Σύντομη μαθηματική εισαγωγή

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σύντομη μαθηματική εισαγωγή"

Σωφρονία Μεταξάς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σύντομη μαθηματική εισαγωγή (ή πώς να γίνουν ομοιογενείς 250 φοιτητές από 130 διαφορετικά Σχολεία δύο διαφορετικούς δασκάλους ο καθένας) με δύο Α. Καραμπαρμπούνης, Βασισμένη & στις διαφάνειες από την ιστοσελίδα του Χ. Τρικαλινού :

2 o g b f ( ) d a r n c o s r a d s i n c t u a b l a d r i i v Δ l arcsinφarcsin

3 Θα εξετάσουμε... # Συστήματα συντεταγμένων 1,2 & 3 διαστάσεις Διανύσματα - εσωτερικό / εξωτερικό γινόμενο / ασκήσεις Παράγωγος (και μερική) - ασκήσεις Διαφορικό - ασκήσεις Μερική παράγωγος - ασκήσεις Διαφόριση παραγώγιση διανύσματος Αόριστο - Ορισμένο ολοκλήρωμα - ασκήσεις Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα Βαθμίδα Απόκλιση - Στροβιλισμός

4 Στη γενική περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε άπειρα συστήματα συντεταγμένων τα οποία να μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου. Στη Φυσική χρησιμοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουμε εδώ. Θα εξετάσουμε τα συστήματα ανάλογα με τις διαστάσεις του προβλήματος ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Ορίζουμε τον άξονα Ορίζουμε την αρχή Προσανατολίζουμε (+/-) Μονάδα μέτρησης π.χ. m - -1, Κάθε σημείο προσδιορίζεται μονοσήμαντα - < <

5 ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ (καρτεσιανό) Καρτεσιανό Σύστημα Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A - < < - < < Α (,) Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών,.

6 ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ (πολικό) Πολικό Σύστημα Για να προσδιορίσουμε τη θέση του σημείου Α πρέπει να χρησιμοποιήσουμε και πάλι ένα ζεύγος τιμών. Την απόσταση από την αρχή των αξόνων ρ Τη γωνία φ που μετριέται από το θετικό ημιάξονα αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού (ccw) Το σχεδιάζουμε μαζί με το καρτεσιανό για να καταλάβουμε τη σχέση μεταξύ τους 0 ρ Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από ζεύγος τιμών ρ, φ. φ Α (ρ,φ) 0 < 0 < 2

7 Συμβολισμοί (διεθνώς) : ημφ=sinφ συν=cosφ εφφ=tanφ=tgφ σφφ=cotφ=ctgφ τοξημ= τοξσυν= τοξεφ= τοξσφ= arcsin = arccos arctan = arcctg= sin -1 arctg arccot sin30 ο = ημ30 ο = 0,5 arcsin(0,5)=sin -1 (0,5)=30 ο

8 Σχέση μεταξύ Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Γεωμετρικά βρίσκουμε εύκολα ότι = cos = sin Με συμβολισμούς ημφ=sinφ συν=cosφ εφφ=tanφ=tgφ σφφ=cotφ=ctgφ = Α ρ φ 0 ( 2 2 ) 2 cos + sin 2 =

9 ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Καρτεσιανό Σύστημα (δεξιόστροφο) Τρεις κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A - < < - < < - < < Α (,,) Έστω σημείο Α στο χώρο Η θέση του A προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή του Α στο επίπεδο και βρούμε τις Α, Α και την προβολή του Α στον άξονα. A 0 Α A Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη,,.

10 ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Κυλινδρικό Σύστημα Ουσιαστικά πρόκειται για το πολικό σύστημα στο επίπεδο (π.χ. το,) σε 3 διαστάσεις Με την προσθήκη ενός άξονα (εδώ του ) Έστω σημείο Α στο χώρο Η θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή του Α στο επίπεδο και βρούμε τις ρ Α, φ Α και την προβολή του Α στον άξονα. 0 A φ Α ρ Α 0 < < 0 < 2 - < < Α Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη ρ, φ,. Α (ρ,φ,)

11 Το τόξο ΑΒ : A rdθ r dθ r B Ο

12 Στοιχειώδης όγκος dv = r dr dθ d (r+dr)dθ=rdθ+drdθ 0 dv=ddd r+dr

13 ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Κυλινδρικό; Εάν διατηρήσουμε σταθερό το ρ, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και το σχηματίζεται κύλινδρος Το σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με κυλινδρική συμμετρία, π.χ. μαγνητικό πεδίο ρευματοφόρου αγωγού. 0 Α Α

14 ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση συντεταγμένων Κυλινδρικού και Καρτεσιανού Συστήματος Από το σχήμα, αλλά και από τις σχέσεις τις οποίες βρήκαμε Α(,,) για το πολικό σύστημα στο επίπεδο έχουμε: A(ρ,φ,) = cos = sin = SOS 0 φ ρ Α

16 Σφαιρικό Σύστημα Η θέση του Α προσδιορίζεται από τα εξής μεγέθη: ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ θ Α 0 r < 0 < 2 0 Α (r,θ,φ) Την απόσταση r Α από την αρχή O Την γωνία φ Α που ορίζεται όπως και η πολική. Την γωνία θ Α που μετριέται πάντα από το θετικό ημιάξονα 0 φ Α r Α Α Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται από τρία μεγέθη r, φ, θ.

18 ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Σχέση μεταξύ Σφαιρικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων Από το σχήμα εύκολα παίρνουμε: = ( )cos = ( )sin ( ) = r sin = (OP) = r cos Τελικά: = r sin cos = r sin sin = r cos SOS Ρ Ο θ φ θ r Α(,,) Α A(r,θ,φ)

19 ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Γιατί λέγεται το σύστημα Σφαιρικό; Εάν διατηρήσουμε σταθερό το r, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και το θ σχηματίζεται σφαίρα Το σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με σφαιρική συμμετρία, π.χ. βαρυντικό πεδίο της Γης. 0 φ θ r

20 r r+dr, θ θ+dθ, φ φ+dφ Ρ r dφ dθ dr A B Ε Δ dv= = (ΑΕ( ΑΕ)( )(ΑΒ)(ΑΔ) Θ Ζ Γ Η dv=d =dr rdφ rsinθdθ (ΑΕ)=dr (AB)=rdθ (ΑΔ)=(ΡΑ) dφ (ΡΑ)=rsinθ

Σχετικά έγγραφα

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η