί η παρουσία του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου, οι ιδιοκαταστάσεις ενός ηλεκτρονίου είναι τοποθετημένες πάνω σε λεπτές λωρίδες πλάτους με μέσο τις γραμμές σταθερού δυναμικού. Εικόνα Η διάταξη των καταστάσεων του ηλεκτρονίου σε λωρίδες πλάτους l B με τα κέντρα των ημικλασικών κυκλικών τροχιών να βρίσκονται πάνω στις γραμμές σταθερού δυναμικού Σελίδα 121 από 201

122 Στην ημικλασική κβάντωση, ο αριθμός των επιτρεπόμενων κλασσικών τροχιών είναι διακριτός. Για κλειστές κλασσικές τροχιές, μόνο αυτές που περικλείουν ακέραιο αριθμό κβάντων ροής μπορούν να δώσουν κβαντικές τροχιές (ώστε η Aharonov-Bohm φάση λόγω εγκλεισμένης ροής να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του και να έχουμε ημικλασική μονοτιμία). Αν συμβολίσουμε με τις τιμές του δυναμικού που αντιστοιχούν σε αυτές τις τροχιές, παίρνουμε το ενεργειακό φάσμα (10.55) όπου η ενέργεια της nιοστής στάθμης Landau, που στη συνηθισμένη περίπτωση δίνεται από τη σχέση (9.15) (10.56) (ενώ στη γραφίνη είναι αυτές (9.37) που βρήκαμε στο Kεφάλαιο 9). Η πιο πάνω ονομάζεται γενικευμένη στάθμη Landau (για συγκεκριμένο ), παρόλο που ο εκφυλισμός για τον οποίο μιλούσαμε πιο πάνω αίρεται από το εξωτερικό δυναμικό (με τον ίδιο τρόπο που το ηλεκτρικό πεδίο που επάγεται κατά τη διάρκεια της μεταβολής της στον κύλινδρο αίρει τον εκφυλισμό των σταθμών Landau). Επιλέγοντας τώρα γεωμετρία οριζόντιας λωρίδας για το σύστημα μιας γενικευμένης στάθμης Landau (η πιο πάνω εικόνα στην ουσία αυτό κάνει), σε μια στάσιμη κατάσταση (steady state) κοντά στην ισορροπία το δυναμικό στο πάνω και κάτω άκρο είναι σταθερό. Ας προσθέσουμε και συντεταγμένες στο σύστημα αυτό: V(x L y ) σταθερ y x x L y V H x V(x ) σταθερ Εικόνα Το σύστημά μας σαν μια οριζόντια λωρίδα με διαφορά τάσης στα άκρα του ίση με την τάση Hall. Στην εικόνα έχουμε προσθέσει συντεταγμένες στο σύστημα για να κάνουμε την ανάλυση που ακολουθεί. Έστω ότι το εξωτερικό δυναμικό που βάλαμε στο σύστημα δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο στη διεύθυνση, το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο, στη διεύθυνση, οπότε η τάση Hall θα μετρηθεί στη y διεύθυνση, όπως φαίνεται στο σχήμα και είναι ίση με (10.57) για οποιαδήποτε κατακόρυφη γραμμή. Σελίδα 122 από 201

123 Στην διεύθυνση έχουμε (global) ρεύμα Hall. Κάθε γενικευμένη στάθμη Landau συνεισφέρει στο ρεύμα αυτό ( ) (10.58) όπου, είναι ο εκφυλισμός ανά μονάδα επιφάνειας ( ) η κατανομή Fermi-Dirac στο όριο { η Heaviside συνάρτηση η drift ταχύτητα των κέντρων Τότε ( ) ( ) ( ) (10.59) Ολοκληρώνοντας στη y διεύθυνση μπορούμε να βρούμε το ρεύμα στη x διεύθυνση, ( ) ( ) (10.60) Το αποτέλεσμα εξαρτάται από το πρόσημο της ποσότητας και μπορούμε να ξεχωρίσουμε τέσσερις περιπτώσεις: i) πάνω και κάτω (στα και ) Αυτή η περίπτωση αντιστοιχεί σε εντελώς άδεια στάθμη Landau και δίνει. ii) πάνω και κάτω (στα και ) Αυτή η περίπτωση αντιστοιχεί σε εντελώς κατειλημμένη στάθμη Landau και δίνει [ ] (10.61) οπότε μια τέτοια, πλήρως κατειλημμένη στάθμη Landau συνεισφέρει αγωγιμότητα Hall. στην συνολική iii) και οπότε (10.62) Σελίδα 123 από 201

124 iv) και οπότε (10.63) Οι τελευταίες δύο περιπτώσεις αντιστοιχούν σε μερικώς κατειλημμένη στάθμη Landau και καταστρέφουν την κβάντωση της αγωγιμότητας Hall. Για να τις αποφύγουμε πρέπει να κλειδώσουμε το χημικό δυναμικό σε ένα από τα χάσματα των αρχικών σταθμών Landau και να φροντίσουμε να εφαρμόσουμε αρκετά ασθενές εξωτερικό δυναμικό ώστε να παραμείνουμε στο χάσμα ακόμα και μετά την εφαρμογή του: (10.64) Αν έχουμε πλήρως κατειλημμένες στάθμες Landau τότε η συνολική αγωγιμότητα Hall προκύπτει από το συνολικό ρεύμα (10.65) (10.66) H γεωμετρία λωρίδας είναι μια απλοποίηση του τι συμβαίνει και ένα καλύτερο μοντέλο (παρόλο που πάλι ημικλασικό) είναι αυτό που φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, στο οποίο κάθε κυκλική τροχιά καταλαμβάνει επιφάνεια χωρίς να αγγίζει τις άλλες: Εικόνα Οι ημικλασικές τροχιές στο σύστημα με τρόπο που να φαίνονται τα skipping orbits στα άκρα που δίνουν τα ρεύματα στα άκρα Ένα άλλο σημαντικό σημείο που φαίνεται στο σχήμα είναι ότι, στην ημικλασική προσέγγιση, τα ρεύματα στα άκρα (αντίθετα μεταξύ τους και χειραλικά, δηλαδή προς μια μόνο κατεύθυνση το καθένα χωρίς να επιτρέπεται οπισθοσκέδαση) μπορούν να ειδωθούν σαν skipping orbits, δηλαδή κυκλική κίνηση ηλεκτρονίων που δεν προλαβαίνει να ολοκληρωθεί λόγω του ότι κτυπάει στο άκρο. Τα πιο πάνω ισχύουν σε ένα ιδανικό σύστημα, χωρίς παραμορφώσεις και προσμίξεις. Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που έχουμε προσμίξεις ή οποιουδήποτε τύπου ατέλειες; Στην πιο πάνω ανάλυση μπορούμε να συμπεριλάβουμε στο εξωτερικό δυναμικό και τις ατέλειες του συστήματος, και, δεδομένου ότι η έξτρα αυτή συνεισφορά δεν είναι υπερβολικά μεγάλη, θα επηρεάσει μόνο τοπικά το σύστημα, αφήνοντας ανεπηρέαστη την κβάντωση της αγωγιμότητας Hall. Σελίδα 124 από 201

125 Η εικόνα βέβαια της ημικλασικής κίνησης των ηλεκτρονίων αλλάζει όταν έχουμε ατέλειες. Πρέπει κανείς να μελετήσει το προφίλ του δυναμικού (τα μέγιστα και ελάχιστά του), όπως φαίνεται για παράδειγμα στην πιο κάτω εικόνα. Οι τροχιές των ηλεκτρονίων που συνεισφέρουν στην αγωγιμότητα Hall είναι αυτές που είναι ανοικτές, αντιστοιχούν σε εκτεταμένες καταστάσεις και καταφέρνουν να διασχίσουν το υλικό αποφεύγοντας τα μέγιστα και ελάχιστα του δυναμικού. Οι υπόλοιπες καταστάσεις είναι εντοπισμένες, αντιστοιχούν σε κλειστές τροχιές και βρίσκονται κοντά στα μέγιστα και ελάχιστα του δυναμικού. [46], [47], [39] Όπως έχουμε ήδη όμως αναφέρει, δεδομένου ότι οι ατέλειες είναι αρκετά μικρές σε ένταση, η κβάντωση της αγωγιμότητας Hall παραμένει ανεπηρέαστη. Εικόνα Σχηματική αναπαράσταση της κίνησης των ηλεκτρονίων σε ένα τυπικό προφίλ δυναμικού. Η τιμή του δυναμικού δίνεται από την ένταση της γκρίζας σκιάς και τα ηλεκτρόνια κινούνται πάνω στις γραμμές που φαίνονται, σε κατεύθυνση που καθορίζεται από την drift velocity. Οι κλειστές τροχιές αντιστοιχούν σε εντοπισμένες καταστάσεις ενώ οι ανοικτές που διασχίζουν το δείγμα σε εκτεταμένες. Η εικόνα προέρχεται από το [47] Παρόλο που η κβάντωση αυτή της αγωγιμότητας Hall μπορεί να ερμηνευτεί όπως είδαμε είτε με επιχειρήματα βαθμίδας (gauge arguments, τύπου Laughlin), είτε με επικέντρωση στο τι συμβαίνει στα άκρα (με ημικλασικά επιχειρήματα), η βαθύτερη ερμηνεία της προέλευσης του Ακέραιου Κβαντικού Φαινομένου Hall είναι τοπολογική (και για αληθινά υλικά, με κρυσταλλική δομή, εμπλέκει τοπολογικές ιδιότητες του χώρου, και της πρώτης ζώνης Brillouin που είναι torus). Αυτό δίνει και μια βαθύτερη εξήγηση της πολύ μεγάλης σταθερότητας του φαινομένου (ενάντια στη λεγόμενη decoherence για παράδειγμα) και θα προσπαθήσουμε να το αναδείξουμε στη συνέχεια. Σελίδα 125 από 201

126 Κεφάλαιο 11. Τοπολογική προέλευση της κβάντωσης της αγωγιμότητας Hall Παγκοσμιότητα του φαινομένου [48], [52] Ενώ στα προηγούμενα διαπραγματευθήκαμε ένα σύστημα (μη-αλληλεπιδρώντων) ηλεκτρονίων στο μοντέλο Jellium και τις συνέπειες της παρουσίας ενός έξτρα μαγνητικού πεδίου, είναι τώρα καιρός να λάβουμε σοβαρά υπ όψιν και την παρουσία των (θετικών) ιόντων που βρίσκονται στα πλεγματικά σημεία της κρυσταλλικής δομής (αρχίζοντας με ένα πλέγμα Bravais). Η εξίσωση Schrödinger για ένα δισδιάστατο σύστημα μη αλληλεπιδρώντων ηλεκτρονίων σε περιβάλλον περιοδικού δυναμικού και σε ομοιόμορφο μαγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο έχει τη μορφή [ ] (11.1) με το δυναμικό περιοδικό τόσο στη όσο και στην διεύθυνση: Έστω τα ανύσματα ενός Bravais πλέγματος Συγκεκριμένα για το ορθογώνιο σύστημά μας (11.2) (11.3) (11.4) Το σύστημα είναι φυσικά αναλλοίωτο κάτω από μεταφορά κατά στην διεύθυνση ή κατά στην διεύθυνση (νιώθει το ίδιο δυναμικό και το ίδιο μαγνητικό πεδίο), η Χαμιλτονιανή όμως δεν είναι μαθηματικά αναλλοίωτη (λόγω της παρουσίας του διανυσματικού δυναμικού που είναι μη ομογενές γραμμικό ως προς και ). Μπορούμε όμως με ένα μετασχηματισμό βαθμίδας να την κάνουμε αναλλοίωτη κάτω από αυτές τις μετατοπίσεις (δηλαδή κάθε μετατόπιση να γίνεται regauged με κατάλληλο τρόπο, δηλαδή η αλλαγή του λόγω του κατάλληλου μετασχηματισμού βαθμίδας να ακυρώνει τη μεταβολή του κάτω από τις διακριτές αυτές μετατοπίσεις). Έχουμε ξαναδεί τους μεταφορικούς τελεστές του πλέγματος νωρίτερα στην εργασία, ας τους θυμίσουμε όμως. Η μορφή των μεταφορικών τελεστών είναι η εξής: (11.5) Η δράση τους πάνω σε μια συνάρτηση του χώρου έχει ως αποτέλεσμα τη μεταβολή του ανύσματος θέσης κατά : (11.6) Σελίδα 126 από 201

127 Συμμετρική βαθμίδα (όπως συνηθίζεται στη βιβλιογραφία) Οι τελεστές δε μετατίθενται με τη Χαμιλτονιανή, αν όμως ορίσουμε νέους τελεστές μετατόπισης ( [ ] ) ( ) ( ) και δουλέψουμε στη συμμετρική βαθμίδα τότε οι νέοι αυτοί τελεστές μετατίθενται με τη Χαμιλτονιανή: [ ] Γενική βαθμίδα Στην πραγματικότητα, αυτό το επιχείρημα που γράφεται στη βιβλιογραφία μπορεί να κατανοηθεί πιο γενικά, αν κανείς ορίσει ως μαγνητικές μετατοπίσεις τους τελεστές (11.7) όπου (11.8) η ψευδοορμή, όπως την έχουμε ορίσει σε προηγούμενη ενότητα. Τότε, ανεξάρτητα βαθμίδας, ισχύει η σχέση [ ] (11.9) Αυτό είναι αναμενόμενο από το ότι [ ] το οποίο με τη σειρά του αναμένεται από τις κλασικές εξισώσεις κίνησης (που έβγαλαν το σταθερά της κίνησης), αλλά για πληρότητα ας δώσουμε εδώ την απόδειξη για το κβαντικό μας σύστημα: Η Χαμιλτονιανή έχει τη μορφή (11.10) Θα δείξουμε ξεχωριστά ότι [ ] [ ] και [ ] (11.11) Για να δείξουμε την πρώτη ισότητα θα χρησιμοποιήσουμε και πάλι δείκτες, ούτως ώστε να μην κάνουμε λάθος π.χ. στα εσωτερικά γινόμενα των ανυσμάτων: [ ] [ ] [ ] [ ] Από τη σχέση (9.62): παίρνουμε [ ] Σελίδα 127 από 201

128 [ ] [ ] [ ] όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το μαγνητικό πεδίο είναι ομογενές, ενώ παράλληλα [ ] [ ] ( [ ] [ ] ) Βάζοντας τα δύο τελευταία αποτελέσματα μαζί έχουμε Άρα τελικά [ ] [ ] (11.12) Σημειώνουμε ότι στα πιο πάνω φαίνεται και η γενικότερη ισότητα [ ]. Η δεύτερη ισότητα στην (11.11) χρειάζεται λίγο περισσότερο κόπο για να αποδειχθεί. Για αυτό το σκοπό θα χρησιμοποιήσουμε τη φόρμουλα Zassenhaus: [ ] ( [ [ ]] [ [ ]]) (11.13) Ο τύπος αυτός δείχνει με πιο τρόπο μπορούμε να σπάσουμε ένα εκθετικό αθροίσματος δύο τελεστών που δε μετατίθενται μεταξύ τους. Θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση αυτή για να βρούμε πώς μπορούμε να σπάσουμε τους μαγνητικούς τελεστές μετατόπισης ( [ ] ) ( [ ] ) ( [ ] ) Για να το κάνουμε αυτό παίρνουμε (11.14) οπότε έχουμε [ ] [ ] [ ] (11.15) Στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το εναλλαγές, ενώ το είναι συμμετρικό, οπότε είναι αντισυμμετρικό ως προς Άρα τελικά (11.16) Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι Σελίδα 128 από 201

129 (11.17) [ ] [ ] [ ] (11.18) Η τελευταία ποσότητα είναι μηδενική μόνο στη συμμετρική βαθμίδα, και στις υπόλοιπες όμως είναι αρκετά απλή, δίνει μια σταθερά. Άρα τελικά (11.19) με αναφέρει πιο πάνω). στην ειδική περίπτωση της συμμετρικής βαθμίδας (όπως έχουμε ήδη Άρα λοιπόν, επιστρέφοντας στον αρχικό στόχο της απόδειξης, [ ] [ ] [ ] (11.20) Ο τελευταίος παράγοντας είναι και αυτός που θα μηδενίσει ολόκληρη την ποσότητα, οπότε ας τον υπολογίσουμε: [ ] (11.21) αφού (11.22) Έτσι ολοκληρώνουμε την απόδειξη της σχέσης [ ] Αυτό σημαίνει πρακτικά ότι μπορούμε να ψάξουμε για τις ιδιοσυναρτήσεις της (δηλαδή λύσεις της εξίσωσης Schrödinger) που να είναι ταυτόχρονα και κάποιες ιδιοσυναρτήσεις των. Σελίδα 129 από 201

130 Περιληπτικά Για ένα ηλεκτρόνιο σε περιβάλλον περιοδικού δυναμικού με περιόδους και στις διευθύνσεις και αντίστοιχα, ισχύει η Χαμιλτονιανή Αν μετακινηθούμε κατά στη ή κατά στην διεύθυνση, το σύστημα παραμένει αναλλοίωτο αλλά η μαθηματική έκφραση για τη Χαμιλτονιανή όχι (λόγω του ), αντίστοιχα, για τους τελεστές μετατόπισης έχουμε [ ] Για να λύσουμε το πρόβλημα κάνουμε regauge κάθε μετατόπιση με τον κατάλληλο τρόπο ορίζοντας τους μαγνητικούς τελεστές μετατόπισης με τη ψευδοορμή, οι οποίοι αποδεικνύεται ότι μετατίθενται με τη Χαμιλτονιανή: [ ] Μεταξύ τους όμως οι μαγνητικές μετατοπίσεις δε μετατίθενται και ισχύει η σχέση όπου, ο αριθμός των μαγνητικών κβάντων ανά κυψελίδα (11.23) Αυτό μπορούμε να το αποδείξουμε και πάλι χρησιμοποιώντας την Zassenhaus με (11.24) παίρνουμε [ ] [ ] [ ] [ ] (11.25) και οπότε εξισώνοντας τα δύο Σελίδα 130 από 201

131 Εφόσον λοιπόν οι διάφοροι τελεστές δε μετατίθενται γενικά μεταξύ τους πρέπει κάτι να κάνουμε για να εκβιάσουμε τέτοια μεταθετικότητα. Αυτό μπορεί να γίνει αν η ροή έχει ρητή σχέση με το, δηλαδή αν, (11.26) Σε αυτή την περίπτωση για να επαναφέρουμε τη μεταθετικότητα πρέπει να ορίσουμε μια μεγαλύτερη στοιχειώδη κυψελίδα, στην οποία θα έχουμε ακέραιο αριθμό κβάντων ροής να περνάει από μέσα της, για παράδειγμα: (11.27) Αυτή τη διευρυμένη κυψελίδα την έχουν ονομάσει μαγνητική στοιχειώδη κυψελίδα. Τώρα, αφού οι μαγνητικές μετατοπίσεις μετατίθενται μεταξύ τους (διότι τώρα ) και με τη Χαμιλτονιανή, μπορούμε να βρούμε κοινές ιδιοσυναρτήσεις τους (τις λεγόμενες μαγνητικές συναρτήσεις Bloch, που έχουν σαν δείκτες τα αλλά και το που δείχνει την ενεργειακή ζώνη στην οποία αντιστοιχούν) Για αυτές έχουμε τις σχέσεις (α) (επέκταση του Bloch θεωρήματος όταν έχουμε και μαγνητικό πεδίο) όπου κρυσταλλικής ορμής, περιορισμένης στη λεγόμενη μαγνητική ζώνη Brillouin (β) (11.28) οι συνιστώσες της (11.29) Οι γράφονται σε μορφή Bloch (11.30) όπου το είναι ο δείκτης της ενεργειακής ζώνης και οι είναι οι αντίστοιχες γενικευμένες συναρτήσεις Bloch, που παραμένουν αναλλοίωτες κάτω από τη δράση των μαγνητικών τελεστών μετατόπισης, αφού (11.31) Στα πιο πάνω χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι (11.32) Σελίδα 131 από 201

132 Παρόμοια παίρνουμε και (11.33) επιβεβαιώνοντας τον ισχυρισμό για την αναλλοιώτητα των κάτω από τη δράση των. Συμμετρική βαθμίδα Από τη σχέση ( ) ( ) (11.34) παίρνουμε την πιο ειδική περίπτωση οπότε τελικά (11.35) και, χρησιμοποιώντας τον ακέραιο : (11.36) παίρνουμε (11.37) ενώ ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία για τη μετατόπιση στη διεύθυνση παίρνουμε επιπλέον (11.38) (Τα παραπάνω μπορούν να ειδωθούν σαν γενικευμένο θεώρημα Bloch σε εξωτερικό μαγνητικό πεδίο). Περιληπτικά Μεταξύ τους οι μαγνητικές μετατοπίσεις δε μετατίθενται, αφού όπου, ο αριθμός των μαγνητικών κβάντων ανά κυψελίδα. Για ρητές τιμές της μαγνητικής ροής σε μονάδες κβάντων ροής: Σελίδα 132 από 201 μπορούμε να εκβιάσουμε μεταθετικότητα ορίζοντας διευρυμένη μαγνητική κυψελίδα (π.χ. με στοιχειώδεις κυψελίδες στη σειρά στη διεύθυνση) Τότε [ ] και οι κοινές ιδιοσυναρτήσεις αυτών και της Χαμιλτονιανής (μαγνητικές συναρτήσεις Bloch) έχουν τη μορφή με τις να έχουν την περιοδικότητα του πλέγματος.

133 Και τώρα ας επικεντρωθούμε στην Η φάση των και σε κάποιες σημαντικές τοπολογικές της ιδιότητες: δεν είναι μοναδικά καθορισμένη λόγω του ότι μπορούμε πάντα να κάνουμε ένα μετασχηματισμό βαθμίδας (11.39) και να τη μεταβάλουμε. Η συνολική μεταβολή όμως στη φάση αυτή όταν κινηθούμε πάνω στο όριο της μαγνητικής κυψελίδας σε κλειστή τροχιά προκύπτει ότι είναι ποσότητα ανεξάρτητη βαθμίδας. Πράγματι, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (11.37),(11.38) μπορούμε να δείξουμε ότι η μεταβολή αυτή είναι ίση με : P 4 (x y b) P (x qa y b) P (x y) P (x qa y) Εικόνα 11.1 Κυκλικό ταξίδι της κυματοσυνάρτησης γύρω από τη διευρυμένη στοιχειώδη κυψελίδα Κάνοντας τον κύκλο 4, η κυματοσυνάρτηση μαζεύει έξτρα φάση: (11.40) Οπότε η τελική κυματοσυνάρτηση έχει τη μορφή Η κυματοσυνάρτηση έχει δηλαδή μαζέψει φάση. (11.41) Γενική βαθμίδα Το αποτέλεσμα αυτό είναι ανεξάρτητο βαθμίδας. Θα μπορούσαμε να ακολουθήσουμε την πιο πάνω διαδικασία ξανά, με συμβολισμό γενικής βαθμίδας και να πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα. Είναι πιο εύκολο όμως να παρατηρήσουμε το γεγονός αυτό από τη σχέση (11.23) (11.42) Σελίδα 133 από 201

134 Εφαρμόζοντας τον τελεστή στο αριστερό μέλος σε μια κυματοσυνάρτηση, την αναγκάζουμε να ακολουθήσει το ταξίδι που δείξαμε πιο πάνω και άρα να μαζέψει τη σχετική έξτρα φάση. Αν γράψουμε τις γενικευμένες κυματοσυναρτήσεις (11.43) τότε μπορούμε να γράψουμε τον ακέραιο με τον εξής τρόπο: (11.44) με το ολοκλήρωμα υπολογισμένο στη αριστερόστροφη κατεύθυνση. Στη νέα αναπαράσταση, η εξαρτάται από τη βαθμίδα αλλά ο ακέραιος όχι. Η πιο πάνω σχέση δείχνει ένα πολύ σημαντικό τοπολογικό χαρακτηριστικό του συστήματος. Για μια συνάρτηση που δεν έχει καλά καθορισμένη φάση, αν κινηθούμε αριστερόστροφα σε ένα κύκλο γύρω από μια ρίζα της συνάρτησης και ταυτόχρονα θεωρήσουμε ένα τόξο του οποίου η κατεύθυνση καθορίζεται από τη φάση, θα δούμε ότι αυτό περιστρέφεται μια φορά αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα. Αυτές οι δύο περιπτώσεις αντιστοιχούν σε vorticity 1 και -1 αντίστοιχα. Αν έχουμε πολλαπλή περιστροφή, τότε έχουμε πολλαπλά vortices. Στην περίπτωση μας το μαγνητικό πεδίο αναγκάζει την κυματοσυνάρτηση να αποκτήσει vorticity στη μαγνητική κυψελίδα. Ο ιδιότητα αυτή είναι τοπολογική αφού η συνολική vorticity είναι ανεξάρτητη βαθμίδας. Το πιο πάνω αποτέλεσμα για τη vorticity μπορεί να αποδειχθεί και με ένα πολύ γενικότερο επιχείρημα, που είναι ανεξάρτητο βαθμίδας. Κατ αρχήν να αναφέρουμε ότι (είναι εύκολο να δειχτεί ότι) οι γενικευμένες συναρτήσεις είναι ιδιοσυναρτήσεις της effective Χαμιλτονιανής (11.45) με τις ίδιες ενέργειες με αυτές των αρχικών κυματοσυναρτήσεων : (11.46) Τώρα, το ρεύμα (11.47) είναι ποσότητα ανεξάρτητη βαθμίδας και περιοδική ως προς τη μαγνητική κυψελίδα. Οπότε αν γράψουμε, όπως και πριν τις στη μορφή η πιο πάνω περιοδική ποσότητα γίνεται (11.48) Σελίδα 134 από 201

135 Τα όμως είναι επίσης περιοδικά ως προς τη μαγνητική κυψελίδα (αφού τα παίρνουν απλά μια έξτρα φάση), καθώς επίσης και τα και, οπότε πρέπει τελικά και η ποσότητα να είναι περιοδική ως προς τη μαγνητική κυψελίδα. Αυτό όμως σημαίνει ότι, αν πάρουμε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αυτής της ποσότητας γύρω από την κυψελίδα περιοδικότητας, αυτό θα πρέπει να δώσει μηδέν (διότι οι συνεισφορές από τις απέναντι πλευρές ακυρώνονται): (11.49) (11.50) (11.51) όπου ο αριθμός των κβάντων ροής που περνά μέσα από τη μαγνητική κυψελίδα, ανεξάρτητος της κρυσταλλικής ορμής, παρόλο που η φάση εξαρτάται από αυτή. Το γεγονός ότι η ποσότητα είναι μη μηδενική (για ) δείχνει ότι η φάση δεν μπορεί να είναι μονότιμη και χωρίς singularities στον πραγματικό χώρο, πρέπει να έχουμε τουλάχιστον σημεία μηδενισμού. Η παραπάνω vorticity σχετίζεται με την κβάντωση της συνολικής μαγνητικής ροής Berry στο χώρο και είναι ανάλογη της μαγνητικής ροής που περνάει από κλειστή επιφάνεια που περικλείει ένα μαγνητικό μονόπολο (η οποία κβάντωση προέρχεται από την κβάντωση των δυνατών τιμών του μαγνητικού μονοπόλου [49], το οποίο παρενθετικά θυμίζουμε στη συνέχεια). Αυτό συμβαίνει γιατί αν αρχίσουμε να μεταβάλλουμε τις συνιστώσες της κρυσταλλικής ορμής μέσα στη μαγνητική ζώνη Brillouin και παρατηρήσoυμε τα μονοπάτια κίνησης των σημείων μηδενισμού της φάσης στον αληθινό χώρο κατά τη μεταβολή αυτή, θα παρατηρήσουμε ότι αυτά μπλέκονται με μη τετριμμένο τρόπο (topological braiding) και αν αυτή η δομή μελετηθεί προσεκτικά μπορεί να δώσει από μόνη της την κβαντωμένη αγωγιμότητα Hall. Σελίδα 135 από 201

136 Μονόπολο Dirac [50], [49] Γνωρίζουμε ότι στην Κλασική Ηλεκτροδυναμική, σύμφωνα με τους νόμους του Maxwell απαγορεύεται να έχουμε μαγνητικά μονόπολα, γεγονός το οποίο περιγράφεται από τη σχέση για κάθε σημείο του χώρου. (11.52) Στην κβαντική μηχανική τώρα δεν μπορούμε να αποδείξουμε το αντίθετο, αλλά, στην περίπτωση που κάποιο σύστημα συμπεριφέρεται σα να υπάρχει κάπου στο χώρο μαγνητικό μονόπολο (όπως στις περιπτώσεις που θα δούμε πιο κάτω), το μονόπολο αυτό θα πρέπει να είναι απαραίτητα κβαντωμένο με τον τρόπο που θα δούμε αμέσως πιο κάτω. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σημειακό μαγνητικό μονόπολο, στη θέση 0, με ισχύ αντίστοιχη του σημειακού ηλεκτρικού φορτίου. Το στατικό μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται εξαιτίας αυτού του μαγνητικού μονοπόλου είναι (11.53) Η απόκλιση του διανυσματικού δυναμικού δίνεται, σε σφαιρικές συντεταγμένες από τον τύπο [ ] [ ] [ ] (11.54) το μαγνητικό πεδίο πρέπει να ισούται με αυτή, οπότε, με άλλα λόγια, πρέπει να βρούμε ένα διανυσματικό δυναμικό που να μας δίνει το μαγνητικό πεδίο όταν πάρουμε τη στροφή του (curl). Μια επιλογή είναι το [ ] (11.55) το οποίο όμως απειρίζεται σε γωνιά (αρνητικός άξονας). Δεν είναι εφικτό να βρούμε ένα διανυσματικό δυναμικό που να είναι καλή συνάρτηση παντού (να μην απειρίζεται πουθενά) και να αναπαράγει το μαγνητικό πεδίο που θέλουμε, αφού για μια καλή διανυσματική συνάρτηση ισχύει, (11.56) και από το νόμο του Gauss για το ολοκλήρωμα πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια όγκο που περικλείει (11.57) ενώ με βάση το μαγνητικό πεδίο που θέλουμε να δημιουργήσουμε θα έπρεπε να παίρνουμε (11.58) Σελίδα 136 από 201

137 Έτσι θα χρειαστούμε τουλάχιστον δύο διανυσματικά δυναμικά για να καλύψουμε ολόκληρο το χώρο, για παράδειγμα [ ] [ ] (11.59) Εικόνα 11.2 Ο διαχωρισμός του χώρου στις δύο περιοχές όπου ορίζουμε διαφορετικά διανυσματικά δυναμικά που να αναπαράγουν το μαγνητικό πεδίο Χρειάζεται όμως τα δύο να συνδέονται με ένα μετασχηματισμό βαθμίδας στον ενδιάμεσο χώρο, αφού δίνουν το ίδιο μαγνητικό πεδίο. Με άλλα λόγια πρέπει να υπάρχει συνάρτηση Λ τέτοια ώστε να ισχύει (11.60) όπου (11.61) σε σφαιρικές συντεταγμένες. Υπολογίζοντας τη διαφορά των δύο διανυσματικών δυναμικών (11.62) συμπεραίνουμε ότι μια κατάλληλη επιλογή είναι η Οι αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις για τα δύο δυναμικά συνδέονται ένα παράγοντα φάσης (11.63) (11.64) Σελίδα 137 από 201

138 (για ηλεκτρόνιο) και επειδή χρειάζεται η κυματοσυνάρτηση του προβλήματος να είναι μονότιμη για αζιμουθιακά ταξίδια, πρέπει τελικά να έχουμε (11.65) άρα τελικά, αν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα, αυτά θα είναι κβαντωμένα σε μονάδες (Ανάποδα, η ύπαρξη τουλάχιστον ενός μονοπόλου στη Φύση εγγυάται τη γνωστή κβάντωση του φορτίου σε ακέραια πολλαπλάσια του ). Επίσης σημειώστε ότι, λόγω των πάνω κβαντωμένων τιμών του μαγνητικού φορτίου, η συνολική μαγνητική ροή που περνά από μια κλειστή επιφάνεια είναι (11.66) (δηλαδή ο ίδιος ακέραιος που δείχνει την κβάντωση του μαγνητικού μονοπόλου, είναι ο ίδιος με αυτόν που εμφανίζεται και στην κβάντωση της μαγνητικής ροής). Πολλά από όσα θα ακολουθήσουν είναι το ανάλογο της πάνω κβάντωσης Dirac, αλλά στο χώρο αντί στον αληθινό χώρο των θέσεων (γι αυτό και στη βιβλιογραφία γίνεται στις μέρες μας αρκετά συχνή αναφορά σε μονόπολα Dirac στο χώρο ). Μάλιστα η πάνω συνολική ροή από κλειστή επιφάνεια (αλλά τώρα στο χώρο, όπου κλειστή επιφάνεια θα είναι η ζώνη Brillouin που θα την έχουμε κλείσει σε torus) θα σχετίζεται με τη συνολική ροή της Berry curvature (που είδαμε στο Κεφάλαιο 6 και όπου είχε ήδη επισημανθεί η κβάντωσή της). Και η κβάντωση αυτή θα δούμε πως είναι υπόλογη για την κβάντωση του συντελεστή Hall στο Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall. Σελίδα 138 από 201

139 Οι ρίζες των κυματοσυναρτήσεων στον πραγματικό χώρο και στο χώρο k. Για περαιτέρω εμβάθυνση και εμπλουτισμό των γνώσεων του αναγνώστη στο θέμα της vorticity των κυματοσυναρτήσεων, παραπέμπουμε στο άρθρο [51], όπου οι Arovas et al βρίσκουν τη γενική μορφή της κυματοσυνάρτησης για τη χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη Landau, στην οποία και θα βρίσκεται το σύστημα αν έχουμε αρκετά μεγάλη ταχύτητα κυκλότρου (αντίστοιχα αρκετά μεγάλο μαγνητικό πεδίο Β) σε Jellium μοντέλο και πάλι. Η ανάλυση στο άρθρο είναι εκτενής, εδώ θα αναφέρουμε μόνο τα στοιχεία που μας ενδιαφέρουν. Η κυματοσυνάρτηση που προκύπτει λοιπόν έχει, για σταθερά και, ακριβώς ρίζες, όσος και ο ακέραιος αριθμός κβάντων ροής που περνούν από τη μαγνητική κυψελίδα. Από τις κυματοσυναρτήσεις που προκύπτουν για συγκεκριμένο, δε συνεισφέρουν όλες στην αγωγιμότητα Hall που θα δούμε πιο κάτω, αλλά μόνο αυτές των οποίων οι ρίζες στον αληθινό χώρο είναι εξαιρετικά ευαίσθητες στις τιμές των και. Αυτές είναι οι εκτεταμένες καταστάσεις και οι θέσεις των ριζών τους μπορούν να μεταφερθούν οπουδήποτε στον ευθύ χώρο, αλλάζοντας κατάλληλα τις τιμές των και. Οι υπόλοιπες είναι εντοπισμένες καταστάσεις και, όπως έχουμε αναφέρει, δε συνεισφέρουν στην αγωγιμότητα Hall. Κάθε κατάσταση χαρακτηρίζεται από ένα δείκτη Chern, ο οποίος δείχνει πόσο καλύπτουν τον αληθινό χώρο με τοπολογία torus (δηλαδή πόσα twisting παθαίνουν) οι ρίζες της κυματοσυνάρτησης, καθώς μεταβάλλουμε τα και. Το άθροισμα των δεικτών Chern για όλες τις κυματοσυναρτήσεις (για συγκεκριμένη ενέργεια) είναι 1, οπότε έχουμε τουλάχιστον μια μη τετριμμένη κυματοσυνάρτηση. Ο (πρώτος) αριθμός Chern (όπως επίσης ονομάζεται στη μαθηματική βιβλιογραφία) για το σύστημα προκύπτει να είναι τελικά, ίσος με τον ακέραιο αριθμό των πλήρως κατειλημμένων σταθμών Landau και είναι, όπως θα δείξουμε, τοπολογικό αναλλοίωτο του συστήματος με τοπολογία torus. Κοιτάζοντας τώρα το σύστημα από μια άλλη οπτική γωνία, μπορούμε να μελετήσουμε τις ρίζες των κυματοσυναρτήσεων στο χώρο, για σταθερό σημείο στο χώρο. Και εκεί θα έχουμε μια ανάλογη δομή για τις ρίζες, ενώ το ολοκλήρωμα της Berry connection στην επιφάνεια του torus της πρώτης μαγνητικής ζώνης Brillouin θα δώσει, όπως θα δούμε, την αγωγιμότητα Hall, αναδεικνύοντας και πάλι τον τοπολογικό χαρακτήρα του φαινομένου της κβάντωσής της. Η διαφορά με τις ρίζες στο χώρο είναι το γεγονός ότι δεν ξέρουμε πόσες είναι σε αριθμό, αλλά αυτό δε μας εμποδίζει να αναλύσουμε το φαινόμενο. Το πρόβλημα στο χώρο είναι η αδυναμία ορισμού ενός ενιαίου διανυσματικού δυναμικού, ή, αντίστοιχα, μιας Berry connection, ακριβώς όπως είδαμε στην περίπτωση του μονοπόλου Dirac (αν και εκεί ήταν για το χώρο των θέσεων). Θα τα δούμε όμως αυτά καλύτερα στη σχετική ενότητα. Πρώτα πάμε να δούμε το πώς προκύπτει η αγωγιμότητα Ηall να σχετίζεται με ένα τέτοιο ολοκλήρωμα στο χώρο. Σελίδα 139 από 201

140 Αγωγιμότητα Hall σαν γραμμική απόκριση στο ηλεκτρικό πεδίο (ή στην drift velocity) [48] Όπως έχουμε ήδη αναφέρει, οι γενικευμένες συναρτήσεις Χαμιλτονιανής (11.45) είναι ιδιοσυναρτήσεις της effective με τις ίδιες ενέργειες με αυτές των αρχικών κυματοσυναρτήσεων (11.46): Όπως φαίνεται και από το συμβολισμό, οι γενικευμένες συναρτήσεις είναι συναρτήσεις της κρυσταλλικής ορμής και της ενεργειακής ζώνης, εξ ου και οι κατάλληλοι δείκτες σε αυτές. Ο λεγόμενος τύπος του Kubo δίνει το ρεύμα που δημιουργείται όταν εφαρμόσουμε ένα μικρό ηλεκτρικό πεδίο στο σύστημα και άρα την αγωγιμότητα Hall (βασισμένη στο κύριο μέρος (εσωτερικό) του συστήματος). Εδώ χρησιμοποιούμε τον τύπο για τη συνεισφορά στην αγωγιμότητα Hall από μια μόνο ενεργειακή ζώνη, στην περίπτωση βέβαια που αυτή είναι πλήρως κατειλημμένη: (11.67) με το άθροισμα να τρέχει σε όλες τις ενέργειες που δεν είναι ίσες με την. Όπως έχουμε ήδη πει, για να προσδιορίσουμε μια κατάσταση χρειαζόμαστε, εκτός από το δείκτη της ενεργειακής ζώνης και την κρυσταλλική ορμή. (Στη συνέχεια θα κάνουμε averaging ως προς όλες τις τιμές της κρυσταλλικής ορμής). Ο τελεστής της ταχύτητας ορίζεται ως [ ] (11.68) και προκύπτει, ως γνωστό ότι είναι ίσος με, ή (11.69) Για να βρούμε τα στοιχεία πίνακα αυτού του τελεστή αρκεί να ολοκληρώσουμε ως προς τη μαγνητική στοιχειώδη κυψελίδα: (11.70) Οι είναι κανονικοποιημένες ως εξής ως προς τη μαγνητική κυψελίδα: (11.71) Σελίδα 140 από 201

141 Αν γράψουμε τις (για απλοποίηση των συμβολισμών) σαν (11.72) παίρνουμε Και επειδή (11.73) (11.74) η έκφραση (11.73) μπορεί να γραφτεί και σαν (11.75) Ας υπολογίσουμε τώρα αυτές τις τελευταίες ποσότητες: (11.76) (11.77) ή, εναλλακτικά, (11.78) Σελίδα 141 από 201

142 οπότε τελικά (11.79) Αντικαθιστώντας τις πιο πάνω σχέσεις στον τύπο του Kubo παίρνουμε (11.80) Ένας υποθετικός όρος στο άθροισμα με, όπως θα εξηγήσουμε πιο κάτω, θα έδεινε μηδενική συνεισφορά, οπότε μπορούμε να αλλάξουμε το άθροισμα ώστε να μετράει όλα τα, και αφού να πάρουμε (11.81) Παραλείποντας τους δείκτες τώρα, έχουμε ότι ( ) (11.82) όπου (11.83) και ο δείκτης αντιστοιχεί στην τρίτη συνιστώσα του ανύσματος. Η πιο πάνω μορφή είναι γνωστή από το Κεφάλαιο 6 (με τη φάση του Berry). Το ολοκλήρωμα ως προς γίνεται μέσα στην μαγνητική ζώνη Brillouin, η οποία έχει τοπολογία torus αφού έχουμε ταυτίσει τα άκρα και και (11.84) To torus δεν έχει άκρα, οπότε αν μπορούσαμε να ορίσουμε ένα μόνο σε ολόκληρο το torus θα έπρεπε να παίρναμε (11.85) Ο λόγος που παίρνουμε μη μηδενική τιμή προέρχεται από την τοπολογία του. Γενικά, έχουμε μη τετριμμένο μόνο όταν ο χώρος μας δε μπορεί να συρρικνωθεί σε σημείο (με άλλα λόγια, όταν η global τοπολογία του χώρου δεν είναι contractible ). Σελίδα 142 από 201

143 Τοπολογία του [48] Όπως έχουμε πει, η φάση της κυματοσυνάρτησης δεν είναι καλά ορισμένη. Μπορούμε όμως να την επιλέξουμε απαιτώντας μια συγκεκριμένη συνιστώσα της να είναι πραγματική, έστω ( ) (11.86) Ο όρος συνιστώσα της έχει την έννοια της τιμής της σε κάποιο συγκεκριμένο σημείο του χώρου. Είναι βέβαιο όμως ότι σε κάποιο(α) σημείο(α) η συνιστώσα αυτή μηδενίζεται, με αποτέλεσμα να έχουμε και πάλι αυθαιρεσία φάσης. Για να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα απαιτούμε να είναι πραγματική κάποια άλλη συνιστώσα της εκεί. Η επιλογή όμως διαφορετικών και έχει μη τετριμμένες συνέπειες στο αποτέλεσμα του τύπου του Kubo, όπως θα δείξουμε αμέσως πιο κάτω. Για απλότητα ας υποθέσουμε αρχικά ότι ο μηδενισμός της συνιστώσας της συμβαίνει σε ένα μόνο σημείο του χώρου μέσα στη μαγνητική ζώνη Brillouin και στη συνέχεια θα το γενικεύσουμε: Έστω ότι η συνιστώσα ( ) μηδενίζεται μόνο στο σημείο ( ): ( ) (11.87) Χωρίζουμε τη ζώνη Brillouin σε δύο περιοχές Ι και ΙΙ όπως φαίνεται στο σχήμα: Εικόνα 11.3 Διαχωρισμός της πρώτης ζώνης Brillouin σε δύο περιοχές και επιλογή διαφορετικού διανυσματικού δυναμικού σε καθεμιά από αυτές. Η εικόνα προέρχεται από το [48] Η περιοχή Ι είναι η γειτονιά του σημείου ( ) και σε αυτή ορίζουμε τις όπως εξηγήσαμε πιο πάνω, ενώ η περιοχή ΙΙ είναι η υπόλοιπη περιοχή μέσα στη μαγνητική ζώνη Brillouin και στην οποία ορίζουμε τις και πάλι όπως εξηγήσαμε πιο πάνω. Στο σύνορο των δύο περιοχών έχουμε άλμα φάσης (11.88) με την ( ) ομαλή συνάρτηση ορισμένη στο σύνορο. Σελίδα 143 από 201

144 Με αυτό τον τρόπο η μη τετριμμένη τοπολογία των μεταφέρεται στα. Αν τα δίνουν δυναμικό στην περιοχή και δίνουν δυναμικό στην περιοχή, η μεταξύ τους σχέση (από την (11.88)) προκύπτει να είναι (11.89) Εφαρμόζοντας το θεώρημα Stokes ξεχωριστά στις περιοχές και παίρνουμε { ( ) ( ) } [ ] (11.90) Η ολοκλήρωση της διαφοράς των δύο δυναμικών δίνει κάτι ανάλογο με το μονόπολο του Dirac που προαναφέρθηκε, οπότε και εδώ θα προκύψει να είναι κβαντωμένη ποσότητα. Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ και παίρνουμε όπου (11.91) (11.92) Το πρέπει να είναι ακέραιος, έτσι ώστε τα ανύσματα των καταστάσεων να παραμένουν τα ίδια μετά από μια πλήρη περιστροφή κατά μήκος του συνόρου. Εκφράζει επίσης τον αριθμό κβάντων ροής στο χώρο μέσα στην μαγνητική ζώνη Brillouin. Στην πιο γενική περίπτωση που έχουμε περισσότερες από μια ρίζες για την κυματοσυνάρτηση, ακέραιοι που αντιστοιχούν στα σημεία αυτά αθροίζονται, για να βγάλουμε την τελική σχέση για την αγωγιμότητα Hall. O ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να βρει μια προσεκτική ανάλυση της περίπτωσης αυτής [53] στο Παράρτημα ΙΙΙ, εδώ θα πάρουμε το αποτέλεσμα σαν επέκταση της πιο πάνω απλής περίπτωσης: (11.93) με ακέραιος (vorticity) στην s-οστή περιοχή μηδενισμού των Σελίδα 144 από 201

145 Τα πιο πάνω θα μπορούσαμε πάλι να τα δούμε διαφορετικά, με ένα επιχείρημα ανάλογο αυτό της Σελίδας 134, για το χώρο όμως τώρα. Με τη νέα αυτή μέθοδο, αντί να πάρουμε τα που προκύπτουν από διαφορετικά και να δούμε στο τέλος της ημέρας το άλμα φάσης που δημιουργείται στο σύνορο των δύο περιοχών, θα δείξουμε από την αρχή ότι η ποσότητα (όπου οι φάσεις των κυματοσυναρτήσεων ) είναι περιοδική ως προς την μαγνητική ζώνη Brillouin και το γεγονός αυτό από μόνο του δίνει την κβάντωση της αγωγιμότητας Hall που έχουμε ήδη δείξει. Μάλιστα αυτή η μέθοδος οδηγεί και σε μια μορφή απόδειξης του τύπου του Kubo που προηγουμένως τον είχαμε πάρει ως δεδομένο. Η ποσότητα στο χώρο τώρα που μοιάζει με ρεύμα στο χώρο και πρέπει να είναι περιοδική ως προς τη μαγνητική ζώνη Brillouin είναι η ( ) (11.94) όπου (11.95) (ίδια με τη σχέση (11.83)). Γράφοντας τώρα τις σαν, (11.96) εντελώς αντίστοιχα με την έκφραση (11.43) αλλά με τα τώρα σαν μεταβλητές, συμπεραίνουμε ότι η ποσότητα ( ) (11.97) πρέπει να είναι περιοδική ως προς τη μαγνητική ζώνη Brillouin. Αυτό όμως σημαίνει ότι και η έκφραση (11.98) πρέπει να είναι περιοδική ως προς τη μαγνητική ζώνη Brillouin, επιβεβαιώνοντας τον πιο πάνω ισχυρισμό. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι, αν ολοκληρώσουμε την (11.98) στο μονοπάτι γύρω από τη μαγνητική ζώνη Brillouin, το αποτέλεσμα που θα πάρουμε θα είναι μηδενικό, λόγω ακύρωσης των συνεισφορών ανά δύο (από τις απέναντι πλευρές): ( ) (11.99) (11.100) Σελίδα 145 από 201

146 Για μια συγκεκριμένη ζώνη (με το θεώρημα Stokes) (11.101) (11.102) (11.103) Με παρόμοια απόδειξη με αυτή της Σελίδας 66 (εκεί ήταν για τις έχουμε ότι οι ποσότητες αλλά η απόδειξη είναι η ίδια) είναι φανταστικές, οπότε ο όρος υποσχεθεί να δείξουμε). στο πιο πάνω άθροισμα είναι μηδενικός (όπως έχουμε Με αντίστροφη πορεία με αυτή των Σελίδων μπορούμε να αποδείξουμε τον τύπο του Kubo, ενώ αθροίζοντας ως προς όλες (τις κατειλημμένες) ενεργειακές ζώνες παίρνουμε τον ακέραιο της αγωγιμότητας Hall: (11.104) Chern number Η παρουσία γενικά της Berry Curvature (με αδιαβατική παράμετρο τα ) διορθώνει με έξτρα όρο τις συνηθισμένες από τη Φυσική Στερεάς Κατάστασης ημικλασικές εξισώσεις κίνησης ενός κυματοπακέτου (π.χ. με κέντρο μάζας και ορμή ): (π.χ. ) (11.105) και (11.106) Ο διορθωτικός αυτός όρος συμπεριφέρεται σα μια γενικευμένη δύναμη Lorentz στον χώρο λόγω της Berry curvature. Και τότε, αν η ενέργεια Fermi είναι σε χάσμα, με χρήση του μπορεί να βρεθεί το (άθροισμα πάνω στα filled s). Ο πρώτος όρος δίνει συνεισφορά μηδέν (από συμμετρία των ζωνών) και τελικά (11.107) Σελίδα 146 από 201

147 και μετά με βγαίνει το (11.108) με ο Chern number που είναι ίσος με (11.109) Ο αριθμός Chern είναι παράδειγμα ενός τοπολογικού αναλλοίωτου. Τέτοια αναλλοίωτα (αλλά στον αληθινό χώρο) μπορούν να ειδωθούν ως ανάλογα της κβάντωσης του μαγνητικού μονοπόλου του Dirac (που οδηγεί στην κβάντωση μιας ροής μέσα από μια κλειστή επιφάνεια που είδαμε στο Κεφάλαιο 11, βλέπε εξίσωση (11.66)). Ο πιο πάνω αριθμός Chern είναι το ανάλογο στο χώρο. Δηλαδή, στο QHE πρέπει να έχουμε εμφάνιση μονοπόλων Dirac στο χώρο (και αυτά είναι ουσιαστικά τα σημεία εκφυλισμού, δηλαδή τα σημεία όπου οι ζώνες π.χ. στη γραφίνη αγγίζουν μεταξύ τους και τότε παραβιάζεται το Αδιαβατικό Θεώρημα και η Berry curvature έχει singularity, Κεφάλαιο 6). Για να δείξουμε ότι ο αριθμός Chern είναι όντως τοπολογικό αναλλοίωτο, δηλαδή εξαρτάται μόνο από την τοπολογία του χώρου ως προς τον οποίο ολοκληρώνουμε (εδώ ο χώρος ) και όχι από τις λεπτομέρειες του συστήματος, ας πάρουμε μια κλειστή επιφάνεια σαν αυτή που φαίνεται στο σχήμα και ας υπολογίσουμε τη ροή της Berry curvature μέσα από αυτή την κλειστή επιφάνεια. Χωρίζοντας την κλειστή επιφάνεια σε δύο ανοικτές, πάνω και κάτω, με χρήση του θεωρήματος Stokes, το ολοκλήρωμα της πάνω ισούται με το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της Berry connection πάνω στον κλειστό δρόμο, ενώ το κάτω ισούται με το ίδιο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της Berry connection αλλά με αντίθετη φορά. Το τελικό αποτέλεσμα είναι διαφορά του ίδιου πράγματος και άρα μπορεί να γραφτεί σαν επί ένα τοπολογικό αναλλοίωτο, τον αριθμό Chern που είδαμε πιο πάνω. Στο ορθογώνιο σύστημα προκύπτει να είναι ακέραιος, ενώ στη γραφίνη, για λόγους που θα δούμε στη συνέχεια, προκύπτει να είναι ημιακέραιος. C Εικόνα 11.4 Κλειστή επιφάνεια πάνω στην οποία ολοκληρώνουμε την Berry Curvature (11.110) Σελίδα 147 από 201

148 Σχέση με το κυψελοειδές σύστημα Μετάβαση από το ορθογώνιο (ή τετράγωνο σύστημα) στο κυψελοειδές Β 2 a 3 δ 1 a 2 Β 1 δ 2 Α a 1 δ 3 Β 3 δ 1 δ 2 Α δ 3 Εικόνα 11.5 Προσπάθεια για μετατροπή του κυψελοειδούς πλέγματος σε ορθογώνιο Δεν υπάρχει απλός τρόπος να συνδέσουμε το κυψελοειδές πλέγμα της γραφίνης με το ορθογώνιο ή τετραγωνικό σύστημα που έχουμε μελετήσει, γι αυτό και ο ακέραιος στη γραφίνη προκύπτει τελικά να είναι ημιακέραιος. Αν προσπαθήσουμε να πάμε από το κυψελοειδές πλέγμα στο ορθογώνιο (και αντίστοιχα το τετραγωνικό) με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα (μετατοπίζουμε τα άσπρα σημεία κατά τα κάτω στη διεύθυνση), δημιουργείται πρόβλημα ταυτοποίησης (με το ορθογώνιο), αφού πρέπει είτε θα προσθέσουμε τις αλληλεπιδράσεις που φαίνονται στο σχήμα με διακεκομμένες γραμμές, είτε να παρατηρήσουμε ότι έχουμε μια μετατόπιση των κυψελίδων προς τα δεξιά (ή αριστερά) κάθε φορά που αλλάζουμε οριζόντια σειρά. Αυτές οι αλλαγές αποδεικνύεται ότι έχουν μη τετριμμένες συνέπειες στoν ακέραιο της αγωγιμότητας Hall. προς Σελίδα 148 από 201

149 Μετατόπιση του ακεραίου κατά Ας υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζουμε για τη μετατόπιση του ακεραίου κατά πλέγμα, οπότε ξεκινούμε να εφαρμόσουμε τη μεθοδολογία των προηγούμενων σελίδων. Ξεκινούμε από ένα τριγωνικό πλέγμα όπως αυτό που φαίνεται στο σχήμα στο κυψελοειδές a a Εικόνα 11.6 Ταξίδι της κυματοσυνάρτησης στο κυψελοειδές πλέγμα Όταν η κυματοσυνάρτηση κάνει ένα κυκλικό ταξίδι σαν κι αυτό που φαίνεται με μαύρα τόξα στο σχήμα, δέχεται τη δράση των τελεστών (ξεκινώντας πρώτα από τα δεξιά) (11.111) Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε επανειλημμένα τη φόρμουλα Zassenhaus, οπότε ας κάνουμε μια γενική εφαρμογή της που θα μας βοηθήσει παρακάτω: [ ] (11.112) Επίσης (11.113) Οπότε, επιστρέφοντας στους πιο πάνω τελεστές, ( 4 ) (11.114) Οπότε με το ταξίδι αυτό η κυματοσυνάρτηση μαζεύει φάση όπου το εμβαδό του τριγώνου. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε τη φάση που μαζεύεται κατά μήκος της μπλε διαδρομής, προκύπτει και αυτή ίση με. Και άρα για το παραλληλόγραμμο στοιχειώδη κυψελίδα η φάση που μαζεύεται είναι Σελίδα 149 από 201, όπως και στο ορθογώνιο σύστημα. Αν ο αριθμός μαγνητικών κβάντων ανά στοιχειώδη κυψελίδα είναι ακέραιος αριθμός, η κυματοσυνάρτηση είναι μονότιμη.

150 Με παρόμοια διαδικασία με αυτή (ταξίδι δηλαδή της κυματοσυνάρτησης γύρω από τη μαγνητική ζώνη Brillouin) στο χώρο μπορεί κανείς να δείξει ότι η ότι η διαφορές μεταξύ των πλατώ της αγωγιμότητας Hall είναι ακέραιοι αριθμοί. Η μετακίνηση των τιμών κατά παράγοντες. οφείλεται σε άλλους Ένας τρόπος να το δούμε είναι η φάση Berry του συστήματος, που είναι ίση με, όπως δείξαμε σε προηγούμενη ενότητα (το έχουμε δείξει στο χώρο αλλά το δύο σχετίζονται το ένα είναι το dual του άλλου). Καθώς η κυματοσυνάρτηση κάνει το γύρο του παραλληλογράμμου μαζεύει και έξτρα φάση, με αποτέλεσμα η συνολική να είναι (11.115) Ένας άλλος τρόπος να το δούμε είναι το μισό γέμισμα της κατώτερης στάθμης landau για ένα από τους δύο τύπους φορέων, όπως δείξαμε στην ενότητα με τις στάθμες Landau. Μια τρίτη οπτική γωνία είναι μέσω των κατάλληλων συμμετριών [54]. Το ενεργειακό φάσμα είναι συμμετρικό ως προς το μετασχηματισμό (11.116) με τον αριθμό υπολογισμένο (mod 1), όπως φαίνεται από τη σχετική πεταλούδα Hofstadter: Εικόνα 11.7 Η πεταλούδα Hofstadter για το κυψελοειδές πλέγμα. Η εικόνα προέρχεται από το [54] Αυτό σημαίνει ότι (11.117) Σελίδα 150 από 201

151 Κεφάλαιο 12. Το Ανώμαλο Κβαντικό Φαινόμενο Hall στη γραφίνη Έχοντας μελετήσει τη θεωρία του ακέραιου κβαντικού φαινομένου Hall σε ένα γενικό δισδιάστατο σύστημα, ας πάμε να δούμε πώς αυτή τροποποιείται στη γραφίνη. Κατ αρχήν στη γραφίνη δε μπορούμε να έχουμε ορθογώνιο σύστημα, τα άκρα του εξαγωνικού πλέγματος (στα οποία θα κινηθεί το ρεύμα ) μπορούν να είναι είτε armchair, είτε zig zag, είτε συνδυασμός των δύο. Εικόνα 12.1 Οι δύο τύποι άκρων, zigzag και armchair για το κυψελοειδές πλέγμα της γραφίνης. Η εικόνα προέρχεται από το [19] και έχει υποστεί επεξεργασία Για να παρατηρήσουμε το ακέραιο κβαντικό φαινόμενο Hall στη γραφίνη χρειαζόμαστε μια λωρίδα γραφίνης. Στις αναφορές [19], [55], [56], [57], [58] μπορεί κανείς να δει τον τρόπο εξεύρεσης του ενεργειακού φάσματος των δύο τύπων λωρίδων χωρίς μαγνητικό πεδίο και πώς αυτά τροποποιούνται στην παρουσία μαγνητικού πεδίου. Σε αυτό το κεφάλαιο θα επικεντρωθούμε περισσότερο στο Ανώμαλο Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall στη γραφίνη (σε μια bulk θεώρηση) και τις ομοιότητες και διαφορές του με το συνηθισμένο Ακέραιο Κβαντικό Φαινόμενο Hall, ενώ σε επόμενο κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε λωρίδα γραφίνης, μέσα στα πλαίσια της ανάλυσης με τον πίνακα μεταφοράς, για να δείξουμε τη σύνδεση των καταστάσεων άκρων με το Ακέραιο κβαντικό φαινόμενο Hall. Έχουμε ήδη συζητήσει τις στάθμες Landau για ένα (άπειρο) σύστημα γραφίνης σε μαγνητικό πεδίο και το γεγονός ότι για τη στάθμη με έχουμε, για συγκεκριμένο είδος φορέων, εντοπισμό των κυματοσυναρτήσεων σε ένα μόνο υποπλέγμα για κάθε σημείο Dirac. Εικόνα 12.2 Λωρίδα γραφίνης σε κάθετο στο επίπεδό της μαγνητικό πεδίο. Η εικόνα προέρχεται από το [59] Σελίδα 151 από 201

152 Η εικόνα των σταθμών Landau μπορεί να φανεί από το διάγραμμα της πυκνότητας καταστάσεων σε σχέση με το δείκτη της στάθμης Landau, αυτό που έχουμε συμβολισει με, ή αντίστοιχα, την ενέργεια. D(E) Ε Εικόνα 12.3 Η πυκνότητα καταστάσεων για τις στάθμες Landau στη γραφίνη Οι βασικές διαφορές αυτού του διαγράμματος με αυτό ενός συνηθισμένου ημιαγωγού (Σελίδα 117) είναι ότι εδώ έχουμε αρνητικές και θετικές ενέργειες στο ίδιο υλικό (μαζί) και ότι οι δέλτα συναρτήσεις δεν ισαπέχουν πλέον, αλλά πλησιάζουν η μια την άλλη όσο απομακρυνόμαστε από τον κεντρικό άξονα, με τη μεγαλύτερη απόσταση να είναι αυτή μεταξύ των και (αυτό καθιστά την παρατήρηση του πρώτου πλατώ ιδιαίτερα εύκολη στη γραφίνη, γεγονός που θα συζητήσουμε λίγο πιο κάτω). Για λόγους σύγκρισης παρουσιάζουμε πιο κάτω ένα υποθετικό διάγραμμα για ένα συνηθισμένο ημιαγωγό με δύο τύπους φορέων, ηλεκτρόνια και οπές, με το διάγραμμα της γραφίνης που πραγματικά κουβαλάει δύο ειδών φορείς. Εικόνα 12.4 Η πυκνότητα καταστάσεων για τις στάθμες Landau (α) αριστερά: σε ένα συνηθισμένο ημιαγωγό και (β) δεξιά: στη γραφίνη Σελίδα 152 από 201

153 Η ιδιαιτερότητα της χαμηλότερης ενεργειακής στάθμης στη γραφίνη τροποποιεί και το επιχείρημα του Laughlin. Καταρχήν, ας δείξουμε ένα πιθανό τρόπο δημιουργίας κυλίνδρου γραφίνης: Εικόνα 12.5 Κλείσιμο λωρίδας γραφίνης σε κύλινδρο Με αυτή την κατασκευή προκύπτει ένας κύλινδρος γραφίνης σαν κι αυτός που φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: Εικόνα 12.6 Κύλινδρος Laughlin κατασκευασμένος από γραφίνη. Η εικόνα προέρχεται από το [19] Ας βάλουμε τώρα και ροή και μαγνητικό πεδίο, ακριβώς όπως είχαμε κάνει στην ενότητα για το επιχείρημα του Laughlin και ας μεταβάλουμε και πάλι αδιαβατικά τη ροή κατά ένα κβάντο. Σελίδα 153 από 201

154 Στους συνηθισμένους ημιαγωγούς, όπως έχουμε ήδη εξηγήσει, αν το χημικό δυναμικό (ή η ενέργεια Fermi αντίστοιχα) βρίσκεται σε ένα από τα χάσματα μεταξύ των σταθμών Landau (ή, σε ένα σύστημα με ατέλειες, στην περιοχή των εντοπισμένων καταστάσεων) τότε όλες οι εκτεταμένες καταστάσεις κάτω από το χημικό δυναμικό θα είναι πλήρως κατειλημμένες πριν και μετά τη μεταβολή της ροής κατά. Κατά τη διάρκεια όμως της μεταβολής έχουμε μεταφορά ακέραιου αριθμού καταστάσεων (μιας ανά στάθμη Landau, επί το βαθμό εκφυλισμού που σε ένα spinless ορθογώνιο σύστημα είναι 1, ενώ για τη γραφίνη είναι 4, δύο λόγω ψευδοσπίν επί δύο λόγω valley) από τη μια άκρη του κυλίνδρου στην άλλη. Αν δεν υπήρχε η ιδιαιτερότητα της χαμηλότερης στάθμης Landau n=0 στη γραφίνη, τότε εφαρμόζοντας το επιχείρημα του Laughlin θα συμπεραίναμε ότι (12.1) και άρα (12.2) (θετικό πρόσημο για τις οπές και αρνητικό για τα ηλεκτρόνια) Το πρόβλημα με αυτό το επιχείρημα είναι ότι όταν το χημικό δυναμικό (ή η ενέργεια Fermi) βρίσκεται σε ενέργεια 0, ή αντίστοιχα στα σημεία Dirac, δηλαδή σε n=0, όπου έχουμε half filling, το πιο πάνω αποτέλεσμα προβλέπει πλατώ της αγωγιμότητας με, ενώ στην πραγματικότητα σε αυτή την ενέργεια έχουμε στάθμη Landau και άρα εκτεταμένες καταστάσεις. Το παράδοξο λύνεται αν λάβουμε υπ όψιν μας ότι (για συγκεκριμένο τύπο φορέων) έχουμε μεταφορά κατειλημμένων καταστάσεων από τη μια άκρη του κυλίνδρου στην άλλη, οπότε και άρα, (12.3) (12.4) με αποτέλεσμα να παίρνουμε ημιακέραιες τιμές για την αγωγιμότητα Hall. Το αποτέλεσμα αυτό σε σύγκριση με το λανθασμένο αμέσως πιο πάνω φαίνονται στην πιο κάτω εικόνα. Σημειώνουμε ότι εδώ ο συνολικός παράγοντας κατάληψης είναι ο, οπότε για παίρνουμε παράγοντες κατάληψης, για παίρνουμε και ούτω καθεξής (όπως φαίνεται και στην πειραματική εικόνα της εισαγωγής). Σελίδα 154 από 201

155 Εικόνα 12.7 Η αγωγιμότητα Hall (κατακρίβειαν με τη δική μας ανάλυση) για τη γραφίνη με πλατώ σε ημιακέραιες τιμές της ποσότητας (με κόκκινο χρώμα) και η διαμήκης αντίσταση (με πράσινο χρώμα). Αριστερά πάνω ένθετο που δείχνει τις τιμές για την αγωγιμότητα Hall με το λανθασμένο σκεπτικό που περιγράψαμε στο κείμενο. Το στην εικόνα είναι το δικό μας. Η εικόνα προέρχεται από το [25] Η ιδιαιτερότητα του παράγοντα κατάληψης στη γραφίνη Για να δούμε λίγο καλύτερα τι συμβαίνει στη γραφίνη στην περίπτωση που έχουμε παράγοντα κατάληψης, ας κοιτάξουμε τα πιο κάτω διαγράμματα, τα οποία δείχνουν παραστατικά αυτά που είχαμε επισημάνει στο κεφάλαιο με τις στάθμες Landau. [60] E E v F l B Α K Β K v F l B Β K Α K Α K Β K Β K Α K v F l B Α K Β K v F l B Β K Α K Εικόνα 12.8 Το half-filling στη γραφίνη διαγραμματικά Όπως φαίνεται στα σχήματα, για παράγοντα κατάληψης έχουμε κατά μέσο όρο κατάληψη της μηδενικής στάθμης από δύο ηλεκτρόνια, ενώ για όλες τις αρνητικές (ή αντίστοιχα θετικές) έχουμε κατάληψη από τέσσερα, γεγονός το οποία δείχνει λίγο πιο καθαρά το half-filling της χαμηλότερης στάθμης Landau, σε σχέση με τους συνηθισμένους ημιαγωγούς. Σελίδα 155 από 201

156 Εδώ επίσης απλά να αναφέρουμε ότι η πιο πάνω ιδιαιτερότητα είναι συνέπεια ενός βαθύτερου θεωρήματος (Index Theorem) των Atiyah και Singer που αφορά την τοπολογική προστασία καταστάσεων μηδενικής ενέργειας και να θυμίσουμε ότι στο της (12.4) το έξτρα μπορεί να ειδωθεί και σαν συνέπεια της φάσης Berry π που βρήκαμε στο Κεφάλαιο 6 σε συνδυασμό με τον τύπου του Kubo και τον αριθμό Chern που είδαμε στο Κεφάλαιο 11. Κβαντικό φαινόμενο Hall στη γραφίνη ακόμα και σε θερμοκρασία δωματίου [68] Το Κβαντικό Φαινόμενο Hall στους συνηθισμένους ημιαγωγούς χρειάζεται πολύ χαμηλές θερμοκρασίες (και πολύ ισχυρά μαγνητικά πεδία) για να παρατηρηθεί. Στην πιο καλή περίπτωση οι επιστήμονες κατάφεραν να το παρατηρήσουν σε ημιαγωγούς με πολύ μικρές ενεργές μάζες, σε θερμοκρασίες μέχρι το πολύ 30Κ. Στη γραφίνη όμως συμβαίνει κάτι εντυπωσιακό! Μελετώντας τους φορείς στο υλικό αυτό (massless Dirac fermions) και τις ενέργειες τις οποίες συνεπάγονται (όπως τις έχουμε υπολογίσει στο Κεφάλαιο 9) ανακαλύπτει κανείς ότι η απόσταση μεταξύ της χαμηλότερης και της αμέσως επόμενης ενέργειας Landau (9.37) είναι αρκετά μεγάλη, π.χ. για 5, η είναι αντιστοιχεί σε θερμοκρασία θερμικών διακυμάνσεων, 10 περίπου φορές μεγαλύτερη από τη θερμοκρασία δωματίου. Αυτό σημαίνει ότι το χάσμα είναι αρκετά μεγάλο για να μη χαλάσει λόγω θερμικών διακυμάνσεων σε θερμοκρασία δωματίου, με αποτέλεσμα το πρώτο πλατώ της αντίστασης Hall να παρατηρείται με ευκολία! Ακρίβεια μέχρι και [69], επαναπροσδιορισμός του SI Όπως έχουμε αναφέρει και στην εισαγωγή, η σχετική ακρίβεια του Κβαντικού Φαινομένου Hall στη γραφίνη φτάνει μέχρι και, με αποτέλεσμα να χρησιμεύσει στον επαναπροσδιορισμό των μονάδων μάζας και ρεύματος στο SI συναρτήσει των θεμελιωδών σταθερών της Φυσικής και αντίστοιχα το Σελίδα 156 από 201

157 Κεφάλαιο 13. Mέθοδος πίνακα μεταφοράς για τη μελέτη των καταστάσεων άκρων Στο Κεφάλαιο 3 για το ενεργειακό φάσμα έχουμε χρησιμοποιήσει τις καταστάσεις Bloch με μια διαταραγμένα-απομονωμένη κυματοσυνάρτηση γύρω από κάθε πλεγματικό σημείο. Όπως έχουμε δείξει, η μέθοδος για να βρούμε το ενεργειακό φάσμα είναι η διαγωνιοποίηση του πίνακα της Χαμιλτονιανής. Φαίνεται όμως ότι αυτό χρειάζεται μεγάλο υπολογιστικό χρόνο. Μπορούμε εναλλακτικά να εκμεταλλευτούμε τη συμμετρία που έχει ένα πλέγμα για να απεικονίσουμε το δισδιάστατο σύστημά μας σε ένα effective μονοδιάστατο πρόβλημα με τον τρόπο που θα δείξουμε αμέσως πιο κάτω. Μονοδιάστατο πλέγμα Είναι βοηθητικό να δούμε πρώτα σύντομα ένα μονοδιάστατο πλέγμα, προτού προχωρήσουμε στο δισδιάστατο. Έστω ότι έχουμε το πιο κάτω πλέγμα, με σημεία του ίδιου τύπου, σε απόσταση το ένα από το άλλο: a a a a a Εικόνα 13.1 Μονοδιάστατο πλέγμα με τα πλεγματικά σημεία σε απόσταση a το ένα από το άλλο Μπορούμε να περιγράψουμε τις θέσεις των σημείων του πλέγματος με τον εξής τρόπο: (13.1) ανεξάρτητα από το πού έχουμε τοποθετήσει την αρχή των αξόνων μας. Οι καταστάσεις Bloch σε αυτή την περίπτωση έχουν τη μορφή (13.2) Αντιστρέφοντας αυτή τη σχέση μπορούμε να πάρουμε τις (εντοπισμένες) καταστάσεις (τις λεγόμενες καταστάσεις Wannier) σαν διαμορφωμένο άθροισμα των καταστάσεων Bloch: (13.3) Σελίδα 157 από 201

158 από το οποίο προκύπτει ότι (13.4) (μια κατάσταση Wannier γύρω από το πλεγματικό σημείο βασισμένη σε μια ζώνη (η οποία περιγράφεται από τη συγκεκριμένη Bloch κατάσταση ). Με αυτό τον τρόπο πάμε από εκτεταμένες καταστάσεις (Bloch) σε λίγο-πολύ εντοπισμένες (Wannier) παρόλο που αυτό δεν είναι εγγυημένο!). Είναι επίσης χρήσιμο να ορίσουμε, για ένα συγκεκριμένο σημείο-άτομο το ket να είναι τέτοιο ώστε η αναπαράσταση θέσης του να είναι η Wannier συνάρτηση, δηλαδή (13.5) Οι καταστάσεις Wannier είναι αρχικά εντοπισμένες σε ένα μόνο άτομο σημείο του πλέγματος, όταν όμως λάβουμε υπόψιν μας και τους γείτονες αυτές επηρεάζονται διαταρακτικά - αυτή είναι και η φιλοσοφία της μεθόδου tight-binding. Οι καταστάσεις Wannier που ονομάζουμε εδώ είναι αυτές οι νέες λίγο διαταραγμένες, εντοπισμένες κατά τα άλλα γύρω από τα άτομα καταστάσεις ενός ηλεκτρονίου. Η tight binding Χαμιλτονιανή που περιγράφει το σύστημα (λαμβάνοντας υπόψιν μόνο τους πλησιέστερους γείτονες) είναι η εξής: ( ) (13.6) ή, ισοδύναμα, σε γλώσσα δεύτερης κβάντωσης, (13.7) όπου οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής των ατόμων που έχουμε στη θέση. Κάνοντας κάποιες χρήσιμες πράξεις, (13.8) Βάζοντας αυτό το αποτέλεσμα πίσω στη Χαμιλτονιανή παίρνουμε ( ) (13.9) Σελίδα 158 από 201

159 Δισδιάστατο σύστημα: Ορθογώνιο Ας εφαρμόσουμε την ίδια τακτική τώρα σε ένα ορθογώνιο σύστημα όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: b b b a a a a a Εικόνα 13.2 Δισδιάστατο πλέγμα με τα πλεγματικά σημεία σε απόσταση a το ένα από το άλλο στη x διεύθυνση και σε απόσταση b στη y διεύθυνση Εδώ έχουμε δύο ανεξάρτητες διευθύνσεις, οπότε κάθε σημείο του πλέγματος χαρακτηρίζεται από δύο ακέραιους, n και m, τέτοιους ώστε (13.10) (χωρίς να χάνεται η γενικότητα, έχουμε τοποθετήσει την αρχή των αξόνων πάνω σε κάποιο από τα σημεία του πλέγματος) Οι κυματοσυναρτήσεις Bloch έχουν τώρα τη μορφή (13.11) και αντιστρέφοντας (παρόμοια με πριν) παίρνουμε τις αντίστοιχες συναρτήσεις Wannier (13.12) H Χαμιλτονιανή αυτού του προβλήματος έχει τη μορφή ( ) (13.13) ή, ισοδύναμα, σε γλώσσα δεύτερης κβάντωσης, (13.14) Σελίδα 159 από 201

160 Ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία με το μονοδιάστατο πρόβλημα παίρνουμε (13.15) Και αντικαθιστώντας στη Χαμιλτονιανή ( ) (13.16) Ορθογώνιο σύστημα σε μαγνητικό πεδίο [61], [53], [62] Τα πιο πάνω ισχύουν για το σύστημα χωρίς μαγνητικό πεδίο. Αν προσθέσουμε και ένα κάθετο μαγνητικό πεδίο πρέπει να αντικαταστήσουμε την κρυσταλλική ορμή με την ποσότητα (αντικατάσταση Peierls). Στη βαθμίδα Landau αυτό δίνει οπότε και (13.17) με αποτέλεσμα η Χαμιλτονιανή να γίνει ( [ ] [ ] [ ] [ ]) ( [ ] [ ] [ ] [ ]) (13.18) Η χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger δίνει με τη σειρά της (13.19) ( [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) [ ] [ ] [ ] [ ] Σελίδα 160 από 201

161 και γράφοντας [ ] [ ] (13.20) Οι συντελεστές στην πιο πάνω εξίσωση εξαρτώνται μόνο από το και όχι από το, οπότε είναι χρήσιμο να υποθέσουμε ότι έχουμε συμπεριφορά επίπεδου κύματος στη διεύθυνση: (13.21) Άρα [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] και διαιρώντας με [ ] παίρνουμε τη λεγόμενη εξίσωση Harper (μια εξίσωση διαφορών που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται η (διακριτά, πάνω στο πλέγμα) στην διεύθυνση, όταν στην διεύθυνση έχουμε επίπεδο κύμα). [ ] [ ] [ ] (13.22) Σελίδα 161 από 201

162 Μέθοδος πίνακα μεταφοράς για το ορθογώνιο σύστημα [61], [53], [62] Σε συγκεκριμένο η πιο πάνω είναι εξίσωση ως προς μόνο ( ): [ ] (13.23) Διαφορετικά, μπορούμε να πάρουμε το ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το μερικό μετασχηματισμό Fourier των τελεστών δημιουργίας και καταστροφής (13.24) ( Και αν γράψουμε ) (13.25) έχουμε να λύσουμε το πρόβλημα (13.26) Από αυτά προκύπτει η πιο πάνω εξίσωση κάνοντας την αντικατάσταση (13.27) Αν τώρα έχουμε ένα σύστημα με γεωμετρία λωρίδας με άκρα, άπειρο στην διεύθυνση και πεπερασμένο στην διεύθυνση, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις συνοριακές συνθήκες (13.28) Υποθέτουμε ότι το μήκος στην διεύθυνση είναι τέτοιο που να δίνει ακέραιο αριθμό ατόμων. Σελίδα 162 από 201

163 L y Εικόνα 13.3 Λωρίδα ορθογώνιου συστήματος στην οποία εφαρμόζουμε τη μέθοδο με τον πίνακα μεταφοράς. Κοιτάμε, όπως φαίνεται στο σχήμα, ένα συγκεκριμένο x (ή, αντίστοιχα, ένα n) Μαθηματικά, η διαφορά ενός συστήματος με άκρα και ενός άλλου χωρίς άκρα βρίσκεται στις συνοριακές συνθήκες. Για ένα σύστημα χωρίς άκρα, πρέπει να ισχύει το θεώρημα Bloch (13.29) με [ ] (13.30) όπου η περίοδος του συστήματος που θα εξηγήσουμε αμέσως μετά. Αν τώρα γράψουμε την εξίσωση Harper χρησιμοποιώντας ένα πίνακα μεταφοράς, με την έννοια ( ) ( ), (13.31) το αποτέλεσμα τότε (δηλαδή η μορφή του πίνακα μεταφοράς) είναι ( [ ] ) (13.32) Με αυτό το φορμαλισμό, παίρνουμε (με επαναλαμβανόμενη δράση του ) όλες τις λύσεις χρησιμοποιώντας διαφορετικές αρχικές συνθήκες και. Για παράδειγμα, για τις πάνω συνοριακές συνθήκες (13.28) στο σύστημα με άκρα μπορούμε να πάρουμε τις αρχικές συνθήκες (13.33) και να λύσουμε (ως προς ) την εξίσωση [ ] (13.34) όπου (13.35) για να βρούμε τις ιδιοτιμές. Σελίδα 163 από 201

164 Τώρα, αυτό χωρίζεται σε δύο υποπεριπτώσεις: ) Την περίπτωση στην οποία έχουμε ακέραιο αριθμό κβάντων ροής σε κάθε στοιχειώδη κυψελίδα, (13.36) ) Την (γενικότερη) περίπτωση στην οποία έχουμε ρητό αριθμό κβάτων ροής σε κάθε στοιχειώδη κυψελίδα, (13.37) Θα δουλέψουμε με τη δεύτερη περίπτωση που είναι πιο γενική. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση Harper περιγράφει ένα μονοδιάστατο σύστημα με περίοδο q (αυτή η πρόταση είναι αντίστοιχη με το να πάρουμε μαγνητική κυψελίδα διαστάσεων στα προηγούμενα, απλά εδώ η μαγνητική κυψελίδα μας θα είναι, λόγω επιλογής βαθμίδας). Επιπρόσθετα τώρα πρέπει να υποθέσουμε ότι το μήκος αριθμό περιόδων στη διεύθυνση: και είναι τέτοιο ώστε να έχουμε ακέραιο (13.38) (13.39) Τα πιο πάνω γίνονται τώρα όπου [ ] (13.40) (13.41) αφού τα επαναλαμβάνονται όταν προχωρήσουμε κατά άτομα στην διεύθυνση (αυτή την επανάληψη υποδηλώνει η δύναμη στη σχέση [ ] ). [Παρενθετικά, η πιο ειδική περίπτωση με θα έδινε απλά [ ] (13.42) ( ( [ ] ) [ ] ) ( )] (13.43) Επιστρέφοντας και πάλι στη γενική περίπτωση της ρητής ροής, οι ιδιοτιμές του συστήματοςλωρίδας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, ) το φάσμα των καταστάσεων άκρων, το οποίο είναι ανεξάρτητο του μήκους και ) το υπόλοιπο ενεργειακό φάσμα που δίνει ενεργειακές ζώνες στο όριο. Υπάρχουν ενεργειακές ζώνες με χάσματα μεταξύ τους, μέσα στο καθένα από τα οποία βρίσκεται μια κατάσταση άκρου, έχουμε δηλαδή στο σύνολο καταστάσεις άκρων. Η ενέργεια κάθε κατάστασης άκρου (13.44) Σελίδα 164 από 201

165 μπορεί να βρεθεί λύνοντας το πρόβλημα (13.45) Από την άλλη, η κυματοσυνάρτηση Bloch για το σύστημα χωρίς άκρα ικανοποιεί, όπως είπαμε την ιδιότητα (13.29) ( ) με (13.30) [ ] οπότε οι και ορίζουν ένα ιδιοδιάνυσμα του με ιδιοτιμή, ως εξής: ( ) ( ) ( ) (13.46) Στην πιο πάνω εξίσωση η ενέργεια είναι μια πραγματική μεταβλητή, την οποία μπορούμε να επεκτείνουμε αναλυτικά σε μιγαδική ενέργεια για να συζητήσουμε τις αναλυτικές ιδιότητες της κυματοσυνάρτησης της κατάστασης άκρου. Για να βρούμε τις ιδιοτιμές του πιο πάνω συστήματος χρειάζεται να λύσουμε την εξίσωση (13.47) Με λίγες πράξεις, όπου και (13.48) το ίχνος του πίνακα η ορίζουσα του πίνακα Λύνοντας αυτή τη δευτεροβάθμια εξίσωση παίρνουμε τις ιδιοτιμές και επειδή [ ] (13.49) (13.50) Από τις δύο λύσεις παίρνουμε την και απορρίπτουμε την + γιατί το μέτρο της ρ είναι 1 (με την + γίνεται μεγαλύτερο): (13.51) Σελίδα 165 από 201

166 (Παρατηρούμε λοιπόν ότι οι λύσεις που δεν αποκλίνουν στο θερμοδυναμικό όριο, είναι αυτές που αντιστοιχούν σε (αυτό γενικότερα, ακόμα κι αν δεν είχαμε θεώρημα Bloch (π.χ. για άτακτα (disordered) συστήματα). Χρησιμοποιώντας την αρχική συνθήκη ( κυματοσυνάρτηση ) : μπορούμε να βρούμε και την ( ) ( ) αλλά επίσης ( ) ( ) Από τα δύο προκύπτει ότι (13.52) Και, αφού από την (13.47) παίρνουμε τελικά (13.53) Τέλος, αντικαθιστώντας την τιμή του (13.54) Σελίδα 166 από 201

167 Η αναλυτική δομή της κυματοσυνάρτησης καθορίζεται λοιπόν από την πλειότιμη συνάρτηση (13.55) Για να κάνουμε τη συνάρτηση μονότιμη (μονοσημαντοποίηση πλειότιμης συνάρτησης) χρειάζεται να ορίσουμε τομές (cuts) στο μιγαδικό επίπεδο και να απαγορεύσουμε στη μεταβλητή να τις διασχίσει. Τομή μιγαδικής συνάρτησης είναι κάθε γραμμή που ενώνει δύο σημεία διακλάδωσης (branch points) (γύρω από τα οποία αν περιστρέψουμε τη συνάρτηση κατά ένα πλήρη κύκλο παίρνουμε διαφορετική τιμή). Εδώ ας ορίσουμε τις τομές ως τις γραμμές πάνω στον πραγματικό άξονα,. Η συνθήκη αυτή δίνει και, [Απόδειξη: Για 4 4 ( ) ( ) ] οπότε οι τομές καθορίζονται από τις ενεργειακές ζώνες. Η συνάρτηση έχει ρίζες, αφού είναι πολυώνυμο βαθμού και μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας τις ρίζες αυτές: (13.56) Τα συμβολίζουν τις ενέργειες των άκρων των ζωνών. Λόγω τετραγωνικής ρίζας, σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου η συνάρτηση μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές. Οι δύο διαφορετικές αυτές τιμές βρίσκονται πάνω σε δύο κλάδους (sheets) - σφαίρες Riemann και. Πάνω σε κάθε κλάδο θέλουμε η συνάρτηση να είναι μονοσήμαντη. Για να το πετύχουμε αυτό πρακτικά καθορίζουμε την τιμή της συνάρτησης σε κάποιο σημείο του μιγαδικού επιπέδου. Για παράδειγμα, στη συγκεκριμένη περίπτωση, καθορίζουμε τη σφαίρα με τη συνθήκη στο πάνω στον πραγματικό άξονα και τη σφαίρα με τη συνθήκη στο πάνω στον πραγματικό άξονα. Στο μιγαδικό τώρα επίπεδο, το άπειρο είναι ένα μόνο σημείο (εξ ου και η έννοια της σφαίρας) και ενώνοντας (κολλώντας gluing) τους δύο κλάδους στο άπειρο και στις τομές κατά μήκος των τόξων που φαίνονται στην Εικόνα 13.4 παίρνουμε την επιφάνεια Riemann. Εικόνα 13.4 Οι δύο κλάδοι σφαίρες Riemann που περιγράφονται στο κείμενο με τομές οι οποίες αντιστοιχούν στις ενεργειακές ζώνες του συστήματος. Η εικόνα προέρχεται από το [53] Σελίδα 167 από 201

168 Μετά τη διαδικασία της συγκόλλησης, η επιφάνεια Riemann είναι τοπολογικά ίδια με την επιφάνεια που φαίνεται στην Εικόνα 13.5: Εικόνα 13.5 Η επιφάνεια Riemann για το σύστημά μας. Ο αριθμός των χασμάτων, είναι ίσος με το genus της επιφάνειας (αριθμό τρυπών δηλαδή). είναι οι βρόχοι που διαγράφουν τα σημεία μηδενισμού της ( κυματοσυνάρτησης ) καθώς αλλάζουμε το από 0 σε 2π, ενώ φαίνονται επίσης κλειστοί βρόχοι που αντιστοιχούν σε ενεργειακές ζώνες. Η εικόνα προέρχεται από το [53] Το genus της επιφάνειας αυτής είναι, ισούται με τον αριθμό των ενεργειακών χασμάτων και πρακτικά δείχνει πόσες τρύπες έχει η επιφάνειά μας (π.χ. για torus ). Για κάθε λοιπόν, η κυματοσυνάρτηση ορίζεται πάνω στην μιγαδική ενεργειακή επιφάνεια Riemann με genus. Συμβολικά γράφουμε την επιφάνεια αυτή σαν. Πάνω σε αυτή την επιφάνεια, α) οι κύκλοι γύρω από τις τρύπες της επιφάνειας αντιστοιχούν σε ενεργειακά χάσματα ενώ β) κλειστά μονοπάτια πάνω στην επιφάνεια που δεν περικλείουν τις τρύπες αντιστοιχούν στις ενεργειακές ζώνες, όπως φαίνεται στην Εικόνα Η κυματοσυνάρτηση Bloch ορίζεται πάνω σε αυτή την επιφάνεια και έχει σημεία μηδενισμού ( ). Αλλάζοντας το από 0 σε 2π, η επιφάνεια αυτή αλλάζει, αλλά όλες οι διαφορετικές είναι τοπολογικά ίδιες εφόσον υπάρχουν σταθερά ενεργειακά χάσματα στο δισδιάστατο ενεργειακό φάσμα. Καθώς λοιπόν αλλάζουμε το από 0 σε 2π, το κινείται γύρω από τις τρύπες και διαγράφει ένα προσανατολισμένο βρόχο. Ο winding number του βρόχου αυτού γύρω από την τρύπα, ( ) είναι καλά ορισμένη τοπολογική ποσότητα και δείχνει πόσες φορές ο βρόχος γυρίζει γύρω από την τρύπα (θετικός για αριστερόστροφη κίνηση και αρνητικός για δεξιόστροφη). Όταν η ενέργεια Fermi βρίσκεται στο χάσμα, η αγωγιμότητα Hall δίνεται από τον winding number ως εξής: ( ) (13.57) Αυτή είναι μια εναλλακτική αναπαράσταση της αγωγιμότητας Hall ως τοπολογικού αριθμού. Σελίδα 168 από 201

169 Τέλος, μια κατάσταση άκρου, εξαρτώμενη από την τιμή του, είναι εντοπισμένη στο πάνω ή στο κάτω άκρο της λωρίδας. α) Αν, η κατάσταση άκρου είναι εντοπισμένη στο κάτω άκρο και πάνω στη σφαίρα και β) αν η κατάσταση άκρου είναι εντοπισμένη στο πάνω άκρο και πάνω στη σφαίρα Για να το δείξουμε αυτό πρέπει πρώτα να δούμε ότι με τη συνθήκη (13.45): πίνακας μεταφοράς γίνεται (13.58) και από τη σχέση (13.46): ( ) ( ) παίρνουμε ( ) ( ) ( ) οπότε τελικά (13.59) και αν το είναι αρκετά μεγάλο, για α) έχουμε (εντοπισμός κάτω) β) έχουμε (εντοπισμός πάνω) Τα δεύτερα μέρη των πιο πάνω ισχυρισμών μπορούν επίσης να αποδεικτούν: Επισημαίνουμε ότι (13.60) Για τις καταστάσεις άκρων έχουμε: πάνω στον πραγματικό άξονα,, το οποίο δίνει, χρησιμοποιώντας την (13.60) Αυτό μπορεί τώρα να χωριστεί σε δύο περιπτώσεις στο όριο, πραγματικό: α) για και β) για. Σελίδα 169 από 201

170 Η πιο κάτω εικόνα δείχνει ένα παράδειγμα ενεργειακού φάσματος για συγκεκριμένη λωρίδα: k x Εικόνα 13.6 Ενεργειακό φάσμα που προκύπτει από την πιο πάνω ανάλυση για. Φαίνονται καθαρά οι 5 ενεργειακές ζώνες και τα 4 σετ καταστάσεων άκρων μεταξύ τους. Η εικόνα προέρχεται από το [53] και έχει τροποποιηθεί. Σελίδα 170 από 201

171 Δισδιάστατο κυψελοειδές σύστημα: Γραφίνη Στη γραφίνη τα πράγματα περιπλέκονται αφού έχουμε δύο τύπων σημεία στο πλέγμα, A και Β οπότε χρειαζόμαστε τελεστές δημιουργίας και καταστροφής δύο ειδών, και. a 2 a 1 y x : A sublattice : B sublattice Εικόνα 13.7 Ξανά το πλέγμα της γραφίνης με τα ανύσματα βάση του και τη στοιχειώδη κυψελίδα Η tight binding Χαμιλτονιανή στην προσέγγιση πλησιέστερων γειτόνων έχει (σε δεύτερη κβάντωση) τη μορφή [ ] (13.61) όπου (13.62) οι θέσεις κάθε στοιχειώδους κυψελίδας σαν αυτή που φαίνεται στο σχήμα και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής σημείων τύπου και αντίστοιχα. Αν εφαρμόσουμε και κάθετο μαγνητικό πεδίο η Χαμιλτονιανή γίνεται [ ] (13.63) Για ευκολία τώρα θα αλλάξουμε κάπως τον τρόπο που γράφουμε τα ανύσματα του πλέγματος σε (13.64) (δηλαδή με τη χρήση των μοναδιαίων στις δύο διευθύνσεις που καθορίζονται από τη βάση που επιλέξαμε για τον ευθύ χώρο) και για να είμαστε ακριβείς (13.65) Σελίδα 171 από 201

172 Η εναλλακτική αυτή γραφή του ανύσματος θέσης μας βοηθά απλά να διαβάσουμε κατευθείαν τις μετατοπίσεις στις δύο διευθύνσεις, αφού τα ανύσματα είναι μοναδιαία. Όπως θα αποδείξουμε αμέσως πιο κάτω, η πιο πάνω (13.63) αναπαράσταση της Χαμιλτονιανής προκύπτει από την επιλογή της βαθμίδας Landau που έχει τη μορφή για το μαγνητικό πεδίο. Θυμίζουμε ότι τα ανύσματα (13.66) έχουν τις εξής συνιστώσες: ( ) Με αποτέλεσμα τα αντίστοιχα μοναδιαία που έχουμε ορίσει πιο πάνω να είναι τα ( ) (13.67) Η Χαμιλτονιανή στην παρουσία του μαγνητικού πεδίου προκύπτει από την αρχική κάνοντας την αντικατάσταση Peierls που δίνει σε αυτή τη γλώσσα (των τελεστών δημιουργίας και καταστροφής ή αντίστοιχα των kets και bras) ( ) (13.68) όπου το διανυσματικό δυναμικό της επιλογής μας. Στην περίπτωση λοιπόν της γραφίνης με την επιλογή του διανυσματικού δυναμικού μόνο ο δεύτερος όρος στη Χαμιλτονιανή (13.61) (13.69) [ ] παίρνει έξτρα φάση γιατί είναι ο μοναδικός που αφορά τη διεύθυνση : ( ) (13.70) Η έξτρα φάση τώρα μπορεί να υπολογιστεί: ( ) ( ) ( ) (13.71) Σελίδα 172 από 201

173 Το εσωτερικό γινόμενο των δύο εμπλεκόμενων ανυσμάτων ισούται με (13.72) αφού (13.73) οπότε τελικά η έξτρα φάση ισούται με ( ( ) ) ( ( ) ) (13.74) Λαμβάνοντας επιπλέον υπ όψιν το γεγονός ότι το εμβαδό του παραλληλογράμμου στοιχειώδους κυψελίδας (ή αντίστοιχα του εξαγώνου) είναι ( ) (13.75) αυτή διαμορφώνεται ως (13.76) γεγονός που συμπληρώνει την απόδειξη της (13.63). Αναφέρουμε για χάρη πληρότητας ότι αν επιλέγαμε την άλλη βαθμίδα Landau τόσο ο δεύτερος, αλλά και ο τελευταίος όρος στη Χαμιλτονιανή θα έπαιρνε έξτρα φάση, ενώ η σύνδεση της θέσης με τα σημεία του πλέγματος δε θα ήταν τετριμμένη, αφού η διεύθυνση δεν αποτελεί μια από τις διευθύνσεις του πλέγματος. Σελίδα 173 από 201

174 Μέθοδος πίνακα μεταφοράς για το κυψελοειδές πλέγμα (της γραφίνης) [54] Ας προχωρήσουμε τώρα στην εφαρμογή της μεθοδολογίας του πίνακα μεταφοράς στο κυψελοειδές πλέγμα της γραφίνης. Μπορούμε να κοιτάξουμε μια συγκεκριμένη διεύθυνση, για παράδειγμα την, και να μεταφέρουμε κατά κάποιο τρόπο το πρόβλημά μας σε αυτή, συνυπολογίζοντας τις εγκάρσιες σε αυτή αλληλεπιδράσεις με κατάλληλη διαμόρφωση των στοιχείων hopping, ενώ στο τέλος της ημέρας να πάρουμε τη λύση στο πρόβλημα όλου του δισδιάστατου πλέγματος με κατάλληλο μετασχηματισμό Fourier των επί μέρους λύσεων. Ας πάρουμε όμως τα πράγματα από την αρχή. Η πρόταση να κοιτάξουμε τη διεύθυνση υποδηλώνει ότι πρέπει να πάρουμε τους μερικούς μετασχηματισμούς Fourier των τελεστών δημιουργίας και καταστροφής (13.77) Αυτή η διαδικασία φαίνεται γραφικά στην πιο κάτω εικόνα: a 2 a 1 διμερές n (n n ) (n n ) διμερές n διμερές n Ν (n n ) : A sublattice : B sublattice διμερές = ζεύγος ατόμων τύπου Α και Β Εικόνα 13.8 Λωρίδα γραφίνης στην οποία εφαρμόζουμε τη μέθοδο με τον πίνακα μεταφοράς. Κοιτάμε, όπως φαίνεται στο σχήμα, ένα συγκεκριμένο j 2 (ή, αντίστοιχα, ένα n 2 ) Σελίδα 174 από 201

175 Με τα πιο πάνω, μετατρέπουμε ουσιαστικά, το δισδιάστατο σύστημά μας σε ένα effective μονοδιάστατο. Παρόμοια έχουμε Βάζοντας τα όλα στη Χαμιλτονιανή (13.61) του προβλήματός μας παίρνουμε τη νέα έκφραση, [ ] (13.78) την οποία μπορούμε στη συνέχεια να γράψουμε σαν μια σειρά από μονοδιάστατες Χαμιλτονιανές εξαρτώμενες από τη μεταβλητή, με (13.79) [ ] (13.80) Αναπτύσσοντας τώρα της ιδιοσυναρτήσεις ενός σωματιδίου ως εξής: [ ] (13.81) μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση Schrödinger στην επιθυμητή μορφή του πίνακα μεταφοράς. (13.82) Πριν δείξουμε τη διαδικασία με την οποία θα το πετύχουμε αυτό, ας απλοποιήσουμε πρώτα λίγο τους συμβολισμούς, γράφοντας (13.83) (13.84) και παραλείποντας σε όλα τα άλλα το. Σελίδα 175 από 201

176 Με αυτό τον τρόπο έχουμε [ ] (13.85) και [ ] (13.86) Πρέπει όμως τώρα να είμαστε προσεκτικοί ως προς το εύρος των αριθμών στο οποίο τρέχουν τα αθροίσματα. Στην περίπτωση που έχουμε τα zigzag άκρα του σχήματος, μια εξέταση των αλληλεπιδράσεων του συστήματος μας λέει ότι τα σωστά αθροίσματα για τη λωρίδα γραφίνης έχουν ως εξής: όπου στη δεύτερη μορφή έχουμε απλά αλλάξει κατάλληλα τα όρια του αθροίσματος ώστε να εμφανίζεται ο τελεστής στα δεξιά και Είμαστε λοιπόν έτοιμοι να εφαρμόσουμε την εξίσωση Schrödinger (13.87) Στις πράξεις που ακολουθούν χρησιμοποιούμε τις σχέσεις αντιμετάθεσης των φερμιονικών τελεστών δημιουργίας και καταστροφής { } { } { } (13.88) { } Σελίδα 176 από 201

177 Οπότε όπου και πάλι στην τελευταία έκφραση αλλάξαμε απλά τα όρια του αθροίσματος δύο όρων (του δεύτερου και του τέταρτου). Παίρνοντας τους συντελεστές των και για κάθε ξεχωριστά προκύπτουν οι σχέσεις για (13.89) για (13.90) για (13.91) Με τις δύο τελευταίες σχέσεις θα δημιουργήσουμε τους πίνακες μεταφοράς: Σελίδα 177 από 201

178 ( ) ( ) ( ) (13.92) ( ) ( ) ( ) (13.93) Συνοψίζοντας, έχουμε τις σχέσεις ( ) ( ) ( ) (13.94) και ( ) ( ) ( ) (13.95) όπου (13.96) τις οποίες μπορούμε να συνδυάσουμε για να πάρουμε με ( ) ( ) (13.97) (13.98) Σημειώνουμε ότι ο αριθμός δείχνει τον αριθμό των διμερών (ζευγών Α και Β ατόμων) ή αντίστοιχα στοιχειωδών κυψελίδων. Για μαγνητική ροή ανά στοιχειώδη κυψελίδα έχουμε (όπως έχουμε επισημάνει και στο ορθογώνιο σύστημα) περιοδικότητα στη διεύθυνση που βλέπουμε, δηλαδή τα οποία δίνουν, συνδυασμένα, (13.99) (13.100) Σελίδα 178 από 201

179 Είναι χρήσιμο να ορίσουμε τον πίνακα μεταφοράς για μια μόνο μαγνητική περίοδο, αφού αυτός θα μας δώσει τις σημαντικές ιδιότητες του ενεργειακού φάσματος τελικά: (13.101) Για αυτόν ισχύει η σχέση ( ) ( ) (13.102) Υποθέτουμε επίσης ότι το μήκος στη διεύθυνση είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της περιόδου, (13.103) με αποτέλεσμα να έχουμε την εξής σχέση να συνδέει το ένα άκρο με το άλλο: ( ) ( ) ( ) (13.104) Οι Hatsugai et al. [54] εισηγούνται τις συνοριακές συνθήκες και για να εξαγάγουμε το φάσμα των καταστάσεων άκρων. Η συνοριακή συνθήκη περιγράφεται από την εξίσωση Η έκφραση [ ] είναι ένα πολυώνυμο τάξης, αφού [ ] (13.105) και η εξίσωση [ ] έχει πραγματικές λύσεις. (στα πιο πάνω α,β,γ,δ,ζ,θ,κ σταθερές και πολ.=πολυώνυμο) Από αυτές, μπορούμε να εξαγάγουμε τις ενέργειες των καταστάσεων άκρων, (13.106) από τη λύση της εξίσωσης (13.107) Με παρόμοια λογική με αυτή του ορθογώνιου πλέγματος, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ενεργειακό φάσμα χωρίζεται τώρα σε ενεργειακές ζώνες με χάσματα τα οποία διαπερνούν οι ενέργειες των καταστάσεων άκρων. Είναι σημαντικό το γεγονός ότι έχουμε πάντα καταστάσεις άκρων με μηδενική ενέργεια, αφού έχουμε περιττό αριθμό χασμάτων και το φάσμα είναι συμμετρικό ως προς. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο παράδειγμα της πιο κάτω εικόνας, για μαγνητική ροή. Σελίδα 179 από 201

180 Εικόνα 13.9 Ενεργειακό φάσμα για τη γραφίνη που προκύπτει από την πιο πάνω ανάλυση για. Φαίνονται καθαρά οι 9 ενεργειακές ζώνες και τα 8 σετ καταστάσεων άκρων μεταξύ τους. Η εικόνα προέρχεται από το [54]. Μπορεί επίσης να δειχθεί ότι για η κατάσταση άκρου είναι εντοπισμένη στο αριστερό άκρο της λωρίδας, ενώ για είναι εντοπισμένη στα δεξιά. (αντιστοιχία με τα προηγούμενα αποτελέσματα, πιο πίσω σε αυτό το Κεφάλαιο) Με εφαρμογή της πιο πάνω μεθόδου μπορεί κανείς να δείξει ότι τελικά, ο Chern number που προκύπτει από τη θεώρηση του εσωτερικού του υλικού είναι ίσος με τον winding number των καταστάσεων άκρων, (13.108) γεγονός που δείχνει την αντιστοιχία μεταξύ ψαχνού και άκρων του υλικού (bulk-edge correspondence). Σελίδα 180 από 201

181 Κεφάλαιο 14. Κβαντικό Δίκτυο Γραφίνης [64] Σε αυτό το πολύ σύντομο Κεφάλαιο θα δείξουμε πώς τα γενικά χαρακτηριστικά του ενεργειακού φάσματος της γραφίνης, καθώς και η γραμμικότητα του ενεργειακού φάσματος γύρω από τα σημεία Dirac προκύπτουν από μια απλή θεώρηση ενός κβαντικού δικτύου γραφίνης και επιβολή των αναγκαίων συνθηκών στους συντελεστές των εισερχόμενων και εξερχόμενων κυμάτων σε κάθε κόμβο του δικτύου. Είναι μια πρωτότυπη προσπάθεια, με αποτελέσματα προκαταρκτικά, που όμως είναι ενθαρρυντικά για μελλοντική μελέτη. a 2 a 1 Εικόνα 14.1 Το πλέγμα της γραφίνης. Το κομμάτι στο διακεκομμένο κουτί απομονωμένο φαίνεται στην επόμενη εικόνα Στην Εικόνα 14.1 φαίνεται το πλέγμα της γραφίνης, το οποίο βλέπουμε σαν κβαντικό δίκτυο και από το οποίο απομονώνουμε το κομμάτι που φαίνεται μέσα σε διακεκομμένο κουτί. Ψ Β Β Α Ψ Α Β Α Γ Γ Ψ Γ ( a) Ε Δ Ψ Ε Ε Δ Ψ Δ Εικόνα 14.2 Το κομμάτι του δικτύου που χρειαζόμαστε για την επιβολή των κατάλληλων συνθηκών Το κομμάτι αυτό φαίνεται στην Εικόνα 14.2 και αποτελεί το θεμέλιο λίθο του δικτύου, είναι δηλαδή αυτό ακριβώς το κομμάτι του δικτύου που χρειαζόμαστε για να επιβάλουμε τις συνθήκες μας. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν γράφοντας τις κυματοσυναρτήσεις για καθένα από τους πέντε κλάδους που φαίνονται στο Εικόνα Σελίδα 181 από 201

182 H γενική μορφή της κυματοσυνάρτησης σε ένα κλάδο είναι (14.1) όπου σταθερές, η απόσταση από τον κόμβο στην αρχή του κλάδου μέχρι το σημείο παρατήρησης και το κυματάνυσμα των εξερχόμενων και εισερχόμενων κυμάτων, λύσεων της στατικής εξίσωσης Schrödinger με ενέργεια (14.2) Η παράμετρος για κάθε κλάδο μπορεί να συσχετιστεί με τη θέση στο σημείο παρατήρησης, με τον εξής τρόπο: (x y ) s (x y ) (x y) a Εικόνα 14.3 Χρήση της παραμέτρου s σε τυχαίο κλάδο για τη γραφή των κυματοσυναρτήσεων σε αυτόν (14.3) (14.4) Οπότε οι κυματοσυναρτήσεις για τους πέντε κλάδους έχουν ως εξής (για τους Α, Β και Γ παίρνουμε σαν αρχή τον πάνω κόμβο ενώ για τους Δ και Ε παίρνουμε σαν αρχή τον κάτω κόμβο ): (14.5) Σελίδα 182 από 201

183 Έχουμε τώρα δέκα άγνωστες σταθερές, οπότε για να λύσουμε το σύστημα χρειαζόμαστε δέκα συνθήκες που να τις συνδέουν. Πραγματικά, τόσες είναι και οι συνθήκες που έχουμε τη δυνατότητα να επιβάλουμε: 1. Συνέχεια κυματοσυνάρτησης στον κόμβο - 2 συνθήκες 2. Διατήρηση ρεύματος στον κόμβο - 1 συνθήκη (14.6) (14.7) (Να σημειωθεί ότι η πιο γενική συνθήκη που είναι συμβατή με τη διατήρηση του ρεύματος είναι [64]. Αυτό ουσιαστικά περιγράφει την περίπτωση να έχουμε δυναμικό δέλτα συνάρτησης ακριβώς πάνω στον κόμβο (με το συντελεστή της δ-συνάρτησης να είναι ελεύθερη παράμετρος). Έχουμε προκαταρκτικά αποτελέσματα που δείχνουν ότι για (οπότε έχουμε και δέσμιες καταστάσεις) ο πάνω φορμαλισμός φαίνεται να αναπαράγει τα αποτελέσματα της προσέγγισης tight-binding. Όμως αυτό το πρόβλημα απαιτεί περαιτέρω μελέτη και δεν είναι μέρος αυτής της Διατριβής.) 3. Συνέχεια κυματοσυνάρτησης στον κόμβο - 2 συνθήκες (14.8) 4. Διατήρηση ρεύματος στον κόμβο - 1 συνθήκη (14.9) a 3 a 2 ( a) Εικόνα 14.4 Εφαρμογή του θεωρήματος Bloch στις δύο διευθύνσεις που καθορίζονται από τα δύο ανύσματα βάση του πλέγματος/δικτύου της γραφίνης Σελίδα 183 από 201

184 5. Θεώρημα Bloch από τον κλάδο Ε στον κλάδο Α 2 συνθήκες και (το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο γεγονός ότι οι παράμετροι και δείχνουν σε αντίθετες κατευθύνσεις) Οι δύο τελευταίες σχέσεις δίνουν, ισοδύναμα { (14.10) 6. Θεώρημα Bloch από τον κλάδο Δ στον κλάδο Β 2 συνθήκες και οπότε προκύπτει, με ακριβώς τον ίδιο τρόπο { (14.11) Βάζοντας και τις δέκα συνθήκες μαζί σε ένα πίνακα, Για να έχει τώρα αυτό το σύστημα μη τετριμμένη λύση, πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι μηδενική. Υπολογίζοντας λοιπόν την ορίζουσα του πίνακα παίρνουμε Η [ ( ) ] και, αφού παίρνουμε τελικά (14.12) Αυτό θυμίζει έντονα το αποτέλεσμα (3.47) στη Σελίδα 23. Σελίδα 184 από 201

185 ( ) ( ) (14.13) Για μικρό μπορούμε να αναπτύξουμε το για να πάρουμε οπότε, αν αγνοήσουμε τη σταθερή ποσότητα 3 μπροστά, η ενέργεια προκύπτει ανάλογη με αυτή που βρήκαμε με τη μέθοδο tight-binding (14.14) Ο παραπάνω απλός φορμαλισμός γενικεύεται περαιτέρω (ήδη έγινε αναφορά στην περίπτωση συμπερίληψης μιας ελεύθερης παραμέτρου λ, ώστε όταν να μπορούν να περιγραφούν και περιπτώσεις με δέσμιες καταστάσεις (όπως στη standard προσέγγιση tightbinding που είδαμε στο Κεφάλαιο 3)). Έχουμε, για παράδειγμα, διαθέσιμα αποτελέσματα που δίνουν το ενεργειακό φάσμα (band structure) του δικτύου σε κλειστή αναλυτική μορφή, σαν συνάρτηση της παραμέτρου λ. Οπότε αυτός ο φορμαλισμός επιτρέπει την πολυτέλεια προσεκτικής και λεπτομερειακής μελέτης με συνεχή μεταβολή του λ. Αυτό όμως είναι ένα ξεχωριστό θέμα από τους κύριους στόχους αυτής της Διατριβής και αξίζει περαιτέρω μελέτης στο μέλλον. Σελίδα 185 από 201

