ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΣ Ο ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΟΣ ΧΡΟΝΟΣ!! Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 007 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από τον Φοιτητή: Φεβρουαρίου 007 Οι ασκήσεις της εργασίας αναφέρονται στα θέµατα : Κεφάλαιο 5., 5.5 (Ειδικές κατηγορίες πινάκων Εφαρµογές) Ενότητα (Βασικά Σύνολα Αριθµών) Ενότητα (Συναρτήσεις Ακολουθίες Όρια) Ενότητα (Σειρές) του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Γραµµική Άλγεβρα» των Μ. Χατζηνικολάου και Γρ. Καµβύσα. και του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Γενικά Μαθηµατικά Ι Λογισµός µιας Μεταβλητής Τόµος Α, του Γεωργίου άσιου Βοηθητικό υλικό: Για την εργασία συµβουλευθείτε το υλικό που υπάρχει στη διεύθυνση Από το Ε Υ: Από το ΣΕY: Κεφ, Τετραγωνικές Μορφές Γραµµική Άλγεβρα Τετραγωνικές Μορφές, Λογισµός Σύνολα Αριθµών Ακολουθίες Συναρτήσεις Όρια και Συνέχεια Σειρές

2 Άσκηση. (0 µον.) T Θεωρούµε την τετραγωνική µορφή Q= X AX όπου A =. α) (4 µον) Να εξηγηθεί αν είναι θετικά ορισµένη, αρνητικά ορισµένη ή αόριστη. β) (6 µον) Να προσδιοριστεί η αλλαγή µεταβλητών που διαγωνοποιεί την Q (βλ. Βοηθητικό υλικό: Ε Υ Κεφ Τετραγωνικές µορφές ) Άσκηση. (8 µον) ίνεται η τετραγωνική µορφή : Q = x +y - + xy + 8x + 4y. α) (5 µον) Να βρεθεί ο αντίστοιχος συµµετρικός πίνακας Α της Q και να προσδιορισθεί η διαγωνιοποιηµένη µορφή της Q σε νέες συντεταγµένες X, Y, Z. β) ( µον) οθέντος ότι Q = 0 προσδιορίζει µια επιφάνεια στον -διάστατο χώρο των X, Y, Z περιγράψτε τη µορφή της επιφάνειας αυτής, θεωρώντας τοµές της για διαφορετικές (σταθερές) τιµές του Ζ 0. Άσκηση. (8 µον) 4 6 Αν = i, = + i, = + i, να υπολογισθεί ο µιγαδικός αριθµός =. (Υπόδειξη: Γράψτε τους µιγαδικούς αυτούς αριθµούς σε πολική µορφή k = ρk exp( iθ k), για k =,,. Αν θέλετε µπορείτε να χρησιµοποιήστε τον τύπο του De Moivre). Άσκηση 4. (0 µον) 4 Έστω η εξίσωση + λ + = 0, όπου λ < 4, λ α) Βρείτε τις 4 ρίζες της εξίσωσης και δείξτε ότι κείνται πάνω σε ένα κύκλο στο µιγαδικό επίπεδο. Προσδιορίστε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού. β) Αν το όρισµα µιας ρίζας είναι το 6 π υπολογίστε την τιµή του λ και βρείτε την ακριβή θέση όλων των ριζών πάνω στον κύκλο του α). (βλ. Βοηθητικό υλικό: Εισαγωγικές έννοιες της ΘΕ.4 και Ε Υ Εισαγωγικές έννοιες ) Άσκηση 5. (4 µον) Ορίζουµε δύο ακολουθίες πραγµατικών αριθµών u,v αναδροµικά ως εξής: u + v u+ = u =, =,,,... µε αρχικές τιµές u + v v v+ = = 4

3 Οι δυο (ανεξάρτητες ) µεθόδοι που ακολουθούν έχουν σκοπό να προσδιορίσουν τα όρια των ακολουθιών αυτών: Α µέθοδος) α) ( µον) Θέτοντας w = v u, δείξτε ότι η ακολουθία w είναι µια γεωµετρική πρόοδος θετικών όρων και βρείτε το όριό της. β) ( µον) είξτε ότι η ακολουθία u είναι αύξουσα, η ακολουθία v φθίνουσα και ότι οι ακολουθίες u,vσυγκλίνουν. γ) ( µον) Θέτοντας t = u + 8v, =,,,, δείξτε ότι η ακολουθία t είναι σταθερή και υπολογίστε έτσι τα όρια των ακολουθιών u,v. (βλ. ΣΕΥ Ακολουθίες, Παραδείγµατα.8.7) Β µέθοδος) α) ( µον) Γράψτε τους τύπους που ορίζουν αναδροµικά τις παραπάνω ακολουθίες σε µορφή πινάκων ως εξής (δηλ. προσδιορίστε τα στοιχεια του πινακα Α ώστε οι παρακάτω σχέσεις να ισοδυναµούν µε τους δυο αναδροµικούς τύπους): u+?? u u v =, X +?? v = v X + A β) ( µον) Η τιµή του X υπολογίζεται αναδροµικά ως εξής: X = AX = A( AX ) = A X = A X Εποµένως, αρκεί να βρεθεί η -οστή δύναµη του πίνακα Α την οποία και ζητούµε να υπολογίσετε µέσω διαγωνοποίησής του. γ) ( µον) Εφόσον έχετε υπολογίσει το X, οι -οστοί όροι των ακολουθιών u, v προκύπτουν άµεσα. Στην συνέχεια υπολογίστε τα όρια των ακολουθιών αυτών. X Άσκηση 6. (5 µον) α) (6 µον.) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια: i) lim x x + x x x, ii) x + 8 lim x 4 x + x + x+ 6 + v = + = β) (5 µον.) Θεωρήστε τις ακολουθίες u = +, και,,,,... και δείξτε ότι u < v για κάθε =,,,. Ακολουθώντας τις οδηγίες των Κεφαλαίων και 4 των σηµειώσεων για το MATLAB (ή αντίστοιχες εντολες Octave) ορίστε τους 00 πρώτους όρους των ακολουθιών u = +, και v = +, και παραστήστε τους γραφικώς. Τι παρατηρείτε ως προς την µονοτονία τους; Με την υπόθεση ότι η ακολουθία { u } είναι γνησίως αύξουσα, ενώ η { v } είναι γνησίως φθίνουσα δείξτε ότι τα όρια lim u = uκαι lim v = v υπάρχουν (στο συνολο των πραγµατικών αριθµών) και είναι ίσα. +

4 γ) (4 µον.) Χρησιµοποιώντας το δυωνυµικό ανάπτυγµα k k ( a+ b) = a b k = 0 k,! = k k!( k)! ( ) ( )( ) δείξτε ότι: u = + = , ενώ για την { v } ισχύει:!! + + ( + ) ( + ) ( ) v = + = Παίρνοντας τώρα το όριο των δύο +!! αυτών εκφράσεων δείξτε ότι: lim u = lim v = = e, ο γνωστός αριθµός e =!! k! της Μαθηµατικής Ανάλυσης. Μέχρι ποιό k πρέπει να φτάσετε στη σειρά αυτή για να υπολογίσετε µε ακρίβεια τα πρώτα 4 ψηφία του e ; Άσκηση 7. (0 µον) α) (5 µον.) Αποδείξτε ότι η σειρά S = συγκλίνει και βρείτε το άθροισµά της. = 9 + (Υπόδειξη: Η S είναι τηλεσκοπική σειρά.) β) (5 µον) ίνεται ο περιοδικός δεκαδικός αριθµός s=4, Να βρεθεί ο ρητός αριθµός από τον οποίον παράγεται o s. (Υπόδειξη: Εκφράστε τον s µε τη βοήθεια µιας γεωµετρικής σειράς). Άσκηση 8. (0 µον) Μελετήσετε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές: (i) a + = (ii) + = a, για διάφορες τιµές του a > 0! = Άσκηση 9. (0 µον) Το «απειρόδενδρο» είναι ένα φανταστικό φυτό εσωτερικού χώρου που µεγαλώνει µε τον ακόλουθο τρόπο: Την η ηµέρα υψώνεται κατά µ. Τη η αναπτύσσονται δύο καινούργια κλαδιά µήκους /µ. το καθένα, κάθετα µεταξύ τους και µε γωνία 45 ο από το αρχικό κλαδί, όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα. Τη η ηµέρα εµφανίζονται, µε τον ίδιο τρόπο, σε κάθε άκρο, δύο καινούργια κλαδιά, µισού µήκους από τα κλαδιά που είχαν εµφανισθεί την προηγούµενη ηµέρα (δηλ. µήκους /4µ. το καθ ένα) και αυτό συνεχίζεται καθηµερινά. η ηµέρα η ηµέρα η ηµέρα 4

5 4 η ηµέρα 5 η ηµέρα Εικόνα: Κατασκευάζοντας ένα «απειρόδενδρο» εσωτερικού χώρου! α) Ποιό είναι το πλήθος των καινούργιων κλάδων που εµφανίστηκαν τη οστή µέρα και ποιό είναι το µήκος καθενός από αυτά; β) Ποιό είναι το ολικό πλήθος και ποιο το ολικό µήκος των κλάδων ως συνάρτηση του αριθµού των ηµερών ; γ) Αν η διαδικασία αυτή συνεχισθεί, για ένα αριθµό ηµερών που τείνει στο άπειρο, είναι δυνατόν ένα τέτοιο δένδρο να χωρέσει στο σαλόνι σας χωρίς να εµποδίζεται ο περιβάλλων χώρος; Άσκηση 0. (5 µον) Ακολουθώντας τις οδηγίες των Κεφαλαίων και 4 των σηµειώσεων για το MATLAB ( ή αντιστοιχες εντολές Octave) γραψτε ένα κώδικά που να υπολογίζει τα µερικά αθροίσµατα των σειρών πραγµατικών αριθµών, και. = = + = + Τι παρατηρείτε ως προς τη σύγκλισή τους;