Συλλογή ασκήσεων στην διδαχθείσα ύλη του μαθήματος. 532 Στοχαστικές Διαδικασίες. Επιμέλεια Ασκήσεων: Απόστολος Μπατσίδης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συλλογή ασκήσεων στην διδαχθείσα ύλη του μαθήματος. 532 Στοχαστικές Διαδικασίες. Επιμέλεια Ασκήσεων: Απόστολος Μπατσίδης"

Transcript

1 Συλλογή ασκήσεων στην διδαχθείσα ύλη του μαθήματος 532 Στοχαστικές Διαδικασίες Επιμέλεια Ασκήσεων: Απόστολος Μπατσίδης Κύρια Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές μέθοδοι στις επιχειρησιακές έρευνες, Βασιλείου Παναγιώτης - Χρήστος 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΑΝΕΛΙΞΕΙΣ, ΧΡΥΣΑΦΙΝΟΥ ΟΥΡΑΝΙΑ 3. Θεωρία στοχαστικών διαδικασιών, Μέρος Α', Κωνσταντινίδης Δημήτριος Γ. 4. Στοιχεία θεωρίας στοχαστικών ανελίξεων, Καλπαζίδου Σοφία Η συλλογή αυτή των ασκήσεων δίνεται στους φοιτητές που παρακολούθησαν το μάθημα Στοχαστικές Διαδικασίες το Ακ. Έτος Περιλαμβάνει ασκήσεις πάνω στην διδαχθείσα ύλη σύμφωνα με τον οδηγό σπουδών του Τμήματός μας. Κάθε παρατήρηση είναι ευπρόσδεκτη. Η πρώτη μορφή αυτών αναρτήθηκε στην ιστοσελίδα του μαθήματος την Δευτέρα Τρέχουσα έκδοση: Γενάρης Άσκηση 1 (Απλούστευση του Μοντέλου των Ehrefest 1 ) Έστω μία κάλπη που περιέχει κ σφαίρες καθεμία από τις οποίες είναι μαύρη ή κόκκινη. Σε κάθε πείραμα (διακριτή χρονική στιγμή) εκλέγουμε μία σφαίρα στην τύχη και την αντικαθιστούμε με μία άλλη του άλλου χρώματος. Έστω Χ ο αριθμός των μαύρων σφαιρών στην κάλπη αμέσως μετά το -οστό πείραμα. Εξετάστε αν η στοχαστική διαδικασία { X, 0,1, 2...} είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα και να προσδιορίστε τον πίνακα μετάβασης ενός βήματος. Είναι ομογενής η μαρκοβιανή αλυσίδα; Άσκηση 2 (Μοντέλο κάλπης του Polya) Έστω μια κάλπη που περιέχει μ μαύρες και κ κόκκινες σφαίρες. Σε κάθε πείραμα (διακριτή χρονική στιγμή) εκλέγουμε τυχαία μια σφαίρα στην τύχη και την τοποθετούμε στην κάλπη προσθέτοντας α σφαίρες του ίδιου χρώματος με αυτήν που εκλέξαμε (α>0). Έστω { X, 0,1, 2...} η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει τον αριθμό των μαύρων 1 Το μοντέλο των Paul και Tatiaa Ehrefest χρησιμοποιήθηκε στη βιβλιογραφία για τη μελέτη της θερμότητας ανάμεσα στα μόρια αερίου.

2 σφαιρών της κάλπης αμέσως μετά το -οστό πείραμα. Να δικαιολογήσετε αν η στοχαστική διαδικασία { X, 0,1, 2...} είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα και να προσδιορίσετε τον πίνακα μετάβασης ενός βήματος. Είναι ομογενής η μαρκοβιανή αλυσίδα; Άσκηση 3 (Μοντέλο διάχυσης Beroulli-Laplace) Σε δύο κάλπες έστω Ι και ΙΙ τοποθετούνται Ν μαύρες και Ν άσπρες σφαίρες τυχαία έτσι ώστε κάθε κάλπη να περιέχει Ν σφαίρες. Σε κάθε πείραμα μια σφαίρα εκλέγεται στην τύχη από κάθε κάλπη και ανταλλάσσονται. Έστω { X, 1, 2...} η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει τον αριθμό των άσπρων σφαιρών της κάλπης Ι αμέσως μετά το -οστό βήμα. Να δικαιολογήσετε αν η στοχαστική διαδικασία { X, 1, 2...} είναι μια μαρκοβιανή αλυσίδα και να προσδιοριστεί ο πίνακας μετάβασης ενός βήματος. Είναι ομογενής η μαρκοβιανή αλυσίδα; Άσκηση 4 Έστω ότι ο πίνακας μετάβασης μιας ομογενούς μαρκοβιανής αλυσίδας με χώρο q p q 0 p q 0 0 p 0 καταστάσεων E {0,1, 2,...} δίνεται από τη σχέση P Να βρεθούν οι πιθανότητες μετάβασης δύο βημάτων p, p, p, και p, p, p, για i 1, 2,... (2) (2) (2) (2) (2) (2) i0 i1 ii2 Άσκηση 5 H κατάσταση του καιρού, έστω X, στην πόλη των Ιωαννίνων κατά τη -oστή ημέρα ορίζεται ως 0 αν η μέρα είναι βροχερή και ως 1 διαφορετικά, με πίνακα μετάβασης P Αν θεωρήσουμε ως αρχική κατάσταση την κατάσταση του καιρού την 1 η Γενάρη ποια η πιθανότητα ο καιρός να μην είναι βροχερός κατά την ημέρα των Φώτων όταν γνωρίζουμε ότι κατά την Πρωτοχρονιά ο καιρός δεν ήταν βροχερός. Αν δεν έχουμε αυτή τη γνώση τότε ποια είναι η πιθανότητα; Θεωρείστε ότι αρχικά οι δύο καταστάσεις είναι ισοπίθανες. Άσκηση 6 Έστω X ο αριθμός των επιτυχιών σε ανεξάρτητες δοκιμές Beroulli με πιθανότητα επιτυχίας p. Για την στοχαστική διαδικασία { X, 1, 2...} να υπολογισθούν οι

3 πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος. Μπορεί να δοθεί τύπος εύρεσης των πιθανοτήτων p. ( ) ij Άσκηση 7 Για τον πίνακα μετάβασης της Άσκησης 4 να υπολογισθούν με βάση τον ορισμό οι ποσότητες: f και μ. * 00 0 επαναληψιμότητα; Άσκηση 8 Μπορείτε να ταξινομήσετε όλες τις καταστάσεις ως προς την Έστω { J, 1, 2...}, ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών Beroulli με P( J 1) p, P( J 0) q 1 p. Για 2,3,... ορίζουμε τη στοχαστική διαδικασία X 0, αν J 1 J 1 1, αν J 1 1, J 0 2, αν J 1 0, J 1 3, αν J 1 J 0 Να δειχθεί ότι η { X, 2,3,...} έχει τη μαρκοβιανή ιδιότητα, να υπολογισθεί ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης P καθώς και η Άσκηση 9 (3) p 00. (Υπόδειξη να μην βρεθεί ο 3 P ). Ένα σωματίδιο εκτελεί τυχαίο περίπατο στα σημεία 0,1,2,3 ενός κύκλου που είναι σημειωμένα κατά τη φορά των δεικτών ενός ρολογιού κάνοντας ένα βήμα δεξιά με πιθανότητα p ή ένα βήμα αριστερά με πιθανότητα q. Έστω X η θέση του σωματιδίου μετά από βήματα. Να προσδιοριστεί ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. Ποια η πιθανότητα να βρίσκεται τη δεύτερη χρονική στιγμή στη θέση 3 αν αρχικά μπορεί να βρίσκεται σε οποιαδήποτε κατάσταση ισοπίθανα. Άσκηση 10 Ένα ποντίκι κινείται σε εννέα χώρους ενός σπιτιού ως εξής. Αν το πρωί μιας μέρας βρίσκεται στο χώρο ι τότε επιλέγει τυχαία (και ισοπίθανα) έναν από τους χώρους που επικοινωνεί ο ι-οστός χώρος για να είναι το επόμενο πρωί. Είναι γνωστό ότι ο χώρος 1 επικοινωνεί μόνο με τον 2, ο οποίος επικοινωνεί και με τον τρία. Ο χώρος 3 επικοινωνεί με τον 4, ο οποίος συνδέεται με τον 5, ο οποίος επικοινωνεί με τον 6 και 8. Ο χώρος 8 επικοινωνεί με τον 7 και τον 9 ενώ ο 7 επικοινωνεί επιπλέον με τον 6. Να προσδιοριστεί ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος της στοχαστικής διαδικασίας { X, 0,1, 2,...} που περιγράφει τη θέση του ποντικιού τη -οστή ημέρα. Να υπολογισθεί η (3) p 65.

4 Άσκηση 11 Να εξετάσετε τις καταστάσεις των ομογενών μαρκοβιανών αλυσίδων που έχουν τους ακόλουθους πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. α) / 2 1/ P, β) 1/ 3 1/ 3 0 1/ 3 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ P 1/ 2 1/ / 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 γ) P, δ) 1/ 2 1/ / 3 1/ 3 1/ 3 0 1/ 2 1/ / 3 1/ 3 1/ 3 0 P 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 ε) 1/ / 4 2 /16 4 /16 5/16 6/16 P 1/ 4 1/ 4 0 1/ 2 1/8 3/8 1/ 8 1/8 Άσκηση 12 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3, 4} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P p q Είναι διαχωρίσιμη; Μπορείτε να ταξινομήσετε τις καταστάσεις; Δίνεται ότι 0 p 1 και q 1 p. Υπόδειξη: Δείξτε ότι όλες οι καταστάσεις είναι θετικώς επαναληπτικές, επικοινωνούν ανά δύο μεταξύ τους και είναι περιοδικές με περίοδο d 3. Άσκηση 13 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης p 0 q P q 0 p

5 Να ταξινομήσετε τις καταστάσεις. Άσκηση 14 Έστω ότι ο πίνακας μετάβασης μιας ομογενούς μαρκοβιανής αλυσίδας δίνεται από τη σχέση 1/ 2 1/ / 3 0 1/ / / 4 0 P k 1 1 δηλαδή pk 0, pk, k 1, k 0,1,... Είναι η αλυσίδα μη διαχωρίσιμη; Να k 2 k 2 χαρακτηρίσετε την κατάσταση 0 ως προς την επαναληψιμότητα με βάση τον ορισμό. Δίνεται ότι και e 1.! ( 1)!! ( 1)! 1 1 Υπόδειξη: Δείξτε ότι (1) (2) 1 2 () f00 0.5, f00, f ( 1) Άσκηση 15 Έστω μια ομογενής μαρκοβιανή αλυσίδα της οποίας ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης 1 k 1 ενός βήματος καθορίζεται από τις σχέσεις pk 0, pk, k 1, k 0,1,... Είναι η k 2 k 2 αλυσίδα μη διαχωρίσιμη; Να χαρακτηρίσετε την κατάσταση 0 ως προς την επαναληψιμότητα με βάση τον ορισμό. Δίνεται ότι Άσκηση και. ( 1) ( 1) 1 1 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {0,1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης q 0 p 0 P 0 q 0 p

6 Να ταξινομηθούν οι καταστάσεις. Άσκηση 17 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης 0 p q P q 0 p p q 0 Είναι διαχωρίσιμη; Μπορείτε να ταξινομήσετε τις καταστάσεις; Να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. Άσκηση 18 Υποθέτουμε ότι τα φυτά μιας περιοχής κατανέμονται ως εξής 0=χορτάρι, 1=θάμνος, 2=μικρό δένδρο 3=μεγάλο δένδρο και ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος θεωρώντας ως μια χρονική μονάδα το ένα έτος είναι 1/ 2 1/ / 24 7 /8 1/12 0 P 1/ / 9 1/12 1/ /8 Να βρεθούν οι πιθανότητες που εκφράζουν την κατάσταση της περιοχής μετά από πολλά χρόνια. Άσκηση 19 Παίκτης ξεκινά να παίζει ένα τυχερό παιχνίδι με 10 ευρώ. Σε κάθε «μονομαχία» κερδίζει ή χάνει ένα ευρώ με πιθανότητα 1/2 και 1/3 αντίστοιχα. Το παιχνίδι σταματά όταν τα χρήματα του γίνονται 15 ή 0 ευρώ. Να βρεθεί η πιθανότητα τα χρήματα του να γίνουν 0 ευρώ. Άσκηση 20 Ένας μπασκετμπολίστας από τους γνωστούς γυρολόγους μετακινείται μεταξύ 3 ομάδων. Η πιθανότητα μεταγραφής από τη μία ομάδα στην άλλη ομάδα εξαρτάται μόνο από την ομάδα που βρίσκεται στην παρούσα περίοδο. Οι πιθανότητες μετάβασης ενός βήματος δίνονται στον ακόλουθο πίνακα P

7 α) Να βρεθούν οι πιθανότητες των προτιμήσεων του παίκτη μετά από μεγάλο χρονικό διάστημα. β) Αν φέτος παίζει στην ομάδα 2 μετά από πόσα χρόνια προσδοκά να ξαναπαίξει στην ομάδα 2. Άσκηση 21 Μελετώντας τα αποτελέσματα των εκλογών του Τεχνικού Επιμελητηρίου παρατηρούμε τα εξής ως προς τις παρατάξεις Α, Β, Γ. Όσοι ψηφίζουν την παράταξη Α στις επόμενες εκλογές την ψηφίζουν με πιθανότητα 0.8 και την Β με πιθανότητα 0.2. Όσοι ψηφίζουν την παράταξη Β στις επόμενες εκλογές την ψηφίζουν πάλι με πιθανότητα 0.6 ενώ ισοπίθανα τις άλλες δύο. Τέλος όσοι ψηφίζουν την παράταξη Γ την ξαναψηφίζουν με πιθανότητα 1. Ποια η πιθανότητα κάποιος που εκλέγεται τυχαία την 4 η χρονιά να έχει ψηφίσει την παράταξη Α δεδομένου ότι την ψήφισε την πρώτη χρονιά; Άσκηση 22 Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης 1/ 3 1/ 3 1/ 3 P 2 / 3 0 1/ 3. 3 / 4 0 1/ 4 Να υπολογισθούν οι πιθανότητες P( X 2 2) και P( X1 3, X 2 1, X 3 1, X 4 3) όταν P( X i) 1/ 3, i 1, 2,3. Να γίνει κατάταξη των καταστάσεων και να υπολογισθούν οι 0 οριακές πιθανότητες. Άσκηση 23 Ο κ. Μπατσίδης σιχαίνεται τις ομπρέλες και για το λόγο αυτό έχει 3 σκούφους, τους οποίους χρησιμοποιεί με τον ακόλουθο τρόπο. Όταν κάνει τη διαδρομή σπίτι-γραφείο και βρέχει ή χιονίζει το οποίο γίνεται με πιθανότητα p τότε φοράει ένα σκουφάκι. Αν στην επιστροφή γραφείο-σπίτι βρέχει ή χιονίζει το οποίο συμβαίνει με πιθανότητα p τότε φοράει πάλι το σκουφάκι αλλιώς επειδή είναι πολύ αφηρημένος το αφήνει στο γραφείο. Αν ξεκινώντας τη διαδρομή του δε βρέχει ή δε χιονίζει τότε δεν παίρνει μαζί του σκούφο. Έστω X, 1, 2,... παριστάνει τον αριθμό των σκούφων στην αρχή της -οστής διαδρομής. Είναι μαρκοβιανή αλυσίδα; Να προσδιοριστεί ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. Να βρεθεί ποια είναι η πιθανότητα μετά από πολλές μέρες εκεί που βρίσκεται να μην υπάρχει σκούφος, το ποσοστό των διαδρομών που βρέχεται και να προσδιοριστεί η πιθανότητα έτσι ώστε να βρέχεται όσο το δυνατόν περισσότερο. Άσκηση 24 Στη θέση Κατάρα του δρόμου Ιωάννινα Τρίκαλα μια μέρα χαρακτηρίζεται ως χιονισμένη ή καθαρή. Αν μια χιονισμένη μέρα διαδέχεται μια καθαρή με πιθανότητα 0.25 ενώ μια καθαρή διαδέχεται μια χιονισμένη με πιθανότητα να βρεθεί η πιθανότητα ένα

8 αυτοκίνητο να χρειαστεί αλυσίδες στις αν τα χριστούγεννα (25-12) ήταν χιονισμένα. Ποιο το μέσο μήκος μιας χιονισμένης περιόδου; Άσκηση Αν P μιας Μ.Α. να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης Άσκηση / / 3 1/ / 4 0 Αν P είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να εξετάσετε αν πρόκειται για απεριοδική μαρκοβιανή αλυσίδα; Άσκηση Αν P είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. Άσκηση 28 Έστω ένα κοπάδι από ζώα που κινούνται ελεύθερα και το ενδιαφέρον μας επικεντρώνεται στη μελέτη των θηλυκών του κοπαδιού. Κάθε θηλυκό της αγέλης και κάθε έτος αποκτά ένα θηλυκό με πιθανότητα p ενώ η πιθανότητα να αποκτήσει περισσότερα από 1 θηλυκά είναι 0. Η συμπεριφορά των ζώων είναι ανεξάρτητη από το μέγεθος του πληθυσμού και το ένα μέλος του κοπαδιού δεν επηρεάζεται από τι θα γεννήσει το άλλο. Έστω X, 1, 2,... η στοχαστική διαδικασία που εκφράζει το πλήθος των θηλυκών μετά τη -οστή γέννα. Θεωρώντας ότι δεν υπάρχει θνησιμότητα στον πληθυσμό και ότι το είναι πολύ μικρότερο

9 του χρόνου ζωής των ζώων να αιτιολογήσετε ότι πρόκειται για μαρκοβιανή αλυσίδα και να προσδιορίσετε τον πίνακα μετάβασης P. Άσκηση 29 Μια εταιρεία κατασκευής ψυγείων υποβάλλει τα ψυγεία με τη σειρά που παράγονται σε τεχνικό έλεγχο ποιότητας και τα χαρακτηρίζει ως τέλεια ή ελαττωματικά. Έχει παρατηρηθεί ότι η ποιότητα του κάθε ψυγείου εξαρτάται από την ποιότητα του αμέσως προηγούμενού του και ότι ένα τέλειο ψυγείο ακολουθείται από ένα τέλειο με πιθανότητα ¾ ενώ ένα ελαττωματικό από ένα ελαττωματικό με πιθανότητα 1/3. Αν το τρίτο ψυγείο που εξετάζεται είναι τέλειο ποια η πιθανότητα να είναι τέλειο και το δωδέκατο. Μετά από πάρα πολλούς ελέγχους ποια η πιθανότητα ένα ψυγείο να είναι τέλειο. Αν το πρώτο ψυγείο ήταν τέλειο ποια η πιθανότητα να είναι το πέμπτο ψυγείο εκείνο που θα είναι ελαττωματικό για πρώτη φορά. Αν εξετάσουμε στην τύχη ένα ψυγείο και το βρούμε τέλειο μετά από πόσα ψυγεία αναμένουμε να ελέγξουμε ελαττωματικό ψυγείο; Άσκηση 30 1/ / Αν P 1/ 3 1/ 3 1/ βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να Άσκηση 31 Σε ένα ιατρικό πείραμα μετρήσεις λαμβάνονται και ταξινομούνται σε μία από τις κατηγορίες 1,2,3,4,5. Έχει παρατηρηθεί ότι η κατηγορία στην οποία ταξινομείται μια μέτρηση εξαρτάται μόνο από την κατηγορία στην οποία ταξινομήθηκε η αμέσως προηγούμενη και ότι οι αντίστοιχες πιθανότητες δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί Προηγ\Τωρίνη /2 0 1/ /4 0 1/4 1/2 3 1/2 1/ /2 0 1/ Μετά από πάρα πολλές επαναλήψεις του πειράματος ποια η πιθανότητα μια μέτρηση να ανήκει στην 5 η κατηγορία. Αν μια τυχαία μέτρηση ταξινομήθηκε στην 3 η κατηγορία ποιος ο μέσος αριθμός πειραμάτων μέχρις ότου ταξινομηθεί στην ίδια κατηγορία.

10 Άσκηση 32 (διορθώθηκε τυπογραφικό λάθος) 1/ 2 0 1/ / 3 1/ 3 1/ 3 Αν P 1/ / να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. Άσκηση 33 (τροποποιήθηκε) Στις εισαγωγικές εξετάσεις σε κάποια στρατιωτική σχολή προβάλλονται στον υποψήφιο μια σειρά από εικόνες. Μετά την προβολή κάθε εικόνας ο υποψήφιος ρωτάται να περιγράψει τι ακριβώς είδε. Οι απαντήσεις βαθμολογούνται με 1=Άριστα 2=Ικανοποιητικά Γ=Λανθασμένα. Έχει παρατηρηθεί ότι κάθε απάντηση του υποψηφίου επηρεάζεται αποκλειστικά από την προηγούμενη και οι πιθανότητες μετάβασης από απάντηση σε απάντηση δίνονται στον ακόλουθο πίνακα Προηγ\Τωρίνη /2 1/ /8 1/2 3/8 3 1/3 1/3 1/3 Αν κάποιος υποψήφιος δίνει για την πρώτη εικόνα ικανοποιητική απάντηση ποια η πιθανότητα να δώσει άριστη απάντηση στην τρίτη. Υπάρχει στατιστική ισορροπία μετά από ένα πολύ μεγάλο αριθμό προβολών; Ναι ή όχι και γιατί; Αν ναι εξετάστε αν μπορούν να βρεθούν οι πιθανότητες σε στατιστική ισορροπία των τριών ειδών απαντήσεων με το Θεώρημα του Foster; Στην περίπτωση που ο πίνακας είναι ο Προηγ\Τωρίνη ποια η πιθανότητα μια μέτρηση να ανήκει στην 3 η κατηγορία μετά από πάρα πολλές επαναλήψεις του πειράματος. Αν μια τυχαία μέτρηση ταξινομήθηκε στην 3 η κατηγορία ποιος ο μέσος αριθμός πειραμάτων μέχρις ότου ταξινομηθεί στην ίδια κατηγορία Άσκηση / 2 0 1/ 2 0 Αν P / / 4 0 1/ 2 0 1/ 2 0 βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να

11 Άσκηση 35 (τροποποιήθηκε) Σε ένα ταμείο ενός κινηματογράφου (με έναν υπάλληλο) πελάτες καταφθάνουν σύμφωνα με την κατανομή Poisso με παράμετρο λ και αν βρουν τον υπάλληλο απασχολημένο περιμένουν σε μια ουρά άπειρης χωρητικότητας να έρθει η σειρά τους. Έχει παρατηρηθεί ότι ο χρόνος παραμονής κάθε πελάτη στο ταμείο ακολουθεί μια γενική κατανομή με σ.π.π. b( t),0 t. Αν X, 1, 2,... είναι ο αριθμός των πελατών στο ταμείο και στην ουρά αμέσως μετά την εξυπηρέτηση του -οστού πελάτη να παρασταθεί ως μαρκοβιανή αλυσίδα και να βρεθεί ο πίνακας μεταβάσεων P. Δοθέντος ότι b( t) exp( t), 0 t να βρεθούν οι πιθανότητες σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας. Άσκηση Αν P είναι ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης μιας Μ.Α. να βρεθούν οι οριακές πιθανότητες. Άσκηση 37 Έστω η ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης P Να υπολογιστούν οι πιθανότητες P X 3/ X 1 και P X 3, X 3/ X Θεωρείστε ότι αρχικά μπορεί να βρίσκεται σε κάθε κατάσταση ισοπίθανα. Άσκηση Έστω η Μαρκοβιανή αλυσίδα { X, 1, 2,...} με χώρο καταστάσεων E {1, 2,3} και πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης 2 p 1 2 p 0 P 0.5 p 2 p 0.5 p p 2 p Υπολογίστε το μέσο χρόνο επανάληψης κάθε κατάστασης.

12 Άσκηση 39 Θεωρούμε ότι ένα σύστημα εκπαίδευσης αποτελείται από d στάδια καθένα εκ των οποίων διαρκεί από μία χρονική μονάδα. Στο τέλος κάθε σταδίου η προαγωγή ενός φοιτητή αποφασίζεται με εξετάσεις. Έτσι το τέλος κάθε χρονικής περιόδου ένας φοιτητής περνάει τις εξετάσεις του και προάγεται στο επόμενο στάδιο, αποτυγχάνει στις εξετάσεις και επαναλαμβάνει το στάδιο και εγκαταλείπει πριν τις εξετάσεις και φεύγει από το σύστημα (d+1 στάδιο). Να περιγραφεί η πρόοδος του φοιτητή σαν μια μαρκοβιανή διαδικασία και να γραφεί ο πίνακας μετάβασης. Άσκηση 40 (τροποποιήθηκε) Ένα κατάστημα χαρακτηρίζει μια μέρα λειτουργίας του ως κακή ή καλή ανάλογα με το τζίρο του. Αν μία κακή μέρα διαδέχεται μία καλή με πιθανότητα και μια καλή μέρα διαδέχεται μία κακή με πιθανότητα 0.25, να βρεθούν ι) η πιθανότητα η Πέμπτη 6 Σεπτεμβρίου να χαρακτηρισθεί ως καλή μέρα αν σήμερα 1 η Σεπτεμβρίου είναι καλή μέρα, και ιι) το μέσο μήκος μιας περιόδου που χαρακτηρίζεται από καλές μέρες; Άσκηση 41 (τροποποιήθηκε) Έστω ένας τυχαίος περίπατος που η θέση του τη -οστη χρονική στιγμή περιγράφεται ως το άθροισμα ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών Y i με συνάρτηση πιθανότητας 1/ 4, y 1 P( Yi y) 1/ 4, y=2 1/ 2, y=-2 Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχουν δύο φράγματα απορρόφησης στα σημεία -b και a, με a,b>0 και ότι αρχικά το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση μηδέν. Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος απορρόφησης και οι πιθανότητες απορρόφησης. Υπόδειξη: Απλά να γραφεί ο τρόπος προσδιορισμού τους. Άσκηση 42 Δίνεται η μαρκοβιανή αλυσίδα {Χ, =0, 1, 2 } με χώρο καταστάσεων Ε={1, 2, 3} και πίνακα μεταβάσεων: 0 2 / 3 1 / 3 P 3 / 8 1 / 8 1/ 2 1 / 2 1/ 2 0

13 Να εξεταστεί αν η μαρκοβιανή αλυσίδα είναι μη-διαχωρίσιμη, να ταξινομηθούν όλες οι καταστάσεις, να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι πιθανότητες μέσοι χρόνοι επανάληψης. Άσκηση 43 i για όλες τις καταστάσεις και οι Στην μονάδα ελέγχου ποιότητας ενός εργοστασίου τα προϊόντα έρχονται με κατανομή Poisso με μέση τιμή 4 προϊόντα την ώρα (θεωρητικά δεν υπάρχει περιορισμός χωρητικότητας) και εξυπηρετούνται από έναν υπάλληλο. Ο χρόνος ελέγχου ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο μ=7. Αν Χ είναι ο αριθμός των προϊόντων στο σύστημα μετά τον έλεγχο του -οστου προϊόντος να παρασταθεί η Χ ως μια στοχαστική διαδικασία και να βρεθεί ο πίνακας μετάβασης. Ποια είναι η πιθανότητα μετά την ολοκλήρωση του ελέγχου οποιουδήποτε προϊόντος (σε στατιστική ισορροπία) να υπάρχουν άλλα 2 προϊόντα στο σύστημα. Άσκηση Για τον ελεύθερο απλό τυχαίο περίπατο πάνω στους ακεραίους με p και q η 3 3 κατάσταση 2 είναι επαναληπτική ή παροδική και γιατί; Θεωρείστε ότι το σωματίδιο ξεκινά από την κατάσταση 2 Άσκηση 45 (τροποποιήθηκε) Έστω ένας τυχαίος περίπατος που η θέση του τη -οστη χρονική στιγμή περιγράφεται ως το άθροισμα ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών Y i με μέση τιμή 7. Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχουν δύο φράγματα απορρόφησης στα σημεία -b και a, a,b>0 και ότι αρχικά το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση μηδέν. Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος απορρόφησης και οι πιθανότητες απορρόφησης. Υπόδειξη: Δώστε τη γενική λύση του προβλήματος. Άσκηση 46 Μια εταιρεία κατασκευής κλιματιστικών υποβάλει τα κλιματιστικά με τη σειρά που παράγονται σε τεχνικό έλεγχο ποιότητας και τα χαρακτηρίζει ως «τέλεια» ή «ελαττωματικά». Έχει παρατηρηθεί ότι η ποιότητα κάθε κλιματιστικού εξαρτάται από την ποιότητα του αμέσως προηγούμενου του στη σειρά παραγωγής και ότι ένα «τέλειο» 3 κλιματιστικό ακολουθείται από ένα «τέλειο» με πιθανότητα ενώ «ελαττωματικό» 4 ακολουθείται από ένα «ελαττωματικό» με πιθανότητα 1. Αν το τρίτο κλιματιστικό που 3

14 εξετάζεται είναι «τέλειο» ποια είναι η πιθανότητα να είναι «τέλειο» και το εικοστό; Οι οριακές πιθανότητες υπάρχουν; Άσκηση 47 Έστω ένας τυχαίος περίπατος που η θέση του τη -οστη χρονική στιγμή περιγράφεται ως το άθροισμα ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών 2 Y i ~ N(10,2 ). Υποθέτουμε επίσης ότι υπάρχουν δύο φράγματα απορρόφησης στα σημεία -b και a, a,b>0 και ότι αρχικά το σωματίδιο βρίσκεται στη θέση μηδέν. Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος απορρόφησης και οι πιθανότητες απορρόφησης. Άσκηση 48 Παίκτης κερδίζει 1 Ευρώ με πιθανότητα 0.6 και χάνει 1 Ευρώ με πιθανότητα 0.4. Έστω ότι αρχικά έχει b Ευρώ, b 0, και σταματά να παίζει όταν τα χρήματα του γίνονται c ή 0 Ευρώ, όπου c b. Έστω X η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει το κέρδος του μετά το οστό παιχνίδι. α) Να αποδείξετε ότι είναι σίγουρο ότι θα τελιώσει κάποια στιγμή το παιχνίδι β) Να βρεθεί η πιθανότητα τα χρήματα του να γίνουν c Ευρώ και να τελιώσει επομένως έτσι το παιχνίδι. γ) Ποιος ο μέσος χρόνος τερματισμού του παιχνιδιού? δ) Αν ο παίκτης είχε αρχικά απεριόριστο αρχικό κεφάλαιο ποια η πιθανότητα να τελιώσει το παιχνίδι; Αν c ποια η αντίστοιχη πιθανότητα να τελιώσει το παιχνίδι; ε) Ποια η πιθανότητα ο παίκτης να έχει κέρδος 0 Ευρώ σε οποιαδήποτε μελλοντική στιγμή. Άσκηση 49 Ένας αργόσχολος περνά το χρόνο του σε ένα καφενείο παίζοντας τάβλι με ένα ευρώ το παιχνίδι. Ξεκινά έχοντας στην τσέπη του 8 ευρώ και σκέπτεται να φύγει μόλις τα κάνει 20, ενώ το καφενείο λειτουργεί όλο το 24ωρο. Η πιθανότητα να κερδίσει ένα παιχνίδι είναι 0.6. Έστω X η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει το κέρδος του μετά το οστό παιχνίδι. α) Να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει το σκοπό του και ο μέσος χρόνος διάρκειας του παιχνιδιού. β) Αν ο παίκτης είχε αρχικά απεριόριστο αρχικό κεφάλαιο ποια η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι; γ) Ποια η πιθανότητα ο παίκτης να έχει κέρδος 0 Ευρώ σε οποιαδήποτε μελλοντική στιγμή. Άσκηση 50 Έστω ότι το κέρδος (θετικό ή αρνητικό) μιας εταιρείας περιγράφεται ως το άθροισμα των κερδών καθενός από το πλήθος ανεξάρτητων και ισόνομων επενδύσεων. Υποθέτουμε: α) ότι το κέρδος κάθε επένδυσης περιγράφεται από την κανονική κατανομή με μέση τιμή 10 και τυπική απόκλιση 2 μονάδες, και β) ότι οι μέτοχοι της εταιρείας θα κλείσουν την εταιρεία

15 αν το κέρδος της γίνει 100 μονάδες ή -10. Να υπολογισθεί ο μέσος χρόνος κλεισίματος της εταιρείας. Άσκηση 51 Στη μονάδα ελέγχου ποιότητας ενός εργοστασίου τα προϊόντα έρχονται με κατανομή Poisso με μέση τιμή 5 προϊόντα ανά μονάδα χρόνου (θεωρητικά δεν υπάρχει περιορισμός χωρητικότητας) και εξυπηρετούνται από έναν υπάλληλο. Αν Χ είναι ο αριθμός των προϊόντων στο σύστημα αμέσως μετά τον έλεγχο του -οστού προϊόντος α. να παρασταθεί ως μια στοχαστική διαδικασία και να βρεθεί ο πίνακας μετάβασης όταν ο χρόνος ελέγχου είναι 3 ή 4 ή 5 μονάδες χρόνου με πιθανότητες ½, ¼ και ¼ αντίστοιχα. β. να βρεθεί η πιθανότητα μετά την ολοκλήρωση του ελέγχου οποιουδήποτε προϊόντος (σε στατιστική ισορροπία) να υπάρχουν άλλα 2 προϊόντα στο σύστημα, αν ο έλεγχος ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο μ=10. Άσκηση 52 Τρεις φίλοι ο Παναγιώτης, ο Κώστας και ο Γιώργος συναντώνται κάθε βράδυ και παίζουν μια παρτίδα βελάκια. Αν κέρδισε την προηγούμενη παρτίδα ο Παναγιώτης τότε με πιθανότητες 0.3, 0.5 και 0.2 ο νικητής της επόμενης παρτίδας είναι ο Παναγιώτης, ο Κώστας ή ο Γιώργος αντίστοιχα. Αν κέρδισε την προηγούμενη παρτίδα ο Κώστας τότε με πιθανότητες 0.6 και 0.4 ο νικητής της επόμενης παρτίδας είναι ο Παναγιώτης ή ο Γιώργος αντίστοιχα. Τέλος, αν κέρδισε την προηγούμενη παρτίδα ο Γιώργος τότε με πιθανότητες 0.4 και 0.6 ο νικητής της επόμενης παρτίδας είναι ο Κώστας ή ο Γιώργος αντίστοιχα. Οι παραπάνω πιθανότητες είναι ανεξάρτητες από το ποιος είχε κερδίσει τις παλαιότερες παρτίδες. Όταν αρχίζουμε να τους παρατηρούμε την Τρίτη η πιθανότητα να έχει κερδίσει την προηγούμενη παρτίδα τη Δευτέρα ο Παναγιώτης είναι 0.4 και αντίστοιχα ο Κώστας 0.3. Αν την τελευταία φορά κέρδισε ο Παναγιώτης πότε προσδοκά να ξανακερδίσει; Άσκηση 53 (τροποποιήθηκε) Αφού γράψετε τον πίνακα μετάβασης ενός απλού τυχαίου περιπάτου με ένα φράγμα ανάκλασης να εξετάσετε αν είναι η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδική ή όχι και πότε. Άσκηση 54 (τροποποιήθηκε) α) Έστω X η στοχαστική διαδικασία που περιγράφει την κατάσταση μιας τηλεφωνικής γραμμής σε διακριτό χρόνο και με χώρο καταστάσεων {Ελεύθερη,Κατειλημμένη}, δηλαδή X 0 σημαίνει ελεύθερη και X 1 κατειλημμένη. Υποθέτουμε ότι στη διάρκεια κάθε

16 χρονικού διαστήματος υπάρχει πιθανότητα p 1/ 4 να γίνει μία κλήση και επιπλέον για ευκολία υποθέτουμε ότι δεν μπορούν να γίνουν περισσότερες από μία κλήσεις στο διάστημα αυτό. Επιπλέον υποθέτουμε ότι αν η γραμμή είναι κατειλημμένη την i οστή χρονική στιγμή υπάρχει πιθανότητα q 1/ 6 να είναι ελεύθερη την i 1 οστή χρονική στιγμή. Αν η τηλεφωνική γραμμή είναι ελεύθερη τη χρονική στιγμή 0 να βρεθεί η πιθανότητα η τηλεφωνική γραμμή να είναι κατειλημμένη την 6 η χρονική στιγμή. β) Σε συνέχεια του α έχουμε την ακόλουθη τροποποίηση. Ο χώρος καταστάσεων είναι τώρα {Ελεύθερη,Κατειλημμένη, Κατειλημμένη και αναμονή}, δηλαδή X 0 σημαίνει ελεύθερη, X 1 κατειλημμένη και X 2 κατειλημμένη και κάποιος συνομιλητής είναι στην αναμονή. Αφού μοντελοποιήσετε κατάλληλα το πρόβλημα να παραθέσετε τον τρόπο εύρεσης σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας της πιθανότητας η τηλεφωνική γραμμή να είναι ελεύθερη. Άσκηση 55 α) Έστω ότι η Κατερίνα και η Ελένη παίζουν ένα παιχνίδι στο οποίο η Κατερίνα κερδίζει με πιθανότητα p (0<p<1) και χάνει με πιθανότητα q=1-p. i) Ποια η πιθανότητα η Κατερίνα μετά από 10 παιχνίδια να έχει κερδίσει 4 φορές παραπάνω; ii) Ποια η πιθανότητα μετά από 100 παιχνίδια η Κατερίνα να έχει νικήσει από 8 έως και 32 φορές παραπάνω; β) Έστω ότι η Κατερίνα και η Ελένη παίζουν το παραπάνω παιχνίδι και συμφωνούν όποια χάνει να δίνει στην άλλη 1 Ευρώ και ότι το παιχνίδι θα τελειώσει όταν κάποια μείνει χωρίς χρήματα. Αν αρχικά η Κατερίνα είχε 7 Ευρώ και η Ελένη είχε 6 Ευρώ ποια η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι γιατί έχασε η Κατερίνα και ποια η πιθανότητα να τελειώσει γιατί έχασε η Ελένη; Ποιος ο μέσος χρόνος διάρκειας του παιχνιδιού όταν p q ; γ. Ποια η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι όταν η Κατερίνα έχει απεριόριστο αρχικό κεφάλαιο και ποια η πιθανότητα να τελειώσει το παιχνίδι όταν η Ελένη έχει απεριόριστο 1 p q 4 pq αρχικό κεφάλαιο; Υπόδειξη: 2 Άσκηση 56 Για μια Μαρκοβιανή αλυσίδα δύο καταστάσεων να υπολογιστεί η πιθανότητα η αλυσίδα ξεκινώντας από την κατάσταση i να επισκέπτεται την j για πρώτη φορά μετά από

17 χρονικές στιγμές. Υπόδειξη Ζητείται να προσδιοριστούν οι πιθανότητες i, j 1,2, και 1. f για κάθε ( ) ij Άσκηση 57 Σε ένα ταχυδρομείο που διαθέτει ένα μόνο ταμείο οι πελάτες που φθάνουν σχηματίζουν ουρά και περιμένουν τη σειρά τους για να εξυπηρετηθούν. Στο χρονικό διάστημα που το ταμείο εξυπηρετεί τον οστό πελάτη, έστω X ο αριθμός των πελατών που φθάνουν στο ταχυδρομείο και μπαίνουν στην ουρά. Υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές X, X, 1, X, είναι ανεξάρτητες και ισόνομες με P( X i) p, i, 0,1, 2, και 0 i0 pi 1. Έστω Y ο αριθμός των πελατών που περιμένουν στην ουρά τη στιγμή που το ταμείο έχει τελειώσει με την εξυπηρέτηση του οστού πελάτη. Τότε: Y ( ) Y 1 Y 1 X, 1,2,, όπου, ( x) 0, αν x 0 και ( x) 1, αν x 0. Δείξτε ότι η Y, 0,1, είναι μία Μαρκοβιανή αλυσίδα σε διακριτό χρόνο και υπολογίστε τις πιθανότητες μετάβασης πρώτης τάξης. i Άσκηση 58 Η πιθανότητα εμφάνισης γραμμάτων κατά τη ρίψη ενός νομίσματος είναι a ενώ για ένα άλλο νόμισμα είναι b. Αν εμφανιστούν γράμματα κατά τη ρίψη ενός από τα δύο νομίσματα, επιλέγουμε το άλλο νόμισμα για την επόμενη ρίψη. Να οριστεί κατάλληλη Μαρκοβιανή αλυσίδα και με τη βοήθεια αυτής να υπολογιστεί η πιθανότητα να χρησιμοποιηθεί για τη τρίτη δοκιμή το πρώτο νόμισμα με την υπόθεση ότι είναι το ίδιο πιθανό να χρησιμοποιηθεί για την πρώτη δοκιμή οποιοδήποτε από τα δύο νομίσματα. Άσκηση 59 (Πρότυπο εξάπλωσης επιδημιών) Φανταστείτε έναν πληθυσμό που αποτελείται από ν άτομα, που είναι όλα υγιή τη χρονική στιγμή 0. Την χρονική στιγμή 1 το καθένα από αυτά νοσεί με πιθανότητα p και παραμένει υγιές με πιθανότητα q. Τα άτομα που προσβλήθηκαν από την ασθένεια αναπτύσσουν ανοσία και επομένως δεν θα νοσήσουν ξανά στο μέλλον, εκείνα που παρέμειναν υγιή τη χρονική στιγμή 1 νοσούν τη χρονική στιγμή 2 με πιθανότητα p κοκ. Το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση i όταν υπάρχουν i άτομα στον πληθυσμό που δεν έχουν νοσήσει ακόμη. Να βρεθεί ο πίνακας των πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. Άσκηση 60 (Γενική αλυσίδα γεννήσεων- θανάτων) (τροποποιήθηκε) Θεωρείστε έναν πληθυσμό του οποίου το μέγεθος εξελίσσεται με τον ακόλουθο τρόπο. Αν τη χρονική στιγμή το μέγεθος του πληθυσμού είναι k τότε η πιθανότητα να αυξηθεί

18 (μειωθεί) τη χρονική στιγμή +1 κατά 1 είναι p k ( q k ), ενώ με πιθανότητα rk 1 pk qk, παραμένει αμετάβλητο το μέγεθος. Υποθέτοντας ότι μόνο μία γέννα ή ένας θάνατος μπορεί να συμβεί να προσδιορίσετε τον πίνακα των πιθανοτήτων μετάβασης ενός βήματος. Πότε η αλυσίδα είναι περιοδική και πότε απεριοδική; Άσκηση 61 Δίνεται η μαρκοβιανή αλυσίδα {Χ, =0, 1, 2 } με χώρο καταστάσεων Ε={1, 2, 3} και πίνακα μεταβάσεων: 1/ 3 1/ 3 1/ 3 P 1/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 6 1/ 3 1/ 2 Να εξεταστεί αν η μαρκοβιανή αλυσίδα είναι μη-διαχωρίσιμη, να ταξινομηθούν όλες οι καταστάσεις, να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι πιθανότητες μέσοι χρόνοι επανάληψης. i για όλες τις καταστάσεις και οι

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov

Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΙΑ ΙΚΑΣΙΕΣ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος Τµ. Επιστήµης των Υλικών Στοχαστικές ιαδικασίες Ορισµός Μία στοχαστική διαδικασία είναι µία οικογένεια τυχαίων µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Ιανουάριος 2014 Επώνυμο... Όνομα... A.E.M.... Εξάμηνο... Σειρά Θέμα Ι (ΟΛΑ) Θέμα ΙΙ (2 από τα 3) Βαθμός /1 /1 /1 /1 /1 /2,5 /2,5 /2,5 /10 ΘΕΜΑ Ι: Ασχοληθείτε και με τα πέντε ερωτήματα.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή

Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή Ασκήσεις στις κατανομές και ειδικά στην διωνυμική κατανομή και κανονική κατανομή Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 3xi -2 1) Για την τυχαία διακριτή μεταβλητή Χ ισχύει Ρ(Χ=x i )= 5, x

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Ασκήσεις Κεφαλαίου 2. Κοκολάκης Γεώργιος

Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Στοχαστικές Ανελίξεις. Ασκήσεις Κεφαλαίου 2. Κοκολάκης Γεώργιος Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Στοχαστικές Ανελίξεις Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Κοκολάκης Γεώργιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 3: Μοντέλα Θεωρίας Αναμονής Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Κατά τη διάρκεια των καθημερινών μας

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός: ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015

Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015 Στοχαστικές Ανελίξεις- Ιούλιος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ (MAE532) ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΕ532 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 o

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ (MAE532) ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΕ532 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 o ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ (MAE532) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΜΑΕ532 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 o ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαρκοβιανές Αλυσίδες

Μαρκοβιανές Αλυσίδες Μαρκοβιανές Αλυσίδες { θ * } Στοχαστική Ανέλιξη είναι μια συλλογή τ.μ. Ο χώρος Τ (συνήθως είναι χρόνος) μπορεί να είναι είτε διακριτός είτε συνεχής και καλείται παραμετρικός χώρος. Το σύνολο των δυνατών

Διαβάστε περισσότερα

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις.

Κανονική Κατανομή. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Κανονική Κατανομή. τεχνικές. 73 άλυτες ασκήσεις. Κανονική Κατανομή Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Κανονική Κατανομή τεχνικές 73 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2

Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2010 4/3/2010 Ασκήσεις Κεφαλαίου 2 1. Για να κερδίσουμε το ΛΟΤΤΟ πρέπει να διαλέξουμε 6 διαφορετικούς αριθμούς από τους 49 διαθέσιμους. Η σειρά επιλογής των αριθμών δεν παίζει κανέναν ρόλο. Αν θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ Τομέας Οργάνωσης Παραγωγής & Βιομηχανικής Διοίκησης Σημειώσεις του μαθήματος: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Γιώργος Λυμπερόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή

Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή Ασκήσεις στην διωνυμική κατανομή Όπου χρειάζεται να γίνει χρήση του μικροϋπολογιστή 1) Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα τεσσάρων μεταχειρισμένων ραδιοφώνων. Αν γνωρίζουμε ότι η πιθανότητα να μην υπάρχει ελαττωματικό

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτές Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Διακριτές Κατανομές. τεχνικές. 42 άλυτες ασκήσεις.

Διακριτές Κατανομές. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Διακριτές Κατανομές. τεχνικές. 42 άλυτες ασκήσεις. Διακριτές Κατανομές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διακριτές Κατανομές τεχνικές 4 άλυτες ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglyos.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Γράψτε ένα πρόγραμμα που θα προσομοιώνει τη ρίψη ενός νομίσματος και θα εμφανίζει στην οθόνη Κορώνα» ή «Γράμματα».

Γράψτε ένα πρόγραμμα που θα προσομοιώνει τη ρίψη ενός νομίσματος και θα εμφανίζει στην οθόνη Κορώνα» ή «Γράμματα». Εισαγωγικές Δραστηριότητες Δραστηριότητα 1 (Υ) Υπολογίστε την τιμή των παρακάτω αριθμητικών εκφράσεων. Στη συνέχεια επαληθεύστε τα αποτελέσματα που βρήκατε στην κονσόλα της Python. A. 2 + 3 ** 3 * 2 B.

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0 Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου

Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Νικος Χαλιδιας Μαθηματικό Τμήμα κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Πανεπιστημιο Αιγαιου Λημμα Εστω A ένα σύνολο άπειρου πλήθους θετικών ακέραιων αριθμών των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 6 ης διάλεξης 6.1. (α) Το mini-score-3 παίζεται όπως το score-4,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις- Σεπτέμβριος 2016

Στοχαστικές Ανελίξεις- Σεπτέμβριος 2016 Στοχαστικές Ανελίξεις- Σεπτέμβριος 2016 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Notes. Notes. Notes. Notes

Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 0 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή: Αβεβαιότητα 9 Οκτωβρίου 0 / 5 Ανάγκη θεωρίας επιλογής υπό αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων

Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Προβλήματα Μαρκοβιανών Αλυσίδων Γιώργος Λυμπερόπουλος 2009 1. Να βρεθούν οι κλάσεις καταστάσεων στις παρακάτω Μαρκοβιανές αλυσίδες και να σημειωθεί αν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 8: Αναζήτηση με Αντιπαλότητα Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.) Αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΦ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν. ΔΕΡΒΑΚΟΥ Σημειώσεις Παραδόσεων Αθήνα 23 ΑΛΥΣΙΔΕΣ ΜΑΡΚΟΦ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ι. ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ Ορισμός : Στοχαστική διαδικασία ή ανέλιξη είναι η διατεταγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 8: Παίγνια πλήρους και ελλιπούς πληροφόρησης Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες:

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2015-16 ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΕΞΑΜΗΝΟ: 3 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Άσκηση 1.1 Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Να γεννηθούν δύο κορίτσια και ένα αγόρι σε τρεις

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Γ. Λυμπερόπουλος Ιανουάριος 2012 Θέμα 1 Ένα εργοστάσιο που δουλεύει ασταμάτητα έχει τέσσερις (4) πανομοιότυπες γραμμές παραγωγής. Από αυτές, μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015

Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x Τμημα Επιστημης Υπολογιστων, Πανεπιστημιο Κρητης ΗΥ-7: Πιθανότητες 5ο Φροντιστήριο Επιμέλεια: Καράλας Κώστας 9 Οκτωβρίου 04 Πρόβλημα Παρακολουθείτε ένα βίντεο στο YouTube το οποίο περιέχει 0 καρέ το δευτερόλεπτο.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2015-2016 Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις προτάσεις 1-4 και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ,

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2017 8/3/2017 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 17/3/2017 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 24/3/2017 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας

Διάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΟΜΑΔΑ ΠΡΩΤΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Είδη τυχαίων µεταβλητών 1. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x 1, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα