Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες..."

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις Τέσσερις πράξεις Σύστημα πραγματικών αριθμών Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών Οι κανόνες των προσήμων Εκθέτες και δυνάμεις Πράξεις με κλάσματα... 8 Κεφάλαιο Βασικές πράξεις με αλγεβρικές παραστάσεις Αλγεβρικές παραστάσεις Όροι Βαθμός Ομαδοποίηση Υπολογισμοί με αλγεβρικές παραστάσεις... 8 Κεφάλαιο Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... 8 Κεφάλαιο 4 Ειδικά γινόμενα Ειδικά γινόμενα Γινόμενα με αποτελέσματα της μορφής a n ±b n

4 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 5 Παραγοντοποίηση Παραγοντοποίηση Διαδικασίες παραγοντοποίησης Μέγιστος κοινός παράγοντας Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Κεφάλαιο 6 Κλάσματα Ρητά αλγεβρικά κλάσματα Πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα Σύνθετα κλάσματα... 6 Κεφάλαιο 7 Εκθέτες Θετικοί ακέραιοι εκθέτες Αρνητικοί ακέραιοι εκθέτες Ρίζες Ρητοί εκθέτες Γενικοί κανόνες των εκθετών Επιστημονική σημειογραφία Κεφάλαιο 8 Ρίζες Παραστάσεις με ρίζες Οι κανόνες των ριζών Απλοποίηση ριζών Πράξεις με ρίζες Μετατροπή διωνυμικών παρονομαστών σε ρητούς... 8 Κεφάλαιο 9 Απλές πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς Mιγαδικοί αριθμοί Γραφική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών Αλγεβρικές πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς... 9 Κεφάλαιο 0 Εξισώσεις γενικά Εξισώσεις Πράξεις για το μετασχηματισμό εξισώσεων Ισοδύναμες εξισώσεις Τύποι Πολυωνυμικές εξισώσεις... 98

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 Κεφάλαιο Λόγοι, αναλογίες, και μεταβολές Λόγοι Αναλογίες Μεταβολές Τιμή μονάδας Καλύτερη τιμή αγοράς Κεφάλαιο Συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις.... Μεταβλητές.... Σχέσεις.... Συναρτήσεις....4 Σημειογραφία συναρτήσεων Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Συνάρτηση δύο μεταβλητών Συμμετρία Μεταθέσεις Διαβάθμιση Χρήση αριθμομηχανής με δυνατότητα γραφικών παραστάσεων... 8 Κεφάλαιο Γραμμικές εξισώσεις μίας μεταβλητής Γραμμικές εξισώσεις Εγγράμματες εξισώσεις Λεξιλογικά προβλήματα Κεφάλαιο 4 Εξισώσεις ευθειών Κλίση μιας ευθείας Παράλληλες και κάθετες ευθείες Εξίσωση ευθείας κλίσης-τεταγμένης Εξίσωση ευθείας κλίσης σημείου Εξίσωση ευθείας δύο σημείων Περιλημματική εξίσωση ευθείας Κεφάλαιο 5 Ταυτόχρονες γραμμικές εξισώσεις Συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων Συστήματα τριών γραμμικών εξισώσεων... 65

6 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 6 Δευτεροβάθμιες εξισώσεις μίας μεταβλητής Δευτεροβάθμιες εξισώσεις Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων Το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών Η φύση των ριζών Εξισώσεις με ριζικά Εξισώσεις δευτεροβάθμιου τύπου... 8 Κεφάλαιο 7 Κωνικές τομές Γενικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις Κωνικές τομές Κύκλοι Παραβολές Ελλείψεις Υπερβολές Σχεδίαση κωνικών τομών με αριθμομηχανή... Κεφάλαιο 8 Συστήματα εξισώσεων με δευτεροβάθμιους όρους Γραφική λύση Αλγεβρική λύση... 4 Κεφάλαιο 9 Ανισότητες Ορισμοί Οι βασικές αρχές των ανισοτήτων Ανισότητες απόλυτων τιμών Ανισότητες υψηλού βαθμού Γραμμικές ανισότητες δύο μεταβλητών Συστήματα γραμμικών ανισοτήτων Γραμμικός προγραμματισμός... 6 Κεφάλαιο 0 Πολυωνυμικές συναρτήσεις Πολυωνυμικές εξισώσεις Ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων Κατά προσέγγιση υπολογισμός πραγματικών ριζών... 5

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο Ρητές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Κατακόρυφες ασύμπτωτες Οριζόντιες ασύμπτωτες Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων ρητών συναρτήσεων Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων ρητών συναρτήσεων με αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων Κεφάλαιο Ακολουθίες και σειρές Ακολουθίες Αριθμητικές πρόοδοι Γεωμετρικές πρόοδοι Άπειρες γεωμετρικές σειρές Αρμονικές πρόοδοι Μέσοι όροι Κεφάλαιο Λογάριθμοι Ορισμός του λογαρίθμου Οι κανόνες των λογαρίθμων Κοινοί λογάριθμοι Χρήση πίνακα κοινών λογαρίθμων Φυσικοί λογάριθμοι Χρήση πίνακα φυσικών λογαρίθμων Εύρεση λογαρίθμων με αριθμομηχανή Κεφάλαιο 4 Εφαρμογές των λογαρίθμων και των εκθετών Εισαγωγή Απλός τόκος Ανατοκισμός Οι εφαρμογές των λογαρίθμων Οι εφαρμογές των εκθετών... Κεφάλαιο 5 Μεταθέσεις και συνδυασμοί Βασική αρχή μέτρησης Μεταθέσεις Συνδυασμοί Χρήση αριθμομηχανής... 5

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 6 Το θεώρημα του διωνύμου Συνδυαστική σημειογραφία Το ανάπτυγμα της παράστασης (a + x) n Κεφάλαιο 7 Πιθανότητες Απλή πιθανότητα Σύνθετη πιθανότητα Μαθηματική προσδοκία Διωνυμική πιθανότητα Πιθανότητα υπό συνθήκη Κεφάλαιο 8 Ορίζουσες και συστήματα γραμμικών εξισώσεων Ορίζουσες δευτέρου βαθμού Ο κανόνας του Κράμερ Ορίζουσες τρίτου βαθμού... 7 Κεφάλαιο 9 Ορίζουσες νιοστού βαθμού Αντιστροφή Ορίζουσες νιοστού βαθμού Οι ιδιότητες των οριζουσών Ελάσσονες ορίζουσες Η τιμή μιας ορίζουσας Ο κανόνας του Κράμερ Ομοιογενείς γραμμικές εξισώσεις Κεφάλαιο 0 Μήτρες Ορισμός της μήτρας Πράξεις μητρών Βασικές πράξεις γραμμών Η αντίστροφη μιας μήτρας Εξισώσεις μητρών Μητρειακή λύση ενός συστήματος εξισώσεων Κεφάλαιο Μαθηματική επαγωγή Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής Απόδειξη με μαθηματική επαγωγή... 45

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο Απλά κλάσματα Ρητά κλάσματα Γνήσια κλάσματα Απλά κλάσματα Ταυτοτικά ίσα πολυώνυμα Το θεμελιώδες θεώρημα Ανάλυση σε απλά κλάσματα Παράρτημα Α Πίνακας κοινών λογαρίθμων Παράρτημα Β Πίνακας φυσικών λογαρίθμων... 4 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ... 45

10

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Πολυωνυμικές συναρτήσεις 0. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ονομάζουμε ρητή ακέραια εξίσωση νιοστού (n) βαθμού ως προς τη μεταβλητή x την εξίσωση η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή n n n anx + an x + an x + + ax + a0 = 0, a n 0 όπου n είναι θετικός ακέραιος και a 0, a, a,, a n, an σταθερές. 4 Επομένως, οι εξισώσεις 4x x + x 5 = 0, x x + = 0 και x + x 8 = 0 είναι ρητές ακέραιες ε- 4 ξισώσεις ως προς x, ου, ου, και 4ου βαθμού αντίστοιχα. Παρατηρήστε ότι σε κάθε εξίσωση οι εκθέτες της μεταβλητής x είναι θετικοί και ακέραιοι, ενώ οι συντελεστές είναι σταθερές (πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί). Ο συντελεστής του όρου με τη μεγαλύτερη δύναμη ονομάζεται αρχικός συντελεστής, ενώ το a 0 ονομάζεται σταθερός όρος. Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε μόνο ρητές ακέραιες εξισώσεις. Ένα πολυώνυμο νιοστού (n) βαθμού ως προς τη μεταβλητή x είναι μια συνάρτηση του x η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή n n n P( x) = anx + an x + an x + + ax + a0 = 0, a n 0 όπου n θετικός ακέραιος και a 0, a, a,, a n, an σταθερές. Έτσι η συνάρτηση P ( x) = 0 είναι μια ρητή ακέραια εξίσωση νιοστού (n) βαθμού ως προς x. Αν P ( x) = x + x + 5x 6, τότε P ( ) = ( ) + ( ) + 5( ) 6 = 6. Αν P ( x) = x + x 8, τότε P ( 5) = = 5. Κάθε τιμή του x η οποία μηδενίζει τη συνάρτηση P (x) ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0. Άρα το είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = x x 5x 6 = 0, καθώς P ( ) = = ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α. Θεώρημα του υπολοίπου. Αν το r είναι μια οποιαδήποτε σταθερά και το πολυώνυμο P (x) διαιρείται με τον όρο ( x r), τότε το υπόλοιπο είναι P (r). Για παράδειγμα, αν το πολυώνυμο P ( x) = x x x + 8 διαιρείται με τον όρο x +, τότε r = και το υπόλοιπο = P ( ) = = 4. Δηλαδή, 49

12 50 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ. 0 x x x = Q( x) +, όπου Q (x) είναι ένα πολυώνυμο ως προς x. x + x + Β. Θεώρημα παραγοντοποίησης. Αν r είναι μια ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, δηλαδή αν P ( r) = 0, τότε ο όρος ( x r) είναι παράγοντας της P (x). Αντίστροφα, αν ο όρος ( x r) είναι παράγοντας της P (x), τότε το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, ή P ( r) = 0. Συνεπώς, οι αριθμοί,, είναι οι τρεις ρίζες της εξίσωσης P ( x) = x + 4x + x 6 = 0 καθώς P ( ) = P( ) = P( ) = 0. Τότε οι όροι ( x ), ( x + ) και ( x + ) είναι παράγοντες της εξίσωσης x + 4x + x 6. Γ. Συνθετική διαίρεση. Η συνθετική διαίρεση είναι μια απλοποιημένη μέθοδος διαίρεσης ενός πολυωνύμου P (x) με τον όρο x r, όπου r είναι οποιοσδήποτε καθορισμένος αριθμός. Με αυτή τη μέθοδο μπορούμε να προσδιορίσουμε τις τιμές των συντελεστών του πηλίκου και να βρούμε εύκολα την τιμή του υπολοίπου. 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.. Διαιρέστε την παράσταση (5x + x 4x ) με τον όρο ( x + 4) χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση. Γράψτε τους όρους του διαιρετέου σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων της μεταβλητής και συμπληρώστε τους όρους που λείπουν χρησιμοποιώντας την τιμή μηδέν για τους συντελεστές τους. γράψτε το διαιρέτη σε μορφή x a. ( x 4 + 0x 4x + 5x + 0) ( x ( 4)) και τους συντελεστές του διαιρετέου στα δε- Γράψτε το σταθερό όρο a του διαιρέτη στα αριστερά του συμβόλου ξιά του Κατεβάστε τον πρώτο όρο του διαιρέτη στην τρίτη γραμμή, αφήνοντας, προς το παρόν, μια κενή γραμμή Πολλαπλασιάστε τον όρο που βρίσκεται στη γραμμή του πηλίκου (στην τρίτη γραμμή) με το διαιρέτη, και γράψτε το γινόμενο στη δεύτερη γραμμή κάτω από το δεύτερο όρο της πρώτης γραμμής, προσθέστε τους αριθμούς της στήλης που σχηματίζεται, και γράψτε το άθροισμα ως δεύτερο όρο στη γραμμή του πηλίκου Πολλαπλασιάστε τον τελευταίο όρο στα δεξιά της γραμμής του πηλίκου με το διαιρέτη, γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από τον επόμενο όρο της επάνω γραμμής, προσθέστε, και γράψτε το άθροισμα στη γραμμή του πηλίκου. Συνεχίστε αυτή τη διαδικασία μέχρι όλοι οι όροι της επάνω γραμμής να έχουν στο κάτω μέρος τους έναν αριθμό Η τρίτη γραμμή είναι η γραμμή του πηλίκου, όπου ο τελευταίος όρος της είναι το υπόλοιπο. Ο βαθμός πολυωνύμου του πηλίκου είναι κατά μία μονάδα μικρότερος από το βαθμό του διαιρετέου επειδή διαιρούμε με ένα γραμμικό παράγοντα. Οι όροι της γραμμής του πηλίκου είναι οι συντελεστές των όρων του πολυωνύμου του πηλίκου. Σε αυτή την περίπτωση ο βαθμός του πολυωνύμου του πηλίκου είναι. 4 Το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (5x + x 4x ) ( x + 4) είναι

13 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 x 4x + x + x + 4 Δ. Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Κάθε πολυωνυμική εξίσωση P ( x) = 0 έχει τουλάχιστον μία πραγματική ή μιγαδική ρίζα. Έτσι η εξίσωση x 7 x 5 + = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Αλλά η f ( x) = x + = 0 δεν έχει ρίζα, επειδή δεν υπάρχει κάποιος αριθμός r τέτοιος ώστε f ( r) = 0. Καθώς αυτή η εξίσωση δεν είναι ρητή, το Θεμελιώδες θεώρημα δεν ισχύει. Ε. Ο αριθμός των ριζών μιας εξίσωσης. Κάθε ρητή ακέραια εξίσωση P ( x) = 0 νιοστού (n) βαθμού έχει μόνο n ρίζες. Άρα η εξίσωση x + 5x 4x 8 = 0 έχει μόνο ρίζες, δηλαδή τις,, 4. Μερικές από τις n ρίζες μπορεί να είναι ίσες. Έτσι το είναι μια τριπλή ρίζα της εξίσωσης έκτου βαθμού ( x ) ( x 5) ( x + 4) = 0, το 5 είναι διπλή ρίζα της, και το 4 απλή ρίζα της εξίσωσης. δηλαδή, οι έξι ρίζες της εξίσωσης είναι οι,,, 5, 5, ΕΠΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α. Μιγαδικές και άρρητες ρίζες () Αν ένας μιγαδικός αριθμός a + bi είναι ρίζα της ρητής ακέραιης εξίσωσης P ( x) = 0 με πραγματικούς συντελεστές, τότε ο συζυγής μιγαδικός αριθμός a bi είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. Συνεπάγεται ότι κάθε ρητή ακέραιη εξίσωση περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. () Αν η ρητή ακέραιη εξίσωση P ( x) = 0 με ρητούς συντελεστές έχει ρίζα το a + b, όπου a και b ρητοί α- ριθμοί και b άρρητος αριθμός, τότε το a b είναι επίσης ρίζα. Β. Θεώρημα των ρητών ριζών Αν το b c, ένα ρητό κλάσμα με απλοποιημένους όρους, είναι ρίζα της εξίσωσης n n n anx + an x + an x + + ax + a0 = 0, a n 0 με ακέραιους συντελεστές, τότε το b είναι παράγοντας του a 0, ενώ το c είναι παράγοντας του a n. Έτσι, αν το b c είναι μια ρητή ρίζα της εξίσωσης 6x + 5x x = 0, τότε οι τιμές του b περιορίζονται στους παράγοντες του, που είναι οι αριθμοί ±, ±, ενώ οι τιμές του c περιορίζονται στους παράγοντες του 6, που είναι οι ±, ±, ±, ± 6. Άρα οι μοναδικές πιθανές ρητές ρίζες είναι οι ±, ±, ±, ±, ± 6, και ±. Γ. Θεώρημα ακέραιων ριζών Αν μια εξίσωση P ( x) = 0 έχει ακέραιους συντελεστές και αρχικό συντελεστή ίσο με : x n + a n n n x + an x 0 = + + a x + a 0, τότε κάθε ρητή ρίζα της συνάρτησης P ( x) = 0 είναι ακέραιος αριθμός και παράγοντας του a 0. Επομένως οι ρητές ρίζες της εξίσωσης x + x x = 0, αν υπάρχουν, περιορίζονται στους ακέραιους παράγοντες του, οι οποίοι είναι οι ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ±. Δ. Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής. Αν η P ( x) = 0 είναι πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση τις πραγματικές ρίζες της σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση της εξίσωσης y = P(x) και προσδιορίζοντας τις τιμές της μεταβλητής x στα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα των x

14 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ. 0 ( y = 0 ). Σε αυτή τη διαδικασία είναι σημαντικό το γεγονός ότι αν οι τιμές P (a) και P (b) έχουν αντίθετα πρόσημα τότε η εξίσωση P ( x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα μεταξύ των τιμών x = a και x = b. Αυτό το γεγονός βασίζεται στη συνέχεια της γραφικής παράστασης της εξίσωσης y = P(x) όπου το P (x) είναι ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.. Απομονώστε κάθε πραγματική ρίζα της εξίσωσης P ( x) = x 5x 6x + 4 μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων. Καθώς η εξίσωση P ( x) = x 5x 6x + 4 είναι ου βαθμού, υπάρχουν το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες. Θα αναζητήσουμε τις πραγματικές ρίζες στο διάστημα 5 έως 5. Το διάστημα είναι τυχαίο και αν δεν μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τις πραγματικές ρίζες σε αυτό, ίσως χρειαστεί να το επεκτείνουμε. Θα βρούμε την τιμή της εξίσωσης P(x) για κάθε ακέραιο του επιλεγμένου διαστήματος χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση. Τα υπόλοιπα που δίνει η συνθετική διαίρεση είναι οι τιμές της P(x) που συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. x P(x) Προσέξτε ότι καθώς οι τιμές P ( ) = 0 και P ( ) = έχουν αντίθετα πρόσημα, συνεπάγεται από το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής ότι υπάρχει μια πραγματική ρίζα μεταξύ του και του. Παρόμοια, καθώς P ( 0) = 4 και P ( ) = 5, υπάρχει μια πραγματική ρίζα μεταξύ του 0 και του, και επειδή P ( ) = 5 και P ( 4) = 8 υπάρχει μια πραγματική ρίζα μεταξύ του και του 4. Έχουμε απομονώσει τρεις πραγματικές ρίζες, επομένως έχουμε εντοπίσει όλες τις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης P(x) Ο εντοπισμός όλων των πραγματικών ριζών δεν είναι πάντα δυνατός με αυτόν τον τρόπο επειδή ενδεχομένως να υ- πάρχουν περισσότερες από μία ρίζες μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων. Όταν υπάρχει άρτιος αριθμός ριζών μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής δεν θα τις αποκαλύψει απλώς με χρήση ακέραιων τιμών του x. Το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής δεν μπορεί να σας δώσει το πλήθος των ριζών που υπάρχουν στο διάστημα, αλλά απλώς ότι υπάρχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα σε αυτό. Ε. Άνω και κάτω όρια πραγματικών ριζών Ένας αριθμός a ονομάζεται άνω όριο ή άνω φράγμα των πραγματικών ριζών της εξίσωσης P ( x) = 0 αν καμία ρίζα δεν είναι μεγαλύτερη του a. Ένας αριθμός b ονομάζεται κάτω όριο ή κάτω φράγμα των πραγματικών ριζών της P ( x) = 0 αν καμία ρίζα δεν είναι μικρότερη του b. Το θεώρημα που ακολουθεί χρησιμεύει στον προσδιορισμό των άνω και κάτω ορίων. n n n Έστω P( x) = anx + an x + an x + + a0 = 0, όπου a 0, a, an είναι πραγματικοί και a n > 0. Τότε: () Αν κατά τη συνθετική διαίρεση της εξίσωσης P (x) με το x a, όπου a 0, όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν στην τρίτη γραμμή είναι θετικοί ή μηδέν, τότε το a είναι το άνω όριο όλων των πραγματικών ριζών της συνάρτησης P ( x) = 0. () Αν κατά τη συνθετική διαίρεση της εξίσωσης P (x) με το x b, όπου b 0, όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν στην τρίτη γραμμή είναι αλληλοδιάδοχα θετικοί και αρνητικοί (ή μηδέν), τότε το b είναι το κάτω ό- ριο όλων των πραγματικών ριζών της P ( x) = 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.. Βρείτε το διάστημα που περιέχει όλες τις πραγματικές ρίζες τής P ( x) = x 5x + 6. Θα βρούμε τον ακέραιο b ο οποίος είναι το ελάχιστο άνω όριο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης P (x) και τον ακέραιο a ο οποίος είναι το μέγιστο κάτω όριο των πραγματικών ριζών της P (x). Όλες οι πραγματικές ρίζες θα βρίσκονται στο διάστημα [a, b]. Για να βρούμε τα a και b πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της συνθετικής διαίρεσης στην P ( x) = x 5x + 6.

15 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν διαιρέσουμε με τον αριθμό, οι αριθμοί της γραμμής του πηλίκου θα είναι όλοι θετικοί, επομένως το είναι ο μικρότερος ακέραιος που είναι άνω όριο των πραγματικών ριζών της P (x). Άρα b = Αν διαιρέσουμε με το, τότε το πρόσημο στην γραμμή του πηλίκου εναλλάσσεται, άρα, το είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι κάτω όριο των πραγματικών ριζών της P (x). Συνεπώς, a =. Οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης P ( x) = x 5x + 6 βρίσκονται στο διάστημα (, ) ή < x <. Επειδή P ( ) 0 και P ( ) 0, χρησιμοποιήσαμε συμβολισμό διαστημάτων που υποδηλώνει ότι κανένα από τα δύο ακραία σημεία δεν ισούται με μηδέν. ΣΤ. Ο Κανόνας των προσήμων του Ντεκάρτ Αν οι όροι ενός πολυωνύμου P (x) με πραγματικούς συντελεστές είναι διατεταγμένοι σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του x, τότε έχουμε μεταβολή προσήμου όταν δύο διαδοχικοί όροι έχουν διαφορετικό πρόσημο. Για παράδειγμα, στο πολυώνυμο x x + x έχουμε μεταβολές προσήμου, ενώ στο x 6x 4x + x x + 4 έχουμε 4 μεταβολές προσήμου. Σύμφωνα με τον Κανόνα των προσήμων του Ντεκάρτ, ο αριθμός των θετικών ριζών της εξίσωσης P ( x) = 0 είναι είτε ίσος με τον αριθμό των μεταβολών προσήμου της P (x) είτε μικρότερος από αυτόν τον αριθμό κατά ένα άρτιο ακέραιο. Ο αριθμός των αρνητικών ριζών της εξίσωσης P ( x) = 0 είναι είτε ίσος με τον αριθμό των μεταβολών προσήμου της P( x), είτε μικρότερος από αυτόν τον αριθμό κατά ένα άρτιο ακέραιο. 9 5 Έτσι, στην εξίσωση P ( x) = x x + x x + = 0 υπάρχουν 4 μεταβολές προσήμου της P(x) άρα το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης P ( x) = 0 είναι 4, (4 ) ή (4 4). Επειδή στην εξίσωση P ( x) = ( x) ( x) + ( x) ( x) + = x + x + x + x + = 0 συμβαίνει μία μεταβολή προσήμου, η P ( x) = 0 έχει μία μόνο αρνητική ρίζα. Επομένως υπάρχουν 4,, ή 0 θετικές ρίζες, αρνητική ρίζα, και τουλάχιστον 9 (4 + ) = 4 μιγαδικές ρίζες. (Υπάρχουν 4, 6, ή 8 μιγαδικές ρίζες. Γιατί;) 0.4 ΚΑΤΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΡΙΖΩΝ Η επίλυση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης P ( x) = 0 με τις προηγούμενες μεθόδους δεν επιτρέπει πάντα τον προσδιορισμό όλων των ριζών. Ο προσδιορισμός των άρρητων και φανταστικών ριζών έγινε προηγουμένως δυνατός επειδή μπορέσαμε και βρήκαμε δευτεροβάθμιους παράγοντες που επιλύονταν με τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αν δεν μπορούμε να βρούμε τους δευτεροβάθμιους παράγοντες της εξίσωσης P ( x) = 0, δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε τις φανταστικές ρίζες της συχνά όμως μπορούμε να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση μερικές από τις πραγματικές ρίζες της. Για να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση μια πραγματική ρίζα της P ( x) = 0 πρέπει πρώτα να βρούμε ένα διάστημα που περιέχει μια πραγματική ρίζα της P ( x) = 0. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής το οποίο μας επιτρέπει να βρούμε δύο αριθμούς a και b τέτοιους ώστε οι τιμές P (a) και P (b) να έχουν αντίθετα πρόσημα. Πρέπει να συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής μέχρι να απομονώσουμε την πραγματική ρίζα σε ένα διάστημα αρκετά μικρό, ώστε να επιτρέπει τον προσδιορισμό της με τον απαιτούμενο βαθμό ακρίβειας.

16 54 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ. 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.4. Βρείτε μια πραγματική ρίζα της x + x + 8 = 0 με ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. Σύμφωνα με τον Κανόνα των προσήμων του Ντεκάρτ, η εξίσωση P ( x) = x + x + 8 δεν έχει θετικές πραγματικές ρίζες, αλλά αρνητική πραγματική ρίζα. Χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση βρίσκουμε P ( ) = 6 και P ( ) = 4, άρα σύμφωνα με το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής η εξίσωση P ( x) = x + x + 8 έχει μία πραγματική ρίζα μεταξύ των και. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα συνθετική διαίρεση και το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής για να προσδιορίσουμε το δεκαδικό διάστημα που περιέχει τη ρίζα. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον πίνακα που ακολουθεί. x,0,,,,4,5,6,7,8,9,0 P(x) 4,7,67,90,06 0, 0,80,0, 4,56 6 Μπορούμε να δούμε ότι η τιμή P (,5) είναι θετική, ενώ η P (,6) είναι αρνητική, άρα η ρίζα βρίσκεται μεταξύ των,6 και,5. Τώρα θα ελέγξουμε το ψηφίο των εκατοντάδων χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση στο διάστημα μεταξύ των,6 και,5. Δεν είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε όλες τις τιμές των εκατοντάδων, αλλά μόνο την αλλαγή προσήμου μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών. x,50,5,5 P(x) 0, 0,0 0,07 Βλέπουμε ότι η τιμή P (,5) είναι θετική και η P(,5) είναι αρνητική, επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής, υπάρχει μια πραγματική ρίζα μεταξύ των,5 και,5. Καθώς η πραγματική ρίζα βρίσκεται μεταξύ των,5 και,5, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να προσδιορίσουμε αν θα στρογγυλοποιηθεί ως,5 ή ως,5. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να βρούμε την τιμή P (,55), η οποία ισούται περίπου με 0,0. Επειδή η τιμή P (,55) είναι αρνητική, ενώ η τιμή P (,5) είναι θετική, γνωρίζουμε ότι η ρίζα βρίσκεται μεταξύ των,55 και,50, και ότι όλοι οι αριθμοί οι οποίοι στρογγυλοποιούνται σε δύο δεκαδικά ψηφία σε αυτό το διάστημα είναι ίσοι με,5. Άρα, η μοναδική πραγματική ρίζα της x + x + 8 = 0 με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων είναι η,5. Για να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τις πραγματικές ρίζες ενός πολυωνύμου με αριθμομηχανή με δυνατότητα γραφημάτων πρέπει να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και να χρησιμοποιήσετε τις λειτουργίες ανίχνευσης και μεγέθυνσης (trace and zoom) της αριθμομηχανής. Αφού σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, χρησιμοποιήστε τη λειτουργία ανίχνευσης και το Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής για να εντοπίσετε το διάστημα που περιέχει μια πραγματική ρίζα. Έπειτα χρησιμοποιήστε τη λειτουργία μεγέθυνσης για να επικεντρωθείτε σε αυτό το διάστημα. Συνεχίστε να χρησιμοποιείτε τη λειτουργία ανίχνευσης και μεγέθυνσης μέχρι να βρείτε δύο τιμές του x στρογγυλοποιημένες στον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας, οι οποίες να δίνουν τιμές της συνάρτησης με αντίθετο πρόσημο. Λυμένα προβλήματα. Αποδείξτε το θεώρημα του υπολοίπου: Αν ένα πολυώνυμο P (x) διαιρείται με την ποσότητα ( x r) τότε το υπόλοιπο είναι P (r). Στη διαίρεση του πολυωνύμου P (x) με το ( x r), έστω Q (x) το πηλίκο και R (σταθερά), το υπόλοιπο. Εξ ορισμού P ( x) = ( x r) Q( x) + R, είναι μια ταυτότητα για όλες τις τιμές του x. Αν υποθέσουμε ότι x = r, τότε R ( r) = R.

17 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 55. Προσδιορίστε το υπόλοιπο R για κάθε μία από τις παρακάτω διαιρέσεις. (α) (x + x 8x 4) ( x ) R = P() = ( ) + ( ) 8() 4 = (β) 4 ( x x + 5x + 8) ( x + ) 4 R = P( ) = ( ) ( ) + 5( ) + 8 = = 7 (γ) (δ) (4x + 5x ) x + ( x x + x 4) x R = P R = P( 0) = 4 = = 4 (ε) x x + x (x ) R = P = + = (στ) 8 5 ( x x x + ) ( x + ) R = P( i) = ( i) ( i) ( i) + = i + i + i + = + i i + =. Αποδείξτε το Θεώρημα παραγοντοποίησης: αν το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, τότε η ποσότητα ( x r) είναι παράγοντας της P(x) και αντίστροφα αν το ( x r) είναι παράγοντας της P (x), τότε το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0. Στη διαίρεση της εξίσωσης P (x) με το ( x r), έστω Q (x) το πηλίκο και R, μια σταθερά, το υπόλοιπο. Τότε P ( x) = ( x r) Q( x) + R ή, σύμφωνα με το Θεώρημα του υπολοίπου, P ( x) = ( x r) Q( x) + P( r). Αν το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, τότε P ( r) = 0. Συνεπώς P( x) = ( x r) Q( x), ή το ( x r) είναι παράγοντας της P (x). Αντίστροφα, αν η ποσότητα ( x r) είναι παράγοντας της εξίσωσης P (x) P (x) με το ( x r) είναι μηδέν. Άρα P ( r) = 0, δηλαδή, το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0., τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης της 4 4. Αποδείξτε ότι το ( x ) είναι παράγοντας του πολυωνύμου P ( x) = x 4x 7x + x + 4. P ( ) = = 0. Επομένως, η ποσότητα ( x ) είναι παράγοντας του P (x), το είναι ρίζα του πολυωνύμου P (x), και το είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = (α) Είναι το ρίζα της εξίσωσης P ( x) = x 7x 6 = 0 ; 4 (β) Είναι το ρίζα της εξίσωσης P ( y) = y y y + 7 = 0 ; (γ) Είναι το i ρίζα της εξίσωσης P ( z) = z + z + 8z + = 0 ; (α) P ( ) = = 0. Συνεπώς το είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, και η ποσότητα [ x ( ) ] = x + είναι παράγοντας του πολυωνύμου P (x). (β) P ( ) = =. Άρα το δεν είναι ρίζα της εξίσωσης P ( y) = 0, και η ποσότητα ( y ) δεν είναι παράγοντας του πολυωνύμου y 4 y y + 7. (γ) P (i) = (i) + (i) + 8(i) + = 6i + 6i + = 0. Επομένως, το i είναι ρίζα της εξίσωσης P ( z) = 0, και η ποσότητα ( z i) είναι παράγοντας του πολυωνύμου P (z).

18 56 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ Αποδείξτε ότι το P x a είναι παράγοντας του n n n n ( x) = x a τότε ( a) = a a = 0 n n x a, όπου το n είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος. n n P. Καθώς P ( a) = 0, το x a είναι παράγοντας του x a (α) Αποδείξτε ότι το πολυώνυμο x + a διαιρείται ακριβώς με το x + a. 6 6 (β) Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του y + a με το y + a ; (α) (β) 5 5 P ( x) = x + a τότε P( a) = ( a) + a = a + a = 0. Καθώς P ( a) = 0, το πολυώνυμο x + a διαιρείται ακριβώς με την παράσταση x + a. P ( y) + a 6 6 = y. Υπόλοιπο = P ( a) = ( a) + a = a + a = a. n n 8. Αποδείξτε ότι η ποσότητα x + a είναι παράγοντας του πολυωνύμου x a όταν το n είναι άρτιος θετικός ακέραιος, ενώ δεν είναι παράγοντάς του όταν το n είναι περιττός θετικός ακέραιος. Υποθέστε ότι a 0. P n n ( x) = x a. n n n n Όταν το n είναι άρτιος αριθμός, P ( a) = ( a) a = a a = 0. Καθώς P ( a) = 0, η ποσότητα x + a είναι n n παράγοντας του x a όταν το n είναι άρτιος αριθμός. n n n n n n n Όταν το n είναι περιττός αριθμός, P( a) = ( a) a = a a = a. Καθώς P ( a) 0, το x a δεν διαιρείται ακριβώς με το x + a όταν το n είναι περιττός (το υπόλοιπο είναι a n ). 9. Βρείτε τις τιμές του p για τις οποίες (α) το πολυώνυμο x px + 6x p διαιρείται ακριβώς με το x +, 4 (β) η διαίρεση ( x p x + p) ( x ) δίνει υπόλοιπο 4. (α) Το υπόλοιπο είναι ( ) p ( ) + 6( ) p = 6 4 p p = 8 7 p = 0. Τότε p = 4. 4 (β) Το υπόλοιπο είναι p () + p = 84 p p = 4. Τότε p + p 80 = 0, ( p 5)(p + 6) = 0, και p = 5, Προσδιορίστε, χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση, το πηλίκο και το υπόλοιπο της παρακάτω διαίρεσης. (x 5 4x 4 5x 8x + 5) ( x ) Πηλίκο: x + x x x + Υπόλοιπο: Η επάνω γραμμή αριθμών δίνει τους συντελεστές του διαιρετέου, όπου τα μηδενικά είναι συντελεστές των α- πουσών δυνάμεων του x ( 0x ). Το στο αριστερό άκρο είναι ο δεύτερος όρος του διαιρέτη με αλλαγμένο πρόσημο (καθώς ο συντελεστής του x του διαιρέτη είναι το ). Γράφουμε τον πρώτο συντελεστή της επάνω γραμμής, το, πρώτο στην τρίτη γραμμή και στη συνέχεια τον πολλαπλασιάζουμε με το του διαιρέτη. Τοποθετούμε το γινόμενο 6 πρώτο στη δεύτερη γραμμή και το προσθέ-

19 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 57 τουμε με το υπερκείμενο 4 για να πάρουμε, που είναι ο επόμενος αριθμός της τρίτης γραμμής. Έπειτα, αυτό το το πολλαπλασιάζουμε με το του διαιρέτη. Τοποθετούμε το γινόμενο 4 στη δεύτερη γραμμή και το προσθέτουμε με το υπερκείμενο 5 για να πάρουμε το της τρίτης γραμμής, κ.λπ. Ο τελευταίος αριθμός της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο, ενώ όλοι οι άλλοι αριθμοί που βρίσκονται στα αριστερά του είναι οι συντελεστές του πηλίκου. Καθώς ο διαιρετέος και ο διαιρέτης είναι πολυώνυμα 5ου βαθμού και ου βαθμού αντίστοιχα, το πηλίκο είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού. Μπορούμε να γράψουμε την απάντηση ως: 4 x + x x x + +. x 4. ( x x 4x + 5x + 50) ( x + 4) Απάντηση: x x 4 6x + 4. (x 7x 4) ( x + ) Απάντηση: x 6x 5 + x + x +. (4x 0x + x ) ( x ) Απάντηση: 5 4x 8x x 4. Δίνεται το πολυώνυμο P ( x) = x 6x x Υπολογίστε (α) την τιμή P ( 5) και (β) την τιμή P (4) χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση. (α) P( 5) = 5 (β) P(4) = 0 5. Λύστε την εξίσωση x + x x 60 = 0, αν γνωρίζετε ότι μια ρίζα της είναι το Διαιρέστε το πολυώνυμο x + x x 60 με x 5. Η συμπτυγμένη εξίσωση είναι η x + 7x + = 0 και έχει ρίζες, 4. Οι τρεις ρίζες είναι οι 5,, 4.

20 58 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ Δύο ρίζες της εξίσωσης x 4 x x 0 είναι οι και. Λύστε την εξίσωση Διαιρέστε το πολυώνυμο x 4 x x με x Η πρώτη συμπτυγμένη εξίσωση είναι η x x x = Διαιρέστε το πολυώνυμο x x x με x Η δεύτερη συμπτυγμένη εξίσωση είναι η x + x + = 0 και έχει ρίζες ± i. Οι τέσσερις ρίζες είναι οι,, ± i. 7. Προσδιορίστε τις ρίζες κάθε εξίσωσης. (α) ( x ) ( x + )( x + 4) = 0. Απάντ. (διπλή ρίζα),, 4 (β) (x + )(x ) (x 5) = 0., (τριπλή ρίζα), 5 (γ) x ( x x 5) = 0. 0 (τριπλή ρίζα), 5, (δ) ( x + + )( x + )( x 6) = 0. ( ), ( + ), 6 (ε) [( i)( x + i) ] ( x + ) = 0 x. ± i (τριπλή ρίζα), (διπλή ρίζα) (στ) 4 ( x + m) (5x n) = 0. m(τετραπλή ρίζα), n 5 (διπλή ρίζα) 8. Γράψτε την εξίσωση η οποία έχει μόνο τις παρακάτω ρίζες. (α) 5,, (β), 4, (γ) ±, ± (δ) 0, ± 5i. (α) ( x 5)( x )( x + ) = 0 ή x x x (β) 5 x x ( x ) x + x + = 0 ή x = 0, ή 8x 0x x = 0, η οποία έχει ακέραιους συντελεστές. (γ) ( x )( x + )[ x ( )][ x ( + )] = ( x 4)[( x ) + ][( x ) ] 4 = ( x 4)[( x ) ] = ( x 4)( x 4x + ) = 0, ή x 4x x + 6x 4 = 0. (δ) x[ x ( + 5i) ][ x ( 5i) ] = x[ ( x ) 5i][ ( x ) + 5i) ] = x[ ( x ) + 5] = x( x x + 6) = 0 ή x x + 6x = Σχηματίστε την εξίσωση με ακέραιους συντελεστές η οποία έχει μόνο τις παρακάτω ρίζες. (α),, (γ) ± i, ± (β) 0,,, (δ) (διπλή ρίζα),. 4,

21 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 59 (α) ( x )(x )(x + ) = 0 ή 6x 7x + = 0 (β) 4 x ( 4x )(x )( x + ) = 0 ή x 5x x + 6x = 0 (γ) ( x i)( x + i) x x + = ( x + 9) x = 0, ( x + 9)(x ) = 0, 4 ή x + 7x 9 = 0 (δ) 4 ( x ) ( x + ) = 0 ή x 5x + 6x + 4x 8 = 0 0. Κάθε αριθμός που δίνεται είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές. Ποιος άλλος αριθμός είναι ρίζα; (α) i, (β) ± i, (γ) i. (α) i, (β) i, (γ) + i.. Κάθε αριθμός που δίνεται είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Ποιος άλλος αριθμός είναι ρίζα; (α) 7, (β) 4 +, (γ) 5. (α) 7, (β) 4, (γ) Εκτιμήστε την εγκυρότητα κάθε ενός από τα επόμενα συμπεράσματα. (α) Το x = i είναι ρίζα της εξίσωσης x + 7x 6i = 0 άρα το x = i είναι μια ρίζα της. (β) Το i είναι ρίζα της εξίσωσης x + ( ) x + (5 ) x + 5 = 0 συνεπώς η + i είναι επίσης ρίζα. (γ) Το x = + 4 είναι ρίζα της εξίσωσης x + ( ) x + (4 ) x + ( 4 ) x + = 0 άρα η x = είναι ρίζα. (α) Το x = i δεν είναι απαραίτητα ρίζα, καθώς δεν είναι όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πραγματικοί αριθμοί. Με αντικατάσταση μπορείτε να βρείτε ότι το x = i δεν είναι ρίζα. (β) Το συμπέρασμα είναι έγκυρο, καθώς η εξίσωση που δίνεται έχει πραγματικούς συντελεστές. (γ) Το x = δεν είναι απαραίτητα ρίζα, καθώς δεν είναι όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης ρητοί αριθμοί. Αντικαθιστώντας μπορείτε να βρείτε ότι το x = δεν είναι ρίζα.. Γράψτε την πολυωνυμική εξίσωση μικρότερου δυνατού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές, δύο ρίζες της οποίας είναι οι και i. [ x ( i) ][ x ( + i) ] = ( x )( x x + 0) = 0 ( x ) ή x 4x + 4x 0 = Σχηματίστε την πολυωνυμική εξίσωση μικρότερου δυνατού βαθμού με ρητούς συντελεστές, δύο ρίζες της οποίας είναι οι + 5 και 6. [ x ( + 5)][ x ( 5)]( x + 6) = ( x + x 4)( x + 6) = 0 ή x + 8x + 8x 4 = 0.

22

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-) ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--) .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε:

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα