Στατιστικές Υποθέσεις

Transcript

1 Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Στατιστικές Υποθέσεις Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

2 2 Εισαγωγή Ίσως το σπουδαιότερο μέρος της Στατιστικής επιστήμης. Εξαγωγή συμπερασμάτων για τις τιμές των παραμέτρων του πληθυσμού από το τυχαίο δείγμα που έχουμε λάβει από τον πληθυσμό. Στατιστική μεθοδολογία με την οποία απορρίπτουμε ή δεν απορρίπτουμε μια στατιστική υπόθεση.

3 3 Στατιστική Υπόθεση Όταν λέμε Στατιστική Υπόθεση, εννοούμε μια υπόθεση που κάνουμε για τον άγνωστο πληθυσμό που μελετάμε. Παράδειγμα Σε μια έρευνα που γίνεται για την απόδοση ενός μηχανήματος Α, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το μηχάνημα αυτό παράγει περισσότερα προϊόντα από κάποιο άλλο μηχάνημα Β που έχουμε στην παραγωγή. Σε μια έρευνα για το ύψος των ανδρών και των γυναικών μπορεί κάποιος να ισχυριστεί ότι το μέσο ύψος των ανδρών υπερβαίνει το μέσο ύψος των γυναικών Αυτές οι ερευνητικές υποθέσεις, που κάνει ένας ερευνητής χρειάζονται επιβεβαίωση ή απόρριψη. Η διαδικασία την οποία ακολουθούμε για να επαληθεύσουμε τέτοιους ισχυρισμούς, ονομάζεται Έλεγχος Υπόθεσης (ή Στατιστικό τέστ).

4 4 Στατιστική Υπόθεση Οι Έλεγχοι Υποθέσεων αποτελούν το σημαντικότερο κομμάτι της Στατιστικής αλλά και της έρευνας γενικότερα. Σε γενικές γραμμές: Ορίζουμε ως στατιστική υπόθεση την υπόθεση που ισχυριζόμαστε για την κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής. Ορίζουμε ως τυχαία μεταβλητή την μεταβλητή που αναφέρεται σε κάποιο χαρακτηριστικό του υπό εξέταση πληθυσμού. Στον έλεγχο υποθέσεων συγκρίνουμε την διαφορά της δειγματικής τιμής μιας στατιστικής παραμέτρου με την αρχική τιμή που εμείς θέτουμε ή που είναι γνωστή από άλλες έρευνες

5 5 Στατιστική Υπόθεση Όταν κάνουμε έλεγχο υποθέσεων για την διαφορά μιας παραμέτρου στο δείγμα και της τιμής που εμείς έχουμε υποθέσει και η διαφορά είναι στατιστικά σημαντική τότε εννοούμε ότι η διαφορά αυτή πραγματική και δεν ερμηνεύεται από τις τυχαίες διακυμάνσεις της δειγματοληψίας που κάνουμε. Αν η παραπάνω διαφορά είναι στατιστικά ασήμαντη τότε εννοούμε ότι είναι φαινομενική και συνεπώς μπορεί να εξηγηθεί από τις τυχαίες διακυμάνσεις της δειγματοληψίας που κάνουμε.

6 6 Διαδικασία Ελέγχου Υποθέσεων Διατύπωση στατιστικών υποθέσεων Οι στατιστικές υποθέσεις διατυπώνονται πάντα ανά ζεύγη και διαμερίζουν το σύνολο του παραμετρικού χώρου Θ σε δυο ξένα υποσύνολα Θ 1 και Θ 2 έτσι ώστε να ισχύει Θ=Θ 1 +Θ 2 και Θ 1 Θ 2 = Η πρώτη από τις δυο υποθέσεις (Η 0 ) ονομάζεται μηδενική υπόθεση ή Ελεγχόμενη υπόθεση και η δεύτερη υπόθεση (Η 1 ) ονομάζεται εναλλακτική ή υπόθεση έρευνας. Η Η 0 μας δείχνει την μη-διαφορά ανάμεσα στην τιμή της στατιστικής συνάρτησης του δείγματος και της αντίστοιχης παραμέτρου του πληθυσμού.

7 7 Διαδικασία Ελέγχου Υποθέσεων Διατύπωση στατιστικών υποθέσεων Η Η 1 μας δείχνει την διαφορά ανάμεσα στην τιμή της στατιστικής συνάρτησης του δείγματος και της αντίστοιχης παραμέτρου του πληθυσμού. Ορίζουμε ως απλή υπόθεση την υπόθεση που εξειδικεύει πλήρως την τιμή της παραμέτρου και έχει την μορφή H 0 : f = f 0 Ορίζουμε ως σύνθετη υπόθεση την υπόθεση που δεν προσδιορίζει πλήρως την τιμή της πληθυσμιακής παραμέτρου και έχει την μορφή H 0 : f f 0 η H 0 : f f 0 Η διατύπωση των Η 0 και Η 1 είναι υψίστης σημασίας καθώς έτσι θα είναι δυνατόν να βγάλουμε πιο ασφαλή και ακριβή συμπεράσματα.

8 8 Τι είναι συσχέτιση Έστω ότι έχουμε δύο ερωτήσεις Q1,Q2 Θέλουμε να δούμε αν αυτές οι ερωτήσεις έχουν κάποια σχέση μεταξύ τους Σχέση δεν σημαίνει ομοιότητα, αφού οι ερωτήσεις είναι διαφορετικές! Σχέση σημαίνει πως οι απαντήσεις στην Q1, επηρεάζουν ή καθορίζουν σε κάποιο βαθμό και τις απαντήσεις στην Q2

9 9 Περιπτώσεις Ποιοτική με Ποσοτική Ποσοτική με Ποσοτική Ποιοτική με Ποιοτική

10 10 Ποιοτική με Ποσοτική Έστω ότι η μία ερώτηση Q1 είναι ποιοτική (ονομαστική ή διατάξιμη) και η Q2 είναι ποσοτική Τότε ΣΧΕΣΗ μεταξύ των ερωτήσεων, σημαίνει πως οι απαντήσεις στην Q2, κατά μέσο όρο, είναι διαφορετικές ανάμεσα στις κατηγορίες της Q1

11 11 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα Ι Θέλουμε να δούμε αν το Φύλλο (Ποιοτική) έχει σχέση με το Ύψος των μαθητών (Ποσοτική) Αν πράγματι υπάρχει κάποια σχέση, αυτό θα σημαίνει πως ο μέσος όρος του ύψους διαφέρει ανάμεσα στις κατηγορίες της ποιοτικής μεταβλητής Δηλαδή αν υπάρχει σχέση, ο μέσος όρος ύψους αγοριών και κοριτσιών είναι διαφορετικός

12 12 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα Ι Βρίσκοντας τους μέσους όρους ύψους αγοριών κοριτσιών, παρατηρούμε ότι Φύλο Mean N Std. Deviation Κορίτσι 163, ,595 Αγόρι 176, ,007 Total 169, ,600 Βλέπουμε δηλαδή πως στο Παράδειγμα που εξετάζουμε υπάρχει μια σχέση ανάμεσα στο Φύλο και το Ύψος των μαθητών, αφού τα μέσα ύψη είναι διαφορετικά

13 13 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα Ι Αυτά που παρατηρήσαμε στο Παράδειγμα υπό εξέταση είναι τυχαίο? Οι διάφορες που βρήκαμε ανάμεσα στις ομάδες που χωρίζει η ποιοτική μεταβλητή το δείγμα μας είναι τυχαίες? Μήπως το Φύλλο και Ύψος δεν έχουν καμία σχέση? ή το αντίθετο: Υπάρχουν πράγματι διαφορές και στους πληθυσμούς? Έχουν δηλαδή κάποια σχέση οι ερωτήσεις μεταξύ τους?

14 14 Ποιοτική με Ποσοτική Ο αριθμός p Στη Στατιστική υπάρχει ένα «μαγικό» νούμερο, που μας δίνει την Πιθανότητα τα αποτελέσματα που βρήκαμε στα δείγματα, να ήταν τυχαία (μη σημαντικά δηλαδή). Το μαγικό αυτό νούμερο είναι: p-value (τιμή p) (στο SPSS αναφέρεται SIG. = significance)

15 15 Ποιοτική με Ποσοτική Ο αριθμός p Ο κανόνας που εξετάζουμε για να αποφασίσουμε αν η σχέση που υπάρχει είναι στατιστικά σημαντική (οπότε μπορούμε να γενικεύσουμε από το δείγμα στον πληθυσμό) είναι: Αν το p<0,05 (πιο μικρό από το 5%) απορρίπτομαι την Μηδενική Μηδενική ισότητας των μέσων όρων οπότε οι διαφορές ΔΕΝ είναι τυχαίες, Δηλαδή οι διαφορές που βρήκαμε στα δείγματα, επιβεβαιώνονται πιθανότατα και στους πληθυσμούς Δηλαδή τα αγόρια είναι πιο ψηλά από τα κορίτσια δηλαδή το Φύλλο και το Ύψος έχουν κάποια σχέση Η πιθανότητα να έχουμε κάνει λάθος είναι p (δηλαδή ΠΟΛY ΜΙΚΡΗ)

16 16 Ποιοτική με Ποσοτική Ο αριθμός p Πως από το Δείγμα, βγάζουμε συμπέρασμα για Ολόκληρο τον πληθυσμό? Αναλύουμε τα δεδομένα με την κατάλληλη διαδικασία (κατάλληλο t-τεστ σύμφωνα με τα δεδομένα του παραδείγματος υπό εξέταση και το είδος της κατανομής των δεδομένων ), και στη συνέχεια Ψάχνουμε στην απάντηση για τον αριθμό p (Τιμή p) Συγκρίνουμε το p με το 0,05 (το 5% δηλαδή) Αν p<0,05 τότε οι μεταβλητές μας έχουν σημαντική σχέση μεταξύ τους αν p>0,05 τότε οι μεταβλητές δεν έχουν καμία σχέση και τα ευρήματα του δείγματος ήταν τυχαία (όχι σημαντικά) Στο SPSS, το p αναφέρεται ως SIG (significance=σημαντικότητα)

17 17 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα Ι Παρατηρήσεις: Το p είναι σχεδόν 0, δηλαδή πολύ πιο μικρό από το 0,05 (p << 0,05) Άρα η διαφορά ανάμεσα στα ύψη αγοριών και κοριτσιών στο δείγμα δεν είναι τυχαία, άρα τα αγόρια είναι κατά μέσο όρο πιο ψηλά από τα κορίτσια. Ή με άλλα λόγια, οι μεταβλητές Φύλλο και Ύψος έχουν κάποια σημαντική σχέση

18 18 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα ΙΙ Χρησιμοποιώντας τα ίδια δεδομένα των μαθητών, θα δούμε αν το Φύλλο έχει σχέση με τον τελικό Βαθμό που πήραν στο τέλος της χρονιάς Το p(sig) που μας δίνει η διαδικασία t-test, είναι 0,642 που είναι πολύ πιο μεγάλο από το 0,05 (p=0,642 > 0,05) Αυτό σημαίνει πως δεν υπάρχει διαφορά στις μέσες βαθμολογίες αγοριών/κοριτσιών, οπότε το Φύλλο δεν έχει σχέση με τον τελικό Βαθμό

19 19 Ποιοτική με Ποσοτική Αν έχουμε να εξετάσουμε τη σχέση μια ποσοτικής με μια ποιοτική μεταβλητή, ή κατάλληλη διαδικασία, εξαρτάται από το Πόσες κατηγορίες έχει η ποιοτική μεταβλητή Αν έχει μόνο 2 κατηγορίες (π.χ. άνδρας-γυναίκα), χρησιμοποιούμε το κατάλληλο t-test (σύγκριση μέσω τιμών) Αν έχει από 3 κατηγορίες και πάνω, χρησιμοποιούμε την ανάλυση διακύμανσης ANOVA

20 20 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα ΙΙI Στα δεδομένα του προηγούμενου παραδείγματος υπήρχε και η μεταβλητή «Κυριότερη Ασχολία» των μαθητών στον ελεύθερο χρόνο τους Οι επιλογές που δόθηκαν στην ήταν 5: Υπολογιστές Αθλητισμός Μουσική/Χορός Τηλεόραση/Κινηματογράφος Διάβασμα εξωσχολικών βιβλίων

21 21 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα ΙΙI Το ερώτημα είναι να βρούμε αν υπάρχει σχέση μεταξύ της μεταβλητής «Κυριότερη Ασχολία» των μαθητών στον ελεύθερο χρόνο τους και τον «βαθμό» Εδώ επειδή η ποιοτική μεταβλητή έχει 5 κατηγορίες η καλύτερη διαδικασία είναι είναι η Ανάλυση Διακύμανσης (ANOVA)

22 22 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα ΙΙI Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις μέσες τιμές και τις τυπικές αποκλίσεις των «βαθμών» ανά «κυριότερη ασχολία» Παρατηρούμε από τον πίνακα με τις μέσες τιμές, ότι μεγαλύτερο μέσο όρο βαθμολογίας περιμένουμε στα παιδιά που διαβάζουν εξωσχολικά βιβλία (18,9) και ακολουθούν αυτά που ασχολούνται με υπολογιστές (17,8) κλπ.

23 23 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα ΙΙI Τρέχοντας ανάλυση διακύμανσης Anova το sig στην περίπτωση μας είναι 0,011 επομένως p=0,011<0,05 Οπότε συμπεραίνουμε ότι η «κυριότερη ασχολία» έχει σχέση με το «Βαθμό». Σχέση σημαίνει διαφοροποίηση μέσων τιμών ανά κατηγορία

24 24 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα ΙΙI Επιπλέον Πληροφορίες μεταξύ των Ομάδων από την ανάλυση

25 25 Ποσοτική με Ποσοτική Η δεύτερη περίπτωση που εξετάζουμε είναι η διερεύνηση κάποιου είδους σχέσης μεταξύ δύο Ποσοτικών μεταβλητών. Σε γενικές γραμμές θέλουμε να δώσουμε απαντήσεις στις παρακάτω Ερωτήσεις Υπάρχει σχέση; Τι σχέση είναι αυτή; (π.χ. όταν αυξάνει το ένα, αυξάνει και το άλλο ή αντίστροφα;) Ποιος είναι ο βαθμός αυτής της σχέσης; Ποια είναι η μορφή αυτής της σχέσης;

26 26 Ποσοτική με Ποσοτική Με τον όρο συσχέτιση (correlation) εννοούμε το βαθμό στον οποίο συμμεταβάλλονται δύο ποσοτικές μεταβλητές υπό την προϋπόθεση ότι η σχέση τους είναι γραμμική. Η συνήθης παραδοχή που γίνεται για τη σχέση δύο ποσοτικών μεταβλητών X και Υ είναι ότι αυτή είναι γραμμική (δηλαδή ότι οι δύο μεταβλητές συμμεταβάλλονται μονότονα). Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι η συνδυασμένη απεικόνιση των δύο μεταβλητών σε ένα διάγραμμα διασποράς, ορίζει ένα σύνολο σημείων τα οποία τείνουν να συσσωρεύονται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής

27 27 Ποσοτική με Ποσοτική Η Απλή Συσχέτιση μεταξύ ποσοτικών εκφράζεται με έναν αριθμό, που ονομάζεται Συντελεστής Συσχέτισης (Correlation Coefficient). Οι πιο γνωστοί συντελεστές γραμμικής συσχέτισης είναι οι συντελεστές του Pearson, του Spearman και του Kendall. Η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση εδώ είναι οι εξής: Η 0 : ρ=0 ή δεν υπάρχει γραμμική συσχέτιση μεταξύ των δύο μεταβλητών Η1: ρ 0 ή υπάρχει γραμμική συσχέτιση μεταξύ των δύο μεταβλητών

28 28 Ποσοτική με Ποσοτική Ο συντελεστής συσχέτισης του Pearson χρειάζεται την υπόθεση της κανονικότητας των δεδομένων, σε αντίθεση με τους άλλους δύο που δεν χρειάζονται την υπόθεση της κανονικότητας των δεδομένων. Βέβαια, για μεγάλα δείγματα, μεγέθους 30 παρατηρήσεων και πάνω και όσο το μέγεθος του δείγματος μεγαλώνει η θεωρία μας λέει ότι οι τιμές των συντελεστών πλησιάζουν η μία την άλλη.

29 29 Ποσοτική με Ποσοτική Η κύρια διαφορά των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής του Pearson υπολογίζεται με βάση τα δεδομένα, ενώ οι άλλοι δύο υπολογίζονται με βάση τις τάξεις μεγέθους των δεδομένων. Ειδικότερα, ο συντελεστής του Spearman είναι ο συντελεστής του Pearson στην ουσία υπολογισμένος για τις τάξεις μεγέθους των δεδομένων. Το γεγονός λοιπόν ότι οι συντελεστές του Spearman και του Kendall υπολογίζονται με βάση τις τάξεις μεγέθους των δεδομένων είναι που επιτρέπει την ελευθερία ως προς τη μη ικανοποίηση της κανονικότητας των μεταβλητών.

30 30 Ποσοτική με Ποσοτική Σε αυτό το σημείο καλό θα ήταν να αναφέρουμε ότι ο συντελεστής του Kendall μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην περίπτωση που έχουμε κατηγορικές μεταβλητές οι οποίες όμως είναι υποχρεωτικά σε κλίμακα διάταξης. Είναι δηλαδή διατακτικές κατηγορικές μεταβλητές. Ακόμα να αναφέρουμε ότι με το συντελεστή γραμμικής συσχέτισης ελέγχουμε αν σε ένα ζεύγος μεταβλητών υπάρχει γραμμική συσχέτιση μόνο. Δηλαδή μπορεί να υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των δύο μεταβλητών, αλλά όχι γραμμικής φύσεως. Σε αυτήν την περίπτωση αυτή η σχέση που συνδέει τις δύο μεταβλητές δεν μπορεί να ανιχνευτεί με το συντελεστή γραμμικής συσχέτισης. Οπότε προσοχή στην ερμηνεία που δίνουμε στο συντελεστή συσχέτισης. Να υπενθυμίσουμε επίσης ότι η λογική με την οποία απορρίπτουμε ή όχι μία υπόθεση είναι πάντα η ίδια. Αν το παρατηρηθέν επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας είναι μικρότερο του 0,05 η υπόθεση απορρίπτεται. Στην αντίθετη περίπτωση δεν απορρίπτεται

31 31 Ποσοτική με Ποσοτική Προϋποθέσεις Γραμμικότητα. Κανονικότητα Ανεξαρτησία των παρατηρήσεων (ατόμων) Περιορισμοί Όταν οι μεταβλητές έχουν περιορισμένο εύρος (μειώνεται η τιμή του συντελεστή) Όταν λείπουν πολλές παρατηρήσεις Όταν έχετε μικρά δείγματα, συνεπώς και μικρή δύναμη ανίχνευσης στατιστικά σημαντικών σχέσεων, αλλά και λίγη αυτοπεποίθηση για εύρεση της πραγματικής σχέσης Όταν δεν καταλαβαίνετε την ανάλυση

32 32 Ποσοτική με Ποσοτική Παράδειγμα ΙV Θέλουμε να ελέγξουμε αν το ύψος έχει κάποια σχέση με το βάρος σε μαθητές Λυκείου. Τα δεδομένα παρουσιάζονται παρακάτω διάγραμμα

33 33 Ποσοτική με Ποσοτική Συντελεστής Συσχέτισης Ο συντελεστής Συσχέτισης είναι ένας αριθμός ανάμεσα στο -1 και το 1. Οι τιμές r = -1 και r =1 προκύπτουν όταν υπάρχει πλήρης γραμμική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών Χ και Υ. Όταν, δηλαδή, τα σημεία του αντίστοιχου διαγράμματος διασποράς που ορίζεται από τα ζεύγη των τιμών (x i,y i ), βρίσκονται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής Πλήρης θετική συσχέτιση r = 1 Πλήρης αρνητική συσχέτιση r = -1 Y Y X X

34 34 Ποσοτική με Ποσοτική Συντελεστής Συσχέτισης Όταν είναι κοντά στο 0, δεν υπάρχει σχέση ή η σχέση είναι πολύ μικρή δηλαδή Όσο η σχέση μεταξύ των Χ και Y αποκλίνει από την πλήρη γραμμικότητα, η τιμή του r τείνει να απομακρύνεται από τις τιμές -1 και 1 και να πλησιάζει το 0. Y Y X X

35 35 Ποσοτική με Ποσοτική Συντελεστής Συσχέτισης Όταν οι τιμές της Y τείνουν να αυξάνουν όσο αυξάνουν και οι αντίστοιχες τιμές της X, η τιμή του r είναι θετική και οι μεταβλητές χαρακτηρίζονται θετικά συσχετιζόμενες. Στην αντίστροφη περίπτωση, όπου οι τιμές της Y ελαττώνονται όσο οι τιμές της X αυξάνουν, ο συντελεστής συσχέτισης r παίρνει αρνητικές τιμές και οι δύο μεταβλητές χαρακτηρίζονται αρνητικά συσχετιζόμενες.

36 36 Ποσοτική με Ποσοτική Συντελεστής Συσχέτισης r=1 r=0, Θετική Συσχέτιση (r > 0) όταν αυξάνει το ένα χαρακτηριστικό αυξάνει και το άλλο r=0,41 r=0,15

37 37 Ποσοτική με Ποσοτική Συντελεστής Συσχέτισης r= - 1 r= - 0,83 Αρνητική Συσχέτιση (r < 0) όταν αυξάνει το ένα χαρακτηριστικό μειώνεται το άλλο r= - 0,55 r= - 0,14

38 38 Ποσοτική με Ποσοτική Συντελεστής Συσχέτισης Μηδενική Συσχέτιση r = 0 Τα χαρακτηριστικά ΔΕΝ έχουν καμία σχέση

39 39 Ποσοτική με Ποσοτική Συντελεστής Συσχέτισης Συμπερασματικά : 1) Όταν 0<r 0,25, τότε είναι πολύ μικρή συσχέτιση 2) Όταν 0,25 r 0,50, τότε έχουμε ελαφρά συσχέτιση 3) Όταν 0,50 r 0,75, η συσχέτιση είναι σχετικά ισχυρή και 4) Όταν 0,75 r 1, τότε η συσχέτιση είναι πολύ ισχυρή. Αντίστοιχα μπορούμε να πούμε και για τις αρνητικές τιμές του r

40 40 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα IV Τα αποτελέσματα του Παραδείγματος που συνοψίζονται στους παρακάτω πίνακες Ο συντελεστής συσχέτισης είναι R=0,86 o οποίος δείχνει μια ισχυρή θετική σχέση ανάμεσα στο ύψος και το βάρος των μαθητών. Το p-value είναι μικρότερο από 0,05 άρα μπορούμε να γενικεύσουμε για τον Πληθυσμό

41 41 Ποιοτική με Ποσοτική Παράδειγμα V Ελέγχουμε τα αποτελέσματα μεταξύ της σχέσης του ύψους και του βαθμού Ο συντελεστής συσχέτισης είναι R=-0,147 o οποίος δείχνει μια αδύναμη αρνητική σχέση. Το p-value είναι μεγαλύτερο από 0,05 άρα δεν μπορούμε να γενικεύσουμε για τον Πληθυσμό

42 42 Ποιοτική με Ποιοτική Η τρίτη περίπτωση που εξετάζουμε είναι η διερεύνηση κάποιου είδους σχέσης μεταξύ δύο Ποιοτικών μεταβλητών. Ο έλεγχος που χρησιμοποιείται για τις σχέσεις μεταξύ δύο ή περισσότερων ονομαστικών ή και τακτικών μεταβλητών είναι γνωστός ως έλεγχος χ 2 (Chi Square). Αν και υπάρχουν επί μέρους στατιστικοί έλεγχοι για τα διάφορα μέτρα συνάφειας, ο έλεγχος χ 2 είναι ένας γενικός έλεγχος που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλες τις περιπτώσεις που μπορούμε να φτιάξουμε ένα πίνακα διμεταβλητών συχνοτήτων (CROSS-TABS), δηλαδή για όλες σχεδόν τις συνάφειες μη ισοδιαστημικών μεταβλητών.

43 43 Ποιοτική με Ποιοτική Η απαιτούμενη κλίμακα μέτρησης των μεταβλητών είναι η ονομαστική, παρόλο που και μεταβλητές με διατακτική κλίμακα μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ο Χ 2 έλεγχος ανεξαρτησίας χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της υπόθεσης ότι δύο κατηγορικές μεταβλητές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Οι κατηγορικές μεταβλητές μπορούν να έχουν οσαδήποτε επίπεδα (ή κατηγορίες), αρκεί βέβαια η κάθε μία να έχει τουλάχιστον δύο επίπεδα. Το SPSS, όταν υπολογίζομε τους συντελεστές συσχετισμού (φ, λ κ.ά.), δίνει και το p που αντιστοιχεί στο καθένα στην τελευταία στήλη κάτω από την ένδειξη Approximate Significance. Για τον έλεγχο στατιστικής σημαντικότητας του κάθε συντελεστή, δεν έχομε παρά να συγκρίνομε το p με το 0,05.

44 44 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VI Ο έλεγχος ανεξαρτησίας χ 2 εφαρμόζεται για να εξετάσουμε τη συνάφεια μεταξύ δύο ποιοτικών μεταβλητών με την έννοια της ανεξαρτησίας μεταξύ των γραμμών και στηλών του πίνακα διπλής εισόδου (ή συνάφειας) των δύο μεταβλητών. Η βασική ιδέα είναι να διαπιστώσουμε πόσο πιθανό είναι να παρατηρήσουμε τις συχνότητες ενός πίνακα με δεδομένο ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής (Η 0 ). Τυχαίο δείγμα 100 μαθητές, 50 αγόρια και 50 κορίτσια βαθμολογήθηκαν σε ένα ερώτημα πολλαπλής επιλογής µε Σωστό ή Λάθος. Τα αποτελέσματα δίνονται στον παρακάτω πίνακα συνάφειας 2 x 2. Αγόρι Κορίτσι Σύνολο Σωστό Λάθος Σύνολο Αν παρατηρήσουμε τις γραμμές του Πίνακα θα διαπιστώσουμε ότι στο δείγμα μας υπάρχει συνάφεια μεταξύ του φύλου και της επίδοσης, αφού τα περισσότερα αγόρια απαντούν λάθος και τα περισσότερα κορίτσια απαντούν σωστά. Είναι η σχέση αυτή στατιστικά σημαντική;

45 45 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VI Ας θεωρήσουμε τώρα ότι δεν υπάρχει συνάφεια μεταξύ των μεταβλητών επίδοση και φύλο στον πληθυσμό από τον οποίο προέρχεται το δείγμα. Τότε θα αναμέναμε ίσο αριθμό υποκειμένων μεταξύ αγοριών και κοριτσιών στις κατηγορίες «Σωστό» και «Λάθος». Τι μορφή θα είχε ο πίνακας συνάφειας σε αυτή την περίπτωση Τυχαίο Αγόρι Κορίτσι Σύνολο Σωστό Λάθος Σύνολο Όσο πιο «κοντά» είναι οι τιμές των παρατηρούμενων µε τις αναμενόμενες συχνότητες, τόσο πιθανότερο είναι να συμπεράνουμε ότι δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση μεταξύ των μεταβλητών, δηλαδή ότι οι μεταβλητές είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Σε περίπτωση το συμπέρασμα είναι ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση μεταξύ των μεταβλητών, οι οποίες τελικά αλληλεξαρτώνται.

46 46 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VI Βήματα του ελέγχου Βήμα 0: Έλεγχος των προϋποθέσεων του ελέγχου Οι δύο μεταβλητές είναι ποιοτικές (σε κατηγορική κλίμακα ή κλίμακα ιεράρχησης) Το δείγμα πρέπει να έχει επιλεγεί με τυχαίο τρόπο. Οι παρατηρήσεις (υποκείμενα) να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Όλες οι αναμενόμενες συχνότητες είναι μεγαλύτερες από 1. Το πολύ 20% από τις αναμενόμενες συχνότητες είναι μικρότερες από 5.

47 47 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VI Βήματα του ελέγχου Βήμα 0: Έλεγχος των προϋποθέσεων του ελέγχου Αν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις 3 και 4 έχουμε τρεις εναλλακτικές λύσεις: Κάνουμε σύμπτυξη γειτονικών κατηγοριών (γραμμών ή/και στηλών). Δηλαδή ενώνουμε κατηγορίες γραμμών ή/και στηλών. Υπολογίζουμε το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας (p-value) είτε με την Ακριβή Μέθοδο (Exact Method) είτε με τη μέθοδο προσομοίωσης Monte-Carlo.

48 48 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VI Βήματα του ελέγχου Βήμα 1: Διατύπωση των στατιστικών υποθέσεων Στην περίπτωση του ελέγχου χ 2 διατυπώνουμε τις παρακάτω υποθέσεις: Η 0 : Δεν υπάρχει συνάφεια ανάμεσα στο φύλο και την επίδοση (είναι ανεξάρτητες) Η 1 : Υπάρχει συνάφεια ανάμεσα στο φύλο καιτην επίδοση (δεν είναι ανεξάρτητες

49 49 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VI Βήματα του ελέγχου Βήμα 2: Υπολογισμός του κριτηρίου του ελέγχου x 2 Παρατηρούμενη Αναμενόμενη 2 = Αναμενόμενη Για το κριτήριο αυτό γνωρίζουμε την κατανομή πιθανότητας όταν ισχύει η Η 0, δηλαδή όταν οι μεταβλητές είναι ανεξάρτητες χ 2 = = = = 36

50 50 Ποιοτική με Ποιοτική Βήματα του ελέγχου Παράδειγμα VI Βήμα 3: Εκτίμηση του παρατηρούμενου επιπέδου σημαντικότητας p, με δεδομένο ότι η Η 0 είναι αληθής. Από τους στατιστικούς Πίνακες της κατανομής χ 2 ή μέσω λογισμικού στατιστικής επεξεργασίας υπολογίζουμε ότι p < 0,001. Αν θεωρήσουμε ως επίπεδο σημαντικότητας το α = 5% (0,05), τότε απορρίπτουμε την μηδενική υπόθεση αφού p < α.

51 51 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VI Βήματα του ελέγχου Βήμα 4: Διατύπωση αποτελεσμάτων. Η σχέση ανάμεσα στην επίδοση και το φύλο είναι στατιστικά σημαντική. Προσοχή: Ο έλεγχος χ 2 δεν καταδεικνύει την κατεύθυνση μιας σχέσης, παρά μόνο μας πληροφορεί αν οι δύο μεταβλητές είναι ανεξάρτητες ή όχι. Για να εντοπίσει ο ερευνητής το είδος μιας στατ. σημαντικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών θα πρέπει να εντοπίσει τα κελιά του πίνακα συνάφειας στα οποία οφείλεται αυτή η σχέση.

52 52 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VIΙ Ένας ερευνητής θέλει να ελέγξει αν μια μέθοδος διδασκαλίας είναι αποτελεσματικότερη από τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας. Για τον σκοπό αυτό επιλέγει δύο τμήματα μιας τάξης ενός σχολείου και ζητάει από ένα δάσκαλο να διδάξει στο πρώτο τμήμα (το οποίο αποτελείται από 44 μαθητές) ένα γνωστικό αντικείμενο µε τη νέα μέθοδο διδασκαλίας και στο δεύτερο τμήμα (που αποτελείται από 42 μαθητές) το ίδιο γνωστικό αντικείμενο χρησιμοποιώντας την παραδοσιακή μέθοδο διδασκαλίας. Μετά την ολοκλήρωση της διδασκαλίας και στα δύο τμήματα, ο ερευνητής υποβάλλει τους μαθητές και των δύο τμημάτων στην ίδια γραπτή δοκιμασία για τον έλεγχο της κατανόησης του γνωστικού αντικειμένου που διδάχτηκαν. Η γραπτή αυτή δοκιμασία δίνει στον ερευνητή τη δυνατότητα να κατηγοριοποιήσει την επίδοση των μαθητών ως: α) χαμηλή, β) μέτρια, ή γ) υψηλή.

53 53 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VIΙ Τα δεδομένα της έρευνας αποτυπώνονται στον παρακάτω πίνακα Μέθοδος Διδασκαλίας Επίδοση Μαθητών Χαμηλή Μέτρια Υψηλή Σύνολα Νέα Μέθοδος Παραδοσιακή Σύνολα

54 54 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VIΙ Επίλυση με SPSS μέθοδος 1 η Καταχωρούμε τα δεδομένα σε πρωτογενή μορφή Πηγαίνουμε Analyze Descriptive Statistics Crosstabs

55 55 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VIΙ Κλικ στο πλήκτρο Statistics και επιλογή του Chisquare (αυτό θα μας δώσει τα αποτελέσματα του ελέγχου χ 2 )

56 56 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VIΙ Κλικ στο πλήκτρο Cells και επιλογή των Row και Column στα Percentages (για να δούμε τα ποσοστά κατά γραμμές και κατά στήλες στον πίνακα συνάφειας) Adjusted standardized στα Residuals (για να δούμε τα διορθωμένα τυποποιημένα υπόλοιπα των κελιών) (Αν θέλουμε να συγκρίνουμε τη στατ. σημαντικότητα της διαφοράς μεταξύ των ποσοστών του πίνακα, επιλέγουμε και Compare column proportions και μετά Adjust p-values ) Κλικ στο Continue

57 57 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VIΙ Αποτελέσματα Το παρατηρούμενο επίπεδο σημαντικότητας p βρίσκεται στη γραμμή Pearson Chi-Square και στη στήλη Asymptotic Significance (2-sided). Η τιμή του p εδώ είναι.000 αλλά προσοχή: το p δεν είναι 0, αλλά το SPSS εμφανίζει ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων. Άρα πρόκειται για τιμή μικρότερη του 0,001. Για να αναφέρουμε αυτήν την τιμή γράφουμε p < 0,001.

58 58 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VIΙ Αποτελέσματα Κοιτάζουμε τα διορθωμένα τυποποιημένα υπόλοιπα για να εντοπίσουμε τα κελιά στα οποία οφείλεται η σχέση ανάμεσα στις δύο μεταβλητές. Διαπιστώνουμε ότι όλα τα κελιά του πίνακα 2x2 συμβάλλουν σε αυτή τη σχέση (τιμές μεγαλύτερες του 2 κατ απόλυτη τιμή).

59 59 Ποιοτική με Ποιοτική Παράδειγμα VIΙ Επίλυση με SPSS μέθοδος 2 η Βάζουμε τρεις μεταβλητές (Γραμμή, Στήλη, Συχνότητες) Για να δηλώσουμε ότι η στήλη συχνότητα περιλαμβάνει βάρη από το μενού Data επιλέγουμε Weight cases