Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα. Πρόλογος 3"

Transcript

1

2 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου, κλπ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η Γραμμική Άλγεβρα καλείται να βοηθήσει πολλούς κλάδους επιστημών, ώστε να γίνουν περισσότερο κατανοητοί, και ευκολότερα διαχειρίσιμοι. Οι ανάγκες, όμως, της κάθε επιστήμης δεν είναι ίδιες. Ένας φοιτητής του Πολυτεχνείου ενδιαφέρεται μόνο για το αποτέλεσμα, και τον τρόπο με τον οποίο μπορεί να το πετύχει. Δεν ενδιαφέρεται σχεδόν ποτέ για το λόγο, για τον οποίο χρησιμοποιεί αυτή τη μεθοδολογία, και όχι κάποια άλλη. Δεν συμβαίνει, όμως, το ίδιο για τους φοιτητές του Μαθηματικού τμήματος, οι οποίοι, χωρίς να παραβλέπουν το υπολογιστικό μέρος των προβλημάτων, πρέπει να γνωρίζουν τι κρύβεται πίσω από τις διάφορες μεθοδολογίες. Η Γραμμική Άλγεβρα, που αφορά ένα τμήμα Μαθηματικών, πρέπει να αποτελεί ταυτόχρονα και μια εισαγωγή σ αυτό που ονομάζουμε μαθηματική αφαίρεση, με στόχο να βοηθήσει τους φοιτητές να εξοικειωθούν με τη μαθηματική σκέψη. Ο στόχος αυτός επιτυγχάνεται με τη λογική επιχειρηματολογία, και τη θεωρητική ανάπτυξη απλών εννοιών, προσιτών στους περισσότερους φοιτητές. Το βιβλίο αυτό περιέχει τη διδακτέα ύλη που αντιστοιχεί στο υποχρεωτικό εξαμηνιαίο μάθημα Γραμμική Άλγεβρα Ι, που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Στηρίζεται στις γνώσεις των μαθηματικών του Λυκείου, ενώ οι νέες έννοιες αναπτύσσονται σταδιακά με πολλά, αναλυτικά, και κατανοητά παραδείγματα. Το βιβλίο «Γραμμική Άλγεβρα Ι» χωρίζεται σε έξι κεφάλαια. Το πρώτο περιλαμβάνει μια σύντομη εισαγωγή σε γνωστές και άλλες έννοιες, που είναι απαραίτητες για τη θεμελίωση του διανυσματικού χώρου. Από το δεύτερο κεφάλαιο και πέρα αρχίζει

3 4 Πρόλογος ουσιαστικά η μελέτη των διανυσματικών χώρων, που είναι το κύριο αντικείμενο της Γραμμικής Άλγεβρας. Στο δεύτερο κεφάλαιο ορίζεται η έννοια του διανυσματικού χώρου, και αναπτύσσονται τα βασικά εργαλεία για τη μελέτη τους. Στο τρίτο κεφάλαιο εισάγεται η έννοια της γραμμικής συνάρτησης, η οποία βοηθά σημαντικά στη μελέτη και τη διαχείριση των διανυσματικών χώρων. Στη συνέχεια οι γραμμικές συναρτήσεις συσχετίζονται με τους πίνακες, με στόχο την ευκολότερη διαχείριση όχι μόνον των συναρτήσεων, αλλά και των διανυσματικών χώρων. Τέλος, εξετάζεται το θέμα της αλλαγής βάσης, και οι διάφορες μορφές πινάκων. H θεωρία εμπλουτίζεται με πολλά παραδείγματα, τα οποία αποσκοπούν στην καλύτερη κατανόηση των εννοιών της Γραμμικής Άλγεβρας. Κάθε παράγραφος συνοδεύεται από ασκήσεις, πολλές από τις οποίες είναι απλή εφαρμογή της θεωρίας, ενώ άλλες την επεκτείνουν. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχει μια συλλογή ασκήσεων, οι οποίες στηρίζονται σε όλα τα θέματα που αναπτύσσονται στη θεωρία. Για κάθε μια απ αυτές δίνεται αναλυτική υπόδειξη. Θεσσαλονίκη Δεκέμβριος 2003 Ευάγγελος Ψωμόπουλος

4 Περιεχόμενα Πρόλογος 3 1 Εισαγωγικές έννοιες Συμβολισμοί και συναρτήσεις Ασκήσεις Νόμοι σύνθεσης ή πράξεις Ασκήσεις Ομάδες, δακτύλιοι, σώματα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Διανυσματικοί χώροι Ορισμοί και απλές ιδιότητες Ασκήσεις Διανυσματικοί υποχώροι Ασκήσεις Διανυσματικοί χώροι παραγόμενοι από σύνολα Ασκήσεις Γραμμικές συναρτήσεις Οι πρώτοι ορισμοί Ασκήσεις Γραμμικές συναρτήσεις και γραμμική εξάρτηση Ασκήσεις

5 6 Περιεχόμενα 4 Γραμμικές συναρτήσεις και πίνακες Γενικά περί πινάκων Ασκήσεις Στοιχειώδεις πίνακες Ασκήσεις Πίνακας γραμμικής συνάρτησης Ασκήσεις Ορίζουσες Πολυγραμμικές συναρτήσεις και ορίζουσα Αντιστρεψιμότητα πίνακα Ασκήσεις Αλλαγή βάσης Ο πίνακας μετάβασης Ειδικές μορφές πινάκων Ασκήσεις Γενικές Ασκήσεις 269 Βιβλιογραφία 333 Ευρετήριο 335

6 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο των διανυσματικών χώρων, όσο και των γραμμικών συναρτήσεων. Αν και οι περισσότερες από τις έννοιες αυτές πρέπει να είναι γνωστές από τη μέση εκπαίδευση, εντούτοις θα πρέπει να μελετηθούν με προσοχή, ώστε να γίνει κατανοητή η χρήση τους στην περίπτωση των διανυσματικών χώρων. 1.1 Συμβολισμοί και συναρτήσεις Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C το σύνολο των φυσικών αριθμών, το σύνολο των ακεραίων αριθμών, το σύνολο των ρητών αριθμών, το σύνολο των πραγματικών αριθμών, και το σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Η σχέση που συνδέει τα παραπάνω σύνολα είναι γνωστή N Z Q R C. Η σχέση A B θα σημαίνει ότι κάθε στοιχείο του συνόλου A θα ανήκει και στο σύνολο B, χωρίς να αποκλείεται η ισότητα A = B. Αν θέλουμε να δείξουμε ότι το σύνολο A είναι γνήσιο υποσύνολο του B, θα γράφουμε τη σχέση A B. Αν A και B είναι τυχόντα σύνολα, μια συνάρτηση ή απεικόνιση f από το σύνολο A στο σύνολο B, σχηματικά f : A B, είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του

7 8 Εισαγωγικές έννοιες συνόλου A στα στοιχεία του B τέτοια, ώστε σε κάθε στοιχείο a A αντιστοιχεί ένα μοναδικό στοιχείο b B. Το στοιχείο αυτό b συμβολίζεται με f(a). Αν ισχύει f(a) = b, θα λέμε ότι το b είναι η εικόνα του a δια της συνάρτησης f. Το σύνολο A λέγεται πεδίο ορισμού, ενώ το σύνολο B λέγεται πεδίο τιμών της συνάρτησης f. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι τρία πράγματα μαζί: το πεδίο ορισμού A, το πεδίο τιμών B, και ο κανόνας αντιστοιχίας f. Οποιαδήποτε από τις τρεις αυτές οντότητες και αν αλλάξει θα έχουμε μια άλλη συνάρτηση. Αυτό σημαίνει ότι δύο συναρτήσεις f : A B και g : Γ, θα είναι ίσες μόνον όταν ισχύουν f = g, A = Γ, και B =. Μερικές φορές αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση χρησιμοποιώντας μόνο το γράμμα με το οποίο συμβολίζεται ο κανόνας αντιστοιχίας. Δηλαδή για συντομία, λέμε «η συνάρτηση f», χωρίς αυτό να είναι απόλυτα σωστό. Διότι, όπως είδαμε, μια συνάρτηση αποτελεί πακέτο τριών πραγμάτων. Συνήθως, όμως, χρησιμοποιούμε την ορολογία αυτή, όταν το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών είναι προφανή. Από τον ορισμό της ισότητας συναρτήσεων προκύπτει ότι οι συναρτήσεις φ 1 : R R, όπου φ 1 (x) = x 2, και φ 2 : R [0, ), όπου φ 2 (x) = x 2, δεν είναι ίσες, εφόσον δεν έχουν το ίδιο πεδίο τιμών. Όπως είδαμε, μια συνάρτηση f : A B απεικονίζει κάθε στοιχείο του A σε ένα και μοναδικό στοιχείο του συνόλου B. Επομένως, κάθε στοιχείο του A έχει κάποια εικόνα στο B, δεν είναι, όμως, απαραίτητο κάθε στοιχείο του B να είναι εικόνα κάποιου στοιχείου του συνόλου A. Για παράδειγμα, το στοιχείο 1 ανήκει στο πεδίο τιμών της συνάρτησης φ 1, που είδαμε προηγουμένως, αλλά δεν είναι εικόνα κανενός στοιχείου του A. Επίσης, δύο διαφορετικά στοιχεία του συνόλου A δεν είναι απαραίτητο να απεικονίζονται σε διαφορετικά στοιχεία του συνόλου B. Για παράδειγμα, τα στοιχεία 2 και 2 του πεδίου ορισμού της συνάρτησης φ 2 έχουν την ίδια εικόνα, εφόσον φ 2 ( 2) = 4 = φ 2 (2). Η παρατήρηση αυτή οδηγεί σε μεγαλύτερη εξειδίκευση του γενικού ορισμού της συνάρτησης.

8 1.1 Συμβολισμοί και συναρτήσεις 9 Ο ρ ι σ μ ό ς Μια συνάρτηση f : A B θα λέγεται αμφιμονότιμη αν, για κάθε a 1, a 2 A, ισχύει a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ), ή ισοδύναμα f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2. Με άλλα λόγια, μια αμφιμονότιμη συνάρτηση απεικονίζει διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού σε διαφορετικά στοιχεία του πεδίου τιμών. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε τη συνάρτηση ψ : R R, που ορίζεται με τη σχέση ψ(x) = e x, για κάθε x R. Εύκολα διαπιστώνεται ότι ψ(a) = ψ(b) e a = e b a = b. Επομένως η συνάρτηση ψ είναι αμφιμονότιμη. Το παρακάτω παράδειγμα αφορά τη γνωστή συνάρτηση ημίτονο. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε τη συνάρτηση g : [ 2π, 2π] R, που ορίζεται με τη σχέση g(x) = ημx, για κάθε x [ 2π, 2π]. Είναι γνωστό ότι ισχύει ημ( π 2 ) = ημ( π 2 ) = 1 = ημ( 3π 2 ). Άρα η συνάρτηση g δεν είναι αμφιμονότιμη, εφόσον διαφορετικές τιμές του πεδίου ορισμού έχουν την ίδια τιμή στο πεδίο τιμών. Είναι προφανές ότι αν περιορίσουμε το πεδίο ορισμού της g, τότε είναι δυνατόν να βρούμε μια αμφιμονότιμη συνάρτηση. Όμως, σε αυτή την περίπτωση θα έχουμε μια άλλη συνάρτηση, και όχι τη συνάρτηση g, εφόσον θα αλλάξει το πεδίο ορισμού. Συγκεκριμένα, μπορούμε να θεωρήσουμε τη συνάρτηση g 1 : (0, π 2 ) ( 1, 1), που ορίζεται με τη σχέση g 1 (x) = ημx, για κάθε x (0, π 2 ). Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η συνάρτηση g 1 είναι αμφιμονότιμη.

9 10 Εισαγωγικές έννοιες Ο ορισμός της αμφιμονότιμης συνάρτησης, θα μπορούσαμε να πούμε ότι κατά μία έννοια «διορθώνει» ένα λάθος του γενικού ορισμού της συνάρτησης. Ο επόμενος ορισμός «διορθώνει» ένα άλλο λάθος. Ο ρ ι σ μ ό ς Μια συνάρτηση f : A B θα λέγεται επί αν για κάθε στοιχείο b B υπάρχει κάποιο στοιχείο a A τέτοιο, ώστε να ισχύει f(a) = b. Δηλαδή, μια συνάρτηση είναι επί όταν κάθε στοιχείου του πεδίου τιμών της είναι εικόνα ενός τουλάχιστον στοιχείου του πεδίου ορισμού. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις φ 1 : R R, και φ 2 : R [0, ), που είδαμε προηγουμένως, και ορίζονται με τις σχέσεις φ 1 (x) = x 2, και φ 2 (x) = x 2, αντίστοιχα. Η συνάρτηση φ 1 δεν είναι επί, διότι για το στοιχείο 2 του πεδίου τιμών της δεν υπάρχει κάποιο στοιχείο x στο πεδίο ορισμού, ώστε να ισχύει η σχέση φ 1 (x) = 2. Αντίθετα, η συνάρτηση φ 2 είναι μια συνάρτηση επί, εφόσον για κάθε στοιχείο a [0, ), υπάρχει ένα στοιχείο x = a R τέτοιο, ώστε να ισχύει φ 2 (x) = x 2 = a. Επιπλέον, καμία από τις συναρτήσεις αυτές δεν είναι αμφιμονότιμη, διότι ισχύουν φ 1 ( 2) = 4 = φ 1 ( 2) και φ 2 ( 2) = 4 = φ 2 ( 2). Δηλαδή, διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού τους έχουν την ίδια εικόνα. Η ταυτοτική συνάρτηση ενός συνόλου A είναι η συνάρτηση I : A A, η οποία απεικονίζει κάθε στοιχείο του A στον εαυτό του, δηλαδή I(a) = a, για κάθε a A. Επειδή η ταυτοτική συνάρτηση εξαρτάται από το σύνολο πάνω στο οποίο ορίζεται, πολλές φορές χρησιμοποιείται ο συμβολισμός I A για την ταυτοτική συνάρτηση του συνόλου A. Όταν χρησιμοποιείται ο απλούστερος συμβολισμός I, θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί ως προς το σύνολο πάνω στο οποίο ορίζεται η ταυτοτική συνάρτηση.

10 1.1 Συμβολισμοί και συναρτήσεις 11 Θεωρούμε, τώρα, μια συνάρτηση f : X Y, ένα υποσύνολο A του X, και ένα υποσύνολο B του Y. Η εικόνα του συνόλου A δια της f ορίζεται να είναι το σύνολο f(a) = {b Y /b = f(a), για κάποιο a A} = {f(a)/a A}. Η αντίστροφη εικόνα του συνόλου B δια της f ορίζεται να είναι το σύνολο f 1 (B) = {a X/f(a) B}. Όπως βλέπουμε, η εικόνα ενός συνόλου A περιέχει τις επιμέρους εικόνες των στοιχείων του A, και είναι υποσύνολο του πεδίου τιμών της συνάρτησης. Η αντίστροφη εικόνα ενός συνόλου B περιέχει εκείνα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, των οποίων οι εικόνες ανήκουν στο σύνολο B, και φυσικά είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Ας πάρουμε τη συνάρτηση φ 1 : R R, που είδαμε στο Παράδειγμα 1.1.5, και ορίζεται με τη σχέση φ 1 (x) = x 2, για κάθε x R. Προφανώς, τα σύνολα A = ( 2, 3) και B = ( 3, 1) είναι υποσύνολα του πεδίου ορισμού και του πεδίου τιμών αντίστοιχα. Η εικόνα του συνόλου A δια της φ 1 θα είναι φ 1 (A) = {φ 1 (a)/a A} = {a 2 /a A} = [0, 9). Η αντίστροφη εικόνα του B δια της φ 1 θα είναι φ 1 1 (B) = {x R/φ 1(x) B} = {x R/x 2 ( 3, 1)} = ( 1, 1). Στο σημείο αυτό πρέπει να τονίσουμε ότι ο συμβολισμός f 1 (B) παριστά ένα συγκεκριμένο υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, το οποίο ονομάσαμε αντίστροφη εικόνα του συνόλου B. Δεν σημαίνει ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f, την οποία άλλωστε δεν έχουμε ορίσει ακόμη. Επιπλέον, η συνάρτηση φ 1, που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως, δεν μπορεί να αντιστραφεί, εφόσον φ 1 1 ({2}) = { 2, 2}, το γεγονός όμως αυτό δεν μας εμπόδισε να βρούμε την αντίστροφη εικόνα του συνόλου B. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε τη συνάρτηση g : Z R, που ορίζεται με τη σχέση g(n) = 2n, για κάθε n Z. Είναι προφανές ότι το σύνολο A = { 3, 0, 2, 6, 7}

11 12 Εισαγωγικές έννοιες είναι υποσύνολο του Z, ενώ το σύνολο B = ( 2, 2) είναι υποσύνολο του πεδίου τιμών της συνάρτησης g. Η εικόνα του A θα είναι g(a) = {g(a)/a A} = {g( 3), g(0), g(2), g(6), g(7)} = = { 6, 0, 4, 12, 14}, και φυσικά είναι υποσύνολο του R. Η αντίστροφη εικόνα του B είναι g 1 (B) = {n Z/g(n) B} = {0}. Θεωρούμε μια συνάρτηση f : X Y, και ένα υποσύνολο A του X. Από τον ορισμό της εικόνας του A προκύπτει ότι το σύνολο B = f(a) είναι υποσύνολο του Y. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να μιλάμε για την αντίστροφη εικόνα του B, δηλαδή το σύνολο f 1 (B) = f 1 (f(a)). Έτσι, ξεκινώντας από ένα υποσύνολο A του X, βρίσκουμε ένα άλλο υποσύνολο f 1 (f(a)) του X. Το ερώτημα, βέβαια, είναι η σχέση που συνδέει τα δύο αυτά σύνολα. Θ ε ώ ρ η μ α Για κάθε συνάρτηση f : X Y, και κάθε υποσύνολο A του X ισχύει A f 1 (f(a)). Α π ό δ ε ι ξ η. Από τη συνεπαγωγή a A f(a) f(a) a f 1 (f(a)), προκύπτει η ζητούμενη σχέση A f 1 (f(a)). Το παράδειγμα που ακολουθεί δείχνει ότι γενικά δεν ισχύει η ισότητα A = f 1 (f(a)). Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε τη συνάρτηση φ 1 : R R, που ορίζεται με τη σχέση φ 1 (α) = α 2, για κάθε α R. Το σύνολο A = (0, 1) είναι φυσικά υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης. Εύκολα υπολογίζεται η εικόνα του συνόλου Α φ 1 (A) = {φ 1 (α)/α A} = {α 2 /α A} = (0, 1).

12 1.1 Συμβολισμοί και συναρτήσεις 13 Η αντίστροφη εικόνα του φ 1 (A) θα είναι φ 1 1 (φ 1(A)) = φ 1 1 (0, 1) = {α R/φ 1(α) (0, 1)} = = {α R/α 2 (0, 1)} = ( 1, 1). Βλέπουμε, δηλαδή, ότι ισχύει A = (0, 1) ( 1, 1) = φ 1 1 (φ 1(A)). Όσον αφορά την αντίστροφη εικόνα, μπορούμε να κάνουμε ανάλογες σκέψεις. Ας θεωρήσουμε πάλι μια συνάρτηση f : X Y, και ένα υποσύνολο B του πεδίου τιμών Y της συνάρτησης. Από τον ορισμό της αντίστροφης εικόνας προκύπτει ότι το σύνολο A = f 1 (B) είναι υποσύνολο του X. Επομένως, μπορούμε να βρούμε την εικόνα του A, δηλαδή το υποσύνολο f(a) = f(f 1 (B)) του Y. Ξαναγυρίζουμε, δηλαδή, πίσω στο πεδίο τιμών της συνάρτησης, από όπου ξεκινήσαμε. Το ερώτημα είναι και πάλι η σχέση που συνδέει τα σύνολα B και f(f 1 (B)). Θ ε ώ ρ η μ α Για κάθε συνάρτηση f : X Y, και κάθε υποσύνολο B του Y ισχύει f(f 1 (B)) B. Α π ό δ ε ι ξ η. Θεωρούμε ένα στοιχείο α του συνόλου f(f 1 (B)). Από τον ορισμό της εικόνας ενός συνόλου προκύπτει ότι θα είναι α = f(β), για κάποιο στοιχείο β f 1 (B). Τότε, όμως, από τον ορισμό της αντίστροφης εικόνας θα έχουμε f(β) B. Δηλαδή θα ισχύει α = f(β), όπου f(β) B, οπότε προκύπτει α B. Στην προηγούμενη σχέση, η ισότητα και πάλι δεν ισχύει γενικά. Η συνάρτηση φ 1 που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως μπορεί να μας δώσει ένα παράδειγμα. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε τη συνάρτηση φ 1 : R R, που ορίζεται με τη σχέση φ 1 (a) = a 2, και το υποσύνολο B = ( 1, 1) του πεδίου τιμών της συνάρτησης. Η αντίστροφη εικόνα του B είναι φ 1 1 (B) = {a R/φ 1(a) B} = {a R/a 2 ( 1, 1)} = ( 1, 1). Η εικόνα του συνόλου φ 1 1 (B) θα είναι φ 1 (φ 1 1 (B)) = φ 1( 1, 1) = {φ 1 (a)/a ( 1, 1)} = Επομένως, θα ισχύει φ 1 (φ 1 1 (B)) B. = {a 2 /a ( 1, 1)} = [0, 1).

13 14 Εισαγωγικές έννοιες Οι σχέσεις που είδαμε στα δύο παραπάνω θεωρήματα και ισχύουν για κάθε συνάρτηση, μπορούν να γίνουν ισότητες μόνον όταν οι συναρτήσεις έχουν επιπλέον ιδιότητες. Πιο συγκεκριμένα έχουμε το εξής. Θ ε ώ ρ η μ α Μια συνάρτηση f : X Y είναι αμφιμονότιμη αν και μόνον αν ισχύει A = f 1 (f(a)), για κάθε υποσύνολο A του X. Μια συνάρτηση f : X Y είναι επί αν και μόνον αν ισχύει f(f 1 (B)) = B, για κάθε υποσύνολο B του Y. Α π ό δ ε ι ξ η. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη, και θα δείξουμε ότι ισχύει A = f 1 (f(a)), για κάθε υποσύνολο A του X. Επειδή για κάθε συνάρτηση ισχύει η σχέση A f 1 (f(a)), είναι αρκετό να δείξουμε ότι ισχύει και η σχέση f 1 (f(a)) A. Αν a f 1 (f(a)), τότε προφανώς θα έχουμε f(a) f(a). Δηλαδή πρέπει να ισχύει f(a) = f(a ), για κάποιο a A. Από την υπόθεση η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη, άρα προκύπτει a = a, όπου a A. Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση A = f 1 (f(a)), για κάθε υποσύνολο A του X. Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη. Έστω ότι είναι f(a 1 ) = f(a 2 ). Τότε θα έχουμε f(a 1 ) f({a 2 }) a 1 f 1 (f({a 2 })). Από την υπόθεση ισχύει f 1 (f({a 2 })) = {a 2 }, οπότε θα πρέπει a 1 {a 2 }, δηλαδή θα είναι a 1 = a 2. Υποθέτουμε, τώρα, ότι η συνάρτηση f είναι επί, και θα δείξουμε ότι ισχύει f(f 1 (B)) = B, για κάθε υποσύνολο B του Y. Επειδή για κάθε συνάρτηση ισχύει η σχέση f(f 1 (B)) B, είναι αρκετό να δείξουμε ότι ισχύει και η σχέση B f(f 1 (B)). Αν b B, τότε θα υπάρχει κάποιο στοιχείο a X τέτοιο, ώστε να έχουμε f(a) = b, εφόσον η συνάρτηση είναι επί. Άρα προκύπτει b = f(a) B a f 1 (B) f(a) f(f 1 (B)) b f(f 1 (B)), δηλαδή θα έχουμε B f(f 1 (B)). Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι ισχύει f(f 1 (B)) = B, για κάθε υποσύνολο B του Y. Αν b είναι τυχόν στοιχείο του Y, τότε για το μονοσύνολο {b} θα έχουμε

14 1.1 Συμβολισμοί και συναρτήσεις 15 f(f 1 ({b})) = {b}. Επομένως, b f(f 1 ({b})), δηλαδή θα πρέπει να είναι b = f(a), για κάποιο στοιχείο a f 1 ({b}) X. Επομένως για κάθε στοιχείο b Y υπάρχει κάποιο στοιχείο a X τέτοιο, ώστε να ισχύει f(a) = b, οπότε η συνάρτηση f είναι επί. Θεωρούμε, τώρα, δύο συναρτήσεις f : X Y, και g : Y Z. Είναι προφανές ότι αν a είναι ένα στοιχείο του X, τότε το f(a) είναι ένα στοιχείο του Y, οπότε με τη συνάρτηση g το στοιχείο f(a) θα απεικονιστεί στο στοιχείο g(f(a)) του Z. f g X Y Z a f(a) g(f(a)) φ = g f Η διαδικασία αυτή ορίζει ασφαλώς μια νέα συνάρτηση φ : X Z, που ορίζεται με τη σχέση φ(a) = g(f(a)), για κάθε a X. Η συνάρτηση αυτή λέγεται σύνθεση των συναρτήσεων f, g, και συμβολίζεται με g f. Θ ε ώ ρ η μ α Αν f : X Y, g : Y Z, και h : Z W είναι τυχούσες συναρτήσεις, τότε θα ισχύει h (g f) = (h g) f. Δηλαδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στη σύνθεση συναρτήσεων. Α π ό δ ε ι ξ η. Επειδή, για κάθε στοιχείο a του X ισχύει [h (g f)](a) = [h(g f)](a) = h(g(f(a))), και [(h g) f](a) = (h g)(f(a)) = h(g(f(a))), προκύπτει αμέσως η ισότητα h (g f) = (h g) f. Το παράδειγμα που ακολουθεί δείχνει ότι η σύνθεση συναρτήσεων δεν έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα, ούτε μπορούν να εφαρμοστούν οι νόμοι της απλοποίησης.

15 16 Εισαγωγικές έννοιες Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Έστω f, g και h oι συναρτήσεις με πεδίο ορισμού και τιμών τo σύνολο των πραγματικών αριθμών R, πoυ ορίζονται με τις σχέσεις: f(x) = x, g(x) = x, και h(x) = x 2 αντίστοιχα. Τότε για κάθε x R θα έχουμε: (h g)(x) = h(g(x)) = h( x ) = x 2 = x 2, και (h f)(x) = h(f(x)) = h( x) = ( x) 2 = x 2. Δηλαδή ισχύει (h g)(x) = (h f)(x), για κάθε x R. Παρατηρούμε λοιπόν ότι ενώ ισχύει h g = h f, έχουμε g f. Άρα oι κανόνες απαλοιφής για τη σύνθεση συναρτήσεων δεν ισχύουν. Επίσης, για κάθε x R έχουμε (g f)(x) = g(f(x)) = g( x) = x = x, και (f g)(x) = f(g(x)) = f( x ) = x. Αυτό σημαίνει ότι f g g f, δηλαδή η αντιμεταθετική ιδιότητα για τη σύνθεση συναρτήσεων δεν ισχύει γενικά. Έστω f : X Y τυχούσα συνάρτηση, και I X : X X η ταυτοτική συνάρτηση του X. Από τη σχέση (f I X )(x) = f(i X (x)) = f(x), για κάθε x X, προκύπτει ότι οι συναρτήσεις f I X και f έχουν τον ίδιο κανόνα αντιστοιχίας. Επειδή προφανώς έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και το ίδιο πεδίο τιμών, συμπεραίνουμε ότι οι δύο αυτές συναρτήσεις είναι ίσες, δηλαδή f I X = f. Ασφαλώς ανάλογη ισότητα ισχύει και για την ταυτοτική συνάρτηση του Y. Συγκεκριμένα θα έχουμε I Y f = f, όπου I Y η ταυτοτική συνάρτηση του Y. Έτσι, θα έχουμε την ισότητα f I X = f = I Y f. Θ ε ώ ρ η μ α Αν f : X Y και g : Y Z είναι δύο αμφιμονότιμες συναρτήσεις, τότε και η σύνθεση g f : X Z, είναι επίσης αμφιμονότιμη συνάρτηση.

16 1.1 Συμβολισμοί και συναρτήσεις 17 Α π ό δ ε ι ξ η. Έστω x 1 και x 2 τυχόντα στοιχεία του X. Υποθέτουμε ότι ισχύει (g f)(x 1 ) = (g f)(x 2 ). Τότε θα έχουμε g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )), και επειδή η g είναι αμφιμονότιμη προκύπτει f(x 1 ) = f(x 2 ). Όμως, η συνάρτηση f είναι επίσης αμφιμονότιμη, οπότε θα είναι x 1 = x 2. Δηλαδή η σύνθεση g f είναι μια αμφιμονότιμη συνάρτηση. Θ ε ώ ρ η μ α Αν f : X Y και g : Y Z είναι δύο επί συναρτήσεις, τότε και η σύνθεση των συναρτήσεων g f : X Z είναι επίσης επί συνάρτηση. Α π ό δ ε ι ξ η. Επειδή η συνάρτηση g είναι επί, για κάθε z Z θα υπάρχει κάποιο στοιχείο y Y τέτοιο, ώστε να ισχύει g(y) = z. Όμως, και η συνάρτηση f είναι επί, άρα για το στοιχείο y του Y θα υπάρχει κάποιο στοιχείο x του X τέτοιο, ώστε να ισχύει f(x) = y. Επομένως, για κάθε στοιχείο z του Z υπάρχει ένα στοιχείο x X τέτοιο, ώστε να ισχύει (g f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z. Αυτό σημαίνει ότι η σύνθεση των συναρτήσεων είναι μια επί συνάρτηση. Θεωρούμε, τώρα, μια αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση f : X Y. Εφόσον η συνάρτηση είναι επί, για κάθε στοιχείο y Y θα υπάρχει κάποιο στοιχείο x X τέτοιο, ώστε να ισχύει f(x) = y. Το στοιχείο αυτό x είναι μοναδικό. Πράγματι, αν x είναι ένα άλλο στοιχείο του X για το οποίο ισχύει f(x ) = y, τότε από την ισότητα f(x) = y = f(x ) και το γεγονός ότι η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη, προκύπτει ότι θα είναι x = x. Επομένως, σε κάθε στοιχείο y Y αντιστοιχεί ένα μοναδικό στοιχείο x X τέτοιο, ώστε να ισχύει f(x) = y. Η διαδικασία αυτή ορίζει μια νέα συνάρτηση από το σύνολο Y στο σύνολο X. Η συνάρτηση αυτή λέγεται αντίστροφη της f, και συμβολίζεται με f 1. Άρα μπορούμε να πούμε ότι: Θ ε ώ ρ η μ α Σε κάθε συνάρτηση f : X Y που είναι αμφιμονότιμη και επί αντιστοιχεί η αντίστροφη συνάρτηση f 1 : Y X, η οποία ορίζεται με τη σχέση f 1 (y) = x f(x) = y.

17 18 Εισαγωγικές έννοιες Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι για να υπάρχει η αντίστροφη μιας συνάρτησης πρέπει η συνάρτηση αυτή να είναι αμφιμονότιμη και επί. Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι: Θ ε ώ ρ η μ α Αν f : X Y είναι μια αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση, τότε η αντίστροφη συνάρτηση f 1 : Y X είναι και αυτή αμφιμονότιμη και επί, και επιπλέον ισχύουν f f 1 = I Y και f 1 f = I X. Α π ό δ ε ι ξ η. Αν x είναι τυχόν στοιχείο του X, τότε το στοιχείο y = f(x) ανήκει στο Y. Από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης προκύπτει ότι θα είναι f 1 (y) = x. Άρα για κάθε x X υπάρχει κάποιο στοιχείο y Y τέτοιο, ώστε να ισχύει f 1 (y) = x, δηλαδή η αντίστροφη συνάρτηση είναι επί. Υποθέτουμε, τώρα, ότι ισχύει f 1 (y 1 ) = f 1 (y 2 ), και θα δείξουμε ότι y 1 = y 2. Αν ισχύει f 1 (y 1 ) = f 1 (y 2 ) = a, από τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης προκύπτει ότι θα έχουμε y 1 = f(a) = y 2, δηλαδή η συνάρτηση f 1 είναι αμφιμονότιμη. Τέλος, από τις σχέσεις (f f 1 )(y) = f(f 1 (y)) = f(x) = y = I Y (y), για κάθε y Y, και (f 1 f)(x) = f 1 (f(x)) = f 1 (y) = x = I X (x), για κάθε x X, προκύπτουν οι ισότητες f f 1 = I Y και f 1 f = I X. Θ ε ώ ρ η μ α Aν για τη συνάρτηση f : A B υπάρχει συνάρτηση g : B A τέτοια, ώστε f g = I B και g f = I A, τότε η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη και επί, και ισχύει g = f 1. Α π ό δ ε ι ξ η. Αν a, a A, τότε θα έχουμε f(a) = f(a ) g(f(a)) = g(f(a ) (g f)(a) = (g f)(a ) I A (a) = I A (a ) a = a. Δηλαδή η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη. Επιπλέον, για κάθε στοιχείο b του B, υπάρχει στοιχείo a = g(b) A, τέτοιο ώστε να ισχύει η σχέση f(a) = f(g(b)) = (f g)(b) = I B (b) = b.

18 1.1 Συμβολισμοί και συναρτήσεις 19 Άρα η f είναι και συνάρτηση επί, οπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f 1 της f, και ισχύει g = I A g = (f 1 f) g = f 1 (f g) = f 1 I B = f 1, δηλαδή έχουμε g = f 1. Θεωρούμε, τώρα, μια αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση f : X Y. Όπως είδαμε, για τη συνάρτηση αυτή θα υπάρχει η αντίστροφη f 1 : Y X. Επειδή η συνάρτηση g = f 1 είναι επίσης αμφιμονότιμη και επί, θα υπάρχει και η αντίστροφή της g 1 : X Y, η οποία θα ορίζεται με τη σχέση g 1 (x) = y g(y) = x. Δηλαδή θα έχουμε g 1 (x) = y g(y) = x f 1 (y) = x f(x) = y, οπότε οι συναρτήσεις g 1 και f έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και τιμών, και τον ίδιο κανόνα αντιστοιχίας. Άρα θα είναι ίσες, δηλαδή θα έχουμε (f 1 ) 1 = g 1 = f. Θ ε ώ ρ η μ α Αν f : X Y και g : Y X είναι δύο αμφιμονότιμες και επί συναρτήσεις, τότε και η σύνθεση g f : X Z είναι μια αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση, και επιπλέον ισχύει (g f) 1 = f 1 g 1. Α π ό δ ε ι ξ η. Αρχικά παρατηρούμε ότι, σύμφωνα με τα Θεωρήματα και η σύνθεση g f είναι μια αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση, εφόσον οι επιμέρους συναρτήσεις είναι αμφιμονότιμες και επί. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση (g f) 1 : Z X ορίζεται. Επίσης, παρατηρούμε ότι ισχύουν και (g f) (f 1 g 1 ) = g (f f 1 ) g 1 = g (I Y g 1 ) = g g 1 = I Z, (f 1 g 1 ) (g f) = f 1 (g 1 g) f = f 1 (I Y f) = f 1 f = I X. Επομένως θα έχουμε (g f) 1 = f 1 g 1.

19 20 Εισαγωγικές έννοιες 1.2 Ασκήσεις Ά σ κ η σ η Δίνονται οι συναρτήσεις φ : R R, και ψ : R R, που ορίζονται με τις σχέσεις φ(x) =ημx, και ψ(x) = 2x + 1, για κάθε x R. Να βρεθεί η σύνθεση φ ψ, όπως επίσης και η σύνθεση ψ φ. Ά σ κ η σ η Δίνεται η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται με τη σχέση f(x) = x, για κάθε x R, και τα υποσύνολα A = ( 4, 7), και B = ( 10, 5). Να βρεθεί η εικόνα f(a), καθώς και η αντίστροφη εικόνα f 1 (B) των συνόλων A και B αντίστοιχα. Ά σ κ η σ η Θεωρούμε το σύνολο A = {1, 2, 3, 4}, και τις συναρτήσεις f : A A και g : A A που ορίζονται με τις σχέσεις f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 1, f(4) = 4, και g(1) = 4, g(2) = 1, g(3) = 2, g(4) = 3. Να βρεθούν οι συναρτήσεις f g και g f. Ά σ κ η σ η Δίνεται μια συνάρτηση f : X Y, και τα υποσύνολα A και B του πεδίου ορισμού X της f. Δείξτε ότι ισχύουν οι σχέσεις (α) f(a B) f(a) f(b), και (β) f(a B) = f(a) f(b). Δείξτε με ένα παράδειγμα ότι η ισότητα δεν ισχύει γενικά στη σχέση (α). Ά σ κ η σ η Δίνεται μια συνάρτηση f : X Y, και τα υποσύνολα A και B του πεδίου τιμών Y της f. Δείξτε ότι ισχύουν οι σχέσεις (α) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B), και (β) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). Ά σ κ η σ η Έστω f : A B και g : B C τυχούσες συναρτήσεις. Δείξτε ότι (i) (ii) αν η συνάρτηση g f είναι αμφιμονότιμη, τότε η f είναι αμφιμονότιμη, αν η συνάρτηση g f είναι επί, τότε η g είναι επί.

20 1.3 Νόμοι σύνθεσης ή πράξεις 21 Ά σ κ η σ η Δίνονται oι συναρτήσεις h 1 : A B, h 2 : A B, f : B Γ, g 1 : Γ, και g 2 : Γ. (i) (ii) Αν ισχύει g 1 f = g 2 f και η συνάρτηση f είναι επί, δείξτε ότι θα πρέπει να ισχύει g 1 = g 2. Αν ισχύει f h 1 = f h 2 και η συνάρτηση f είναι αμφιμονότιμη, δείξτε ότι θα πρέπει να ισχύει h 1 = h 2. Ά σ κ η σ η Έστω X και Y δύο πεπερασμένα σύνολα με m και n στοιχεία αντίστοιχα. Να υπολογιστεί ο αριθμός όλων των διαφορετικών συναρτήσεων φ : X Y. Ά σ κ η σ η Έστω X και Y δύο πεπερασμένα σύνολα με m και n στοιχεία αντίστοιχα. Αν m < n, να υπολογιστεί ο αριθμός όλων των διαφορετικών αμφιμονότιμων συναρτήσεων φ : X Y. Ά σ κ η σ η Έστω X και Y δύο πεπερασμένα σύνολα με m και n στοιχεία αντίστοιχα. Αν υπάρχει μια αμφιμονότιμη συνάρτηση φ : X Y, δείξτε ότι ισχύει m < n. Αν υπάρχει μια επί συνάρτηση ψ : X Y, δείξτε ότι πρέπει να ισχύει m > n. 1.3 Νόμοι σύνθεσης ή πράξεις Θεωρούμε ένα μη κενό σύνολο A, και το καρτεσιανό γινόμενο A A = {(a 1, a 2 )/a 1, a 2 A}, το οποίο αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (a 1, a 2 ), καθώς τα στοιχεία a 1, a 2 διατρέχουν το σύνολο A. Κάθε συνάρτηση f : A A A λέγεται εσωτερικός νόμος σύνθεσης ή πράξη του A. Ο όρος πράξη του συνόλου A προκύπτει από το γεγονός ότι η συνάρτηση f αντιστοιχεί κάθε διατεταγμένο ζεύγος στοιχείων του A σε ένα στοιχείο του συνόλου A. Δηλαδή η f χρησιμοποιεί δύο στοιχεία του A και αποδίδει ένα άλλο. Το ίδιο ακριβώς κάνει και η πρόσθεση πραγματικών αριθμών. Σε κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών αντιστοιχεί ένας άλλος πραγματικός αριθμός, που είναι το άθροισμα των δύο πρώτων.

21 22 Εισαγωγικές έννοιες Ένα μη κενό σύνολο A εφοδιασμένο με μια τουλάχιστον πράξη λέγεται αλγεβρική δομή ή αλγεβρικό σύστημα. Συνήθως, αν έχουμε μια πράξη πάνω σε ένα σύνολο A, δηλαδή μια συνάρτηση : A A A, αντί τoυ συμβολισμού (a, b), χρησιμοποιούμε τo συμβολισμό a b, για να συμβολίσουμε την εικόνα τoυ (a, b) A A δια της συνάρτησης. Φυσικά, η εικόνα a b είναι ένα στοιχείo τoυ A και λέγεται αποτέλεσμα της πράξης στο ζεύγος (a, b). Ας δούμε κάποιους γνωστούς ορισμούς που αφορούν γενικά τις πράξεις. Θεωρούμε μια πράξη σε ένα μη κενό σύνολο A. H πράξη θα λέγεται αντιμεταθετική, όταν ισχύει a b = b a, για όλα τα στοιχεία a, b A. H πράξη θα λέγεται προσεταιριστική, όταν ισχύει a (b c) = (a b) c, για όλα τα στοιχεία a, b, c του A. Aν υπάρχει κάποιο στοιχείο e στο σύνολο A τέτοιο, ώστε να ισχύει e a = a = a e, για κάθε στοιχείο a A, τότε το στοιχείο e θα λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πράξης αυτής. Ένα στοιχείο a του A θα λέγεται συμμετρικό του a A, όταν ισχύει η σχέση a a = e = a a. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Έστω A τυχόν σύνολο με περισσότερα από ένα στοιχεία. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε την πράξη με τη σχέση a b = a, για κάθε a, b A. Αν a, b, c είναι τυχόντα στοιχεία του A, από τις σχέσεις a (b c) = a b = a και (a b) c = a c = a, προκύπτει ότι η πράξη αυτή είναι προσεταιριστική. Επειδή το σύνολο A έχει περισσότερα από ένα στοιχεία, θα υπάρχουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά στοιχεία a 1 και a 2 του A. Τότε θα ισχύει a 1 a 2 = a 1 a 2 = a 2 a 1. Αυτό σημαίνει ότι η πράξη δεν είναι αντιμεταθετική. Η πράξη αυτή δεν έχει ουδέτερο στοιχείο, εφόσον δεν υπάρχει κανένα στοιχείο e του A τέτοιο, ώστε να ισχύει e a = a, για κάθε a A. Φυσικά, η απουσία ουδετέρου στοιχείου δείχνει ότι δεν μπορούμε να περιμένουμε ούτε συμμετρικό στοιχείο ως προς την πράξη αυτή. Το επόμενο παράδειγμα δίνει μια νέα πράξη στο σύνολο Z + των θετικών ακεραίων.

22 1.3 Νόμοι σύνθεσης ή πράξεις 23 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Στο σύνολο Z + όλων των θετικών ακεραίων ορίζουμε την πράξη με τον εξής τρόπο: m n = m n, για κάθε m, n Z +. Είναι προφανές ότι η είναι μια πράξη στο σύνολο Z + = {0, 1, 2,...}, εφόσον συνδυάζει δύο θετικούς ακεραίους, και αποδίδει ένα άλλο. Όμως, η πράξη αυτή δεν είναι ούτε προσεταιριστική, ούτε αντιμεταθετική. Είναι πολύ εύκολο να διαπιστωθεί το γεγονός αυτό. Για παράδειγμα οι σχέσεις (2 1) 3 = = 2 3 = 2 3 = 8, και 2 (1 3) = = 2 1 = 2 1 = 2, δείχνουν ότι δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, ενώ η σχέση 4 1 = 4 1 = 4 1 = 1 4 = 1 4, αποδεικνύει ότι δεν ισχύει ούτε η αντιμεταθετική ιδιότητα. Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι η πράξη αυτή δεν έχει ούτε ουδέτερο στοιχείο. Θεωρούμε, τώρα, ένα μη κενό σύνολο A, και μια πράξη πάνω σ αυτό. Η πράξη αυτή θεωρείται γνωστή, οπότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί, μόνον όταν είναι γνωστό το αποτέλεσμα a b, για όλα τα στοιχεία a, b A. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: είτε να ορίσουμε το αποτέλεσμα a b, για όλα τα ζεύγη στοιχείων a, b του A, είτε να είναι γνωστός ένας «κανόνας» με βάση τον οποίο μπορεί να βρεθεί το αποτέλεσμα που μας ενδιαφέρει. Όταν το σύνολο A είναι πεπερασμένο, μπορούμε σχετικά εύκολα να ορίσουμε το αποτέλεσμα για κάθε ένα ζεύγος στοιχείων του συνόλου αυτού. Για το σκοπό αυτό σχηματίζουμε ένα πίνακα, στην πρώτη γραμμή και πρώτη στήλη του οποίου αναγράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου A με την ίδια σειρά. Στη διασταύρωση της γραμμής, που ορίζεται από ένα στοιχείο a, και της στήλης, που ορίζεται από ένα στοιχείο

23 24 Εισαγωγικές έννοιες b, τοποθετούμε το αποτέλεσμα a b. Στον παρακάτω πίνακα x y... x w... y z... βλέπουμε τον πίνακα της πράξης πάνω σε κάποιο σύνολο, το οποίο περιέχει, μεταξύ άλλων, και τα στοιχεία x και y. Από τον πίνακα αυτό προκύπτει ότι ισχύει x y = w και y x = z. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να ορίσουμε οποιαδήποτε πράξη σ ένα πεπερασμένο σύνολο. Το μόνο που χρειάζεται να κάνουμε είναι να συμπληρώσουμε όλες τις θέσεις του πίνακα με στοιχεία του συνόλου αυτού. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το σύνολο X = {e, a, b, c, d}, το οποίο αποτελείται από πέντε διαφορετικά τυχαία στοιχεία. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε την πράξη με τον παρακάτω πίνακα e a b c d e e a b c d a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c Παρατηρούμε ότι το στοιχείο e είναι ένα ουδέτερο στοιχείο της πράξης αυτής, εφόσον αφήνει αμετάβλητα όλα τα στοιχεία του X. Για παράδειγμα, έχουμε e b = b = b e. Επίσης, η πράξη είναι αντιμεταθετική, δηλαδή ισχύει x y = y x για όλα τα στοιχεία x, y X. Το γεγονός αυτό ελέγχεται εύκολα με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα. Το ίδιο εύκολα μπορούμε να ελέγξουμε και την προσεταιριστική ιδιότητα, η οποία επίσης ισχύει. Τέλος, κάθε στοιχείο του συνόλου X έχει συμμετρικό ως προς την πράξη αυτή. Για παράδειγμα, το συμμετρικό του a είναι το στοιχείο d, εφόσον ισχύει a d = e = d a, ενώ το συμμετρικό του στοιχείο b είναι το c, διότι b c = e = c b.

24 1.3 Νόμοι σύνθεσης ή πράξεις 25 Συνήθως, όταν σε ένα σύνολο έχουμε κάποια πράξη, δίνουμε σ αυτή συγκεκριμένο όνομα για λόγους ευκολίας. Αυτό είναι περισσότερο κατανοητό όταν στο ίδιο σύνολο έχουμε δύο πράξεις. Έτσι, θα χρησιμοποιούμε το όνομα της πρόσθεσης ή του πολλαπλασιασμού, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι πρόκειται για τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αριθμών. Ασφαλώς μαζί με το όνομα θα χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς και την αντίστοιχη ορολογία. Aν μια πράξη την ονομάσουμε πρόσθεση, τότε θα χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς: (i) a + b για να συμβολίζουμε το αποτέλεσμα (άθροισμα) της πράξης, (ii) a για να συμβολίζουμε το συμμετρικό στοιχείο του a, το οποίο θα ονομάζουμε αντίθετο του a, και (iii) 0 για να συμβολίζουμε το ουδέτερο στοιχείο, το οποίο θα ονομάζουμε μηδενικό στοιχείο ή μηδέν. Aν μια πράξη την ονομάσουμε πολλαπλασιασμό, τότε θα χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς: (i) ab ή a b για να συμβολίζουμε το αποτέλεσμα (γινόμενο) της πράξης, (ii) a 1 για να συμβολίζουμε το συμμετρικό στοιχείο του a, το οποίο θα ονομάζουμε αντίστροφο του a, και (iii) 1 για να συμβολίζουμε το ουδέτερο στοιχείο, το οποίο θα ονομάζουμε μοναδιαίο στοιχείο. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Θεωρούμε το σύνολο Y = {0, 1, 2, 3, 4}. Στο σύνολο αυτό ορίζουμε μια πράξη, την οποία ονομάζουμε πρόσθεση, με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0 ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z

Διαβάστε περισσότερα

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash

Abstract Algebra: The Basic Graduate Year: Robert B. Ash Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 2 II Βασική άλγεβρα. Αρχικά μαθήματα 4 1 Μάθημα 1 4 1.1 Πορεία μελέτης............................ 4 1.2 Διάφορα σχόλια............................ 5 1.3 Πορεία μελέτης............................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a

i) Για να δείξουμε την επιθυμητή ισότητα, δείχνουμε πως A B {A x : x B} και πως {A x : x B} A B. Για τον πρώτο εγκλεισμό, έστω a A B, δηλάδη a A και a Θεωρία Συνόλων Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Λύσεις 1. Άσκηση 1.9 (σελ. 17), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, B δεδομένα σύνολα. Θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα αλλά αναφερόμενοι, αποκλειστικά, είτε

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Διανυσματικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής 5 Μάθημα 5 Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Με το σημερινό 9 μάθημα αρχίζουμε τη μελέτη των Διανυσματικών χώρων, μία πολύ βασική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης

7 Μάθημα Πορεία μελέτης Άσκηση Πορεία μελέτης Περιεχόμενα I Εναρξη μαθήματος 5 II Αρχικά μαθήματα 7 1 Μάθημα 1 7 1.1 Εισαγωγή............................... 7 1.2 Πορεία μελέτης............................ 7 1.3 Γραμμικά συστήματα.........................

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5--3 Μ. Παπαδημητράκης. Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι για να έχει νόημα το όριο f(x) x ξ πρέπει το ξ να είναι σε κατάλληλη θέση σε σχέση με το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: 5. ΟΡΙΣΜΟΙ Έστω U και V δύο διανυσματικοί χώροι. Μια συνάρτηση F : U V θα λέγεται γραμμική απεικόνιση (ή ομομορφισμός, ή απλά μορφισμός εάν ικανοποιεί τις συνθήκες (i F ( u + = u + για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Θεωρία Συνόλων, Συναρτήσεις Πραγματικής Μεταβλητής, Όριο και Συνέχεια Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)].

Ασκήσεις. και. για κάποιο k n. ( ) BdΚ και επί πλέον το BdΚ είναι ακραίο. [Υπόδειξη Πρβλ. την άσκηση 11 της παραγράφου 3.1 για το (α)]. 3 Ασκήσεις ) Έστω διανυσματικός χώρος, C κυρτό και C. (α) Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (ι) e( C) = +,(ιι), = = και (ιιι) Το σύνολο C \{ } είναι κυρτό. (β) Επίσης αποδείξτε ότι αν e( C) και

Διαβάστε περισσότερα