Συλλογή ασκήσεων στην διδαχθείσα ύλη του μαθήματος. 532 Στοχαστικές Διαδικασίες. Επιμέλεια Ασκήσεων: Απόστολος Μπατσίδης

Transcript

1 Συλλογή ασκήσεων στην διδαχθείσα ύλη του μαθήματος 532 Στοχαστικές Διαδικασίες Επιμέλεια Ασκήσεων: Απόστολος Μπατσίδης Κύρια Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές μέθοδοι στις επιχειρησιακές έρευνες, Βασιλείου Παναγιώτης - Χρήστος 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ, ΧΡΥΣΑΦΙΝΟΥ ΟΥΡΑΝΙΑ 3. Θεωρία στοχαστικών διαδικασιών, Μέρος Α', Κωνσταντινίδης Δημήτριος Γ. 4. Στοιχεία θεωρίας στοχαστικών ανελίξεων, Καλπαζίδου Σοφία Η συλλογή αυτή των ασκήσεων δίνεται στους φοιτητές που παρακολούθησαν το μάθημα Στοχαστικές Διαδικασίες το Ακ. Έτος Περιλαμβάνει ασκήσεις πάνω στην διδαχθείσα ύλη σύμφωνα με τον οδηγό σπουδών του Τμήματός μας. Κάθε παρατήρηση είναι ευπρόσδεκτη. Η πρώτη μορφή αυτών αναρτήθηκε στην ιστοσελίδα του μαθήματος την Δευτέρα Τρέχουσα έκδοση: Γενάρης Άσκηση 1 (Απλούστευση του Μοντέλου των Ehrefest 1 ) Έστω μία κάλπη που περιέχει κ σφαίρες καθεμία από τις οποίες είναι μαύρη ή κόκκινη. Σε κάθε πείραμα (διακριτή χρονική στιγμή) εκλέγουμε μία σφαίρα στην τύχη και την αντικαθιστούμε με μία άλλη του άλλου χρώματος. Έστω Χ ο αριθμός των μαύρων σφαιρών στην κάλπη αμέσως μετά το -οστό πείραμα. Εξετάστε αν η στοχαστική διαδικασία { X, 0,1, 2...} είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα και να προσδιορίστε τον πίνακα μετάβασης ενός βήματος. Είναι ομογενής η μαρκοβιανή αλυσίδα; Άσκηση 2 (Μοντέλο κάλπης του Polya) Έστω μια κάλπη που περιέχει μ μαύρες και κ κόκκινες σφαίρες. Σε κάθε πείραμα (διακριτή χρονική στιγμή) εκλέγουμε τυχαία μια σφαίρα στην τύχη και την τοποθετούμε στην κάλπη προσθέτοντας α σφαίρες του ίδιου χρώματος με αυτήν που εκλέξαμε (α>0). Έστω { X, 0,1, 2...} η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει τον αριθμό των μαύρων 1 Το μοντέλο των Paul και Tatiaa Ehrefest χρησιμοποιήθηκε στη βιβλιογραφία για τη μελέτη της θερμότητας ανάμεσα στα μόρια αερίου.

2 σφαιρών της κάλπης αμέσως μετά το -οστό πείραμα. Να δικαιολογήσετε αν η στοχαστική διαδικασία { X, 0,1, 2...} είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα και να προσδιορίσετε τον πίνακα μετάβασης ενός βήματος. Είναι ομογενής η μαρκοβιανή αλυσίδα; Άσκηση 3 (Μοντέλο διάχυσης Beroulli-Laplace) Σε δύο κάλπες έστω Ι και ΙΙ τοποθετούνται Ν μαύρες και Ν άσπρες σφαίρες τυχαία έτσι ώστε κάθε κάλπη να περιέχει Ν σφαίρες. Σε κάθε πείραμα μια σφαίρα εκλέγεται στην τύχη από κάθε κάλπη και ανταλλάσσονται. Έστω { X, 1, 2...} η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει τον αριθμό των άσπρων σφαιρών της κάλπης Ι αμέσως μετά το -οστό βήμα. Να δικαιολογήσετε αν η στοχαστική διαδικασία { X, 1, 2...} είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα και να προσδιοριστεί ο πίνακας μετάβασης ενός βήματος. Είναι ομογενής η μαρκοβιανή αλυσίδα; Άσκηση 4 Έστω ότι ο πίνακας μετάβασης μιας ομογενούς μαρκοβιανής αλυσίδας με χώρο q p q 0 p q 0 0 p 0 καταστάσεων E {0,1, 2,...} δίνεται από τη σχέση P Να βρεθούν οι πιθανότητες μετάβασης δύο βημάτων p, p, p, και p, p, p, για i 1, 2,... (2) (2) (2) (2) (2) (2) i0 i1 ii2 Άσκηση 5 H κατάσταση του καιρού, έστω X, στην πόλη των Ιωαννίνων κατά τη -oστή ημέρα ορίζεται ως 0 αν η μέρα είναι βροχερή και ως 1 διαφορετικά, με πίνακα μετάβασης P Αν θεωρήσουμε ως αρχική κατάσταση την κατάσταση του καιρού την 1 η Γενάρη ποια η πιθανότητα ο καιρός να μην είναι βροχερός κατά την ημέρα των Φώτων όταν γνωρίζουμε ότι κατά την Πρωτοχρονιά ο καιρός δεν ήταν βροχερός. Αν δεν έχουμε αυτή τη γνώση τότε ποια είναι η πιθανότητα; Θεωρείστε ότι αρχικά οι δύο καταστάσεις είναι ισοπίθανες. Άσκηση 6 Έστω X ο αριθμός των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές Beroulli με πιθανότητα επιτυχίας p. Για την στοχαστική διαδικασία { X, 1, 2...} να υπολογισθούν οι

3 πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος. Μπορεί να δοθεί τύπος εύρεσης των πιθανοτήτων p. ( ) ij Άσκηση 7 Για τον πίνακα μετάβασης της Άσκησης 4 να υπολογισθούν με βάση τον ορισμό οι ποσότητες: f και μ. * 00 0 επαναληψιμότητα; Άσκηση 8 Μπορείτε να ταξινομήσετε όλες τις καταστάσεις ως προς την Έστω { J, 1, 2...}, ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών Beroulli με P( J 1) p, P( J 0) q 1 p. Για 2,3,... ορίζουμε τη στοχαστική διαδικασία X 0, αν J 1 J 1 1, αν J 1 1, J 0 2, αν J 1 0, J 1 3, αν J 1 J 0 Να δειχθεί ότι η { X, 2,3,...} έχει τη μαρκοβιανή ιδιότητα, να υπολογισθεί ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης P καθώς και η Άσκηση 9 (3) p 00. (Υπόδειξη να μην βρεθεί ο 3 P ). Ένα σωματίδιο εκτελεί τυχαίο περίπατο στα σημεία 0,1,2,3 ενός κύκλου που είναι σημειωμένα κατά τη φορά των δεικτών ενός ρολογιού κάνοντας ένα βήμα δεξιά με πιθανότητα p ή ένα βήμα αριστερά με πιθανότητα q. Έστω X η θέση του σωματιδίου μετά από βήματα. Να προσδιοριστεί ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. Ποια η πιθανότητα να βρίσκεται τη δεύτερη χρονική στιγμή στη θέση 3 αν αρχικά μπορεί να βρίσκεται σε οποιαδήποτε κατάσταση ισοπίθανα. Άσκηση 10 Ένα ποντίκι κινείται σε εννέα χώρους ενός σπιτιού ως εξής. Αν το πρωί μιας μέρας βρίσκεται στο χώρο ι τότε επιλέγει τυχαία (και ισοπίθανα) έναν από τους χώρους που επικοινωνεί ο ι-οστός χώρος για να είναι το επόμενο πρωί. Είναι γνωστό ότι ο χώρος 1 επικοινωνεί μόνο με τον 2, ο οποίος επικοινωνεί και με τον τρία. Ο χώρος 3 επικοινωνεί με τον 4, ο οποίος συνδέεται με τον 5, ο οποίος επικοινωνεί με τον 6 και 8. Ο χώρος 8 επικοινωνεί με τον 7 και τον 9 ενώ ο 7 επικοινωνεί επιπλέον με τον 6. Να προσδιοριστεί ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος της στοχαστικής διαδικασίας { X, 0,1, 2,...} που περιγράφει τη θέση του ποντικιού τη -οστή ημέρα. Να υπολογισθεί η (3) p 65.

4 Άσκηση 11 Να εξετάσετε τις καταστάσεις των ομογενών μαρκοβιανών αλυσίδων που έχουν τους ακόλουθους πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. α) / 2 1/ P, β) 1/ 3 1/ 3 0 1/ 3 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ P 1/ 2 1/ / 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 γ) P, δ) 1/ 2 1/ / 3 1/ 3 1/ 3 0 1/ 2 1/ / 3 1/ 3 1/ 3 0 P 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 ε) 1/ / 4 2 /16 4 /16 5/16 6/16 P 1/ 4 1/ 4 0 1/ 2 1/8 3/8 1/ 8 1/8 Άσκηση 12 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3, 4} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P p q Είναι διαχωρίσιμη; Μπορείτε να ταξινομήσετε τις καταστάσεις; Δίνεται ότι 0 p 1 και q 1 p. Υπόδειξη: Δείξτε ότι όλες οι καταστάσεις είναι θετικώς επαναληπτικές, επικοινωνούν ανά δύο μεταξύ τους και είναι περιοδικές με περίοδο d 3. Άσκηση 13 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης p 0 q P q 0 p

5 Να ταξινομήσετε τις καταστάσεις. Άσκηση 14 Έστω ότι ο πίνακας μετάβασης μιας ομογενούς μαρκοβιανής αλυσίδας δίνεται από τη σχέση 1/ 2 1/ / 3 0 1/ / / 4 0 P k 1 1 δηλαδή pk 0, pk, k 1, k 0,1,... Είναι η αλυσίδα μη διαχωρίσιμη; Να k 2 k 2 χαρακτηρίσετε την κατάσταση 0 ως προς την επαναληψιμότητα με βάση τον ορισμό. Δίνεται ότι και e 1.! ( 1)!! ( 1)! 1 1 Υπόδειξη: Δείξτε ότι (1) (2) 1 2 () f00 0.5, f00, f ( 1) Άσκηση 15 Έστω μια ομογενής μαρκοβιανή αλυσίδα της οποίας ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης 1 k 1 ενός βήματος καθορίζεται από τις σχέσεις pk 0, pk, k 1, k 0,1,... Είναι η k 2 k 2 αλυσίδα μη διαχωρίσιμη; Να χαρακτηρίσετε την κατάσταση 0 ως προς την επαναληψιμότητα με βάση τον ορισμό. Δίνεται ότι Άσκηση και. ( 1) ( 1) 1 1 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {0,1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης q 0 p 0 P 0 q 0 p

