1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο"

Transcript

1 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση f ( ), 0. Μον. 09 Πότε η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο. Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραπάνω παραβολής Πότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν είναι πάνω από τον χ χ γ) Ποια είναι τα σημεία τομής της ευθείας, με εξίσωση ψ=αχ+β με τους άξονες χ χ, ψ ψ Μον.06 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) 4 3 και g( ) 1 α) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h ( ) f( ) g ( ) Μον. 10 β) αν 1 να απλοποιηθεί η συνάρτηση h(χ) Μον. 15 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση ψ=λχ+μ. α) να βρείτε τα λ,μ αν η ευθεία περνά από τα σημεία Α(1,5) και (, 1) Μον. 1 β) να βρεθεί η τιμή του κ ώστε η ευθεία δ, με εξίσωση ψ=(κ -5κ+)χ+κ+3 να είναι παράλληλη με την ευθεία ε. Μον. 13

2 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f( ) α) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() Μον. 08 β) να δείξετε ότι 9 f (0) Μον. 08 γ) να λυθεί η εξίσωση ( 5) f ( ) 1 Μον. 09 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ο ΘΕΜΑ 1ο Α, Αν θ>0 να δείξετε ότι -θ < χ < θ Β. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις κάτωθι προτάσεις α) H εξίσωση έχει μία πραγματική λύση β) Η εξίσωση 0 είναι αδύνατη γ) (3 10) 3 10 δ) η τετραγωνική ρίζα του 4 3 είναι ο 3 1 Γ. Στον παρακάτω άξονα χ χ είναι οι ρίζες χ 1, χ του ( ) 3 f χ -4 χ χ 5 χ να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο <,>,= τα παρακάτω: f(-4).0 f(0)..0 f( ).0 f(1)..0 f(5).0

3 ΘΕΜΑ ο Α. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της ψ 3 πρώτης στήλης με το αντίστοιχό του ε 1 στη δεύτερη στήλη ε ε 4 ευθεία ε 1 εξίσωση Α: ψ =3 χ ε 3 ε 5 χ Ο ε Β: ψ =χ-6 ε 6 ε 3 Γ: χ =3 ε 4 Δ: ψ =-χ-10 ε 5 ε 6 Ε: ψ =χ-10 ΣΤ: ψ = -χ ψ Β. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στα παρακάτω α) αν χ 1 >χ και Α( χ 1,α ) και Β(χ,α) τότε η ΑΒ είναι : χ 1 -χ, χ -χ 1,. 0, α β) αν η εξίσωση (λ -4)χ=λ +λ είναι αόριστη τότε το λ είναι: 0-1 γ) στην εξίσωση -χ +7χ-6=0 είναι : S=7,P=-6 S= -7/,P=-3 S= 7/,P=3 S=-7/ P=3 3 3 Γ) να γίνουν οι πράξεις ΘΕΜΑ 3 Ο Α. Να λύσετε την εξίσωση: (μον. 1) Β. Να λύσετε την ανίσωση: ( ).( 5 3) 0 (μον. 13) ΘΕΜΑ 4 Ο Α. Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( ) και g( ) 9 Α 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f (μον. 8)

4 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g (μον. 8) A 3. Να λύσετε την εξίσωση: [ f ( )] [ g( )] 13 (μον. 9) 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 Ο ΘΕΜΑ 1 ο Α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 μον. 8+9 Β) Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω προτάσεις μον Αν R τότε ισχύει πάντα. Η εξίσωση χ ν =α με ν άρτιο και α<ο έχει δύο ακριβώς λύσεις : τις a, 3. Το πεδίο ορισμού της f ( ), (,] 4. H γραφική παράσταση της f()=-4χ+β σχηματίζει με τον άξονα χ χ αμβλεία γωνία a ΘΕΜΑ ο Α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στα παρακάτω: 1. Η απόσταση (ΑΒ) των σημείων Α(-5,7), Β(3,7) είναι: 10, 1, 8, -11, 14. Αν 1 τότε η τιμή της παράστασης ( 1) ( ) ισούται με : 3, -3, 0, 1, B) Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της 1 ης στήλης με ένα μόνο της ης Στήλη Α Σχέσεις 1. γ/α <0. Δ>0, γ/α >ο και β/α >0 3. Δ=0 4. Δ<0 Στήλη Β Είδος ριζών της αχ +βχ+γ=0 α) δύο ρίζες πραγματικές και αρνητικές β) δύο ρίζες πραγματικές και θετικές γ) ρίζες πραγματικές και άνισες δ) δύο ρίζες πραγματικές και ίσες ε) δεν έχει πραγματικές ρίζες

5 οξεία, αμβλεία, ορθή, 0 ο Μον ΘΕΜΑ 3 ο μον Δίνονται τα σημεία Α(1,), Β(-1,-4), Γ(,5) και η συνάρτηση f()=κχ+λ. 1. Να βρεθούν τα κ, λ αν τα Α, Β ανήκουν στη γραφική παράσταση της f(). Για κ=3 και λ=-1 να εξετάσετε αν το Γ ανήκει στη γραφική παράσταση της f() 3. Για κ=3 και λ=-1 να βρείτε τα σημεία τομής της f() με τους άξονες χ χ και ψ ψ. 5 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται το f()= μον Να λυθεί η ανίσωση f()<0. Αν χ(-3,1/), να λυθεί η εξίσωση : 7 f ( ) 0 ( 6) f ( ) 3. Αν χ<-3, να απλοποιήσετε την παράσταση : Β= ( 9)(1 ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 Ο Θέμα 1 Ο Α) Να αποδείξετε ότι: Αν θ>0,. Β) Να γράψετε τον τύπο της απόστασης δύο σημείων Α(χ 1,ψ 1 ) και Β(χ,ψ ). Γ) Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις: α ) Η εξίσωση (λ -9)χ=λ +3λ, λr είναι αόριστη όταν το λ είναι: 0, -3, 3, 1 β) Αν χ<1 τότε : -3χ+4<7, -3χ+4>5, -3χ+4>1, -3χ+4<-1 γ) Το 3 10 είναι ίσο με : 3 10, 3 10, 10 3, 3 10 δ) Οι ευθείες ψ=1χ+5 και ψ=κχ+009 είναι παράλληλες αν κ = 5, κ = 009, κ =, κ = 1 ε) Η ευθεία ψ = (α +1)χ-3 σχηματίζει με τον χ χ γωνία:

6 Θέμα Ο Έστω f η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα. 6 Να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) τους αριθμούς f (0), f (8), f (4) δ) το μήκος του τμήματος ΑΒ ε) την τιμή του λ για την οποία το σημείο Κ(16, λ -1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f. Μον Θέμα 3 Ο Δίνεται το τριώνυμο f ( ) 15, R. α) Να βρεθεί το πρόσημο του τριωνύμου. β) Να λυθεί η ανίσωση: 0 15 γ) Να λυθεί η εξίσωση: ( 1) Μον Θέμα 4 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 3 5. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να αποδείξετε ότι : ( f (5) f ( ))( 13 6) [ f (3)]. γ) Να βρείτε την εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : ρ 1 = 1 f (0) 1 και ρ = 1 f (0). Μον

7 ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 Ο Η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο αριθμών είναι ίση με το γινόμενο των απολύτων τιμών τους, δηλαδή. 7 Μονάδες 9 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν ( 1, y1) και (, y) δύο σημεία του καρτεσιανού επιπέδου, τότε η απόσταση τους στο επίπεδο δίνεται από τον τύπο ( ) ( ) ( y y ). 1 1 β. Αν S και είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών 1 και, τότε η εξίσωση 0 έχει λύσεις τους αριθμούς 1 και. S γ. Αν, πραγματικοί αριθμοί με, τότε, R:. δ. Αν,,, R με και, τότε. Μονάδες 4χ4=16 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι ευθείες ( 1) και ( ) : y 5, R. με εξισώσεις y : 3 1 και Α. Να προσδιορίσετε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει 1//. Μονάδες 11 Β. Να αποδείξετε ότι για κάθε R, //. Μονάδες 6 Γ. Αν 1, να προσδιορίσετε το σημείο όπου η ( 1) τέμνει τον, και το σημείο όπου η ( ) τέμνει τον yy. Μονάδες 8

8 ΘΕΜΑ 3 ο 8 Δίνεται η παράσταση 9 3. Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση. Μονάδες 8 Β. Να απλοποιήσετε την παράσταση. Μονάδες 8 Γ. Αν 3, να λυθεί η ανίσωση 5 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η εξίσωση 0 (1), R. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του η εξίσωση (1) έχει δύο πραγματικές ρίζες. Β. Αν 1, οι ρίζες της (1) τότε : i. Να αποδείξετε ότι 1 1 και ii. Να προσδιορίσετε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει 1 6 Μονάδες 6 1. Μονάδες 6. Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 Ο A. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία ( 1,y 1) και (,y ), ώστε η ΑΒ να μην είναι παράλληλη προς τους άξονες. Να αποδείξετε ότι η απόσταση (ΑΒ) των δύο σημείων ισούται με (AB) ( ) (y y ) ( Μονάδες 9) 1 1 B. Να γίνει η σωστή αντιστοίχιση στον παρακάτω πίνακα Η εξίσωση α+β=0: 1. Είναι Αόριστη (Α) a 0. Είναι Αδύνατη στο R (Β) a 0 και 0 3. Έχει μοναδική λύση (Γ) a 0 και 0 ( Μονάδες 6)

9 Γ. Να γράψετε στην κόλλα σας τη σωστή απάντηση στα παρακάτω: 1. Αν χ<1 τότε -3χ+4< 7-3χ+4>5-3χ+4>1-3χ+4<-1. Το είναι ίσο με: α -α 9 3. Η ( 5) είναι ίση με: Αν χ 3 = -5 τότε : χ= 3 5 χ= 3 5 χ= 3 5 χ= Η ευθεία (ε): ψ=3χ+1 είναι παράλληλη με την ευθεία : ψ= -3χ+1 ψ=3χ -7 ψ= -3χ ( Μονάδες 10) ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι συναρτήσεις : f() 5 3, g() 9, h() 4 1 Α. Να μετατρέψετε το τριώνυμο f() 5 3 σε γινόμενο παραγόντων Β. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η συνάρτηση f () g() K() h() ( Μονάδες 5 ) ( Μονάδες 5 ) Γ. Να απλοποιήσετε την Κ() ( Μονάδες 5 ) Δ. Να λύσετε την εξίσωση 3 K() ( Μονάδες 5 ) 4 Ε. Να λύσετε την ανίσωση 4 K() 5 ( Μονάδες 5 ) ΘΕΜΑ 3 ο Έστω η ευθεία 1 με εξίσωση με εξίσωση y 0 y ( 4) 4 με λ πραγματικό αριθμό και η ευθεία Α. Να βρεθεί το λ ώστε οι παραπάνω ευθείες να είναι παράλληλες μεταξύ τους. 6 Β. Για 4 να δείξετε ότι ( Μονάδες 13 ) ( Μονάδες 1 )

10 ΘΕΜΑ 4 ο 10 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ( Μονάδες 10 ) Β. Αν 1 α. να απλοποιήσετε την παράσταση A( ) f ( ) 3 ( Μονάδες 10 ) β. να λύσετε την εξίσωση Α()=7-4 ( Μονάδες 5 ) ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 Ο Αν θ>0 τότε. Μονάδες 10 Β. Έστω α,β πραγματικοί αριθμοί. Κάτω από ποιες προϋποθέσεις μπορούμε να ισχυριστούμε ότι : «Αν τότε». Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν 0 και 0 τότε ισχύει. β. Η ευθεία y γ. Ισχύει ότι 1 3 σχηματίζει με τον χ χ οξεία γωνία δ. Αν, y και, y 1 1 Μονάδες 5=10 δύο σημεία του επιπέδου τότε η απόστασή τους δίνεται από τον τύπο y y. 1 1 ε. Το συμμετρικό σημείο του Μ(α, β) ως προς τον άξονα ψ ψ είναι το Μ (-α, β).

11 ΘΕΜΑ ο 11 Α. Να μελετηθεί το πρόσημο της f 4. Μονάδες 10 Β. Να λυθεί η ανίσωση 4 Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3ο Δίνονται τα σημεία Κ(0,) καιλ(-1,3). Α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΚΛ. Μονάδες 9 Β. Αν η ευθεία ΚΛ έχει εξίσωση ψ=-χ+ και τα σημεία Κ,Λ και 1,4 3 R είναι συνευθειακά, τότε: α. Να αποδείξετε ότι λ=. Μονάδες 10 β. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία άξονα χ χ. Μονάδες 6, 3 : y 8 5 με τον ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f με f 4 6. Α. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 6 Β. Να αποδείξετε ότι f 3 για κάθε στο πεδίο ορισμού της. Γ. Να λυθεί η εξίσωση f Δ. Να λυθεί η ανίσωση f Μονάδες Μονάδες Μονάδες 10

12 ΘΕΜΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 Ο 1 A. Να αποδείξετε ότι για δύο πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει: a b = a b. Μονάδες 10 B. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Μονάδες Η ισότητα =- ισχύει όταν 0.. Ισχύει + y = + y, όπου,y > 0 3. Ισχύει πάντα: - y = - y. 4. Η εξίσωση 0 με α, γ ετερόσημα έχει πάντα δύο άνισες ρίζες. 5. Αν α > β και γ > δ τότε ισχύει πάντα αγ > βδ. Γ. Πότε δύο διακεκριμένες ευθείες :y και παράλληλες ; Μονάδες :y είναι ΘΕΜΑ o Α. Για την τιμή του λ που η εξίσωση να λυθεί η ανίσωση d(, λ) < 5. Μονάδες 10 Β. Αν a είναι η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης να αποδείξετε ότι: = a a + 1 a - 1 ( 4) 3 είναι αόριστη, 5-81 = 0,. Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 3 ο Έστω το σημείο Μ(λ -7λ+6, λ-1-3), όπου λr. Α)Ποιο το λr, ώστε το σημείο Μ να ανήκει στον θετικό ημιάξονα Οy. Μονάδες 8 Β)Ποιο το λr, ώστε το σημείο Μ να βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο. Μονάδες 8 Γ)Αν λ= να βρεθούν: 1.Το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα y'y..το συμμετρικό του Μ ως προς την διχοτόμο 1 ης -3 ης γωνίας

13 των αξόνων, δηλαδή την ευθεία ψ=χ. 3.Η απόσταση του Μ από το σημείο Λ(8,-7). Μονάδες 33=9 13 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f()= (λ+) 5λ, με λ -. Α) Αν λ=1 τότε: 1) Να λύσετε την ανισότητα f() 0 Μονάδες ) Να βρείτε τα πρόσημα των f( ),f( ),f( ),f( ) Μονάδες 4 3 B)Αν 1, οι ρίζες της f()= 0 και S, P το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της τότε 1) Να δείξετε ότι (S- 1 ) (S- )=P Μονάδες 5 ) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να ισχύει: (S- 1 ) (S- ) S Μονάδες 8 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Ο ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να αποδείξετε ότι η απόλυτη τιμή του γινομένου δυο πραγματικών αριθμών ισούται με το γινόμενο των απολύτων τιμών τους: Μονάδες 10 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. i. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ψ=αχ+β είναι το α=εφω. Αν α<0 τότε ii. Η απόσταση των σημείων, y,, y y y 1. iii. Αν Δ=0 το τριώνυμο είναι : f, 0,διατηρεί το ίδιο πρόσημο για κάθε. iv. Αν η εξίσωση αχ+β=0 αληθεύει για κάθε τότε :α=0 και β=0.

14 v. Αν θ>0 τότε :. 14 Γ. Πότε και πως παραγοντοποιείται το τριώνυμο f, 0 για τις διάφορες τιμές της διακρίνουσας Να αντιγράψετε στη κόλλα σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συμπληρωμένο. ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ f, 0 ΘΕΜΑ ο Μονάδες 5 i. Να λυθεί η ανίσωση 1. Μονάδες 1 ii. Για -1<χ<3 να απλοποιηθεί η παρακάτω παράσταση : Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f 7 6 και το σημείο Α(3, -1). α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και να απλοποιηθεί ο τύπος της f() Μονάδες 10 β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το A και είναι παράλληλη στην ευθεία y 3. Μονάδες 8 γ. Nα βρείτε το ώστε η συνάρτηση g f (0) 007 f (3) 4 να είναι σταθερή συνάρτηση. Μονάδες 7

15 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η εξίσωση (1) 15.Να βρείτε το λ ώστε: α. Η εξίσωση (1) να έχει ρίζες ετερόσημες. Μονάδες 6 β. Μια ρίζα της εξίσωσης (1) να είναι ο αριθμός -. Μονάδες 9 γ. Αν, 1 οι ρίζες της εξίσωσης (1) να ισχύει η ανίσωση : Μονάδες 10 1 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω 1 και οι ρίζες της εξίσωσης i. 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 10 Ο 0, 0 να δείξετε ότι: S ii. P Μονάδες 10 1 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στον αριθμό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 1. Αν 0 το τριώνυμο για κάθε.. Η απόσταση των αριθμών, f, 0, διατηρεί το ίδιο πρόσημο είναι: d,. 3. Η εξίσωση 0, 0 έχει δυο άνισες λύσεις όταν Το συμμετρικό του σημείου,,. ως προς τον άξονα ' είναι το σημείο 5. Για την ορίζουσα ισχύει. Μονάδες 10 Γ. Πως ορίζεται η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού. Μονάδες 5

16 ΘΕΜΑ ο Δίνονται οι παραστάσεις 44 4 και 1 1 i. Να δείξετε ότι 4 και 1. Μονάδες 8 ii. α. Να λύσετε την εξίσωση 3. Μονάδες 8 β. Να λύσετε την ανίσωση 1 0. Μονάδες 9 16 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνονται οι ευθείες y : και : y α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ευθείες είναι παράλληλες. Μονάδες 8 β.αν 1 να λύσετε το σύστημα των παραπάνω δυο εξισώσεων. Μονάδες 8 γ. Αν τέμνει τους άξονες 4 3 να βρείτε την απόσταση των σημείων Α και Β στα οποία η ευθεία 1 3 ' και yy ' αντίστοιχα. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνάρτηση f 6. 3 i. Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης. Μονάδες 8 ii. Να απλοποιηθεί ο τύπος της. Μονάδες 8 iii. Να λυθεί η ανίσωση f 3. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω 0.Να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. Μονάδες 10 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. i. Η εξίσωση 0 για 0 και 0 είναι ταυτότητα.

17 ii. Η εξίσωση με 0 και ν περιττό έχει ακριβώς μια λύση την. iii. Έστω δυο σημεία, και ' ', ' του καρτεσιανού επιπέδου,τότε αυτά 17 είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων, μόνο όταν έχουν ' και '. iv. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 0 0 άξονα ' γωνία ω με v. Το τριώνυμο f, 0 με 0 σχηματίζει με τον γίνεται ετερόσημο του, μόνον όταν είναι 0 και για τις τιμές του που βρίσκονται εκτός των ριζών. Μονάδες 10 Γ. Έστω ν θετικός ακέραιος. Τι ονομάζουμε ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α και πως συμβολίζεται; Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο Α. Δίνεται η παράσταση Να αποδείξετε ότι 6 18 Μονάδες 8 Β. i. Να λύσετε την εξίσωση Α(χ)=0. Μονάδες 8 ii. Να απλοποιηθεί η παράσταση Α(χ) (να γραφεί χωρίς την απόλυτη τιμή). Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η συνάρτηση f()=αχ+β. Α) Να βρείτε τα α,β έτσι ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από τα σηµεία Α(-1,-5) και Β(,4). Μονάδες 8 Β) Για α=3 και β= - i. Nα προσδιορίσετε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ. έτσι ώστε η ευθεία y( 1) 009 να είναι παράλληλη στην γραφική παράσταση της f. Μονάδες 8 1 ii. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g. Μονάδες 9 f

18 ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται το τριώνυμο f α. Για να απλοποιηθεί το κλάσμα 1,.. Μονάδες 9 f β. Να βρείτε για ποιες τιμές του R η εξίσωση f 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. Μονάδες 8 γ. Αν 1, με 1 είναι οι ρίζες της εξίσωσης 0 f,να βρείτε το R ώστε να ισχύει 1. Μονάδες 8 18 ΘΕΜΑ 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο Α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 μον. 13 Β) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης χ -8χ+13=0, να βρείτε την εξίσωση με ρίζες τους αριθμούς ρ 1 =χ 1-3 και ρ =χ -3 μον. 1 ΘΕΜΑ ο μον Αν ε 1 : χ+ψ=1 και ε : χ-ψ=-4, να επιλέξετε τη σωστή απάντηση από τα παρακάτω 1. Το σημείο τομής των ε 1,ε είναι το : Α(-1,4), Β(1,3), Γ(-1,3), Δ(1.). Η ευθεία ε 1 είναι παράλληλη με την ευθεία ε 3 : ψ=χ+3 ε 4 : ψ=-χ+3 ε 5 : ψ=3χ-1 3. Η ευθεία ε 1 είναι κάθετη με την ευθεία ε 6 : ψ=1/χ+3 ε 7 : ψ=-1/χ-4 ε 8 : ψ=χ+3 ΘΕΜΑ 3 ο Δίνεται η εξίσωση χ /4 +κχ+κ =0 (1) 1. Να βρείτε το κ ώστε η (1) να έχει ρίζα το -4.. Ν.δ.ο. για την τιμή του κ που βρήκατε η ρίζα αυτή είναι διπλή.

19 ΘΕΜΑ 4 ο Μία εταιρεία παραγωγής εμφιαλωμένου νερού χρησιμοποίησε για τη συσκευασία 150 λίτρων νερού, 400 δοχεία λιτρης ή 5λιτρης χωρητικότητας. Να βρείτε πόσα δοχεία από κάθε είδος χρησιμοποίησε η εταιρεία. 19 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13 ο

20 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 Ο 0

21 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 15 Ο Θέμα 1 ο Α)Αν a 0, 0, δείξτε ότι (10 μονάδες) Β)Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού (5 μονάδες) Γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση 1 α)είναι 3 3 a ( a ) ( a a ) β)η εξίσωση όπου 0 έχει μοναδική λύση γ)αν a, 0 τότε δ)αν χ 1,χ λύσεις της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0 με 0 τότε χ 1 χ = ε)αν f()= αχ +βχ+γ 0 και Δ<0 τότε το f() δεν παραγοντοποιείται.(5χ=10 μονάδες) Θέμα ο Δίνονται οι αριθμοί 5 3 και 5 3 α)να υπολογιστούν οι και (8 μονάδες) β)να απλοποιηθεί η παράσταση (9 μονάδες) γ)αν K Θέμα 3 ο να γραφεί το K σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή. (8 μονάδες) Δίνεται το σύστημα α)αν το σύστημα έχει λύση το ζεύγος (χ,ψ)=(1,), να βρεθούν οι τιμές των α και β (15 μονάδες) β) Αν α=3 και β= εξετάστε αν το σύστημα έχει μοναδική λύση ή όχι (10 μονάδες)

22 Θέμα 4 ο α) Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο 3χ +χ-4 (6 μονάδες) β)αν 3 4 3, απλοποιήστε το Α (9 μονάδες) γ)βρείτε τις τιμές του χ αν 0 (10 μονάδες) ΘΕΜΑ 1 Ο : ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 16 Ο Α) α)να αποδείξετε :Αν, θ>0 τότε (10 μονάδες) β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. 3 3 β.. γ. a 4 δ. 5 5 ε. 9 y 0 τότε χ=9 και y= (5 μονάδες) Β) α)να λυθεί η εξίσωση : 4 8 (5 μονάδες) β)να λυθεί η ανίσωση : 4 8 (5 μονάδες) ΘΕΜΑ Ο : Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας α) 1 που διέρχεται από το σημείο Α(,3) και σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 45 ο. (9 μονάδες) β) που διέρχεται από το σημείο Β(-1,) και είναι παράλληλη προς την ευθεία : 3. (9 μονάδες) γ) Να βρείτε το σημείο τομής των 1, (7 μονάδες)

23 ΘΕΜΑ 3 Ο : Δίνεται η εξίσωση : χ -λχ-λ -5=0, R α. Nα δείξετε ότι για κάθε R η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές λύσεις (10 μονάδες) β. Να υπολογιστεί το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της παραπάνω εξίσωσης συναρτήσει του λ. γ. Αν 1, είναι ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί το λ όταν (7 μονάδες) ισχύει: (8 μονάδες) 1 3 ΘΕΜΑ 4 Ο : Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις : Α()=3-5+ Β() = ( ) A( ) ( 1) B ( ) α. Να εξετάσετε το πρόσημο της Α(χ), R. (6 μονάδες) β. Να εξετάσετε το πρόσημο της Β(χ), R. (7 μονάδες) γ. Για ποιες τιμές του έχει νόημα η παράσταση Γ(χ) (5 μονάδες) δ. Να λύσετε την ανίσωση ( ) 0 (7 μονάδες) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 17 Ο ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Αν η εξίσωση α + + =0, α 0 έχει δύο άνισες ρίζες 1, γ να αποδείξετε ότι : Ρ = 1 α (Μονάδες 1) Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α. Η εξίσωση α + β = 0 για. έχει μοναδική λύση την = β. Το σύνολο περιέχει τα. στοιχεία των συνόλων και γ. Για κάθε πραγματικό α ισχύει : α... δ. Ισχύει : ν αβ =. όπου α, β θετικοί και ν (Μονάδες 8)

24 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετρά διό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό ή Λάθος α. Αν α > 0 τότε ισχύει : α < 0. β. Αν Δ = 0 τότε η εξίσωση α +β +γ = 0,με α 0 έχει διπλή ρίζα την β. α γ. Αν α 0, β 0 και ν,μ N τότε ισχύει : ν μ α β δ. Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει : α + β α + β ε. Η απόσταση (ΑΒ) δύο σημείων Α( 1,y 1 ) και Β(,y ) ισούται με : y y. (Μονάδες 5) ( ( 1 1 ΘΕΜΑ Ο Έστω f () = - + α. Να βρεθεί το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της ;(χωρίς να βρεθούν οι ρίζες) (Μονάδες 5) β. Να βρεθούν οι ρίζες της (Μονάδες 5) γ. Να παραγοντοποιηθεί η f () (Μονάδες 5) δ. Να βρεθεί το πρόσημο της f() για κάθε τιμή του (Μονάδες 5) ε. Να λυθεί η ανίσωση f () > 0 (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνονται με περιγραφή τα σύνολα : / 1 και / ( 3) ( 8) 0 Να βρείτε : α. Το σύνολο Α. (Μονάδες 7) β. Το σύνολο Β. (Μονάδες 6) γ. Το σύνολο. (Μονάδες 6) δ. Το σύνολο. (Μονάδες 6).

25 Θ Ε Μ Α 4 ο 5 Δίνεται το γραμμικό σύστημα : y y 4 Α. Να βρείτε την τιμή του R ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις. Β. Για 3 να λυθεί το σύστημα. (Μονάδες 8) Γ. Αν το ζεύγος (, 3) είναι λύση του συστήματος να βρεθεί η τιμή του R. (Μονάδες 8) (Μονάδες 9) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 18 Ο ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω 1, οι ρίζες τις εξίσωσης 0 με 0. Να δείξετε ότι: 1 ( Μονάδες 15) Β. Να ορίσετε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ( Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: 1. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης αχ +βχ+γ = 0,α¹ 0 είναι -γ. α. Αν η εξίσωση αχ +βχ+γ = 0, έχει α > 0 και γ < 0, τότε έχει δύο ρίζες ετερόσημες. 3. Το συμμετρικό του σημείου Μ(α, β) ως προς τον άξονα χ χ είναι το Α(-α, -β) 4. Για κάθε α, β πραγματικούς αριθμούς ισχύει α + β = α + β. 5. Αν Α, Β δύο σύνολα τότε το σύνολο Α Β αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α, Β (Μονάδες 5)

26 ΘΕΜΑ Ο Έστω οι συναρτήσεις f() = και g() = 8 Α) Να λυθεί η εξίσωση f() = 0 (Μονάδες 7) Β) Να λυθεί η ανίσωση f() < 0 (Μονάδες 6) Γ) Να λυθεί η εξίσωση g() = 10 (Μονάδες 6) Δ) Να λυθεί η ανίσωση g() < (Μονάδες 6) 6 ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνονται οι ευθείες ε 1,ε με αντίστοιχες εξισώσεις : y = (λ +) +006 και y = 3λ-7. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε: α. η ε να διέρχεται από το σημείο Α(1,) (Μονάδες 13) β. οι ε 1,ε να είναι παράλληλες (Μονάδες 1) ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω το γραμμικό σύστημα (Σ) α y = - β 4 y = - 3 α) Ποια τα α, β ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις (8 Μονάδες) β) Προσδιορίστε τα α, β ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να δικαιολογήσετε (8 Μονάδες) γ) Να λυθεί το (Σ) για α = 3 και β = - 5 (9 Μονάδες)

27 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 19 Ο 7 ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Αν η εξίσωση α +β+ =0, α 0 έχει δύο άνισες ρίζες 1, β να αποδείξετε ότι : S = 1 + α (Μονάδες 1) Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α. Η εξίσωση α + β = 0 είναι αδύνατη αν. και β. Η απόσταση d(α, β) δύο πραγματικών αριθμών α, β ισούται με γ. Αν α >0, β > 0 και τότε ισχύει : ν α ν β... δ. Το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς τον άξονα είναι το.. (Μονάδες 8) Γ. Τι λέγεται απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α; (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η εξίσωση ( ) 7 0, R. α. Να λυθεί η εξίσωση για κ = 5 (Μονάδες 8) β. Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει ρίζα το. (Μονάδες 8) γ. Αν 1, οι ρίζες της εξίσωσης να αποδειχθεί ότι ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) ( ) (Μονάδες 9) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 8) β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. (Μονάδες 8) γ. Να λύσετε την ανίσωση : f( ) 0. (Μονάδες 9)

28 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω οι ευθείες ε 1, ε με αντίστοιχες εξισώσεις : y = 4 1 και y = (λ 5-30) + 67 α. Να βρεθούν τα σημεία τομής της ε 1 με τους άξονες και y y (Μονάδες 6) β. Να βρεθεί το λ ώστε ε 1 // ε (Μονάδες 8) γ. Να εξεταστεί αν η ε 1 διέρχεται από το σημείο Μ(μ+3, μ) (Μονάδες 6) δ. Αν μ = - να βρεθεί το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα y y και ως προς την ευθεία y = (διχοτόμο 1 ης -3 ης γωνίας αξόνων) (Μονάδες 5) 8 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 ο ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Αν η εξίσωση α +β+ =0, α 0 έχει δύο άνισες ρίζες 1, γ να αποδείξετε ότι : P= 1 α (Μονάδες 1) Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α. Η εξίσωση α + β = 0 είναι αόριστη αν. και β. Η απόσταση d(α, β) δύο πραγματικών αριθμών α, β ισούται με γ. Αν α >0, β > 0 και τότε ισχύει : ν ν α... δ. Το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς τον άξονα y y είναι το.. (Μονάδες 8) Γ. Τι λέγεται απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α; (Μονάδες 5)

29 ΘΕΜΑ Ο Δίνονται με περιγραφή τα σύνολα : / 3 και / ( ) ( 5 4) 0 Να βρείτε : α. Το σύνολο Α. (Μονάδες 7) β. Το σύνολο Β. (Μονάδες 6) γ. Το σύνολο. (Μονάδες 6) δ. Το σύνολο. (Μονάδες 6). 9 ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 8) β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. (Μονάδες 8) γ. Να λύσετε την ανίσωση : f( ) 0. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνονται οι ευθείες ε 1, ε με αντίστοιχες εξισώσεις : y= κ- +11, και y=3-7 α. Να βρείτε το, ώστε ε 1 // ε. (Μονάδες 8) β. Αν 1, να εξετάσετε αν η ε 1 διέρχεται από το σημείο Α( 3,) (Μονάδες 8) γ. Αν η ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(α,β), να βρείτε την απόσταση των σημείων Α ( 3,) και Β(α,β). (Μονάδες 9) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Αν η εξίσωση α + + =0, α 0 έχει δύο άνισες ρίζες 1, γ να αποδείξετε ότι : P = 1 α (Μονάδες 13)

30 τότε ισχύει α + + =( - 1 )( - ). Β. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α. Αν θ>0 τότε οι λύσεις της εξίσωσης = θ είναι.. β. Η απόσταση δύο σημείων Α( 1,y 1 ) και Β(,y ) του καρτεσιανού επιπέδου ισούται με.. γ. Η τομή δύο συνόλων Α και Β, λέγεται το σύνολο των στοιχείων που.... και συμβολίζεται με... δ. Το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς την ευθεία y= είναι το.. (Μονάδες 8) Γ. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις α.αν η εξίσωση α +β + ¹ 0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες 1, 30 β. -α γ. Αν α < β και γ < 0 τότε ισχύει δ. Αν θ > 0 τότε ισχύει : >θ >θ και (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις και 3 8. (Μονάδες 9) β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 8) γ. Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται το τριώνυμο f( ) ( 1) 4 0,,που έχει δύο ρίζες 1 και πραγματικές και άνισες. β. Να βρείτε τις τιμές του. (Μονάδες 8)

31 γ. Να βρείτε τα 1, 1 (Μονάδες 8) 31 δ. Για να λύσετε την ανίσωση f( ) 0 (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 4 Ο Δίνονται οι ευθείες ε 1, ε με αντίστοιχες εξισώσεις : y= κ- +11, και y=3-7 α. Να βρείτε το, ώστε ε 1 // ε. (Μονάδες 8) β. Αν 1, να εξετάσετε αν η ε 1 διέρχεται από το σημείο Α( 3,) (Μονάδες 8) γ. Αν η ε τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(α,β), να βρείτε την απόσταση ων σημείων Α ( 3,) και Β(α,β). (Μονάδες 9) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο Θ Ε Μ Α 1 ο Α. Έστω 1, οι ρίζες τις εξίσωσης 0 με 0 1 και. Να δείξετε ότι: 1 ( ΜΟΝΑΔΕΣ 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Για κάθε, μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) β) Το τριώνυμο 0 όπου 0, είναι αρνητικό για κάθε R όταν Δ<0, όπου Δ η διακρίνουσά του. ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) γ) Αν Δ>0 τότε το τριώνυμο 0, 0 γράφεται στη μορφή ( 1 )( ) όπου 1, οι ρίζες του. ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) δ) Για κάθε, πραγματικούς αριθμούς ισχύει. ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) ε) Αν D 0και ( 0 D ή 0 y D y ) τότε το σύστημα y είναι αδύνατο. ( ΜΟΝΑΔΕΣ )

32 3 Θ Ε Μ Α ο Α. Αν ισχύει ότι 1, να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : 1 1 ( ) ( ΜΟΝΑΔΕΣ 9) Β. α) Να λυθεί η εξίσωση 1 0. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) β) Να λυθεί η ανίσωση 1 0. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) Γ. α) Να λυθεί η εξίσωση ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) β) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού, για τις οποίες ισχύει 4. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) Θ Ε Μ Α 3 ο Α. Δίνεται η παράσταση α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες ορίζεται. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 3) β) Να γραφτεί σε απλούστερη μορφή. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) 3 4 Β. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού, για τις οποίες ισχύει 0. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 6) Γ. Δίνεται το σύστημα : y 1 y 1 με R. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 1) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού για την οποία το σύστημα είναι αδύνατο. Θ Ε Μ Α 4 ο Δίνεται η εξίσωση ( 1) 1 0, R. α) Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει ρίζα το. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 6) β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 10) γ) Αν 1, οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του ώστε να ισχύει η σχέση ( ). ( ΜΟΝΑΔΕΣ 9) 1 1

33 33 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3 ο ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Δίνονται οι διακεκριμένες ευθείες 1, με εξισώσεις 1 : y a 1 1 και 1 : y a. Να αποδείξετε ότι: 1 1 (Μονάδες 10) Β. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α. (Μονάδες 5) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό ή Λάθος α. Για κάθε a 0 και μ, ν θετικούς ακεραίους ισχύει a v a. β. Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει : α + β α + β γ. Αν α < β και γ < 0 τότε ισχύει δ. Αν θ > 0 τότε ισχύει : < θ >θ ή ε. Η απόσταση (ΑΒ) δύο σημείων Α( 1,y 1 ) και Β(,y ) ισούται με : y y. (Μονάδες 10) ( ( 1 1 ΘΕΜΑ Ο Δίνονται οι παραστάσεις A 4 και B 1 με. α) Να λύσετε την εξίσωση A 9. (Μονάδες 8) β) Να λύσετε την ανίσωση B 5. (Μονάδες 8) γ) Αν 1 4 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α+Β. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνονται οι ευθείες 1, με εξισώσεις: y : 5 8 : y4 6 1 α) Να υπολογίσετε την τιμή του αν είναι γνωστό ότι 1. (Μονάδες 1) β) Αν να υπολογίσετε το σημείο τομής των 1,. (Μονάδες 13)

34 34 Θ Ε Μ Α 4 ο Δίνεται το τριώνυμο Α. Να βρεθεί το έτσι ώστε: f ( ) 1,. α) Το τριώνυμο f( ) να έχει δύο ρίζες αντίθετες. (Μονάδες 5) β) Το τριώνυμο f( ) να έχει μία διπλή ρίζα. (Μονάδες 5) γ) Να ισχύει 4 4, όπου 1, ρίζες του f( ).(Μονάδες 5) Β. Αν 4 να λύσετε την ανίσωση f( ) 0. (Μονάδες 10) ΘΕΜΑ 1 Ο : Α)α)Να αποδείξετε :Αν ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 ο, θ>0 τότε (10 μονάδες) β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και Λάθος αν η πρόταση είναι λάθος, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. 3 3 β. γ. a 4. δ. 5 5 ε. 9 y 0 τότε χ=9 και y= (5 μονάδες) Β) α)να λυθεί η εξίσωση : 4 8 (5 μονάδες) β)να λυθεί η ανίσωση : 4 8 (5 μονάδες) ΘΕΜΑ Ο : Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας α) 1 που διέρχεται από το σημείο Α(,3) και σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 45 ο. (9 μονάδες) β) που διέρχεται από το σημείο Β(-1,) και είναι παράλληλη προς την ευθεία : 3. (9 μονάδες)

35 γ) Να βρείτε το σημείο τομής των 1, ΘΕΜΑ 3 Ο : Δίνεται η εξίσωση : 5 0, R (7 μονάδες) α. Nα δείξετε ότι για κάθε R η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές λύσεις (10 μονάδες) β. Να υπολογιστεί το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της παραπάνω εξίσωσης συναρτήσει του λ. γ. Αν 1, είναι ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί το λ όταν (7 μονάδες) ισχύει: (8 μονάδες) 1 35 ΘΕΜΑ 4 Ο : Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις : Α()=3-5+ Β() = ( ) A( ) ( 1) B ( ) α. Να εξετάσετε το πρόσημο της Α(χ), R. (6 μονάδες) β. Να εξετάσετε το πρόσημο της Β(χ), R. (7 μονάδες) γ. Για ποιες τιμές του έχει νόημα η πράσταση Γ(χ) (5 μονάδες) δ. Να λύσετε την ανίσωση ( ) 0 (7 μονάδες) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 ο Θέμα 1 ο Α)Αν a 0, 0, δείξτε ότι (10 μονάδες) Β)Να δοθεί ο ορισμός της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού (5 μονάδες) Γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη α)είναι Σωστό ή λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση 3 3 a ( a ) ( a a ) β)η εξίσωση όπου 0 έχει μοναδική λύση γ)αν a, 0 τότε

36 δ)αν χ 1,χ λύσεις της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0 με 0 τότε χ 1 χ = 36 ε)αν f()= αχ +βχ+γ 0 και Δ<0 τοτε το f() δεν παραγοντοποιείται. (5χ=10 μονάδες) Θέμα ο Δίνονται οι αριθμοί 5 3 και 5 3 α)να υπολογιστούν οι και (8 μονάδες) β)να απλοποιηθεί η παράσταση (9 μονάδες) γ)αν K να γραφεί το K σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.(8 μονάδες) Θέμα 3 ο Δίνεται το σύστημα α)αν το σύστημα έχει λύση το ζεύγος (χ,ψ)=(1,), να βρεθούν οι τιμές των α και β (15 μονάδες) β) Αν α=3 και β= εξετάστε αν το σύστημα έχει μοναδική λύση ή όχι(10 μονάδες) Θέμα 4 ο α) Να παραγοντοποιηθεί το τριώνυμο 3χ +χ-4 (6 μονάδες) β)αν 3 4 3, απλοποιήστε το Α (9 μονάδες) γ)βρείτε τις τιμές του χ αν 0 (10 μονάδες)

37 37 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 ο (προτεινόμενα) Θ Ε Μ Α 1 ο Α. Έστω 1, οι ρίζες τις εξίσωσης 0 με 0 1 και. Να δείξετε ότι: 1 ( ΜΟΝΑΔΕΣ 15) Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Για κάθε, μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) β) Το τριώνυμο 0 όπου 0, είναι αρνητικό για κάθε R όταν Δ<0, όπου Δ η διακρίνουσά του. ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) γ) Αν Δ>0 τότε το τριώνυμο 0, 0 γράφεται στη μορφή ( 1 )( ) όπου 1, οι ρίζες του. ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) δ) Για κάθε, πραγματικούς αριθμούς ισχύει. ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) ε) Αν D 0και ( D 0 ή D y 0) τότε το σύστημα 1 1y 1 είναι αδύνατο. y ( ΜΟΝΑΔΕΣ ) Θ Ε Μ Α ο Α. Αν ισχύει ότι 1, να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : 1 1 ( ) ( ΜΟΝΑΔΕΣ 9) Β. α) Να λυθεί η εξίσωση 1 0. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) β) Να λυθεί η ανίσωση 1 0. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) Γ. α) Να λυθεί η εξίσωση ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) β) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού, για τις οποίες ισχύει 4. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4)

38 38 Θ Ε Μ Α 3 ο 4 Α. Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 3 4 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 3) β) Να γραφτεί σε απλούστερη μορφή ο τύπος της f. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 4) γ) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού, για τις οποίες ισχύει f ( ) 1. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 6) y 1 Β. Δίνεται το σύστημα : με R. y 1 Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού για την οποία το σύστημα είναι αδύνατο. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 1) Θ Ε Μ Α 4 ο Δίνονται οι ευθείες ε 1, ε με εξισώσεις ε 1 : y (3 1) 5 και ε : y 9, R. α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες οι ευθείες είναι παράλληλες. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 9) β) Αν να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Α στο οποίο τέμνονται οι δύο ευθείες. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 9) γ) Αν Β(-6,-14) ένα άλλο σημείο του επιπέδου να βρεθεί η απόσταση του σημείου Β από το σημείο Α, όπου Α είναι το σημείο του προηγούμενου ερωτήματος. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 7) Θ Ε Μ Α 5 ο Δίνεται η εξίσωση ( 1) 1 0, R. α) Για ποια τιμή του η εξίσωση έχει ρίζα το. (ΜΟΝΑΔΕΣ 6) β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 10) γ) Αν 1, οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν οι τιμές του ώστε να ισχύει η σχέση 1 ( 1 ) 3. ( ΜΟΝΑΔΕΣ 9)

39 39 Θ Ε Μ Α 6 ο Δίνεται η συνάρτηση g( ), R α) Αν 0,για ποιες τιμές του κ η εξίσωση g( ) 0 έχει μία διπλή ρίζα. (ΜΟΝΑΔΕΣ 8) β) Να βρεθεί η τιμή του R ώστε η γραφική παράσταση της g να διέρχεται από το σημείο Μ(1,3). (ΜΟΝΑΔΕΣ 8) 100 γ) Για την τιμή κ=0 να λυθεί η ανίσωση g( ). (ΜΟΝΑΔΕΣ 8) Θ Ε Μ Α 7 ο Δίνεται η εξίσωση ( 1) 4 0, R, 1. α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Για ποιες τιμές του η ανίσωση ( 1) 4 0 αληθεύει για κάθε τιμή του. γ) Στην περίπτωση που η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες να βρεθούν οι τιμές του αν είναι γνωστό ότι οι ρίζες είναι ομόσημοι αριθμοί. Θ Ε Μ Α 8 ο Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f ( ) 3 4. α) Να απλοποιηθεί ο τύπος της για τις διάφορες τιμές του R. β) Να λύσετε την εξίσωση f( ) 0. γ) Να λύσετε την ανίσωση f( ) 6. (ΜΟΝΑΔΕΣ 9) (ΜΟΝΑΔΕΣ 8) (ΜΟΝΑΔΕΣ 8) Θ Ε Μ Α 10 ο Δίνονται οι ευθείες ε 1, ε με εξισώσεις : ε 1 : y ( 5) 10 ε : y 4 6 α) Να βρείτε τις τιμές του R, αν είναι γνωστό ότι οι ευθείες είναι παράλληλες. β) Για 3:

40 i) Να βρείτε το σημείο τομής των ε 1 και ε. 40 (Μονάδες 10) ii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει τους άξονες η γραφική παράσταση της ε (Μονάδες 15) Θ Ε Μ Α 11 ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( ) 3. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνει τον άξονα η γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 5) γ) Να λύσετε την ανίσωση f( ) 0. (Μονάδες 10) Θ Ε Μ Α 1 ο 5 3 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( ). 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. (Μονάδες 5) β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. (Μονάδες 10) γ) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού ια τις οποίες ισχύει η σχέση f( ) 3. (Μονάδες 10) Θ Ε Μ Α 13 ο Δίνεται η συνάρτηση f, με τύπο f( ) 3 5. α) Να απλοποιηθεί ο τύπος της για τις διάφορες τιμές του R. β) Να λύσετε την εξίσωση f( ) 0. γ) Να λύσετε την ανίσωση f( ). (ΜΟΝΑΔΕΣ 9) (ΜΟΝΑΔΕΣ 8) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 ο (προτεινόμενα) 1. Να βρείτε τις τιμές του λ R, ώστε η εξίσωση -(λ-) +(λ -5)=0 να έχει : α) δύο άνισες ρίζες β) μία διπλή ρίζα γ) δύο ρίζες αντίθετες δ) δύο ρίζες αντίστροφες.

41 . α) Αν η εξίσωση 3 0 έχει ρίζες 1, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = χωρίς να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης. 41 β) Να λυθεί η εξίσωση: 3 0 γ) Να λυθεί η ανίσωση: ( 6) ( 3) 0 3. Έστω ότι η εξίσωση (α 4) = 3 α 6 είναι αόριστη. α) Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης (α 3 α + ) = α + 7 β) Να λυθεί η εξίσωση : - 8 = α γ) Να λυθεί η ανίσωση: +4 < α 4. Έστω η συνάρτηση f ( ) 7 10 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) f ( ) β) Αν f( ) 0 να απλοποιηθεί η παράσταση Κ = γ) Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α(1, f(1)) και Β(3, f(3)) 5. Έστω οι ευθείες ε 1, ε με αντίστοιχες εξισώσεις : y = 4 1 και y = (λ 5-30) + 67 α) Να βρεθούν τα σημεία τομής της ε 1 με τους άξονες και y y β) Να βρεθεί το λ ώστε ε 1 // ε γ) Να εξεταστεί αν η ε 1 διέρχεται από το σημείο Μ(μ+3, μ) δ) Αν μ = - να βρεθεί το συμμετρικό του Μ ως προς τον y y και την ευθεία y = 6. Έστω τα σύνολα Α = { / = 0} και Β = { / -6( -1) = 0} α) Να γραφούν με αναγραφή τα σύνολα Α, Β β) Να βρεθεί η ένωση ΑΒ και η τομή τους ΑΒ γ) Να εξεταστεί αν το Β είναι υποσύνολο του Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΡΑ. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: α) χ+ψ=7 β)3κ+λ=4 γ) +y= δ)χ+ψ= χ-ψ=- 5κ=+3λ -y-y =7 4χψ=3.Να γίνουν οι πράξεις: α)

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ!

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ Καθηγητής Μαθηµατικών άμιλλα φροντιστήρια ΠΩΣ; Βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα της Α και Β Λυκείου, αλλά και από την Κατεύθυνση της Β Λυκείου, που είναι απαραίτητα στα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; Γράψτε ένα παράδειγμα δύο αντίθετων μονωνύμων. β) Ποια αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα