ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει γνώσεις απαραίτητες για την ύλη της Γ Λυκείου. Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Βασική θεωρία Μεθοδολογίες και σχόλια Λυμένα παραδείγματα Ασκήσεις όλων των επιπέδων δυσκολίας Θέματα από την τράπεζα της Β Λυκείου του υπουργείου Καλή μελέτη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ.... ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ..8. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ....7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ..7. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ... ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ..6. ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.7. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.87.6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α..0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ.. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 6. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ.... ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ&ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ.6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΠΡΟΟΔΟΙ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ...8. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ... 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4 . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση, με,, και 0 ή 0, λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές, είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί, λέγονται συντελεστές των αγνώστων της εξίσωσης ενώ το λέγεται σταθερός όρος της εξίσωσης. Κάθε ζεύγος αριθμών, ) που έχει την ιδιότητα να επαληθεύει την εξίσωση ( 0 0, δηλαδή να ισχύει, λέγεται λύση της γραμμικής 0 0 εξίσωσης. Άρα το ζεύγος, ) είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης αν και μόνο αν οι ( 0 0 αριθμοί, 0 0 επαληθεύουν την εξίσωση. π.χ. αν έχω τη γραμμική εξίσωση : 8 τότε το ζεύγος (, ) λέγεται λύση της εξίσωσης γιατί την επαληθεύει : ( ) που ισχύει. ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Όταν ψάχνουμε τις κοινές λύσεις δυο γραμμικών εξισώσεων : και τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε γραμμικό σύστημα :. Δηλαδή έχω εξισώσεις και αγνώστους. Για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα διαλέγουμε έναν από τους παρακάτω τρόπους. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος οδηγεί στο αποτέλεσμα είτε : το σύστημα έχει ακριβώς μια λύση, είτε είναι αδύνατο (καμία λύση), είτε είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΗΜΑ : Διαλέγω μια από τις εξισώσεις, συνήθως αυτή που έχει τουλάχιστον έναν από τους δυο αγνώστους με συντελεστή, και λύνω ως προς τον άγνωστο αυτό. ΒΗΜΑ : Στη συνέχεια αντικαθιστώ αυτό που βρήκα στην άλλη και έτσι θα έχω δημιουργήσει μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο την οποία και λύνω. ΒΗΜΑ : Αφού βρω τη λύση για τον έναν από τους δυο αγνώστους, αντικαθιστώ την τιμή του στην άλλη εξίσωση και βρίσκω τον άλλο άγνωστο. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να λύσετε το σύστημα : Λύση : ΒΗΜΑ : Έχω :,(), διαλέγω τη () γιατί αυτή έχει τον άγνωστο με,() συντελεστή. Άρα,() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

5 ΒΗΜΑ : Παίρνω την εξίσωση () και θα αντικαταστήσω όπου, άρα : ( ) 6 6 ΒΗΜΑ : ( ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΒΗΜΑ : Δημιουργούμε αντίθετους συντελεστές σε έναν από τους δυο αγνώστους πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο αριθμό τα μέλη της μιας εξίσωσης ή και των δυο. ΒΗΜΑ : Προσθέτουμε κατά μέλη τις δυο εξισώσεις, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο την οποία και λύνουμε ως προς τον άγνωστο αυτό. ΒΗΜΑ : Αφού βρω τη λύση για τον έναν από τους δυο αγνώστους, αντικαθιστώ την τιμή του σε οποία από τις εξισώσεις θέλω και βρίσκω τον άλλο άγνωστο. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να λύσετε το σύστημα : 8 Λύση : 6 6 ΒΗΜΑ : Έχω : 8 8( ) 6 8 ΒΗΜΑ : Προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 78 6 ΒΗΜΑ : Πάω στην εξίσωση και θα βάλω όπου 6, άρα έχω : 6 6. Άρα η λύση του συστήματος είναι (, ) (,6 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος, παριστάνει μια ευθεία γραμμή ( ) : και ( ) : αντίστοιχα. Η λύση ( 0, 0) του συστήματος είναι το κοινό ή τα κοινά σημεία των δυο ευθειών. Η γραφική επίλυση ενός συστήματος, ουσιαστικά είναι ο σχεδιασμός των δυο αυτών ευθειών σε ένα σύστημα συντεταγμένων και στην εύρεση των συντεταγμένων του κοινού τους σημείου. Για να σχεδιάσω μια ευθεία, χρειάζομαι δυο σημεία τα οποία θα ενώσω. Συνήθως διαλέγω τα σημεία τομής μιας ευθείας με τους άξονες. Για σημείο τομής με τον άξονα βάζω =0 στην εξίσωση και βρίσκω το αντίστοιχο άρα το σημείο Α(,0). Ενώ για σημείο τομής με τον άξονα βάζω =0 στην εξίσωση και βρίσκω το αντίστοιχο άρα το σημείο Β(0,). ΒΗΜΑ : Δίνω στα, διαδοχικά την τιμή 0 και βρίσκω τα σημεία τομής με τους άξονες Α(,0) και Β(0,) ΒΗΜΑ : Σχεδιάζω ένα σύστημα συντεταγμένων και εντοπίζω τα σημεία τομής με τους άξονες Α(,0) και Β(0,), τα ενώνω και έτσι σχεδιάζω την εξίσωση της γραμμής ( ) : ΒΗΜΑ : Επαναλαμβάνω τη διαδικασία και σχεδιάζω την εξίσωση της γραμμής ( ) :. Από το σχήμα βρίσκω τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους, που είναι και η λύση του συστήματος. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να λύσετε γραφικά το σύστημα : Λύση : Έστω ( ) : και ( ) : οι ευθείες που παριστάνουν οι δυο εξισώσεις του παραπάνω συστήματος. Στην ( ) για 0 έχω 0 άρα (0,) σημείο τομής της ( ) με τον για 0 έχω 0 άρα (,0) σημείο τομής της ( ) με τον Ομοίως στην ( ) για 0 έχω 0 άρα (0,) σημείο τομής της ( ) με τον για 0 έχω 0, άρα (,,0) σημείο τομής της ( ) με τον. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

7 Παρατηρούμε από το σχήμα ότι οι δυο ευθείες ( ) και ( ) τέμνονται στο σημείο (, ). Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ) (, ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ :. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. Η εξίσωση είναι γραμμική. ii. Η εξίσωση παριστάνει ευθεία. iii. Οι ευθείες χ=κ και =λ είναι κάθετες. iv. Η ευθεία χ=κ είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω εξισώσεις με Σωστό, αν παριστάνουν ευθεία ή ευθείες πάντοτε και με Λάθος, αν δεν παριστάνουν. i. 0 ii. a iii. ( ) iv. ( ) v. vi. vii. 0 viii. 0 i Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. Έστω (Σ) το σύστημα δυο γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστους. i. Αν οι ευθείες με εξισώσεις τις εξισώσεις του (Σ) τέμνονται, τότε το (Σ) έχει μοναδική λύση. ii. Αν το (Σ) έχει δυο λύσεις, τότε έχει άπειρες λύσεις. iii. Αν το (Σ) είναι αδύνατο, τότε οι ευθείες με εξισώσεις τις εξισώσεις του (Σ) ταυτίζονται. iv. Αν το (Σ) έχει ως λύση το ζεύγος (0,0), τότε οι σταθεροί όροι των εξισώσεων του (Σ) είναι μηδέν. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

8 7. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. i. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,), R είναι η ευθεία ii. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,), R είναι η ευθεία.. iii. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(,-), R είναι η ευθεία. iv. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(0,), R είναι ο άξονας v. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,0), R είναι ο άξονας.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Δίνεται η εξίσωση (α -)- β- +=0. Να βρείτε τις τιμές των α, β ώστε το ζεύγος (,-) να είναι λύση της εξίσωσης. 9. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση ( λ -)+(λ -λ)+=0 να παριστάνει ευθεία. Γραφική επίλυση συστήματος 0. Να λύσετε γραφικά το σύστημα. Να λύσετε γραφικά το σύστημα. Να λύσετε γραφικά το σύστημα 0 6 Αλγεβρική επίλυση συστήματος. Να λύσετε το σύστημα:. Να λύσετε το σύστημα:. Να λύσετε το σύστημα: ( ) ( ) 6. Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η εξίσωση (α-β-)+(α-β-)+α-=0 να παριστάνει ευθεία. 7. i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,-). ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι παράλληλη στην ευθεία ε. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8. Να εξετάσετε, ποια από τα ζεύγη (,), (0,-) και (α,α-) είναι λύσεις της εξίσωσης -= 9. i. Να δείξετε ότι η εξίσωση (λ+)+(λ-)+=0, παριστάνει ευθεία, για κάθε λ R. ii. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση (λ -)+(λ-)+=0, να παριστάνει ευθεία. 0. Να λύσετε γραφικά τα συστήματα: i. ii. iii.. Να λύσετε γραφικά τα συστήματα: i. ii. 6. Να λύσετε με την μέθοδο της αντικατάστασης τα συστήματα: i. ii. iii. 9. Να λύσετε με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών τα συστήματα: 7 i. ii. iii Να λύσετε τα συστήματα: i. 7 ii. iii. 0. Να λύσετε τα συστήματα: i. ii. 6. Να λύσετε τα συστήματα: i. ii. ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Αν τα συστήματα: β. και 7 έχουν κοινή λύση, να βρείτε τα α και 8. Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η εξίσωση (α-β+)+(α-β-)+β-=0 να παριστάνει ευθεία. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

10 9. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: ε : -+=0 και ε : --=0 0. Αν οι ευθείες ε : α+β=α+9 και ε : +(α-β)=β- τέμνονται στο σημείο Α(,), να βρείτε τα α και β.. Δίνονται οι ευθείες ε : -=- και ε : +=. i. Να βρείτε το σημείο τομής Α, των ευθειών ε και ε ii. Να βρείτε την ευθεία ε, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α.. i. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από τα σημεία Α(,-) και Β(-,). ii. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, που τέμνει τον άξονα στο - και είναι παράλληλη στην ευθεία ε.. Να δείξετε ότι η εξίσωση σημείο τομής τους. παριστάνει δυο ευθείες ε,ε και να βρείτε το. Αν η εξίσωση (α-β-)=α-β- έχει άπειρες λύσεις, να βρείτε τις τιμές των α και β.. Αν ισχύει -++λ(-)=0, για κάθε λ R, να βρείτε τα και. 6. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) 8 τέμνει τον άξονα των στο σημείο - και διέρχεται από το σημείο (, 0), να βρείτε τα α και β. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

11 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τα συστήματα με τη μέθοδο των οριζουσών : 7 i. ii. 8 0 Λύση : i. 7 Έχω : D ( ) D 9, 7 D 8 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Έχουμε το σύστημα. Θεωρούμε τους αριθμούς D (Ορίζουσα D του συστήματος) D D (Ορίζουσα D : δεν έχει, δηλαδή αντικαθιστώ τους συντελεστές του με τους σταθερούς όρους) (Ορίζουσα D : δεν έχει, δηλαδή αντικαθιστώ τους συντελεστές του με τους σταθερούς όρους) Για να λύσουμε ένα σύστημα με τη μέθοδο των οριζουσών : βρίσκουμε τις ορίζουσες των D, D, D και μετά : D Αν D 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ), όπου :, D Αν D 0 και D 0 ή D 0, τότε το σύστημα είναι αδύνατο Αν D 0 και D 0 και D 0, τότε το σύστημα είναι αόριστο, έχει δηλαδή άπειρες λύσεις. D 9 D Άρα :,, δηλ. το σύστημα έχει μοναδική λύση D D (, ) (,) D D ii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

12 Έχω : D D, D 8 D D Άρα :,, δηλ. το σύστημα έχει μοναδική λύση D D (, ) (, ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Για να λύσουμε ένα παραμετρικό σύστημα χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των οριζουσών. Συγκεκριμένα ακλουθούμε τα εξής βήματα : ΒΗΜΑ : Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D, D, ΒΗΜΑ : Λύνουμε την εξίσωση D 0 ΒΗΜΑ : Διακρίνουμε την περίπτωση για την οποία ισχύει D 0 ΒΗΜΑ : Διακρίνουμε την περίπτωση για την οποία ισχύει D 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8. (Άσκηση 8 σελ. Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τα σύστημα με τη μέθοδο των οριζουσών : i. ( ), ( ) ii. ( ) ( ), Λύση : i. (Τα παραμετρικά συστήματα, λύνονται μόνο με τη μέθοδο των οριζουσών) ( ) ( ) ΒΗΜΑ : D ( )( ) 8 ( ) ( ) D ( ) ( )( ) ( ) D ( ) D ΒΗΜΑ : D ΒΗΜΑ : Αν D 0,&, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την : D D, D 9 D 9 ΒΗΜΑ : Αν D 0 τότε : ( ) ( ) Αν έχω : ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 0 άρα το σύστημα είναι αδύνατο. ( ) Αν έχω : ( ) Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 0 άρα το σύστημα είναι αδύνατο. ii. ( ) ( ) ΒΗΜΑ : D ( )( ) 9 D ( ) 0 D ( ) 0 ΒΗΜΑ : D ΒΗΜΑ : Αν D 0,&, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την : D ( ), D 9 ( )( ) D ( ) D 9 ( )( ) ΒΗΜΑ : Αν D 0 τότε : ( ) Αν έχω : ( ) ( ) προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 0 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο, έχει δηλαδή άπειρες λύσεις της μορφής (, ) όπου είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. (Για να βρω τις λύσεις διαλέγω μια από τις δυο εξισώσεις και λύνω ως προς έναν από τους δυο αγνώστους : ) ( ) Αν έχω : ( ) Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 0 0 άρα το σύστημα είναι αδύνατο. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 9. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. a Έστω το σύστημα i. Αν το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση, τότε D=0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

14 ii. Αν D=0, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. iii. Αν το σύστημα είναι αόριστο, τότε D=0. iv. Αν D=0, τότε το σύστημα είναι αδύνατο ή αόριστο. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. a Έστω ότι οι εξισώσεις του συστήματος (Σ) παριστάνουν τις ευθείες ε και ε. i. Αν D 0, τότε οι ευθείες ε, ε τέμνονται. ii. Αν οι ευθείες ε, ε είναι παράλληλες, τότε D=0. iii. Αν D=0, τότε οι ε, ε δεν τέμνονται. iv. Αν D=0, τότε οι ε, ε είναι παράλληλες. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. a Έστω το σύστημα (Σ) i. Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε D >0 ii. Αν D +D -=0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. iii. Αν το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση, τότε είναι αδύνατο. iv. Αν το σύστημα δεν έχει άπειρες λύσεις, τότε είναι αδύνατο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες: i. ii. iii. iv. 9. Να λύσετε την εξίσωση =0. Να λύσετε τα συστήματα με την μέθοδο των οριζουσών: 7 0 i. ii. iii Να λύσετε το σύστημα 6. Να λύσετε το σύστημα 6 7. Έστω το σύστημα 7 i. Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση ( 0, 0 ), για κάθε λ R. ii. Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 0-0 < 8. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε: =λ- και η: +λ-λ=0 τέμνονται για κάθε λ R. 9. Να βρείτε το λ, ώστε οι ευθείες ε: (λ-)+λ=λ και η: +λ= να είναι παράλληλες. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

15 0. Αν το σύστημα (Σ) έχει άπειρες λύσεις, να δείξετε ότι το σύστημα (Σ ) έχει μοναδική λύση.. Να λύσετε τα συστήματα: ( ) i. ( ). Να λύσετε τα συστήματα: i. ii. ii. ( ) ( ). Για τις διάφορες τιμές του λ, να λύσετε τα συστήματα: ( ) i. ii. ( ). Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ ώστε το σύστημα i. Να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. ii. Να μην έχει καμία λύση. 6. Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε οι ευθείες ε : +α= και ε : α+9= να τέμνονται. 6. Να βρείτε το α, ώστε οι ευθείες ε : +α = και ε : +α=α+ i. Να τέμνονται ii. Να είναι παράλληλες 7. Να διερευνηθεί το σύστημα : ( ) 8. Αν το σύστημα ( ) () είναι αδύνατο. ( ) έχει άπειρες λύσεις, να δείξετε ότι το : 9. Να λυθεί το σύστημα με ορίζουσες D, D, D για τις οποίες ισχύει : D D D D 8D D Αν D είναι η ορίζουσα του συστήματος : i. να δείξετε ότι D 7 ii. να λύσετε το σύστημα (Σ) (9 D) (8 D) ( ) :, τότε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ iii. να βρείτε τις τιμές των,, ώστε η λύση του συστήματος (Σ) να είναι και λύση του συστήματος ) ( ) ( 6. Δίνεται το σύστημα :. i. Να βρείτε τις ορίζουσες : D D D,, ii. Να βρείτε τις τιμές του ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο iii. Να βρείτε τις τιμές του ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις iv. Να βρείτε τις τιμές του ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση για την οποία ισχύει : 0 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. (Άσκηση 8 σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τα παρακάτω σύστημα : i. ii. iii. 6 Λύση : i.,(),(),() διαλέγω την () και θα λύσω ως προς ω. Δηλαδή : ) : (. Αντικαθιστώ την τιμή του ω στις άλλες και έχω : ) ( ) ( Προέκυψε δηλαδή σύστημα άρα : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Για να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα, δηλαδή ενός συστήματος με εξισώσεις και αγνώστους, χρησιμοποιούμε τις ίδιες μεθόδους με αυτές που χρησιμοποιούμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος. Πιο συγκεκριμένα λύνουμε μια από τις εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο της επιλογής μας, και στη συνέχεια αντικαθιστούμε την τιμή που βρήκαμε στις άλλες εξισώσεις. Έτσι προκύπτει ένα σύστημα το οποίο και λύνουμε όπως έχουμε μάθει. Επειδή η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος όπως είδαμε ανάγεται στην επίλυση γραμμικού συστήματος, προκύπτει ότι και ένα γραμμικό σύστημα είτε έχει ακριβώς μια λύση, είτε είναι αδύνατο (καμία λύση), είτε είναι αόριστο (άπειρες λύσεις).

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6 Προσθέτω κατά μέλη και έχω : 8 και αντικαθιστώ στη :. Τέλος τα, που βρήκα τα αντικαθιστώ στην. Άρα ) (,, ),, ( ii.,(),(),() διαλέγω την () και θα λύσω ως προς. Δηλαδή : ) : (. Αντικαθιστώ την τιμή του στις άλλες και έχω : ) ( ) ( Προέκυψε δηλαδή σύστημα άρα : ) ( Προσθέτω κατά μέλη και έχω : 0. Άρα το σύστημα είναι αδύνατο. iii. ή ώ 6 6 6,() 0,() 6,() διαλέγω την () και θα λύσω ως προς. Δηλαδή : 6 6 ) : (. Αντικαθιστώ την τιμή του στις άλλες και έχω : ) ( 0 6) ( Προέκυψε δηλαδή σύστημα άρα : 0 0 ) ( 0 0 Προσθέτω κατά μέλη και έχω : 0 0. Άρα το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Έχω,() 0,() 0 6,(), παρατηρώ δηλαδή ότι οι () και () ταυτίζονται άρα : 0 6. Από τη () έχω : 0, αντικαθιστούμε το στην () και έχω : 6 ) ( Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής : ), 6, (0 ),, ( z όπου.

18 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6. Να λύσετε το σύστημα 6. Να λύσετε το σύστημα 6. Να λύσετε το σύστημα 66. Να λύσετε το σύστημα 67. Να λύσετε το σύστημα w w 7 w Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα (Σ) με αγνώστους,. D D D D, D, D ισχύουν τα εξής : D D D 8. Να βρείτε τα,. D 8D D 8 Για τις ορίζουσες 69. Να λύσετε τα συστήματα: z 0 i. z z z iii. z z z ii. z z z iv. z z Να λύσετε τα συστήματα: i. z z ii. z z 0 z iii. z 0 z 0 z 0 z 0 iv. z 0 z 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

19 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Να λύσετε τα συστήματα: i z z z ii z z z ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Να λύσετε τα συστήματα : i. ( ) : w w ii. 0 iii. 7. Να λύσετε τα συστήματα : i ii Να λύσετε τα συστήματα : i. 7 ii Να λύσετε τα συστήματα : i. 6 ii. 9 iii. iv. 6 v. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ Ορισμένα συστήματα, αν και δεν είναι γραμμικά, μπορούν με κατάλληλο τέχνασμα να μετατραπούν σε γραμμικά. Ένα τέτοιο τέχνασμα συνήθως είναι η αντικατάσταση. Αντικαθιστούμε κάποιον ή κάποιους όρους του συστήματος που βρίσκονται και στις δυο εξισώσεις, με έναν νέο άγνωστο και έτσι οδηγούμαστε σε ένα νέο σύστημα που είναι όμως γραμμικό. Λύνουμε το νέο σύστημα και στη συνέχεια, επιστρέφοντας στις αρχικές σχέσεις, βρίσουμε τις λύσεις του αρχικού συστήματος. Σε άλλες περιπτώσεις μπορούμε να προσθέσουμε όλες ή μερικές από τις εξισώσεις του συστήματος και με αντικατάσταση να βρούμε ευκολότερα τη λύση του δοσμένου συστήματος.

20 vi. vii. viii Δίνονται οι αριθμοί α,β και γ με : 0 και 0. Να εκφράσετε τα α,β ως συνάρτηση του γ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι : 6. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Για τη λύση προβλημάτων, που ανάγονται σε συστήματα με δυο ή περισσότερους αγνώστους, αρχικά σχηματίζουμε τις αξιώσεις από τα δεδομένα του προβλήματος και σχηματίζουμε το σύστημα που προκύπτει. Θέτουμε περιορισμούς για τους αγνώστους εφόσον είναι απαραίτητο και στη συνέχεια λύνουμε το παραπάνω σύστημα. Τέλος επαληθεύουμε τις λύσεις που έχουμε βρει με τους περιορισμούς που έχουμε θέσει. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 77. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε το μισό της ζωής του, ενώ αν πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, θα βασίλευε το 8 της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε και πόσα χρόνια βασίλευε ο Μέγας Αλέξανδρος. 78. Ένας μαθητής απάντησε σε ένα τεστ με 0 ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση έπαιρνε μονάδες, ενώ για κάθε λανθασμένη του αφαιρούνταν δυο μονάδες. Αν συνολικά συγκέντρωσε 0 μονάδες, σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά και σε πόσες λανθασμένα; 79. Ένα ξενοδοχείο έχει 0 δωμάτια, δίκλινα και τρίκλινα, και μπορεί να φιλοξενήσει μέχρι και 80 άτομα. Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια; 80. Σε μια εκδήλωση ο αριθμός των γυναικών που συμμετέχουν είναι διπλάσιος από τον αριθμό των ανδρών. Μια ώρα μετά την έναρξη της εκδήλωσης αποχωρούν δέκα ζευγάρια. Ο αριθμός των ανδρών που απομένουν είναι ισος με τα 9 του αριθμού των γυναικών που απομένουν. Να βρείτε τον αριθμό των ανδρών και των γυναικών που συμμετείχαν αρχικά στην εκδήλωση. 8. Ο Δημήτρης, ο Γιώργος και ο Ανέστης θέλουν να αγοράσουν με τα χρήματα τους ένα δώρο για τη Μαριάννα. Τα χρήματα του Δημήτρη και του Γιώργου μαζί είναι κατά 0 περισσότερα από τα χρήματα του Ανέστη. Τα χρήματα του Γιώργου και του Ανέστη είναι κατά 60 περισσότερα από τα χρήματα του Δημήτρη και τέλος τα χρήματα του Δημήτρη και του Ανέστη είναι κατά 0 περισσότερα από τα χρήματα του Γιώργου. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας; Πόσο κοστίζει το δώρο της Μαριάννας; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

21 . ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Για την επίλυση των μη γραμμικών συστημάτων συνήθως χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. Λύνουμε δηλαδή τη φαινομενικά πιο «εύκολη» από τις δυο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο, και αντικαθιστούμε την τιμή που βρήκαμε στην άλλη. Τα παρακάτω λυμένα παραδείγματα θα μας βοηθήσουν να καταλάβουμε καλύτερα τον τρόπο λύσης τους. Προσοχή : επειδή το σχολικό βιβλίο αναφέρεται σε γεωμετρική ερμηνεία των εξισώσεων καλό θα είναι να γνωρίζουμε ότι εξισώσεις της μορφής : παριστάνουν ευθεία παριστάνουν κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ ή παριστάνουν παραβολή ή παριστάνουν υπερβολή. Λεπτομέρειες για τα παραπάνω θα διδαχτούμε στα μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 7 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε το σύστημα Λύση :,() διαλέγω τη φαινομενικά πιο «εύκολη» ( ) :,() και λύνω ως προς. Στη συνέχεια αντικαθιστώ στην () την τιμή του που βρήκα και έχω: () : ( ) ( ) 0,, ( ) ( ) 8 9, ( ) 9 ή Αν τότε λόγο της () : Αν τότε λόγο της () : άρα (, ) (, ) άρα (, ) (, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ (Άσκηση σελ. 7 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τα συστήματα : i. ii. 0 9 iii. και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα. Λύση : i.,(),(), Η () λόγο της () γίνεται : () : Αν τότε λόγο της 9 () : άρα, ), ( Γεωμετρικά η ) : ( παριστάνει παραβολή, ενώ η ) : ( παριστάνει ευθεία. Το σύστημα τους έχει μόνο μια λύση, αυτό σημαίνει ότι η παραβολή και η ευθεία έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το,, δηλαδή η ευθεία εφάπτεται στην παραβολή στο σημείο,. ii. 0,() 9,(), Έχω 0 ) : (. Άρα η () λόγο της () γίνεται : () : Αν τότε λόγο της ) : ( άρα, ), ( Αν τότε λόγο της ) : ( άρα, ), ( Γεωμετρικά η 9 () : παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=, ενώ η 0 ) : ( παριστάνει ευθεία. Το σύστημα τους έχει λύσεις, αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος και η ευθεία έχουν δυο κοινά σημεία, και, δηλαδή η ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία, και,. iii.,(),() Έχω () : 0. Άρα η () λόγο της () γίνεται : 0 () :

23 Η τελευταία εξίσωση είναι «διτετράγωνη» οπότε θέτω άρα γίνεται : 0, ή, Αν Αν τότε λόγο της () : Αν τότε λόγο της () : Αν Αν τότε λόγο της () : άρα (, ), άρα (, ), άρα (, ), Αν τότε λόγο της () : (, ), Γεωμετρικά η () : παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα, ενώ η ( ) : παριστάνει υπερβολή. Το σύστημα τους έχει λύσεις, αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος και η υπερβολή έχουν κοινά σημεία,,,,, και, δηλαδή ο κύκλος και η υπερβολή τέμνονται στα σημεία,,,,,., και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε το σύστημα 7 άρα. Να λύσετε το σύστημα. Να λύσετε το σύστημα 0 6. Να λύσετε το σύστημα 7. Να λύσετε το σύστημα i. Αλγεβρικά ii. Γραφικά 8. Να λύσετε τα συστήματα: i. 0 ii. 60 iii. 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24 9. Να λύσετε αλγεβρικά και γραφικά τα συστήματα: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ i. ii. 0. Να λύσετε το σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.. Να λύσετε το σύστημα και να ερμηνεύσετε γραφικά το αποτέλεσμα.. Να βρείτε τα κοινά σημεία της παραβολής = και της ευθείας =+. Να βρείτε τα κοινά σημεία της παραβολής = και της υπερβολής 7. Να λύσετε τα συστήματα: i. 0 0 ii. 9. Να λύσετε το σύστημα: 6. Να λύσετε τα συστήματα: i. 9 8 ii. 6 iii. 6 iv. 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

25 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 690 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 0) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 69 Δίνεται η εξίσωση: 8 7 () α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την εξίσωση (). (Μονάδες 0) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 697 Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6960 α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών (ε) και(η). (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δίνεται το σύστημα: με παραμέτρους,, α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, ) (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

26 ΘΕΜΑ 760 Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος cm, πλάτος cm, περίμετρο ίση με 8cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά cm και μειώσουμε το πλάτος του κατά cm, θα προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων, του ορθογωνίου. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 76 Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις 0 το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 80 και το πλήθος των τροχών τους.700. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 768 ( ) Δίνεται το σύστημα: με παράμετρο R. ( ) 6 α) Αν, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Να βρείτε μια λύση. (Μονάδες 8) β) Αν, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 8) γ) Αν 0, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 770 : Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις:, με παράμετρο R : ( ) 6. α) Να βρείτε την τιμή του R β) Να παραστήσετε γραφικά τις γ) Υπάρχει τιμή του R ώστε οι ευθείες και και, για, ώστε οι ευθείες και να είναι παράλληλες. (Μονάδες 8). (Μονάδες 8) να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 7709 :, : 9, : 7. Δίνονται οι ευθείες α) i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των,. ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των, β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α), να δείξετε ότι το κοινό σημείο των σημείο της. (Μονάδες ) και είναι (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 777 Ένα θέατρο έχει σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια από τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει καθίσματα και η κάθε μια από τις σειρές του πάνω διαζώματος έχει 6 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 7 καθίσματα. α) Αν, ο αριθμός σειρών του κάτω και o αριθμός σειρών του πάνω διαζώματος, να εκφράσετε τα δεδομένα του προβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων. (Μονάδες ) β) Πόσες σειρές έχει το πάνω και πόσες το κάτω διάζωμα; (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 77 : 6, :. Δίνονται οι ευθείες: α) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ. (Μονάδες ) β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, η ευθεία διέρχεται από το Μ. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

27 ΘΕΜΑ Δίνεται το σύστημα: με παραμέτρους,,. α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος,. (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 868 Δίνεται το σύστημα:, με παραμέτρους,,. α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος,. (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 78., με εξισώσεις ( ), ( ) αντίστοιχα και Δίνονται οι ευθείες α) Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών. (Μονάδες ), τέμνονται, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου β) Στην περίπτωση που οι ευθείες τομής Α των δύο ευθειών. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία το σημείο Α ανήκει στην ευθεία με εξίσωση:. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 789. Δίνεται το σύστημα:, με παράμετρο. α) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την 0 0,, τότε 0 0. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το σύστημα: i. έχει άπειρες σε πλήθος λύσεις και να δώσετε τη μορφή τους. (Μονάδες 6) ii. δεν έχει λύση. (Μονάδες ) γ) Να εξετάσετε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών που προκύπτουν από τις εξισώσεις του παραπάνω συστήματος για,,. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 09 Δίνονται οι ευθείες ( ) : και ( ) :. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει του λ. (Μονάδες ) β) Για ποια τιμή του λ οι δύο ευθείες είναι παράλληλες; (Μονάδες 6) γ) Αν οι ευθείες ( ) και ( ) ταυτίζονται, να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι παράλληλες. (Μονάδες 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

28 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 769 α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα. (Μονάδες ) β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα α). (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 78. Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω: Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού. Ο λόγος της ηλικίας το πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με. Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και των τριών ισούται με χρόνια. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 780. Ο Κώστας έχει τρία παιδιά. Δύο δίδυμα κορίτσια και ένα αγόρι. Στην ερώτηση πόσων χρονών είναι τα παιδιά του απάντησε ως εξής.. Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι. Το γινόμενο της ηλικίας της κόρης μου επί την ηλικία του γιου μου είναι. Το άθροισμα των ηλικιών των κοριτσιών είναι μικρότερο από την ηλικία του αγοριού. α) Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν τα στοιχεία. και. που έδωσε ο Κώστας. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του Κώστα. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ α) Να λύσετε το σύστημα ( ) :. (Μονάδες 0) 6 β) Είναι οι λύσεις του συστήματος (Σ ) λύσεις και του ( ) : ; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 7) γ) Είναι οι λύσεις του συστήματος (Σ ) λύσεις και του (Σ ); Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

29 . ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και περιέχει τις δυνατές τιμές που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή. (το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f το συμβολίζουμε συνήθως όλες τις τιμές της () f ). Το σύνολο Β λέγεται σύνολο τιμών της f και περιέχει D f ή f για τα αντίστοιχα ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P( ) Q ( ) 0 f ( ) Q( ) f ( ) v P( ) P ( ) 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) 6 v. f ( ) vi. f ( ) vii. f ( ) Λύση : i. Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D ii. Πρέπει : 0. Άρα D f 0 &. Άρα D, iii. Πρέπει : iv. Πρέπει : Άρα D (,6] v. Πρέπει : 0 και 0. Άρα D [,) (, ) f f f f ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

30 vi. 0 Πρέπει : [, ]. Άρα D f 0 [, ] vii. Πρέπει : 0 () και 0 () Έχω Άρα επειδή θέλω 0 [, ] () Από () & () D [,0) (0, ]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : f. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 i) f ( ) 7 ii) f ( ) iii) f ( ) iv) 8 f ( ) v) f ( ) vi) f ( ) vii) f ( ) 8. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 6 i) f ( ) ii) f ( ) iii) f ) iv) f ( ) v) f ( ) vi) f ( ) vii) f ( ). Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 i) f( ) ii) f( ) iii) g ( ) 8 9 iv) g ( ) v) h ( ) vi) h ( ) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: i) f ( ) ii) f( ) iii) 6 0 iv) g ( ) v) h ( ) 7 6 ( g ( ) vii) h( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

31 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,, με, ισχύει : f ( ) f ( ) (Δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία f ( ) f ( ) ) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,, με, ισχύει : f ( ) f ( ) (Δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία f ( ) f ( ) ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. Να βρείτε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων : i. f ( ) 7 ii. f ( ) 7 Λύση : i. f ( ) 7, Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D Έστω D f, τότε έχουμε : 7 7 f ( ) f ( ) άρα η f () είναι γνησίως αύξουσα στο D f ii. f ( ) 7, Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D Έστω, D f με, τότε έχουμε : 7 7 f ( ) f ( ) άρα η f () είναι γνησίως φθίνουσα στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : D f 7. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i. f ( ) 6 ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) 6 v. f ( ) vi. f ( ) vii. f ( ) f f 8. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση,0 f ( ) στο διάστημα 9. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

32 0. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση.να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f( ) ( ) f ( ) f ( ), στο (,). Έστω η συνάρτηση f:r R η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g()=+f() είναι γνησίως αύξουσα.. Έστω δυο συναρτήσεις f,g:r R. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση g()=f(-+).. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, να λυθούν οι ανισώσεις : i. f ( ) f ( ) ii. f ( ) f ( ) 6. Μια συνάρτηση f : είναι γνησίως μονότονη με f ( 008) f (00). i. Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f. ii. Να λυθεί η ανίσωση f ( ) f ( ). 7. Μια συνάρτηση f : είναι γνησίως μονότονη με f ( 007) f (000). i. Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f. ii. Να λυθεί η ανίσωση f ( ) f ( ). 8. Έστω ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f:r R τέμνει τον άξονα στο. Να λύσετε την ανίσωση f( -)<, i. αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ii. αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R 9. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R, να λύσετε τις εξισώσεις: i. f()=f() ii. f( )-f(-)=0 0. Αν μια συνάρτηση f:r R είναι γνησίως αύξουσα και η C f τέμνει τον άξονα στο -, να δείξετε ότι η C f τέμνει το θετικό ημιάξονα O.. Έστω f:r R μια συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αύξουσα. Να δείξετε ότι: i. f()+f()<f()+f(6), για κάθε >0 ii. f()+f( )>f( )+f( ), για κάθε (0,).. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, να δείξετε ότι f ( a ) f ( a).. Έστω η συνάρτηση f : γνησίως μονότονη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,) i. Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f. f ii. Να λυθεί η ανίσωση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

33 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) μέγιστο όταν : f ) f ( ) για κάθε 0 ( 0 Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο όταν : f ) f ( ) για κάθε 0 ( 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : i. Η συνάρτηση f ( ) 6 0 παρουσιάζει ελάχιστο για ii. Η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει μέγιστο για Λύση : i. f ( ) 6 0 Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D ii. Για να παρουσιάζει η f () ελάχιστο για, αρκεί να αποδείξουμε ότι f ( ) f () για κάθε D. Έχω : f ( ) f () f ( ) 0 που ισχύει. f ( ), πρέπει 0 που ισχύει για κάθε. Άρα δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D f Για να παρουσιάζει η f () μέγιστο για, αρκεί να αποδείξουμε ότι f ( ) f () για κάθε D. Έχω : f 0 f ( ) f () 0 ( ) 0 που ισχύει. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 0 f. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. Έστω μια συνάρτηση f:a R i. Αν για κάθε A, ισχύει f() f( 0 ), τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0. ii. Αν Α = (α, β), 0 A, η f είναι γν. φθίνουσα στο (α, 0 ], και γν. αύξουσα στο [ 0,β), τότε η f έχει ελάχιστη τιμή το f( 0 ). iii. Αν Α = [α, β] και η f είναι γν. φθίνουσα, τότε η f έχει μέγιστο το f(α) και ελάχιστο το f(β). iv. Αν f(a)=[κ, λ), τότε η μέγιστη τιμή της f είναι το κ., και η f είναι γν. μονότονη, τότε η f έχει ολικό ακρότατο. v. Αν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

34 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6. Να δείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο 0. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ f ( ), με πεδίο ορισμού f ( 0, ), 7. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f( ) για. παρουσιάζει μέγιστο για και ελάχιστο 8. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει μέγιστο στο. 9. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει ελάχιστο στο 0. Ποιο είναι το ελάχιστο της f; 6 0. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει ελάχιστο στο 0. Ποιο είναι το ελάχιστο της f;. Να βρείτε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων: i. f()= - - ii. f()=-(+). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii. Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία iii. Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της f iv. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. Έστω f:r R μια συνάρτηση η οποία παρουσιάζει ελάχιστο το μόνο στο. Αν ισχύει f(α)+f(β)+ γ 6, να βρείτε τα α, β, γ.. Για τη συνάρτηση f του παρακάτω σχήματος, να βρείτε : 0 i. τα ακρότατα ii. τα διαστήματα μονοτονίας iii. τις λύσεις της ανίσωσης f ( ) 0 iv. τις λύσεις της εξίσωσης f ( ) 0 v. την τιμή f (0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

35 . Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : i. να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii. να βρείτε το σύνολο τιμών της f iii. να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ iv. να βρείτε για ποια τιμή του η f παίρνει την ελάχιστη τιμή της v. να λύσετε γραφικά την εξίσωση f ( ) vi. να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε ισχύει : και f ( ) f ( ). Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα. Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε ισχύει : και f ( ) f ( ). Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές. i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f( ) v. f ( ) vi. ( f 6 ) Λύση : i. D f, για κάθε D f είναι και D f. Επίσης : f( ) ( ) ( ) f( ) για κάθε D f. Άρα η f είναι άρτια. ii. iii. D f, για κάθε D f είναι και D f. Επίσης : f( ) f( ) για κάθε D f. Άρα η f είναι άρτια. D f, για κάθε D f είναι και D f. Επίσης : f ( ) ( ) δεν βγαίνει ούτε f () ούτε f (). Άρα η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

36 iv. D f f, για κάθε D f είναι και D f. Επίσης : ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) για κάθε f είναι περιττή. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ D f. Άρα η v. Πρέπει 0 D f, για κάθε D f είναι και D f. ( ) Επίσης : f ( ) δεν βγαίνει ότι ούτε f () ούτε f (). Άρα η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. vi. Πρέπει 0 άρα που ισχύει για κάθε, άρα D, για κάθε f 6 D f6 είναι και ( ) D f6. Επίσης : f6( ) f6( ). Άρα η f είναι ( ) περιττή. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 7. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. Έστω μια συνάρτηση f: Α R i. Αν η f είναι άρτια, τότε για κάθε A, είναι f(-)= ii. Αν η f είναι περιττή, τότε για κάθε A, είναι f(-)= iii. Αν η f είναι περιττή και 0 Α, τότε f(0)=.. iv. Αν η f είναι άρτια, τότε η C f έχει συμμετρίας.. v. Αν η f είναι περιττή, τότε η C f έχει συμμετρίας 8. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. Αν μια συνάρτηση f:a R είναι περιττή, τότε f()+f(-)=0, για κάθε A. ii. Αν για μια συνάρτηση f: R R ισχύει, f()-f(-)=0, για κάθε R, τότε η f είναι άρτια. iii. Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει άξονα συμμετρίας τον, τότε είναι περιττή. iv. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η f δεν είναι άρτια. 9. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. Η συνάρτηση f: (-,] R με f()= είναι άρτια. ii. Η συνάρτηση f() = είναι περιττή. iii. Αν μια συνάρτηση f: (α, β) R είναι περιττή, τότε α+β=0 iv. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 0. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές.. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές. i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f( ). Δίνεται η συνάρτηση f( ) i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να δείξετε ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας το Ο(0,0).. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι άρτιες ούτε περιττές. i. f: (-,) R με f()= ii. f( ) iii. f ( ). Έστω f:r R μια συνάρτηση η οποία είναι περιττή και η C f διέρχεται από το σημείο Α(-,). Να δείξετε ότι f(0)-f()=. Έστω f:r R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει f(+)=f()+f(), για κάθε, R. i. Να βρείτε την τιμή f(0) ii. Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. 6. Δίνεται η συνάρτηση f ( ). i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii. Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή. iii. Να βρείτε τις συμμετρικές της γραφικής παράστασης της f. iv. Να βρείτε το ελάχιστο της f. 7. Έστω f:r R μια συνάρτηση η οποία είναι άρτια. Να δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

38 . ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f ( ) ( ) c, όπου c 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f ( ) ( ) c, όπου c 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : ( ), f ( ), g ( ) Λύση : Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα πάνω. Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα κάτω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

39 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f ( ) ( c), όπου c 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f ( ) ( c), όπου c 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : ( ), h ( ), q ( ) Λύση : Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης h ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα αριστερά. Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης q ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα δεξιά. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

40 ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αν έχω f ( ) ( c), μετατοπίζω τη γραφική παράσταση της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά και κ μονάδες πάνω Αν έχω f ( ) ( c), μετατοπίζω τη γραφική παράσταση της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά και κ μονάδες κάτω Αν έχω f ( ) ( c), μετατοπίζω τη γραφική παράσταση της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά και κ μονάδες πάνω Αν έχω f ( ) ( c), μετατοπίζω τη γραφική παράσταση της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά και κ μονάδες κάτω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : ( ), F ( ), G ( ) Λύση : Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης F ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα αριστερά και μονάδα προς τα πάνω. Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης G ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδα προς τα κάτω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

41 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f()= g()= + h()= -. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f()= g()= - h()= + 6. Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: φ()= f()= - + g()= Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f()= g()= - + h()= + - φ()= Να βρείτε ποιες μεταφορές έχουν γίνει στη συνάρτηση f ώστε να προκύψει η συνάρτηση g στις παρακάτω περιπτώσεις : i. g ( ) f ( ) ii. g ( ) f ( ) iii. g ( ) f ( ) 9. Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δυο διαφορετικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f : i. κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδες προς τα πάνω ii. κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδες προς τα κάτω iii. κατά μονάδες προς τα αριστερά και μονάδα προς τα πάνω iv. κατά μονάδα προς τα αριστερά και μονάδα προς τα κάτω [,] 0. Έστω η συνάρτηση φ()= Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: φ(), f()=φ()+ και g()=φ(-).. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f()= - και g()=- και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f και C g.. i. Να λύσετε την εξίσωση - = + ii. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f()= - και g()= + iii. Να λύσετε γραφικά την ανίσωση - < + και να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα.. Δίνεται η συνάρτηση φ()= -+. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δυο διαδοχικές μετατοπίσεις της C φ. i. Κατά μονάδες αριστερά και κατά μονάδες προς τα πάνω ii. Κατά μια μονάδα δεξιά και κατά μονάδες προς τα κάτω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

42 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ. ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 696. Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης A, και B,9. f : διέρχεται από τα σημεία α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την απάντησή σας.(μονάδες ) f. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την ανίσωση ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση, f ( ), α) Να δείξετε ότι η f (). (Μονάδες 8) β) Είναι το η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το. Να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους f ( ), f ( ), f ( ). (Μονάδες 0) β) Είναι η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 0) γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 77. Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση τα σημεία A, και B,. f :, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες ) β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο, να δείξετε ότι f(0) 0. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

43 ΘΕΜΑ 679 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράστασης της συνάρτησης f (), (,). α) Είναι η f άρτια ή περιττή; Να αποδείξετε αλγεβρικά τον ισχυρισμό σας. (Μονάδες 7) β) Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της f, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε τις θέσεις των ακρότατων της f. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f () 8 8 ΘΕΜΑ ο α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες ) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή. (Μονάδες 8) γ) Αν η συνάρτησης f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. (Μονάδες 7) δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g() f () και h() f δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 099 Η περιβαλλοντική ομάδα ενός σχολείου παρέλαβε συρματόπλεγμα μήκους 0 m για να περιφράξει, χρησιμοποιώντας όλο το συρματόπλεγμα, έναν ορθογώνιο κήπο για καλλιέργεια λαχανικών. Οι μαθητές της περιβαλλοντικής ομάδας θέλουν να επιλέξουν ένα κήπο που να έχει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο εμβαδόν. α) Να δώσετε τις διαστάσεις τριών διαφορετικών ορθογώνιων κήπων με περίμετρο 0 m. Να εξετάσετε αν οι τρεις λαχανόκηποι έχουν το ίδιο εμβαδόν. (Μονάδες 7) β) Αν συμβολίσουμε με το πλάτος και με Ε το εμβαδόν ενός λαχανόκηπου με περίμετρο 0 m, να εκφράσετε το Ε ως συνάρτηση του. (Μονάδες 8) γ) Να δείξετε ότι E() ( 0) 00. Χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση της συνάρτησης f (), να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της Ε(). Από τη γραφική παράσταση της Ε() να βρείτε τις διαστάσεις του λαχανόκηπου με το μεγαλύτερο εμβαδόν. (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

44 ΘΕΜΑ 776 Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κουτί από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις dm και 8 dm, κόβουμε ίσα τετράγωνα, πλευράς, από κάθε γωνία του και γυρίζουμε προς τα πάνω τις πλευρές του (Σχήμα ). α) Να δείξετε ότι ο όγκος V του κουτιού εκφράζεται ως συνάρτηση του με τον τύπο V() 6 0. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει το στο πλαίσιο του προβλήματος. (Μονάδες ) γ) Να βρείτε τις διαστάσεις (εκφρασμένες σε dm με ακέραιους αριθμούς) του κουτιού αν γνωρίζουμε ότι ο όγκος του είναι 8 dm. (Μονάδες 7) δ) Στο σχ. δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης V() 6 0 για (0,.). Χρησιμοποιώντας το σχήμα να βρείτε ποιος είναι ο μεγαλύτερος όγκος που μπορεί να έχει το κουτί. Στη συνέχεια να υπολογίσετε αλγεβρικά τις διαστάσεις του κουτιού με το μεγαλύτερο όγκο. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 696. Δίνεται η συνάρτηση f ( ),. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ. ΘΕΜΑ ο α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f (). (Μονάδες ) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, μετατοπίζοντας κατάλληλα την. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

45 ΘΕΜΑ 86. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι παραβολές C f και C g που είναι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το. Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση. Παρατηρώντας το σχήμα: α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιμή του. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της Cf προκύπτει η C g. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 86. Δίνεται η συνάρτηση f () 9. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή: f (). (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

46 β) Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(). Στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της g. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ f ( ) c d, ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση: παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία, με c,d θετικές σταθερές, η γραφική A 0,6,B,0. α) Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους τους c,d και να υπολογίσετε την τιμή τους. (Μονάδες 0) β) Θεωρώντας γνωστό ότι c 6 d. i. να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες. (Μονάδες ) ii. να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή σχετίζεται με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(). (Μονάδες 6) iii. με βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης f, τα διαστήματα στα οποία η f είναι μονότονη, καθώς και το είδος της μονοτονίας της σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. (Μονάδες 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

47 ΘΕΜΑ 09 Δίνεται η συνάρτηση f (),, R. α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(, 8), να δείξετε ότι και. (Μονάδες 8) β) Αν g() είναι η συνάρτηση που προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f οριζόντια κατά μονάδα προς τα αριστερά και κατακόρυφα κατά μονάδες προς τα κάτω, να βρείτε τον τύπο της g. (Μονάδες 9) γ) Αν h() ( ) είναι η συνάρτηση που προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f οριζόντια κατά κ μονάδες προς τα δεξιά και κατακόρυφα κατά μονάδες κάτω, να βρείτε το κ ( 0). (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

48 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ όπου η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Για έναν σύντομο κατά προσέγγιση υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο, ο κύκλος δηλ. που έχει κέντρο Ο και ρ=. Σύμφωνα με τα παραπάνω θα ισχύει : (ή ) (ή ). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

49 ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Από τον τριγωνομετρικό κύκλο προκύπτουν και τα πρόοσημα των τριγωνομετρικών αριθμών όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Οι γωνίες εκτός από μοίρες, μετριούνται και με ακτίνια (rad). Ένας κύκλος είναι π rad, οπότε προκύπτει ο τύπος που μετατρέπει τις μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα για μια γωνίας ω : όπου η γωνία ω είναι και α rad. π.χ. η γωνία 0 είναι rad Έτσι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών του ο τεταρτημορίου δίνονται από τον παρακάτω πίνακα : Γωνία ω 0 ή 0rad ημω 0 συνω εφω 0 0 ή rad 6 ή rad σφω Δεν ορίζεται 60 ή rad 90 ή rad 0 Δεν ορίζεται 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

50 ΕΝΑΣ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΙΝΑΚΑ ο ΒΗΜΑ : Αρχικά γραφούμε : 0 ή Γωνία ω 0rad 0 ή rad 6 ή rad 60 ή rad 90 ή rad ημω συνω εφω σφω ο ΒΗΜΑ : Συμπληρώνουμε κάτω από τις ρίζες κατά σειρά τους αριθμούς 0,,,, και υπολογίζουμε το κάθε αποτέλεσμα. 0 ή 0 ή ή 60 ή 90 ή Γωνία ω 0rad rad rad rad rad ημω 0 συνω εφω σφω ο ΒΗΜΑ : Οι τιμές του συνω είναι «ανάποδες» από τις τιμές του ημω 0 ή 0 ή ή 60 ή Γωνία ω 0rad rad rad rad 6 ημω 0 συνω 90 ή rad 0 εφω σφω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

51 ο ΒΗΜΑ : Για την εφω ισχύει : άρα : 0 ή 0 ή ή Γωνία ω 0rad rad rad 6 ημω 0 συνω εφω 0 0 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 60 ή rad 90 ή rad 0 0 δεν ορίζεται σφω ο ΒΗΜΑ : Οι τιμές της εφω είναι «ανάποδες» από τις τιμές της σφω 0 ή 0 ή ή 60 ή Γωνία ω 0rad rad rad rad 6 ημω 0 συνω εφω 0 σφω δεν ορίζεται 90 ή rad 0 δεν ορίζεται 0 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ 0,90,80, 70 ή 0 0, 90, 80 0, 70 0, 90 0, 80, 70 0 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ «ΜΕΓΑΛΩΝ» ΓΩΝΙΩΝ 0,,, ( 60 ) ή σε ακτίνια ( ) ( ( ) ) ή σε ή σε ακτίνια ακτίνια ( ( ) ) ( ( ) ) ή σε ή ακτίνια σε ακτίνια ( ( ) ) ( 60 ) ή σε ακτίνια ( ( ) ) ( 60 ) ή σε ακτίνια ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

52 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη, και τη γωνία ω. Λύση : Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ορθογώνιο άρα : Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ορθογώνιο άρα : 6 άρα. Επίσης (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να εκφράσετε σε rad γωνία : i. 0 ii. 0 iii. 60 iv. 8 Λύση : i. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για rad. Άρα 0 rad ii. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για 80 0 rad. Άρα 0 rad 80 iii. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για rad. Άρα 60 7 rad 80 iv. Χρησιμοποιούμε τον τύπο για και έχω : 0 και έχω : 60 και έχω : και έχω : rad. Άρα 8 rad ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

53 . (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία : i. 9 rad ii. rad iii. rad 0 6 iv. 00 rad Λύση : i. Γνωρίζουμε ότι rad 60 rad rad 0 ii. 80 rad iii rad iv. Από τον τύπο, 80 για 00, έχουμε : μοίρες. 80. (Άσκηση 6 σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : i. 80 ii. 90 iii. 980 iv. 600 Λύση : i. Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους ( 60 ), ( 60 ), ( 60 ) και ( 60 ) Αν κάνουμε τη διαίρεση 80 : 60 θα βρούμε πηλίκο και υπόλοιπο 0. Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : 80 ( 60 0) 0 80 ( 60 0) 0 80 ( 60 0) 0 80 ( 60 0) 0 ii. Αν κάνουμε τη διαίρεση 90 : 60 θα βρούμε πηλίκο 8 και υπόλοιπο 60. Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : 90 ( ) ( ) ( ) ( ) 60 iii. Αν κάνουμε τη διαίρεση 980 : 60 θα βρούμε πηλίκο και υπόλοιπο 80. Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

54 980 ( 60 80) ( 60 80) ( 60 80) ( 60 80) 80 (δεν ορίζεται) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ iv. Αν κάνουμε τη διαίρεση 600 : 60 θα βρούμε πηλίκο 0 και υπόλοιπο 0. Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : 600 (060 0) (0 60 0) (060 0) (0 60 0) 0 (δεν ορίζεται) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ :. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της γραμμής Α με τα ίσα τους στη γραμμή Β. Γραμμή Α Γωνία ω σε μοίρες Α. 0 0 Β. 0 Γ Δ. 0 0 Ε. 0 ΣΤ. 0 0 Γραμμή Β Γωνία ω σε rad Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Γωνία ω Πρόσημο ημω συνω εφω σφω 7. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. ημ00 0 >0 ii. 0 iii. ημ>0 iv. συν<0 v. ημ>0 vi. εφ6>0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο μήκους 0cm. Να εκφράσετε τη γωνία ω σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=cm. 9. Να εκφράσετε τη γωνία i. 0 0 σε rad ii. rad σε μοίρες 0. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: i ii. 9 6 rad ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

55 . Αν και, να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: i. Α=συν(+) ii. Β=εφ iii. Γ=ημ(-). Nα δείξετε ότι: ημ+συν. Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος να υπολογίσετε : i. το ύψος ΑΔ ii. τη γωνία φ iii. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.. Να μετατρέψετε σε μοίρες τα τόξα :. Να μετατρέψετε σε ακτίνια (rad) τις γωνίες : 6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : i iii ii Να βρείτε του τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών : i. ii. iii iv. v. vi Να υπολογίσουμε τις τιμές των παραστάσεων : 6 i. 6 ii iii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

56 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ..... και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. Λύση : Έχω Όμως Επίσης : 9 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6 9, άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου 0, άρα και 9. (Άσκηση σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. Λύση : Έχω :

57 Όμως, άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου 0, άρα Επίσης : και ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. (Άσκηση σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad. Λύση : Έχω : Όμως : 9, όμως, άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου 0, άρα. Επίσης. Τέλος. (Άσκηση σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης. Λύση : Έχω :. Από τον τύπο, όμως άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο άρα 0, άρα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

58 Επίσης Τελικά η παράσταση. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. (Άσκηση 7 σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι, τα σημεία (, ) του επιπέδου με και, είναι σημεία κύκλου Ο(0,0) κέντρου και ακτίνας ρ=. Λύση : Αρκεί να αποδείξουμε ότι η απόσταση του σημείου (, ) από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) είναι ιση με. Έχουμε : ( ) ( 0) ( 0) 9( ) 9 ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ (Άσκηση 8 σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν ισχύει και, να δείξετε ότι 9 6. Λύση : Έχω : 9 6 9( ) ( ) ( ) που ισχύει. 7. (Άσκηση 0 σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : i. ii. Λύση : i. Με τον περιορισμό ότι : 0 και 0 έχω : ί ( )( ) ii. που ισχύει. ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 που ισχύει. 8. (Άσκηση σελ. 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : i. ii. Λύση : i. Με τον περιορισμό ότι : 0 και 0 έχω :

59 ( ) ( ) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( ) που ισχύει. ii. Με τον περιορισμό ότι : 0, 0 και 0 ()() έχω : ( ) ( ) ( )( ) ( ) που ισχύει. 9. (Άσκηση σελ. 6 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν να αποδείξετε ότι :. Λύση : Έχω : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) όμως Άρα ( ) ( ). Όμως : ( ) άρα βρισκόμαστε στο ο και στο ο άρα ισχύει 0, οπότε. Επίσης άρα ισχύει 0 και 0. Άρα που ισχύει. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

60 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στη στήλη Β, ώστε να ισχύουν οι ταυτότητες. Στήλη Α Α. ημ ω Στήλη Β. Β. εφω. -συν ω Γ. σφω. Δ. συν ω. Ε. +εφ ω. 6.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. ii. iii. iv. v. 0 0 vi. 0 0 vii. viii. 7 7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Αν και αριθμούς της γωνίας ω., να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς. Αν γωνίας ω. και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της. Αν και 70 0 <ω<60 0, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.. Αν και, να αποδείξετε ότι : i. και ii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

61 6. Για μια γωνία, ισχύει : i. Να αποδείξετε ότι : ii. Να υπολογίσετε τους αριθμούς, και. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Αν είναι, τότε : i. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς,, και. ii. Να βρείτε το τεταρτημόριο στο οποίο καταλήγει το τόξο. 8. Αν είναι, τότε : i. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς,, και. ii. Να βρείτε το τεταρτημόριο στο οποίο καταλήγει το τόξο. 9. Αν για τη γωνία, ισχύει συν +ημ+=0, να βρείτε το ημ. 0. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ(,) του επιπέδου με =συνθ και =ημθ, είναι σημεία κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ=.. Αν =ημθ και =συν θ, θ ρ, να δείξετε ότι τα σημεία Μ(,) ανήκουν σε παραβολή, της οποίας να βρείτε την κορυφή.. Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του, για τις οποίες να ισχύει συγχρόνως ημ= και. Να δείξετε ότι:. Να δείξετε ότι :.. Να δείξετε ότι: 6. Να δείξετε ότι: 7. Να δείξετε ότι: ( ) 8. Αν ημ+συν=α, να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις: i. ημσυν ii. ημ +συν 9. Αν 0<<π, να δείξετε ότι: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 60

62 0. Να αποδείξετε ότι :. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Αν,, να υπολογιστεί η παράσταση : Α =.. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης :.. Να αποδειχθεί ότι : i. ( ) ( ) ii. iii. iv. v. vi. vii. ( ) ( ). Να αποδειχθεί ότι : i. ii. ( ) iii.. Να αποδειχθεί ότι : i. ii. iii. ( ) ( ) iv. ( ) ( ) v. vi. ( ) vii. ( )( ) viii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

63 . ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μέχρι στιγμής γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του ου τεταρτημορίου (δηλαδή γωνιών από 0 90 ή αλλιώς από 0 rad ), όπως δίνονται από τον πίνακα. Θα μάθουμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μεγαλύτερων γωνιών. Αυτή η διαδικασία γίνεται με αναγωγή στο ο τεταρτημόριο. ΑΠΟ ΤΟ Ο ΣΤΟ Ο Δυο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές αν έχουν άθροισμα 80 ή rad. Δηλαδή οι γωνίες και 80 ή και είναι παραπληρωματικές και ισχύει : ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) Δηλαδή : Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς : i. 0 ii. iii. 0 iv. v. vi. 6 Λύση : i. 0 (80 60) 60 ii. (80 ) iii. 0 (80 0) 0 iv. ( ) v. ( ) vi. ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:. Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : i. 0 ii. iii. 0 iv. v. vi. 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

64 ΑΠΟ ΤΟ Ο ΣΤΟ Ο ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Γωνίες που διαφέρουν κατά οποίες ισχύει : 80 ή rad είναι οι και 80 ή και για τις ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) Δηλαδή : Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 80 ή rad, έχουν ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς : 7 i. 0 ii. iii. 0 iv. v. vi. 6 Λύση : i. 0 (80 0) 0 ii. (80 ) iii. 0 (80 60) 60 iv. ( ) v. 7 ( ) vi. ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:. Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : 7 i. ii. 0 iii. 0 iv. v. vi. 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

65 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΠΟ ΤΟ Ο ΣΤΟ Ο Έστω ότι μια γωνία ω βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο. Τότε η αντίθετη της ω θα βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο και ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) Δηλαδή : Οι γωνίες ω και ω έχουν ίδιο συνημίτονο και αντιθέτους τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς.. Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : i. 0 ii. 00 iii. Λύση : i. 0 (60 0) ( 0) 0 ii. 00 (60 60) ( 60) 60 iii. (60 ) ( ) ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ( 90 ) Γωνιες με αθροισμα (ή 90 ) δηλαδή συμπληρωματικές, είναι οι και αλλιώς και 90 και ισχύει : ή επίσης ( ) ( ) επίσης ( ) ( ) επίσης ( ) ( ) επίσης ( ) ( ) Δηλαδή : Στις συμπληρωματικές γωνίες το ημίτονο καθεμίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη καθεμίας με τη συνεφαπτομένη της άλλης και αντίστροφα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

66 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στοιχεία της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. ημ(π+θ). ημθ Β. εφ(π-θ). σφθ. ημθ Γ. Δ. σφ(-θ). σφθ Ε. σφ(π+θ). εφθ ΣΤ. συν(-θ) 6. εφθ 7. συνθ 7. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στοιχεία της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. ημ 0. ημ6 0 Β. συν7 0. σφ6 0 Γ. εφ0 0. συν6 0 Δ. σφ 0. ημ8 0. σφ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. ii. iii. iv. ημ0 0 = v. συν0 0 =- vi. συν0 0 = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9. Να απλοποιηθεί η παράσταση : Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

67 Θα απλοποιήσουμε κάθε παράγοντα ξεχωριστά και έχουμε : 0 6 Άρα η τιμή της παράστασης είναι : ( ) ΓΕΝΙΚΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ : 0. (Άσκηση σελ. 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : i. 00 ii. 80 Λύση : i. Αν διαιρέσουμε το 00 με το 60 έχουμε Άρα 00 (60 0) 0 (80 60) (60 0) 0 (80 60) (60 0) 0 (80 60) (60 0) 0 (80 60) 60 ii. Αν διαιρέσουμε το 80 με το 60 έχουμε άρα : ( 80) 80 (760 0) 0 (60 0) ( 0) 0 ( 80) 80 (760 0) 0 (60 0) ( 0) 0 ( 80) 80 (760 0) 0 (60 0) ( 0) 0 ( 80) 80 (760 0) 0 (60 0) ( 0) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 66

68 . (Άσκηση σελ. 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : 87 i. rad ii. rad 6 Λύση : i. Αν διαιρέσουμε το 87 με το 6 έχουμε : 87 6 άρα : 87 (6) (6) (6) (6) ii. Αν διαιρέσουμε το με το έχουμε : άρα : ( ) ( ) ( ) ( ). (Άσκηση σελ. 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι : i. ( ) ii. ( ) 0 iii. iv. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 67

69 Λύση : i. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) Άρα ( ( )) ( ) ii. Ομοίως : ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ iii. Ισχύει : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, άρα : iv. Ομοίως :. (Άσκηση σελ. 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) ( ) (80 ) Να απλοποιήσετε την παράσταση : ( ) (90 ) Λύση : ( ) ( 80 ) ( ) ( 90 ) ( ) (80 ) ( ) Επομένως έχουμε : ( ) (90 ). (Άσκηση σελ. 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) 9 ( ) ( ) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) Λύση : ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 ) 0 9 ( ) ( ) ( ) Επομένως έχουμε : ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 68

70 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ (Άσκηση 6 σελ. 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι έχει σταθερή τιμή η παράσταση : ) ( ) ( ) ( Λύση : ) ( ) ( ) ( ) ( Επομένως έχουμε : ) ( ) ( ) ( 6. (Άσκηση σελ. 7 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : 7 ) (7 ) ( 7 ) (7 ) ( Λύση : ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6 ) 7 ( ) ( ) ( 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6 ) 7 ( ) ( ) ( 7 Επομένως έχουμε : 7 ) (7 ) ( 7 ) (7 ) ( ) ( ) ( ) (.

71 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 7. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, όταν : i. 0 ii. 660 iii. 0 iv Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, όταν : 9 i. ii. iii. iv. v Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, όταν : 89 9 i. ii. iii. iv. v Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : (9 ) (9 ) (9 ) (9 ) i. (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii. ( ) ( ) ( ) ( ). Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) i. ( ) ( ) ( ) ( ) (7 ) (9 ) ii. ( ) ( ) (6 ) (8 ) 7 iii. 7 iv. ( ) ( ) ( ) ( ) v.. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: ( ) ( ) ( ) i. A= ( ) ( ) ( ) (80 ) (90 ) (60 ) ii. B= (60 ) (80 ) (80 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 70

72 . Να υπολογίσετε με τη βοήθεια της γωνίας ω τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: i. ημ(π-ω) ii. συν(π-ω) iii. ( ) iv. ( ). Να υπολογίσετε την παράσταση Α= ( ) ( ). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i ii Να δείξετε ότι: ( ) ( ) Να δείξετε ότι: 8. Να δείξετε ότι: ( ) 0 ( ) 9. Να αποδεδειχθεί ότι : i ii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

73 . ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε να ισχύει ότι : και f ( ) f ( ) και f ( ) f ( ). Ο αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f. Οι πιο γνωστές περιοδικές συναρτήσεις είναι οι f ( ), f ( ), f ( ) τις οποίες και θα μελετήσαμε. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Η συνάρτηση f ( ) έχει πεδίο ορισμού, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι περιττή συνάρτηση άρα ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε (πράγματι : f ( ) ( ) f ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f ( ) στο διάστημα μιας περιόδου Τ=π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : Έτσι προκύπτει και η γραφική παράσταση της συνάρτησης περιόδου Τ=π f ( ) στο διάστημα μιας Επειδή η συνάρτηση f ( ) είναι περιοδική με περίοδο Τ=π η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή και στα διαστήματα [π,π], [π,6π], [-π,0], [-π,-π] κτλ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

74 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση f ( ) με, 0 είναι περιοδική με περίοδο, έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ. Για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της f ( ) δίνουμε στο τις βασικές τιμές 0,,, και αφού όμως πρώτα τις διαιρέσουμε με τον αριθμό ω. Δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης f ( ) : f 0 ( ) γίνεται για την f ( ) : f 0 ( ) και η αντίστοιχη γραφική παράσταση της παίρνει τη μορφή : f ( ) στο διάστημα 0, Παρατηρήσεις : Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση f ( ), τότε σχεδιάζουμε πρώτα την f ( ) και μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της f προς τα πάνω αν α>0 ή προς τα κάτω αν α<0, κατά α μονάδες. Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση f ( ), τότε σχεδιάζουμε πρώτα την f ( ) και μετά παίρνουμε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

75 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων. i. f ( ), g( ) 0,, h( ), 0 Λύση : i. Για τις συναρτήσεις f ( ), g( ) 0,, h( ) ισχύει : άρα σχηματίζουμε τον πίνακα : f ( ) 0 0 g( ) 0, 0 0, 0 0, h( ) Οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας) Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) και στη συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( ) και h( ). Λύση : Η γραφική παράσταση της g( ) προκύπτει αν μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά μια μονάδα προς τα πάνω τη γραφική παράσταση της f ( ), ενώ της h( ) αν μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά μια μονάδα προς τα κάτω τη γραφική παράσταση της f ( ). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

76 . (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f ( ) και g( ) 0 Λύση : Η συνάρτηση g( ) είναι περιοδική με περίοδο, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το. Δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο 6 βασικός πίνακας της συνάρτησης g( ) : g( ) Έτσι οι γραφικές παραστάσεις των f ) ( και g( ) είναι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

77 . (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας) Έστω η συνάρτηση f ( ). Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγο συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. Λύση : Η συνάρτηση f ( ) είναι της μορφής f ( ), με και. Άρα έχει μέγιστη τιμή και ελάχιστη τιμή. Η περίοδος της συνάρτησης είναι, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το ή αλλιώς θα τις πολλαπλασιάσουμε επί δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης f ( ) : 0 0 f ( ) Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f ( ) : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 76

78 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση f ( ) έχει πεδίο ορισμού, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι άρτια συνάρτηση άρα ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε (πράγματι : f ( ) ( ) f ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα. Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f ( ) στο διάστημα μιας περιόδου Τ=π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : Έτσι προκύπτει και η γραφική παράσταση της συνάρτησης μιας περιόδου Τ=π f ( ) στο διάστημα Επειδή η συνάρτηση f ( ) είναι περιοδική με περίοδο Τ=π η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή και στα διαστήματα [π,π], [π,6π], [-π,0], [-π,-π] κτλ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 77

79 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η συνάρτηση f ( ) με, 0 είναι περιοδική με περίοδο, έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ. Για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της f ( ) δίνουμε στο τις βασικές τιμές 0,,, και αφού όμως πρώτα τις διαιρέσουμε με τον αριθμό ω. Δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης f ( ) : f 0 ( ) 0 γίνεται για την f ( ) : 0 0 f ( ) 0 0 και η αντίστοιχη γραφική παράσταση της παίρνει τη μορφή : f ( ) στο διάστημα 0, Παρατηρήσεις : Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση f ( ), τότε σχεδιάζουμε πρώτα την f ( ) και μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της f προς τα πάνω αν α>0 ή προς τα κάτω αν α<0, κατά α μονάδες. Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση f ( ), τότε σχεδιάζουμε πρώτα την f ( ) και μετά παίρνουμε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 78

80 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων. ii. f ( ), g( ) 0,, h( ) 0 Λύση : ii. Για τις συναρτήσεις f ( ), g( ) 0,, h( ) ισχύει : άρα σχηματίζουμε τον πίνακα : f ( ) 0 0 g( ) 0, 0, 0 0, 0 0, h( ) 0 0 Οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων : 6. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f ( ) και g( ) 0 Λύση : Η συνάρτηση g( ) είναι περιοδική με περίοδο, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το. Δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο 6 βασικός πίνακας της συνάρτησης g( ) : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 79

81 0 0 6 g( ) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 0 Έτσι οι γραφικές παραστάσεις των f ( ) και g( ) είναι : 7. (Άσκηση 6 σελ. 8 Α ομάδας) Έστω η συνάρτηση f ( ). Ποια είναι η μεγίστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγο συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. Λύση : Η συνάρτηση f ( ) είναι της μορφής f ( ), με και. Άρα έχει μεγίστη τιμή και ελάχιστη τιμή. Η περίοδος της συνάρτησης είναι, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το ή αλλιώς θα τις πολλαπλασιάσουμε επί δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης f ( ) : 0 0 f ( ) 0 0 Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f ( ) : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 80

82 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Η συνάρτηση f ( ) έχει πεδίο ορισμού /,, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι περιττή συνάρτηση άρα ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε (πράγματι : f ( ) ( ) f ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Ορίζεται στο διάστημα, αλλά και σε κάθε διάστημα της μορφής, στα οποία είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ακρότατα. Τέλος έχει ασύμπτωτες τις κατακόρυφες ευθείες και και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

83 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8. (Άσκηση 7 σελ. 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i. f ( ) ii. g( ) iii. h( ) στο ίδιο σύστημα αξόνων. Λύση : Η γραφική παράσταση της g( ) προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( ) κατά μια μονάδα προς τα πάνω, ενώ της h( ) κατά μια μονάδα προς τα κάτω. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 9. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. i. Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο T, τότε f(+t)=....=. ii. Η συνάρτηση f()=συν έχει σύνολο τιμών το. iii. Η γραφική παράσταση της f()=ημ λέγεται iv. Η συνάρτηση f()=εφ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R ={ R/ } v. Η συνάρτηση f()=ρημω, ρ,ω>0 έχει περίοδο Τ=., μέγιστη τιμή..και ελάχιστη τιμή.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

84 0. i. Να συμπληρώσετε με τα σύμβολα, τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α. Αν f()=ημ, τότε f [0, ]. β. Αν f()=συν,τότε f [, ]. γ. Αν f()=εφ, τότε f (, ). δ. Αν f()=-ημ, τότε f [, ]. ii. Να συμπληρώσετε με τα σύμβολα <, > τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. α. Αν 0<α<β<, τότε συνα συνβ β. Αν 0<α<β<, τότε εφα εφβ γ. Αν <α<β<,τότε ημα ημβ δ. Αν <α<,, τότε ημα ημ ε. συν συν στ. Αν (,), τότε ημ ημ ημ ζ. Αν (, ),τότε εφ εφ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ). i. Η συνάρτηση f()=εφ έχει πεδίο ορισμού το R ii. Η συνάρτηση f()=ημ είναι άρτια. iii. Η συνάρτηση f()=συν έχει σύνολο τιμών το [-,]. iv. Η συνάρτηση f()=συν έχει βασική περίοδο το π. v. Η συνάρτηση f()=εφ έχει σύνολο τιμών το R. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές. i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ). Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες. i. f ( ) ii. f ( ). Να αποδείξετε ότι : i. η συνάρτηση f ( ) έχει περίοδο τον αριθμό Τ=π. ii. η συνάρτηση f ( ) έχει περίοδο τον αριθμό Τ=π. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

85 . Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων : i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 6. Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων : i. f ( ) ii. f ( ) iii. f ( ) iv. f ( ) 7. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i. f ( ), g( ) 0 ii. f ( ), g( ) 0 iii. f ( ), g( ) h( ) iv. f ( ), g( ) h( ) v. f ( ), g( ) h( ) vi. f ( ), g( ) h( ) 8. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f ii. Να βρείτε τα ακρότατα της f iii. Να βρείτε την περίοδο της f iv. Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f καθώς και της συνάρτησης g( ) f ( ) στο ίδιο σύστημα αξόνων. 9. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i. Να βρείτε τα ακρότατα της f ii. Να βρείτε την περίοδο της f iii. Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f iv. Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f v. Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f 0. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ) i. Να αποδείξετε ότι f ( ) και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f ii. Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f iii. Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f iv. Να εξετάσετε αν η εξίσωση f ( ) έχει λύση. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

86 . Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) διέρχεται από το σημείο Μ(π,-) i. Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f ii. Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f. Αν η συνάρτηση f ( ) με, 0 έχει μέγιστο το και περίοδο τον αριθμό Τ=6π, να βρείτε : i. Τον τύπο της συνάρτησης ii. Τις τιμές f ( ) και f. Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) με 0 η οποία έχει μέγιστο το. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και την τιμή του α. ii. Να βρείτε την περίοδο της f iii. Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f καθώς και της συνάρτησης g( ) f ( ) στο ίδιο σύστημα αξόνων. iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) είναι αδύνατη. ( ). Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και ( ) g( ) 6 0. Να βρείτε τις τιμές των κ, λ αν είναι γνωστό ότι έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την περίοδο της g.. Να εξετάσετε, αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιοδικές και να βρείτε την περίοδο τους. i. f()=ημ ii. f()= iii. f()= 6. Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i. f()=ημ ii. f()= - 7. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i. f()=-+ημ ii. f()= 8. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f()= Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f()=ημ 0. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f()= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

87 . Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f()= ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Έστω η συνάρτηση: f()=. i. Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f. ii. Να βρείτε την περίοδο της f. iii. Να κάνετε τον πίνακα μεταβολών και τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους ίσο με τη περίοδο της f. iv. Να λύσετε γραφικά: α) Την εξίσωση f()=0, στο [0,6π] β) Την ανίσωση f()>0, στο [0,6π].. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f()= ημ στο διάστημα [0,π].. Η θερμοκρασία σε βαθμούς κελσίου μιας ημέρας σε ένα χώρο περιγράφεται κατά t προσέγγιση από τη συνάρτηση 0, όπου t ο χρόνος σε ώρες. i. Πόση είναι η μέγιστη μεταβολή της θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια ενός ώρου; ii. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για : 0 t. iii. Ποιες χρονικές στιγμές η θερμοκρασία ήταν: α) 0 0 C β)κάτω από 0 0 C. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές. i. f ( ) ii. f ( ) 6. Αν η συνάρτηση f()=(-α)ημβ, α> και β>0 έχει περίοδο το και μέγιστη τιμή το, να βρείτε τα α και β. 7. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f( ) έχει περίοδο Τ=π. 8. Έστω f:r R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει: f()+f(+α)+f(+α)=0, για κάθε R και α>0. Να δείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο Τ=α. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 86

88 . ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ :,, ΚΑΙ Αν είναι μια λύση της εξίσωσης τότε : ή, Z ( ) Αν είναι μια λύση της εξίσωσης τότε : ή, Z Αν είναι μια λύση της εξίσωσης τότε :, Z Αν είναι μια λύση της εξίσωσης τότε :, Z ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : ΠΩΣ ΔΙΩΧΝΩ ΤΟ «-» (ΜΕΙΟΝ).... ( ) ( ) ( ) ( ) Σε όλους τους παραπάνω τύπους των παραστάσεις της μορφής f ( ), g( ), μπορεί να καταλαμβάνουν διάφορες ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 ii. iii. 0 Λύση : i ή ( iv. ή 0), ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 87

89 ii. iii. iv. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ή ή, 0,,. (Άσκηση σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. iii. iv. Λύση : 6 i. ή ή, 7 6 ii. ή ή, iii., ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 88

90 iv. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ( 0),. (Άσκηση σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 ii. iii. iv. Λύση : i. Επειδή : πρέπει 0 Έτσι έχω : 0 0 0, ii. Επειδή : πρέπει 0 Έτσι έχω :, 6 6 iii. Επειδή : πρέπει 0 0 Έτσι έχω :, iv. Επειδή : πρέπει 0 0 Έτσι έχω :, 6 6. (Άσκηση σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. Λύση : i. Επειδή : πρέπει 0 Έτσι έχω :, ii. Επειδή : πρέπει 0 0 Έτσι έχω :, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 89

91 . (Άσκηση σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( )( ) 0 ii. ( )( ) 0 Λύση : i. ( )( ) 0 0 ή ή, ή 0 ή, ή ii. ( )( ) 0 0 ή ή, ή 0 0 0, 6. (Άσκηση 6 σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( )( ) 0 ii. ( )( ) 0 Λύση : i. Επειδή : πρέπει 0, ( )( ) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 90

92 0, ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ή 0, ii. Επειδή : πρέπει 0, Επειδή : πρέπει 0 0 Έτσι έχω : ( )( ) 0 0, ή 0 ή ή ή ή, ή 0 απορρίπτεται λόγο περιορισμού. 7. (Άσκηση 8 σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. 0 iii. 0 7 Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

93 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9 i. ii. iii. Επειδή : πρέπει :. Έτσι έχουμε :. 8. (Άσκηση 9 σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. iii. Λύση : i. ή ή 9 9 ή, 0 0 ) 0 ( 0, , , ή ή ή,

94 ii. iii. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 9 ή ή ή, 6, (Άσκηση 0 σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 ii. 0 iii. t t Λύση : i. 0 θέτω και έχω 0 ή Αν, Αν, 6 6 ή ή ii. 0 θέτω και έχω 0 ή Αν αδύνατο αφού. Αν, iii. t t t t 0 Επειδή : πρέπει 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

95 Θέτω t και έχω 0 ή 0. (Άσκηση σελ. 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. Λύση : i. ii. ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αν t t t, Αν t t t t 6 6 6, 0 0, ,. 6 Επειδή : πρέπει 0, Επειδή : πρέπει : 0 0 Έτσι έχω :,. Απορρίπτεται λόγο περιορισμού. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.. (Άσκηση σελ. 89 Β ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 ii. 0 Λύση : i. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

96 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9 ii. Επειδή : πρέπει : Επειδή : πρέπει : Έτσι έχω :. (Άσκηση σελ. 89 Β ομάδας) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης στο διάστημα. Λύση : Όμως : αφού. Άρα είναι :. ή ή ή 8 ) ( 0, 8 ύ ή 0, , ), (, ), (,

97 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ). i. Η εξίσωση ημ=α, με α> είναι αδύνατη. ii. συν=συνθ =κπ+θ, κ Ζ iii. ημ=ημθ =κπ+θ ή =κπ-θ, κ Ζ iv. εφ=εφθ =κπ+θ, κ Ζ. Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις που βρίσκονται στην στήλη Α με τις ρίζες τους στην στήλη Β. Στήλη Α- Εξίσωση Στήλη Β- ρίζες Α. συν=0. =κπ, κ Ζ Β. ημ=0. =κπ+,κ Ζ Γ. συν=. =κπ, κ Ζ Δ. ημ=-. =κπ+π, κ Ζ Ε. συν=-. =κπ-, κ Ζ ΣΤ. ημ= 6. =κπ+,κ Ζ 7. =κπ+, κ Ζ. Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις ρίζες τους στο διάστημα [0,π] που βρίσκονται στην στήλη Β. Στήλη Α- Εξίσωση Α. ημ=συν Β. συν=-ημ Γ. εφ=σφ Στήλη Β- Ρίζες στο [0,π]...,. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 96

98 6. Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις ρίζες τους στο διάστημα [0, ] που βρίσκονται στην στήλη Β. Στήλη Α- Εξίσωση Στήλη Β- Ρίζες στο [0, ] Α. ημ=. Β. συν=. Γ. ημ=συν. Δ. συν= ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) π σφ εφ ii) iv) συν ημ( π) 0 iii) ημ( π) συν( π) vi) εφ=εφ v) συν(- )=συν vii) σφ(- )=σφ( -) viii) εφ(- )= 6 i) ημ(-π)= ) σφ =0 8. Να λυθούν οι εξισώσεις i) (συν-)(ημ-)=0 ii) (εφ-)σφ=0 iii) εφ συν=0 iv) ( ημ-)( συν-)=0 v) σφ εφ =0 vi) ημ συν =0 9. Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ= - ημ o ii) συν= - συν 0 iii) ημ=ημ(+ 0 o ) iv) ημ+=0 0. Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ -ημ+=0 ii) ημ -ημ+=0 iii) ημ χ+ημχ-=0 iv) συν +συν+=0 v) ημ =(-συν) vi) 6συν -συν +9=0 vii) -ημ =ημ-συν viii) συν +=ημ i) ημ +7συν = ) συν -ημ= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 97

99 . Να λυθούν οι εξισώσεις i) ημ + ημ=0 ii) συν +συν=0 iii) σφ =σφ iv) εφ +εφ=0. Να λυθούν οι εξισώσεις i) εφ(- )+εφ=0 ii) ημ=συν(- ) iii) εφ(- 6 )=σφ iv) συν+συν=0. Έστω f ( ). i) Να δείξετε ότι η f() είναι περιοδική με περίοδο π. ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες. iii) Να λύσετε την εξίσωση : ( f ( ) ) 8( f ( ) ) 0 0. Έστω f ( ). i) Να παραγοντοποιηθεί η f(). ii) Να δείξετε ότι f ( ) 0, R. iii) Να βρείτε το ώστε f( ) 0. iv) Να δείξετε ότι η f είναι άρτια, περιοδική με περίοδο το π, και μέγιστο το.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) iii) iv) 0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) 0 iii) iv) 0 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) στο [-π,π] ii) 0 στο [0,π] iii) στο [0,π] 8. Να λυθεί η εξίσωση :. 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) 0. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) 0 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 98

100 .6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Αποδεικνύεται ότι για οποιεσδήποτε γωνιές α, β ισχύουν: ( ) ( ) ( ) ( ) Επίσης, αν π π συνα 0, συνβ 0 και συν(α β) 0, δηλαδη α κπ, β κπ για κάθε ακέραιο κ, ώστε να ορίζονται οι αριθμοί εφα, εφβ και εφ(α+β), τότε ισχύει εφα εφβ εφ(α β) -εφα εφβ Με τους αντιστοίχους περιορισμούς, ώστε να ορίζονται οι εφα, εφβ, εφ(α β), ισχύει και η ισότητα εφα-εφβ εφ(α-β) εφα εφβ Τέλος, αν 0, ημβ 0 και ημ(α β) 0, δηλαδή α κπ και α β κπ για κάθε κζ τότε : σφα σφβ σφ(α β) σφβ σφα Με τους αντιστοίχους περιορισμούς ισχύει και η ισότητα σφα σφβ σφ(α β) σφβ σφα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ :. Να αντιστοιχίσετε στους παρακάτω πίνακες κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της στη στήλη Β, με την προϋπόθεση ότι ισχύουν οι περιορισμοί για τις γωνίες, όπου χρειάζεται. i. Στήλη Α Στήλη Β Α. συν(α+β). συνασυνβ+ημαημβ Β. ημασυνβ-συναημβ. συνασυνβ-ημαημβ Γ. συν(α-β). ημ(α+β) Δ. ημασυνβ+συναημβ. ημ(β-α). ημ(α-β) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 99

101 ii. Στήλη Α Α. Β. σφ(α-β) Γ. σφ(α+β) Δ. Στήλη Β.... εφ(α+β). εφ(α-β) iii. Στήλη Α Στήλη Β Α. ημ(α+β) ημ(α-β). συναημβ Β. συν(α+β) + συν(α-β). -ημβσυνα Γ. συν(α+β) συν(α-β). συνασυνβ Δ. ημ(α-β) ημ(α+β). ημασυνβ. -ημαημβ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i) συν0συν0 - ημ0ημ0 ii) συν0συν0 + ημ0ημ0 iii) ημ(π/)συν(π/) συν(π/)ημ(π/) iv) ημ0συν0 + συν0ημ0 v) ημσυν + συνημ. Να δείξετε ότι : ημ(α-β)συνβ + ημβσυν(α-β) = ημα. Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει ότι : εφα=/ και εφβ=/, να δείξετε ότι η γωνία Γ είναι π/. ( ). Να δείξετε ότι: i. ( ) ( ) ( ) ii Αν εφα = -, να λύσετε την εξίσωση εφ(-α) = - ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 00

102 .7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Αν στους τύπους των ημ(α + β), συν(α + β), εφ(α + β) και σφ(α + β) θέσουμε όπου β το α, προκύπτουν: Από τους τύπους του συνα προκύπτει ότι (τύποι αποτετραγωνισμού),, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ :. Να συμπληρώσετε τα κενά στους παρακάτω πίνακες, ώστε να ισχύουν οι ταυτότητες στους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α. i. ημα=ημασυνα ημασυνα= ημα ημ=. ημ=. ημ συν =. ημσυν=. ημ=... ημ =. ημ συν = ημ συν =.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

103 ii. συν α-ημ α=συνα συν -ημ =.. συν -ημ =... +συνα=συν α +συνα=. +συν a = iii. ημ α= ημ = ημ = 8 ημ =.. iv. εφα= a εφα=. εφ0α=.. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το ίσο του της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. συν α Β. εφ α Γ. ημ α.... Στήλη Α Στήλη Β Α. ημ συν. Β. συν -ημ. Γ. εφ. Δ. συν. Ε. εφ. συν 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

104 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να δείξετε ότι : ημα = ημ α συνα + συν α ημα.. Να δείξετε ότι : συν α + ημα εφα =.. Να δείξετε ότι : ( + συνα)εφα = ημα.. Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : ημασυνβ = ημα. Να αποδείξετε ότι είναι ισοσκελές.. Αν συνα = - / και α(π, π/), να υπολογίσετε τα : ημα, συνα, εφα, σφα. 6. Αν ημα = / και α(π/, π), να υπολογίσετε τα : ημα, συνα, εφα, σφα. 7. Να δείξετε ότι: 8. Να δείξετε ότι: i. 9. Να λύσετε την εξίσωση: 0 ii ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ Αν 0 και 0, τότε: α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ α) Να λύσετε το σύστημα:. (Μονάδες ) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) και του τριγωνομετρικού κύκλου, να βρείτε όλες τις γωνίες με 0, που ικανοποιούν τη σχέση, και να τις απεικονίσετε πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

105 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ Δίνεται, όπου η οξεία γωνία που σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του παρακάτω σχήματος. α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών και του σχήματος. (Μονάδες ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f ( ),. α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της f ; (Μονάδες 9) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου. (Μονάδες 0) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 770. Δίνεται η συνάρτηση f ( ),. α) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες ) β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας περιόδου. 0 f () (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 77. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ),. (Μονάδες 0) α) Να δείξετε ότι f () β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

106 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 78. Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα Παρκ. Η απόσταση, σε μέτρα, του καθίσματός τους από το έδαφος τη χρονική στιγμή t sec δίνεται από τη συνάρτηση t h(t) 8 6 και 0 t α) Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις στιγμές κατά τις οποίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος. (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε την ακτίνα της ρόδας. (Μονάδες ) γ) Να βρείτε την περίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οποίο η ρόδα ολοκληρώνει μια περιστροφή. Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 80 sec. (Μονάδες +=6) δ) Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον πίνακα τιμών και το σύστημα συντεταγμένων που δίνονται παρακάτω και: i. να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης του ύψους h(t). (Μονάδες ) ii. να σχεδιάσετε στο σύστημα συντεταγμένων το τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h(t) με 0 t 90. (Μονάδες ) t h(t) ΘΕΜΑ 78. Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώματος από το t έδαφος (σε cm), δίνεται από την συνάρτηση: f (t), όπου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την απόσταση του σώματος από το έδαφος τις χρονικές στιγμές t και t 8. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα από t 0 έως t 8, ποιά χρονική στιγμή η απόσταση του σώματος από το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Μονάδες0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

107 ΘΕΜΑ 09 Μια ρόδα ποδηλάτου περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Σημειώνουμε ένα σημείο Ρ της ρόδας (όπως φαίνεται στο σχήμα), το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0, είναι το σημείο επαφής της ρόδας με μια επιφάνεια. Η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση h (σε m) του σημείου Ρ από την επιφάνεια, t sec μετά την αρχή της κίνησης δίνεται από τη σχέση: h(t) 0, ( t) 0,, με ω θετική πραγματική σταθερά. Υποθέτουμε ότι το σημείο Ρ κάνει ένα πλήρη κύκλο σε sec. α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδες ) β) Να προσδιορίσετε την απόσταση του Ρ από την επιφάνεια τις στιγμές: t = sec, t = sec και t = 7sec. (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της h. (Μονάδες ) δ) Να προσδιορίσετε την ακτίνα της ρόδας. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 09 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(), όπου α, β πραγματικοί αριθμοί και της συνάρτησης f () ( ), όπου ω > 0 και ρ > 0. Και οι δύο συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το R. Επίσης η f έχει μέγιστο το. α) Να αποδείξετε ότι ρ = και ω =. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τα α, β. (Μονάδες 0) γ) Να βρείτε, γραφικά, το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης () 0 στο διάστημα [0,π]. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 09 t Δίνεται η συνάρτηση f (t) με t [0,]. α) Να βρείτε την περίοδο της f. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της, καθώς και τις τιμές του t για τις οποίες η f παίρνει τις τιμές αυτές. (Μονάδες) γ) Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 06

108 ΘΕΜΑ 69 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ f (). α) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης f. (Μονάδες ) β) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με A,0. Να βρείτε: i. τις συντεταγμένες του σημείου Δ. (Μονάδες 0) ii. τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 69 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () παραμέτρους α, ω > 0. Να βρείτε: με α) την περίοδο της συνάρτησης f. (Μονάδες 9) β) τους αριθμούς α και ω. (Μονάδες 8) γ) τους αριθμούς krγια τους οποίους η εξίσωση f () k έχει μοναδική λύση στο 0, και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση. (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 07

109 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ α) Είναι η τιμή λύση της εξίσωσης 0; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () με την ευθεία. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δίνεται γωνία που ικανοποιεί τη σχέση:. α) Να αποδείξετε ότι είτε 0 είτε 0. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας ω. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f ( ), α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. (Μονάδες 0) 0, η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή; (Μονάδες ) β) Για ποια τιμή του ΘΕΜΑ α) Να αποδείξετε ότι: 0. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιμές του [0, ) για τις οποίες ισχύει. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 769. α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: 7,,. (Μονάδες ) 6 0 β) Αν, να συγκρίνετε τους αριθμούς και. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δίνεται η παράσταση:,,. α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα 0,. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Έστω γωνία για την οποία ισχύουν: και. α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την γωνία. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 08

110 ΘΕΜΑ α) Να αποδείξετε ότι : όπου,. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση:. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ f () με και 0, η οποία έχει μέγιστη τιμή και Δίνεται η συνάρτηση περίοδο. α) Να δείξετε ότι ή και β) Για. (Μονάδες 7). i. να λυθεί η εξίσωση f (). (Μονάδες 0) ii. να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα 0,8. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνεται το σύστημα: με παράμετρο. α) Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του. (Μονάδες 0) β) Αν και, είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να βρείτε γωνία [0, ) 0 0 τέτοια ώστε 0 και 0. (Μονάδες 7) γ) Αν και, είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να δείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία, τέτοια ώστε και. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 78. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f η οποία είναι της μορφής f () k,,,k πραγματικές σταθερές. α) Με βάση τη γραφική παράσταση, να βρείτε: i. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (Μονάδες ) ii. την περίοδο T της συνάρτησης f (Μονάδες ) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών,, k. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) γ) Θεωρώντας γνωστό ότι,, k να προσδιορίσετε αλγεβρικά την τετμημένη 0 του σημείου A της γραφικής παράστασης, που δίνεται στο σχήμα. (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 09

111 ΘΕΜΑ 786. Δίνονται οι συναρτήσεις f () g(). α) Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων f και g. Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () και g(), για 0,. (Μονάδες 8) 0 f () g() 7 β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 0,. (Μονάδες ) () στο διάστημα γ) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση () στο διάστημα 0, και να σημειώσετε πάνω στο σχήμα του ερωτήματος (α) τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 78. Ένα παιχνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι. Το ύψος του από το πάτωμα σε cm h(t) t όπου,, συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται από τη σχέση: πραγματικές σταθερές. Όταν το ελατήριο ταλαντώνεται, το ελάχιστο ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα είναι 0 cm και το μέγιστο 00 cm. Τη χρονική στιγμή t 0το ύψος παίρνει την ελάχιστη τιμή του και ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης (θέσεις: ελάχιστο-ηρεμία-μέγιστο-ηρεμίαελάχιστο) είναι 6 sec. α) Να δείξετε. (Μονάδες ) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των, αιτιολογώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 6) γ) Να υπολογίσετε το ύψος του παιγνιδιού από το πάτωμα sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης. (Μονάδες 8) δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h(t), για 0 t. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 09 Δίνεται η συνάρτηση f () (), R. α) Να βρείτε την περίοδο Τ και τη μέγιστη τιμή της f. (Μονάδες ) β) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() ( ), R. i. Να προσδιορίσετε τα α, β, γ. (Μονάδες ) ii. Για α = -, β = και γ =, να λύσετε την εξίσωση f() = g() στο διάστημα [0, π). (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

112 ΘΕΜΑ 690 Δίνεται η εξίσωση (Α). α) Να αποδείξετε ότι, αν το 0 είναι μία λύση της εξίσωσης (Α), τότε ( 0) 0. (Μονάδες ) β) Θεωρούμε την εξίσωση (Β) η οποία προκύπτει υψώνοντας στο τετράγωνο τα δύο μέλη της εξίσωσης (Α). Να λύσετε την εξίσωση (Β). (Μονάδες ) γ) Να λύσετε την εξίσωση (Α). (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται οι γωνίες για, τις οποίες ισχύει: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α ΘΕΜΑ ο. Να αποδείξετε ότι: α). (Μονάδες 0) β). (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 69 α) Να δείξετε ότι :. (Μονάδες ) β) Να βρείτε με την βοήθεια του ερωτήματος α) την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης f () R. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ Για τη γωνία ισχύει ότι 8 0. α) Να δείξετε ότι. (Μονάδες 0) β) Αν για τη γωνία επιπλέον ισχύει, τότε: 7 i. να δείξετε ότι και. (Μονάδες 8) ii. να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8 (Μονάδες 7) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

113 . ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Καλούμε μονώνυμο του κάθε παράσταση της μορφής, όπου α είναι πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Μονώνυμο του καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. Καλούμε πολυώνυμο του κάθε παράσταση της μορφής :... 0 όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και 0,,..., είναι πραγματικοί αριθμοί. Τα μονώνυμα,,...,, 0 λέγονται όροι του πολυωνύμου. Οι αριθμοί,,...,, 0 λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου. Ειδικότερα ο αριθμός 0 λέγεται σταθερός ορος του πολυωνύμου. Βαθμό ενός πολυωνύμου () ονομάζουμε τον μεγαλύτερο εκθέτη του που εμφανίζεται στο πολυώνυμο, με την προϋπόθεση ότι ο συντελεστής του είναι διάφορος του μηδενός. (Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός) Δυο πολυώνυμα ( )... 0 και Q ( )... 0 με θα λέμε ότι είναι ισα όταν ισχύουν συγχρόνως : 0 0,, και Στο πολυώνυμο ( )... 0 αν αντικαταστήσουμε το με μια τιμή, τότε ο αριθμός που προκύπτει : ( ), λέγεται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για. Ειδικότερα αν ισχύει ( ) 0, τότε ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. Α ομάδας) Να βρείτε για ποιες τιμές του, το πολυώνυμο ( ) ( ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Λύση : Το () είναι το μηδενικό πολυώνυμο, όταν ισχύουν συγχρόνως : 0 ( ) 0 ή Η κοινή λύση των παραπάνω εξισώσεων είναι. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

114 . (Άσκηση σελ. Α ομάδας) Να βρείτε για ποιες τιμές του ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ, τα πολυώνυμα ( ) ( ) και Q( ) ( ) είναι ισα. Λύση : Τα πολυώνυμα () και Q () είναι ισα, όταν ισχύουν συγχρόνως : 0 ή 0 Η κοινή λύση των παραπάνω εξισώσεων είναι.. (Άσκηση σελ. Β ομάδας) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυμο ( ) 6 έχει ρίζα το και ισχύει ( ). Λύση : Το είναι ρίζα του () ( ) () Επίσης : ( ) ( ) ( ) ( ) () 8 Από () και () έχω : προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 9 και από () : 8. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ :. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. Η παράσταση P()= 0 είναι πολυώνυμο. ii. Ένα σταθερό πολυώνυμο έχει βαθμό 0. iii. Αν για το πολυώνυμο P() και ισχύει P(ρ) 0, τότε ο αριθμός ρ δεν είναι ρίζα του P(). iv. Αν τα πολυώνυμα P() και Q() είναι μη μηδενικά και έχουν βαθμούς μ και ν αντίστοιχα, τότε το πολυώνυμο P() Q() έχει βαθμό μ+ν.. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις. i. Έστω το πολυώνυμο P()=α ν ν +α ν- ν- +α +α 0. α. Αν α 0 =0, τότε ο αριθμός.είναι ρίζα του P() β. Αν α ν 0, τότε ο βαθμός του P() είναι.. γ. Αν το άθροισμα των συντελεστών του P() είναι 0, τότε ο αριθμός... είναι ρίζα του P() δ. Αν ο βαθμός του P() είναι ν, τότε ο βαθμός του P () είναι ε. Αν ο βαθμός του P() είναι ν, τότε ο βαθμός του P(P()) είναι. ii. Αν το πολυώνυμο P() είναι μηδενικού βαθμού ή το μηδενικό πολυώνυμο, τότε η μορφή του είναι iii. Αν το πολυώνυμο P() είναι βαθμού, τότε έχει τη μορφή.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

115 6. Αν οι βαθμοί των πολυωνύμων P() και Q() είναι μ και ν αντίστοιχα, να αντιστοιχίσετε στον παρακάτω πίνακα τα πολυώνυμα που βρίσκονται στη στήλη Α με τους βαθμούς τους στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. P().Q(). ν B. [P()]. μ Γ. Q(Q()). μ+ν Δ. P(Q()). μν 7. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. i. Αν ο σταθερός όρος ενός πολυωνύμου είναι 0, τότε το πολυώνυμο έχει ρίζα τον αριθμό: Α. Β. 0 Γ. - Δ. ii. Αν το πολυώνυμο P() είναι ου βαθμού, το Π() είναι ου βαθμού και ισχύει η ισότητα P()=δ() Π(), τότε το δ() έχει βαθμό: Α. Β. Γ. 0 iii. Αν για το πολυώνυμο P(), ισχύει +=P()(+), τότε ο βαθμός του P() είναι: Α. Β. Γ. Δ. iv. Το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου P()=(-) 0 + είναι: Α. Β. Γ. Δ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Για ποιο λόγο οι παρακάτω παραστάσεις δεν είναι πολυώνυμα του ; i. ii. 7 iii. 6 iv Να εξετάσετε ποιες από τις ακόλουθες παραστάσεις είναι μονώνυμα και ποιες πολυώνυμα : i. P( ) ii. iii. iv. Q( ) A ( ) E 7 7 ( ) 7 v. H( ) 0. Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ, μ ώστε να είναι ισα τα πολυώνυμα P ( ) ( ) ( ) ( ) και Q ( ) ( ). Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε το πολυώνυμο P ( ) να παίρνει τη μορφή P ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

116 . Να προσδιοριστεί ο βαθμός του πολυώνυμου P ( ) ( 9) ( ) ( ) για τις διάφορες τιμές του λ.. Να προσδιοριστεί ο βαθμός του πολυώνυμου P ( ) ( ) ( ) 0 για τις διάφορες τιμές του λ.. Για ποιες τιμές του λ το πολυώνυμο P ( ) ( ) ( 6) 0 είναι το Μηδενικό πολυώνυμο.. Έστω τα πολυώνυμα P ( ) 6 8 και Q( ). Να βρείτε τι πρέπει να ισχύει για τους αριθμούς α, β, γ, δ, ώστε το πολυώνυμο P() - Q() να είναι : i. ου βαθμού ii. το πολύ ου βαθμού iii. Μηδενικό πολυώνυμο. 6. Να βρείτε τα λ ώστε η αριθμητική τιμή του πολυώνυμου P( ) ( ) ( ) ( ) για χ=- να είναι. 7. Να εξετάσετε αν οι αριθμοί - και είναι ρίζες του πολυώνυμου P ( ) 8. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ,λ για τους οποίους το πολυώνυμο P( ) ( ) 6 έχει ρίζες τους αριθμούς - και. 9. Να αποδειχθεί ότι για κάθε λ το πολυώνυμο P( ) ( ) ( ) 00 δεν έχει ρίζα τον αριθμό. 0. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β για τους οποίους το πολυώνυμο P( ) έχει ρίζα τον αριθμό και το άθροισμα των συντελεστών του είναι 8.. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ() για το οποίο ισχύει : ( ) P( ).. Έστω το πολυώνυμο Ρ(), για το οποίο γνωρίζουμε ότι : P ( ) P( ) για κάθε. P ( 0) 0 Να δείξετε ότι P ( ) 80. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

117 . ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων () και () με ( ) 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα () και (), τέτοια ώστε : ( ) ( ) ( ) ( ) όπου το () ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του (). Το () λέγεται διαιρετέος, το () διαιρέτης, το () πηλίκο και το () υπόλοιπο της διαίρεσης. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να κάνετε τη διαίρεση : ( ):( ) και στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. Λύση : Στη διαίρεση της εκφώνησης, το πολυώνυμο ( ) ονομάζεται διαιρετέος ενώ το πολυώνυμο ( ) ονομάζεται διαιρέτης. Για να εκτελέσουμε τη διαίρεση ακλουθούμε τα εξής βήματα : Βήμα : Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και γράφουμε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του. Αν λείπει κάποια δύναμη την συμπληρώνουμε με συντελεστή μηδέν. Βήμα : Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου Έτσι : : με τον πρώτο όρο του διαιρέτη. Βήμα : Πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου με τον διαιρέτη : ( ) και το γινόμενο αυτό το αφαιρούμε από τον διαιρετέο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

118 Βήμα : Το πολυώνυμο είναι το πρώτο μερικό υπόλοιπο. Θεωρώντας αυτό ως νέο διαιρετέο, επαναλαμβάνουμε τα δυο προηγούμενα βήματα. Βήμα : Το πολυώνυμο είναι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο. Θεωρώντας αυτό ως νέο διαιρετέο, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα. Όταν το μερικό υπόλοιπο που θα προκύψει έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του διαιρέτη, τότε η διαίρεση σταματά. Δηλαδή το τελικό υπόλοιπο της διαίρεσης είναι - και το πηλίκο Από την παραπάνω διαδικασία προκύπτει η ταυτότητα της διαίρεσης : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Διαιρετέος)=(διαιρέτης)(πηλίκο)+(υπόλοιπο) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Ρ() ΜΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ -ρ (ΣΧΗΜΑ HORNER) ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου () με το είναι ισο με την τιμή του πολυώνυμου για. Είναι δηλαδή (). Έτσι η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται : ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα πολυώνυμο () έχει παράγοντα το αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του (), δηλαδή αν και μόνο αν ( ) 0. Όταν έχω να εκτελέσω μια διαίρεση ενός πολυώνυμου () με ένα παράγοντα της μορφής, τότε χρησιμοποιώ το σχήμα Horner, ακλουθώντας την παρακάτω διαδικασία. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

119 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. (Άσκηση σελ.9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i. ( 7 0) : ( 0) Λύση : Βήμα : Κάνουμε τον πίνακα του σχήματος Horner και στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του διαιρετέου. Αν λείπει κάποια δύναμη του, τη συμπληρώνουμε με συντελεστή μηδέν. Στο τέλος της πρώτης γραμμής, γράφουμε το Βήμα : Κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή στην η θέση της ης γραμμής Βήμα : Πολλαπλασιάζουμε με ρ τον πρώτο αριθμό της ης γραμμής και γράφουμε το γινόμενο στη η θέση της ης γραμμής. Στη συνέχεια προσθέτουμε τους αριθμούς της ης στήλης και γράφουμε το άθροισμα στη η θέση της ης γραμμής. Βήμα : Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία για τον αριθμό που βρίσκεται στη η θέση της ης γραμμής και συνεχίζουμε μέχρι να τελειώσουν οι συντελεστές του διαιρετέου στην πρώτη γραμμή έ _ ί ό Προσοχή : Στη διαίρεση ( ) : ( ) ο βαθμός του πηλίκου είναι κατά μικρότερος από τον βαθμό του (). Επίσης αφού ο διαιρέτης είναι ου βαθμού, το υπόλοιπο είναι ένας πραγματικός αριθμός. Οι αριθμοί που βρίσκονται στην η γραμμή (εκτός από τον τελευταίο) παριστάνουν του συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης. Ο τελευταίος αριθμός της ης γραμμής παριστάνει το υπόλοιπο της διαίρεσης. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

120 Με αυτά στο μυαλό μας στη διαίρεση : ( 7 0) : ( 0) ο διαιρετέος είναι ου βαθμού, άρα το πηλίκο θα είναι ου βαθμού με συντελεστές όπως προκύπτουν από το Horner -, 0, - άρα το πηλίκο έχει τη μορφή : ( ) 0 και το υπόλοιπο 0. Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι : ( ) ( ) ( ) ( ) 7 0 ( 0)( 0 ) 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ :. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. Στην ταυτότητα της διαίρεσης πολυωνύμων το υπόλοιπο έχει βαθμό ο οποίος είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη. ii. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P() με το -ρ έχει βαθμό 0. iii. Αν για το πολυώνυμο P() είναι P(ρ) 0, τότε το P() δεν έχει παράγοντα το -ρ. iv. Αν η διαίρεση του πολυωνύμου P() με το -ρ είναι τέλεια, τότε ο αριθμός ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου P().. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος. i. Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι δευτέρου βαθμού, τότε το υπόλοιπο έχει βαθμό το πολύ. ii. Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι δευτέρου βαθμού, τότε το υπόλοιπο έχει τη μορφή α+β. iii. Αν το πηλίκο μιας διαίρεσης πολυωνύμων είναι το μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο διαιρετέος είναι το μηδενικό πολυώνυμο. iv. Αν ο διαιρετέος είναι ου βαθμού και ο διαιρέτης ου βαθμού, τότε το πηλίκο έχει μορφή α+β με α 0. v. Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το -, τότε P()=0=P(-). vi. Για να έχει το P() παράγοντα το (-)(+), πρέπει P()=0 και π(-)=0, όπου π() το πηλίκο της διαίρεσης του P() με -. vii. Αν το χ- δεν είναι παράγοντας του P(), τότε P() 0. viii. Αν P() 0 για κάθε R, τότε το P() δεν έχει παράγοντα της μορφής -ρ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να γίνουν οι ακόλουθες διαιρέσεις : i. ( 6 ) : ( ) ii. (0 7 ) : ( ) 6. Ομοίως : i. ( ) : ( ) ii. ( ) : ( ) 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( ) με τα πολυώνυμα : i. ii. iii. 8. Να βρεθεί με τη βοήθεια του σχήματος Horner, το πηλίκο, το υπόλοιπο και η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυώνυμου ( ) 7 με τα πολυώνυμα : i. ii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

121 9. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρεθούν τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i. ( 6 8) : ( ) ii. ( ) : ( ) 0. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να δείξετε ότι το πολυώνυμο P ( ) 6 9, διαιρετέ με το γινόμενο (-)(-) και να βρείτε το αντίστοιχο πηλίκο Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης : ( ) : ( ). Να αποδείξετε ότι το (-) είναι παράγοντας του πολυώνυμου P ( ) 6. Έστω το πολυώνυμο P ( ) Να βρεθεί το Ρ() με τη βοήθεια του σχήματος Horner.. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να δείξετε ότι το πολυώνυμο P ( ) 9 0 έχει παράγοντα το ( ).. Να βρείτε τα a έτσι ώστε το πολυώνυμο P( ) ( ) 6 να διαιρείται με το (+). 6. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P ( ) 0 δεν έχει παράγοντα της μορφής (-ρ). 7. Αν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του Ρ() με τα (-) και (+) είναι και - αντίστοιχα, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P ( ) : ( 6). 8. Αν το (+) είναι παράγοντας του Ρ(), να αποδείξετε ότι το (-) είναι παράγοντας του Ρ(-). 9. Να βρείτε τα, έτσι ώστε το πολυώνυμο P( ) ( ) ( ) 6 να έχει ρίζες τις τιμές και. Στη συνεχεία για τα α,β που βρήκατε να υπολογίσετε το πηλίκο της διαίρεσης P ( ) : ( )( ) με τη βοήθεια του σχήματος Horner. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

122 . ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση με βαθμό μεγαλύτερο ή ισο του, μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος και κάνουμε παραγοντοποίηση. Στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα : 0 0 ή 0. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 6 Α Ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii. Λύση : Έχω : 0 0 ( ) ( ) 0 ή 0 0( ή) ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΡΙΖΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω η πολυωνυμική εξίσωση : v με ακεραίους συντελεστές. Αν ο ακέραιος 0 είναι ρίζα της εξίσωση, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου 0. Παρατηρήσεις Σχόλια : Μια πολυωνυμική εξίσωση ν-οστου βαθμού έχει το πολύ ν πραγματικές ρίζες. Δηλαδή, μια εξίσωση ου βαθμού έχει το πολύ ρίζες. Μεθοδολογία : Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση ( ου βαθμού και πάνω), χρησιμοποιούμε το θεώρημα ακεραίων ριζών. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner και τους κλασικούς τρόπους παραγοντοποίησης, φέρνουμε την εξίσωση σε μορφή P ( ) P ( )... P ( ) 0 οπότε P ( ) 0 ή P ( ) 0 ή ή P ( ) 0 (Στο σχήμα Horner όλες οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι διαιρέτες του σταθερού όρου.) (Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι όλα τα πολυώνυμα P ( ), P ( ),..., P ( ) να είναι το πολύ ου βαθμού) Μεθοδολογία : Σε πιο σύνθετες μορφές κάνουμε αντικατάσταση μιας ποσότητας, ώστε να προκύψει πιο εύκολη εξίσωση. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

123 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 6 0 ii Λύση : i.οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι,,, 6. Παρατηρώ όμως ότι το άθροισμα των συντελεστών της εξίσωσης είναι 0, άρα η ρίζα είναι το Άρα : 6 0 ( )( 6 0 ή 6) 0 0 ή ii. Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι,,, 6. Όταν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ομόσημοι (είτε θετικοί, είτε αρνητικοί), τότε η εξίσωση δεν μπορεί να έχει θετικές ρίζες. Έτσι δοκιμάζω με όλες τις αρνητικές. Τελικά : Άρα : ( )( ή 6) 0 0 ή ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ :. i. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση a με ακέραιους συντελεστές. Να βρείτε, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδής. Α. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του α 0. Β. Αν ο ακέραιος ρ δεν είναι διαιρέτης του α 0, τότε ο ρ δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Γ. Πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι διαιρέτες του α 0. Δ. Αν ο ρ είναι διαιρέτης του α 0, τότε ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης. ii. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση a με ακέραιους συντελεστές. Να βρείτε, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδής. Α. Αν οι αριθμοί α 0,α,,α ν είναι θετικοί, τότε η εξίσωση δεν έχει θετική ρίζα. Β. Αν οι αριθμοί α 0,α,,α ν είναι αρνητικοί, τότε η εξίσωση δεν έχει αρνητική ρίζα. Γ. Αν οι όροι της εξίσωσης με τις περιττές δυνάμεις του έχουν συντελεστές αρνητικούς αριθμούς και με τις άρτιες δυνάμεις του έχουν συντελεστές θετικούς, τότε η εξίσωση δεν έχει αρνητική ρίζα. Δ. Αν α 0 0, τότε η εξίσωση έχει ρίζα το 0. Ε. Αν α 0 +α + +α ν =0, τότε η εξίσωση έχει ρίζα το. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

124 iii. Έστω η εξίσωση 0, α Ζ. Να εξετάσετε, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδής. Α. Αποκλείεται το να είναι ρίζα της εξίσωσης. Β. Αν ο ακέραιος ρ είναι ρίζα της εξίσωσης και ρ>7, τότε ρ=. Γ. Έστω ρ Ζ και ρ>. Αν ρ 6 και ρ, τότε ο ρ δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Δ. Αν ρ Ζ και ο ρ είναι διαιρέτης του, τότε ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης : Ομοίως οι εξισώσεις : i ii. 0 iii. 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 7. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση 6 0 έχει μια τουλάχιστον ακέραια ρίζα. 8. Να λυθεί η εξίσωση : 9. Να λυθεί η εξίσωση : 0. Να λυθεί η εξίσωση : ( 6 ( ) 6 ) ( 8 0 ( ) 0 ) ( ) 0. Ομοίως : Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης τη συνάρτησης : P( ) 9 με τον άξονα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

125 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική ανίσωση ου ή μεγαλύτερου βαθμού, ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Βήμα : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος Βήμα : κάνουμε παραγοντοποιηση (αν χρειαστεί με τη βοήθεια του σχήματος Horner), ώστε να φέρουμε την ανίσωση στη μορφή : ( ) ( )... ( ) 0 ή ( ) ( )... ( ) 0 (όπου οι παράγοντες ( ), ( ),..., ( ) είναι είτε ου είτε ου βαθμού) Βήμα : βρίσκουμε τις ρίζες (αν υπάρχουν) των παραγόντων ( ), ( ),..., ( ) Βήμα : διατάσσουμε τις ρίζες σε έναν άξονα (από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη) Βήμα : κάτω από τον άξονα σχηματίζουμε πίνακα με τα πρόσημα των παραγόντων, στα διαστήματα που χωρίζεται ο άξονας από τις ρίζες. Βήμα 6 : στην τελευταία γραμμή του πίνακα βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου εφαρμόζοντας τους κανόνες προσήμου : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Έχω Άρα : 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ή Γινόμενο Άρα επειδή θέλω 0 τότε (, ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λυθεί η ανίσωση : 0. Ομοίως οι ανισώσεις : i. 0 ii. ( ) ( ) 6. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση τη συνάρτησης P( ) 8 6 βρίσκεται κάτω από τον άξονα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

126 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΡΙΖΑΣ ΜΕ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Για να βρούμε μια ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης Ρ()=0 με προσέγγιση δεκάτου, ενεργούμε ως εξής : Βρίσκουμε ένα διάστημα (α,α+), έτσι ώστε Ρ(α)Ρ(α+)<0 (ο α ακέραιος) Θεωρούμε τις τιμές α+0,, α+0,,, α+0,8, α+0,9 και εξετάζουμε για ποιο γειτονικό ζευγάρι το γινόμενο των τιμών τους είναι αρνητικό. Συνεχίζουμε με την ίδια διαδικασία για το ζευγάρι που βρήκαμε, στο οποίο προσθέτουμε 0,0, κι έτσι προκύπτουν 9 ενδιάμεσοι αριθμοί. Βρίσκουμε τα γειτονικό ζευγάρι που έχει αρνητικό γινόμενο τιμών, το οποίο θα έχει κοινά τα ψηφία των μονάδων και των δεκάτων. Ο αριθμός αυτός είναι ρίζα της εξίσωσης Ρ()=0 με προσέγγιση δέκατου. Με παρόμοιο τρόπο ενεργούμε για να βρούμε μια ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης Ρ()=0 με προσέγγιση εκατοστού, χιλιοστού κτλ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7. Αφού αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει μια ρίζα τουλάχιστον στο διάστημα (0,), να βρείτε μια λύση της στο (0,) με προσέγγιση : i. δέκατου ii. εκατοστού ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

127 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, Βήμα : παίρνω περιορισμούς, δηλαδή.. 0 Βήμα : πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, Βήμα : ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. Α Ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : ii. Λύση : Έχω :, ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 & Έπειτα κάνω απαλοιφή παρανομαστών : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Άρα : 0 ( )( ) 0 0,. ή 0, έ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

128 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι οι εξισώσεις που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα. Για να τις λύσουμε : Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζη ποσότητα 0 ), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, Βήμα : αν στο ο μέλος έχει άγνωστο τότε παίρνουμε περιορισμό και για το ο μέλος 0 Βήμα : υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού του ου μέλους Βήμα : τέλος λύνουμε την εξίσωση και εξετάζουμε ποιες από τις λύσεις είναι δεκτές και ποιες απορρίπτονται. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. iii. 6 Λύση : i. πρέπει 0 δεκτή ii. Έχω : πρέπει 0 () και 0 (). Από ()&() ισχύει. ( ) 0 (δεκτή) ή (απορ.) iii. Έχω : 6 6 πρέπει 6 0 () και 0 (). Από ()&() ισχύει. 6 6 εδώ επίσης πρέπει 0 (). Άρα από (), ()&() ισχύει. Οπότε : ( ) 0 (απορ.) (δεκτή) ή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ( ) ( ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής 0 ή 0 γράφεται ισοδύναμα ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ή ( ) ( ) 0 [όπου ( ) 0 ] και αυτό γιατί το γινόμενο και το πηλίκο δυο αριθμών έχουν το ίδιο πρόσημο. ( ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 [ ( ) ( ) ( )] ( ) 0 ( ) ( ) και λύνεται όπως η προηγούμενη. γράφεται : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

129 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 0 ii. 0 iii. 6 Λύση : i. Πρέπει 0 και Έχω : 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ( ) 0 0, ή, 0 ή 0 ή Γινόμενο - Πηλίκο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Άρα επειδή θέλω 0 ( )( ) 0 (Στο (,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) ii. Πρέπει 6 0 και Έχω : 0 ( )( 6) 0 6 ( )( 6) 0 0, ύ ή 6 0 ή Γινόμενο - Πηλίκο τότε [,0] (, ). Άρα επειδή θέλω 0 ( )( 6) 0 τότε (,). 6 (Όταν μια παράσταση είναι πάντα θετική τότε δεν επηρεάζει το πρόσημο στην τελευταία σειρά στο πινακάκι. Οπότε θα μπορούσε να παραληφτεί εντελώς.) 8 iii. Έχω : 0 ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 &. (Σε αυτό το σημείο όμως δεν κάνω απαλοιφή παρανομαστών όπως στις αντίστοιχες κλασματικές εξισώσεις, αλλά ομώνυμα κλάσματα. Αυτό γιατί η απαλοιφή παρανομαστών δεν επιτρέπεται στις ανισώσεις

130 καθώς η παράσταση με την οποία θα πολλαπλασιάσω κάθε όρο, δεν γνωρίζω αν είναι θετική ή αρνητική) 8 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6 0 ( 6)( ) 0 Έχω : ( 6)( ) ή ή 0 ή Γινόμενο Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ( 6)( ) 0 (, ] (,) [, ). (Στο (-,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) τότε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΡΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι ανίσωσης που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα. Για να τις λύσουμε : ΜΟΡΦΗ : f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζες ποσότητες 0 ), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και το άλλο στο ο, Βήμα : υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού Βήμα : τέλος λύνουμε την ανίσωση και συναληθευουμε με τους περιορισμούς. ΜΟΡΦΗ : f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζη ποσότητες 0 ), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, Βήμα : διακρίνουμε τις περιπτώσεις : g ( ) 0 και g ( ) 0 και εξετάζουμε για ποιες τιμές του ισχύουν. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 8 ii. iii. 7 Λύση: i. Πρέπει : 8 ή [,8] () 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

131 8 Από () και () ισχύει : [,) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ii. Έχω : () πρέπει : 0 () Διακρίνω τις περιπτώσεις : 0 () άρα από () και () [,) 0 (καλύπτει τον περιορισμό () : ). Τότε στην ανίσωση () και τα δυο μέλη είναι μη αρνητικά 0 άρα μπορώ να υψώσω στο τετράγωνο, έτσι έχω : ( ) ( ) Είναι ή Άρα επειδή θέλω 8 0 [,7]. Συναληθευοντας τη λύση αυτή με τον περιορισμό προκύπτει ότι [,7] Άρα τελικά από τις παραπάνω περιπτώσεις προκύπτει ότι η ανίσωση ισχύει αν : [,) ή [,7], δηλαδή τελικά [,7] iii. Έχω : 7 7 () πρέπει : 0 () Διακρίνω τις περιπτώσεις : () άρα από () και () η ανίσωση () είναι αδύνατη 7 0 7, τότε για [ 7, ) η () δεν ορίζεται, ενώ για [, ) τα δυο μέλη της ανίσωσης () είναι μη αρνητικά 0 άρα μπορώ να υψώσω στο τετράγωνο, έτσι έχω : 7 ( ) ( 7) 9 0, άρα : - + άρα 0 ισχύει για κάθε σε συνδυασμό με τον περιορισμό ισχύει τελικά [, ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : (). Να λυθούν οι εξισώσεις : i. ii. 6. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 6 6 ii. 7. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

132 ii. 7 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 8. Να λυθούν οι εξισώσεις : i. ii Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 7 ii Να λυθεί η εξίσωση : 0. Να λυθεί η εξίσωση : 8. Να λυθεί η εξίσωση : 9, για κάθε.. Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( ) 8 0. Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθούν οι ανισώσεις : i. ii Να λυθούν οι ανισώσεις : i. ii. 0 iii. 8. Να λυθούν οι ανισώσεις : i. ii. 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

133 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 69 α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης ( 6 ) :( ). (Μονάδες 0) β) Αν P() 6 να βρείτε το R, ώστε η διαίρεση P() :( ) να έχει υπόλοιπο 0. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 680 Δίνονται τα πολυώνυμα: P() ( ) ( ) 9 και Q() ( ) ( ) ( 9) με R. α) Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι και τα δύο πολυώνυμα είναι ου βαθμού. Συμφωνείτε με την άποψη αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία τα πολυώνυμα Ρ() και Q() είναι ίσα. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 76 Δίνεται το πολυώνυμο P() 8, όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Αν το πολυώνυμο Ρ() διαιρούμενο με ( + ) αφήνει υπόλοιπο 6 + Ρ() και διαιρούμενο με ( ) αφήνει υπόλοιπο 6 Ρ( ), τότε: α) να αποδείξετε ότι Ρ() = 0 και Ρ( ) = 6. (Μονάδες 8) β) να αποδείξετε ότι α = και β =. (Μονάδες 9) γ) να αποδείξετε ότι: () () (6) (7) 0. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 76 Έστω Ρ() πολυώνυμο τρίτου βαθμού το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο είναι τέτοιο, ώστε Ρ () = 0 και P() = 8. α) Να αποδείξετε ότι P(). (Μονάδες 0) β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 8. (Μονάδες 6) γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ() >. (Μονάδες 9) και ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 60 Δίνεται το πολυώνυμο P(). α) Να δικαιολογήσετε γιατί το διώνυμο είναι παράγοντας του P(). (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση P() 0. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

134 ΘΕΜΑ 6 Δίνεται το πολυώνυμο P() 0 με R για το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει ρίζα το. α) Να υπολογίσετε την τιμή του α. (Μονάδες ) β) Για α = να λύσετε την εξίσωση P() 0. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6 Δίνεται το πολυώνυμο P() 0 με R για το οποίο γνωρίζουμε ότι η τιμή του για = είναι 6. α) Να υπολογίσετε την τιμή του α. (Μονάδες ) β) Αν α = και το είναι ρίζα της εξίσωσης P() 0, να προσδιορίσετε τις άλλες ρίζες της εξίσωσης. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6 Δίνεται το πολυώνυμο P() με,, R το οποίο έχει ρίζες τους αριθμούς 0, και. α) Να δείξετε ότι β =, γ = και δ = 0. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την ανίσωση P() 0. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 6 Δίνεται το πολυώνυμο P() με R. α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε το P() να έχει παράγοντα το. (Μονάδες 0) β) Αν λ = να βρείτε όλες τις ρίζες του πολυωνύμου P(). (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () 6 διέρχεται από το σημείο Μ(,0), α) να αποδείξετε ότι α =. (Μονάδες ) β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 66 Δίνεται το πολυώνυμο P() 0 9. α) Να κάνετε τη διαίρεση του πολυωνύμου P() με το πολυώνυμο και να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση P() 0. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 67 Δίνεται η συνάρτηση f (). α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 68 Δίνεται το πολυώνυμο P() με, R. α) Αν το πολυώνυμο P() έχει ρίζα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι ίσο με, να βρείτε τα, R. (Μονάδες) β) Αν α = και β = 6, να λύσετε την εξίσωση P() 0. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

135 ΘΕΜΑ 68 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ() = 8,τότε: α) Να αποδείξετε ότι α = και β =. (Μονάδες 0) ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ P(). Αν το Ρ() έχει παράγοντα το + και β) Να λύσετε την εξίσωση: Ρ() = 0. (Μονάδες 8) γ) Να λύσετε την ανίσωση: P() 0. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 68 Δίνεται το πολυώνυμο P() (k 6) 7 k. α) Να βρείτε για ποια τιμή του k R, το είναι ρίζα του Ρ(). (Μονάδες ) β) Αν κ = 6, να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 68 Δίνεται το πολυώνυμο P() 6. α) Αν γνωρίζετε ότι η τιμή του πολυωνύμου για = είναι ίση με 0 και P() = 0, να βρείτε τα, R. (Μονάδες ) β) Αν α = και β = 8, να λύσετε την ανίσωση P() 0. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 68 Μια εταιρεία κατασκευάζει κουτιά σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις cm, cm και cm. Ένας νέος πελάτης ζήτησε από την εταιρεία να κατασκευάσει κουτιά με όγκο 0 cm, δηλαδή διπλάσιο από εκείνον που κατασκευάζει. Η εταιρεία αποφάσισε να κατασκευάσει τα κουτιά που ζήτησε ο πελάτης της, αυξάνοντας τις διαστάσεις του αρχικού κουτιού κατά σταθερό ακέραιο μήκος. α) Να αποδείξετε ότι το θα είναι λύση της εξίσωσης (Ο όγκος V ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις α, β, γ δίνεται από τον τύπο: V = α β γ). (Μονάδες ) β) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο λύνοντας την εξίσωση που δίνεται στο ερώτημα α). (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 68 Δίνονται τα πολυώνυμα P() ( ) και Q(), όπου α θετικός πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε το α ώστε τα πολυώνυμα Ρ() και Q() να είναι ίσα. (Μονάδες ) β) Αν α =, να αποδείξετε ότι η εξίσωση P() = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 686 Δίνεται το πολυώνυμο P(). α) Αν Ρ( ) = 6, να δείξετε ότι λ =. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0. (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

136 ΘΕΜΑ 687 Το πολυώνυμο P() ( ) ( ) είναι ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι λ =. (Μονάδες 9) β) Να βρείτε το P(). (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τις ρίζες του P(). (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 688 Το πολυώνυμο Ρ() αν διαιρεθεί με το ( ) δίνει πηλίκο και υπόλοιπο τον πραγματικό αριθμό υ. α) Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης. (Μονάδες 8) β) Αν Ρ() = 0, να βρείτε το υ. (Μονάδες 9) γ) Αν υ = 0,να βρείτε το P(). (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 7 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με εμβαδό Ε = 0 cm του οποίου η υποτείνουσα είναι κατά cm μεγαλύτερη από τη μία κάθετη πλευρά. Αν ονομάσουμε το μήκος αυτής της κάθετης πλευράς και το μήκος της άλλης κάθετης (σε cm), τότε: α) Να δείξετε ότι οι αριθμοί, ικανοποιούν τις σχέσεις: 60 και ( ). (Μονάδες ) β) Να δείξετε ότι ο αριθμός ικανοποιεί την εξίσωση: (Μονάδες ) γ) Αν γνωρίζετε ότι το μήκος της πλευράς είναι αριθμός ακέραιος και μικρότερος του, να βρείτε την τιμή του καθώς και τα μήκη των άλλων πλευρών του τριγώνου. (Μονάδες ) δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει άλλο ορθογώνιο τρίγωνο (με διαφορετικά μήκη πλευρών από αυτά που προσδιορίσατε στο ερώτημα γ)) το οποίο ικανοποιεί τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 79 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (), R και γ, δ πραγματικές σταθερές. α) Με βάση τη γραφική παράσταση, να αποδείξετε ότι γ = και δ = 0. (Μονάδες ) β) Θεωρώντας τώρα δεδομένο ότι f (), R: i. Να αποδείξετε ότι f ( ) f (), για κάθε R. (Μονάδες ) ii. Να μεταφέρετε στην κόλα σας το σχήμα και να συμπληρώσετε τη γραφική παράσταση της f για < 0. (Μονάδες ) iii. Να επαληθεύσετε ότι f () και, στη συνέχεια, να λύσετε τις εξισώσεις f () και f (). (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

137 ΘΕΜΑ 777 Στο σχήμα φαίνονται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α (0, ) και Β (, ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. (Μονάδες 7) β) Αν η ευθεία έχει εξίσωση = +, να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας με τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 9) γ) Να λύσετε την ανίσωση. (Μονάδες 9) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑ 766 Δίνεται το πολυώνυμο P() ( ) ( ) ( ),, R. α) Να υπολογίσετε τις τιμές των κ και λ αν το πολυώνυμο Ρ() είναι ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το είναι ίσο με. (Μονάδες 7) β) Για κ = και λ = i. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το. (Μονάδες ) ii. Να λύσετε την εξίσωση Ρ() + =. (Μονάδες 7) () iii. Να λύσετε την ανίσωση. (Μονάδες 6) ( ) ( ) ΘΕΜΑ 769 Δίνεται το πολυώνυμο P() με, R. α) Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + είναι ίσο με 6, να βρείτε τα, R. (Μονάδες 7) β) Αν α = και β =, να λύσετε την εξίσωση P() = 0. (Μονάδες 8) γ) Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) 0. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 77 Δίνεται το πολυώνυμο P() με, R. α) Να βρείτε τις τιμές των, R, όταν το πολυώνυμο P() έχει ρίζα το και παράγοντα το +. (Μονάδες 7) β) Για κ = 7 και λ = 6 να λυθεί η εξίσωση P() = 0. (Μονάδες 9) () γ) Για κ = 7 και λ = 6 να λυθεί η ανίσωση 0. (Μονάδες 9) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

138 ΘΕΜΑ 77 Δίνεται το πολυώνυμο P() 7, για το οποίο γνωρίζουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι ίσο με 6 και ότι έχει ρίζα το. α) Να βρείτε τις τιμές των α και β. (Μονάδες 8) β) Για α = και β = 0, να λύσετε: i. την ανίσωση () 0. (Μονάδες 8) ii. την εξίσωση (). (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 77 Δίνεται το πολυώνυμο P(), με R. α) Να κάνετε τη διαίρεση P() : ( α) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες το ( α) διαιρεί το Ρ(). (Μονάδες 6) γ) Αν α =, τότε: i. Να λύσετε την ανίσωση () 0. (Μονάδες 6) ii. Να λύσετε την ανίσωση ( ) () 0. (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 77 Μια εταιρεία εκτίμησε ότι το κέρδος της Ρ (σε χιλιάδες ευρώ) από την πώληση ενός συγκεκριμένου προϊόντος ήταν: P() 0..9, 0 όπου είναι η διαφημιστική δαπάνη (σε χιλιάδες ευρώ). Για αυτό το προϊόν, ξόδεψε για διαφήμιση χιλιάδες ευρώ και το κέρδος της ήταν,6 χιλιάδες ευρώ. α) i. Να χρησιμοποιήσετε την παραπάνω γραφική παράσταση της συνάρτησης P() για να εκτιμήσετε ένα άλλο ποσό που θα μπορούσε να δαπανήσει για διαφήμιση η εταιρεία ώστε να έχει το ίδιο κέρδος. (Μονάδες ) ii. Να επαληθεύσετε αλγεβρικά το αποτέλεσμα του ερωτήματος i. (Μονάδες 0) β) Πόσα χρήματα πρέπει να δαπανήσει η εταιρεία για διαφήμιση, ώστε το κέρδος της να είναι μεγαλύτερο από,6 χιλιάδες ευρώ; (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

139 . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός τότε:...,, 0, 0, π.χ. π.χ. Αν ν περιττός : ενώ αν ν άρτιος : ή,,,, Η έννοια της δύναμης επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι άρρητος. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η εκθετική συνάρτηση : f ( ), με έχει τις εξής ιδιότητες : Το πεδίο ορισμού της είναι το Το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα ( 0, ) (δηλ. παίρνει μόνο θετικές τιμές) Είναι γνησίως αύξουσα στο, δηλ. για κάθε, ισχύει : αν, τότε f ( ) f ( ) Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο (0, ) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιαξονα των. Καθώς το τείνει στο και η συνάρτηση f ( ) τείνει στο, ενώ καθώς το τείνει στο η συνάρτηση Η γραφική παράσταση της f f ( ) τείνει στο 0. ( ), με φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

140 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ), με 0 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έχει τις εξής ιδιότητες : Η εκθετική συνάρτηση : Το πεδίο ορισμού της είναι το Το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα ( 0, ) (δηλ. παίρνει μόνο θετικές τιμές) Είναι γνησίως φθίνουσα στο, δηλ. για κάθε, ισχύει : αν, τότε f ( ) f ( ) Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο (0, ) και έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιαξονα των. Καθώς το τείνει στο και η συνάρτηση f ( ) τείνει στο 0, ενώ καθώς το τείνει στο η συνάρτηση Η γραφική παράσταση της f f ( ) τείνει στο ( ), με 0. φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΟΡΙΣΜΟΣ e Αν θεωρήσουμε την ακολουθία και δώσουμε πολύ μεγάλες τιμές στο ν, τότε οι τιμές της προσεγγίζουν έναν πραγματικό αριθμό. Ο αριθμός αυτός είναι άρρητος και τον συμβολίζουμε με e (από τον Euler) και ισχύει : e lim, 788. Η συνάρτηση f ( ) e είναι εκθετική συνάρτηση (η πιο συχνά εμφανιζόμενη) και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

141 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων της μορφής : f ( ), με, παρατηρούμε ότι όσο αυξάνει το α τόσο η γραφική παράσταση «πλησιάζει» τον άξονα για 0 Για τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων της μορφής f ( ), με 0, παρατηρούμε ότι όσο μικραίνει το α τόσο η γραφική παράσταση «πλησιάζει» τον άξονα για 0 Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) και g( ), με 0 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα γιατί : g( ) f ( ). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

142 Η γραφική παράσταση της f ( ) c προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της κατά c μονάδες : προς τα πάνω αν c 0, προς τα κάτω αν c 0. Η γραφική παράσταση της f ) κατά ρ μονάδες : προς τα δεξιά αν 0 ( προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της, προς τα αριστερά αν 0. Η γραφική παράσταση της f ( ) c προκύπτει από δυο διαδοχικές μετατοπίσεις, μια οριζόντια κατά ρ και μια κατακόρυφη κατά c. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i. f ( ) ii. g( ) iii. h( ) Λύση : i. Η γραφική παράσταση της f ( ) προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της ( ) κατά μονάδες προς τα πάνω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

143 ii. Η γραφική παράσταση της ( ) g( ) κατά μονάδες προς τα δεξιά. προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της iii. Η γραφική παράσταση της h( ) προκύπτει από δυο μετατοπίσεις της ( ) : μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