6 Να ταξινομηθούν οι καταστάσεις. Άσκηση 17 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης 0 p q P q 0 p p q 0 Είναι διαχωρίσιμη; Μπορείτε να ταξινομήσετε τις καταστάσεις; Να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. Άσκηση 18 Υποθέτουμε ότι τα φυτά μιας περιοχής κατανέμονται ως εξής 0=χορτάρι, 1=θάμνος, 2=μικρό δένδρο 3=μεγάλο δένδρο και ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος θεωρώντας ως μια χρονική μονάδα το ένα έτος είναι 1/ 2 1/ / 24 7 /8 1/12 0 P 1/ / 9 1/12 1/ /8 Να βρεθούν οι πιθανότητες που εκφράζουν την κατάσταση της περιοχής μετά από πολλά χρόνια. Άσκηση 19 Παίκτης ξεκινά να παίζει ένα τυχερό παιχνίδι με 10 ευρώ. Σε κάθε «μονομαχία» κερδίζει ή χάνει ένα ευρώ με πιθανότητα 1/2 και 1/3 αντίστοιχα. Το παιχνίδι σταματά όταν τα χρήματα του γίνονται 15 ή 0 ευρώ. Να βρεθεί η πιθανότητα τα χρήματα του να γίνουν 0 ευρώ. Άσκηση 20 Ένας μπασκετμπολίστας από τους γνωστούς γυρολόγους μετακινείται μεταξύ 3 ομάδων. Η πιθανότητα μεταγραφής από τη μία ομάδα στην άλλη ομάδα εξαρτάται μόνο από την ομάδα που βρίσκεται στην παρούσα περίοδο. Οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος δίνονται στον ακόλουθο πίνακα P

7 α) Να βρεθούν οι πιθανότητες των προτιμήσεων του παίκτη μετά από μεγάλο χρονικό διάστημα. β) Αν φέτος παίζει στην ομάδα 2 μετά από πόσα χρόνια προσδοκά να ξαναπαίξει στην ομάδα 2. Άσκηση 21 Μελετώντας τα αποτελέσματα των εκλογών του Τεχνικού Επιμελητηρίου παρατηρούμε τα εξής ως προς τις παρατάξεις Α, Β, Γ. Όσοι ψηφίζουν την παράταξη Α στις επόμενες εκλογές την ψηφίζουν με πιθανότητα 0.8 και την Β με πιθανότητα 0.2. Όσοι ψηφίζουν την παράταξη Β στις επόμενες εκλογές την ψηφίζουν πάλι με πιθανότητα 0.6 ενώ ισοπίθανα τις άλλες δύο. Τέλος όσοι ψηφίζουν την παράταξη Γ την ξαναψηφίζουν με πιθανότητα 1. Ποια η πιθανότητα κάποιος που εκλέγεται τυχαία την 4 η χρονιά να έχει ψηφίσει την παράταξη Α δεδομένου ότι την ψήφισε την πρώτη χρονιά; Άσκηση 22 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης 1/ 3 1/ 3 1/ 3 P 2 / 3 0 1/ 3. 3 / 4 0 1/ 4 Να υπολογισθούν οι πιθανότητες P( X 2 2) και P( X1 3, X 2 1, X 3 1, X 4 3) όταν P( X i) 1/ 3, i 1, 2,3. Να γίνει κατάταξη των καταστάσεων και να υπολογισθούν οι 0 οριακές πιθανότητες. Άσκηση 23 Ο κ. Μπατσίδης σιχαίνεται τις ομπρέλες και για το λόγο αυτό έχει 3 σκούφους, τους οποίους χρησιμοποιεί με τον ακόλουθο τρόπο. Όταν κάνει τη διαδρομή σπίτι-γραφείο και βρέχει ή χιονίζει το οποίο γίνεται με πιθανότητα p τότε φοράει ένα σκουφάκι. Αν στην επιστροφή γραφείο-σπίτι βρέχει ή χιονίζει το οποίο συμβαίνει με πιθανότητα p τότε φοράει πάλι το σκουφάκι αλλιώς επειδή είναι πολύ αφηρημένος το αφήνει στο γραφείο. Αν ξεκινώντας τη διαδρομή του δε βρέχει ή δε χιονίζει τότε δεν παίρνει μαζί του σκούφο. Έστω X, 1, 2,... παριστάνει τον αριθμό των σκούφων στην αρχή της -οστής διαδρομής. Είναι μαρκοβιανή αλυσίδα; Να προσδιοριστεί ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. Να βρεθεί ποια είναι η πιθανότητα μετά από πολλές μέρες εκεί που βρίσκεται να μην υπάρχει σκούφος, το ποσοστό των διαδρομών που βρέχεται και να προσδιοριστεί η πιθανότητα έτσι ώστε να βρέχεται όσο το δυνατόν περισσότερο. Άσκηση 24 Στη θέση Κατάρα του δρόμου Ιωάννινα Τρίκαλα μια μέρα χαρακτηρίζεται ως χιονισμένη ή καθαρή. Αν μια χιονισμένη μέρα διαδέχεται μια καθαρή με πιθανότητα 0.25 ενώ μια καθαρή διαδέχεται μια χιονισμένη με πιθανότητα να βρεθεί η πιθανότητα ένα

8 αυτοκίνητο να χρειαστεί αλυσίδες στις αν τα χριστούγεννα (25-12) ήταν χιονισμένα. Ποιο το μέσο μήκος μιας χιονισμένης περιόδου; Άσκηση Αν P μιας Μ.Α. να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης Άσκηση / / 3 1/ / 4 0 Αν P είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να εξετάσετε αν πρόκειται για απεριοδική μαρκοβιανή αλυσίδα; Άσκηση Αν P είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. Άσκηση 28 Έστω ένα κοπάδι από ζώα που κινούνται ελεύθερα και το ενδιαφέρον μας επικεντρώνεται στη μελέτη των θηλυκών του κοπαδιού. Κάθε θηλυκό της αγέλης και κάθε έτος αποκτά ένα θηλυκό με πιθανότητα p ενώ η πιθανότητα να αποκτήσει περισσότερα από 1 θηλυκά είναι 0. Η συμπεριφορά των ζώων είναι ανεξάρτητη από το μέγεθος του πληθυσμού και το ένα μέλος του κοπαδιού δεν επηρεάζεται από τι θα γεννήσει το άλλο. Έστω X, 1, 2,... η στοχαστική διαδικασία που εκφράζει το πλήθος των θηλυκών μετά τη -οστή γέννα. Θεωρώντας ότι δεν υπάρχει θνησιμότητα στον πληθυσμό και ότι το είναι πολύ μικρότερο

9 του χρόνου ζωής των ζώων να αιτιολογήσετε ότι πρόκειται για μαρκοβιανή αλυσίδα και να προσδιορίσετε τον πίνακα μετάβασης P. Άσκηση 29 Μια εταιρεία κατασκευής ψυγείων υποβάλλει τα ψυγεία με τη σειρά που παράγονται σε τεχνικό έλεγχο ποιότητας και τα χαρακτηρίζει ως τέλεια ή ελαττωματικά. Έχει παρατηρηθεί ότι η ποιότητα του κάθε ψυγείου εξαρτάται από την ποιότητα του αμέσως προηγούμενού του και ότι ένα τέλειο ψυγείο ακολουθείται από ένα τέλειο με πιθανότητα ¾ ενώ ένα ελαττωματικό από ένα ελαττωματικό με πιθανότητα 1/3. Αν το τρίτο ψυγείο που εξετάζεται είναι τέλειο ποια η πιθανότητα να είναι τέλειο και το δωδέκατο. Μετά από πάρα πολλούς ελέγχους ποια η πιθανότητα ένα ψυγείο να είναι τέλειο. Αν το πρώτο ψυγείο ήταν τέλειο ποια η πιθανότητα να είναι το πέμπτο ψυγείο εκείνο που θα είναι ελαττωματικό για πρώτη φορά. Αν εξετάσουμε στην τύχη ένα ψυγείο και το βρούμε τέλειο μετά από πόσα ψυγεία αναμένουμε να ελέγξουμε ελαττωματικό ψυγείο; Άσκηση 30 1/ / Αν P 1/ 3 1/ 3 1/ βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να Άσκηση 31 Σε ένα ιατρικό πείραμα μετρήσεις λαμβάνονται και ταξινομούνται σε μία από τις κατηγορίες 1,2,3,4,5. Έχει παρατηρηθεί ότι η κατηγορία στην οποία ταξινομείται μια μέτρηση εξαρτάται μόνο από την κατηγορία στην οποία ταξινομήθηκε η αμέσως προηγούμενη και ότι οι αντίστοιχες πιθανότητες δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί Προηγ\Τωρίνη /2 0 1/ /4 0 1/4 1/2 3 1/2 1/ /2 0 1/ Μετά από πάρα πολλές επαναλήψεις του πειράματος ποια η πιθανότητα μια μέτρηση να ανήκει στην 5 η κατηγορία. Αν μια τυχαία μέτρηση ταξινομήθηκε στην 3 η κατηγορία ποιος ο μέσος αριθμός πειραμάτων μέχρις ότου ταξινομηθεί στην ίδια κατηγορία.

10 Άσκηση 32 (διορθώθηκε τυπογραφικό λάθος) 1/ 2 0 1/ / 3 1/ 3 1/ 3 Αν P 1/ / να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. Άσκηση 33 (τροποποιήθηκε) Στις εισαγωγικές εξετάσεις σε κάποια στρατιωτική σχολή προβάλλονται στον υποψήφιο μια σειρά από εικόνες. Μετά την προβολή κάθε εικόνας ο υποψήφιος ρωτάται να περιγράψει τι ακριβώς είδε. Οι απαντήσεις βαθμολογούνται με 1=Άριστα 2=Ικανοποιητικά Γ=Λανθασμένα. Έχει παρατηρηθεί ότι κάθε απάντηση του υποψηφίου επηρεάζεται αποκλειστικά από την προηγούμενη και οι πιθανότητες μετάβασης από απάντηση σε απάντηση δίνονται στον ακόλουθο πίνακα Προηγ\Τωρίνη /2 1/ /8 1/2 3/8 3 1/3 1/3 1/3 Αν κάποιος υποψήφιος δίνει για την πρώτη εικόνα ικανοποιητική απάντηση ποια η πιθανότητα να δώσει άριστη απάντηση στην τρίτη. Υπάρχει στατιστική ισορροπία μετά από ένα πολύ μεγάλο αριθμό προβολών; Ναι ή όχι και γιατί; Αν ναι εξετάστε αν μπορούν να βρεθούν οι πιθανότητες σε στατιστική ισορροπία των τριών ειδών απαντήσεων με το Θεώρημα του Foster; Στην περίπτωση που ο πίνακας είναι ο Προηγ\Τωρίνη ποια η πιθανότητα μια μέτρηση να ανήκει στην 3 η κατηγορία μετά από πάρα πολλές επαναλήψεις του πειράματος. Αν μια τυχαία μέτρηση ταξινομήθηκε στην 3 η κατηγορία ποιος ο μέσος αριθμός πειραμάτων μέχρις ότου ταξινομηθεί στην ίδια κατηγορία Άσκηση / 2 0 1/ 2 0 Αν P / / 4 0 1/ 2 0 1/ 2 0 βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να

11 Άσκηση 35 (τροποποιήθηκε) Σε ένα ταμείο ενός κινηματογράφου (με έναν υπάλληλο) πελάτες καταφθάνουν σύμφωνα με την κατανομή Poisso με παράμετρο λ και αν βρουν τον υπάλληλο απασχολημένο περιμένουν σε μια ουρά άπειρης χωρητικότητας να έρθει η σειρά τους. Έχει παρατηρηθεί ότι ο χρόνος παραμονής κάθε πελάτη στο ταμείο ακολουθεί μια γενική κατανομή με σ.π.π. b( t),0 t. Αν X, 1, 2,... είναι ο αριθμός των πελατών στο ταμείο και στην ουρά αμέσως μετά την εξυπηρέτηση του -οστού πελάτη να παρασταθεί ως μαρκοβιανή αλυσίδα και να βρεθεί ο πίνακας μεταβάσεων P. Δοθέντος ότι b( t) exp( t), 0 t να βρεθούν οι πιθανότητες σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας. Άσκηση Αν P είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. Άσκηση 37 Έστω η ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P Να υπολογιστούν οι πιθανότητες P X 3/ X 1 και P X 3, X 3/ X Θεωρείστε ότι αρχικά μπορεί να βρίσκεται σε κάθε κατάσταση ισοπίθανα. Άσκηση Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης 2 p 1 2 p 0 P 0.5 p 2 p 0.5 p p 2 p Υπολογίστε το μέσο χρόνο επανάληψης κάθε κατάστασης.

12 Άσκηση 39 Θεωρούμε ότι ένα σύστημα εκπαίδευσης αποτελείται από d στάδια καθένα εκ των οποίων διαρκεί από μία χρονική μονάδα. Στο τέλος κάθε σταδίου η προαγωγή ενός φοιτητή αποφασίζεται με εξετάσεις. Έτσι το τέλος κάθε χρονικής περιόδου ένας φοιτητής περνάει τις εξετάσεις του και προάγεται στο επόμενο στάδιο, αποτυγχάνει στις εξετάσεις και επαναλαμβάνει το στάδιο και εγκαταλείπει πριν τις εξετάσεις και φεύγει από το σύστημα (d+1 στάδιο). Να περιγραφεί η πρόοδος του φοιτητή σαν μια μαρκοβιανή διαδικασία και να γραφεί ο πίνακας μετάβασης. Άσκηση 40 (τροποποιήθηκε) Ένα κατάστημα χαρακτηρίζει μια μέρα λειτουργίας του ως κακή ή καλή ανάλογα με το τζίρο του. Αν μία κακή μέρα διαδέχεται μία καλή με πιθανότητα και μια καλή μέρα διαδέχεται μία κακή με πιθανότητα 0.25, να βρεθούν ι) η πιθανότητα η Πέμπτη 6 Σεπτεμβρίου να χαρακτηρισθεί ως καλή μέρα αν σήμερα 1 η Σεπτεμβρίου είναι καλή μέρα, και ιι) το μέσο μήκος μιας περιόδου που χαρακτηρίζεται από καλές μέρες; Άσκηση 41 (τροποποιήθηκε) Έστω ένας τυχαίος περίπατος που η θέση του τη -οστη χρονική στιγμή περιγράφεται ως το άθροισμα ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών Y i με συνάρτηση πιθανότητας 1/ 4, y 1 P( Yi y) 1/ 4, y=2 1/ 2, y=-2 Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχουν δύο φράγματα απορρόφησης στα σημεία -b και a, με a,b>0 και ότι αρχικά το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση μηδέν. Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος απορρόφησης και οι πιθανότητες απορρόφησης. Υπόδειξη: Απλά να γραφεί ο τρόπος προσδιορισμού τους. Άσκηση 42 Δίνεται η μαρκοβιανή αλυσίδα {Χ, =0, 1, 2 } με χώρο καταστάσεων Ε={1, 2, 3} και πίνακα μεταβάσεων: 0 2 / 3 1 / 3 P 3 / 8 1 / 8 1/ 2 1 / 2 1/ 2 0

13 Να εξεταστεί αν η μαρκοβιανή αλυσίδα είναι μη-διαχωρίσιμη, να ταξινομηθούν όλες οι καταστάσεις, να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι πιθανότητες μέσοι χρόνοι επανάληψης. Άσκηση 43 i για όλες τις καταστάσεις και οι Στην μονάδα ελέγχου ποιότητας ενός εργοστασίου τα προϊόντα έρχονται με κατανομή Poisso με μέση τιμή 4 προϊόντα την ώρα (θεωρητικά δεν υπάρχει περιορισμός χωρητικότητας) και εξυπηρετούνται από έναν υπάλληλο. Ο χρόνος ελέγχου ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο μ=7. Αν Χ είναι ο αριθμός των προϊόντων στο σύστημα μετά τον έλεγχο του -οστου προϊόντος να παρασταθεί η Χ ως μια στοχαστική διαδικασία και να βρεθεί ο πίνακας μετάβασης. Ποια είναι η πιθανότητα μετά την ολοκλήρωση του ελέγχου οποιουδήποτε προϊόντος (σε στατιστική ισορροπία) να υπάρχουν άλλα 2 προϊόντα στο σύστημα. Άσκηση Για τον ελεύθερο απλό τυχαίο περίπατο πάνω στους ακεραίους με p και q η 3 3 κατάσταση 2 είναι επαναληπτική ή παροδική και γιατί; Θεωρείστε ότι το σωματίδιο ξεκινά από την κατάσταση 2 Άσκηση 45 (τροποποιήθηκε) Έστω ένας τυχαίος περίπατος που η θέση του τη -οστη χρονική στιγμή περιγράφεται ως το άθροισμα ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών Y i με μέση τιμή 7. Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχουν δύο φράγματα απορρόφησης στα σημεία -b και a, a,b>0 και ότι αρχικά το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση μηδέν. Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος απορρόφησης και οι πιθανότητες απορρόφησης. Υπόδειξη: Δώστε τη γενική λύση του προβλήματος. Άσκηση 46 Μια εταιρεία κατασκευής κλιματιστικών υποβάλει τα κλιματιστικά με τη σειρά που παράγονται σε τεχνικό έλεγχο ποιότητας και τα χαρακτηρίζει ως «τέλεια» ή «ελαττωματικά». Έχει παρατηρηθεί ότι η ποιότητα κάθε κλιματιστικού εξαρτάται από την ποιότητα του αμέσως προηγούμενου του στη σειρά παραγωγής και ότι ένα «τέλειο» 3 κλιματιστικό ακολουθείται από ένα «τέλειο» με πιθανότητα ενώ «ελαττωματικό» 4 ακολουθείται από ένα «ελαττωματικό» με πιθανότητα 1. Αν το τρίτο κλιματιστικό που 3

14 εξετάζεται είναι «τέλειο» ποια είναι η πιθανότητα να είναι «τέλειο» και το εικοστό; Οι οριακές πιθανότητες υπάρχουν; Άσκηση 47 Έστω ένας τυχαίος περίπατος που η θέση του τη -οστη χρονική στιγμή περιγράφεται ως το άθροισμα ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών 2 Y i ~ N(10,2 ). Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχουν δύο φράγματα απορρόφησης στα σημεία -b και a, a,b>0 και ότι αρχικά το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση μηδέν. Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος απορρόφησης και οι πιθανότητες απορρόφησης. Άσκηση 48 Παίκτης κερδίζει 1 Ευρώ με πιθανότητα 0.6 και χάνει 1 Ευρώ με πιθανότητα 0.4. Έστω ότι αρχικά έχει b Ευρώ, b 0, και σταματά να παίζει όταν τα χρήματα του γίνονται c ή 0 Ευρώ, όπου c b. Έστω X η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει το κέρδος του μετά το οστό παιχνίδι. α) Να αποδείξετε ότι είναι σίγουρο ότι θα τελιώσει κάποια στιγμή το παιχνίδι β) Να βρεθεί η πιθανότητα τα χρήματα του να γίνουν c Ευρώ και να τελιώσει επομένως έτσι το παιχνίδι. γ) Ποιος ο μέσος χρόνος τερματισμού του παιχνιδιού? δ) Αν ο παίκτης είχε αρχικά απεριόριστο αρχικό κεφάλαιο ποια η πιθανότητα να τελιώσει το παιχνίδι; Αν c ποια η αντίστοιχη πιθανότητα να τελιώσει το παιχνίδι; ε) Ποια η πιθανότητα ο παίκτης να έχει κέρδος 0 Ευρώ σε οποιαδήποτε μελλοντική στιγμή. Άσκηση 49 Ένας αργόσχολος περνά το χρόνο του σε ένα καφενείο παίζοντας τάβλι με ένα ευρώ το παιχνίδι. Ξεκινά έχοντας στην τσέπη του 8 ευρώ και σκέπτεται να φύγει μόλις τα κάνει 20, ενώ το καφενείο λειτουργεί όλο το 24ωρο. Η πιθανότητα να κερδίσει ένα παιχνίδι είναι 0.6. Έστω X η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει το κέρδος του μετά το οστό παιχνίδι. α) Να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει το σκοπό του και ο μέσος χρόνος διάρκειας του παιχνιδιού. β) Αν ο παίκτης είχε αρχικά απεριόριστο αρχικό κεφάλαιο ποια η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι; γ) Ποια η πιθανότητα ο παίκτης να έχει κέρδος 0 Ευρώ σε οποιαδήποτε μελλοντική στιγμή. Άσκηση 50 Έστω ότι το κέρδος (θετικό ή αρνητικό) μιας εταιρείας περιγράφεται ως το άθροισμα των κερδών καθενός από το πλήθος ανεξάρτητων και ισόνομων επενδύσεων. Υποθέτουμε: α) ότι το κέρδος κάθε επένδυσης περιγράφεται από την κανονική κατανομή με μέση τιμή 10 και τυπική απόκλιση 2 μονάδες, και β) ότι οι μέτοχοι της εταιρείας θα κλείσουν την εταιρεία

15 αν το κέρδος της γίνει 100 μονάδες ή -10. Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος κλεισίματος της εταιρείας. Άσκηση 51 Στη μονάδα ελέγχου ποιότητας ενός εργοστασίου τα προϊόντα έρχονται με κατανομή Poisso με μέση τιμή 5 προϊόντα ανά μονάδα χρόνου (θεωρητικά δεν υπάρχει περιορισμός χωρητικότητας) και εξυπηρετούνται από έναν υπάλληλο. Αν Χ είναι ο αριθμός των προϊόντων στο σύστημα αμέσως μετά τον έλεγχο του -οστού προϊόντος α. να παρασταθεί ως μια στοχαστική διαδικασία και να βρεθεί ο πίνακας μετάβασης όταν ο χρόνος ελέγχου είναι 3 ή 4 ή 5 μονάδες χρόνου με πιθανότητες ½, ¼ και ¼ αντίστοιχα. β. να βρεθεί η πιθανότητα μετά την ολοκλήρωση του ελέγχου οποιουδήποτε προϊόντος (σε στατιστική ισορροπία) να υπάρχουν άλλα 2 προϊόντα στο σύστημα, αν ο έλεγχος ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο μ=10. Άσκηση 52 Τρεις φίλοι ο Παναγιώτης, ο Κώστας και ο Γιώργος συναντώνται κάθε βράδυ και παίζουν μια παρτίδα βελάκια. Αν κέρδισε την προηγούμενη παρτίδα ο Παναγιώτης τότε με πιθανότητες 0.3, 0.5 και 0.2 ο νικητής της επόμενης παρτίδας είναι ο Παναγιώτης, ο Κώστας ή ο Γιώργος αντίστοιχα. Αν κέρδισε την προηγούμενη παρτίδα ο Κώστας τότε με πιθανότητες 0.6 και 0.4 ο νικητής της επόμενης παρτίδας είναι ο Παναγιώτης ή ο Γιώργος αντίστοιχα. Τέλος, αν κέρδισε την προηγούμενη παρτίδα ο Γιώργος τότε με πιθανότητες 0.4 και 0.6 ο νικητής της επόμενης παρτίδας είναι ο Κώστας ή ο Γιώργος αντίστοιχα. Οι παραπάνω πιθανότητες είναι ανεξάρτητες από το ποιος είχε κερδίσει τις παλαιότερες παρτίδες. Όταν αρχίζουμε να τους παρατηρούμε την Τρίτη η πιθανότητα να έχει κερδίσει την προηγούμενη παρτίδα τη Δευτέρα ο Παναγιώτης είναι 0.4 και αντίστοιχα ο Κώστας 0.3. Αν την τελευταία φορά κέρδισε ο Παναγιώτης πότε προσδοκά να ξανακερδίσει; Άσκηση 53 (τροποποιήθηκε) Αφού γράψετε τον πίνακα μετάβασης ενός απλού τυχαίου περιπάτου με ένα φράγμα ανάκλασης να εξετάσετε αν είναι η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδική ή όχι και πότε. Άσκηση 54 (τροποποιήθηκε) α) Έστω X η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει την κατάσταση μιας τηλεφωνικής γραμμής σε διακριτό χρόνο και με χώρο καταστάσεων {Ελεύθερη,Κατειλημμένη}, δηλαδή X 0 σημαίνει ελεύθερη και X 1 κατειλημμένη. Υποθέτουμε ότι στη διάρκεια κάθε

16 χρονικού διαστήματος υπάρχει πιθανότητα p 1/ 4 να γίνει μία κλήση και επιπλέον για ευκολία υποθέτουμε ότι δεν μπορούν να γίνουν περισσότερες από μία κλήσεις στο διάστημα αυτό. Επιπλέον υποθέτουμε ότι αν η γραμμή είναι κατειλημμένη την i οστή χρονική στιγμή υπάρχει πιθανότητα q 1/ 6 να είναι ελεύθερη την i 1 οστή χρονική στιγμή. Αν η τηλεφωνική γραμμή είναι ελεύθερη τη χρονική στιγμή 0 να βρεθεί η πιθανότητα η τηλεφωνική γραμμή να είναι κατειλημμένη την 6 η χρονική στιγμή. β) Σε συνέχεια του α έχουμε την ακόλουθη τροποποίηση. Ο χώρος καταστάσεων είναι τώρα {Ελεύθερη,Κατειλημμένη, Κατειλημμένη και αναμονή}, δηλαδή X 0 σημαίνει ελεύθερη, X 1 κατειλημμένη και X 2 κατειλημμένη και κάποιος συνομιλητής είναι στην αναμονή. Αφού μοντελοποιήσετε κατάλληλα το πρόβλημα να παραθέσετε τον τρόπο εύρεσης σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας της πιθανότητας η τηλεφωνική γραμμή να είναι ελεύθερη. Άσκηση 55 α) Έστω ότι η Κατερίνα και η Ελένη παίζουν ένα παιχνίδι στο οποίο η Κατερίνα κερδίζει με πιθανότητα p (0<p<1) και χάνει με πιθανότητα q=1-p. i) Ποια η πιθανότητα η Κατερίνα μετά από 10 παιχνίδια να έχει κερδίσει 4 φορές παραπάνω; ii) Ποια η πιθανότητα μετά από 100 παιχνίδια η Κατερίνα να έχει νικήσει από 8 έως και 32 φορές παραπάνω; β) Έστω ότι η Κατερίνα και η Ελένη παίζουν το παραπάνω παιχνίδι και συμφωνούν όποια χάνει να δίνει στην άλλη 1 Ευρώ και ότι το παιχνίδι θα τελειώσει όταν κάποια μείνει χωρίς χρήματα. Αν αρχικά η Κατερίνα είχε 7 Ευρώ και η Ελένη είχε 6 Ευρώ ποια η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι γιατί έχασε η Κατερίνα και ποια η πιθανότητα να τελειώσει γιατί έχασε η Ελένη; Ποιος ο μέσος χρόνος διάρκειας του παιχνιδιού όταν p q ; γ. Ποια η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι όταν η Κατερίνα έχει απεριόριστο αρχικό κεφάλαιο και ποια η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι όταν η Ελένη έχει απεριόριστο 1 p q 4 pq αρχικό κεφάλαιο; Υπόδειξη: 2 Άσκηση 56 Για μια Μαρκοβιανή αλυσίδα δύο καταστάσεων να υπολογιστεί η πιθανότητα η αλυσίδα ξεκινώντας από την κατάσταση i να επισκέπτεται την j για πρώτη φορά μετά από

17 χρονικές στιγμές. Υπόδειξη Ζητείται να προσδιοριστούν οι πιθανότητες i, j 1,2, και 1. f για κάθε ( ) ij Άσκηση 57 Σε ένα ταχυδρομείο που διαθέτει ένα μόνο ταμείο οι πελάτες που φθάνουν σχηματίζουν ουρά και περιμένουν τη σειρά τους για να εξυπηρετηθούν. Στο χρονικό διάστημα που το ταμείο εξυπηρετεί τον οστό πελάτη, έστω X ο αριθμός των πελατών που φθάνουν στο ταχυδρομείο και μπαίνουν στην ουρά. Υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές X, X, 1, X, είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με P( X i) p, i, 0,1, 2, και 0 i0 pi 1. Έστω Y ο αριθμός των πελατών που περιμένουν στην ουρά τη στιγμή που το ταμείο έχει τελειώσει με την εξυπηρέτηση του οστού πελάτη. Τότε: Y ( ) Y 1 Y 1 X, 1,2,, όπου, ( x) 0, αν x 0 και ( x) 1, αν x 0. Δείξτε ότι η Y, 0,1, είναι μία Μαρκοβιανή αλυσίδα σε διακριτό χρόνο και υπολογίστε τις πιθανότητες μετάβασης πρώτης τάξης. i Άσκηση 58 Η πιθανότητα εμφάνισης γραμμάτων κατά τη ρίψη ενός νομίσματος είναι a ενώ για ένα άλλο νόμισμα είναι b. Αν εμφανιστούν γράμματα κατά τη ρίψη ενός από τα δύο νομίσματα, επιλέγουμε το άλλο νόμισμα για την επόμενη ρίψη. Να οριστεί κατάλληλη Μαρκοβιανή αλυσίδα και με τη βοήθεια αυτής να υπολογιστεί η πιθανότητα να χρησιμοποιηθεί για τη τρίτη δοκιμή το πρώτο νόμισμα με την υπόθεση ότι είναι το ίδιο πιθανό να χρησιμοποιηθεί για την πρώτη δοκιμή οποιοδήποτε από τα δύο νομίσματα. Άσκηση 59 (Πρότυπο εξάπλωσης επιδημιών) Φανταστείτε έναν πληθυσμό που αποτελείται από ν άτομα, που είναι όλα υγιή τη χρονική στιγμή 0. Την χρονική στιγμή 1 το καθένα από αυτά νοσεί με πιθανότητα p και παραμένει υγιές με πιθανότητα q. Τα άτομα που προσβλήθηκαν από την ασθένεια αναπτύσσουν ανοσία και επομένως δεν θα νοσήσουν ξανά στο μέλλον, εκείνα που παρέμειναν υγιή τη χρονική στιγμή 1 νοσούν τη χρονική στιγμή 2 με πιθανότητα p κοκ. Το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i όταν υπάρχουν i άτομα στον πληθυσμό που δεν έχουν νοσήσει ακόμη. Να βρεθεί ο πίνακας των πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. Άσκηση 60 (Γενική αλυσίδα γεννήσεων- θανάτων) (τροποποιήθηκε) Θεωρείστε έναν πληθυσμό του οποίου το μέγεθος εξελίσσεται με τον ακόλουθο τρόπο. Αν τη χρονική στιγμή το μέγεθος του πληθυσμού είναι k τότε η πιθανότητα να αυξηθεί

18 (μειωθεί) τη χρονική στιγμή +1 κατά 1 είναι p k ( q k ), ενώ με πιθανότητα rk 1 pk qk, παραμένει αμετάβλητο το μέγεθος. Υποθέτοντας ότι μόνο μία γέννα ή ένας θάνατος μπορεί να συμβεί να προσδιορίσετε τον πίνακα των πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. Πότε η αλυσίδα είναι περιοδική και πότε απεριοδική; Άσκηση 61 Δίνεται η μαρκοβιανή αλυσίδα {Χ, =0, 1, 2 } με χώρο καταστάσεων Ε={1, 2, 3} και πίνακα μεταβάσεων: 1/ 3 1/ 3 1/ 3 P 1/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 6 1/ 3 1/ 2 Να εξεταστεί αν η μαρκοβιανή αλυσίδα είναι μη-διαχωρίσιμη, να ταξινομηθούν όλες οι καταστάσεις, να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι πιθανότητες μέσοι χρόνοι επανάληψης. i για όλες τις καταστάσεις και οι