ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 15 Οκτωβρίου 2006

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006. Οι Ασκήσεις -8 της πρώτης εργασίας (µε άθροισµα 0 µονάδων) αναφέρονται στα: Κεφάλαιο (Πίνακες, Ορίζουσες, Γραµµικά Συστήµατα) Κεφάλαιο ( ιανυσµατικοί Χώροι) του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Γραµµική Άλγεβρα» των Μ. Χατζηνικολάου και Γρ. Καµβύσα. Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συµβουλευθείτε το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ως εξής: Εναλλακτικό ιδακτικό Υλικό: Κεφ Γραµµικά Συστήµατα, Κεφ Πίνακες και Γραµµικά Συστήµατα, Κεφ Ορίζουσες, Κεφ5 Οι χώροιr^n, Κεφ6 ιανυσµατικοί χώροι και Κεφ7 Βάση και ιάσταση Συνοδευτικό ΕκπαιδευτικόYλικό: Πίνακες, Οι Χώροι R^n, ιανυσµατικοί Χώροι. Πρίν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να µελετούνται τα παραδείγµατα και οι λυµένες ασκήσεις των υποδείξεων και παραποµπών στα συγγράµµατα και στο βοηθητικό υλικό. Εχει δοθεί έµφαση στους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών πινάκων και την αντίστοιχη αλγοριθµική µέθοδο απαλοιφής Gauss µε την οποία επιλύονται γραµµικά συστήµατα και προβλήµατα της Γραµµικής Αλγεβρας που ανάγονται σε αυτά. Η άσκηση 8 αποτελεί εφαρµογή των δυνάµεων πίνακα σε ένα πρόβληµα γραφηµάτων (ή γράφων) και δείχνει την αναγκαιότητα χρήσης προγράµµατος υπολογιστή για την επίλυσή του. Ολες οι αναγκαίες υποδείξεις όπως και αντίστοιχο παράδειγµα δίνονται αναλυτικά.

2 Τύποι - Πράξεις Ιδιότητες Πινάκων. (0 µονάδες) α) (0 µονάδες) ίνονται οι πίνακες A=, B, C, D = = = Να υπολογισθούν, εφ όσον έχουν νόηµα, οι παρακάτω πίνακες T T A+ B, A+ D, A C, C A, D C T T β) ( µονάδες) ίνεται η εξίσωση XA XBR B X + Q + A X = 0 ως προς τον άγνωστο n n πίνακα Χ, όπου οι ( ) A M nn B M nm R M mm Q M nn θεωρούνται γνωστοί πίνακες µε R αντιστρέψιµο συµµετρικό και Q συµµετρικό πίνακα. T είξτε ότι αν ο X M nn ( ) είναι λύση της εξίσωσης τότε και ο X θα είναι λύση αυτής.(υπόδειξη. Θεωρείστε τον ανάστροφο των δύο µελών της εξίσωσης και ιδιότητες του αναστρόφου). λ a c n γ) (8 µονάδες) Αν A= 0 λ b, να υπολογίσετε τον A, για κάθε φυσικό αριθµό n. (βλ. 0 0 λ Λυµένη Άσκηση, σελ. 7, Κεφ Ε Υ Γραµµικά Συστήµατα και Πίνακες )., ( ), ( ), ( ) Ανηγµένη κλιµακωτή µορφή πίνακα - Επίλυση γραµµικών συστηµάτων. (5 µονάδες) Για κάθε πραγµατική τιµή της παραµέτρου α: α) (0 µονάδες) να υπολογιστεί η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα A = a 0 και στην συνέχεια ως εφαρµογή x y+ z+ w= β) (5 µονάδες) να λυθεί το σύστηµα: x y z+ w= a x y+ w= (βλ. π.χ. Παράδειγµα, Παρ.. στο βιβλίο του ΕΑΠ). Υπολογισµός Ορίζουσας µε µέθοδο Laplace ή και µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών/στηλών.. ( µονάδες) α) (7 µονάδες) Να υπολογισθούν οι ορίζουσες των παρακάτω πινάκων : T = [], T =, T, T = =. Σε τι συµπέρασµα οδηγείστε για την ορίζουσα του n n πίνακα T n = και πώς υπολογίζεται αυτή;

3 Υπόδειξη. Να χρησιµοποιήσετε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς στηλών/γραµµών. (Βλ. π.χ. Λυµένη Άσκηση από το Κεφ Ε Υ Ορίζουσες). β) ( 6 µονάδες) Αν d n ισούται προς την ορίζουσα του n n πίνακα α β 0 0 β α D n = 0 0, α β 0 0 β α (δηλ. aii = α για i =,..., n, ai+ i = β, aii+ = β για i =,..., n και όλα τα άλλα στοιχεία 0) να δειχθεί ότι dn = αdn β dn, για n. (Υπόδειξη: Αναπτύξτε την ορίζουσα ως προς την πρώτη γραµµή. Βλ. Λυµένη Άσκηση από το Κεφ Ε Υ Ορίζουσες). Αντίστροφος πίνακα µε µέθοδο προσαρτηµένου ή µέθοδο Gauss Λύση γραµµικού συστήµατος 0. (5 µονάδες) Έστω ο πίνακας A = 6 όπου a R. a α) (5 µονάδες) Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες ο Α είναι αντιστρέψιµος και για τις τιµές αυτές να υπολογιστεί ο A, µε χρήση της ορίζουσας και του προσαρτηµένου πίνακα του Α (βλ. Παράδειγµα σελ 0, Λυµενη Ασκηση 0 από το Κεφ Ε Υ Ορίζουσες). β) (5 µονάδες) Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες ο Α είναι αντιστρέψιµος και για τις τιµές αυτές να υπολογιστεί ο A µε την µέθοδο απαλοιφής Gauss (βλ. ΣΕΥ Πίνακες σελίδα, ή Παράδειγµα 6 στην Ενότητα. του βιβλίου του ΕΑΠ). γ) (5 µονάδες)εφαρµόστε τις δύο µεθόδους α), β) στην διερεύνηση και λύση του x+ z = συστήµατος x+ y+ 6z = x+ y+ az = (Υπενθυµίζεται ότι: η λύση του συστήµατος AX = b, µε Α τετραγωνικό πίνακα, είναι X = A b εάν ο Α είναι αντιστρέψιµος. Σε διαφορετική περίπτωση κάνουµε διερεύνηση για το αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις ή καµία λύση. ιανυσµατικοί Χώροι-Υπόχωροι Βάση ιάσταση Συµπληρωµατικός υπόχωρος 5. (5 µονάδες) ίδονται τα παρακάτω υποσύνολα αντίστοιχων διανυσµατικών χώρων: U x y { =,,,,,, } ( ) z w x = z y = z x y z w M V = {( a+ b, a b, b), a, b } W = { ax +, a } P x [ ] Για κάθε περίπτωση να εξετάσετε αν το υποσύνολο είναι υπόχωρος και, αν είναι, να βρείτε α) µια βάση του και β) δυο διαφορετικούς συµπληρωµατικούς υπόχωρους αυτού. (Βλ. Λυµένη Άσκηση από το Κεφ7 Ε Υ Βάση και ιάσταση ).

4 6. ( µονάδες) Θεωρούµε τα σύνολα W και W : W = ( x y,x+ y+ z, x+ z, x+ y+ z), x, y, z { } {( ) } W = 6 x y,5x 8 y, 5x+ y, x+ z, x, y, z α) ( µονάδες) είξτε ότι W και W είναι υπόχωροι του χώρου R. β) (9 µονάδες) Βρείτε τις διαστάσεις και βάσεις των W,W, W + W και W W. (Βλ. Λυµένη Άσκηση από το Κεφ7 Βάση και ιάσταση ). 7. (0 µονάδες) Έστω S={u, u, u, u } µία βάση του R. Θεωρούµε το σύνολο T={v, v, v, v } µε v = u + u, v = u + u, v = u + u, v = α u + u, όπου α πραγµατική παράµετρος. α) ( µονάδες) Να βρεθούν όλες οι τιµές του α για τις οποίες το σύνολο T είναι βάση του R και για τις τιµές αυτές του α: β) ( µονάδες) να βρεθεί ο πίνακας αλλαγής βάσης από την S στην Τ, γ) ( µονάδες) να γραφεί το διάνυσµα v = u - u + u - u στην βάση Τ. (Βλ. Παραδείγµατα της Παραγράφου.9 του βιβλίου του ΕΑΠ). Εφαρµογή µε αριθµητικό/συµβολικό πακέτο υπολογισµού 8. (0 µονάδες) Η αναπαράσταση ενός κατευθυνοµένου γραφήµατος όπως το παρακάτω 5 6 δίνεται µε την µορφή του πίνακα A = όπου υπάρχει κατευθυνόµενο τόξο από τον κόµβο i στον κόµβο j aij = 0 δεν υπάρχει κατευθυνόµενο τόξο από τον κόµβο i στον κόµβο j Μπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε ότι ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων µετάβασης (συνδέσεων) από τον κόµβο i στον κόµβο j διατρέχοντας ακριβώς κατευθυνόµενα τόξα (ακολουθώντας την φορά τους) είναι ίσος προς τον αριθµό: aa + aa + + aa i j i j i6 6 j

5 (δηλαδή µέσω του κόµβου ή µέσω του κόµβου ή ή µέσω του κόµβου 6). Από τον ορισµό του γινοµένου πινάκων διαπιστώνουµε ότι ο αριθµός αυτός είναι το στοιχείο (i,j) του πίνακα A. Παρόµοια, ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων µετάβασης από τον κόµβο i στον κόµβο j διατρέχοντας ακριβώς κατευθυνόµενα τόξα (ακολουθώντας την φορά τους) είναι ίσος προς το στοιχείο (i,j) του πίνακα A κ.ο.κ.. Με την χρήση του Matlab/Octave προσπαθήστε να βρείτε : α) τον αριθµό συνδέσεων µέσω τόξων του κόµβου i µε τον κόµβο j δηλ. τον πίνακα A. 5 β) αν όλα τα στοιχεία του πίνακα I + A+ A + + A είναι µη µηδενικά (δηλ. αν υπάρχει άµεση ή έµµεση σύνδεση µεταξύ όλων των κόµβων). Το τελευταίο ερώτηµα µπορεί να λυθεί στον υπολογιστή σας µε τη βοήθεια του MATLAB ή του προγράµµατος «κλώνου» του Octave µε τις ίδιες εντολές. Το MATLAB είναι εµπορικό προϊόν και δεν διατίθεται δωρεάν. Η Octave διατίθεται δωρεάν και µπορεί να «κατέβει» από το Η έκδοση που θα πρέπει να κατεβάσετε είναι binary για windows και το αρχείο octave-..50ainst.exe µε µέγεθος περίπου 7.5 ΜΒ. Η εγκατάσταση γίνεται απλά µε διπλό πάτηµα του αρχείου. Μπορείτε να συµβουλευθείτε την ιστοσελίδα της θεµατικής µας ενότητας όπου υπάρχει υλικό σχετικό µε το MATLAB. Βοήθεια για τη χρήση µίας εντολής, π.χ. της inv( ) µπορεί να βρεθεί µε τη χρήση της εντολής help inv Στην περίπτωση που χρησιµοποιήσετε MATLAB η µεταφορά των εντολών σας αλλά και των αποτελεσµάτων σε κειµενογράφο γίνεται εύκολα µε αντιγραφή και επικόλληση. Για το Octave, που δεν είναι φτιαγµένο ειδικά για Microsoft Windows, προτείνουµε την εξής διαδικασία: ηµιουργείστε ένα φάκελο στον σκληρό δίσκο του υπολογιστή σας µε όνοµα της επιλογής σας π.χ. workplace. Αν ο σκληρός σας δίσκος είναι ο C: εκτελέστε στην octave την εντολή cd c:\workplace Μετά την εκτέλεση της εντολής diary namefile.txt ότι πληκτρολογείτε και ότι εµφανίζεται στην Octave γράφεται στο αρχείο namefile.txt. Φυσικά µπορείτε να διαλέξετε ότι όνοµα αρχείου θέλετε αλλά καλό είναι να βάλετε την επέκταση txt ώστε το αρχείο να µπορεί να ανοιχτεί µε έναν editor όπως το notepad. Για να σταµατήσει η καταγραφή των εντολών και των αποτελεσµάτων εκτελέστε την εντολή: diary off Οδηγίες για τη συγκεκριµένη εφαρµογή : Αν ο πίνακας Α είχε την εξής µορφή 0 A = τότε για να απαντήσω στα ερωτήµατα (α), και (β) αντίστοιχα θα είχα στο Matlab (α) >> a=[ 0 ; 0 0 ; 0 ]; >> a^

6 ans = (β) >> eye()+a+a^ ans = όπου eye() ο µοναδιαίος x πίνακας. Μια άλλη λύση δίνεται παρακάτω µε χρήση της επαναληπτικής εντολής for. >> s=[0 0 0 ; 0 0 0; 0 0 0]; >> for i=0: s=s+a^i; end >> s s = Αρχικά θέτουµε το αποτέλεσµα του αθροίσµατος των πινάκων s να είναι ο µηδενικός πίνακας, ενώ στη συνέχεια η µεταβλητή i θα πάρει τις τιµές 0,, και για κάθε µια από αυτές θα προστίθεται στον πίνακα s ο πίνακας a^i. Το ερωτηµατικό στο τέλος κάθε εντολής δηλώνει ότι δεν θέλουµε να εµφανίζονται τα αποτελέσµατα, ενώ η τελευταία εντολή θα εκτυπώσει την τιµή του s. ιαπιστώνουµε από το αποτέλεσµα ότι οι κόµβοι και δεν µπορούν να επικοινωνήσουν µε τον κόµβο, όπως άλλωστε φαίνεται και στο παρακάτω γράφηµα: