ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ

2 Μιγαδικοί Αριθμοί ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α. Πράξεις Συζυγής - Μέτρο Α. Να δείξετε ότι 4 4 [[(( i) - i) i] - i] = Υπόδειξη: απλή Α. Να βρείτε το συζυγή του μιγαδικού ( - i)(5 i) = -4i Α.3 Να λυθεί η εξίσωση: i ( 0 i) = 3 i Α.4 Να γραφεί ο μιγαδικός αριθμός 3 ( i) ( i) ( i)... ( i) 99 Υπόδειξη: απλή με δύο τρόπους Απάντηση: Απάντηση: 9 = i 4 4 στη μορφή αβi. 50 ( )i Α.5 Να γραφεί ο μιγαδικός αριθμός στη μορφή αβi ο μιγαδικός 3i 40 i 40 = ( ) ( ) 3 i i Απάντηση: i Α.6 Να αποδειχθεί ότι για κάθε πραγματική τιμή του θ η εξίσωση: πραγματικές ρίζες. ημθ = 0 έχει μόνο δύο Απάντηση: =± Αν Α.7 i = i i τότε να δειχτεί ότι: = Υπόδειξη: =... = i, οπότε =... = 0 4 5

3 Α.8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 9 Μιγαδικοί Αριθμοί,, 3 με = = 3 = 3. α. Δείξετε ότι : =. β. Δείξετε ότι ο αριθμός γ. Δείξετε ότι : 3 = είναι πραγματικός. Υπόδειξη: α. υψώνουμε στο τετράγωνο β. Αρκεί να δείξουμε ότι ο συζυγών ή αρκεί να δείξουμε = Πανελλαδικές 005 είναι άθροισμα γ. 3 = 3 = 3 =... ή =..με 9 = κλπ Α.9 Να βρεθεί ο α αν είναι γνωστό ότι ο μιγαδικός i 3 = a ( a ) i Απάντηση: =... a= 3 Α.0 i και Αν, να δειχτεί ότι: Im( ) = Re( ) i Υπόδειξη: ( = )... y = x i i κλπ Α. 3 Έστω = ( i) a( i) β 4. Να βρείτε τα α,β, ώστε =0 Απάντηση: α= και β=6 Α. Να βρείτε το x, ώστε ο μιγαδικός ( x ii ) i = I x i Απάντηση:... = x= 4 5

4 Αν Α.3 i i Α.4 Μιγαδικοί Αριθμοί = (3 4 ) (4 3 ) να αποδειχτεί ότι Να βρείτε το α ώστε ο w = Α.5 Αν ισχύει Α.6 6 =4 α αi αi να δείξετε ότι = 4 Υπόδειξη: Δείξτε ότι να είναι φανταστικός Υπόδειξη: w w... = με χρήση ιδιοτήτων = αδύνατη a a = 0 Υπόδειξη: Υψώνουμε κατά μέλη στο τετράγωνο.. = 6 ν i 3 Να δείξετε ότι η εξίσωση ( i) = () με ν N*, C δεν έχει πραγματική λύση. 3i Υπόδειξη: Αν ρ ρίζα της εξίσωσης παίρνω τα μέτρα στην () και ρ=0, οπότε δεν επαληθεύει την () Α.7 Έστω * και w =. Αν η εικόνα των κινείται στην ευθεία x y= 3 να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής στην οποία κινείται η εικόνα των w. Υπόδειξη: Αντικαταστάσεις.και κύκλος Κ (, ) 6 3 και ρ= 5 6 Α.8 αi * Αν ω =, με α και αi, τότε να αποδειχθεί ότι: i α Α. ο ω είναι φανταστικός αριθμός αν και μόνο αν ο είναι φανταστικός αριθμός. B. ισχύει ω = αν και μόνο αν ο είναι πραγματικός αριθμός. Πανελλήνιες 99 Υπόδειξη: Α. ω = ω... = I Β. ω = υψώνουμε στο τετράγωνο και.

5 Α.9 Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει α w = είναι φανταστικός. α Υπόδειξη: Μιγαδικοί Αριθμοί = α, α, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός w με α α w= = = = α *... () και επειδή α... η () w=...=-w Α.0 Αν ισχύει ότι = τότε ο είναι πραγματικός αριθμός. Υπόδειξη: εφαρμογή μεθόδου 7 Α. Αν και w είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: Α. ( ) = Re( ) Β. w w w w Υπόδειξη: Πράξεις και ισχύει w = w Re( w) = = i Re( ) και Im( ) Α.

6 Μιγαδικοί Αριθμοί Β. Γεωμετρικοί τόποι Β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί =αβi, όπου α,β IR και w=3 ο συζυγής του. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α β4 Ιm(w)=3β α. i 4, όπου είναι β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο μέτρο. Β. Πανελλαδικές 003 Απάντηση: α. απλή β. Το Ιm(w)=y και το Re(w)= x.γ. Αν ε η ευθεία y=x- και ε η κάθετη σε αυτήν που διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε το σημείο τομής τους η εικόνα του ζητούμενου. ή βρίσκω το μέτρο του και το ελάχιστο αυτού. =-i ( i ) = Α. Να βρείτε γεωμετρικό τόπο των εικόνων των για τον οποίο ισχύει : Β. Να βρείτε γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w για τον οποίο ισχύει : Γ. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του w w i w 4i = x y= 4 Υπόδειξη: Α. Κατάλληλες πράξεις και κύκλος Κ(,) και ρ= Β. Ευθεία Γ. Β.3 i = -6i 5-3i () Έστω και Α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των για τον οποίο ισχύει η () Β. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του x y=6 Υπόδειξη: Α. Κατάλληλες πράξεις και ευθεία Β Β.4 Έστω ο μιγαδικός = xyi με x,y0r και y 0. Αν ω = - να δείξετε ότι ο γ.τ. των Μ(x,y) είναι μια υπερβολή της οποίας έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές. Υπόδειξη: εφαρμογή μεθόδου. Πανελλήνιες 984 ( x )... 3 y w= w = ( ) 3 3

7 Αν Β.5 Μιγαδικοί Αριθμοί με 6-i 8 να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του αριθμού -4i Β.6 Δίνεται ο μιγαδικός κινούνται στην υπερβολή. Αν ο αριθμός Υπόδειξη: εφαρμογή μεθόδου 9. 3 w = Ι να αποδειχθεί ότι τα σημεία Μ() 3 ( x ) y = με εξαίρεση το σημείο (,0). 4 8 Β.7 Έστω ότι = (x 3) (y ) i, με x,y. Να δείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (x,y) για τα οποία 3 i = 3, είναι κύκλος του οπίου να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα. Πανελλήνιες Απάντηση: Κ (, ) 3 και ρ= Β.8 Α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού, για τον οποίο ισχύει: i = 3 i i i Β. Αν για τους, με, i ισχύει : = = 3, να βρεθεί η μέγιστη τιμή i i του 5 Υπόδειξη: Α. Κύκλος κέντρου Κ (0, ) 3 i και ρ= Β. = 3 i = 3 i i δηλ (Α) ερώτημα. Η =3 μέγιστη όταν Α( ) και Β( ) αντιδιαμετρικά. Β.9 Οι μιγαδικοί,w έχουν αντίστοιχα εικόνες τα Μ και Μ. Αν κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας 3, να βρεθεί ο γ.τ. του σημείου Μ. w = και το σημείο Μ κινείται σε κύκλο Υπόδειξη: ος τρόπος: Αντικατάσταση και πράξεις ος τρόπος: =3 και w =..= 3

8 Μιγαδικοί Αριθμοί Γ. Γενικές Ασκήσεις Γ. Δίνεται η συνάρτηση Α) Να αποδειχθεί ότι ( )( ) f( ) = με και Re() 0. f ( ) = f( ). Β) Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί = ax β yi με α,β,x,y και αβx 0 ικανοποιούν τη σχέση Re[ f( )] = 0. Πανελλήνιες 993 Υπόδειξη: Α. αντικατάσταση και πράξεις Β. f( ) = f( α x βyι) =... οπότε Re[ f( )] = 0... έλλειψη Γ. x y ( ) ( ) α β Α. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς = αν α β ή στον κύκλο x y = ( ) αν α=β. a, ισχύει = αν και μόνο αν Re( ) = 0. Β. Έστω μια συνάρτηση f :[ α, β], συνεχής στο [ α, β ] και οι μιγαδικοί αριθμοί = a if( a), w= f( β) iβ με αβ 0. Αν εξίσωση f ( x ) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ α, β ]. w = w να αποδείξετε ότι η Πανελλήνιες 995 β Υπόδειξη: Α. μέθοδος 7 Β. Α πό (Α) : Re( w) = 0... w =... οπότε f(α)f(β)=- [ f( a)] α και θεώρημα Bolano. Γ.3