ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ"

Ξανθίππη Βενιζέλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

Π Δ Μ τμ. Μηχανικών Πληροφορικής & τμ. Μηχανολόγων Μηχανικών Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση I Μαθηματικά Ι ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Να δειχτεί ότι οι σειρές α) 4 + 6 + 3 8 + 4 0 +.

1 Π Δ Μ τμ. Μηχανικών Πληροφορικής & τμ. Μηχανολόγων Μηχανικών Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση I Μαθηματικά Ι ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Να δειχτεί ότι οι σειρές α) , β) δεν είναι συγκλίνουσες. 6 Οι δύο σειρές είναι οι α) + β). Είναι οπότε οι σειρές δεν είναι συγκλίνουσες. lim + = 0 lim = 0 Αν το -οστό μερικό άθροισμα της σειράς a είναι ίσο με s = +, να υπολογιστούν το a το a. Είναι a = s s = + a = lim s = Να ελεγχθεί η σύγκλιση των σειρών να υπολογιστούν τα αθροίσματα α) , δ) cos x. e 3, β) π, γ) 3+ e 3 = 3 ( e 3)

2 δηλαδή η σειρά είναι γεωμετρική με πρώτο όρο a = e 3 λόγο για τον οποίο είναι λ = e 3 συγκλίνουσα, οπότε e 3e = 3 3 e <. Άρα είναι π 3 + = 3 ( π ) 3 δηλαδή η σειρά είναι γεωμετρική με πρώτο όρο a = π 3 λόγο για τον οποίο είναι λ = π 3 σειρά απειρίζεται θετικά. >. Άρα η = όπου οι δύο σειρές είναι γεωμετρικές με λόγους για τους οποίους είναι λ = 3 5 < λ = 4 5 <, δηλαδή είναι συγκλίνουσες. Τελικά δ) Είναι cos x = 5 = ( cos x δηλαδή η σειρά είναι γεωμετρική σειρά με λόγο λ = cos x ) cos x = cos x cos x <, οπότε συγκλίνει στο R Να λυθεί η εξίσωση + 0 x + 0 x + 0 3x +... = 3. Το α μέλος γράφεται 0 ( )x = 0 x υπό την προϋπόθεση x < 0. Τελικά η λύση της εξίσωσης είναι x = log 3. Να βρεθούν οι τιμές του ρ για τις οποίες η σειρά + ρ + ρ + ρ 3 + ρ 4 + ρ συγκλίνει στο R. Σε αυτήν την περίπτωση, να υπολογιστεί το άθροισμα της σειράς. Είναι + ρ + ρ + ρ 3 + ρ 4 + ρ = ( + ρ) Η γεωμετρική σειρά συγκλίνει όταν < ρ <. Τότε ( ρ ) + ρ + ρ + ρ 3 + ρ 4 + ρ = + ρ ρ

3 Να υπολογιστεί η παράσταση Είναι = ( + )( + 3) = ( + ) + 3 δηλαδή η σειρά είναι τηλεσκοπική. Τελικά ο γενικός όρος της ακολουθίας μερικών αθροισμάτων είναι s = = 3 Να βρεθούν τα αθροίσματα α) 4, β) ( ). + + ( + ) Και στις δύο περιπτώσεις οι σειρές είναι τηλεσκοπικές: οπότε s = + οπότε s = + 4 = [ ] ( ) ( + ) 4 = ( + + ) ( + ) = ( + + ) ( + ) = + Να ελεγχθεί η σύγκλιση των σειρών α)!, β) +, γ) Γίνεται εφαρμογή του κριτηρίου σύγκρισης στις τρεις περιπτώσεις:! Η σειρά είναι συγκλίνουσα γεωμετρική, οπότε εξασφαλίζεται ότι η! είναι συγκλίνουσα. 3

4 + οπότε προκύπτει ότι η + απειρίζεται θετικά, αφού τέτοια συμπεριφορά έχει η. Εφόσον η σειρά > /3 απειρίζεται θετικά, ομοίως θα συμπεριφέρεται η / Να ελεγχθεί η σύγκλιση των σειρών α) +/, β) + 5 ( 3 + 3) 4. Κάνουμε εφαρμογή του κριτηρίου οριακής σύγκρισης: α) Αν a = b +/ =, διαπιστώνεται ότι lim a b κάνει η +/. β) Αν a = +5 ( 3 b +3) 4 =, διαπιστώνεται ότι lim a /3 b +5 ( 3 = +. +3) 4 =. H απειρίζεται θετικά, άρα το ίδιο θα =. Εφόσον /3 = +, θα είναι Να δειχτεί ότι η σειρά είναι συγκλίνουσα, χρησιμοποιώντας το κριτήριο σύγκρισης. log (log ) = Προκύπτει ότι (log ) log < > 000 Επομένως, οι προϋποθέσεις του κριτηρίου σύγκρισης ικανοποιούνται όταν > Εφόσον η είναι συγκλίνουσα, η σειρά = συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. (log ) log = Να ελεγχθούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές α)!, β) 3, γ) ()!, δ) 0 ( + ) 4 +. Εφαρμόζουμε σε κάθε περίπτωση του κριτήριο λόγου: οπότε η σειρά απειρίζεται θετικά. lim a + a = lim + = + > 4

5 οπότε η σειρά είναι συγκλίνουσα. lim a + a = 3 lim + + = 3 < οπότε η σειρά είναι συγκλίνουσα. lim a + a [ ] = 4 lim + = 4 e < δ) Είναι οπότε η σειρά είναι συγκλίνουσα. lim a + a = 0 6 lim + + = 0 6 < Να ελεγχθεί η σύγκλιση της σειράς!. Εφαρμογή του κριτηρίου του λόγου: Άρα η σειρά απειρίζεται θετικά. lim a + = lim ( + ( )+! a = lim + = e > ( + )! ) Να εξεταστεί η σύγκλιση των σειρών α) (+), β) + (!) ( ), γ) 4. + Εφαρμόζουμε στις τρεις περιπτώσεις το κριτήριο της -οστής ρίζας. η σειρά είναι συγκλίνουσα. οπότε η σειρά απειρίζεται θετικά. lim a = lim + lim + = e < [ lim a = lim ( )! ] = + Άρα η σειρά απειρίζεται θετικά. lim a = 4 = 4 + e > 5

6 Να εξεταστεί η σύγκλιση της σειράς si a για 0 < a < π/. Με εφαρμογή του κριτηρίου της ρίζας, διαπιστώνεται ότι lim a < όταν 0 < a < π 4 lim a > όταν π > a > π 4. Επιπλέον, για a = π 4 η σειρά παίρνει τη μορφή που είναι συγκλίνουσα. Επομένως, η σειρά συγκλίνει για 0 < a π 4 απειρίζεται θετικά για π > a > π 4. Να δειχτεί ότι οι σειρές α) , β) είναι συγκλίνουσες. 7 είναι εναλλασσόμενες, οπότε η σύ- Οι σειρές είναι οι α) ( )+ β) ( )+ + γκλισή τους αποδεικνύεται με το κριτήριο του Leibiz. Να ελεγχθεί η σύγκλιση της σειράς 3 3! Η σειρά είναι η ! ! ( ) ( ), με a + = ( )! a. Α τρόπος Η σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα (αποδεικνύεται εύκολα με το κριτήριο του λόγου), άρα είναι συγκλίνουσα. Β τρόπος Η σειρά είναι εναλλασσόμενη, οπότε με εφαρμογή του κριτηρίου Leibiz διαπιστώνεται πως είναι συγκλίνουσα Να ελεγχθεί η σύγκλιση των σειρών α) ( 3) 5, β) cos(πa) + b. lim a = lim 3 ( ) 5 = 3 5 < δηλαδή η σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα, άρα συγκλίνουσα. a = cos(πa) + b + b 6

7 Από το κριτήριο σύγκρισης προκύπτει ότι η σειρά είναι απολύτως συγκλίνουσα, άρα συγκλίνουσα 7

Σχετικά έγγραφα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 3: Σειρές Πραγματικών Αριθμών Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών