Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Transcript

1 18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα υοσύνολα του συντεταγµένων µε g( Α ) =Β, U n R, : n R, ανοικτό µε g U n R µετασχηµατισµός Α U και f : Β R ολοκληρώσιµη συνάρτηση Στην ερίτωση n= ( ερίτωση τριλού ολοκληρώµατος ) ο τύος (1) γράφεται: ( g( Α ) =Β, Α, Β R, g : U R, Α U R ) ( u, v, f d = f ( x( u, v,, y( u, v,, z( u, v, ) d( u, v, Β= g Α Α () όου ( u, v, x x x u v ω y y y συµβολίζει την ορίζουσα του ίνακα Jacobi u v ω z z z u v ω g u, v, ω = x u, v, ω, y u, v, ω, z u, v, ω µετασχηµατισµού συντεταγµένων Είσης αό τον τύο () για f z ) = 1 ( η σταθερή συνάρτηση ίση µε 1 ) αίρνουµε τον όγκο ( Β ) του Β : ( Β ) = d( u, v, ( u, v, Εφαρµογές 1) Ο µετασχηµατισµός των κυλινδρικών συντεταγµένων Έστω g : R R : g, θ, z = cos θ, sin θ, z δηλ x= cos θ, y= sinθ και z = z (1) Έεται ότι η g είναι µία C αεικόνιση καθώς οι συντεταγµένες συναρτήσεις x(, θ,, y(, θ,, z(, θ, της g είναι C διαφορίσιµες Η τριάδα (, θ, είναι οι κυλινδρικές συντεταγµένες ενός σηµείου R { (,, : z R} Με άλλα λόγια αν ένα σηµείο z ) δεν ανήκει στον άξονα των z, τότε µετατρέουµε το ( x, y ) σε ολικές συντεταγµένες και αφήνουµε την συντεταγµένη z αµετάβλητη Η αεικόνιση ου ορίζουν οι εξισώσεις (1) δεν είναι βέβαια 1 1, αν όµως εριορίσουµε κατάλληλα το εδίο ορισµού της γίνεται 1 1 Έτσι αν ααιτήσουµε θ, θ, g, +, R είναι 1 1 > και [ ) ( ή ( ] ) τότε η [ ) συνάρτηση και g( ) = R { (,, : z R}, όου (, ) [,) R (,, Α του = + R Έτσι αν δεν ανήκει στον άξονα των z οι εξισώσεις (1) έχουν µοναδική λύση θ Αν εριορίσουµε εραιτέρω την g στο ανοικτό

2 U = (, + ) (, ) R τότε και η g : U g( U) είναι µια αµφιδιαφόριση {,, : και } 19 g U = R x z x z R ανοικτό σύνολο Ο όρος κυλινδρικές συντεταγµένες δικαιολογείται αό το γεγονός ότι αν C = a, θ, z : θ,, z R, όου a θετική σταθερά τότε { [ ) } (,, ) : {, θ, z : a, θ, και z R} { x, y, z : x y a } g C = x y z x + y = a =κυλινδρική ειφάνεια ακτίνας a κάθετη στο xy είεδο Η εικόνα του [ ) είναι το Α= µέσω της g Β= +, δηλαδή το εσωτερικό του κυλίνδρου ακτίνας a µαζί µε την κυλινδρική ειφάνεια (, θ, ) = ( cos θ, sin θ, ) g ( (, ) [,) 1 = : { (,, ) : } και h (, θ, g z z Η αντίστροφη της h g R z z R = + R ) είναι η = µε = x + y και θ = η

3 µοναδική γωνία στο [, ) µεταξύ του θετικού ηµιάξονα Ox και της ηµιευθείας { t( x, y) : t } Η Ιακωβιανή ορίζουσα της αεικόνισης g είναι η (, θ, cos θ sin θ ( g) = sin θ cos θ = = det J 1 Εοµένως η g U (, ) (,) µε (,, ) : και = + R είναι ένας µετασχηµατισµός συντεταγµένων g U = R x z x z R, αφού g U 1 1, C διαφορίσιµη και det J = > εί του U g Ο τύος () γίνεται τότε για Α U, Α Jodan µετρήσιµο, Β= g( Α ) και f : Β R ολοκληρώσιµη συνάρτηση, f d = f ( cos θ, sin θ, d(, θ, και d(, θ, Β = Α Β Σηµείωση Οι κυλινδρικές συντεταγµένες είναι χρήσιµες για την ανααράσταση κυλινδρικών ειφανειών εκ εριστροφής µε άξονα τον z ' z Α Καρτεσιανή εξίσωση x + y = a κυλινδ εξίσωση = a κώνος x + y = z = z αραβολοειδές x + y = az = az υερβολοειδές x + y z = 1 = z + 1

4 1 ) Ο µετασχηµατισµός των σφαιρικών συντεταγµένων Θεωρούµε την αεικόνιση g : R R µε (,, ) ( ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ) g ρ θ ϕ = Η g είναι C διαφορίσιµη αεικόνιση και αν την εριορίσουµε σε κατάλληλο υοσύνολο του R γίνεται 1 1 Η g ερµηνεύεται γεωµετρικά ως εξής: Έστω R x, y, z να µην ανήκει µε στον άξονα των z Θέτοµε, ρ = x + y + z και αριστάνουµε τα x και y µε ολικές συντεταγµένες στο xy είεδο: x= cosθ και y= sinθ,όου = x + y και θ [, ) την ροβολή της ηµιευθείας { t : } δίνεται αό τον τύο z = ρ cosϕ, όου ϕ (, ) ηµιευθείας { t : } ορίζεται αό τον άξονα των z και το διάνυσµα z )) ( θ είναι η γωνία ου σχηµατίζει ο ηµιάξονας Ox µε t στο xy είεδο Η συντεταγµένη z η κυρτή γωνία µεταξύ της t και της ηµιευθείας Oz, ( εργαζόµαστε στο είεδο ου Χρησιµοοιώντας το εσωτερικό γινόµενο, µορούµε να εκφράσουµε την ϕ ως εξής: v κ 1 v κ cosϕ =, δηλαδή ϕ cos = v v εδοµένου ότι ρ sinϕ σηµείου (,, ) ( όου v= και (,,1) κ = ) = καταλήγουµε στις σφαιρικές συντεταγµένες (,, ) x y z ( µε x + y > ) ρ θ ϕ του x= ρ sinϕ cosθ, y= ρ sinϕ sinθ, z = ρ cosϕ όου ρ >, θ <, < ϕ < Παρατηρούµε ότι η g εριορισµένη στο (, ) [, ) (, ) g( Α ) = R { (,, : z R} Αν την εριορίσουµε στο ανοικτό U = (, + ) (, ) (, ) τότε g( U) R ( x,, : x, z R R ρ θ Α= + είναι 1 1 και = = Η g είναι τότε µια αµφιδιαφόριση µεταξύ των ανοικτών συνόλων U, R ϕ

5 Η Ιακωβιανή ορίζουσα της gστο ( ρ, θ, ϕ) R ευρίσκεται ως εξής: sinϕ cos θ ρ sinϕ sin θ ρ cosϕ cosθ = sinϕ sin θ ρ sinϕ cos θ ρ cosϕ sinθ cos ϕ ρ sin ϕ Ανατύσσοντας ως ρος την τρίτη γραµµή αίρνουµε: ρ sinϕ sin θ ρ cosϕ cosθ sinϕ cos θ ρ sinϕ sinθ = cosϕ ρ sinϕ = ρ, θ, ϕ ρ sinϕ cos θ ρcosϕsinθ sinϕ sin θ ρsinϕcosθ ρ cos ϕ sinϕ sin θ ρ cos ϕ sinϕ cos θ ρ sin ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ = ρ cos ϕ sinϕ ρ sin ϕ = ρ sinϕ Παρατηρούµε ότι det J g = ρ sinϕ εί του U = (, + ) (, ) (, ) Έεται ότι η g : U R {( x,, : x, z R} είναι ένας µετασχηµατισµός συντεταγµένων ( οι σφαιρικές συντεταγµένες µετασχηµατίζονται σε καρτεσιανές) Έτσι αν Α R Jodan µετρήσιµο µε U g Α =Β τότε Α και = ( ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ) ρ ϕ ( ρ θ ϕ) f x, y, z d x, y, z f sin cos, sin sin, cos sin d,, Β= g Α Α ( = ρ sinϕ, καθώς ϕ (, ) ( ρ, θ, ϕ) ρ sin ϕd( ρ, θ, ϕ) Β = ( ο όγκος του Β ) Α και sinϕ ) και Σηµειώσεις 1) Οι σφαιρικές συντεταγµένες ( σχετίζονται µε το γεωγραφικό µήκος και λάτος ) και είναι χρήσιµες στην ανααράσταση σφαιρών, κώνων καθώς και καταλλήλων ειέδων, ( ροβλήµατα ου αρουσιάζουν σφαιρική συµµετρία) a) Η σφαίρα ρ = α α > (β) O ηµικώνος ϕ = a < a<

6 (γ) κάθετο ηµιείεδο θ = a Ο όρος σφαιρικές συντεταγµένες δικαιολογείται αό τις ακόλουθες αρατηρήσεις (α) Αν g είναι ο µετασχηµατισµός καρτεσιανών σε σφαιρικές συντεταγµένες τότε ([, ] [,] [, ] ) (,, ) : (( ] [ ) [ ] ) το αραλληλείεδο [, a] [, ] [, ] Β (, a) a> ) και g a = x y z x + y + z a ( g, a,, = x, y, z : x + y + z a,, z : a z a δηλαδή αεικονίζεται στην κλειστή σφαίρα (β) Είσης ( [ ) [ ] ) Β (, a) g a,, = x, y, z : x + y + z = a =η ειφάνεια της (γ) Ακόµα αρατηρούµε ότι: g [, a] [, ], = : x + y + z a και z,, και ακτίνας a> ηµισφαίριο κέντρου =το άνω Παραδείγµατα 1) Βρείτε την εξίσωση σε κυλινδρικές συντεταγµένες της ειφάνειας z= x + y ( ελλειτικό αραβολοειδές ) Λύση Θέτοµε z= z, x= cosθ και y= sinθ

7 4 ( cosθ) ( sinθ) ( cos θ sin θ) (( 1 sin θ) + sin θ) = ( 1+ sin θ) z= x + y = + = + = )Να βρεθεί ο όγκος του στερεού χωρίου Β στο ρώτο ογδοηµόριο του χώρου ου φράσσεται αό τον κύλινδρο x + y = y τον ηµικώνο είεδο Λύση Η καµύλη x y y z = x + y και το xy + = στο xy είεδο είναι ο κύκλος κέντρου (,1 ) και ακτίνας 1 ( x y y x + y 1 = 1) Άρα η ειφάνεια + = { x, y, z : x y y και z R} + = είναι κυλινδρική µε ακτίνα 1 και άξονα την κάθετη ευθεία στο xy είεδο και στο σηµείο (,1 ) Η ειφάνεια µε εξίσωση z = x + y z = x + y και z> είναι ο ορθός κώνος µε κορυφή στο (,, ) ου βρίσκεται στον άνω ηµίχωρο µε άξονα τον άξονα των z και µε γενέτειρα µια ηµιευθεία του άνω ηµίχωρου ου σχηµατίζει γωνία 4 µε την ηµιευθεία Ο z ( Η z x y της Ευκλείδειας νόρµας του f x, y = x + y δηλαδή = +, είναι το γράφηµα της R ) Οι εξισώσεις του κυλίνδρου και του κώνου σε κυλινδρικές συντεταγµένες είναι = sinθκαι z = αντίστοιχα Κύλινδρος: x + y = y = sinθ = sinθ Κώνος: z = x + y και z = Το Β σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι χωρίο τύου 1: {( x, y, : y, x y y } και z x y Β= +

8 5 Εειδή το στερεό χωρίο Β βρίσκεται στο ρώτο όγδοηµόριο του χώρου xyz ( x, y και z ), έχουµε ότι θ Έτσι το χωρίο Β= g( Α ) εριγράφεται σε κυλινδρικές συντεταγµένες ως εξής: z, sinθ και θ ( Σηµειώνουµε ότι ο ηµιδίσκος { x, y : y και x y y } του xy ειέδου εριγράφεται στο ολικό είεδο θ ως (, θ) : θ και sinθ ) Το στερεό χωρίο Α= (, θ, : θ, sin θ και z ( όου ϕ1 (, θ ) = και ϕ (, θ ) = ) είναι του τύου 1 στον χώρο θ z καθώς η ροβολή του στο ολικό είεδο θ είναι χωρίο τύου Έτσι έχουµε αό τον τύο αλλαγής µεταβλητής σε κυλινδρικές συντεταγµένες σε συνδυασµό µε την γνωστή συνέεια του θεωρήµατος Fubini ( ου αφορά την διαδοχική ολοκλήρωση ) ( θ ) sinθ = ddθ = Β = d x, y, z = d,, z = dzddθ = sinθ = Β= g Α Α 8 8 dθ = sin θdθ = ( 1 cos θ) sinθdθ = sinθ ( Για τον υολογισµό του ολοκληρώµατος : έχουµε sin θdθ = ( θ) 1 8 cos θ 16 cos θ + = 9 1 cos sinθdθ = ( 1 cos θ) d( cosθ) = ( 1 t ) dt t = t =, θέτοντας t = cosθ ) = ( ) t dt )Γράψτε τις ακόλουθες εξισώσεις σε σφαιρικές συντεταγµένες: (α) της σφαίρας x + y + z = a ( a> ), (β) του αραβολοειδούς z= x + y Λύση Έχουµε ότι x= ρ sinϕ cos θ, y= ρ sinϕ sin θ, z= ρ cosϕ (1) ( σφαιρικές καρτεσιανές ) (α) Εειδή ρ = x + y + z ρ = x + y + z ρ = a ρ = a αφού ρ > Άρα η εξίσωση της σφαίρας σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι ρ = a (β) z= x + y Αό τις εξισώσεις (1) λαµβάνουµε = + ( ρ ϕ θ) ρ cosϕ ρ sin ϕ( cos θ sin θ) ρ cosϕ ρ sinϕ cosθ sin sin ρ sin cosϕ ϕ ρ = sin ϕ = + =

9