186 Επίλογος Στο σημείο αυτό ακριβώς εκεί που διαφαίνεται ότι μπορεί κανείς να μελετήσει με ένα αναλυτικό μοντέλο τις ιδιότητες της γραφίνης τελειώνουμε αυτή τη Διατριβή. Σκοπός της, όπως επισημάνθηκε εμφατικά και στην Περίληψη, ήταν να εμβαθύνουμε σε θέματα τοπολογικής φύσης που αφορούν το Κβαντικό Φαινόμενο Hall, όπως αυτά συνδυάζονται με τις ιδιαιτερότητες που έχει η γραφίνη (που είναι κυρίως η εξίσωση Dirac και το γραμμικό ενεργειακό φάσμα γύρω από τα ειδικά σημεία που είδαμε στο χώρο της κρυσταλλικής ορμής k). Να πληροφορήσουμε τον αναγνώστη ότι τα πάνω επεκτείνονται με μη-τετριμμένο τρόπο σε περιπτώσεις όπου το πλέγμα της γραφίνης υφίσταται κάποιες συνεχείς ελαστικές παραμορφώσεις, με την κύρια συνέπεια να είναι η παρουσία έξτρα πεδίων βαθμίδας (διανυσματικών δυναμικών) τύπου Berry, που οδηγούν σε νέες γεωμετρικές και τοπολογικές νομοτέλειες (μέσω της συνολικής ροής της Berry curvature στο torus της πρώτης ζώνης Brillouin, που είναι κβαντωμένη σε μονάδες κβάντου ροής, με το ακέραιο κβάντο να είναι και πάλι ο αντίστοιχος Chern number), γεγονός που με τη σειρά του έχει δραματικές πειραματικές συνέπειες (π.χ. υπάρχουν θεωρητικές προβλέψεις για Quantum Valley Hall Effect κ.ο.κ.). Επίσης αφήσαμε απ έξω θέματα του αληθινού σπιν (και spin-orbit coupling, που ενδεχόμενα οδηγούν σε συμπεριφορές όπως το Quantum Spin Hall Effect) διότι στη γραφίνη φαίνεται ότι αυτό το coupling είναι πολύ ασθενικό. Μια σε βάθος ενασχόληση με αυτά τα θέματα, καθώς και μελέτη του μοντέλου του δικτύου του τελευταίου Κεφαλαίου θα ήταν μια φυσιολογική συνέχεια. Πρέπει να τονισθεί πάντως ότι, οι τοπολογικές νομοτέλειες που μελετήθηκαν σε αυτή τη Διατριβή είναι βαθειές και δεν έχουν εξαντληθεί. Για παράδειγμα, θέματα της vorticity των κυματοσυναρτήσεων στο χώρο, και πώς οι ρίζες κινούνται όταν το μεταβάλλεται αδιαβατικά, φαίνονται να είναι όχι ακόμα καλά-μελετημένα και δίνουν μη-τετριμμένες τοπολογικά εικόνες για τις κυματοσυναρτήσεις (εικόνες τύπου braiding (όπου αυτές είναι μπλεγμένες σαν κοτσίδες)) οι οποίες με τη σειρά τους φαίνεται να περιέχουν την πληροφορία της κβάντωσης Hall των διαφόρων τύπων που αναφέρθηκαν πάνω με μη-τετριμμένο τρόπο. Σε τέτοια θέματα θα επιστρέψουμε ενδεχόμενα στο μέλλον. Σελίδα 186 από 201

187 Παράρτημα Ι. Ο άνθρακας, τα ατομικά τροχιακά του και οι υβριδισμοί τους Ο άνθρακας αποτελεί το έκτο στοιχείο του περιοδικού πίνακα, έχει έξι ηλεκτρόνια σε τροχιές γύρω από τον πυρήνα και σχηματίζει το κυψελοειδές δισδιάστατο πλέγμα που ονομάζουμε γραφίνη. Όπως φαίνεται στην εικόνα έχουμε δύο ηλεκτρόνια στην πρώτη στιβάδα (πρώτο ενεργειακό επίπεδο) και τέσσερα στη δεύτερη (δεύτερο ενεργειακό επίπεδο). Οι στιβάδες όμως χωρίζονται σε ατομικά τροχιακά, s, p, d κτλ., σύμφωνα με τις κβαντικές τιμές της τροχιακής στροφορμής. Η πρώτη αποτελείται μόνο από το τροχιακό 1s, ενώ η δεύτερη χωρίζεται σε ένα 2s τροχιακό και τρία 2p τροχιακά. Τα τροχιακά είναι ένα είδος τρισδιάστατου χάρτη, που δείχνει τις πιθανές θέσεις στις οποίες μπορεί να βρεθεί το ηλεκτρόνιο. Τα πιο πάνω είναι γραμμένα σε γλώσσα χημείας. Η αντίστοιχη ανάλυση σε γλώσσα φυσικής προϋποθέτει τη γνώση των κυματοσυναρτήσεων του ατόμου του υδρογόνου (και όλων των υδρογονοειδών ατόμων). Η λύση της εξίσωσης Schrödinger στο άτομο του υδρογόνου δίνει τις κυματοσυναρτήσεις σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες, με το ακτινικό μέρος της κυματοσυνάρτησης και τις σφαιρικές αρμονικές που δίνουν το γωνιακό μέρος της κυματοσυνάρτησης. Οι πρώτες μερικές κυματοσυναρτήσεις φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί, ενώ στην τελευταία στήλη σημειώνουμε και τον τύπο του τροχιακού στον οποίο αντιστοιχεί. τροχια κό και 2 (γρ. συνδ.) Σελίδα 187 από 201

188 Η μορφή των τροχιακών που μας ενδιαφέρουν στην γραφίνη φαίνονται στα πιο κάτω διαγράμματα. Τροχιακό 1s Αυτό το τροχιακό έχει σχήμα σφαίρας και το ηλεκτρόνιο έχει πιθανότητα κατανεμημένη ισοτροπικά στον τρισδιάστατο χώρο, με μεγαλύτερες τιμές κοντά στον πυρήνα (αρχή των αξόνων), όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα [66]: Τροχιακό 2s Αυτό είναι παρόμοιο με το τροχιακό 1s, αλλά η περιοχή στην οποία η πιθανότητα να βρούμε το ηλεκτρόνιο είναι μεγαλύτερη βρίσκεται πιο μακριά από τον πυρήνα: Σελίδα 188 από 201

189 Τροχιακά 2p Τα τροχιακά 2p αποτελούνται από δύο πανομοιότυπα μπαλόνια δεμένα στον πυρήνα. Ενώ τα προηγούμενα τροχιακά ήταν ισοτροπικά, τα τροχιακά 2p (και γενικά όλα τα p τροχιακά) έχουν προσανατολισμό σε συγκεκριμένη διεύθυνση. Στο πρώτο σχήμα ο άξονας είναι ο κατακόρυφος. Τα 2p τροχιακά έρχονται σε πακέτo των τριών, δηλαδή, σε κάθε ενεργειακό επίπεδο στιβάδα μπορούμε να έχουμε τρία πανομοιότυπα p τροχιακά, τα οποία θα ονομάσουμε, και (στις διευθύνσεις x, y και z αντίστοιχα). Αυτό σχετίζεται με την ύπαρξη τριών διαφορετικών τιμών του κβαντικού αριθμού για και,, Η πιθανότητα να βρούμε το ηλεκτρόνιο σε απόσταση r από τον πυρήνα φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα: Σελίδα 189 από 201

190 Ηλεκτρονιακή διάταξη του άνθρακα Έχοντας ένα συγκεκριμένο άτομο, ο τρόπος με τον οποίο μπαίνουν τα ηλεκτρόνια στα τροχιακά είναι συγκεκριμένος ( γεμίζουμε τα χαμηλότερα ενεργειακά επίπεδα πρώτα). Αυτό συμβαίνει γιατί για χαμηλές θερμοκρασίες με τις οποίες δουλεύουμε συνήθως στη Στερεά Κατάσταση, Χημεία, Ατομική Φυσική κτλ. είμαστε στη θεμελιώδη κατάσταση. Για να το δούμε αυτό χρειάζεται να συγκρίνουμε τις διακυμάνσεις στην ενέργεια λόγω της θερμοκρασίας του περιβάλλοντος με την ενέργεια Fermi, ή αντίστοιχα τη θερμοκρασία με τη θερμοκρασία Fermi. Η σταθερά Boltzmann έχει την τιμή Επίσης οπότε Οπότε για μη αλληλεπιδρώντα ηλεκτρόνια, για ενέργειες Fermi της τάξης του ενός ev, οι θερμοκρασίες στις οποίες διαξάγονται τα πειράματα είναι πολύ μικρές για να προκαλέσουν τη μετάβαση από τη θεμελιώδη κατάσταση σε κάποια διεγερμένη, εξ ού και οι κανόνες γεμίσματος. Για τον άνθρακα το γέμισμα των τροχιακών έχει το εξής αποτέλεσμα: Αυτό το γράφουμε σαν, ή απλά. Υβριδισμοί των τροχιακών [9], [10] Τα 2p τροχιακά έχουν περίπου 4eV περισσότερη ενέργεια από το 2s, οπότε η θεμελιώδης κατάσταση έχει την εικόνα που παρουσιάζεται στο σχήμα Στην παρουσία όμως άλλων ατόμων, προκύπτει ότι είναι ενεργειακά προτιμότερο να διεγείρουμε ένα ηλεκτρόνιο από το 2s στο τρίτο 2p τροχιακό, ούτως ώστε να δημιουργηθούν ομοιοπολικοί δεσμοί με άλλα άτομα (το ενεργειακό κέρδος από ένα Σελίδα 190 από 201

191 ομοιοπολικό δεσμό είναι μεγαλύτερο από τα 4eV που δαπανήσαμε στην ηλεκτρονιακή διέγερση). Στη διεγερμένη λοιπόν κατάσταση, έχουμε τέσσερις ισοδύναμες κβαντομηχανικές καταστάσεις και. Η κβαντομηχανική σύνθεση της κατάστασης με καταστάσεις ονομάζεται υβριδισμός και διαδραματίζει πολύ σημαντικό ρόλο στους ομοιοπολικούς δεσμούς. Στην περίπτωση της γραφίνης, τα τρία τροχιακά και συνδυάζονται για να δημιουργήσουν σ δεσμούς (βλέπε παρακάτω πώς) μέσα στο επίπεδο της γραφίνης, ενώ περισσεύει ένα π ηλεκτρόνιο στην κατάσταση με άξονα κάθετο στο επίπεδο της γραφίνης. Στη στοιχειώδη κυψελίδα του εξαγωνικού πλέγματος τώρα έχουμε δύο άτομα. Πολλαπλασιάζοντας επί τρία τροχιακά και παίρνουμε έξι τροχιακά Bloch στη στοιχειώδη κυψελίδα και άρα έξι ενεργειακές ζώνες τύπου σ. Την ίδια στιγμή τα τροχιακά των δύο ατόμων στη στοιχειώδη κυψελίδα δίνουν τις δύο ενεργειακές ζώνες τύπου π. Σελίδα 191 από 201

192 Παράρτημα ΙΙ. Ενεργειακές ζώνες τύπου σ [9], [18] Παρόλο που οι ενεργειακές ζώνες (και οι κυματοσυναρτήσεις) τύπου π που βρήκαμε είναι αυτές που καθορίζουν πλήρως τις ηλεκτρονικές ιδιότητες της γραφίνης, στις επόμενες έξι σελίδες δίνουμε συνοπτική παρουσίαση και των σ ζωνών (ως παράδειγμα εφαρμογής της tight-binding μεθόδου). Ο αναγνώστης μπορεί αν θέλει να τις παρακάμψει. Όπως έχουμε προαναφέρει, εκτός από τις δύο ενεργειακές ζώνες τύπου π έχουμε και έξι ενεργειακές ζώνες τύπου σ. Για να βρούμε τώρα τις έξι αυτές σ ενεργειακές ζώνες, χρειάζεται να ορίσουμε μια 6 6 Χαμιλτονιανή και ένα 6 6 πίνακα επικάλυψης, και να λύσουμε τη secular equation για κάθε σημείο. Τρεις από τις ζώνες, οι ζώνες δεσμών σ προκύπτουν να βρίσκονται κάτω από την ενέργεια Fermi, ενώ οι άλλες τρεις, ζώνες αντιδεσμών (antibonding) βρίσκονται πάνω από αυτή. Θυμίζουμε ότι ενέργεια Fermi είναι η μέγιστη ενέργεια ενός ηλεκτρονίου, αφού πρώτα έχουν γίνει οι καταλήψεις των τροχιακών καταστάσεων από όλα τα ηλεκτρόνια, με τρόπο που να σέβονται την αρχή του Pauli (και έτσι ώστε η ολική ενέργειά τους να είναι η χαμηλότερη δυνατή). Οι σχετικοί πίνακες είναι: [ ) ], [( ] Οι υποπίνακες ΑΑ μπορούν να γραφτούν αμέσως, όπου η πρώτη συνιστώσα αντιστοιχεί στην κατάσταση, η δεύτερη στην. και η τρίτη στην Για τον ΑΒ όμως υποπίνακα της χαμιλτονιανής χρειάζεται περισσότερη δουλειά: Κάθε άτομο άνθρακα έχει αμέσως δίπλα του άλλα τρία άτομα άνθρακα και λαμβάνοντας υπ όψιν μόνο αυτά, θέλουμε να δούμε τον υβριδισμό που υφίστανται τα τροχιακά. Τα τρία άτομα βρίσκονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις σε σχέση με αυτό που βλέπουμε και ένας καλός τρόπος για να υπολογίσουμε τη συνεισφορά τους στην ενέργεια είναι να πάρουμε συνιστώσες τους παράλληλα και κάθετα προς τους δεσμούς. Με αυτό τον τρόπο περιοριζόμαστε στο να βρούμε τη συνεισφορά που έχουν στην ενέργεια οι 6 διαφορετικοί συνδυασμοί που προκύπτουν για τη σύνθεση των τροχιακών και με άξονες παράλληλα και κάθετα προς τους δεσμούς. Οι παρακάτω πίνακες συνοψίζουν τη σχετική πληροφορία παραστατικά: Σελίδα 192 από 201

193 Συνδυασμός Μη μηδενική συνεισφορά Παράμετροι Χαμιλτονιανής και πίνακα επικάλυψης Ναι Ναι Όχι Ναι Ναι Όχι Υπόμνημα διεύθυνση δεσμού 2s τροχιακό 2p τροχιακό γραμμοσκιασμένη περιοχή: θετικό πρόσημο πλάτους πυκνότητας πιθανότητας λευκή περιοχή: αρνητικό πρόσημο πλάτους πυκνότητας πιθανότητας Άρα υπάρχουν δύο συνδυασμοί που δε συνεισφέρουν στις ενέργειες. Αυτό οφείλεται στη συμμετρία του κάθε συνδυασμού ( όσο είμαι πάνω είμαι και κάτω, αποτέλεσμα μηδέν στα σχετικά ολοκληρώματα) Σελίδα 193 από 201

194 Οι πιο κάτω εικόνες δείχνουν τους υβριδισμούς που δίνουν τους σ και π δεσμούς στις περιπτώσεις 5 και 6 του πιο πάνω πίνακα: [67] Πώς όμως γίνεται η ανάλυση ενός 2p τροχιακού στις διευθύνσεις παράλληλες και κάθετες με το δεσμό; Ακριβώς όπως αναλύει κανείς ένα δισδιάστατο διάνυσμα σε δύο γραμμικά ανεξάρτητες διευθύνσεις. Για παράδειγμα, Σελίδα 194 από 201

195 γιατί rcosθ rsinθ θ και εδώ r Παρόμοια αναλύουμε και όλα τα άλλα 2p τροχιακά και προχωράμε για να βρούμε τις συνεισφορές στην ενέργεια. Στα πιο κάτω θα χρειαστούμε τα ανύσματα που συνδέουν τους πλησιέστερους γείτονες, οπότε ας τα βρούμε: a 3 a 2 δ 1 δ 2 Α a 1 δ 3 Από το διάγραμμα, τα ανύσματα και έχουν τις εξής συντεταγμένες ( ), ( ), Δύο παραδείγματα εξεύρεσης των στοιχείων του πίνακα της ενέργειας είναι τα εξής: Β 2 δ 1 Β 1 δ 2 Α δ 3 Β 3 Σελίδα 195 από 201

196 ( ) ( ( ) ) Β 2 δ 1 Β 1 δ 2 Α δ 3 Β 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Όταν υπολογίσουμε όλα τα στοιχεία του πίνακα της Χαμιλτονιανής και του πίνακα επικάλυψης, μπορούμε να βρούμε τις ενεργειακές ζώνες τύπου σ. Αυτές, μαζί με τις ενεργειακές ζώνες τύπου π που βρήκαμε πριν φαίνονται στο σχήμα της επόμενης σελίδας. Στην επόμενη σελίδα φαίνονται επίσης οι τιμές των παραμέτρων,,,, όπως αυτές έχουν υπολογιστεί με μεθόδους προσαρμογής των συναρτήσεων στα συμμετρικά σημεία. Σελίδα 196 από 201

197 Σελίδα 197 από 201