Θεωρία Συνόλων - Set Theory

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Συνόλων - Set Theory"

Transcript

1 Θεωρία Συνόλων - Set Theory Ἐπισκόπηση γιὰ τὶς ἀνάγκες τῶν Πρωτοετῶν Φοιτητῶν τοῦ Τµήµατος Διοίκησης, στὸ µάθηµα Γενικὰ Μαθηµατικά. Ὑπὸ Γεωργίου Σπ. Κακαρελίδη, Στὸ Τµῆµα Διοίκησης ΤΕΙ Δυτικῆς Ἑλλάδος Παρουσίαση Βασισµένη στὸ Mathematical Analysis for Decision Making, by A.K.McAdams, 1970, Macmillan Co καὶ στὶς σηµειώσεις τῶν Α. Αργυροῦ & Μ. Παπαδοπούλη τοῦ Πανεπιστηµίου Κρήτης, Ἀκαδ. Ἔτος ΠΡΟΣΟΧΗ! ΣΕ ΚΑΜΜΙΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΑΡΟΝ ΔΕΝ ΥΠΟΚΑΘΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ, ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ἤ ΑΛΛΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ. ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤῼΝ ΟΣΩΝ ΕΛΕΧΘΗΚΑΝ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ. ΥΦΙΣΤΑΤΑΙ ΑΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΥΘΥΝΗΣ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΥΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ἤ ΑΛΛΟ ΛΑΘΟΣ 1

2 Περὶ Συνόλων about SETS #1 Ἕνα σύνολο (Set) εἶναι µιὰ, ΚΑΛΑ ΟΡΙΣΜΕΝΗ, συλλογὴ ΞΕΧΩΡΙΣΤΩΝ (διακεκριµένων) ἀντικειµένων, ποὺ ὀνοµάζονται ΣΤΟΙΧΕΙΑ. Συµβολισµὸς: S = {6, 2, 8, 4} ἢ S={x: x εἶναι θετικὸς, ἅρτιος ἀκέραιος µικρότερος τοῦ 10} Ὁµοίως {{2, 1}, {3}, {3, 2, 1}, S}, {1, 2, 3, }, {x R -3 < x < 6}, { Τὰ πάγια στοιχεῖα τῆς Ἑταιρείας Τάδε} ΠΡΟΣΟΧΗ! {1,2} {{1,2}} ΠΡΟΣΟΧΗ!! Τὰ στοιχεῖα συνόλων ΔΕΝ εἶναι διατεταγµένα, ἐκτὸς ἄν ὁρισθεῖ διάταξη 2

3 Περὶ Συνόλων #2 Καλὰ Ὁρισµένη: Δοθέντος στοιχείου x µία καὶ µόνον µία ἀπὸ τὶς ἀκόλουθες, εἶναι ὀρθὴ: εἲτε τὸ στοιχεῖο x ἀνήκει στὸ σύνολο (x S ), ἤ τὸ στοιχεῖο x δὲν ἀνήκει στὸ σύνολο ( x S) Διακεκριµένων : δὲν ὑπάρχουν δύο ἴδια στοιχεῖα στὸ σύνολο 3

4 Περὶ Συνόλων #3, Ἰσχύς, Ἰσότητα Συνόλων S : πληθικὸς ἀριθµὸς ἢ ἰσχύς τοῦ S (cardinal number) εἶναι τὸ πλῆθος τῶν στοιχείων τοῦ S. π.χ. =0, {1,2,3} = 3, {a,b} = 2, {{1,2,3},{4,5}} = 2 Ἰσότητα Συνόλων: Δύο (µὴ διατεταγµένα) σύνολα λέγονται ΙΣΑ, ἐὰν καὶ µόνον ἐὰν ἐµπεριέχουν ΑΚΡΙΒΩΣ τὰ ἴδια στοιχεῖα. 4

5 Εἰδικὰ σύνολα #1, Κενὸ σύνολο (Empty, Null Set) Ἕνα Σύνολο ΧΩΡΙΣ στοιχεῖα, ὀνοµάζεται ΚΕΝΟΝ καὶ συµβολίζεται µὲ ἤ { } ΠΡΟΣΟΧΗ! { 0 } { }, { 0 }, 0 καὶ 0 5

6 Εἰδικὰ σύνολα #2, Ὑποσύνολο (SUBSET) Σύνολο A εἶναι ὑποσύνολο συνόλου B, (καὶ γράφεται A B, ὅταν x, x A x B. A εἶναι γνήσιο ὑποσύνολο B, ὅταν A εἶναι ὑποσύνολο τοῦ B καὶ x B γιὰ τὸ ὁποῖο x A. Ὁπτικὴ ἀναπαράσταση: µέσῳ διαγραµµάτων Venn. Προσοχὴ στὰ (ἐµπεριέχεσθαι) καὶ (ἀνήκειν). 6

7 Εἰδικὰ σύνολα #3 Δυναµοσύνολο, Powerset Τό Δυναµοσύνολο τοῦ A, συµβολίζεται µὲ P (A), εἶναι τὸ σύνολο ὉΛΩΝ τῶν ὑποσυνόλων τοῦ A. P(Α) : {x xα} Θεώρηµα: Ἄν A B, τότε P (A) P (B). Θεώρηµα: Ἄν τὸ σύνολο A ἔχει n στοιχεῖα, τότε τὸ P (A) ἔχει 2 n στοιχεῖα. Προσοχη! Περιλαµβάνονται καὶ τὸ Α καὶ τὸ Προκύπτει ότια: P(Α) > Α, e.g. P(N) > N. Υπάρχουν άπειρα σύνολα µε διαφορετικά µεγέθη! 7

8 Εἰδικὰ σύνολα #3 Δειγµατικὸς Χῶρος, Ὑπερσύνολο, Universe ἤ Population Set Ὁρίζεται ὡς τὸ σύνολο ΟΛΩΝ τῶν στοιχείων, σχετικῶν µὲ ἑνα πρόβληµα, συζήτηση, ἔρευνα. Σηµαίνει τὴν ὁλικότητα τῶν ὑπὸ θεώρησιν στοιχείων. Μπορεῖ νὰ εἶναι ἐξαιρετικὰ µεγάλο, ὁπὸτε ἐνασχόληση µὲ ὑποσύνολὸ του ἤ δεῖγµα εἶναι προσφορότερη. Συµβολίζεται µὲ U 8

9 Πράξεις Συνόλων #1 Ὁρισµοὶ Ἔστω A & B ὑποσύνολα of a universal set U. Ἕνωση Συνὀλων (Union Set) A B = {x U x A ἤ x B } ὅπου ἤ = or = Τοµὴ Συνόλων (Intersection Set) A B = {x U x A καὶ x B } ὅπου καὶ=and= Διαφορὰ Συνόλων (Difference Set) : B A = {x U x B and x A } Συµµετρικὴ διαφορὰ A B : (AUB) (A B) (ἕνωση µεῖον τοµὴ) Συµπλήρωµα Συνόλου ((Complement Set) A c = {x U x A } (συµβολίζεται καὶ Α ) Ἱσότητα Δύο Συνόλων (Equal Sets) A = B A B and B A 9

10 Πράξεις Συνόλων#2 Venn Diagrams A B A B A B A B 10

11 Πράξεις Συνόλων #3- Πορίσµατα Ἔστω A & B ὑποσύνολα of a universal set U. ἡ ἕνωση AB δύο συνόλων Α, Β ἀποτελεῖ ὑπερσύνολο καὶ τοῦ A καὶ τοῦ B (εἶναι τὸ µικρότερο δυνατὸ) : A, B: (AB A) (AB B) ὅπου = καὶ ἡ τοµὴ A B δύο συνόλων Α, Β εἶναι ἓνα ὑποσύνολο καὶ τοῦ A καὶ τοῦ B (τὸ µέγιστο τέτοιο ὑποσύνολο) : A, B: (A B A) (A B B) Μεταβατικότητα ὑποσυνόλων: (A B B C) A C Σηµαντικό: AB = A + B A B 11

12 Ταυτότητες, νόµοι Συνόλων #1 Άντιµεταθετικὴ: A B = B A καὶ A B = B A Προσεταιριστικὴ: (A B) C = A (B C) καὶ (A B) C = A (B C) Ἐπιµεριστικὴ: A (B C) = (A B) (A C) καὶ A (B C) = (A B) (A C) Τοµὴ, Ἕνωση µὲ τὸ Ὑπερσύνολο: A U = A καὶ A U = U 12

13 Ταυτότητες, νόµοι Συνόλων #2 Συµπλήρωµα Συµπληρώµατος: (A c ) c = A Αὐτοδυναµίας: A A = A καὶ A A = A Νόµος DeMorgan s: (A B) c = A c B c καὶ (A B) c = A c B c Νόµος Ἀπορρόφησης: A (A B) = A καὶ A (A B) = A Ἐναλλακτικὴ διατύπωση διαφορᾶς: A B = A B c Τοµὴ & Ἕνωση µὲ ὑποσύνολο: ἄν A B, τότε A B = A καὶ A B = B 13

14 Περὶ κενοῦ συνόλου (συνέχεια) S = {x R x 2 = -1}. X = {1, 3}, Y = {2, 4}, C = X Y. Τὸ κενὸν σύνολο δὲν ἔχει στοιχεῖα. Τὸ { } εἶναι ὑποσύνολο παντὸς συνόλου. Θεώρηµα: Ὑπάρχει ἀκριβῶς 1 κενὸ σύνολο. Ἰδιότητες τοῦ κενοῦ συνόλου: A = A, A = A A c =, A A c = U U c =, c = U 14

15 Διαµέριση Συνόλων- Partinioning Δύο σύνολα λέγονται ΞΕΝΑ ἤ διαζευγµένα ἐὰν δὲν ἔχουν κοινὰ στοιχεῖα ἤτοι (A B= ) πχ {a,b,c} {2,3} = Θεώρηµα: τὰ A B καὶ B εἶναι ξένα. Αν Α, Β ξένα σύνολα, τότε: AB = A + B Μία συλλογὴ συνόλων A 1, A 2,, A n καλεῖται ἀµοιβαἰως ξὲνη ὅταν οἱοδήποτε ζεῦγος στοιχείων (συνόλων) αὐτῆς, αὐτὰ εἶναι ξένα. Μία συλλογὴ µή-κενῶν συνόλων {A 1, A 2,, A n } καλεῖται διαµέριση συνόλου A ἄν ἡ ἕνωση αὐτῶν τῶν συνόλων δίδει τὸ A καὶ ἡ συλλογὴ αὐτὴ ἀποτελεῖται ἀπὸ ἀµοιβαίως ξένα σύνολα. 15

16 Διατεταγµένα Σύνολα Ordered Sets Ὁρισµὸς: Τὸ σύνολο Α καλεῖται διατεταγµένο ἐάν, γιὰ κάθε δύο στοιχεῖα x καὶ y στὸ Α, καθορίζεται ἐπακριβῶς ὅτι: εἴτε τὸ x προηγεῖται τοῦ y, εἴτε τὸ y προηγεῖται τοῦ x Ἐὰν ἔνδιαφέρει ἡ διάταξη τότε τὸ διατεταγµένο σύνολο ἀπεικονίζεται µὲ παρενθέσεις Πχ S={3,2,4,1}, S={1,2,3,4}, ἀλλὰ S=(1,2,3,4) 16

17 Ἀρίθµηση Νὰ ὁρισθῇ ὁ ἀριθµὸς τῶν στοιχείων συνόλου Α. Τρόπος: Ἐκκινοῦµε ἀπὸ ἕνα στοιχεῖο τοῦ Α,στὸ ὁποῖο ἀντιστοιχοῦµε τὸν ἀριθµὸ 1 Έπιλέγουµε ἑπὸµενο καὶ ἀντιστοιχοῦµε τὸν ἀριθµὸ 2 Συνεχίζουµε ἕως ὅτου ἐξαντληθοῦν ὅλα τὰ στοιχεῖα τοῦ συνόλου Α. Ἡ διαδικασία αὐτὴ περιγράφεται µὲ δύο σύνολα: τὸ Α καὶ τὸ σύνολο τῶν θετικῶν ἀκεραίων Ι + 17

18 Αντιστοίχιση Ἑνὸς πρὸς Ἕνα - One to One Correspondence Ὁρισµός: Δύο σύνολα εὑρίσκονται σὲ ἀντιστοιχία ἑνὸς πρὸς ἕνα, ἐὰν τὰ στοιχεῖα τους συνδυἀζονται κατὰ τέτοιο τρόπο ὥστε κάθε στοιχεῖο τοῦ πρώτου συνόλου συνδυάζεται µὲ ἕν καὶ µόνον ἓν στοιχεῖο τοῦ δευτέρου καὶ κάθε στοιχεῖο τοῦ δευτέρου συνόλου συνδυάζεται µὲ ἕν καὶ µόνον ἓν στοιχεῖο τοῦ πρώτου. Ισοδυναµία Συνόλων: Α<->B Δύο σύνολα εἲναι ἰσοδύναµα ἐὰν µποροῦν νὰ τεθοῦν σὲ ἀντιστοιχία ἑνὸς πρὸς ἕνα. 18

19 Ζεύγη Pairs, Καρτεσιανὸ Γινόµενο, Ὁρισµός: Ζεῦγος εἶναι ἓνα σύνολο ἐκ ΔΥΟ στοιχείων Καρτεσιανὸ Γινόµενο Σύνολο ἐκ δύο συνόλων: Τὸ Καρτεσιανὸ Γινόµενο (παραγόµενο) δύο συνόλων Α καὶ Β, εἶναι τὸ σύνολο ὃλων τῶν διατεταγµένων ζευγῶν (x, y), διὰ τὰ ὁποῖα x A καὶ x B Τὸ Καρτεσιανὸ Γινόµενο (Cartesian Product Set of two sets) εἶναι σύνολο καὶ συµβολίζεται ὡς A B : {(a, b) aabb}. π.χ. {a,b} {1,2} = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)} Σηµείωση: A B = A B ἀλλὰ A,B: A B B A 19

20 Σχέσεις - Relations Ὁρισµός: Ἕνα ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινοµένου καλεῖται ΣΧΕΣΗ Πχ τὸ πραγµατικὸ ἐπίπεδο εἶναι τὸ καρτεσιανὸ γινόµενο RxR τοῦ συνόλου τῶν πραγµατικῶν άριθµῶν R. Τὸ 1 ο τεταρτηµόριο, ὥς ὑποσύνολο ὃλου τοῦ πραγµατικοῦ ἐπιπέδου ἀποτελεῖ σχέση. Σηµείωση: ἡ σχέση εἶναι σύνολο! 20

21 Συναρτήσεις - Functions Ὁρισµός: Δοθέντων δύο συνόλων Α καὶ Β καὶ, ἑνὸς κανόνος, ὁ ὁποῖος ἀντιστοιχεῖ γιὰ κάθε ἓνα στοιχεῖο x τοῦ Α, ἕνα µοναδικὰ προσδιοριζόµενο στοιχεῖο y τοῦ Β, τότε αὐτὸς ὁ κανὼν καθορίζει ἓνα σύνολο, f, ἀπὸ διατεταγµένα ζεύγη καὶ αὐτὸ τὸ σύνολο καλεῖται συνάρτηση ἀπὸ τὸ Α στὸ Β. Ἡ συνάρτηση f γράφεται ὡς f = { (x,y) } : γιὰ ὂλα τὰ x Α ὑπάρχει µοναδικὸ y B 21

22 Συναρτήσεις..συνέχεια 1η Μία συνάρτηση εἶναι σύνολο. Συµβολίζεται µὲ f ὅταν ἡ ἔµφαση εἶναι στὰ συναρτησιακὰ χαρακτηριστικὰ καὶ µὲ F στὰ τῶν συνόλων Τὸ στοιχεῖο y µπορεῖ νὰ ἀποδοθῇ καὶ ὡς f(χ) Τὸ σύνολο Α καλεῖται πεδίο Ὁρισµοῦ (Domain) τῆς f. Τὸ σύνολο B καλεῖται πεδίο Τιµῶν (Range) τῆς f Ἡ διαδικασία δηµιουργίας µιᾶς ἀντιστοιχίας, δηλαδὴ τῶν διατεταγµένων ζευγῶν, λέγεται ἀπεικόνιση (mapping) ἤ µετασχηµατισµὸς τοῦ Α στὸ Β καὶ συµβολίζεται A B Ἄν ἡ ἀπεικόνιση αὐτὴ ἐξαντλῇ ὅλα τὰ στοιχεῖα τοῦ Β, τότε τὸ Α εἶναι συνάρτηση Ἐπὶ τοῦ Β. 22

23 Συναρτήσεις..συνέχεια 2α Τὸ καρτεσιανὸ γινόµενο SXT δύο συνόλων S, T, ὅπου τὸ S περιέχει n στοιχεῖα καὶ τὸ Τ m, ἀποτελεῖται ἀπὸ n x m διατεταγµένα ζεύγη Μία σχέση εἶναι ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινοµένου. Μπορεῖ νὰ διατρέχη ἤ µἠ, ὅλα τὰ στοιχεὶα τοῦ S καὶ ὅποιο στοιχεῖο του µπορεῖ νὰ διαταχθῆ µὲ ἕνα ἠ περισσότερα στὸ Τ. Μία συνάρτηση εἶναι ἐπίσης ὑποσύνολο τοῦ καρτεσιανοῦ γινοµένου. Πρέπει ὅµως νὰ ἐξαντλήση ὅλο τὸ πεδίο ὁρισµοῦ της, ὄχι ὅµως κατ ἀνάγκην καὶ τὸ τιµῶν. Στὴν τελευταία περίπτωση καλεῖται ἀµφιµονοσήµανρη (ἕν πρὸς ἕν) συνάρτηση 23

24 Συναρτήσεις..συνέχεια 3η Προσοχὴ: ὁ κανών µιᾶς συνάρτησης µπορεῖ νὰ ἐκφρασθῆ ὥς ἐξίσωση. Ἡ ἐξίσωση ὅµως ΔΕΝ εἶναι ἡ συνάρτηση. Ἡ έξίσωση παρέχει τὸ στοιχεῖο στὸ πεδίο Τιµῶν ποὺ ταιριάζει σὲ µία συγκεκριµένη τιµὴ ἀπὸ τὸ πεδίο ὁρισµοῦ. Μπορεῖ ὅµως νὰ ὑποδεικνύη καὶ τιµὲς ποὺ δὲν ἀποτελοῦν τµῆµα τῆς συνάρτησης. Δεδοµένου ὅτι ἡ συνἀρτηση εἶναι σύνολο διατεταγµὲνων ζευγῶν, αὐτὸ µπορεῖ νὰ ἐπιτευχθῇ καὶ µὲ γράφηµα, πίνακες, διαγράµµατα, προφορικοὺς κανὀνες κτλ. 24

25 Συναρτήσεις..συνέχεια 4η Συνάρτηση σηµείου : ὃταν ὁ κανών µιᾶς συνάρτησης εἶναι τῆς µορφῆς y=f(x). Συνάρτηση συνόλου : ὃταν τὰ στοιχεῖα στὸ πεδίο ὁρισµοῦ εἶναι σύνολα. 25

26 Ἀσκήσεις Εἶναι ἀληθὲς ὅτι (A B) (B C) = A C? Δεῖξτε ὅτι (A B) C = (A C) (B C) Εἶναι ἀληθὲς ὅτι A (B C) = (A B) C? Εἶναι ἀληθὲς ὅτι (A B) (A B) = A? 26

Εὐκλείδεια Γεωµετρία

Εὐκλείδεια Γεωµετρία Εὐκλείδεια Γεωµετρία Φθινοπωρινὸ Εξάµηνο 010 Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Μάθηµα 9 ευτέρα 18-10-010 Συνοπτικὴ περιγραφή Υπενθύµιση τοῦ Θεωρήµατος τοῦ Θαλῆ. εῖτε καὶ ἐδάφιο 7.7 τοῦ σχολικοῦ ϐιβλίου. Τονίσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux.

Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Έγκατάσταση καὶ Χρήση Πολυτονικοῦ Πληκτρολογίου σὲ Περιβάλλον Ubuntu Linux. Μακρῆς Δημήτριος, Φυσικός. mailto: jd70473@yahoo.gr 1. Εἰσαγωγή. Τὸ πολυτονικὸ σύστημα καταργήθηκε τὸ 1982. Δὲν θὰ ἀσχοληθοῦμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ

Παραθέτουμε απόσπασμα του άρθρου: ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ ΑΠΙΣΤΕΥΤΟΝ- Οι Ιεχωβάδες και οι Μασόνοι κεφάλαια εις το βιβλίον των θρ Με ένα από τα αγαπημένα της θέματα ασχολήθηκε για μια ακόμη φορά, στο φύλλο 1991 της 27ης Σεπτεμβρίου 2013, η εφημερίδα ΟΡΘΟΔΟΞΟΣ ΤΥΠΟΣ. Αιτία, το κεφάλαιο του βιβλίου των Θρησκευτικών που διδάσκεται στην

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση

Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.

Διαβάστε περισσότερα

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit

ODBC Install and Use. Κατεβάζετε καὶ ἐγκαθιστᾶτε εἴτε τήν ἔκδοση 32bit εἴτε 64 bit Oἱ ἐφαρμογές Law4 χρησιμοποιοῦν τὸν Firebird SQL Server 32 ἤ 64 bit, ἔκδοση 2.5.x Γιὰ νὰ κατεβάσετε τὸν ODBC πηγαίνετε στό site www.firebirdsql.org στήν δ/νση http://www.firebirdsql.org/en/odbc-driver/

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση

ICAMLaw Application Server Χειροκίνηση Ἀναβάθμιση Εἰσαγωγή Ὁ ICAMLaw Application Server (στὸ ἑξῆς γιά λόγους συντομίας IAS) ἀποτελεῖ τὸ ὑπόβαθρο ὅλων τῶν δικηγορικῶν ἐφαρμογῶν τῆς ICAMSoft. Εἶναι αὐτός ποὺ μεσολαβεῖ ἀνάμεσα: α) στὴν τελική ἐφαρμογὴ ποὺ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 17 Θέμα: «Περὶ τῆς νομιμότητας τελέσεως τοῦ Μυστηρίου τοῦ Βαπτίσματος ἀνηλίκων». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Σχετικὰ μὲ τὶς προϋποθέσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X

Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X eutypon32-33 2014/11/30 12:03 page 19 #23 Εὔτυπον, τεῦχος 32-33 Ὀκτώβριος/October 2014 19 Ἑλληνικὰ σταυρόλεξα μὲ τὸ L A T E X Ἰωάννης Α. Βαμβακᾶς Ιωάννης Α. Βαμβακᾶς Παπαθεοφάνους 12 853 00 Κῶς Η/Τ: gavvns

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ἤ 01ο (01-52) 01-05 Ὁ Λόγος εἶναι Θεὸς καὶ ημιουργὸς τῶν πάντων Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα καὶ ἦταν Θεὸς ὁ Λόγος. Αὐτὸς ἦταν στὴν ἀρχὴ μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από

Διαβάστε περισσότερα

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν

Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ. Χριστοῦ, ποὺ ἀποτελεῖ τὴν κορυφαία πράξη τοῦ Θεοῦ νὰ σώσει τὸν Χριστούγεννα 2013 Ἀρ. Πρωτ. 1157 Πρός τό Χριστεπώνυμο πλήρωμα τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως Χριστὸς γεννᾶται, δοξάσατε. Ἀδελφοί μου ἀγαπητοί, Σᾶς εὐαγγελίζομαι τὸ χαρμόσυνο ἄγγελμα τῆς γεννήσεως τοῦ Χριστοῦ,

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò

LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò LAHGLATA ACIOCQAVIAS PEQIODOS Bò L hgla Aò Μὲ τὴν εὐκαιρία τῆς μνήμης τοῦ Ἁγίου ἐνδόξου Ἀποστόλου καὶ πρώτου Ἁγιογράφου, Εὐαγγελιστοῦ Λουκᾶ (18η Ὀκτωβρίου) καὶ πρὸς τιμήν Του, πραγματοποιήθηκε, μὲ τὴν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος».

Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ὑπ ἀριθμ. 18 Πρὸς Ἅπαντας τοὺς Ἐφημερίους τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως. Θέμα: «Περὶ τοῦ προσώπου τοῦ Ἀναδόχου εἰς τὸ Μυστήριον τοῦ Βαπτίσματος». Ἀγαπητοὶ Πατέρες, Ἐξ αἰτίας τοῦ ὅτι παρατηρεῖται

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων

Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων Θεµελιωδης Θεωρια Αριθµων Ν.Γ. Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης 30 Σεπτεµβρίου 2008 2 Περιεχόµενα 1 ιαιρετότητα 3 1.1 Βασικὲς προτάσεις.......................... 3 1.2 Μέγιστος κοινὸς διαιρέτης......................

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία.

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989. Ἡ Θεία Κοινωνία. ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΕΡΟΣ ΝΑΟΣ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ ΤΟΥ ΣΩΤΗΡΟΣ (Δελφῶν καί Μιαούλη) Τηλ:2310-828989 Ἡ Θεία Κοινωνία κατ οἶκον Θεσσαλονίκη 2008 Κάποιοι συσχετίζουν κάκιστα τὴν παρουσία τοῦ ἱερέως στό

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β

Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Φροντιστηριακὸ Μάθημα Ἁγιογραφίας Β Στὴν Ἱερὰ Μονή μας, τῶν Ἁγίων Μαρτύρων Κυπριανοῦ καὶ Ἰουστίνης, στὴν Φυλὴ Ἀττικῆς, μὲ τὴν Χάρι τοῦ Θεοῦ, τὴν εὐχὴ τοῦ ἀσθενοῦντος Σεβασμιωτάτου Πνευματικοῦ Πατρός μας,

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων

Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Διαχείριση Συσχετισμένων Ἀρχείων & Εἰκόνων Εἰσαγωγὴ Μιὰ ἀπὸ τὶς βασικὲς πρόσθετες δυνατότητες τῆς ἔκδοσης 3 τῶν ἰατρικῶν ἐφαρμογῶν μας, εἶναι ἡ δυνατότητα συσχετισμοῦ ὅσων ψηφιακῶν ἀρχείων ἀπαιτεῖται στὴν

Διαβάστε περισσότερα

T ÓÈÎfi ŒÓÙ Ô HÏÂÎÙÚÔÎÈÓËÙ ÚˆÓ

T ÓÈÎfi ŒÓÙ Ô HÏÂÎÙÚÔÎÈÓËÙ ÚˆÓ T ÓÈÎfi ŒÓÙ Ô HÏÂÎÙÚÔÎÈÓËÙ ÚˆÓ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στὸν Τεχνικὸ αὐτὸν Ὁδηγὸ τοῦ Ἐργοστασίου Ἠλεκτροκινητήρων «Βαλιάδης Α.Ε.»: Παρουσιάζουμε τὶς προδιαγραφὲς κατασκευῆς τῶν κινητήρων μας καὶ κυρίως ἀναφερόμαστε στοὺς

Διαβάστε περισσότερα

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις,

μαθη ματικῶν, ἀλλὰ καὶ τὴ βαθιά του ἐκτίμηση γιὰ τὴ χαϊντεγκεριανὴ ἱστορικὴ κατανόηση τοῦ ἀνθρώπινου κόσμου. Καταγράφοντας ὅλες αὐτὲς τὶς ἐπιδράσεις, ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τὸ βιβλίο αὐτὸ εἶναι προϊὸν μακρόχρονης ἐξέλιξης. Γιὰ εἴκοσι περίπου χρόνια, τὸ ἐνδιαφέρον μου γιὰ τὸν Φρέγκε ἀποτέλεσε μέρος ἑνὸς ὁδοιπορικοῦ ποὺ ξεκίνησε ἀπὸ τὸ Μόναχο καί, μέσω τῆς Ὀξφόρδης

Διαβάστε περισσότερα

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο

Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο Ἀσκητὲς καὶ ἀσκητήρια στὴ νῆσο Σκόπελο (Μιὰ πρώτη προσέγγιση στὸ θέμα) Εἰπώθηκε, πὼς ὁλόκληρο τὸ Ἅγιον Ὄρος μοιάζει μὲ τὸ Καθολικὸ ἑνὸς ἰεροῦ Ναοῦ καὶ ὅτι ἡ περιοχὴ ἀπὸ τὴν Ἁγία Ἄννα καὶ πέρα εἶναι τὸ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292.

Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ. Γιατὶ τὸ Βυζάντιο. Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Ἑλένη Γλύκατζη-Ἀρβελέρ Γιατὶ τὸ Βυζάντιο Ἐκδόσεις «Ἑλληνικὰ Γράμματα», Ἀθήνα 2009, σελίδες 292. Κατ ἐπανάληψιν ἔχει ἐπισημανθῆ ὅτι ἐπιβάλλεται νὰ ἀναθεωρήσουμε ἐμεῖς οἱ Ἕλληνες τὴν ὀπτικὴ εἰκόνα ποὺ ἔχουν

Διαβάστε περισσότερα

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία

Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Σκέψεις γιὰ τὴν διατροφὴ καὶ τὴ νηστεία Ἀλήθεια, πόσο σημαντικὸ εἶναι τὸ θέμα τῆς διατροφῆς. Εἴμαστε αὐτὸ ποὺ τρῶμε, λένε μερικοὶ ὑλιστὲς φιλόσοφοι. Καὶ ἐννοοῦν τίποτα παραπάνω. Ἡ λογικὴ αὐτὴ εἶναι λίγο

Διαβάστε περισσότερα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα

Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ. Ποιήματα Χριστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Αὒγουστος 2011 12 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Χριαστιάνα Ἀβρααμίδου ΜΑΤΙΑ ΑΝΑΠΟΔΑ Ποιήματα Τεῦχος 12 - Αὒγουστος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Τὰ Ἕξι μεγάλα ἐρωτήματα τῆς δυτικῆς μεταφυσικῆς καταλαμβάνουν μιὰ ξεχωριστὴ θέση στὴν ἱστορία τῆς φιλοσοφικῆς ἱστοριογραφίας. Ὁ συγγραφέας του βιβλίου, Χάιντς Χάιμζετ (1886-1975),

Διαβάστε περισσότερα

Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου μας

Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου μας Ἱερὸ Τελετὴ Λήξεως Μαθημάτων Ἁγιογραφίας τῆς Μητροπόλεώς μας Περίοδος ΣΤ, 2013-2014 Ζωὴ καὶ Δημιουργικὴ Συνέχεια στὴν Ὀρθόδοξη Ἁγιογραφία + Κυριακὴ Ἁγιορειτῶν Πατέρων, 9/22.6.2014 Μὲ τὴν Χάρι τοῦ Κυρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 Συγγραφέας: dimdom 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑΣ Εν Αθήναις e-book 2012 ΦΑΚΟΙ Τό φῶς ἀπό τά κοντινά ἀντικείμενα συγκλίνει πίσω ἀπό τό φακό, στό ἐπίπεδό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ. Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία. Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι.

ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ. Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία. Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι. ΦΡΕΝΤΕΡΙΚ ΜΠΑΣΤΙΑ ΥΠΕΡΑΣΠΙΣΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Οἱ ἀφανεῖς συνέπειες τῆς κρατικῆς παρέμβασης στὴν πολιτικὴ οἰκονομία Μετάφραση: Θάνος Σαμαρτζῆς Ι. Τὸ σπασμένο τζάμι. Ἤσασταν μήπως παρόντες τότε

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 25 εκεμβριου 2016 ἀριθμ. πρωτ. : 793.- ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Πρὸς τοὺς εὐλαβεῖς Ἱερεῖς καὶ τοὺς εὐσεβεῖς Χριστιανοὺς τῆς καθ ἡμᾶς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΙΜΕΝΟ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΚΕΙΜΕΝΟ Έχει παρατηρηθεί

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι.

Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Χρήσιμες ὁδηγίες γιὰ τοὺς ἐνηλίκους ποὺ ἐπιθυμοῦν νὰ βαπτισθοῦν Χριστιανοὶ Ὀρθόδοξοι. Σὰ τελευταῖα χρόνια καὶ ἰδιαίτερα μετὰ τὸ ἄνοιγμα τῶν συνόρων τῶν χωρῶν τῆς ἀνατολικῆς Εὐρώπης, ἀλλὰ καὶ γειτόνων χωρῶν

Διαβάστε περισσότερα

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων

Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Τὰ ὅρια τῶν φυσικῶν νόμων Γεώργιος Κοντόπουλος Ἀκαδημία Ἀθηνῶν 1) Εἰσαγωγή Mία ἀπὸ τὶς μεγαλύτερες ἀνακαλύψεις ὅλων τῶν ἐποχῶν εἶναι τὸ ὅτι οἱ φυσικοὶ νόμοι εἶναι παγκόσμιοι. Δηλαδὴ οἱ ἴδιοι φυσικοὶ νόμοι

Διαβάστε περισσότερα

Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ

Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ ENTYPO TETSIS FIN:Layout 1 6/4/09 12:59 PM Page 1 Π. Τ Ε Τ Σ Η Σ Χ Α Λ Κ Ο Γ Ρ Α Φ Ι Ε Σ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ-3 ΙΟΥλΙΟΥ 2009 ΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΕΘΝΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΗΣ ΘΟΥΚΥΔΙΔΟΥ 13, ΠλΑΚΑ, ΑΘΗΝΑ ENTYPO TETSIS FIN:Layout

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ*

H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ* H ΜΥΣΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ ΣΤΟ ΓΛΥΠΤΙΚΟ ΕΡΓΟ ΤΗΣ ΕΛΕΝΗΣ ΠΟΤΑΓΑ* Κ ΑΠΟΤΕ ΥΠΗΡΧΕ ΜΙΑ ΜΟΝΟ ΤΕΧΝΗ, αὐτὴ ποὺ θὰ ὑπάρχει στοὺς αἰῶνες, ὅσο βέβαια θὰ ὑπάρχουν ἄνθρωποι ἐπὶ τῆς γῆς ἐννοοῦμε τὴν ἱερὴ καὶ τελετουργικὴ

Διαβάστε περισσότερα

Παραλειπόμενα τῆς 6ης Πανελλήνιας Συνάντησης Νέων

Παραλειπόμενα τῆς 6ης Πανελλήνιας Συνάντησης Νέων Ὅ,τι ἐπεδόθη στοὺς Συνέδρους-Νέους καὶ τοὺς Παρατηρητὲς Παραλειπόμενα τῆς 6ης Πανελλήνιας Συνάντησης Νέων Κείμενα Προβληματισμοῦ καὶ Ἀναμνηστικὰ α. Πρόγραμμα Συναντήσεως. β. Κεντρικὴ Εἰσήγησις. γ. Ποιήματα

Διαβάστε περισσότερα

eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31

eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31 eutypon1315 2005/11/25 11:49 page 27 #31!)*."$ DA D 0@$)%!"$ >EE 27! "#$%&' ( ) * +,-./&' Ἁγίου Δημητρίου 38 162 31 Βύρωνας Ἀθήνα E-mail: vtrizonis@yahoo.com Abstract Sotiris Zisis (b. 1902, Koulakia,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου)

(Θ. Λειτουργία Ἰωάννου Χρυσοστόμου) Οἱ πιστοὶ ὑπὲρ τῶν κατηχουμένων δεηθῶμεν. Ἵνα ὁ Κύριος αὐτοὺς ἐλεήσῃ. Κατηχήσῃ αὐτοὺς τὸν λόγον τῆς ἀληθείας. Ἀποκαλύψῃ αὐτοῖς τὸ εὐαγγέλιον τῆς δικαιοσύνης. Ἑνώσῃ αὐτοὺς τῇ ἁγίᾳ αὐτοῦ καθολικῇ καὶ ἀποστολικῇ

Διαβάστε περισσότερα

Φεύγουμε; Μένουμε; * * * Ἀλλὰ κι ἄλλα αντίθετα παραδείγματα νὰ πάρουμε ἱστορικά.

Φεύγουμε; Μένουμε; * * * Ἀλλὰ κι ἄλλα αντίθετα παραδείγματα νὰ πάρουμε ἱστορικά. Φεύγουμε; Μένουμε; Ἦταν γραμμένο, φίλοι, σὲ τοῖχο: «Μόνη λύση ἡ φυγή»! Ἀπὸ κάτω κάποιος ἄλλος εἶχε γράψει: «Ἡ φυγὴ εἶναι ἧττα»! Καὶ σκέφτηκα. Ἆραγε τί εἶναι ἡ φυγή, λύση ἢ ἧττα; Ἀνδρεία ἢ δειλία; Ἡρωϊσμὸς

Διαβάστε περισσότερα

1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Γενικὴ Αρχή 1.1.

1 Γενικευµένη µέθοδος Pollard Γενικὴ Αρχή 1.1. Παραγοντοποίηση Καθηγητὴς ΝΓ Τζανάκης 12 εκεµβρίου 2007 Στὰ παρακάτω, ὑποτίθεται ὅτι εἶναι ἕνας πολὺ µεγάλος ἀριθµὸς καὶ ἕνας πρῶτος διαιρέτης του, τὸν ὁποῖο δὲν γνωρίζοµε Αὐτὸ ποὺ ἐπιδιώκοµε εἶναι ἡ εὕρεση

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του

Τευχος πρωτο. αρχεία. Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο. Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Τευχος πρωτο αρχεία Πηγεσ γνωσησ, πηγεσ μνημησ Ένα σύγχρονο αρχείο Το ΙΑ/ΕΤΕ ανοίγει τα χαρτιά του Άσκηση Υπόθεση παραχάραξης Το 1938, το Υφυπουργείον Δημοσίας Ασφαλείας του ελληνικού κράτους δημοσιεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ)

ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ) Η ΝΕΑ ΤΑΞΗ ΤΟΥ ΑΝΤΙΧΡΙΣΤΟΥ. ΠΩΣ ΝΑ ΥΠΟΝΟΜΕΥΣΕΤΕ ΜΙΑ ΧΩΡΑ(Η ΕΞΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΕΝΟΣ ΚΑ- ΤΑΣΚΟΠΟΥ) Ἀποσπάσματα ἀπὸ ἄρθρο στὰ «ΕΠΙΚΑΙΡΑ» (28-2-13) ΠΕΡΙΛΗΨΗ. ΑΥΤΗ Η ΑΠΟΚΑΛΥΨΗ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΠΟΙΟΙ ΒΡΙΣΚΟΝ- ΤΑΙ ΑΠΟ ΠΙΣΩ,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ τὴν ἐπίσημη

ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ τὴν ἐπίσημη Θαῦμα τῆς Ἁγίας Γεροντίσσης Μυρτιδιωτίσσης τῆς Ἀσκητρίας τῆς Κλεισούρας ( 1974) Ἀποδεικτικὸ καὶ Βεβαιωτικὸ τῆς Μοναχικῆς Ἱδιότητος καὶ Ὀνομασίας Αὐτῆς ΤΟΝ τελευταῖο καιρὸ παρετηρήθη ἔντονος κίνησις, γιὰ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ

ΙΕΡΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 1 3 Κυριακή 7 8 10 11 12 ΙΟΥΛΙΟΥ Κοσμᾶ καὶ Δαμιανοῦ τῶν Ἀναργύρων Β Ματθαίου 06:30-10:00 06:30-09:45 ΣΤΗ : Μνημόσυνο Κυπριανοῦ Ἀρχιεπισκόπου Κύπρου, Μητροπολιτῶν Πάφου Χρύσανθου, Κιτίου Μελετίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΘΑΡΣΗ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΘΗ

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΘΑΡΣΗ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΘΗ ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΘΑΡΣΗ ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΘΗ π. Ἰωάννου Ζόζουλακ Κοσμήτορος τῆς Ὀρθόδοξης Θεολογικῆς Σχολῆς τοῦ Πανεπιστημίου Πρέσοβ Σλοβακίας Ἔχουμε συνηθίσει ἐμεῖς οἱ ἄνθρωποι νὰ ἐνεργοῦμε μὲ μηχανικὸ τρόπο, νὰ

Διαβάστε περισσότερα

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό.

μπορεῖ νὰ κάνει θαύματα. Ἔτσι ὁ ἅγιος Νέστωρ, παρότι ἦταν τόσο νέος, δὲν λυπήθηκε τὴν ζωή του καὶ ἦταν ἕτοιμος νὰ θυσιάσει τὰ πάντα γιὰ τὸν Χριστό. Ο Μ Ι Λ Ι Α ΤΗΣ Α.Θ.ΠΑΝΑΓΙΟΤΗΤΟΣ ΤΟΥ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ κ.κ. Β Α Ρ Θ Ο Λ Ο Μ Α Ι Ο Υ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΙΝ ΑΥΤΟΥ ΕΙΣ ΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΜΑΝΤΟΥΛΙΔΟΥ (25 Ὀκτωβρίου 2013) Ἱερώτατε καὶ φίλτατε ἐν Χριστῷ ἀδελφὲ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ

ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ 127 ΕΥΡΩΠΗ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΙΑ: ΠΑΡΕΛΘΟΝ, ΠΑΡΟΝ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΠΕΡΓΑΜΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ (ΖΗΖΙΟΥΛΑΣ) Εἰσαγωγὴ Ἡ δημιουργία τῆς ἑνωμένης Εὐρώπης εἶναι πάνω ἀπ ὅλα γεγονὸς πνευματικῆς σημασίας. Ἡ πολιτικὴ ἡγεσία

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ

ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΝ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2012 ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1. Ἡ Καινή Διαθήκη, Θεσσαλονίκη 2010. 2. Ἱερός Ναός ἁγίου Γεωργίου (Ροτόντα), Κατάθεση μαρτυρία, Θεσσαλονίκη

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283

BYZANTINA ΣΥΜΜΕΙΚΤΑ 23 (2013) 279-283 Paul Canart, Études de paléographie et de codicologie reproduites avec la collaboration de Maria Luisa Agati et Marco D Agostino, τόμ. I-II [Studi e Testi 450-451], Città del Vaticano 2008, σσ. XXVIII+748+VI+749-1420.

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας.

Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας μας. ΕΚΚΛΗΣΙΑ & ΕΘΕΛΟΝΤΙΣΜΟΣ ΕΝΟΡΙΑ & ΔΙΑΚΟΝΙΑ ΑΣΘΕΝΩΝ Σεβασμιώτατε, Αἰδεσιμολογιώτατοι, Πρωτοπρεσβύτερος π. Βασίλειος Κοντογιάννης Ἐφημ. ΙΠΠΟΚΡΑΤΕΙΟΥ Γ.Ν.Α. Ἀγαπητοί ἐθελοντές τῆς Διακονίας Ἀσθενῶν τῆς Ἐκκλησίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ: Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΕΘΕΛΟΝΤΩΝ

ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ: Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΕΘΕΛΟΝΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΥ ΝΟΣΟΚΟΜΕΙΟΥ: Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΩΝ ΕΘΕΛΟΝΤΩΝ Χρ. Πλατή Κατὰ τὶς δυὸ τελευταῖες δεκαετίες, τὸ σύστημα ὑγείας τῆς χώρας ΠΟΙΕΙ σημαντικὲς ἀλλαγές, τόσο στὸ δομικὸ καὶ ὀργανωτικὸ πεδίο, ὅσο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Νεοελληνικής Ιστορίας Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Θεωρητικής Κατεύθυνσης Επαναληπτικό διαγώνισμα

Θέματα Νεοελληνικής Ιστορίας Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Θεωρητικής Κατεύθυνσης Επαναληπτικό διαγώνισμα Θέματα Νεοελληνικής Ιστορίας Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Θεωρητικής Κατεύθυνσης Επαναληπτικό διαγώνισμα ΘΕΜΑ Α.1 Α.1.1 Να δώσετε το περιεχόμενο των ακόλουθων όρων: - Ελληνικό τυπογραφείο - Επιτροπή Αποκαταστάσεως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΕΘΕΛΟΝΤΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΟΧΗ ΑΝΕΣΗΣ ΚΑΙ ΣΙΤΙΣΗΣ ΤΟΥ ΑΣΘΕΝΟΥΣ

Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΕΘΕΛΟΝΤΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΟΧΗ ΑΝΕΣΗΣ ΚΑΙ ΣΙΤΙΣΗΣ ΤΟΥ ΑΣΘΕΝΟΥΣ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΕΘΕΛΟΝΤΗ ΣΤΗΝ ΠΑΡΟΧΗ ΑΝΕΣΗΣ ΚΑΙ ΣΙΤΙΣΗΣ ΤΟΥ ΑΣΘΕΝΟΥΣ κ. Σ. Ἀνδρεᾶ, καθηγήτρια Νοσηλευτικῆς Τ.Ε.Ι. Ἀθηνῶν Τὸ θέμα μας εἶναι ἡ συμβολὴ τοῦ ἐθελοντῆ στὴν παροχὴ ἄνεσης καὶ σίτισης τοῦ ἀσθενοῦς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #2: Ασαφή Σύνολα. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #2: Ασαφή Σύνολα. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #2: Ασαφή Σύνολα Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ

ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ ΙΕΡΑ ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 2015 ἀριθμ. πρωτ.: 181.- ΑΓΙΟΝ ΠΑΣΧΑ 12 ΑΠΡΙΛΙΟΥ ΠΑΣΧΑΛΙΟΣ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ Ο ΜΗΤΡΟΠΟΛΙΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΘΙΜΟΣ Πρὸς τὸν ἱερὸ Κλῆρο καὶ τὸν εὐσεβῆ Λαὸ τῆς καθ ἡμᾶς Ἱερᾶς Μητροπόλεως

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/16/2016

Διαβάστε περισσότερα

«Συζυγία Οἰκογένεια. Ὀρθόδοξα πνευματικὰ καὶ σύγχρονα κοινωνικὰ δεδομένα»

«Συζυγία Οἰκογένεια. Ὀρθόδοξα πνευματικὰ καὶ σύγχρονα κοινωνικὰ δεδομένα» «Συζυγία Οἰκογένεια. Ὀρθόδοξα πνευματικὰ καὶ σύγχρονα κοινωνικὰ δεδομένα» Ὁ γάμος, ὡς ἔννομη συζυγία, ἀποτελεῖ μία ἀπὸ τὶς ἀρχαιότερες θεσμικὲς κατακτήσεις τοῦ ἀνθρώπου, μὲ ἡλικία μεγαλύτερη τῶν εἴκοσι

Διαβάστε περισσότερα

Ὁμιλία στὴν Ἐκδήλωσι πρὸς τιμὴν τοῦ Ἁγίου Γρηγορίου Παλαμᾶ στὴν Αἴθουσα Τελετῶν τοῦ Πανεπιστημίου τῆς Μακεδονίας Κυριακὴ Β Νηστειῶν, 14/27.3.

Ὁμιλία στὴν Ἐκδήλωσι πρὸς τιμὴν τοῦ Ἁγίου Γρηγορίου Παλαμᾶ στὴν Αἴθουσα Τελετῶν τοῦ Πανεπιστημίου τῆς Μακεδονίας Κυριακὴ Β Νηστειῶν, 14/27.3. Ὁμιλία στὴν Ἐκδήλωσι πρὸς τιμὴν τοῦ Ἁγίου Γρηγορίου Παλαμᾶ στὴν Αἴθουσα Τελετῶν τοῦ Πανεπιστημίου τῆς Μακεδονίας Κυριακὴ Β Νηστειῶν, 14/27.3.2016 Ἡ Ὀρθόδοξος Πίστις καὶ ἡ προσωπικὴ εὐθύνη 1 Μητροπολίτου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ. x Σ και. x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». ΕΙΣΑΓΩΓΗ :

ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ. x Σ και. x Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ». ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ : ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΝΟΛΩΝ Η έννοια του συνόλου στα µαθηµατικά είναι έννοια πρωταρχική και έτσι δεν ορίζεται αυστηρά µαθηµατικά. Μπορούµε όµως επεξηγηµατικά αντί ορισµού να πούµε: Σύνολο, είναι µια συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Ηθικά Νικομάχεια Β 1,5-8

Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους Ηθικά Νικομάχεια Β 1,5-8 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 28 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Ι ΑΓΜΕΝΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Αριστοτέλους

Διαβάστε περισσότερα

Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ

Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ 1 Φ. Ἀ. Δημητρακόπουλος Γ. Β. Ἀνδρειωμένος Μ. Χρόνη Χ. Κοντονικολῆς - Ἀ. Βακαλόπουλος Η ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΤΗΣ ΙΕΡΑΣ ΜΟΝΗΣ ΤΙΜΙΟΥ ΣΤΑΥΡΟΥ ΙΕΡΟΣΟΛΥΜΩΝ Ἀπὸ 2 ἕως 12 Ἰουνίου 2010, ὑπὸ τὴν ἐπίβλεψη τοῦ καθηγητῆ Φωτίου

Διαβάστε περισσότερα

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press.

of Mathematics των I.Stewart και D.Tall, Oxford University Press. Σημειώσεις του Μαθήματος Μ1124 Θεμέλια των Μαθηματικών Βασισμένες στο βιβλίο των I.Stewart και D.Tall Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2012 Εισαγωγή Αρχίζοντας τη μελέτη των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ

Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Ἰανουάριος 2011 5 ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θεοδόσης Βολκὼφ ΠΟΙΗΜΑΤΑ Τεῦχος 5 - Ἰανουάριος 2011 ISSN: 1792-4189 Μηνιαία ψηφιακὴ ἔκδοση τοῦ ἠλεκτρονικοῦ περιοδικοῦ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ

ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ 1 ΙΜΗΝΙΑΙΑ ΕΚ ΟΣΗ Ι. Ν. ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ χαλ νωτη γλ σσα Ἡ γλῶσσα εἶναι ἕνα ἀπὸ τὰ σημαντικότερα μέλη τοῦ ἀνθρώπινου ὀργανισμοῦ. Σὲ σύγκριση μὲ ἄλλα ἀνθρώπινα μέλη, ὅπως γιὰ παράδειγμα τὰ χέρια

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΝΟΣ. Ο ΞΕΧΑΣΜΕΝΟΣ ΣΥΜΜΑΧΟΣ

ΥΠΝΟΣ. Ο ΞΕΧΑΣΜΕΝΟΣ ΣΥΜΜΑΧΟΣ ΥΠΝΟΣ. Ο ΞΕΧΑΣΜΕΝΟΣ ΣΥΜΜΑΧΟΣ Ὁ ὕπνος, παρότι κοινὸ βίωμα ὅλων μας, ἔχει μελετηθεῖ ἐντυπωσιακὰ λίγο. Χαμένος χρόνος γιὰ κάποιους, χρόνος ἀνασυγκρότησης τῶν ψυχικῶν καὶ σωματικῶν δυνάμεων κατὰ ἄλλους, θὰ

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Καραμανλής Ομιλία αποδοχής του Βραβείου Καρλομάγνος

Κωνσταντίνος Καραμανλής Ομιλία αποδοχής του Βραβείου Καρλομάγνος Κωνσταντίνος Καραμανλής Ομιλία αποδοχής του Βραβείου Καρλομάγνος Ομιλία στην σχετική τελετή στο δημαρχείο του Άαχεν, στις 4.5.1978, καταδεικνύουσα τους ευρωπαϊκούς οραματισμούς του Κύριε Δήμαρχε, Σᾶς ἐκφράζω

Διαβάστε περισσότερα

Οἱ παραβολὲς δὲν κινοῦνται στὸ ψυχολογικὸ ἐπίπεδο, οὔτε ἀποσκοποῦν

Οἱ παραβολὲς δὲν κινοῦνται στὸ ψυχολογικὸ ἐπίπεδο, οὔτε ἀποσκοποῦν Ο ΑΣΩΤΟΣ ΥΙΟΣ Κατὰ Λουκάν, 15, 11-32 Οἱ παραβολὲς δὲν κινοῦνται στὸ ψυχολογικὸ ἐπίπεδο, οὔτε ἀποσκοποῦν στὴν ψυχολογική μας ἐξέλιξη καὶ ἀποκατάσταση καὶ τὴν ἐξ αὐτῶν προερχόμενη αὐτοδικαίωσή μας, ἡ ὁποία

Διαβάστε περισσότερα

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι,

Ὁ Γάμος. Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, Ὁ Γάμος Ἀγαπητοί μας μελλόνυμφοι, ὲ λίγες ἡμέρες πρόκειται νὰ ἑνωθεῖτε μὲ τὰ δεσμὰ τοῦ Γάμου διὰ τῶν εὐλογιῶν τῆς Ἁγίας Ἐκκλησίας τοῦ Κυρίου μας. Αὐτὸ τὸ γεγονὸς χρειάζεται ὡς καταλύτη τὸν τελειωτῆ καὶ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ Β ΔΙΗΜΕΡΙΔΑ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΥΝΟΔΙΚΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗΣ ΓΑΜΟΥ, ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ, ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΚΑΙ ΔΗΜΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ (5-6 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2004, Διορθόδοξον Κέντρον τῆς Ἐκκλησίας τῆς Ἑλλάδος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 12: Μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r)

The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) The copyright and the Intellectual Property of the Edition of the Codex Vindobonensis phil. Gr. 65 (ff. 11r-126r) The Byzantine Mathematics, 3 rd edition Volume Ι Arithmetic, Αlgebra Volume ΙΙ Geometry

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα