Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της."

Transcript

1 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. Θεωρούµε τρίγωνο Α και τα µέσα, E των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Θα αποδείξουµε ότι Ε = // Προεκτείνουµε τη Ε κατά τµήµα ΕΖ = Ε Το τετράπλευρο Α ΓΖ είναι παραλληλόγραµµο αφού οι διαγώνιοι του διχοτοµούνται. Άρα Α = // ΓΖ, οπότε Β = // ΓΖ, αφού Α = Β Έτσι το τετράπλευρο ΖΓΒ είναι παραλληλόγραµµο Οπότε Ζ // και συνεπώς Ε // και Ζ = ή Ε = ή Ε = Α Θεώρηµα Αν από το µέσο µιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουµε ευθεία παράλληλη προς µία άλλη πλευρά του, τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το µέσο της τρίτης πλευράς του. Θεωρούµε ένα τρίγωνο Α και φέρνουµε από το µέσο της ΑΒ την παράλληλη προς την που τέµνει την ΑΓ στο Ε Θα αποδείξουµε ότι το E είναι το µέσο της ΑΓ Έστω ότι το E δεν είναι µέσο της ΑΓ Αν Z είναι το µέσο της A Γ, το τµήµα Ζ ενώνει τα µέσα των πλευρών AB, A Γ οπότε σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα Ζ // Έτσι όµως, έχουµε από το δύο παράλληλες προς τη, που είναι άτοπο. Άρα το E είναι µέσο της ΑΓ

2 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α3 Θεώρηµα 3 Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες ορίζουν σε µία ευθεία ίσα τµήµατα τότε θα ορίζουν ίσα τµήµατα και σε κάθε άλλη ευθεία που τις τέµνει. Θεωρούµε τις παράλληλες ευθείες ε 1, ε, ε 3 οι οποίες τέµνουν την δ 1 στα σηµεία Α, B, Γ και ορίζουν σε αυτή τα ίσα ευθύγραµµα τµήµατα Α B, Αν µια άλλη ευθεία δ τέµνει τις ε 1, ε, ε 3 στα σηµεία, E, Z αντίστοιχα, θα αποδείξουµε ότι Ε = ΕΖ Φέρνουµε AK // Ζ Τότε τα τετράπλευρα Α ΕΗ και EZKH είναι παραλληλόγραµµα οπότε AH = Ε ( 1) και HK = EZ ( ) Στο τρίγωνο AK Γ το B είναι το µέσο της ΑΓ και ΒΗ // ΓΚ Άρα το H είναι µέσο της AK, δηλαδή AH = HK ( 3) Από τις ( 1), ( ) και ( 3) προκύπτει ότι Ε = ΕΖ Για να χωρίσουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα AB σε τρία ίσα κοµµάτια, εργαζόµαστε ως εξής: Φέρνουµε µια τυχαία ηµιευθεία Ax και πάνω σε αυτή παίρνουµε τα ίσα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΓ = Γ = Ε Ενώνουµε το σηµείο E µε το σηµείο B και στη συνέχεια από τα σηµεία Γ και φέρνουµε παράλληλες ευθείες προς την EB, ο οποίες τέµνουν το τµήµα AB στα σηµεία Z και H. Τότε χρησιµοποιώντας το παραπάνω θεώρηµα έχουµε ότι AZ = ZH = HB Να χωρίσετε το παραπάνω τµήµα AB σε 5 ίσα κοµµάτια. Α4 Μεσοπαράλληλος Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες ε 1 και ε είναι µία ευθεία ε παράλληλη προς τις ε 1 και ε η οποία διέρχεται από τα µέσα των τµηµάτων που έχουν τα άκρα τους στις δύο παράλληλες. Η ευθεία ε λέγεται µεσοπαράλληλος των ε 1 και ε

3 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 157 Β Βαρύκεντρο και ορθόκεντρο τριγώνου Β1 Βαρύκεντρο Οι διάµεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σηµείο το οποίο λέγεται βαρύκεντρο και του οποίου η απόσταση από κάθε κορυφή είναι τα 3 του µήκους της αντίστοιχης διαµέσου. Έστω τρίγωνο Α Φέρνουµε τις δύο διαµέσους BE και ΓΖ Επειδή B 1+ Γ1 < B+ Γ < 180 οι δύο διάµεσοι τέµνονται σε εσωτερικό σηµείο Θ του Α Αν η ΑΘ τέµνει τη στο θα αποδείξουµε ότι α) η Α είναι η τρίτη διάµεσος, δηλαδή Β = Γ β) ΑΘ = Α 3 Πραγµατικά α) Στην ηµιευθεία Θ παίρνουµε τµήµα ΘΚ = ΑΘ Παρατηρούµε ότι τα σηµεία E, Θ είναι τα µέσα των πλευρών του τριγώνου AK Γ ΓΚ BK Οπότε E Θ = // ( 1) και όµοια από το τρίγωνο ΑΒΚ έχουµε ΖΘ = // ( ) Από τις ( 1) και ( ) προκύπτει ότι BE // ΓΚ και ΓΖ // ΒΚ δηλαδή το ΒΘΓΚ είναι παραλληλόγραµµο ( 3) Άρα οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται, οπότε Β = Γ Το σηµείο αυτό Θ λέγεται βαρύκεντρο ή κέντρο βάρους του τριγώνου. β) Από το παραλληλόγραµµο ΒΘΓΚ έχουµε ακόµη ΘΚ AΘ Θ = Κ =, άρα Θ = ή ΑΘ = Θ. ΓΚ BΘ Από τις ( 1) και ( 3) προκύπτει ότι ΕΘ = = ή ΒΘ = ΘE. Όµοια από τις ( ) και ( 3) έχουµε ΓΘ = ΘΖ Παρατηρούµε, λοιπόν, ότι το βαρύκεντρο έχει την ιδιότητα να χωρίζει κάθε διάµεσο σε δύο τµήµατα που το ένα είναι διπλάσιο του άλλου. Επίσης έχουµε ότι A = ΑΘ + Θ = Θ + Θ = 3Θ 1 Άρα Θ = Α, οπότε ΑΘ = Α 3 3 Όµοια προκύπτει ότι ΒΘ = ΒΕ και ΓΘ = ΓΖ 3 3

4 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Β Πρόταση Οι παράλληλες, που άγονται από τις κορυφές ενός τριγώνου προς τις απέναντι πλευρές του, σχηµατίζουν τρίγωνο, το οποίο έχει ως µέσα των πλευρών του τις κορυφές του αρχικού τριγώνου. Από τις κορυφές Α, B, Γ τριγώνου Α φέρουµε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές του οι οποίες ορίζουν ένα νέο τρίγωνο ΚΛΜ Λόγω των σχηµατιζόµενων παραλληλογράµµων ΚΑΓΒ, ΛΑ και ΜΒΑΓ έχουµε KA = = ΑΛ, ΛΓ = ΑΒ = ΓΜ και KB = AΓ = ΒΜ Εποµένως τα σηµεία Α, B, Γ είναι τα µέσα των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ Β3 Ορθόκεντρο Οι φορείς των υψών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σηµείο το οποίο λέγεται ορθόκεντρο. Έστω τρίγωνο Α και τα ύψη του Α, ΒΕ και ΓΖ Από τις κορυφές του Α, B, Γ φέρουµε παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές. Σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση, στο τρίγωνο ΚΛΜ τα σηµεία Α, B, Γ είναι τα µέσα των πλευρών του. Επίσης, παρατηρούµε ότι οι ευθείες Α, ΒΕ και ΓΖ είναι κάθετες στις ΚΛ, ΚΜ και ΜΛ αντίστοιχα (αφού είναι κάθετες στις, A Γ και ΑΒ ) και µάλιστα είναι κάθετες στα µέσα τους. ηλαδή οι ευθείες Α, ΒΕ και ΓΖ είναι οι µεσοκάθετοι των πλευρών του τριγώνου ΚΛΜ, οπότε θα διέρχονται από το ίδιο σηµείο H Το σηµείο H λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου Α Όταν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, το ορθόκεντρο είναι η κορυφή της ορθής γωνίας ενώ σε αµβλυγώνιο τρίγωνο το ορθόκεντρο βρίσκεται εκτός του τριγώνου. Β4 Πόρισµα Οι κορυφές Α, B, Γ, τριγώνου Α και το ορθόκεντρό του H αποτελούν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε ένα από αυτά τα σηµεία είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, που ορίζεται από τα άλλα τρία σηµεία.

5 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 159 Γ Ιδιότητες ορθογώνιου τριγώνου Γ1 Θεώρηµα 1 Η διάµεσος ορθογώνιου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο και τη διάµεσό του AM AB Γ ( Θα αποδείξουµε ότι ΑΜ = Φέρουµε τη διάµεσο Μ του τριγώνου A = 90 Α MΓ Το Μ συνδέει τα µέσα δύο πλευρών του τριγώνου Α, οπότε Αλλά ΑΒ ΑΓ, εποµένως και Μ ΑΓ Άρα το Μ είναι ύψος και διάµεσος στο τρίγωνο ΑΜΓ, οπότε δηλαδή ΑΜ = Γ Θεώρηµα ) Μ // ΑΒ ΑΜ = ΜΓ Αν η διάµεσος ενός τριγώνου ισούται µε το µισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την πλευρά αυτή. Θεωρούµε τρίγωνο AB Γ και τη διάµεσό του AM Αν ΑΜ =, θα αποδείξουµε ότι A = 90 Επειδή ΑΜ = έχουµε ΑΜ = ΜΓ, οπότε = Γ ( 1 και ΑΜ = ΜΒ, οπότε A = B ( ) Από τις ( 1) και ( ) προκύπτει ότι Αλλά A + B+ Γ = 180, οπότε A A A1 ) 1 + = B+ Γ, δηλαδή A = 180 ή A = 90 A = B+ Γ Παρατηρούµε ότι η διάµεσος προς την υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο το χωρίζει πάντα σε δύο ισοσκελή τρίγωνα. Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση, η διάµεσος προς την υποτείνουσα σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, να το χωρίζει σε δύο ισόπλευρα τρίγωνα.

6 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Γ3 Πόρισµα Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο µια γωνία του ισούται µε 30 τότε η απέναντι πλευρά του είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο Θα αποδείξουµε ότι Επειδή B = 30, είναι ΑΓ = AB Γ ( A = Γ = = 60 Φέρουµε τη διάµεσο ΑΜ και είναι Έτσι A Γ = 60 Εποµένως = ΑΓ = MΓ = 90 Α M = = ), µε MΓ B = 30, οπότε το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο. Αντίστροφα αν σε ορθογώνιο τρίγωνο Α είναι ΑΓ =, τότε θα αποδείξουµε ότι B = 30 Φέρουµε τη διάµεσο ΑΜ Είναι προφανές ότι Α M = = MΓ = ΑΓ Άρα το τρίγωνο ΑΜΓ είναι ισόπλευρο, οπότε Γ = 60 Εποµένως B = = 30 Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο µία γωνία του είναι 60, τότε η προσκείµενη κάθετη πλευρά στην γωνία αυτή, θα είναι το µισό της υποτείνουσας. Να δείξετε ότι αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, η µία κάθετη πλευρά του είναι µισή της υποτείνουσας, τότε η µία οξεία γωνία του θα είναι διπλάσια από την άλλη.

7 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 161 α Εφαρµογές στα τρίγωνα είξαµε στην θεωρία, ότι το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. Επίσης δείξαµε ότι αν από το µέσο µιας πλευράς ενός τριγώνου φέρουµε ευθεία παράλληλη προς µία άλλη πλευρά του τότε η ευθεία αυτή διέρχεται από το µέσο της τρίτης πλευράς του. Ας δούµε τώρα τι γίνεται, όταν σε ένα τρίγωνο, ένα τµήµα είναι παράλληλο σε µία πλευρά του και ισούται µε το µισό της. Παράδειγµα 1 Στο διπλανό τρίγωνο είναι ΚΛ = // Θα αποδείξουµε ότι τα K, Λ είναι τα µέσα των πλευρών AB και Πραγµατικά A Γ αντίστοιχα. Παίρνουµε το µέσο M της πλευράς B Γ Τότε είναι BM = // KΛ άρα το τετράπλευρο K ΛΜΒ θα είναι παραλληλόγραµµο, οπότε M Λ // ΑΒ Εποµένως, αφού M Λ // ΑΒ και M µέσο της B Γ σύµφωνα µε τη θεωρία θα είναι και Λ µέσο της ΑΓ Οµοίως από το µέσο Λ πλέον της ΑΓ πηγαίνουµε παράλληλα προς την B Γ Άρα και το K θα είναι µέσο της ΑΒ. Συνεχίζοντας παραθέτουµε έναν τρόπο κατασκευής παραλληλογράµµου. Παράδειγµα Θα αποδείξουµε ότι τα µέσα των πλευρών κάθε κυρτού τετραπλεύρου είναι κορυφές παραλληλογράµµου. Πραγµατικά Έστω το τετράπλευρο Α και K, Λ, M, N µέσα των πλευρών του. Φέρνουµε την διαγώνιο Στο τρίγωνο Οπότε AB Γ είναι A Γ AΓ ΚΛ = // και οµοίως είναι και AΓ MN = // ΚΛ = // MN, άρα το K ΛΜΝ είναι παραλληλόγραµµο.

8 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Να τονίσουµε ότι το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση που έχουµε µη κυρτό τετράπλευρο. Είναι προφανές ότι στο διπλανό σχήµα το ΚΛΜΝ είναι παραλληλόγραµµο. Επίσης, είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι το τρίγωνο που έχει σαν κορυφές τα µέσα πλευρών τριγώνου, έχει την µισή περίµετρο σε σχέση µε το αρχικό. Παράδειγµα 3 Θα αποδείξουµε ότι η περίµετρος του τριγώνου του οποίου οι κορυφές είναι τα µέσα του τριγώνου είναι η µισή της περιµέτρου του AB Γ Πραγµατικά K ΛΜ Αφού το ΚΛ ενώνει τα µέσα των πλευρών AB και Οµοίως και για τα τµήµατα ΚΜ και M Λ έχουµε AB Γ Αν προσθέσουµε τις τρεις αυτές σχέσεις κατά µέλη AB + + ΑΓ θα έχουµε KΛ + ΚΜ + ΜΛ =, δηλαδή Π Ασκήσεις A Γ, έχουµε AΓ KM = και K ΛM = Π K Λ = M Λ = α.1 Έστω το τρίγωνο Α και, E τα µέσα των πλευρών AB και Να αποδείξετε ότι τα σηµεία και E ισαπέχουν από τη A AB α. Στο εσωτερικό τριγώνου Α παίρνουµε τυχαίο σηµείο Αν Ε, Ζ είναι τα µέσα των Β, Γ και Μ, Ν είναι τα µέσα των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, δείξτε ότι τα Μ, Ν, Ζ και E είναι κορυφές παραλληλογράµµου. α.3 Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που έχει κορυφές τα µέσα δύο απέναντι πλευρών κυρτού τετραπλεύρου και τα µέσα των διαγωνίων του, είναι παραλληλόγραµµο. α.4 Σε τρίγωνο Α τα σηµεία M, E, και Z είναι τα µέσα των, BM, και Β αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι α) ΕΖ // ΑΒ β) AB = 4ZE A Γ A Γ

9 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 163 α.5 Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα µέσα των πλευρών AB και ΑΓ τριγώνου Α διχοτοµεί οποιοδήποτε τµήµα Α Z, µε Z σηµείο της B Γ α.6 Σε τρίγωνο Α προεκτείνουµε την πλευρά AB κατά τµήµα Αν είναι E το µέσο της ΑΓ, να αποδείξετε ότι η B = B Γ διχοτοµεί τη Ε AB α.7 Αν Ε και Z τα µέσα των πλευρών ΑΒ και Γ ενός παραλληλογράµµου Α να αποδείξετε ότι τα ΑΖ και ΓΕ χωρίζουν τη διαγώνιο Β σε τρία ίσα τµήµατα. α.8 Αν το µέσο της διαµέσου ΑΜ τριγώνου Α και Ε το σηµείο τοµής των Β και ΑΓ, να αποδείξετε ότι 1 AE = ΓΕ α.9 Έστω το τρίγωνο AB Γ µε ΑΒ < ΑΓ, η διχοτόµος του Α και το µέσο M της Αν E η προβολή του Β στη διχοτόµο Α AΓ ΑΒ να αποδείξετε ότι α) ΕΜ // AΓ β) EM = γ) ΕΜ = Α α.10 Έστω το παραλληλόγραµµο Α και τα µέσα E και Z των και Γ αντίστοιχα. Αν η EZ τέµνει τη διαγώνιο ΑΓ στο H, να αποδείξετε ότι ΓΗ = α.11 Σε παραλληλόγραµµο Α παίρνουµε σηµεία E και Z στις πλευρές AB και Γ αντίστοιχα έτσι, ώστε Αν η EZ τέµνει την ευθεία α.1 Έστω το τρίγωνο Α Έστω Μ µέσο της και Αν η προβολή του Β στην α) Μ // ΑΓ β) AE = AB και ΓΖ = Γ 3 3 A στο σηµείο M, να αποδείξετε ότι Α = Μ Α x η εξωτερική διχοτόµος της γωνίας Α Α x, να δείξετε ότι (ΑΒ + ΑΓ) Μ = γ) η Μ διχοτοµεί την πλευρά AB AΓ 4

10 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων β Βαρύκεντρο και ορθόκεντρο τριγώνου Για το βαρύκεντρο ενός τριγώνου δείξαµε πιο πάνω ότι η απόστασή του από µία κορυφή ενός τριγώνου θα ισούται µε τα 3 την αντίστοιχης διαµέσου. Στο διπλανό λοιπόν σχήµα είναι ΑΘ = Α 3 1 Ακόµη θα είναι και Θ = Α άρα και ΑΘ = Α 3 Οµοίως και για τις άλλες διαµέσους. Στην απόδειξη για το βαρύκεντρο, αποδείξαµε ότι αν οι δύο διάµεσοι του τριγώνου τέµνονται σε ένα σηµείο, τότε και η τρίτη διάµεσος θα διέρχεται από αυτό. Αυτός ο τρόπος αποτελεί µία βασική µέθοδο για να αποδεικνύουµε ότι τρεις ευθείες συντρέχουν σε κάποιο σηµείο. Το ίδιο ισχύει για το ορθόκεντρο και το έγκεντρο. Ας δούµε το παρακάτω χαρακτηριστικό θέµα. Θέµα 1 Έστω το παραλληλόγραµµο Α Έστω το µέσο M της B Γ και το σηµείο τοµής E των AM και B Θα αποδείξουµε ότι α) AE = EM Απάντηση β) Ε = ΕΒ γ) Η ευθεία ΓΕ διέρχεται από το µέσο της AB α) Φέρνουµε τη διαγώνιο ΑΓ Στο τρίγωνο Α οι ΑΜ και BO είναι διάµεσοι οπότε το E είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου. Άρα AE = EM β) Είναι Ε = Ο + ΟΕ = ΒΟ + ΟΕ = (ΒΕ + ΟΕ) + ΟΕ = BE + OE = BE + BE = BE διότι BE = OE γ) Επειδή το E είναι βαρύκεντρο του τριγώνου Α, η ευθεία ΓΕ είναι ο φορέας της τρίτης διαµέσου. Άρα η ΓΕ διέρχεται από το µέσο της πλευράς ΑΒ

11 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 165 Ασκήσεις β.1 Προεκτείνουµε την πλευρά AB παραλληλογράµµου AB Γ κατά τµήµα BE = AB. Η ευθεία E τέµνει την ευθεία στο Z και την ΑΓ στο H Αν O το κέντρο του παραλληλογράµµου 1 Να αποδείξετε ότι α) ΒΖ = ΓΖ β) ΓΗ = OΗ γ) ΓΗ = ΑΗ β. Σε ορθογώνιο τρίγωνο Α µε A = 90 προεκτείνουµε την ΓΑ προς το µέρος του A, κατά τυχαίο τµήµα AE Από το E φέρνουµε EK η οποία τέµνει την AB στο σηµείο P Να αποδείξετε ότι ΓP ΕB β.3 Αν M και N τα µέσα των πλευρών Γ και B Γ ενός παραλληλογράµµου Α να αποδείξετε ότι τα τµήµατα AM και AN τριχοτοµούν τη διαγώνιο B β.4 Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο µε κορυφές τα µέσα των πλευρών τριγώνου AB Γ έχει το ίδιο βαρύκεντρο µε το AB Γ β.5 Αν σε τρίγωνο AB Γ είναι µ β = µ γ, να αποδείξετε ότι β = γ. β.6 Έστω το τρίγωνο AB Γ µε ΑΒ < ΑΓ και οι διάµεσοι Α, ΒΕ που τέµνονται στο σηµείο Θ Το Κ είναι το µέσο της ΘΓ και Λ το σηµείο τοµής των ΒΚ, Α Να αποδείξετε ότι α) ΘΛ = Α β) το ΘΕΚ είναι παραλληλόγραµµο. 9 β.7 Σε κυρτό τετράπλευρο Α θεωρούµε το βαρύκεντρο K του τριγώνου AB Γ και τα µέσα E, Z και H των AB, Γ και Κ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΕΗ // ΚΖ β.8 Έστω το τρίγωνο Α, το ύψος του Β και το µέσο M του Γ Προεκτείνουµε τη Β κατά τµήµα ΒΕ = Β Να αποδείξετε ότι η κάθετη από το M στην ΑΒ, η κάθετη από το A στην ΕΓ και η Β συντρέχουν.

12 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων γ Ιδιότητες ορθογώνιου τριγώνου Αρχικά ας δούµε έναν διαφορετικό τρόπο απόδειξης το ότι η διάµεσος ορθογώνιου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρούµε το ορθογώνιο τρίγωνο Α µε A = 90. Στο τρίγωνο αυτό η γωνία A είναι η µεγαλύτερη των άλλων δύο, οπότε θα υπάρχει ένα σηµείο M της πλευράς έτσι ώστε η γωνία A 1 να είναι ίση µε την γωνία B. Όµως είναι A = B+ Γ άρα A1 + A = B+ Γ ή A = Γ. Παρατηρούµε λοιπόν ότι προκύπτουν δύο ισοσκελή τρίγωνα τα ABM και A ΓΜ µε AM = MB και AM = MΓ Οπότε είναι MB = MΓ δηλαδή το M είναι µέσο της ΑΓ και AM = Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το µέσο της υποτείνουσας ισαπέχει από τις τρεις κορυφές του τριγώνου. Ας δούµε το παρακάτω παράδειγµα. Παράδειγµα 1 Θα δείξουµε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο Α µε διέρχεται από την κορυφή A Πραγµατικά Αν M είναι το µέσο της υποτείνουσας τότε ισχύει MA = = MB = MΓ. Οπότε ο κύκλος διαµέτρου διέρχεται και από το A. A = 90, ο κύκλος διαµέτρου Να παρατηρήσουµε δηλαδή ότι στα ορθογώνια τρίγωνα το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων των πλευρών του, το οποίο είναι και το κέντρο του περιγεγραµµένου κύκλου, (περίκεντρο), ταυτίζεται µε το µέσο της υποτείνουσας.

13 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 167 Αρκετά από τα θέµατα που θα συναντήσουµε στη συνέχεια της ύλης µας, ζητούν να αποδείξουµε ότι κάποιο τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή απλά ότι κάποια γωνία είναι ορθή. Καλό είναι λοιπόν να έχουµε πάντα στο νου µας και το θεώρηµα που λέει ότι αν η διάµεσος ενός τριγώνου ισούται µε το µισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε υποτείνουσα την πλευρά αυτή. Μια εφαρµογή του είναι στα παρακάτω δύο θέµατα. Θέµα 1 Σε παραλληλόγραµµο Α προεκτείνουµε την πλευρά του Α κατά τµήµα AH = A Φέρνουµε τη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την AB στο σηµείο Z α) Θα αποδείξουµε ότι το τρίγωνο Α Ζ είναι ισοσκελές. β) Θα αποδείξουµε ότι η γωνία Z H Απάντηση είναι ορθή. α) Είναι 1 = αφού η Ζ είναι διχοτόµος της γωνίας και 1 = Z1 ως εντός εναλλάξ γωνίες των παραλλήλων AB, Γ τεµνόµενες από την Ζ Άρα = Z1 οπότε το τρίγωνο Α Ζ είναι ισοσκελές. β) Στο τρίγωνο ΖΗ η διάµεσος AZ ισούται µε το µισό της πλευράς Η στην οποία καταλήγει, άρα το τρίγωνο θα είναι ορθογώνιο, δηλαδή Z H = 90 Θέµα Σε παραλληλόγραµµο AB Γ µε AB = παίρνουµε το µέσο M της AB Θα δείξουµε ότι η γωνία Μ Γ είναι ορθή. Απάντηση Φέρνουµε την ME //, οπότε το τετράπλευρο BME Γ είναι παραλληλόγραµµο αφού έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. Είναι λοιπόν ηλαδή έχουµε AB =, όµως AB = Γ και ME = Γ = ME και E µέσο της Γ, άρα ΜΓ = 90

14 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Βέβαια δεν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε πάντα το συγκεκριµένο θεώρηµα. Θέµα 3 Αν σε τρίγωνο Α είναι αυτό είναι ορθογώνιο. Απάντηση B = 60 και Παίρνουµε το µέσο M της πλευράς B Γ Το τρίγωνο ABM είναι ισοσκελές µε AB = BM και αφού Εποµένως τρίγωνο Τελικά αφού B = 60, θα είναι τελικά ισόπλευρο. AM BM = MA Γ είναι = MΓ οπότε στο ισοσκελές A1 = Γ. Όµως A = 60, θα είναι AB =, θα αποδείξουµε ότι το τρίγωνο A 1 Γ = 60 +, άρα A1+ A 90 A = = A 1 = 30 Τέλος παραθέτουµε ένα χαρακτηριστικό θέµα που συνδέει το ύψος προς την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, µε την υποτείνουσα, όταν η µία οξεία γωνία του τριγώνου είναι 15 Θέµα 4 Σε ορθογώνιο τρίγωνο Θα αποδείξουµε ότι Απάντηση AB Γ ( B = 15 Φέρνουµε την διάµεσο AM A = 90 αν και µόνον αν ) φέρνουµε το ύψος του A Α = 4 Είναι AM = = BM = MΓ, οπότε στο τρίγωνο AMB απέναντι από ίσες πλευρές θα βρίσκονται και ίσες γωνίες άρα A1 = B Επίσης, είναι M A1 1 = + B ως εξωτερική στο AMB Εποµένως M1 = B Τέλος, αποδεικνύουµε το ευθύ και το αντίστροφο ταυτόχρονα MA είναι B = 15 M 1 = 30 Α = Α = = 4

15 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 169 Ασκήσεις γ.1 Σε ορθογώνιο τρίγωνο Α ( Από το µέσο της ΑΓ φέρνουµε ΕΓ. Αν A = 90 EB = 5 cm να υπολογίσετε τα Ε, Μ γ. Σε τρίγωνο Α θεωρούµε τα ύψη ) είναι 8 cm ΑΓ = και ΑΒ = 6 cm Ε // ΑΒ και τη διάµεσο Μ του τριγώνου B και ΓΕ Να αποδείξετε ότι τα σηµεία και E ισαπέχουν από το µέσο της πλευράς γ.3 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB Γ ( Αν E, Z είναι τα µέσα των ΑΒ και A = 90 ), µε B = 30 A Γ, να αποδείξετε ότι ΕΖ = ΑΓ γ.4 Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο Α ( A = 90 ) µε K, Λ, M τα µέσα των πλευρών του AB,, ΓΑ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι α) Το K ΛΜΑ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. β) Το άθροισµα των διαγωνίων του K ΛΜΑ είναι ίσο µε την υποτείνουσα B Γ γ.5 Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο AB Γ ( Έστω B = 30, και E τα µέσα των ΑΒ, και προεκτείνουµε την E κατά τµήµα Ζ = Ε Να αποδείξετε ότι το ΑΓΕΖ είναι ρόµβος. A = 90 γ.6 Από το µέσο της πλευράς AB τριγώνου Α φέρνουµε κάθετη στην AB, η οποία τέµνει τη στο σηµείο E. Αν το E είναι µέσο της, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Α είναι ορθογώνιο. = γ.7 Σε ένα τρίγωνο Α µε B Γ φέρνουµε την διχοτόµο Β Από το µέσο M της ΑΓ φέρνουµε παράλληλη προς τη Β που τέµνει τη στο σηµείο Ε. Να αποδειχθεί ότι AE γ.8 Σε παραλληλόγραµµο Α ) είναι A = 60 και AK διχοτόµος της γωνίας A όπου K σηµείο της Αν Λ µέσο της AK να αποδείξετε ότι η B Λ διχοτοµεί την γωνία B και να εκφράσετε τη B Λ συναρτήσει του Γ

16 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων γ.9 Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο AB Γ ( A = 90 ) και το ύψος του Α α) Αν E, Z είναι τα µέσα των ΑΒ, ΑΓ να αποδείξετε ότι E Z A = 90 β) Αν M είναι το µέσο της EZ, να αποδείξετε ότι Μ = 4 = γ.10 Σε τρίγωνο Α µε B > Γ φέρνουµε το ύψος Α Αν Ε και Z είναι τα µέσα των ΑΓ και αντίστοιχα, αποδείξτε ότι E Ζ = B Γ γ.11 Να αποδείξετε ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο, η γωνία του ύψους και της διαµέσου που άγονται από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε τη διαφορά των οξειών γωνιών του τριγώνου. γ.1 Έστω E και Z τα µέσα των πλευρών AB και ορθογωνίου Α Αν H και Θ είναι οι προβολές των κορυφών A και Γ πάνω στη διαγώνιο Β να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΕΗ και ΖΘ είναι κάθετες. γ.13 Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο AB Γ ( A = 90 ) Είναι B = 30 και το ύψος του Α Από το B φέρνουµε κάθετη στη διάµεσο AM που τέµνει αυτή στο Ζ ( BZ AM) Να αποδείξετε ότι ΒΖ = Ζ = Α γ.14 Αν σε τρίγωνο AB Γ ισχύει B Γ = 10, να αποδείξετε ότι δ α = υα γ.15 ύο κύκλοι ( O, ρ) και ( K, 3ρ) εφάπτονται εξωτερικά και µια ευθεία ε εφάπτεται των κύκλων στα σηµεία A και B. Να υπολογίσετε την γωνία A O K γ.16 ίνεται τετράγωνο Α και στις πλευρές του Α και Γ παίρνουµε τµήµατα ΑΚ = Λ. Αν M και N είναι τα µέσα των K Λ και B Λ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι ΜΝ ΑΛ γ.17 Θεωρούµε ένα τετράγωνο Α και µία ορθή γωνία x y της τέµνουν τους φορείς των AB, στα σηµεία E, Z αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η A Γ διχοτοµεί το τµήµα EZ που οι πλευρές

17 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 171 Εργασία 1 Αν σε ένα τρίγωνο Α η πλευρά AB είναι ίση µε το µισό της τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο A µε γωνία Γ = 30 B Γ Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο µια οξεία γωνία του είναι διπλάσια από την άλλη, τότε η υποτείνουσα θα είναι διπλάσια από την µία κάθετη πλευρά του. 3 Τα τµήµατα που ενώνουν τα µέσα των απέναντι πλευρών τετραπλεύρου διχοτοµούνται. 4 Τα τµήµατα που συνδέουν τα µέσα των πλευρών ενός τριγώνου, χωρίζουν το τρίγωνο σε τέσσερα ίσα τρίγωνα. 5 Αν A είναι ένα σταθερό σηµείο και B είναι ένα σηµείο το οποίο κινείται πάνω σε µία ευθεία, τότε το µέσο M της AB θα κινείται πάνω σε µία ευθεία. 6 Αν σε ρόµβο Α µε A = 60 OB = λ ΑΒ τότε το λ ισούται µε Α: Β: 1 και O το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι Γ: 3 1 : 1 7 Αν AB η εφαπτόµενη στον κύκλο και η γωνία A = 30 τότε η OA είναι ( O, 4 cm) Α: 8 cm Β: 10 cm Γ: 1 cm : 14 cm 8 Αν ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει µία γωνία 10 τότε το ύψος προς τη βάση του είναι ίσο µε Α: το µισό της βάσης Γ: το ένα τέταρτο της βάσης Β: το µισό της µίας από τις ίσες πλευρές : την βάση

18 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 9 Έστω τρίγωνο Α ορθογώνιο στο A µε υποτείνουσα, τότε το Γ είναι ίσο µε Γ = 30. Αν A το ύψος προς την Α: Β Β: AB Γ: A + Β : 3 Β 10 Στο σχήµα τα K, Λ είναι τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Α του τετραπλεύρου Α και M είναι µέσο της διαγωνίου ΑΓ. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της πρώτης στήλης µε ένα µόνο στοιχείο της δεύτερης στήλης. Στήλη Α 1.ΚΛ.ΚΜ 3.ΛΜ Στήλη Β AΓ α) β) Β γ) Γ δ) 11 Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο στο οποίο το ορθόκεντρο και το βαρύκεντρο να ταυτίζονται. 1 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο Α µε Να εξετάσετε αν ο κύκλος A = 90 και M το µέσο της ( Μ, ΜΒ) διέρχεται από τα Α και Γ. 13 Αν E, Z είναι τα µέσα των πλευρών Α, κυρτού τετραπλεύρου Α αντίστοιχα µε Β > ΑΓ, να αποδείξετε ότι ΕΖ < Β 14 ίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB Γ µε AB = AΓ. Αν, E είναι µεταβλητά σηµεία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα, τέτοια ώστε Α = ΓΕ, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του µέσου Ε 15 ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB Γ ( A = 90 ) το ύψος του Α και η διάµεσος ΑΜ και E, Z οι προβολές του σηµείου στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι α) ΕΖ Α = β) EZ AM γ) η διάµεσος AM, το Ζ και η παράλληλη προς την ΕΖ από το B συντρέχουν.

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη Περιεχόµενα 1 Αναλογίες 2 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή.......................... 2 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων......................

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα

1. Γενικά για τα τετράπλευρα 1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν µε κατάλληλη µετατόπιση, το ένα συµπίπτει µε το άλλο. Β. Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πρώτο κριτήριο Αν όλες οι πλευρές του ενός τριγώνου

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο. ΘΕΜΑ 2 Ο : Δίνεται ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ=ΑΓ) τρίγωνο.αν ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και ΔΙΩΝΙΣΜ 1 Ο ΘΕΜ 1 Ο : ) Να αποδείξετε ότι : Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα τα των δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της.(13 μονάδες) ) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση:

ÊåöÜëáéï 5 ï. Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá. Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: ÊåöÜëáéï 5 ï Ðáñáëëçëüãñáììá - ÔñáðÝæéá Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο 5 θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις ιδιότητες του παραλληλογράµµου, ορθογωνίου, ρόµβου, τετραγώνου, τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ) Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου (1) (2) (1) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 6 7 ενικές ασκήσεις 5 ου Κεφαλαίου. ίνεται τρίγωνο (β γ) µε Â = 60 ο, τα ύψη του, και τα µέσα Μ, Ν των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Μ = Ν. Τρ. ορθογώνιο µε Â = 60 ο M N ˆB

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ της Α τάξης του ΕΠΑΛ με Φύλλα Μαθήματος & Εργασίας - ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ 014 ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3.1-3.6 Τρίγωνα ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Ονομασία Πλευρών ΑΒ ή ΒΑ ή γ

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Σωστό -λάθος. 3) Δύο ευθείες κάθετες προς μία τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες. Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1) Οι οξείες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΒΑΣΙΚΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ ΤΡΑΠΕΖΙΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ 3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,

Διαβάστε περισσότερα

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( )

1.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας ( ) .5 Ασκήσεις σχολικού ιλίου σελίδας 47 50 A Oµάδας. Αν α (, 3) και (, 5), τότε Να ρείτε τα εσωτερικά γινόµενα α, (α ).(-3 ) και (α ). (3α + ) Να ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ R, ώστε το εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 05/01/10 ΥΕΙ ΙΑΩΝΙΜΑ ΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΥΚΕΙΟΥ 05/0/0 ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδειχτεί ότι σε κάθε παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Θεωρία σελίδα 97 B. Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό () ή λάθος () καθεµιά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου

Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ

ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα