X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "X 1 X 2. X d X = 2 Y (x) = e x 2. f X+Y (x) = f X f Y (x) = f X (y)f Y (x y)dy. exp. exp. dy, (1) f X+Y (x) = j= σ2 2) exp x 2 )"

Transcript

1 Εστω X : Ω R d τυχαίο διάνυσμα με ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ X Εχουμε δει ότι η γνώση της κατανομής καθεμιάς από τις X, X,, X d δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την κατανομή του X, αφού δεν περιέχει πληροφορία για το πώς αυτές σχετίζονται μεταξύ τους Είναι δυνατόν να περιγράψουμε την κατανομή του X χρησιμοποιώντας μια μεγαλύτερη συλλογή από μονοδιάστατες κατανομές; Το ακόλουθο λήμμα που δεν θα αποδείξουμε απαντά θετικά, αν η συλλογή περιλαμβάνει την κατανομή των προβολών του X σε οποιαδήποτε κατεύθυνση του R d Λήμμα Η κατανομή του τυχαίου διανύσματος X : Ω R d προσδιορίζεται πλήρως από την κατανομή των πραγματικών τυχαίων μεταβλητών {l T X} l R d, όπου l T X l j X j X X X d j Ορισμοί Ορισμός Θα λέμε ότι το τυχαίο διάνυσμα X : Ω R d ακολουθεί d-διάστατη κανονική κατανομή, αν για κάθε l R d η πραγματική τυχαία μεταβλητή l T X ακολουθεί κανονική κατανομή Το ακόλουθο λήμμα εξασφαλίζει ότι αν οι συνιστώσες του X είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές, τότε το X ακολουθεί d-διάστατη κανονική κατανομή σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε Λήμμα Αν οι X, X,, X d είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές, τότε για κάθε l R d l T X N, l Απόδειξη: Αν οι X και Y είναι ανεξάρτητες τμ με X N, σ και Y N, σ οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητάς τους είναι οι f X x e x σ και f πσ Y x e x σ πσ Επομένως η X + Y έχει συνεχή κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας όπου f X+Y x f X f Y x + + f X yf Y x ydy y exp πσ σ σ + xy σ σ πσ + σ exp x + σ + σ x σ dy πσ exp y µ dy, µ σ x σ + και σ σ σ σ σ + σ Παρατηρήστε ότι η ποσότητα μέσα στο ολοκλήρωμα στην είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής N µ, σ Επομένως το ολοκλήρωμα στην ισούται με και f X+Y x πσ + σ exp x σ + σ σ

2 Βλέπουμε λοιπόν ότι X + Y N, σ + σ Επεκτείνοντας επαγωγικά αυτό το συμπέρασμα για το άθροισμα d ανεξάρτητων κανονικών τυχαίων μεταβλητών και εφαρμόζοντάς το για τις {l i X i } i d, έχουμε πως l T X l i X i N, l i, που είναι και ο ισχυρισμός του λήμματος Η ακόλουθη πρόταση περιγράφει τις παραμέτρους μιας κανονικής κατανομής στον R d i Πρόταση Η κατανομή του d-διάστατου τυχαίου διανύσματος X προσδιορίζεται από το διάνυσμα μέσων τιμών µ µ m με µ i E [ X i, i,,, d µ d i και τον πίνακα συνδιακυμάνσεων Σ Σ Σ d Σ Σ Σ d Σ Σ d Σ d Σ dd με Σ ij Cov X i, X j, i, j,,, d Απόδειξη: Η κανονική κατανομή σε μία διάσταση προσδιορίζεται από δύο παραμέτρους, τη μέση τιμή και τη διασπορά της Από το Λήμμα συμπεραίνουμε ότι η κατανομή μιας d-διάστατης κανονικής τυχαίας μεταβλητής X προσδιορίζεται πλήρως, αν γνωρίζουμε για κάθε l R d τη μέση τιμή και τη διασπορά της τυχαίας μεταβλητής l T X Εχουμε όμως ότι Επίσης, E [ l T X E [ d l i X i i V [ l T X Cov l T X, l T X Cov d l i X i, Επόμενως η κατανομή του X προσδιορίζεται από τα m και Σ i l i E [ X i l T m i l j X j j l i l j Cov X i, X j l T Σl 4 i,j Ορισμός Θα συμβολίζουμε με N m, Σ την d-διάστατη κανονική κατανομή που έχει παραμέτρους m R d και Σ Π d d και θα γράφουμε X N m, Σ Επομένως X N m, Σ l T X N l T m, l T Σl, για κάθε l R d 5 Παράδειγμα Στην περίπτωση που εξετάσαμε στο Λήμμα, όπου οι X,, X d είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές, έχουμε ότι X N, I Γραμμικοί μετασχηματισμοί - Περιθώριες κατανομές Θεώρημα Κάθε γραμμικός μετασχηματισμός μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής ακολουθεί κανονική κατανομή Συγκεκριμένα, αν X N m, Σ με m R d, Σ Π d d και A Π d, b R, τότε για το τυχαίο διάνυσμα Y AX + b στον R έχουμε Y N Am + b, AΣA T

3 Απόδειξη: Εστω l R Εχουμε ότι Εφόσον A T l R d και X N m, Σ έχουμε ότι Επομένως, η 6 δίνει ότι l T Y l T AX + b l T AX + l T b A T l T X + l T b 6 A T l T X N A T l T m, A T l T ΣA T l N l T Am, l T AΣA T l l T Y N l T Am + b, l T AΣA T l για κάθε l R Αυτό όμως είναι από τον ορισμό 5 ο ισχυρισμός του Θεωρήματος Πόρισμα Αν το X είναι τυχαίο διάνυσμα στον R d που ακολουθεί κανονική κατανομή και Y P X είναι η προβολή του X σε κάποιον υπόχωρο του R d διάστασης, τότε το Y ακολουθεί κανονική κατανομή σε διαστάσεις Ειδικότερα, η περιθώρια κατανομή μιας πολυδιάστατης κανονικής κατανομής είναι επίσης κανονική Παράδειγμα Εστω X τυχαίο διάνυσμα στον R που ακολουθεί κανονική κατανομή N m, Σ με m και Σ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε την περιθώρια κατανομή του ζεύγους X, X Από το προηγούμενο πόρισμα, το ζεύγος ακολουθεί κανονική κατανομή Οι παράμετροι αυτής της κατανομής μπορούν να διαβαστούν από τις παραμέτρους της X Πράγματι, E [ X µ και E [ X µ, ενώ Επομένως, Cov X, X Σ, Cov X, X Cov X, X Σ Σ, Cov X, X Σ X X N m, Σ, όπου m και Σ Παρατηρήστε ότι οι παράμετροι της περιθώριας κατανομής προκύπτουν από εκείνες της πλήρους κατανομής, αν διαγράψουμε τις στήλες και τις γραμμές που αντιστοιχούν στις μεταβλητές που δεν μας ενδιαφέρουν εδώ στη X Πόρισμα Σε κάθε διάνυσμα m R d και σε κάθε συμμετρικό θετικά ορισμένο πίνακα Σ αντιστοιχεί μία d-διάστατη κανονική κατανομή Απόδειξη: Από την βλέπουμε ότι ο πίνακας συνδιακυμάνσεων Σ μιας d-διάστατης κανονικής κατανομής είναι συμμετρικός Από την 4 βλέπουμε ότι ο Σ είναι θετικά ορισμένος δηλ l T Σl, για κάθε l R d και μάλιστα Σl αν και μόνο αν το τυχαίο διάνυσμα X παίρνει τιμές στο υπερεπίπεδο {x R d : l T x c} με πιθανότητα, για κάποιο c R Αντίστροφα, κάθε συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας Σ μπορεί να γραφεί ως Σ LL T πχ ανάλυση Cholesky Μάλιστα, αν rakσ k d τότε μπορούμε να επιλέξουμε τον L ώστε να είναι ένας d k πίνακας Ας θεωρήσουμε τώρα το τυχαίο διάνυσμα Z στον R k με Z,, Z k ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές και ας ορίσουμε X LZ + m Από το Λήμμα και το Θεώρημα έχουμε ότι X N m, Σ Εχουμε δει ότι αν μια συλλογή από τυχαίες μεταβλητές {X i } i d είναι ανεξάρτητες, τότε είναι και ασυσχέτιστες ενώ το αντίστροφο δεν είναι εν γένει σωστό Η ανεξαρτησία είναι επομένως πιο ισχυρή συνθήκη από τη μηδενική συσχέτιση Με τη βοήθεια του Λήμματος θα δείξουμε ότι στο πλαίσιο των από κοινού κανονικών τυχαίων μεταβλητών οι δύο έννοιες ταυτίζονται Θεώρημα Αν X είναι ένα τυχαίο διάνυσμα στον R d με X N m, Σ, τότε οι {X i } i d είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν είναι ασυσχέτιστες, δηλαδή Cov X i, X j για i j

4 Απόδειξη: Αρκεί να αποδείξουμε ότι αν Cov X i, X j για i j, τότε οι {Xi } i d είναι ανεξάρτητες Πράγματι, σ αυτήν την περίπτωση από την έχουμε ότι ο πίνακας συνδιακυμάνσεων Σ είναι διαγώνιος, Σ diag [ Σ,, Σ dd diag [ V X,, V X d Χωρίς βλάβη υποθέτουμε ότι Σ ii V X i > για κάθε i,,, d Σε διαφορετική περίπτωση η X i θα ήταν σταθερή με πιθανότητα, επομένως ανεξάρτητη από οποιεσδήποτε άλλες τυχαίες μεταβλητές Ορίζουμε τώρα τον γραμμικό μετασχηματισμό Y i X i µ i Σii, i,,, d Από το Θεώρημα για το τυχαίο διάνυσμα Y που έχει συντεταγμένες τις Y i έχουμε Y N, I Από το Λήμμα έχουμε ότι οι {Y i } i d είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές Επομένως και οι {X i } i d θα είναι ανεξάρτητες αφού X i Σ ii Y i + µ i για i,, d Παράδειγμα Αν οι X, Y είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές, θα δείξουμε ότι οι U, W με U X + Y και W X Y είναι επίσης ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές Εφόσον τον ζεύγος X, Y ακολουθεί κανονική κατανομή σε διαστάσεις Λήμμα και U W X Y συμπεραίνουμε αμέσως ότι το ζεύγος U, V ακολουθεί κανονική κατανομή σε δύο διαστάσεις Μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους της κατανομής των U, V είτε από το Θεώρημα είτε παρατηρώντας ότι E [ U E [ X + E [ Y και ομοίως E [ W, ενώ V U V W V X + V Y και Cov U, W Cov X + Y, X Y Παράδειγμα 4 Αν οι X,, X είναι ανεξάρτητες, ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με X i N µ, σ και τότε οι X X και X είναι ανεξάρτητες X X X X X + + X, Από το Θεώρημα το ζεύγος X X, X ακολουθεί κανονική κατανομή σε δύο διαστάσεις αφού X X Από το Θεώρημα αρκεί να ελέγξουμε ότι Cov X X, X Πράγματι, Cov X X, X Cov X, X Cov X, X j Cov X, X j X i,j Cov X i, X j Φυσικά δεν υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για τη μεταβλητή X Θα μπορούσαμε με τον ίδιο τρόπο να δείξουμε ότι οι X i X και X είναι ανεξάρτητες

5 Παράδειγμα 5 Αν το ζεύγος X, Y ακολουθεί κανονική κατανομή σε δύο διαστάσεις τότε καθεμιά από τις τυχαίες μεταβλητές X και Y ακολουθεί κανονική κατανομή Αυτό είναι άμεση συνέπεια του ορισμού, παίρνοντας ως l το μοναδιαίο διάνυσμα σε κάθε κατεύθυνση Ισχύει άραγε το αντίστροφο εν γένει; Είναι δηλαδή σωστό ότι αν X N µ, σ και Y N µ, σ τότε το ζεύγος X, Y ακολουθεί κανονική κατανομή σε δύο διαστάσεις; Η απάντηση είναι αρνητική Θεωρήστε για παράδειγμα X N,, μια τυχαία μεταβλητή Z ανεξάρτητη από τη X, η οποία παίρνει τις τιμές + ή - με πιθανότητα την καθεμία και ορίστε Η Y ακολουθεί επίσης κανονική κατανομή Πράγματι, Y X Z F Y t P [ Y t P [ Y t, Z + + P [ Y t, Z P [ X t, Z + + P [ X t, Z P[ X t + P[ X t Μπορεί κανείς να δει, διακρίνοντας περιπτώσεις ανάλογα με το αν t ή t <, ότι η τελευταία έκφραση είναι πάντα η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της τυπικής κανονικής κατανομής Φt Επομένως Y N, Επιπλέον, το ζεύγος X, Y δεν ακολουθεί κανονική κατανομή σε δύο διαστάσεις Αν αυτό συνέβαινε, τότε από τον ορισμό η τυχαία μεταβλητή X + Y θα ακολουθούσε κανονική κατανομή Εχουμε όμως επομένως η κατανομή της X + Y δεν είναι καν συνεχής Δεσμευμένες κατανομές P [ X + Y P [ X, Z + + P [ X, Z, Μια πολύ χρήσιμη συνέπεια του Θεωρήματος είναι ότι, αν το ζεύγος X, Y ακολουθεί κανονική κατανομή, τότε μπορούμε να αναλύσουμε την Y σε δύο συνιστώσες, μία που είναι πολλαπλάσιο της X και μία που είναι ανεξάρτητη από την X Λήμμα Εστω ζεύγος X, Y που ακολουθεί κανονική κατανομή σε διαστάσεις, με V X > Τότε Y λx + Z, όπου λ Cov X, Y V X και η τυχαία μεταβλητή Z είναι ανεξάρτητη της X και ακολουθεί κατανομή N E [ Y λe [ X, V Y λ V X Απόδειξη: Ορίζουμε Z Y Cov X, Y V X Το ζεύγος X, Z ακολουθεί κανονική κατανομή αφού το ζεύγος X, Y ακολουθεί κανονική κατανομή και X X Z λ Y Επιπλέον, Cov X, Z Cov X, Y λx Cov X, Y λcov X, X Από το Θεώρημα οι X και Z είναι ανεξάρτητες Από το Πόρισμα η Z ακολουθεί κανονική κατανομή Για να βρούμε τις παραμέτρους της κατανομής της Z παρατηρούμε ότι ενώ εφόσον οι λx, Z είναι ανεξάρτητες έχουμε ότι X E [ Y λe [ X + E [ Z E [ Z E [ Y λe [ X, V Y V λx + V Z V Z V Y λ V X

6 Ως τώρα δεν έχουμε δει έναν τύπο για την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ενός ζεύγους X, X που ακολουθεί κανονική κατανομή σε δύο διαστάσεις Θα ασχοληθούμε τώρα με αυτό το πρόβλημα Θεώρημα Εστω ζεύγος τυχαίων μεταβλητών X, X που ακολουθεί κανονική κατανομή N m, Σ σε διαστάσεις Αν ο πίνακας συνδιακυμάνσεων Σ είναι αντιστρέψιμος, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του ζευγους δίνεται από τον τύπο! h x µ x µ x µ x µ i p exp + ρ, f x, x ρ σ σ σ σ πσ σ ρ όπου σi Σii είναι η τυπική απόκλιση της Xi και ρ ΣΣΣ είναι ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης των X, X Μπορούμε να γράψουμε την πυκνότητα και σε πιο συμπαγή μορφή ως x mt Σ x m p f x exp 7 π detσ Απόδειξη: Η ιδέα της απόδειξης είναι να χρησιμοποιήσουμε το Λήμμα ώστε να γράψουμε το ζεύγος X, X ως γραμμικό μετασχηματισμό ενός ζεύγους U, V όπου οι U και V είναι ανεξάρτητες κανονικές τυχαίες μεταβλητές Η πυκνότητα του ζεύγους U, V θα είναι τότε γνωστή και μπορούμε να φτάσουμε από αυτήν στην πυκνότητα του ζεύγους X, X Συγκεκριμένα από το Λήμμα έχουμε ότι X Σ X + V Σ Σ όπου η V είναι ανεξάρτητη της X και ακολουθεί κατανομή N µv, σv, όπου µv µ Σ Σ µ και σv Σ Σ Αν θέσουμε U X, εφόσον οι U και V είναι ανεξάρτητες, η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητάς τους δίνεται από την v µv u µ p exp fu,v u, v fx ufv v p exp σ σv πσv πσ Εχουμε όμως X, X ΨU, V, όπου Ψu, v u, Σ Σ u + v Η Ιακωβιανή του αντίστροφου μετασχηματισμού u, v x, Σ /Σ x + x είναι ίση με Jx, x Σ Σ Επομένως fx,x x, x fu,v x, x Σ Σ x fx x fv x x Σ Σ 8 Το υπόλοιπο της απόδειξης είναι απλές αλγεβρικές πράξεις που μπορείτε να επιβεβαιώσετε εύκολα y y z x ρ y Στο ακόλουθο Σχήμα φαίνονται δείγματα του ζεύγους X, Y για διάφορες τιμές του συντελεστή συσχέτισης ρ Σε όλες τις περιπτώσεις έχουμε X N, και Y N, x ρ x ρ x ρ +8

7 Πόρισμα Αν το ζεύγος τυχαίων μεταβλητών X, X ακολουθεί κανονική κατανομή N m, Σ σε διαστάσεις, τότε η δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της X δεδομένης της X δίνεται από την f X X y x f V y Σ Σ x πσ ρ exp Σ ρ y µ Σ x µ Σ Μπορούμε επομένως να πούμε ότι η δεσμευμένη κατανομή της X δεδομένου ότι X x είναι κανονική, με μέση τιμή E [ X X x µ + Σ Σ x µ και διασπορά V X X x Σ ρ Απόδειξη: Προκύπτει άμεσα από την 8 και τους τύπους για τις µ V και σ V Αν οι X, X έχουν θετική συσχέτιση Σ > και ξέρουμε ότι η X πήρε μια τιμή x μεγαλύτερη από τη μέση τιμή της, παρατηρήστε ότι η δεσμευμένη μέση τιμή της X είναι κι αυτή μεγαλύτερη από τη μέση τιμή µ της X Αντίθετα, αν Σ <, η E [ X X x αποκλίνει από την µ προς την αντίθετη κατεύθυνση από εκείνη που η x αποκλίνει από την µ Παρατηρήστε τέλος ότι η γνώση της τιμής της X μειώνει την αβεβαιότητά μας για την X όταν υπάρχει κάποια μεταξύ τους συσχέτιση ρ Πράγματι, η εκ των προτέρων διασπορά της τυχαίας μεταβλητής X είναι V X Cov X, X Σ, ενώ η διασπορά της X με δεδομενη την X είναι V X X x Σ ρ < Σ Παράδειγμα 6 Το ζευγάρι τυχαίων μεταβλητών X, Y ακολουθεί κανονική κατανομή σε διαστάσεις με μέση τιμή m και πίνακα συνδιακυμάνσεων Σ Η περιθώρια κατανομή της Y είναι κανονική με μέση τιμή µ και διασπορά Σ Επομένως η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Y είναι f Y y exp y, y R 4π 4 Με δεδομένο ότι X x, η δεσμευμένη κατανομή της Y είναι κανονική με μέση τιμή µ + Σ x µ + x x Σ και διασπορά Επομένως Σ ρ Σ Σ Σ f Y X y x y x exp, y R π Θα γενικεύσουμε τώρα το Λήμμα και τις συνέπειές του σε περισσότερες διαστάσεις Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι το X είναι ένα τυχαίο διάνυσμα με τιμές στον R d και X N m X, Σ XX και αντίστοιχα ότι το Y είναι ένα τυχαίο διάνυσμα με τιμές στον R και Y N m Y, Σ Y Y Θα υποθέσουμε ακόμα ότι το τυχαίο διάνυσμα W στον R d+ με X W Y ακολουθεί κανονική κατανομή N m, Σ στον R d+ Θα έχουμε τότε mx ΣXX Σ XY m και Σ m Y Σ Y X Σ Y Y

8 Οι πίνακες Σ XY και Σ Y X που εμφανίζονται στην παραπάνω σχέση περιέχουν τις συνδιακυμάνσεις συντεταγμένων των X και Y Συγκεκριμένα ο Σ XY είναι ένας d πίνακας με Σ XY ij Cov X i, Y j, i d, j, ενώ ΣY X Σ T XY Ας προσπαθήσουμε τώρα να βρούμε έναν d πίνακα Λ ώστε Y ΛX + Z 9 όπου το τυχαίο διάνυσμα Z ακολουθεί κανονική κατανομή στον R και είναι ανεξάρτητο του X Η παραπάνω σχέση σημαίνει Y j Λ ji X i + Z j, j,,, i Παίρνοντας τη συνδιακύμανση των δύο μελών με την τυχαία μεταβλητή X k, για k d έχουμε ότι επομένως Cov d Y j, X k Cov Λ ji X i, X k + Cov Zj, X k i Λ ji Cov X i, X k, i Σ Y X jk Λ Σ XX jk, k d, j Βλέπουμε δηλαδή ότι αν η 9 ισχύει για κάποιο Z ανεξάρτητο του X θα πρέπει Σ Y X Λ Σ XX Το ακόλουθο Λήμμα γενικεύει το Λήμμα σε πολλές διαστάσεις Λήμμα 4 Εστω ζεύγος τυχαίων διανυσμάτων X, Y N m, Σ σε d + διαστάσεις, με mx ΣXX Σ XY m και Σ m Y και Σ XX αντιστρέψιμο Τότε Y Λ X + Z, και το τυχαίο διάνυσμα Z στον R είναι ανεξάρτητο του X με Σ Y X Σ Y Y όπου Λ Σ Y X Σ XX Π d Z N m Y Λ m X, Σ Y Y Σ Y X Σ XX Σ XY Απόδειξη: Η απόδειξη ακολουθεί τα επιχειρήματα της μονοδιάστατης περίπτωσης Ορίζουμε Z Y Σ Y X Σ XX X Το ζεύγος X, Z ακολουθεί κανονική κατανομή σε d + διαστάσεις αφού το ζεύγος X, Y ακολουθεί κανονική κατανομή και X Id X Z Λ Y Επιπλέον, για κάθε i, j με i d και j έχουμε Cov Z j, X i Cov Yj I Λ jk X k, X i Cov Yj, X i λ jk Cov X k, X i ΣY X ΛΣ XX ji k k

9 Από το Θεώρημα οι X i και Z j είναι ανεξάρτητες Από το Πόρισμα η Z ακολουθεί κανονική κατανομή σε διαστάσεις Για να βρούμε τις παραμέτρους της κατανομής της Z παρατηρούμε ότι για j {,, } E [ Y j Λ jk E [ [ X k + E Zj mz m Y Λ m X, ενώ εφόσον οι X k, Z j είναι ανεξάρτητες, για κάθε i, j,,, έχουμε k Cov d Y i, Y j Cov Λ ik X k + Z i, k Λ jr X r + Z j Επομένως, αν συμβολίσουμε με Σ ZZ τον πίνακα συνδιακυμάνσεων του Z, r k,r Λ ik Cov X k, X r Λ T rj + Cov Z i, Z j Σ Y Y Λ Σ XX Λ T + Σ ZZ Σ ZZ Σ Y Y Σ Y X Σ XX Σ XY Εντελώς αντίστοιχα μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ενός διανύσματος X που ακολουθεί κανονική κατανομή σε d διαστάσεις Ο τύπος 7 παίρνει τη μορφή fx πd detσ exp x mt Σ x m ενώ για τη δεσμευμένη κατανομή του Y δεδομένου του X έχουμε f Y X y x f Z y ΣY X Σ XX x Μπορούμε επομένως να πούμε ότι η δεσμευμένη κατανομή του Y δεδομένου ότι X x είναι κανονική, με μέση τιμή και πίνακα συνδιακυμάνσεων E [ Y X x my + Σ Y X Σ XX x m X Σ Y Y Xx Σ ZZ Σ Y Y Σ Y X Σ XX Σ XY Παρατηρήστε και πάλι ότι η γνώση της τιμής του X μειώνει την αβεβαιότητά μας για το Y όταν υπάρχει κάποια μεταξύ τους συσχέτιση Σ XY Πράγματι, για κάθε l R έχουμε l T Σ ZZ l l T Σ Y Y l l T Σ Y X Σ XX Σ XY l l T Σ Y Y l Σ XY l T Σ XX Σ XY l l T Σ Y Y l Παράδειγμα 7 Η τριάδα X, Y, Z ακολουθεί κανονική κατανομή σε διαστάσεις με μέση τιμή m και πίνακα συνδιακυμάνσεων Σ Η κατανομή της Z είναι κανονική με μέση τιμή µ και διασπορά Σ Επομένως f Z z exp z, z R 6π 6 Για να βρούμε την δεσμευμένη κατανομή της Z δεδομένων των X, Y χωρίζουμε τον πίνακα Σ σε μπλοκ Σ Αν ξέρουμε ότι X x και Y y, η δεσμευμένη κατανομή της Z είναι και πάλι κανονική, με μέση τιμή που δίνεται από την x µ x,y + y y

10 Η διασπορά της δεσμευμένης κατανομής της Z δίνεται από την και είναι σx,y Επομένως, η δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Z είναι f Z X,Y z x, y z + y exp, π z R Εναλλακτικά μπορούμε να επαναλάβουμε το επιχείρημα της απόδειξης του Λήμματος 4 Πρώτα ψάχνουμε να βρούμε σταθερές α, β ώστε η τυχαία μεταβλητή W Z αx βy να είναι ανεξάρτητη από τις X, Y Από το Θεώρημα η από κοινού κατανομή των X, Y, W είναι κανονική σε διαστάσεις, διότι X Y W α β Από το Θεώρημα, προκειμένου η W ανεξάρτητη από τις X, Y αρκεί να έχουμε Cov W, X Cov W, Y Οι εξισώσεις αυτές δίνουν Cov W, X Cov Z αx βy, X Σ ασ βσ α + β και Cov W, Y Cov Z αx βy, Y Σ ασ βσ + α β Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε ότι α, β, επομένως η W Y + Z είναι ανεξάρτητη από τις X, Y Η μέση τιμή της W είναι μηδέν, ενώ η διασπορά της είναι σ W Cov W, W Cov Y + Z, Y + Z Cov Y, Z + Cov Y, Z + Cov Z, Z Σ + Σ + Σ + + Εχουμε επομένως ότι Z Y + W, όπου η W είναι ανεξάρτητη από τις X, Y με W N, Ετσι, με δεδομένο ότι X x, Y y η δεσμευμένη κατανομή της Z είναι N y, και η δεσμευμένη πυκνότητα δίνεται από την Μια τρίτη προσέγγιση θα ήταν να βρούμε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X,Y,Z των X, Y, Z, την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X,Y των X, Y και να υπολογίσουμε την δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας X Y Z f Z X,Y z x, y f X,Y,Zx, y, z f X,Y x, y Αυτός ο τρόπος όμως είναι μάλλον πιο επίπονος και λιγότερο παιδαγωγικός Παράδειγμα 8 Η τριάδα X, Y, Z ακολουθεί κανονική κατανομή σε διαστάσεις με μέση τιμή m και πίνακα συνδιακυμάνσεων Σ Θέλουμε να βρούμε τη δεσμευμένη κατανομή του ζεύγους X, Y δεδομένου ότι Z z Η δεσμευμένη μέση τιμή του ζεύγους δεδομένου ότι Z z δίνεται από την και είναι µx z + / z z µ y z / Ο δεσμευμένος πίνακας συνδιακυμάνσεων των X, Y δεδομένου ότι Z z δίνεται από την και είναι Σ z / / / / / 4/ / /

11 Μπορούμε τώρα να γράψουμε τη δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του ζεύγους X, Y f X,Y Z x, y z x π exp y + xy + zy z 4 Εναλλακτικά μπορούμε να επαναλάβουμε το επιχείρημα της απόδειξης Από το Λήμμα έχουμε X Σ Σ Z + W Z + W και Y Σ Σ Z + W Z + W όπου οι W και W είναι ανεξάρτητες της Z Εχουμε επομένως ότι X / Z Y / + W όπου το διάνυσμα W είναι ανεξάρτητο της Z Από το Θεώρημα το W ακολουθεί κανονική κατανομή σε δύο διαστάσεις αφού / W X Y / Z Μπορούμε πολύ εύκολα να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους της κατανομής του W Συγκεκριμένα, E [ [ W E X E[ Z και E [ [ W E Y E[ Z Από το Λήμμα έχουμε ακόμα ότι V W V X V Z Σ 9 Σ και V W V Y V Z Σ 4 9 Σ Τέλος, Εχουμε λοιπόν ότι Cov W, W Cov X Z, Y Z Σ Σ Σ + 9 Σ όπου το W είναι ανεξάρτητο από την Z με W N και καταλήγουμε πάλι στην 4 X Y, / Z / / / / / + W Επομένως f X,Y Z x, y z f W x z/, y z/ Μια τρίτη προσέγγιση θα ήταν να βρούμε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X,Y,Z των X, Y, Z, την περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Z της X και να υπολογίσουμε τη δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ως f X,Y Z x, y z f X,Y,Zx, y, z f Z z Για να υπολογίσουμε την f X,Y,Z χρειαζόμαστε την detσ και τον αντίστροφο του Σ Σ Από τον τύπο έχουμε f X,Y,Z π exp x y z + xy + yz, x, y, z R Από την άλλη, η Z είναι κανονική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή µ και διασπορά Σ Επομένως f Z z exp z, z R 6π 6 Διαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις ξαναβρίσκουμε την 4

12 4 Εφαρμογές στη Στατιστική Ας θεωρήσουμε μια ακολουθία {X i } i από ανεξάρτητες, ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με κοινή κατανομή N µ, σ Αν ορίσουμε τότε από το Θεώρημα έχουμε ότι X X + + X, X N µ, σ X µ N, 5 σ Ας ορίσουμε τώρα S Xi X 6 i Θεώρημα 4 Αν οι {X i } i είναι ανεξάρτητες, ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με κοινή κατανομή N µ, σ, τότε η S που ορίζεται στην 6 είναι ανεξάρτητη της X και S σ χ Απόδειξη: Από το Παράδειγμα 4 έχουμε ότι οι X i X είναι ανεξάρτητες από την X για i,,,, επομένως και η S είναι ανεξάρτητη από την X Επιπλέον έχουμε ότι S Xi µ X µ [ Xi µ + X µ X µx i µ i i i X i µ + X µ X µ X i µ X i µ X µ i Μπορούμε να ξαναγράψουμε την τελευταία σχέση ως εξής Xi µ σ i S σ + i X µ 7 Εφόσον οι τυχαίες μεταβλητές Xi µ σ είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές, το αριστερό μέλος της 7 είναι το άθροισμα των τετραγώνων ανεξάρτητων τυπικών κανονικών τυχαίων μεταβλητών, επομένως ακολουθεί κατανομή χ, δηλαδή Xi µ χ σ i σ Εφόσον η S και η X είναι ανεξάρτητες, το δεξί μέλος της 7 είναι το άθροισμα δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, εκ των οποίων η μία ακολουθεί κατανομή χ Συγκεκριμένα, X µ χ λόγω της 5 Δεν είναι δύσκολο να δούμε πχ με τη βοήθεια χαρακτηριστικών συναρτήσεων ότι θα πρέπει σ που ολοκληρώνει την απόδειξη του Θεωρήματος S σ χ,

13 Λήμμα 5 Αν X N,, Y χ και οι X, Y είναι ανεξάρτητες, τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τμ Z X Y/ είναι f z Γ + Γ + z π + 8 Απόδειξη: Εφόσον οι X και Y είναι ανεξάρτητες, η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του ζεύγους X, Y είναι η f X,Y x, y fxg y e x π Θα υπολογίσουμε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της Z Γ y e y, x, y R R+ F Z t P [ Z t P [ X t Y/ P [ X, Y D t D t fxgy dxdy, όπου D t {x, y R R + : x t y/} Επομένως, με την αλλαγή μεταβλητής x z y/ έχουμε F Z t t t y/ fxgydx dy t y y f z gydy dz Η πυκνότητα της Z είναι λοιπόν ίση με y y f z f z gydy π Γ y yz π e y e y + z dy όπου στο τελευταίο βήμα κάναμε την αλλαγή μεταβλητής t y y y f z dz gydy Γ z + πγ + z + Επομένως, f z Γ + Γ + z π + y e y dy t e t dt, Ορισμός Αν μια τυχαία μεταβλητή T έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την f της 8 λέμε ότι η T ακολουθεί την κατανομή Studet με βαθμούς ελευθερίας και συμβολίζουμε T St

14 Παρατηρήστε ότι εφόσον f z f z για κάθε z R, η κατανομή Studet είναι συμμετρική ως προς το Παρατηρήστε ακόμα ότι καθώς οι βαθμοί ελευθερίας της κατανομής Studet αυξάνονται, αυτή μοιάζει όλο και περισσότερο με την τυπική κανονική κατανομή Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι πυκνότητες δύο Studet με κόκκινο και μπλε βαθμούς ελευθερίας και μιας τυπικής κανονικής κατανομής μαύρο Με τη βοήθεια του τύπου του Stirlig μπορείτε να δείτε ότι Γ + ενώ Γ π, π + + z e z x St St N, Πόρισμα 4 Αν οι {X i } i είναι ανεξάρτητες, ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με κοινή κατανομή N µ, σ, τότε T X µ S/ St Απόδειξη: Είδαμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές Z X µ σ είναι ανεξάρτητες, το Λήμμα 5 δίνει ότι N, και Z Z Z / X µ S/ St S σ χ Τα επόμενα δύο θεωρήματα κατασκευάζουν διαστήματα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή µ μιας κανονικής κατανομής χωρίς πληροφορία για τη διασπορά της και για τη διασπορά σ χωρίς πληροφορία για τη μέση τιμή της Θεώρημα 5 Αν οι {X i } i είναι ανεξάρτητες, ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με κοινή κατανομή N µ, σ και t > είναι ένας πραγματικός αριθμός ώστε t f z dz + γ, 9 τότε [ S P X t µ X S + t γ Απόδειξη: Από το Πόρισμα 4 η τυχαία μεταβλητή T X µ S/ έχει συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας την f Από την 9 έχουμε ότι P [ T > t γ Από τη συμμετρία της κατανομής έχουμε επίσης P [ γ T < t γ Επομένως, t t P [ [ T t γ P t µ X [ S/ t S γ P X t µ X S + t γ γ f γ

15 Θεώρημα 6 Αν οι {X i } i είναι ανεξάρτητες, ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με κοινή κατανομή N µ, σ και < χ < χ είναι δύο πραγματικοί αριθμοί ώστε χ χ g z dz γ, όπου g είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κατανομής χ, τότε [ S P σ S γ χ χ Απόδειξη: Από το Θεώρημα 4 η τυχαία μεταβλητή Z S σ έχει συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας την g Από την έχουμε ότι P [ χ Z χ γ Επομένως, γ P [ χ S [ S σ χ P σ S χ χ χ γ g χ 5 Ασκήσεις Άσκηση Αν οι τμ X, Y είναι ανεξάρτητες, με ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, δείξτε ότι οι τμ U l X cosπy V l X siπy είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν την τυπική κανονική κατανομή Σ αυτόν τον υπολογισμό βασίζεται η μέθοδος Box-Muller για την προσομοίωση κανονικών τμ στον υπολογιστή Βλέπετε πώς; Άσκηση Οι X, X,, X είναι ανεξάρτητες ισόνομες τμ με κατανομή N, σ Ορίζουμε X X+ +X Ποια είναι η δεσμευμένη σππ f Xx X µ; Άσκηση Δείξτε ότι αν το τυχαίο διάνυσμα X, Y R ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή τότε και το διάνυσμα X cos α si α X Y si α cos α Y ομοίως ακολουθεί τυπική κανονική κατανομή Δηλαδή η N, I μένει αναλλοίωτη από στροφές Άσκηση 4 Η από κοινού κατανομή των τυχαίων μεταβλητών X, Y, Z είναι κανονική σε διαστάσεις με μέση τιμή m και πίνακα συνδιακυμάνσεων Σ Βρείτε την δεσμευμένη κατανομή των X, Y δεδομένου ότι Z Βρείτε την απο κοινού κατανομή των τυχαίων μεταβλητών Y και X Z Ποια είναι η δεσμευμένη κατανομή της Y δεδομένου ότι X Z; Άσκηση 5 Εστω X N, και X 5 X W για κάθε N, όπου {W } N είναι μια ακολουθία από ανεξάρτητες, ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με τυπική κανονική κατανομή και ανεξάρτητες από την X Δείξτε ότι η από κοινού κατανομή των X, X, X, X είναι κανονική σε 4 διαστάσεις Ποιος είναι ο πίνακας συνδιακυμάνσεων; Ποια είναι η περιθώρια κατανομή των X, X, X ; Ποια είναι η δεσμευμένη κατανομή της X δεδομένου ότι X x και X y;

16 Άσκηση 6 Ας είναι X, Y ανεξάρτητες, ισόνομες τμ με κατανομή N, Ορίζουμε U X+Y, V X Y α Ποια είναι η σππ του τυχαίου διανύσματος X, Y ; β Υπολογίστε την σππ του τυχαίου διανύσματος U, V Είναι οι τμ U, V ανεξάρτητες; γ Εστω S N, ανεξάρτητη από τις X, Y Υπολογίστε την σππ του διανύσματος U, V + S δ Θεωρούμε δύο ακόμα ανεξάρτητες τμ Z, W με κατανομή N, και ανεξάρτητες από τις X, Y X Z Αν A, και Λ W Y Λ είναι οι ιδιοτιμές του συμμετρικού πίνακα A+A υπολογίστε την από κοινού κατανομή των Λ, Λ Άσκηση 7 Οι στοχαστικές διαδικασίες είναι τυχαίες συναρτήσεις, και ένας τρόπος να τις φανταστεί κανείς είναι ότι η τιμή τους κάθε χρονική στιγμή είναι μια τυχαία μεταβλητή Η κίνηση Brow είναι μια στοχαστική διαδικασία όπου B t N, t Αυτό δεν καθορίζει πλήρως την κίνηση Brow αφού την ίδια ιδιότητα έχει και η διαδικασία Y t tχ όπου χ N, και t Χρειάζεται να καθορίσουμε και το πώς σχετίζονται μεταξύ τους οι τιμές της διαδικασίας σε διαφορετικούς χρόνους, πώς εξελίσσεται δηλαδή η διαδικασία στο χρόνο Ο τρόπος που αυτό συμβαίνει για την κίνηση Brow είναι ότι για κάθε s, t R + με s < t η μεταβολή της B t B s είναι ανεξάρτητη από το παρελθόν της, είναι δηλαδή ανεξάρτητη από τις τμ B r με r s με κατανομή N, t s Αν r < s < t βρείτε την από κοινού κατανομή των B r, B s, B t και την δεσμευμένη σππ της B s δεδομένων των B r, B t Άσκηση 8 Εστω {X i, Y i } i ανεξάρτητα, ισόνομα τυχαία διανύσματα με κατανομή Xi µ N, Σ Ορίζουμε X X+ +X, Ȳ Y+ +Y και Y i S D µ X i Y i + Ȳ X Αν το t είναι όπως στην 9, δείξτε ότι οποιοσδήποτε κι αν είναι ο πίνακας συνδιακυμάνσεων Σ έχουμε i [ S D P X Ȳ t µ µ X Ȳ + t S D γ Άσκηση 9 Δίνονται {X i } i ανεξάρτητες, ισόνομες τμ με κατανομή N µ, σ και {Y j } j m ανεξάρτητες, ισόνομες τμ με κατανομή N µ, σ, οι οποίες είναι και ανεξάρτητες από τις {X i } i Ορίζουμε ν m +m Ποια κατανομή ακολουθεί η X Ȳ ; Ορίζουμε ακόμα + m S X i X m + Y j Ȳ SX + m SY i Ποια κατανομή ακολουθεί η τυχαία μεταβλητή j T X Ȳ µ µ S/ ; ν Μπορείτε να βρείτε μια σχέση όπως η για τη διαφορά µ µ που δεν χρησιμοποιεί την άγνωστη διασπορά σ ;

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε

Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος =, όπου ~ N ( 0, και όλα τα μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε = (,, = ( 0, ( 0, f x f

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Δ.Φουσκάκης- Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές 1 ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Συνάρτηση Κατανομής: Έστω Χ=(Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ.

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3.

ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1. 0 F(x) 1, x n. 2. Η F είναι μη φθίνουσα και δεξιά συνεχής ως προς κάθε μεταβλητή. 3. ΤΥΧΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω Χ = (Χ 1,,Χ ) T τυχαίο διάνυσμα (τ.δ). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) του τ.δ. Χ την: F(x) = P(X 1 x 1,, X x ), x = (x 1,,x ) T 1. 0 F(x) 1, x.. Η F είναι μη

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017. Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες. Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 19/10/2017 Ακριβείς Διαφορικές Εξισώσεις-Ολοκληρωτικοί Παράγοντες Η πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση M(x, y) + (x, y)y = 0 ή ισοδύναμα, γραμμένη στην μορφή M(x,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 εκεµβρίου 2009 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Ορισµός (α) Εστω (X, Y) διακριτή διδιάστατη τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΠΜΣ: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ" ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Νικόλαος Βλάχος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )

( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers

Je rhma John L mma Dvoretzky-Rogers Kefˆlaio 2 Je rhma Joh L mma Dvoretzky-Rogers 2.1 Elleiyoeidèc mègistou ìgkou eìc kurtoô s matoc Ορισμός 2.1.1. Ελλειψοειδές στον R είναι ένα κυρτό σώμα της μορφής { } (2.1.1) E = x R x, v i 2 : 1, όπου

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y

ΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά μαθηματικά εργαλεία

Βασικά μαθηματικά εργαλεία Παράρτημα Αʹ Βασικά μαθηματικά εργαλεία Σύνοψη Παρατίθενται μια επανάληψη σε βασικές γνώσεις που αφορούν βασικά μαθηματικά εργαλεία, για την αντιμετώπιση προβλημάτων που παρουσιάζονται στο σύγγραμμα, και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 εκεµβρίου 29 5.1. Στο τυχαίο πείραµα της ϱίψης δύο διακεκριµένων κύβων έστω X η ένδειξη του πρώτου κύβου και Y η µεγαλύτερη από τις δύο ενδείξεις. Να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata

EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata EukleÐdeiec emfuteôseic: ˆnw frˆgmata Εστω f : X Y μια εμφύτευση του μετρικού χώρου (X, ρ) στο χώρο με νόρμα (Y, ). Η παραμόρφωση της f ορίζεται ως εξής: f(x) f(y) ρ(x, y) dist(f) = sup sup x y ρ(x, y)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

x P (x) c P (x) = c P (x), x S : x c

x P (x) c P (x) = c P (x), x S : x c Κεφάλαιο 9 Ανισότητες, από κοινού κατανομή, Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 9.1 Ανισότητες Markov και Chebychev Ξεκινάμε αυτό το κεφάλαιο με δύο σημαντικά αποτελέσματα τα οποία, πέραν της μεγάλης χρησιμότητάς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4

2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Παράδειγμα 2x 1 +2x 2 +0x 3 +6x 4 = 8 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4 Επαυξημένος πίνακας: 2 2 0 6 8 2 1 1 1 1 Ã = 3 1 1 2 3 1 2 6 1 4 Γενικό σύστημα a 11 x 1 +a

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις.

Συνεχείς Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Συνεχείς Κατανομές. τεχνικές. 30 ασκήσεις. Συνεχείς Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Συνεχείς Κατανομές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglos.gr / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10)

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10) Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β (Τζουβάρας/Χαραλάμπους) Φεβρουάριος 07 (I) Εστω n n πίνακας A τέτοιος ώστε A = 6A, έστω δ.χ. V με dim(v ) = n και f : V V η γραμμική απεικόνιση με πίνακα A ως πρός κάποια βάση

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Κεφάλαιο 8 Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Copyright 2009 Cengage Learning 8.1 Συναρτήσεις Πυκνότητας Πιθανοτήτων Αντίθετα με τη διακριτή τυχαία μεταβλητή που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 7, μια συνεχής τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση SVD Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

(p 1) (p m) (m 1) (p 1)

(p 1) (p m) (m 1) (p 1) ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Σκοπός της παραγοντικής ανάλυσης είναι να περιγράψει την συνδιασπορά μεταξύ των μεταβλητών με την βοήθεια τυχαίων άγνωστων ποσοτήτων που ονομάζονται παράγοντες. Το μοντέλο είναι το

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα