Μαθημαηικά Γ Γυμμαζίου

Transcript

1 Μαθημαηικά Γ Γυμμαζίου Μεθοδική Επαμάληψη Σηέλιος Μιχαήλογλου

2 Η επαμάληψη ηωμ Μαθημαηικώμ βήμα - βήμα

3 Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. 1. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί; Ρητός λέγεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή ενός κλάσματος, όπου μ, ν ακέραιοι αριθμοί και 0. Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν είναι ρητός. Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς.. Πως προσθέτουμε δύο ομόσημους αριθμούς και πως δύο ετερόσημους; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά αυτό βάζουμε ως πρόσημο το κοινό τους πρόσημο. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, αφαιρούμε την μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και στη διαφορά αυτή βάζουμε πρόσημο, το πρόσημο του αριθμού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο ομόσημους αριθμούς και πως δύο ετερόσημους; Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους, και στο γινόμενο αυτό βάζουμε πρόσημο +. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους, και στο γινόμενο αυτό βάζουμε πρόσημο Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών; Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Ουδέτερο στοιχείο α + 0 = α 1 α + ( α) = 0 1 1, 0 Επιμεριστική α (β + γ) = α β + α γ 1

4 5. Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι και πότε αντίστροφοι; Δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα μηδέν, λέγονται αντίθετοι. Δύο αριθμοί που έχουν γινόμενο τη μονάδα, λέγονται αντίστροφοι. 6. Πως βρίσκουμε τη διαφορά δύο αριθμών και πως το πηλίκο τους; Για να βρούμε τη διαφορά δύο αριθμών, προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. α - β = α + (- β) Για να βρούμε το πηλίκο δύο αριθμών (α : β, ή με 0 ), πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. 1 1 : ή 1. Να κάνετε τις πράξεις: α) γ) β) δ) 1 : Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α) β) γ) Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών 7. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού α με εκθέτη ένα φυσικό αριθμό. 0 1 Πως ορίζονται οι δυνάμεις, ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν συμβολίζεται με α ν και είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με τον αριθμό α. Δηλαδή... ά Ορίζουμε ακόμη: 1, Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων; : Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων; Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις.

5 Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω.. Να υπολογίσετε την τιμή κάθε παράστασης: α) 8 β) γ) δ) ε) 4 : 0 4. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: : 5 4 Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού 10.Τι ονομάζεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού και ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του μηδέν; Η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού συμβολίζεται με υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει τον αριθμό. Ορίζουμε ακόμη 0 0. και είναι ο θετικός αριθμός που όταν 11.Να γράψετε τις ιδιότητες των ριζών. Για δύο μη αρνητικούς αριθμούς α, β μπορούμε να αποδείξουμε ότι: Το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του γινομένου τους. το πηλίκο των τετραγωνικών ριζών τους ισούται με την τετραγωνική ρίζα του πηλίκου τους. με β > Να κάνετε τις πράξεις: α) 18 8 β) 6 7 γ) : Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, που έχουν άρρητους παρονομαστές, σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές: α) β) γ) δ) 6 5

6 1.. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα AΑ. Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα 1.Ποιες παραστάσεις λέγονται αριθμητικές και ποιες αλγεβρικές; Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια; Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης; Μαθηματικές εκφράσεις-παραστάσεις που περιέχουν μόνο αριθμούς ονομάζονται αριθμητικές παραστάσεις. Μαθηματικές εκφράσεις-παραστάσεις οι οποίες, εκτός από αριθμούς, περιέχουν και μεταβλητές (γράμματα που παριστάνουν αριθμούς) λέγονται αλγεβρικές παραστάσεις. Ειδικότερα μια αλγεβρική παράσταση λέγεται ακέραια, όταν μεταξύ των μεταβλητών της σημειώνονται μόνο οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και οι εκθέτες των μεταβλητών της είναι φυσικοί αριθμοί. Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, θα προκύψει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή ή απλά τιμή της. 1.Τι ονομάζεται μονώνυμο; Τι ονομάζεται κύριο μέρος του μονωνύμου και τι συντελεστής του; Τι ονομάζεται βαθμός του μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή του και τι βαθμός ως προς όλες τις μεταβλητές; Οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, στις οποίες μεταξύ των μεταβλητών σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού, λέγονται μονώνυμα. Σ ένα μονώνυμο ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών του με τους αντίστοιχους εκθέτες τους λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου. Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται βαθμός του μονωνύμου ως προς τη μεταβλητή αυτή, ενώ ο βαθμός του μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του. 14.Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια, πότε ίσα και πότε αντίθετα; Ποιο μονώνυμο λέγεται σταθερό και ποιο μηδενικό; Όμοια μονώνυμα λέγονται εκείνα που έχουν ίδιο κύριο μέρος. Για παράδειγμα τα μονώνυμα είναι όμοια. Τα όμοια μονώνυμα που έχουν τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα ενώ, αν έχουν αντίθετους συντελεστές, λέγονται αντίθετα. Οι αριθμοί είναι μονώνυμα και τα ονομάζουμε σταθερά μονώνυμα και είναι μηδενικού βαθμού. Ειδικότερα, ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό. Β. Πράξεις με μονώνυμα 15.Πως προσθέτουμε δύο μονώνυμα; Το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά και έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. 16.Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμα; Το γινόμενο μονωνύμων είναι μονώνυμο με: συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους με εκθέτη κάθε μεταβλητής το άθροισμα των εκθετών της. 4

7 1.. Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων 17.Τι ονομάζεται πολυώνυμο; Πότε ένα πολυώνυμο λέγεται διώνυμο και πότε τριώνυμο; Τα Αθροίσματα μη ομοίων μονωνύμων είναι μια αλγεβρική παράσταση, που λέγεται πολυώνυμο. Ειδικότερα, ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται διώνυμο, αν έχει δύο όρους και τριώνυμο, αν έχει τρεις όρους. 18.Τι ονομάζεται βαθμός του πολυωνύμου; Ποιο πολυώνυμο λέγεται σταθερό και ποιο μηδενικό; Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του. Κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού. 19.Ποια διαδικασία ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων; Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοια μονώνυμα, ή όπως λέμε όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων. 7. Δίνεται το πολυώνυμο A y y y α) Να βρείτε την αριθμητική τιμή του για και y 1. β) Να γράψετε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του y. Ποιος είναι ο βαθμός του ως προς και y; 8. Αν και τιμές των α, β, γ ώστε τα και Q 1.4. Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων να είναι ίσα πολυώνυμα. Q, να βρείτε τις 0.Πως πολλαπλασιάζουμε μονώνυμο με πολυώνυμο και πως πολυώνυμο με πολυώνυμο; Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Για να πολλαπλασιάσουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν Αξιοσημείωτες ταυτότητες 1.Τι ονομάζεται ταυτότητα; Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. 5

8 .Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας Απόδειξη:.Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας Απόδειξη: 4.Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας Απόδειξη: και στη συνέχεια να το αποδείξετε. και στη συνέχεια να το αποδείξετε. και στη συνέχεια να το αποδείξετε. 5.Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας Απόδειξη: και στη συνέχεια να το αποδείξετε. 6.Να γράψετε το ανάπτυγμα της ταυτότητας και στη συνέχεια να το αποδείξετε. Απόδειξη: 9. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο είναι σταθερό Α) Να αποδείξετε ότι 0 Β) Να υπολογίσετε τον αριθμό Να αποδείξετε ότι: α) y y y β) γ) δ) 1.Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα, που έχουν άρρητους παρονομαστές, σε ισοδύναμα κλάσματα με ρητούς παρονομαστές. 6

9 α) β) 6 7 γ) 5 δ) Αν 5 και y 5, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) y β) y γ) y δ) y 1.6. Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 7.Ποια διαδικασία ονομάζεται παραγοντοποίηση; Η διαδικασία με την οποία μια παράσταση, που είναι άθροισμα, μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων, λέγεται παραγοντοποίηση. 14.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) β) 8 γ) 8 6 δ) ε) 8 4 στ) 15.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: 1 4 y ζ) α) β) γ) δ) 6 16.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) y y β) 1 γ) δ) 4 6 ε) 4 8 στ) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 7 10 β) 5 8y y γ) y y 6 18.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 9 β) 16 1 γ) δ) 4 ε) 5 80 στ) ζ) 16 η) 19.Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 1 β) 6 9 γ) δ) 4y 1y 9 ε) 4 48 στ) y 4y 4 ζ) 8 8 η) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) β) y 4y γ) 5 6 δ) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) ε) y 4y 4 β) γ) 1 1 δ) θ)

10 1.8. Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων 8.Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων και τι Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) τους; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 9.Ποια παράσταση ονομάζεται ρητή αλγεβρική παράσταση; Μια αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα και οι όροι του είναι πολυώνυμα, λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή παράσταση..να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 6 16 y 1 α) β) γ) 4 4 y y 1 στ) 4 4 ζ) y y y 9 4y 9 δ) y 1 1 y η) ε) Πράξεις ρητών παραστάσεων Β Α. Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση ρητών παραστάσεων.να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) : 1 β) : Β. Πρόσθεση - Αφαίρεση ρητών παραστάσεων 4.Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 4 8 α) β) :

11 Κεφάλαιο ο: Εξισώσεις - Ανισώσεις Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) 0.Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης 0 ; Αν α 0, τότε; η εξίσωση α β 0 έχει μοναδική λύση την = Αν α = 0, τότε η εξίσωση α β 0 γράφεται 0 = -β και - αν β 0, δεν έχει λύση (αδύνατη), ενώ - αν β = 0, κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα ή αόριστη).. Εξισώσεις δευτέρου βαθμού Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 5.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 7 γ) 7 0 δ) Β. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου 1.Τι είναι η Διακρίνουσα; Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης Διακρίνουσα Δ είναι ο αριθμός 4, δηλαδή 4. Αν 0 τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις τις 1, Αν 0 Αν 0 η εξίσωση έχει μία διπλή λύση την τότε η εξίσωση δεν έχει λύση (αδύνατη)..αν 1, είναι οι λύσεις της εξίσωσης το τριώνυμο ; Είναι 1 6.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 β) δ) 4 5 ε) με 0 ; 0 με 0 4y y 1 0 γ) 1 1 στ), τότε πως παραγοντοποιείται

12 7.Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: α) 4 1 β) y 8y 5 γ).. Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού 5 8.Να βρείτε ένα θετικό αριθμό, τέτοιο ώστε: α) Το μισό του τετραγώνου του να είναι ίσο με το διπλάσιό του. β) Το γινόμενό του μ έναν αριθμό, που είναι κατά μικρότερος, να είναι 4. γ) Το διπλάσιο του τετραγώνου του, να είναι κατά μεγαλύτερο από το πενταπλάσιό του. 9.Ένα οικόπεδο έχει σχήμα ορθογωνίου με εμβαδόν 150 m. Αν το μήκος του είναι 5 m μεγαλύτερο από το πλάτος του, να βρείτε πόσα μέτρα συρματόπλεγμα χρειάζονται για την περίφραξή του..5. Ανισότητες Ανισώσεις με έναν άγνωστο.πως συγκρίνουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β που δεν έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα; Για να συγκρίνουμε λοιπόν δύο πραγματικούς αριθμούς α και β, που δεν έχουν παρασταθεί με σημεία ενός άξονα, βρίσκουμε τη διαφορά τους α - β και εξετάζουμε αν είναι θετική ή αρνητική ή μηδέν, δηλαδή Αν α - β > 0 τότε α > β Αν α - β < 0 τότε α < β Αν α - β = 0 τότε α = β 4.Αν α,β,γ,δ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α > β και γ > δ να αποδείξετε ότι αγ > βδ. Είναι α > β και γ > 0, οπότε σύμφωνα με την ιδιότητα (β) έχουμε αγ βγ (1) Είναι γ > δ και β > 0, οπότε για τον ίδιο λόγο έχουμε βγ βδ () Από τις ανισότητες (1), () και σύμφωνα με τη μεταβατική ιδιότητα έχουμε αγ βδ. 0.Να αποδείξετε ότι: α) Αν 1 τότε β) Αν τότε 1.Αν και y, τότε να αποδείξετε ότι α) y 0 β) y 6 y.για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς χ, y, να αποδείξετε ότι: α) 1 β) y 4y γ) y 1 y.να λύσετε τις ανισώσεις: 4 6 α) β) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 10 10

13 Κεφάλαιο ο: Συστήματα γραμμικών εξισώσεων.1. Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης 5.Τι ονομάζεται λύση της εξίσωσης y ; Λύση μιας εξίσωσης y 11 ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, y) που την επαληθεύει. 6.Πότε ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία; Ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. 7.Τι παριστάνει η εξίσωση y k, k 0 και τι η εξίσωση y 0 ; H εξίσωση y = k με k 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο (0, k), ενώ η εξίσωση y = 0 παριστάνει τον άξονα. 8.Τι παριστάνει η εξίσωση k, k 0 και τι η εξίσωση 0 ; H εξίσωση = k με k 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y y και τέμνει τον άξονα στο σημείο (k, 0), ενώ η εξίσωση = 0 παριστάνει τον άξονα y y. 9.Τι ονομάζεται γραμμική εξίσωση με αγνώστους, y; Γραμμική εξίσωση με αγνώστους, y ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α βy γ και παριστάνει ευθεία όταν 0 ή 0. 5.Δίνεται η ευθεία: : 6 y 8. α) Να βρείτε τον αριθμό λ, ώστε η ευθεία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Για λ = 4 να σχεδιάσετε την ευθεία ε σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων. 6.Αν η ευθεία ε: 4 + y = 1 τέμνει τους άξονες και y y στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, τότε: α) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων... Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του 40.Τι εννοούμε με την έκφραση: «επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους χ,y»; Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους, y, και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών (, y) που είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων, τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και y. 41.Τι ονομάζεται λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και y; Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και y ονομάζεται κάθε ζεύγος (, y) που επαληθεύει τις εξισώσεις του. 4.Πως ερμηνεύεται γραφικά ότι ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει

14 μία λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις; Αν οι δύο ευθείες που αντιπροσωπεύουν τις δύο εξισώσεις του συστήματος τέμνονται, τότε οι συντεταγμένες του σημείου τομής τους αποτελούν τη μοναδική λύση του συστήματος. Αν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες τότε το σύστημα είναι αδύνατο και όταν οι ευθείες ταυτίζονται, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις... Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος 7.Να λύσετε τα συστήματα: y 7 α) y 4 β) y 5 6 9y γ) 4 y 0 y y 5 y 4 8.Να λύσετε τα συστήματα: α) y β) 4 5 y 6 γ) Αν το σύστημα y 7 y 8 έχει ως λύση 1 και y, να βρείτε τις τιμές των α,β. 40.Η ευθεία με εξίσωση y τιμές των α,β. διέρχεται από τα σημεία A1, και B, 41.Να βρείτε τους αριθμούς λ,μ ώστε η εξίσωση αριθμούς 1 και.. Να βρείτε τις 0 να έχει ρίζες τους 4.O μέσος όρος της βαθμολογίας ενός μαθητή στη Φυσική και τη Χημεία κατά το πρώτο τρίμηνο ήταν 16. Στο δεύτερο τρίμηνο ο βαθμός της Φυσικής μειώθηκε κατά μονάδες, ο βαθμός της Χημείας αυξήθηκε κατά 4 μονάδες με αποτέλεσμα οι δύο βαθμοί να γίνουν ίσοι. Ποιους βαθμούς είχε ο μαθητής σε καθένα από τα δύο μαθήματα κατά το πρώτο τρίμηνο; 4.Από ένα σταθμό διοδίων πέρασαν 945 αυτοκίνητα και μοτοσικλέτες και εισπράχτηκαν1810 Αν ο οδηγός κάθε αυτοκινήτου πλήρωσε και ο οδηγός κάθε μοτοσικλέτας πλήρωσε 1,, να βρείτε πόσα ήταν τα αυτοκίνητα και πόσες οι μοτοσικλέτες. Κεφάλαιο 4ο: Συναρτήσεις 4.1. Η συνάρτηση y = α με α 0 4.Πως ονομάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y, 0. Πότε παρουσιάζει μέγιστη τιμή και ποια. Πότε παρουσιάζει ελάχιστη τιμή και ποια; Η γραφική παράσταση της συνάρτηση y = α με 0 και άξονα συμμετρίας τον y y. λέγεται παραβολή με κορυφή το σημείο 0,0 1

15 Αν 0 η παραβολή βρίσκεται πάνω από Αν 0 η παραβολή βρίσκεται κάτω τον άξονα (εκτός από το Ο) και παίρνει από τον άξονα (εκτός από το Ο) ελάχιστη τιμή y = 0 για = 0. και παίρνει μέγιστη τιμή y = 0 για = Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις παραβολές: 1 α) y, y και y β) y και y 1 45.Αν η συνάρτηση y παίρνει μέγιστη τιμή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(, λ), να βρείτε την τιμή του αριθμού λ. 4.. H συνάρτηση y = α + β + γ με α 0 44.Πως ονομάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης y 0 ; Ποια είναι η κορυφή της και ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας της; Πότε παρουσιάζει ελάχιστη τιμή και πότε μέγιστη τιμή και ποια είναι αυτή σε κάθε περίπτωση; H γραφική παράσταση της συνάρτησης y 0 είναι παραβολή με: Κορυφή το σημείο K, 4, όπου 4 και Άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από την κορυφή Κ και έχει εξίσωση. Αν α > 0, η συνάρτηση y = α + β + γ παίρνει ελάχιστη τιμή y όταν, 4 Αν α < 0, η συνάρτηση y = α + β + γ παίρνει μέγιστη τιμή y όταν Να σχεδιάσετε τις παραβολές: α) y β) y Να σχεδιάσετε την παραβολή y 6 5. Αν Α, Β, Γ είναι τα κοινά της σημεία με τους άξονες, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 48.Να βρείτε τους αριθμούς β και γ, ώστε η συνάρτηση παίρνει ελάχιστη τιμή την y = -7. y για = 4 να 1

16 Κεφάλαιο 1ο 1.1. Ισότητα τριγώνων Γεωμετρία 45.Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. 46. Ποια είναι τα είδη τριγώνων με βάση τις γωνίες τους και τι γνωρίζετε γι αυτά; Είναι το ορθογώνιο, το αμβλυγώνιο και το οξυγώνιο. Το ορθογώνιο έχει μια ορθή γωνία, το αμβλυγώνιο έχει μια αμβλεία γωνία και στο οξυγώνιο τρίγωνο όλες του οι γωνίες είναι οξείες. 47. Ποια είναι τα είδη τριγώνων με βάση τις πλευρές τους και τι γνωρίζετε γι αυτά; Είναι το ισόπλευρο το ισοσκελές και το σκαληνό. Το ισόπλευρο έχει και τις τρείς πλευρές του ίσες. Στο ισοσκελές δύο πλευρές είναι ίσες και στο σκαληνό όλες οι πλευρές είναι άνισες. 48. Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου και τι γνωρίζετε γι αυτά; Τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου είναι η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος. Διάμεσος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Ύψος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια κορυφή κάθετα στην ευθεία της απέναντι πλευράς. Διχοτόμος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που φέρνουμε από μια κορυφή, χωρίζει τη γωνία σε δύο ίσες γωνίες και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. 49.Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων; 1ο κριτήριο ισότητας (Π - Γ - Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα. Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες ο κριτήριο ισότητας (Γ - Π - Γ). Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. ο κριτήριο ισότητας (Π - Π - Π) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες. 50.Ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων; Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία ή μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση. 51.Ποιες είναι οι ιδιότητες του ισοσκελούς τριγώνου; 14

17 Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: α) Οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες. β) Η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος που φέρνουμε από την κορυφή προς τη βάση του συμπίπτουν. 5.Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας; Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας και αντιστρόφως κάθε εσωτερικό σημείο μιας γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου της. 49.Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε σημεία Δ, Ε, ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ. 50.Κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι 8 cm. Αν είναι ΑΖ = ΒΔ = ΓΕ = cm, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. 51.Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ του διπλανού σχήματος έχουν κοινή βάση ΒΓ. Να αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τις γωνίες A και. 5.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90 Αν, να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΒΕ. να φέρετε τη διχοτόμο ΒΔ. 5.Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το μέσον Μ ενός τμήματος ΑΒ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β ισαπέχουν από την ευθεία (ε). 54.Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν A A και ΑΒ = Α Β. Αν τα ύψη τους ΑΔ και Α Δ είναι ίσα, να αποδείξετε ότι: α) B B β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. 1.. Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων 5.Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, να αποδείξετε ότι θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία τις τέμνει. Παίρνουμε τρεις παράλληλες ευθείες ε 1, ε, ε που τέμνουν την ευθεία ε στα σημεία Α, Β, Γ αντιστοίχως, έτσι ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΒΓ να είναι ίσα μεταξύ τους. Αν μια άλλη ευθεία ε τέμνει τις ε 1, ε, ε στα σημεία Α, Β, Γ αντιστοίχως, τότε θα αποδείξουμε ότι και τα ευθύγραμμα τμήματα Α Β, Β Γ είναι ίσα μεταξύ τους. Πράγματι, αν φέρουμε Α Δ // ε, Β Ε // ε και συγκρίνουμε τα τρίγωνα Α Β Δ και Β Γ Ε παρατηρούμε ότι έχουν: Α Δ = Β Ε γιατί Α Δ = ΑΒ, Β Ε = ΒΓ ως απέναντι πλευρές των παραλληλογράμμων ΑΑ ΔΒ, ΒΒ ΕΓ αντιστοίχως και από την υπόθεση έχουμε ΑΒ = ΒΓ. B γιατί είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ε, ε που τέμνονται από 15

18 την ε. A 1 1 γιατί είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων Α Δ, Β Ε που τέμνονται από την ε. Τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα, γιατί έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία. Άρα, θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε Α Β = Β Γ. 54.Να αποδείξετε ότι αν από το μέσο μιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη προς μία άλλη πλευρά του, τότε αυτή διέρχεται από το μέσο της τρίτης πλευράς του. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ από την κορυφή Α φέρουμε ευθεία ε // ΒΓ και από το μέσο Μ της ΑΒ φέρουμε ΜΝ // ΒΓ. Οι παράλληλες ε, ΜΝ, ΒΓ αφού ορίζουν ίσα τμήματα στην ΑΒ, θα ορίζουν ίσα τμήματα και στην ΑΓ. Άρα ΑΝ = ΝΓ. 55.Τι είναι ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων; Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι ίσος με το λόγο των μηκών τους, εφόσον έχουν μετρηθεί με την ίδια μονάδα μέτρησης. 56.Πότε τα ευθύγραμμα τμήματα α,γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β,δ; Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς τα ευθύγραμμα τμήματα β, δ, όταν ισχύει. 57.Ποιες είναι οι σημαντικότερες ιδιότητες των αναλογιών; Σε κάθε αναλογία το γινόμενο των άκρων όρων είναι ίσο με το γινόμενο των μέσων όρων. Δηλαδή αν τότε Σε κάθε αναλογία μπορούμε να εναλλάξουμε τους μέσους ή τους άκρους όρους και να προκύψει πάλι αναλογία. Δηλαδή αν τότε ή. Λόγοι ίσοι μεταξύ τους είναι και ίσοι με το λόγο που έχει αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή το άθροισμα των παρονομαστών. Δηλαδή αν τότε 58.Με τι είναι ίση η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου; Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. 55.Από το μέσο Μ της διαγωνίου ΑΓ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, να φέρετε ΕΖ // ΑΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα σημεία Ε, Ζ είναι μέσα των πλευρών ΑΒ, ΔΓ αντιστοίχως. β) Τα τμήματα ΑΒ, ΑΓ είναι ανάλογα προς τα τμήματα ΑΕ, ΑΜ. 16

19 1.5. Ομοιότητα Α. Όμοια πολύγωνα 59.Πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια; Τι σχέση έχουν οι πλευρές τους στη περίπτωση αυτή; Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. Τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Β. Όμοια τρίγωνα 60.Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια. 56.Να υπολογίσετε το χ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: 57.Στις κάθετες πλευρές ΑΒ = 8 cm και ΑΓ = 1 cm ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως τα σημεία Δ και Ε, ώστε ΑΔ = cm και ΑΕ = cm. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ // ΒΓ β) τα τρίγωνα ΑΔΕ, ΑΒΓ είναι όμοια Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων 61.Με τι είναι ίσος ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων; Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. 58.Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ // ΒΓ. Αν το τρίγωνο ΑΔΕ έχει εμβαδόν 18 cm, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 59.Αν Δ, Ε, Σ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως, τότε να AZE EZ υπολογίσετε τους λόγους: α) β) AB AB 17

20 Κεφάλαιο ο: Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας ω με Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου; Έστω ω οξεία γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Τότε: έ ά ά ί ά ά, ί ί έ ά ά ί ά ά και 6.Έστω Μ(,y) ένα σημείο του επιπέδου. Πως ορίζονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας OM ; Έστω ρ η απόσταση του Μ από την αρχή Ο των αξόνων. Είναι y. έ y ό ό, έ ό ό έ y έ 64.Ποιο είναι το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω; Αν η γωνία ω είναι οξεία, τότε είναι >0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω>0, εφω>0. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία, τότε είναι <0, y>0, ρ>0, οπότε: ημω>0, συνω<0, εφω<0. 65.Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 0, 90 και 180. Θεωρούμε το σημείο Μ(1, 0) του ημιάξονα Ο, είναι 0 και y 0 1 Οπότε 0 0, 0 1, 1 1 y Θεωρούμε το σημείο Μ(0, 1) του ημιάξονα Οy, είναι 90 και Άρα y , 90 0, εφ90 ο δεν ορίζεται γιατί χ = Θεωρούμε το σημείο Μ( 1, 0) του ημιάξονα Οχ, είναι και 18

21 y 0 Οπότε 180 0, 1 y 0 και , 1 60.Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΟΒΜ είναι ισόπλευρο. Να υπολογιστούν: α) οι συντεταγμένες του Μ. β) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 10 ο. 61.Στο διπλανό σχήμα είναι. Αν η 4 τετμημένη του σημείου Μ είναι 1, τότε να υπολογίσετε: α) την τεταγμένη του σημείου Μ. β) το ημω και το συνω... Τριγωνομετρικοί αριθμοί παραπληρωματικών γωνιών 66.Αν δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε ποια σχέση έχουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τους; Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. 67.Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο, τότε ποια τι σχέση έχουν τα μέτρα αυτών των γωνιών; Αν δύο γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο και είναι από 0 μέχρι και 180, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές. 6.Να αποδείξετε ότι: α) β) Να βρείτε τη γωνία όταν: α) β) 1 γ) 1 δ) ε) στ) 1 19

22 .. Σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας 68.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω με ισχύει ότι 1 Έστω γωνία τότε y, y, y δηλαδή. Οπότε y. y y 1 69.Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω με ότι: με 0 ισχύει Έστω γωνία τότε Είναι Είναι y, και y y y y. y 64.Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει της γωνίας ω. 1, να υπολογιστούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί 65.Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει της γωνίας ω. 66.Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει Ν αποδείξετε ότι: α) 1 β) 68.Ν αποδείξετε ότι: α), να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί 4 4, τότε να υπολογιστεί η παράσταση: β) 1 0

23 69.Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α) β) Νόμος των ημιτόνων - Νόμος των συνημιτόνων 70.Να διατυπώσετε το νόμο των ημιτόνων. Οι πλευρές κάθε τριγώνου είναι ανάλογες προς τα ημίτονα των απέναντι γωνιών του. 71.Να αποδείξετε ότι Έστω το οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Τότε στα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ έχουμε: ή (1) και ή (). Από τις (1), () προκύπτει ότι ή. Ομοίως αποδεικνύεται ότι και. 7.Να αποδείξετε ότι σε κάθε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι: Έστω ΓΔ το ύψος του οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΒΓ έχουμε: (1) Επειδή η ισότητα (1) γίνεται: () Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΓ έχουμε: και ή. Η () γίνεται: 70.Να υπολογίσετε τις υπόλοιπες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ, όταν: α), 0 β), Να υπολογίσετε τις ίσες πλευρές β, γ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, αν 10 και. 1

24 Επαναληπτικές ασκήσεις 7.Δίνονται οι παραστάσεις: Α και α) Να αποδείξετε ότι Α =. β) Να αποδείξετε ότι Β =. 1 1 B. γ) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P A B είναι σταθερό. δ) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις A ABy B y A 4 B και 7.α) Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων την παράσταση α β αβ α β. β) Αν για τους αριθμούς α, β ισχύει αντίθετοι ή αντίστροφοι. γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση δ) Αν α και β α β αβ α β, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β είναι α β αβ A α β να λύσετε την εξίσωση. Α α β 0 74.Δίνονται οι παραστάσεις A και B α) Να αποδείξετε ότι A και B 4 β) Να λύσετε την εξίσωση A B α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: β) Να απλοποιήσετε το κλάσμα A B. γ) Να λύσετε τις εξισώσεις A 0 και Β Δίνονται οι παραστάσεις A 9 9 και 4 1 και B 1. α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β. β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζεται η παράσταση. B γ) Να λύσετε την εξίσωση 1 Γ. 77.Δίνεται το πολυώνυμο P 9. α) Να αποδείξετε ότι P P. β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση A P 4 4P γ) Να λύσετε την εξίσωση P. δ) Αν B, να βρείτε το πολυώνυμο B P δυνάμεις. α α 1 α α) Να αποδείξετε ότι. β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 1,65 0,65,65. γ) Να λύσετε την εξίσωση 018β 018β 1 018β 1 0. και να το γράψετε κατά τις φθίνουσες

25 δ) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ε) Να μετατρέψετε το κλάσμα α α 1 α 1 1 Β α 1 α 1 α σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή. 79.Δίνεται η παράσταση Α 6 9. α) Να αποδείξετε ότι A για κάθε τιμή του αριθμού. β) Αν να αποδείξετε ότι A A γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: 10 δ) Να λύσετε την εξίσωση A Δίνονται οι παραστάσεις, B και α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις Α,Β,Γ. 81.α) Να αποδείξετε ότι α β α β 4αβ β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης y 4y γ) Αν 0 και y 0, να απλοποιήσετε την παράσταση Α y y δ) Να λύσετε την εξίσωση Δίνονται οι παραστάσεις 1 4 και α) Να παραγοντοποιήσετε τα Α και Β. β) Να απλοποιήσετε τη παράσταση. B 1. γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: Α 0, Β 0 και Α Β. 8.Έστω η παράσταση A 4 1 α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζεται η παράσταση Α. β) Να λύσετε την εξίσωση 4 0. γ) Να δείξετε ότι A δ) Να δείξετε ότι Δίνονται οι παραστάσεις α) Να παραγοντοποιήσετε τα Α και Β. β) Να απλοποιήσετε τη παράσταση.. 4 και 85.Έστω ότι τα τριώνυμα Α β α και Β 5 α β α) Να βρείτε τα α,β. B 4 1 έχουν διακρίνουσα Δ 1.

26 β) Έστω ότι α 1 και β 5. i. Να δείξετε ότι οι εξισώσεις Α 0 και Β 0 έχουν κοινή ρίζα. ii. Να υπολογίσετε την παράσταση Γ Α Β. iii.αν 5 6 να δείξετε ότι 6 A B Δίνονται οι παραστάσεις A και B α) Να αποδείξετε ότι A B β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1,, αποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου B 1 A 1 για κάθε τιμή του αριθμού. γ) Να αποδείξετε ότι δ) Να λύσετε την εξίσωση B 1 A Δίνεται ότι η εξίσωση 0 έχει ρίζα ως προς το 1. Αν γνωρίζετε ότι ο λ είναι ακέραιος αριθμός, τότε: α) Να δείξετε ότι λ 1. β) Να δείξετε ότι το 1 είναι διπλή ρίζα της εξίσωσης. 88.Δίνεται ότι το πολυώνυμο α) Να αποδείξετε ότι λ β) Να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης P λ 5 λ έχει ρίζα το 1. P 0. γ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζεται η παράσταση απλοποιήσετε. δ) Να αποδείξετε ότι Α Α. P Α 1 και στη συνέχεια να την 89.Αν 1 4, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: 1 1 α) β) 90.Αν 5 και y 5, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) y β) y γ) y δ) 91.Δίνεται η παράσταση α) Να δείξετε ότι 1 β) Να λύσετε την εξίσωση 8 11 A γ) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: y δ) Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις, και A 4 1 A ,. 9.Δίνεται η παράσταση α) Να δείξετε ότι 5 6 β) Να λύσετε την εξίσωση 0 7 4

27 γ) Να απλοποιήσετε τη παράσταση 6 A 5 9.Δίνονται οι παραστάσεις A B α) Να αποδείξετε ότι A και B 4. β) Να λύσετε την εξίσωση A B 4 0 και α) Να αποδείξετε ότι: β) Να λύσετε την εξίσωση: γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 και. 95.Δίνονται οι παραστάσεις 4 4 και α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α,Β. β) Να απλοποιήσετε το κλάσμα. γ) Να βρείτε τις τιμές των,α για τις οποίες i) 0 και ii) Δίνονται οι παραστάσεις και B. α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις Α,Β. 1 β) Να δείξετε ότι 1 1. γ) Να δείξετε ότι 1. 1 δ) Δίνονται οι παραστάσεις και α) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α,Β. β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Να απλοποιήσετε το κλάσμα Δίνεται η παράσταση α) Να λύσετε την εξίσωση β) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις 6, γ) Αν το ημω με είναι ρίζα της εξίσωσης του α σκέλους, να δείξετε ότι: i.. ii

28 1 y Να λύσετε το σύστημα y Αν το σύστημα y y έχει λύση το ζεύγος, y,, να βρείτε τα α,β Δίνεται η ευθεία 5y 4. α) Να βρείτε τον αριθμό λ για τον οποίο η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Για 4 να λύσετε το σύστημα y y 10. Έστω α η θετική ρίζα της εξίσωσης α) Να αποδείξετε ότι 1 και 1 β) Να λύσετε το σύστημα y y και β η αρνητική ρίζα της εξίσωσης. 10. Να βρείτε τον αριθμό λ για τον οποίο το σημείο 1, ανήκει στη γραφική παράσταση της παραβολής y 5 6. y y 104. Αν τα συστήματα 1 : : y 9 y αριθμούς α και β. έχουν την ίδια λύση, να βρείτε τους 105. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A. Στην προέκταση της πλευράς ΒΓ και προς τα δύο της άκρα, θεωρούμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε B E. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. β) Η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ είναι και διάμεσος του τριγώνου ΑΔΕ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A. Στην προέκταση της ΒΓ (προς το Γ) θεωρούμε σημείο Δ και στην προέκταση της ΓΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε BE. Από το Δ φέρουμε ΔΗ κάθετη στην ευθεία ΑΓ και από το Ε φέρουμε ΕΖ κάθετη στην ευθεία ΑΒ. Να αποδείξετε ότι: α) A AE β) EZ H γ) Τα σημεία Β και Γ έχουν ίσες αποστάσεις από τις ΑΕ και ΑΔ αντίστοιχα Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με. Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές του ΑΒ και ΑΓ κατά τμήματα και. Να αποδείξετε ότι: α) β) Τα σημεία Δ,Ε ισαπέχουν από τη ΒΓ. γ) ˆ ˆ 6

29 108. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A Αν Μ μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΓΕΒ είναι ίσα. β) A AE γ) και τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με AB A.Από το μέσο Μ της βάσης του ΒΓ φέρουμε κάθετα τμήματα ΜΔ και ΜΕ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΜΕΓ είναι ίσα β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A 1 ΑΓ παίρνουμε αντίστοιχα τμήματα A AB και το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. β) τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΜΕΓ είναι ίσα. γ) το τρίγωνο ΔΕΜ είναι ισοσκελές. και στις ίσες πλευρές ΑΒ, 1 AE A. Αν Μ είναι 111. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με. Προεκτείνουμε τις ίσες πλευρές του ΑΒ και ΑΓ κατά τμήματα και. Να αποδείξετε ότι: α) β) Τα σημεία Δ,Ε ισαπέχουν από τη ΒΓ. γ) ˆ ˆ 11. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Να δείξετε ότι: α) Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσες. β) τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα. 11. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) θεωρούμε τα μέσα Δ,Ε,Ζ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΒΕ και ΖΕΓ είναι ίσα. β) Τι είδους τρίγωνο είναι το ΔΕΖ; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Να δείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου ΔΕΖ είναι ίση με το μισό της περιμέτρου του ΑΒΓ Από το μέσον Μ της διαγωνίου ΑΓ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρνουμε ΕΖ ΑΔ. Να δείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ίσα. β) Τα σημεία Ε, Ζ είναι μέσα των πλευρών ΑΒ, ΔΓ αντίστοιχα. γ) Τα τμήματα ΑΒ, ΑΓ είναι ανάλογα προς τα τμήματα ΑΕ, ΛΜ Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ότι ΣB ΣΔ.Τα ΚΛ και ΚΜ είναι αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΚΒΣ και ΚΔΣ είναι ίσα. ii. KΛ KM. β) Να αιτιολογήσετε γιατί οι χορδές ΑΒ και ΓΔ είναι ίσες. 7

30 116. Να σχεδιάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A 90 και να φέρετε το ύψος του ΑΔ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια. β) Να γράψετε τις ισότητες των λόγων που προκύπτουν και να δείξετε ότι γ) Αν επιπλέον είναι A να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές Τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος έχουν ˆ ˆ, ˆ ˆ, 4cm, A 5cm, 4 cm και 6 cm. α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια. β) Να δείξετε ότι 4. γ) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 5 cm, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΖ Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΔΕ//ΒΓ, cm, 6cm, AE cm και cm. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. β) Να υπολογίσετε το. γ) Αν 4cm, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ˆΑ 90 Έστω ότι ΔΒ 4cm και ΔΓ 9cm. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι όμοια. β) Να δείξετε ότι ΑΔ 6cm. και ΑΔ το ύψος του. 10. Από σημείο Δ της πλευράς ΑΓ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ˆ 90 ΔΕ κάθετη στη ΒΓ έτσι, ώστε cm. Αν 6cm τότε: α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΓΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια. β) Να βρείτε το λόγο ομοιότητάς τους. γ) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει εμβαδόν 18 cm, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ. φέρουμε 11. Έστω οξεία γωνία ω για την οποία γνωρίζουμε ότι α) Το και την. β) Τη τιμή της παράστασης Να αποδείξετε ότι. Να βρείτε: y 1. α) Να λύσετε το σύστημα: y β) Αν 10,6 η λύση του προηγούμενου συστήματος να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας OM ˆ όπου Ο ο θετικός ημιάξονας. γ) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης