ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός

2 Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι ένα από τα σημαντικότερα μαθήματα, καθώς περιέχει γνώσεις απαραίτητες για την ύλη της Γ Λυκείου Κάθε κεφάλαιο περιέχει : Βασική θεωρία Μεθοδολογίες και σχόλια Λυμένα παραδείγματα Ασκήσεις όλων των επιπέδων δυσκολίας Θέματα από την τράπεζα της Β Λυκείου του υπουργείου Καλή μελέτη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 6 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 70 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 78 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 89 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ 8 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ&ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ 8 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 87 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

4 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση, με,, και 0 ή 0, λέγεται γραμμική εξίσωση Οι μεταβλητές, είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής Οι αριθμοί, λέγονται συντελεστές των αγνώστων της εξίσωσης ενώ το λέγεται σταθερός όρος της εξίσωσης Κάθε ζεύγος αριθμών, 0 ) που έχει την ιδιότητα να επαληθεύει την εξίσωση ( 0, δηλαδή να ισχύει 0, λέγεται λύση της γραμμικής εξίσωσης Άρα 0 το ζεύγος (, ) είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης αν και μόνο αν οι αριθμοί, επαληθεύουν την εξίσωση πχ αν έχω τη γραμμική εξίσωση : 8 τότε το ζεύγος (, ) λέγεται λύση της εξίσωσης γιατί την επαληθεύει : ( ) που ισχύει Για την εξίσωση με,, και 0 ή 0 διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν 0, τότε η εξίσωση γράφεται : Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Ειδικότερα : Αν 0, τότε η ευθεία τέμνει και τους δύο άξονες (Σχ α ), ενώ Αν 0, τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή και επομένως παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο (Σχ β ) Αν 0 (οπότε 0 ), τότε η εξίσωση γράφεται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

5 Επομένως η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Για παράδειγμα : Η εξίσωση παίρνει τη μορφή η οποία παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Η εξίσωση = παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Η εξίσωση = παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα ' και τέμνει τον άξονα ' στο σημείο Κάθε ζεύγος αριθμών που επαληθεύει μία γραμμική εξίσωση λέγεται λύση της γραμμικής εξίσωσης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

6 Για παράδειγμα, το ζεύγος (,-) είναι λύση της εξίσωσης -=6, αφού -(-) =+=6 Διαπιστώνουμε, όμως, ότι και τα ζεύγη (6,), (-0,-8) είναι λύσεις της εξίσωσης και γενικά ότι κάθε ζεύγος της μορφής,, είναι λύση της εξίσωσης ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Όταν ψάχνουμε τις κοινές λύσεις δυο γραμμικών εξισώσεων : και τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε γραμμικό σύστημα : Δηλαδή έχω εξισώσεις και αγνώστους Για να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα διαλέγουμε έναν από τους παρακάτω τρόπους Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος οδηγεί στο αποτέλεσμα είτε : το σύστημα έχει ακριβώς μια λύση, είτε είναι αδύνατο (καμία λύση), είτε είναι αόριστο (άπειρες λύσεις) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΒΗΜΑ : Διαλέγω μια από τις εξισώσεις, συνήθως αυτή που έχει τουλάχιστον έναν από τους δυο αγνώστους με συντελεστή, και λύνω ως προς τον άγνωστο αυτό ΒΗΜΑ : Στη συνέχεια αντικαθιστώ αυτό που βρήκα στην άλλη και έτσι θα έχω δημιουργήσει μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο την οποία και λύνω ΒΗΜΑ : Αφού βρω τη λύση για τον έναν από τους δυο αγνώστους, αντικαθιστώ την τιμή του στην άλλη εξίσωση και βρίσκω τον άλλο άγνωστο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να λύσετε τα σύστημα : i ii () 9 () Λύση : i ΒΗΜΑ : Έχω :,(), διαλέγω τη () γιατί αυτή έχει τον άγνωστο με,() συντελεστή Άρα,() ΒΗΜΑ : Παίρνω την εξίσωση () και θα αντικαταστήσω όπου, άρα : ( ) 6 6 ΒΗΜΑ : ( ) ii ( ), άρα ( ) ( ) , η οποία είναι αόριστη, επομένως το σύστημα έχει άπειρες λύσεις Για να βρούμε τη μορφή των άπειρων λύσεων του συστήματος, λύνουμε μια εξίσωση ως προς έναν άγνωστο, πχ Για, όπου κ τυχαίος αριθμός, είναι Άρα κάθε ζεύγος της μορφής (, ), (Θα μπορούσαμε να λύσουμε ως προς δηλ () και για το σύστημα θα έχει άπειρες λύσεις της μορφής,, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΘΕΤΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΒΗΜΑ : Δημιουργούμε αντίθετους συντελεστές σε έναν από τους δυο αγνώστους πολλαπλασιάζοντας με κατάλληλο αριθμό τα μέλη της μιας εξίσωσης ή και των δυο ΒΗΜΑ : Προσθέτουμε κατά μέλη τις δυο εξισώσεις, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο την οποία και λύνουμε ως προς τον άγνωστο αυτό ΒΗΜΑ : Αφού βρω τη λύση για τον έναν από τους δυο αγνώστους, αντικαθιστώ την τιμή του σε οποία από τις εξισώσεις θέλω και βρίσκω τον άλλο άγνωστο Να λύσετε το σύστημα : 8 Λύση : 6 6 ΒΗΜΑ : Έχω : 8 8( ) 6 8 ΒΗΜΑ : Προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 78 6 ΒΗΜΑ : Πάω στην εξίσωση και θα βάλω όπου 6, άρα έχω : 6 6 Άρα η λύση του συστήματος είναι (, ) (,6 ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος, παριστάνει μια ευθεία γραμμή ( ) : και ( ) : αντίστοιχα Η λύση (, 0 0 ) του συστήματος είναι το κοινό ή τα κοινά σημεία των δυο ευθειών Η γραφική επίλυση ενός συστήματος, ουσιαστικά είναι ο σχεδιασμός των δυο αυτών ευθειών σε ένα σύστημα συντεταγμένων και στην εύρεση των συντεταγμένων του κοινού τους σημείου Για να σχεδιάσω μια ευθεία, χρειάζομαι δυο σημεία τα οποία θα ενώσω Συνήθως διαλέγω τα σημεία τομής μιας ευθείας με τους άξονες Για σημείο τομής με τον άξονα βάζω =0 στην εξίσωση και βρίσκω το αντίστοιχο άρα το σημείο Α(,0) Ενώ για σημείο τομής με τον άξονα βάζω =0 στην εξίσωση και βρίσκω το αντίστοιχο άρα το σημείο Β(0,) ΒΗΜΑ : Δίνω στα, διαδοχικά την τιμή 0 και βρίσκω τα σημεία τομής με τους άξονες Α(,0) και Β(0,) ΒΗΜΑ : Σχεδιάζω ένα σύστημα συντεταγμένων και εντοπίζω τα σημεία τομής με τους άξονες Α(,0) και Β(0,), τα ενώνω και έτσι σχεδιάζω την εξίσωση της γραμμής ( ) : ΒΗΜΑ : Επαναλαμβάνω τη διαδικασία και σχεδιάζω την εξίσωση της γραμμής ( ) : Από το σχήμα βρίσκω τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους, που είναι και η λύση του συστήματος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να λύσετε γραφικά το σύστημα : Λύση : Έστω ( ) : και ( ) : οι ευθείες που παριστάνουν οι δυο εξισώσεις του παραπάνω συστήματος Στην ( ) για 0 έχω 0 άρα (0,) σημείο τομής της ( ) με τον για 0 έχω 0 άρα (,0) σημείο τομής της ( ) με τον Ομοίως στην ( ) για 0 έχω 0 άρα (0,) σημείο τομής της ( ) με τον για 0 έχω 0, άρα (,,0) σημείο τομής της ( ) με τον Παρατηρούμε από το σχήμα ότι οι δυο ευθείες ( ) και ( ) τέμνονται στο σημείο (, ) Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ) (, ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i Η εξίσωση είναι γραμμική ii Η εξίσωση παριστάνει ευθεία iii Οι ευθείες χ=κ και =λ είναι κάθετες iv Η ευθεία χ=κ είναι γραφική παράσταση συνάρτησης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

9 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω εξισώσεις με Σωστό, αν παριστάνουν ευθεία ή ευθείες πάντοτε και με Λάθος, αν δεν παριστάνουν i 0 ii a iii ( ) iv ( ) v vi vii 0 viii 0 i 0 6 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος Έστω (Σ) το σύστημα δυο γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστους i Αν οι ευθείες με εξισώσεις τις εξισώσεις του (Σ) τέμνονται, τότε το (Σ) έχει μοναδική λύση ii Αν το (Σ) έχει δυο λύσεις, τότε έχει άπειρες λύσεις iii Αν το (Σ) είναι αδύνατο, τότε οι ευθείες με εξισώσεις τις εξισώσεις του (Σ) ταυτίζονται iv Αν το (Σ) έχει ως λύση το ζεύγος (0,0), τότε οι σταθεροί όροι των εξισώσεων του (Σ) είναι μηδέν 7 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις i Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,), R είναι η ευθεία ii Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,), R είναι η ευθεία iii Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(,-), R είναι η ευθεία iv Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M(0,), R είναι ο άξονας v Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(,0), R είναι ο άξονας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Δίνεται η εξίσωση (α -)- β- +=0 Να βρείτε τις τιμές των α, β ώστε το ζεύγος (,-) να είναι λύση της εξίσωσης 9 Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση ( λ -)+(λ -λ)+=0 να παριστάνει ευθεία Γραφική επίλυση συστήματος 0 Να λύσετε γραφικά το σύστημα Να λύσετε γραφικά το σύστημα 0 Να λύσετε γραφικά το σύστημα 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

10 Αλγεβρική επίλυση συστήματος Να λύσετε το σύστημα: Να λύσετε το σύστημα: Να λύσετε το σύστημα: ( ) ( ) 6 Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η εξίσωση (α-β-)+(α-β-)+α-=0 να παριστάνει ευθεία 7 i Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,-) ii Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι παράλληλη στην ευθεία ε ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 8 Να εξετάσετε, ποια από τα ζεύγη (,), (0,-) και (α,α-) είναι λύσεις της εξίσωσης -= 9 i Να δείξετε ότι η εξίσωση (λ+)+(λ-)+=0, παριστάνει ευθεία, για κάθε λ R ii Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η εξίσωση (λ -)+(λ-)+=0, να παριστάνει ευθεία 0 Να λύσετε γραφικά τα συστήματα: i ii iii Να λύσετε γραφικά τα συστήματα: i ii 6 Να λύσετε με την μέθοδο της αντικατάστασης τα συστήματα: i ii iii 9 Να λύσετε με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών τα συστήματα: 7 i ii iii 6 7 Να λύσετε τα συστήματα: i 7 ii 0 iii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

11 Να λύσετε τα συστήματα: i 6 Να λύσετε τα συστήματα: i ii ii ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Αν τα συστήματα: β και 7 έχουν κοινή λύση, να βρείτε τα α και 8 Να βρείτε τις τιμές των α και β, ώστε η εξίσωση (α-β+)+(α-β-)+β-=0 να παριστάνει ευθεία 9 Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών: ε : -+=0 και ε : --=0 0 Αν οι ευθείες ε : α+β=α+9 και ε : +(α-β)=β- τέμνονται στο σημείο Α(,), να βρείτε τα α και β Δίνονται οι ευθείες ε : -=- και ε : += i Να βρείτε το σημείο τομής Α, των ευθειών ε και ε ii Να βρείτε την ευθεία ε, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α i Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που διέρχεται από τα σημεία Α(,-) και Β(-,) ii Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η, που τέμνει τον άξονα στο - και είναι παράλληλη στην ευθεία ε Να δείξετε ότι η εξίσωση σημείο τομής τους παριστάνει δυο ευθείες ε,ε και να βρείτε το Αν η εξίσωση (α-β-)=α-β- έχει άπειρες λύσεις, να βρείτε τις τιμές των α και β Αν ισχύει -++λ(-)=0, για κάθε λ R, να βρείτε τα και 6 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) 8 τέμνει τον άξονα των στο σημείο - και διέρχεται από το σημείο (, 0), να βρείτε τα α και β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

12 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 (Άσκηση σελ Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τα συστήματα με τη μέθοδο των οριζουσών : 7 i ii 8 0 Λύση : i 7 Έχω : D ( ) 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ Έχουμε το σύστημα Θεωρούμε τους αριθμούς D (Ορίζουσα D του συστήματος) D D (Ορίζουσα D : δεν έχει, δηλαδή αντικαθιστώ τους συντελεστές του με τους σταθερούς όρους) (Ορίζουσα D : δεν έχει, δηλαδή αντικαθιστώ τους συντελεστές του με τους σταθερούς όρους) Για να λύσουμε ένα σύστημα με τη μέθοδο των οριζουσών : βρίσκουμε τις ορίζουσες των D, D, D και μετά : D Αν D 0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση (, ), όπου :, D Αν D 0 και D 0 ή D 0, τότε το σύστημα είναι αδύνατο Αν D 0 και D 0 και D 0, τότε το σύστημα είναι αόριστο, έχει δηλαδή άπειρες λύσεις 7 7 D 9, D 8 D 9 D Άρα :,, δηλ το σύστημα έχει μοναδική λύση D D (, ) (,) D D ii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

13 Έχω : D D, D 8 D D Άρα :,, δηλ το σύστημα έχει μοναδική λύση D D (, ) (, ) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Για να λύσουμε ένα παραμετρικό σύστημα χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των οριζουσών Συγκεκριμένα ακλουθούμε τα εξής βήματα : ΒΗΜΑ : Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D, D, ΒΗΜΑ : Λύνουμε την εξίσωση D 0 ΒΗΜΑ : Διακρίνουμε την περίπτωση για την οποία ισχύει D 0 ΒΗΜΑ : Διακρίνουμε την περίπτωση για την οποία ισχύει D 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 (Άσκηση 8 σελ Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τα σύστημα με τη μέθοδο των οριζουσών : i ( ), ( ) ii ( ) ( ), Λύση : i (Τα παραμετρικά συστήματα, λύνονται μόνο με τη μέθοδο των οριζουσών) ( ) ( ) ΒΗΜΑ : D ( )( ) 8 ( ) ( ) D ( ) ( )( ) ( ) D ( ) D ΒΗΜΑ : D ΒΗΜΑ : Αν D 0,&, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την : D D, D 9 D 9 ΒΗΜΑ : Αν D 0 τότε : ( ) ( ) Αν έχω : ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

14 προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 0 άρα το σύστημα είναι αδύνατο ( ) Αν έχω : ( ) Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 0 άρα το σύστημα είναι αδύνατο ii ( ) ( ) ΒΗΜΑ : D ( )( ) 9 D ( ) 0 D ( ) 0 ΒΗΜΑ : D ΒΗΜΑ : Αν D 0,&, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την : D ( ), D 9 ( )( ) D ( ) D 9 ( )( ) ΒΗΜΑ : Αν D 0 τότε : ( ) Αν έχω : ( ) ( ) προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 0 0 άρα το σύστημα είναι αόριστο, έχει δηλαδή άπειρες λύσεις της μορφής (, ) όπου είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός (Για να βρω τις λύσεις διαλέγω μια από τις δυο εξισώσεις και λύνω ως προς έναν από τους δυο αγνώστους : ) ( ) Αν έχω : ( ) Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει 0 0 άρα το σύστημα είναι αδύνατο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 9 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος a Έστω το σύστημα i Αν το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση, τότε D=0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

15 ii Αν D=0, τότε το σύστημα είναι αδύνατο iii Αν το σύστημα είναι αόριστο, τότε D=0 iv Αν D=0, τότε το σύστημα είναι αδύνατο ή αόριστο 0 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος a Έστω ότι οι εξισώσεις του συστήματος (Σ) παριστάνουν τις ευθείες ε και ε i Αν D 0, τότε οι ευθείες ε, ε τέμνονται ii Αν οι ευθείες ε, ε είναι παράλληλες, τότε D=0 iii Αν D=0, τότε οι ε, ε δεν τέμνονται iv Αν D=0, τότε οι ε, ε είναι παράλληλες Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος a Έστω το σύστημα (Σ) i Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, τότε D >0 ii Αν D +D -=0, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση iii Αν το σύστημα δεν έχει μοναδική λύση, τότε είναι αδύνατο iv Αν το σύστημα δεν έχει άπειρες λύσεις, τότε είναι αδύνατο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογίσετε τις ορίζουσες: i ii iii iv 9 Να λύσετε την εξίσωση =0 Να λύσετε τα συστήματα με την μέθοδο των οριζουσών: 7 0 i ii iii 0 6 Να λύσετε το σύστημα 6 Να λύσετε το σύστημα 6 7 Έστω το σύστημα 7 i Να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση ( 0, 0 ), για κάθε λ R ii Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε 0-0 < 8 Να δείξετε ότι οι ευθείες ε: =λ- και η: +λ-λ=0 τέμνονται για κάθε λ R 9 Να βρείτε το λ, ώστε οι ευθείες ε: (λ-)+λ=λ και η: +λ= να είναι παράλληλες ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

16 0 Αν το σύστημα (Σ) έχει άπειρες λύσεις, να δείξετε ότι το σύστημα (Σ ) έχει μοναδική λύση Να λύσετε τα συστήματα: ( ) i ( ) Να λύσετε τα συστήματα: i ii ii ( ) ( ) Για τις διάφορες τιμές του λ, να λύσετε τα συστήματα: ( ) i ii ( ) Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ ώστε το σύστημα i Να έχει άπειρο πλήθος λύσεων ii Να μην έχει καμία λύση 6 Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε οι ευθείες ε : +α= και ε : α+9= να τέμνονται 6 Να βρείτε το α, ώστε οι ευθείες ε : +α = και ε : +α=α+ i Να τέμνονται ii Να είναι παράλληλες 7 Να διερευνηθεί το σύστημα : ( ) 8 Αν το σύστημα ( ) () είναι αδύνατο ( ) έχει άπειρες λύσεις, να δείξετε ότι το : 9Να λυθεί το σύστημα με ορίζουσες D, D, D για τις οποίες ισχύει : D D D D 8D D Αν D είναι η ορίζουσα του συστήματος : i να δείξετε ότι D 7 ii να λύσετε το σύστημα (Σ) (9 D) (8 D) ( ) :, τότε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6 iii να βρείτε τις τιμές των,, ώστε η λύση του συστήματος (Σ) να είναι και λύση του συστήματος ) ( ) ( 6 Δίνεται το σύστημα : i Να βρείτε τις ορίζουσες : D D D,, ii Να βρείτε τις τιμές του ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο iii Να βρείτε τις τιμές του ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις iv Να βρείτε τις τιμές του ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση για την οποία ισχύει : 0 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 (Άσκηση 8 σελ Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τα παρακάτω σύστημα : i ii iii 6 Λύση : i,(),(),() διαλέγω την () και θα λύσω ως προς ω Δηλαδή : ) : ( Αντικαθιστώ την τιμή του ω στις άλλες και έχω : ) ( ) ( Προέκυψε δηλαδή σύστημα άρα : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Για να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα, δηλαδή ενός συστήματος με εξισώσεις και αγνώστους, χρησιμοποιούμε τις ίδιες μεθόδους με αυτές που χρησιμοποιούμε για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος Πιο συγκεκριμένα λύνουμε μια από τις εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο της επιλογής μας, και στη συνέχεια αντικαθιστούμε την τιμή που βρήκαμε στις άλλες εξισώσεις Έτσι προκύπτει ένα σύστημα το οποίο και λύνουμε όπως έχουμε μάθει Επειδή η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος όπως είδαμε ανάγεται στην επίλυση γραμμικού συστήματος, προκύπτει ότι και ένα γραμμικό σύστημα είτε έχει ακριβώς μια λύση, είτε είναι αδύνατο (καμία λύση), είτε είναι αόριστο (άπειρες λύσεις)

18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7 Προσθέτω κατά μέλη και έχω : 8 και αντικαθιστώ στη : Τέλος τα, που βρήκα τα αντικαθιστώ στην Άρα ) (,, ),, ( ii,(),(),() διαλέγω την () και θα λύσω ως προς Δηλαδή : ) : ( Αντικαθιστώ την τιμή του στις άλλες και έχω : ) ( ) ( Προέκυψε δηλαδή σύστημα άρα : ) ( Προσθέτω κατά μέλη και έχω : 0 Άρα το σύστημα είναι αδύνατο iii ή ώ 6 6 6,() 0,() 6,() διαλέγω την () και θα λύσω ως προς Δηλαδή : 6 6 ) : ( Αντικαθιστώ την τιμή του στις άλλες και έχω : ) ( 0 6) ( Προέκυψε δηλαδή σύστημα άρα : 0 0 ) ( 0 0 Προσθέτω κατά μέλη και έχω : 0 0 Άρα το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις Έχω,() 0,() 0 6,(), παρατηρώ δηλαδή ότι οι () και () ταυτίζονται άρα : 0 6 Από τη () έχω : 0, αντικαθιστούμε το στην () και έχω : 6 ) ( Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής : ), 6, (0 ),, ( z όπου

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να λύσετε το σύστημα 6 Να λύσετε το σύστημα 6 Να λύσετε το σύστημα 66 Να λύσετε το σύστημα 67 Να λύσετε το σύστημα w w 7 w Θεωρούμε το γραμμικό σύστημα (Σ) με αγνώστους, D D D D, D, D ισχύουν τα εξής : D D D 8 Να βρείτε τα, D 8D D 8 Για τις ορίζουσες 69 Να λύσετε τα συστήματα: z 0 i z z z iii z z z ii z z z iv z z 0 70 Να λύσετε τα συστήματα: i z z ii z z 0 z iii z 0 z 0 z 0 z 0 iv z 0 z 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9 7 Να λύσετε τα συστήματα: i z z z ii z z z ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να λύσετε τα συστήματα : i ( ) : w w ii 0 iii 7 Να λύσετε τα συστήματα : i ii 9 7 Να λύσετε τα συστήματα : i 7 ii Να λύσετε τα συστήματα : i 6 ii 9 iii iv 6 v ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ Ορισμένα συστήματα, αν και δεν είναι γραμμικά, μπορούν με κατάλληλο τέχνασμα να μετατραπούν σε γραμμικά Ένα τέτοιο τέχνασμα συνήθως είναι η αντικατάσταση Αντικαθιστούμε κάποιον ή κάποιους όρους του συστήματος που βρίσκονται και στις δυο εξισώσεις, με έναν νέο άγνωστο και έτσι οδηγούμαστε σε ένα νέο σύστημα που είναι όμως γραμμικό Λύνουμε το νέο σύστημα και στη συνέχεια, επιστρέφοντας στις αρχικές σχέσεις, βρίσουμε τις λύσεις του αρχικού συστήματος Σε άλλες περιπτώσεις μπορούμε να προσθέσουμε όλες ή μερικές από τις εξισώσεις του συστήματος και με αντικατάσταση να βρούμε ευκολότερα τη λύση του δοσμένου συστήματος

21 vi 0 vii 8 viii 76 Δίνονται οι αριθμοί α,β και γ με : 0 και 0 Να εκφράσετε τα α,β ως συνάρτηση του γ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι : 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Για τη λύση προβλημάτων, που ανάγονται σε συστήματα με δυο ή περισσότερους αγνώστους, αρχικά σχηματίζουμε τις αξιώσεις από τα δεδομένα του προβλήματος και σχηματίζουμε το σύστημα που προκύπτει Θέτουμε περιορισμούς για τους αγνώστους εφόσον είναι απαραίτητο και στη συνέχεια λύνουμε το παραπάνω σύστημα Τέλος επαληθεύουμε τις λύσεις που έχουμε βρει με τους περιορισμούς που έχουμε θέσει ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 77 Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε το μισό της ζωής του, ενώ αν πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, θα βασίλευε το 8 της ζωής του Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε και πόσα χρόνια βασίλευε ο Μέγας Αλέξανδρος 78 Ένας μαθητής απάντησε σε ένα τεστ με 0 ερωτήσεις Για κάθε σωστή απάντηση έπαιρνε μονάδες, ενώ για κάθε λανθασμένη του αφαιρούνταν δυο μονάδες Αν συνολικά συγκέντρωσε 0 μονάδες, σε πόσες ερωτήσεις απάντησε σωστά και σε πόσες λανθασμένα; 79 Ένα ξενοδοχείο έχει 0 δωμάτια, δίκλινα και τρίκλινα, και μπορεί να φιλοξενήσει μέχρι και 80 άτομα Πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια; 80 Σε μια εκδήλωση ο αριθμός των γυναικών που συμμετέχουν είναι διπλάσιος από τον αριθμό των ανδρών Μια ώρα μετά την έναρξη της εκδήλωσης αποχωρούν δέκα ζευγάρια Ο αριθμός των ανδρών που απομένουν είναι ισος με τα 9 του αριθμού των γυναικών που απομένουν Να βρείτε τον αριθμό των ανδρών και των γυναικών που συμμετείχαν αρχικά στην εκδήλωση 8 Ο Δημήτρης, ο Γιώργος και ο Ανέστης θέλουν να αγοράσουν με τα χρήματα τους ένα δώρο για τη Μαριάννα Τα χρήματα του Δημήτρη και του Γιώργου μαζί είναι κατά 0 περισσότερα από τα χρήματα του Ανέστη Τα χρήματα του Γιώργου και του Ανέστη είναι κατά 60 περισσότερα από τα χρήματα του Δημήτρη και τέλος τα χρήματα του Δημήτρη και του Ανέστη είναι κατά 0 περισσότερα από τα χρήματα του Γιώργου Πόσα χρήματα έχει ο καθένας; Πόσο κοστίζει το δώρο της Μαριάννας; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

22 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 8 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ) με, Η C f τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη Επίσης η κορυφή της i Να δείξετε ότι :, ii Να λύσετε την ανίσωση : f ( ) f ( ) 8 C f έχει τετμημένη 8 Δίνεται το σύστημα : i Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση για κάθε τιμή του ii Αν, ) είναι η μοναδική λύση του συστήματος, να βρείτε για ποια τιμή του λ η ( 0 0 παράσταση 0 0 γίνεται μέγιστη ( ) 8 Δίνεται το σύστημα : το οποίο έχει ορίζουσα D Επίσης η εξίσωση ( ) : ( D ) ( D ) 0 έχει διπλή ρίζα i Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης ii Να λύσετε το σύστημα 8 Η εξίσωση ( ) 0 έχει ρίζες τις, Ισχύουν οι σχέσεις :, και Να βρείτε τους αριθμούς,, ( ) 8 Να βρείτε για ποιες τιμές του το σύστημα ( ) λύση το ζεύγος, ) για το οποίο ισχύει ( έχει μοναδική 86 Ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων, με αγνώστους και, έχει μοναδική λύση και ισχύει : D D D και D D D όπου D, D D οι αντίστοιχες ορίζουσες 7, του συστήματος Να βρείτε τη μοναδική λύση του συστήματος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

23 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Για την επίλυση των μη γραμμικών συστημάτων συνήθως χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης Λύνουμε δηλαδή τη φαινομενικά πιο «εύκολη» από τις δυο εξισώσεις ως προς έναν άγνωστο, και αντικαθιστούμε την τιμή που βρήκαμε στην άλλη Τα παρακάτω λυμένα παραδείγματα θα μας βοηθήσουν να καταλάβουμε καλύτερα τον τρόπο λύσης τους Προσοχή : επειδή το σχολικό βιβλίο αναφέρεται σε γεωμετρική ερμηνεία των εξισώσεων καλό θα είναι να γνωρίζουμε ότι εξισώσεις της μορφής : παριστάνουν ευθεία παριστάνουν κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ ή παριστάνουν παραβολή ή παριστάνουν υπερβολή Λεπτομέρειες για τα παραπάνω θα διδαχτούμε στα μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 7 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε το σύστημα Λύση :,() διαλέγω τη φαινομενικά πιο «εύκολη» ( ) :,() και λύνω ως προς Στη συνέχεια αντικαθιστώ στην () την τιμή του που βρήκα και έχω: () : ( ) ( ) 0,, ( ) ( ) 8 9, ( ) 9 ή Αν τότε λόγο της () : Αν τότε λόγο της () : άρα (, ) (, ) άρα (, ) (,) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ (Άσκηση σελ 7 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τα συστήματα : i ii 0 9 iii και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα Λύση : i,(),(), Η () λόγο της () γίνεται : : () Αν τότε λόγο της 9 () : άρα, ), ( Γεωμετρικά η ) : ( παριστάνει παραβολή, ενώ η ) : ( παριστάνει ευθεία Το σύστημα τους έχει μόνο μια λύση, αυτό σημαίνει ότι η παραβολή και η ευθεία έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το,, δηλαδή η ευθεία εφάπτεται στην παραβολή στο σημείο, ii () 0, () 9,, Έχω 0 ) : ( Άρα η () λόγο της () γίνεται : () : Αν τότε λόγο της ) : ( άρα, ), ( Αν τότε λόγο της ) : ( άρα, ), ( Γεωμετρικά η 9 () : παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=, ενώ η 0 ) : ( παριστάνει ευθεία Το σύστημα τους έχει λύσεις, αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος και η ευθεία έχουν δυο κοινά σημεία, και, δηλαδή η ευθεία τέμνει τον κύκλο στα σημεία, και, iii (), (), Έχω () : 0 Άρα η () λόγο της () γίνεται : 0 () :

25 Η τελευταία εξίσωση είναι «διτετράγωνη» οπότε θέτω 0 άρα γίνεται : 0 ή δεκτές Αν Αν τότε λόγο της () : Αν τότε λόγο της () : Αν Αν τότε λόγο της () : Αν τότε λόγο της () : άρα (, ), άρα (, ), άρα (, ), άρα (, ), Γεωμετρικά η () : παριστάνει κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα, ενώ η ( ) : παριστάνει υπερβολή Το σύστημα τους έχει λύσεις, αυτό σημαίνει ότι ο κύκλος και η υπερβολή έχουν κοινά σημεία,,,,, και, δηλαδή ο κύκλος και η υπερβολή τέμνονται στα σημεία,,,,,, και ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να λύσετε το σύστημα 7 Να λύσετε το σύστημα Να λύσετε το σύστημα 6 Να λύσετε το σύστημα 0 7 Να λύσετε το σύστημα i Αλγεβρικά ii Γραφικά 8 Να λύσετε τα συστήματα: i 0 ii 60 iii 6 9 Να λύσετε αλγεβρικά και γραφικά τα συστήματα: 7 i ii iii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

26 0 Να λύσετε το σύστημα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα Να λύσετε το σύστημα και να ερμηνεύσετε γραφικά το αποτέλεσμα Να βρείτε τα κοινά σημεία της παραβολής = και της ευθείας =+ Να βρείτε τα κοινά σημεία της παραβολής = και της υπερβολής 7 Να λύσετε τα συστήματα: 0 i 0 ii 9 Να λύσετε το σύστημα: 6 Να λύσετε τα συστήματα: i ii iii 6 iv 8 7 Να λύσετε τα συστήματα : (Μετατροπή μη γραμμικού συστήματος σε γραμμικό με αντικατάσταση) 6 8 i ii iii iv 6 8 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 8 Να λύσετε τα συστήματα : 7 i 9 v 8 9 ii vi 9 iii vii 8 iv Η παραβολή με εξίσωση : ( ) έχει κορυφή το σημείο Κ(,8) i Να δείξετε ότι, ii Να βρείτε τα κοινά σημεία της παραπάνω παραβολής και της ευθείας ( ) : 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

27 0 Δίνεται η ευθεία με εξίσωση ( ) : και η παραβολή ( C) : Να προσδιορίσετε το, ώστε η ευθεία να έχει με την παραβολή : i Ένα κοινό σημείο, ii δύο κοινά σημεία, iii κανένα κοινό σημείο Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση : ( C ) : και η ευθεία ( ) : i Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ο κύκλος και η ευθεία : έχουν δύο κοινά σημεία, έχουν ένα κοινό σημείο, δεν έχουν κοινά σημεία ii Για να βρείτε : τις συντεταγμένες του κοινού σημείου, το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζει η ευθεία (ε) με τους άξονες και το εμβαδόν της περιοχής που ορίζεται από την ευθεία (ε), τον κύκλος (C) και τους άξονες και Δίνεται υπερβολή με εξίσωση : ( C) :, 0 η οποία διέρχεται από το σημείο :, Θεωρούμε επίσης ευθεία (ε), η οποία διέρχεται από το σημείο Ν(,-) και σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω για την οποία ισχύει : i Να αποδείξετε ότι 6 ii Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) έχει εξίσωση ( ) : iii Να βρείτε τα κοινά σημεία της υπερβολής C και της ευθείας ε iv Να σχεδιάσετε την ευθεία ε και την υπερβολή C στο ίδιο σύστημα αξόνων ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

28 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 690 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο (Μονάδες 0) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 69 Δίνεται η εξίσωση: 8 7 () α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την εξίσωση () (Μονάδες 0) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 697 Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες ) β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι χρόνια Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6960 α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών (ε) και(η) (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δίνεται το σύστημα: με παραμέτρους,, α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, ) (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

29 ΘΕΜΑ 760 Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος cm, πλάτος cm, περίμετρο ίση με 8cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά cm και μειώσουμε το πλάτος του κατά cm, θα προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων, του ορθογωνίου (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 76 Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις 0 το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 80 και το πλήθος των τροχών τους 700 α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους (Μονάδες ) β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 768 ( ) Δίνεται το σύστημα: με παράμετρο R ( ) 6 α) Αν, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις Να βρείτε μια λύση (Μονάδες 8) β) Αν, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο (Μονάδες 8) γ) Αν 0, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οποία και να προσδιορίσετε (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 770 : Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις:, με παράμετρο R : ( ) 6 α) Να βρείτε την τιμή του R β) Να παραστήσετε γραφικά τις γ) Υπάρχει τιμή του R ώστε οι ευθείες και και, για, ώστε οι ευθείες και να είναι παράλληλες (Μονάδες 8) (Μονάδες 8) να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 7709 :, : 9, : 7 Δίνονται οι ευθείες α) i Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των, ii Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των, β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α), να δείξετε ότι το κοινό σημείο των σημείο της (Μονάδες ) και είναι (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 777 Ένα θέατρο έχει σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα Η κάθε μια από τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει καθίσματα και η κάθε μια από τις σειρές του πάνω διαζώματος έχει 6 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 7 καθίσματα α) Αν, ο αριθμός σειρών του κάτω και o αριθμός σειρών του πάνω διαζώματος, να εκφράσετε τα δεδομένα του προβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων (Μονάδες ) β) Πόσες σειρές έχει το πάνω και πόσες το κάτω διάζωμα; (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 77 : 6, : Δίνονται οι ευθείες: α) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ (Μονάδες ) β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, η ευθεία διέρχεται από το Μ (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

30 ΘΕΜΑ Δίνεται το σύστημα: με παραμέτρους,, α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος, (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 868 Δίνεται το σύστημα:, με παραμέτρους,, α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος, (Μονάδες ) β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους,, ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 78, με εξισώσεις ( ), ( ) αντίστοιχα και Δίνονται οι ευθείες α) Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών (Μονάδες ), τέμνονται, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου β) Στην περίπτωση που οι ευθείες τομής Α των δύο ευθειών (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε την τιμή του για την οποία το σημείο Α ανήκει στην ευθεία με εξίσωση: (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 789 Δίνεται το σύστημα:, με παράμετρο α) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την 0 0,, τότε 0 0 (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το σύστημα: i έχει άπειρες σε πλήθος λύσεις και να δώσετε τη μορφή τους (Μονάδες 6) ii δεν έχει λύση (Μονάδες ) γ) Να εξετάσετε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών που προκύπτουν από τις εξισώσεις του παραπάνω συστήματος για,, (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 09 Δίνονται οι ευθείες ( ) : και ( ): α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει του λ (Μονάδες ) β) Για ποια τιμή του λ οι δύο ευθείες είναι παράλληλες; (Μονάδες 6) γ) Αν οι ευθείες ( ) και ( ) ταυτίζονται, να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι παράλληλες (Μονάδες 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

31 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 769 α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα (Μονάδες ) β) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος που βρήκατε στο ερώτημα α) (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 78 Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα παρακάτω: Η ηλικία της μητέρας είναι τριπλάσια από την ηλικία του παιδιού Ο λόγος της ηλικίας το πατέρα προς την ηλικία του παιδιού ισούται με Επιπλέον το άθροισμα των ηλικιών και των τριών ισούται με χρόνια α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους (Μονάδες ) β) Να βρείτε την ηλικία του καθενός (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 780 Ο Κώστας έχει τρία παιδιά Δύο δίδυμα κορίτσια και ένα αγόρι Στην ερώτηση πόσων χρονών είναι τα παιδιά του απάντησε ως εξής Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών παιδιών είναι Το γινόμενο της ηλικίας της κόρης μου επί την ηλικία του γιου μου είναι Το άθροισμα των ηλικιών των κοριτσιών είναι μικρότερο από την ηλικία του αγοριού α) Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν τα στοιχεία και που έδωσε ο Κώστας (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του Κώστα (Μονάδες ) ΘΕΜΑ α) Να λύσετε το σύστημα ( ) : (Μονάδες 0) 6 β) Είναι οι λύσεις του συστήματος (Σ ) λύσεις και του ( ) : ; Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας (Μονάδες 7) γ) Είναι οι λύσεις του συστήματος (Σ ) λύσεις και του (Σ ); Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

32 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου Β Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και περιέχει τις δυνατές τιμές που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή (το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f το συμβολίζουμε συνήθως όλες τις τιμές της () f ) Το σύνολο Β λέγεται σύνολο τιμών της f και περιέχει D f ή f για τα αντίστοιχα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P( ) Q ( ) 0 f ( ) Q( ) f ( ) v P( ) P ( ) 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) iv f ( ) 6 v f ( ) vi f ( ) vii f ( ) Λύση : i Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D ii Πρέπει : 0 Άρα D f 0 & Άρα D, iii Πρέπει : iv Πρέπει : Άρα D (,6] v Πρέπει : 0 και 0 Άρα D [,) (, ) f f f f ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

33 vi 0 Πρέπει : [, ] Άρα D f 0 [, ] vii Πρέπει : 0 () και 0 () Έχω Άρα επειδή θέλω 0 [, ] () Από () & () D [,0) (0, ] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : f Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 i) f ( ) 7 ii) f ( ) iii) f ( ) iv) 8 f ( ) v) f ( ) vi) f ( ) vii) f ( ) 8 Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 6 i) f ( ) ii) f ( ) iii) f ) iv) f ( ) v) f ( ) vi) f ( ) vii) f ( ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 7 i) f( ) ii) f( ) iii) g ( ) 8 9 iv) g ( ) v) h ( ) vi) h ( ) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: i) f ( ) ii) f( ) iii) 6 0 iv) g ( ) v) h ( ) 7 6 ( g ( ) vii) h( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

34 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΟΡΙΣΜΟΣ) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,, με, ισχύει : f ( ) f ( ) (Αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε ισχύει η ισοδυναμία f ) f ( ) ) ( Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,, με, ισχύει : f ( ) f ( ) (Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε ισχύει η ισοδυναμία f ) f ( ) ) ( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α : ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΑΠΟ ΣΧΗΜΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

35 Λύση : Όπως προκύπτει από το παραπάνω σχήμα, η συνάρτηση f είναι : γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,] γνησίως αύξουσα στο διάστημα [,] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Β : ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΟΡΙΣΜΟ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της ακολουθούμε τα εξής βήματα : Θεωρούμε δύο οποιαδήποτε σημεία, με Με κατάλληλες πράξεις κατασκευάζουμε την ανισότητα μεταξύ των f ( ) και f ( ) Αν καταλήξουμε στην ανισότητα f ( ) f ( ), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Αν καταλήξουμε στην ανισότητα f ) f ( ), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ ( Χρήσιμες είναι οι παρακάτω ιδιότητες της διάταξης : i ii Αν 0 τότε iii Αν 0 τότε iv Αν () και (), τότε προσθέτω κατά μέλη της () και () και έχω : (Προσοχή : δεν γίνεται να προσθέσω κατά μέλη ανισότητες που έχουν διαφορετική φορά) v Αν,,, θετικοί αριθμοί τότε αν () και (), τότε πολλαπλασιάζω κατά μέλη της () και () και έχω : (Προσοχή : δεν γίνεται να πολλαπλασιάσω κατά μέλη ανισότητες που έχουν διαφορετική φορά) Αν vi, είναι θετικοί αριθμοί και ν φυσικός διαφορετικός του μηδέν, τότε ισχύει :, ό (Προσοχή : αν, αρνητικοί τότε : ), ά vii Αν, 0, τότε viii Αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι, τότε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να βρείτε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων : i f ( ) 7 ii f ( ) 7 iii f ( ) iv f ( ) ( ), Λύση : i f ( ) 7, Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D Έστω, D f με, τότε έχουμε : f ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

36 γνησίως αύξουσα στο D f 7 7 f ( ) f ( ) άρα η f () είναι ii f ( ) 7, Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D Έστω, D f με, τότε έχουμε : 7 7 f ( ) f ( ) άρα η f () είναι γνησίως φθίνουσα στο D f (Γενικά γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ευθεία Για τη μονοτονία της συνάρτησης αυτής ισχύει ότι : Αν 0 η f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο Αν 0 η f ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Αν 0 η f ( ) 0 f ( ) είναι σταθερή στο ) iii Πρέπει : 0 Άρα D (, ] Έστω, D f (, ], με f f f ) f ( ) f ( ) άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο D (, ] iv D f (, ], Έστω, D f (, ], με ή, 0,& 0 f ( είναι μια ( ) ( (Όταν υψώνω στο τετράγωνο ) αρνητικούς αριθμούς, αλλάζει η φορά της ανίσωσης) ( ) ( ) f ( ) f ( ) άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο D (,] f ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i f ( ) 6 ii f ( ) iii f ( ) iv f ( ) 6 v f ( ) vi f ( ) vii f ( ) viii f ( ) 9 Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i f ( ) 6 ii f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

37 iii f ( ) iv f ( ) 6 v f( ) vi f ( ) vii f ( ) 0 Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση,0 f ( ) στο διάστημα Να βρείτε για ποιες τιμές του η συνάρτηση : i f ( ) ( 8) είναι γνησίως αύξουσα ii f ( ) (6 ) είναι γνησίως φθίνουσα iii ( ) 7 9 f είναι γνησίως αύξουσα iv f ( ) 7 είναι γνησίως αύξουσα v f ( ) 6 9 είναι γνησίως φθίνουσα Να βρείτε για ποιες τιμές του η συνάρτηση : f ( ) 08 γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g( ) 09 αύξουσα είναι είναι γνησίως Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f( ) ( ), στο (,) Έστω η συνάρτηση f:r R η οποία είναι γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι η συνάρτηση g()=+f() είναι γνησίως αύξουσα Έστω δυο συναρτήσεις f,g:r R Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση g()=f(-+) 6 6 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (, ) να δείξετε ότι iii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

38 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη, τότε η τέμνει τον άξονα το πολύ μια φορά Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση f ( ) 0, αλλά και κάθε εξίσωση της μορφής f () με, έχει το πολύ μια ρίζα Για να επιλύσουμε μια εξίσωση η οποία δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο δουλεύουμε ως εξής : ) μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος ) θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση f () οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f ( ) 0 ή f () ) βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα (προφανής) της εξίσωσης f ( ) 0 ή f () ) αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη, οπότε η εξίσωση f ( ) 0 ή f () έχει το πολύ μια ρίζα που είναι η προφανής C f ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να λυθεί η εξίσωση : 0 Λύση : Έχω : 0 0, έστω f ( ) 0 Πρέπει 0 0 0, δηλ D (,0] Έχω να λύσω την εξίσωση 0 0 f ( ) 0 Με δοκιμές f παρατηρώ ότι για έχω : f () 0 Άρα η είναι ρίζα (προφανής) της εξίσωσης f ( ) 0 Για να δείξω ότι είναι και μοναδική, αρκεί να δείξω ότι η f είναι γνησίως μονότονη Έστω, D f (,0], με : () Επίσης : () Προσθέτω κατά μέλη τις () και () και έχω : 0 0 f ) f ( ) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο D (,0], άρα η ρίζα της ( εξίσωσης f ( ) 0 είναι και μοναδική ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 8 Να λυθεί η εξίσωση : 9 Δίνεται η συνάρτηση f ( ), με, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (6,) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι 6 ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία iii Να λύσετε την εξίσωση 6 f ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

39 8 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την εξίσωση 8 Δίνεται η συνάρτηση f ( ), με, για την οποία ισχύει f ( ) f () i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και να δείξετε ότι ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία iii Να λύσετε την εξίσωση ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ & ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Για να επιλύσουμε μια ανίσωση η οποία δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο δουλεύουμε ως εξής : ) μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος ) θέτουμε το ο μέλος ως συνάρτηση f () οπότε η ανίσωση έχει τη μορφή f ( ) 0 ή f ( ) 0 ) αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη ) βρίσκουμε με δοκιμές μια ρίζα (προφανής) της εξίσωσης f ( ) 0 ή f () έτσι η ανίσωση γίνεται f ( ) 0 f ( ) f ( ) ) εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της f για να λύσουμε την ανίσωση που προέκυψε ΠΡΟΣΟΧΗ : Αν η f είναι γνησίως αύξουσα τότε : f ( ) f ( ) και f ( ) f ( ) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε : f ( ) f ( ) και f ( ) f ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να λυθεί η ανίσωση : Λύση : Έχω : 0 η ανίσωση ορίζεται για κάθε [ 0, ) Έστω h ( ), με h [ 0, ), έχω να λύσω την ανίσωση : h ( ) 0 () Παρατηρώ ότι h ( ) 0 άρα η άρα η ανίσωση () γίνεται : h( ) h() Αρκεί τώρα να βρω τη μονοτονία της h : Έστω, με : h () () Προσθέτω κατά μέλη τις (),() και () και έχω : h ) h( ) Άρα η ( h για κάθε [ 0, ), οπότε h ( ) h() ή (0,) h ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

40 Δίνεται η συνάρτηση f ( ), αφού βρείτε τη μονοτονία της, να λύσετε την ανίσωση f ( ) f ( ) Λύση : Έχω : D f, Έστω, D f, με Επίσης : () () f ( ) f ( Προσθέτω κατά μέλη τις () και () και έχω : ) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα Οπότε f ( ) f ( ) 0 Έχω Άρα επειδή θέλω 0 (, ) f Αν η συνάρτηση f ( ) είναι γνησίως αύξουσα τότε να λυθεί η εξίσωση : ( ) Λύση : ( ) 6 ( ) 6 ( ) f ( ) f f ( ) ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9 0 (,) (, ) Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, η οποία είναι γνησίως μονότονη και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία (,6) και (,) i Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f ii Να λύσετε την ανίσωση : f ( 7) f Λύση : i H C f διέρχεται από το σημείο (,6), άρα ισχύει f ( ) 6 και η C f διέρχεται από το σημείο (,), άρα ισχύει f ( ) Αν και τότε Επίσης f ( ) 6 f ( ) 6 και f ( ) f ( ) Έχουμε δηλ με f ( ) f ( ), επομένως η f αποκλείεται να είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως φθίνουσα f () f ii f f ( 7) f f ( 7) f () f ( 7) f ( 7) 6 f ( ) 6 f ( 7) f f ( ) (,) 6 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει ότι : f ( ) f ( ) f ( ) f ( 7) Λύση : Για κάθε ισχύει ότι : f f ( ) f ( ) f () 7 f ( ) f ( 7) () Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () έχουμε : f ( ) f ( ) f ( ) f ( 7)

41 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) i Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση : iii Να λύσετε την ανίσωση : 8 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) i Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση : 9 Έστω η συνάρτηση f ( ) i Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ii Να λυθεί η ανίσωση : ( ) ( ) 0 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) i Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε τις ανισώσεις : α) f ( ) f () β) 0 f γ) f ( ) f ( ) 0 Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, να λυθούν οι ανισώσεις : i f ( ) f ( ) ii f ( ) f ( ) Μια συνάρτηση f : είναι γνησίως μονότονη με f ( 008) f (00) i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f ii Να λυθεί η ανίσωση f ( ) f ( ) Μια συνάρτηση f : είναι γνησίως μονότονη με f ( 007) f (000) i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f ii Να λυθεί η ανίσωση f ( ) f ( ) Έστω ότι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f:r R τέμνει τον άξονα στο Να λύσετε την ανίσωση f( -)<, i αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ii αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R Έστω f:r R μια συνάρτηση η οποία είναι γνησίως αύξουσα Να δείξετε ότι: i f()+f()<f()+f(6), για κάθε >0 ii f()+f( )>f( )+f( ), για κάθε (0,) 6 Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, να δείξετε ότι f ( a ) f ( a) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

42 7 Έστω η συνάρτηση f : γνησίως μονότονη, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(,) i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f f ii Να λυθεί η ανίσωση : 8 Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f :, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(-,7) i Να βρεθεί το είδος της μονοτονίας της f f f 6 ii Να λυθεί η ανίσωση 0 9 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) i Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ii Να λύσετε την ανίσωση : f f ( ) 6 iii Να αποδείξετε ότι : f ( ) f () f () f () 0 Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) με, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία (,) και (,) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Να δείξετε ότι, iii Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες iv Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f παίρνει τη μορφή f ( ) v Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία στο διάστημα (, ) vi Να αποδείξετε ότι : f ( ) f () f () f () ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΟΡΙΣΜΟΣ) Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) μέγιστο όταν : f ) f ( ) για κάθε 0 ( 0 Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο όταν : f ) f ( ) για κάθε 0 ( 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

43 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γενικά για να αποδείξω ότι η f παρουσιάζει μέγιστο, προσπαθούμε να βρούμε ένα τέτοιο ώστε : f ) f ( ), αντίστοιχα ελάχιστο f ) f ( ) 0 ( 0 ( 0 Για να βρω τα ακρότατα μιας συνάρτησης, είναι χρήσιμες οι παρακάτω διαδικασίες : Ακρότατα της συνάρτησης : f ( ), 0 Η γραφική παράσταση της f είναι μια παραβολή με κορυφή το σημείο, Αν 0 τότε : f, και και παρουσιάζει ελάχιστο f, στο 0 το f ( 0 ) f Αν 0 τότε : f, και και παρουσιάζει μέγιστο στο f, 0 το f ( 0 ) f 6 Αν 0 Αν 0 O, K, Αν γνωρίζουμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης σε κλειστό διάστημα τότε μπορούμε να βρούμε τα ακρότατα της πχ αν f [, ] τότε παρουσιάζει στο α ελάχιστο το f ( ) και στο β μέγιστο το f ( ) αν f [, ] τότε παρουσιάζει στο α μέγιστο το f ( ) και στο β ελάχιστο το f ( ) Κατασκευάζω ανισοισότητες της μορφής f ( ) m ή f () ή m f () και βρίσκω τις τιμές του για τις οποίες ισχύει το = λύνοντας την εξίσωση : f ( ) m ή f () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

44 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : i Η συνάρτηση f ( ) 6 0 παρουσιάζει ελάχιστο για ii Η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει μέγιστο για Λύση : i f ( ) 6 0 Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D ii Για να παρουσιάζει η f () ελάχιστο για, αρκεί να αποδείξουμε ότι f ( ) f () για κάθε D Έχω : f ( ) f () f ( ) 0 που ισχύει f ( ), πρέπει 0 που ισχύει για κάθε Άρα δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα D f Για να παρουσιάζει η f () μέγιστο για, αρκεί να αποδείξουμε ότι f ( ) f () για κάθε D Έχω : f 0 f ( ) f () 0 ( ) 0 που ισχύει ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0 Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : i f ( ) 7 ii f ( ) iii f ( ) iv 0 f ( ) v f ( ) vi f ( ) vii f ( ), [,) Λύση : i f ( ) 7, είναι f f Επειδή 0 άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 το f ( 0 ) f (), άρα για κάθε ισχύει ότι f ( ) f () f ( ) Επίσης η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, ) ii f ( ), είναι f Επειδή 0 άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 ( ) το f ( 0 ) f (), άρα για κάθε ισχύει ότι f ( ) f () f ( ) Επίσης η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,] και γνησίως φθίνουσα στο [, )

45 iii f ( ), είναι f Έχουμε για κάθε έχουμε 0 0 f ( ) () Λύνουμε την εξίσωση f ( ) 0, δηλ f ( ) άρα η () γίνεται f ( ) f ( ) f () Άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 το f ( ) iv 0 f ( ), πρέπει 0 0, που ισχύει άρα, είναι f (,] Έχουμε για κάθε (,] έχουμε f ( ) () 0 Λύνουμε την εξίσωση f ( ), δηλ f ( ) άρα η () γίνεται f ( ) f ( ) f () Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 το f ( ) v f ( ), είναι f Παρατηρούμε ότι : f ( ) f ( ) f ( ) ( ) 0 f ( ) () f Έχουμε για κάθε έχουμε Λύνουμε την εξίσωση f ( ) 0, δηλ f ( ) και f ( ) άρα η () γίνεται : f ( ) f ( ) f () f ( ) f ( ) Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο και στο το f ( ) f () vi vii f ( ), είναι f (,] Με χτίσιμο δείχνω ότι f (,] άρα η f παρουσιάζει : ελάχιστο στο 0 το f ( ) 0 δηλ για κάθε (, ] ισχύει ότι f ( ) f (0) f ( ) 0 Η f δεν παρουσιάζει μέγιστο f ( ), είναι f [,) Με χτίσιμο δείχνω ότι f [,) άρα η f παρουσιάζει : Μέγιστο στο 0 το f ( ) ( ) δηλ για κάθε [,) ισχύει ότι f ( ) f ( ) f ( ) Η f δεν παρουσιάζει ελάχιστο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

46 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος Έστω μια συνάρτηση f:a R i Αν για κάθε A, ισχύει f() f( 0 ), τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0 ii Αν Α = (α, β), 0 A, η f είναι γν φθίνουσα στο (α, 0 ], και γν αύξουσα στο [ 0,β), τότε η f έχει ελάχιστη τιμή το f( 0 ) iii Αν Α = [α, β] και η f είναι γν φθίνουσα, τότε η f έχει μέγιστο το f(α) και ελάχιστο το f(β) iv Αν f(a)=[κ, λ), τότε η μέγιστη τιμή της f είναι το κ, και η f είναι γν μονότονη, τότε η f έχει ολικό ακρότατο v Αν ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να δείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 f ( ), με πεδίο ορισμού ( 0, ) f, Να δείξετε ότι η συνάρτηση f( ) για παρουσιάζει μέγιστο για και ελάχιστο 6 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει μέγιστο στο 7 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 Ποιο είναι το ελάχιστο της f; 6 8 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 Ποιο είναι το ελάχιστο της f ; 0 9 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) έχει ελάχιστη τιμή - και μέγιστη 0 Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : i f ( ) ii f ( ) ( ) iii f ( ) iv f ( ) 7 v f ( ) 7 vi f ( ) 6 vii f ( ) 7 viii f ( ) i f ( ) 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

47 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα των συναρτήσεων : i f ( ) 7 ii f ( ) 8 iii f ( ) 6 iv f ( ) Να βρείτε : i το ελάχιστο της συνάρτησης f ( ) με πεδίο ορισμού f ( 0, ) ii το μέγιστο της συνάρτησης g( ) με πεδίο ορισμού (,0) g (Υπόδειξη : Χρήσιμες είναι οι ανισώσεις για 0, με το «=» να ισχύει μόνο για για 0, με το «=» να ισχύει μόνο για ) Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της f iv Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f Δίνονται οι συναρτήσεις : f ( ) και 6 g ( ) i Να βρείτε το ελάχιστο της f ii Να βρείτε το μέγιστο της g iii Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε, ισχύει ότι : 7 f ( ) g( ) 0 Για τη συνάρτηση f του παρακάτω σχήματος, να βρείτε : i τα ακρότατα ii τα διαστήματα μονοτονίας iii τις λύσεις της ανίσωσης f ( ) 0 iv τις λύσεις της εξίσωσης f ( ) 0 v την τιμή f (0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

48 6 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f : i να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii να βρείτε το σύνολο τιμών της f iii να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ iv να βρείτε για ποια τιμή του η f παίρνει την ελάχιστη τιμή της v να λύσετε γραφικά την εξίσωση f ( ) vi να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε ισχύει : και f ( ) f ( ) Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε ισχύει : και f ( ) f ( ) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Για να είναι μια συνάρτηση f άρτια ή περιττή, πρέπει το πεδίο ορισμού της να είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το 0, δηλ να ισχύει, για κάθε ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) iv f ( ) v Λύση : i D, για κάθε f f f ( ) vi D f είναι και f ) 6 ( D f Επίσης : ( ) ( ) ( ) f ( ) για κάθε D f Άρα η f είναι άρτια ii D f f, για κάθε D f είναι και ( D f Επίσης : ) f ( ) για κάθε D f Άρα η f είναι άρτια ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

49 iii D f, για κάθε D f είναι και D f Επίσης : f ( ) ( ) δεν βγαίνει ούτε f () ούτε f () Άρα η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή iv D f f, για κάθε D f είναι και D f Επίσης : ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) για κάθε f είναι περιττή D f Άρα η v Πρέπει 0 άρα D f, για κάθε D f δεν είναι και D Άρα η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε D f καθώς αν D f, το f περιττή καθώς το πεδίο ορισμού της δεν είναι συμμετρικό ως προς το 0 vi Πρέπει 0 που ισχύει για κάθε, άρα D, για κάθε f 6 D f6 είναι και ( ) D f6 Επίσης : f6( ) f6( ) Άρα η f είναι ( ) περιττή ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 8 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις Έστω μια συνάρτηση f: Α R i Αν η f είναι άρτια, τότε για κάθε A, είναι f(-)= ii Αν η f είναι περιττή, τότε για κάθε A, είναι f(-)= iii Αν η f είναι περιττή και 0 Α, τότε f(0)= iv Αν η f είναι άρτια, τότε η C f έχει συμμετρίας v Αν η f είναι περιττή, τότε η C f έχει συμμετρίας 9 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i Αν μια συνάρτηση f:a R είναι περιττή, τότε f()+f(-)=0, για κάθε A ii Αν για μια συνάρτηση f: R R ισχύει, f()-f(-)=0, για κάθε R, τότε η f είναι άρτια iii Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει άξονα συμμετρίας τον, τότε είναι περιττή iv Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η f δεν είναι άρτια 60 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i Η συνάρτηση f: (-,] R με f()= είναι άρτια ii Η συνάρτηση f() = είναι περιττή iii Αν μια συνάρτηση f: (α, β) R είναι περιττή, τότε α+β=0 iv Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

50 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές 6 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) iv f( ) 6 Δίνεται η συνάρτηση f( ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και στη συνέχεια να δείξετε ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας το Ο(0,0) 6 Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν είναι άρτιες ούτε περιττές i f: (-,) R με f()= ii f( ) iii f ( ) 6 Δίνεται η περιττή συνάρτηση : f ( ) ( ) ( ) i Να δείξετε ότι 0 ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία iii Να λύσετε την ανίσωση : f ( ) iv Να βρείτε τα,, ώστε τα σημεία (, ) και (, 6 ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της f 67 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή iii Να δείξετε ότι η f έχει ελάχιστο στο 0 68 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης (, ) i Να δείξετε ότι και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή iii f (999) Να λύσετε την ανίσωση : f ( 999) f ( ) διέρχεται από το σημείο 66 Έστω f : R R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει f(+)=f()+f(), για κάθε, R i Να βρείτε την τιμή f(0) ii Να δείξετε ότι η f είναι περιττή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

51 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f ( ) ( ) c, όπου c 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f ( ) ( ) c, όπου c 0, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : ( ), f ( ), g ( ) Λύση : Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα πάνω Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα κάτω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

52 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f ( ) ( c), όπου c 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f ( ) ( c), όπου c 0, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : ( ), h ( ), q ( ) Λύση : Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης h ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα αριστερά Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης q ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα δεξιά ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

53 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Αν έχω f ( ) ( c), μετατοπίζω τη γραφική παράσταση της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά και κ μονάδες πάνω Αν έχω f ( ) ( c), μετατοπίζω τη γραφική παράσταση της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά και κ μονάδες κάτω Αν έχω f ( ) ( c), μετατοπίζω τη γραφική παράσταση της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά και κ μονάδες πάνω Αν έχω f ( ) ( c), μετατοπίζω τη γραφική παράσταση της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά και κ μονάδες κάτω ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : ( ), F ( ), G ( ) Λύση : Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης F ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα αριστερά και μονάδα προς τα πάνω Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης G ( ) προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ), κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδα προς τα κάτω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

54 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f()= g()= + h()= - Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f()= g()= - h()= + 6 Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: φ()= f()= - + g()= Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f()= g()= - + h()= + - φ()= Να βρείτε ποιες μεταφορές έχουν γίνει στη συνάρτηση f ώστε να προκύψει η συνάρτηση g στις παρακάτω περιπτώσεις : i g ( ) f ( ) ii g ( ) f ( ) iii g ( ) f ( ) 9 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δυο διαφορετικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f : i κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδες προς τα πάνω ii κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδες προς τα κάτω iii κατά μονάδες προς τα αριστερά και μονάδα προς τα πάνω iv κατά μονάδα προς τα αριστερά και μονάδα προς τα κάτω [,] 0 Έστω η συνάρτηση φ()= Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: φ(), f()=φ()+ και g()=φ(-) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: f()= - και g()=- και στη συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f και C g i Να λύσετε την εξίσωση - = + ii Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f()= - και g()= + iii Να λύσετε γραφικά την ανίσωση - < + και να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα Δίνεται η συνάρτηση φ()= -+ Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δυο διαδοχικές μετατοπίσεις της C φ i Κατά μονάδες αριστερά και κατά μονάδες προς τα πάνω ii Κατά μια μονάδα δεξιά και κατά μονάδες προς τα κάτω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

55 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 696 Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης A, και B,9 f : διέρχεται από τα σημεία α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την απάντησή σας(μονάδες ) f (Μονάδες ) β) Να λύσετε την ανίσωση ΘΕΜΑ 7688 Δίνεται η συνάρτηση, f ( ), α) Να δείξετε ότι η f () (Μονάδες 8) β) Είναι το η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 7698 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους f ( ), f ( ), f ( ) (Μονάδες 0) β) Είναι η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας (Μονάδες 0) γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο ; Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 77 Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση τα σημεία A, και B, f :, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f (Μονάδες ) β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα στο, να δείξετε ότι f (0) 0 (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

56 ΘΕΜΑ 679 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράστασης της συνάρτησης f (), (,) α) Είναι η f άρτια ή περιττή; Να αποδείξετε αλγεβρικά τον ισχυρισμό σας (Μονάδες 7) β) Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της f, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε τις θέσεις των ακρότατων της f (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 78 - Δίνεται η συνάρτηση f() 8 8 ΘΕΜΑ ο α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (Μονάδες ) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή (Μονάδες 8) γ) Αν η συνάρτησης f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της (Μονάδες 7) δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g() f () και h() f δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 099 Η περιβαλλοντική ομάδα ενός σχολείου παρέλαβε συρματόπλεγμα μήκους 0 m για να περιφράξει, χρησιμοποιώντας όλο το συρματόπλεγμα, έναν ορθογώνιο κήπο για καλλιέργεια λαχανικών Οι μαθητές της περιβαλλοντικής ομάδας θέλουν να επιλέξουν ένα κήπο που να έχει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο εμβαδόν α) Να δώσετε τις διαστάσεις τριών διαφορετικών ορθογώνιων κήπων με περίμετρο 0 m Να εξετάσετε αν οι τρεις λαχανόκηποι έχουν το ίδιο εμβαδόν (Μονάδες 7) β) Αν συμβολίσουμε με το πλάτος και με Ε το εμβαδόν ενός λαχανόκηπου με περίμετρο 0 m, να εκφράσετε το Ε ως συνάρτηση του (Μονάδες 8) γ) Να δείξετε ότι E() ( 0) 00 Χρησιμοποιώντας την γραφική παράσταση της συνάρτησης f (), να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της Ε() Από τη γραφική παράσταση της Ε() να βρείτε τις διαστάσεις του λαχανόκηπου με το μεγαλύτερο εμβαδόν (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

57 ΘΕΜΑ 776 Για να κατασκευάσουμε ένα ανοικτό κουτί από ένα ορθογώνιο χαρτόνι με διαστάσεις dm και 8 dm, κόβουμε ίσα τετράγωνα, πλευράς, από κάθε γωνία του και γυρίζουμε προς τα πάνω τις πλευρές του (Σχήμα ) α) Να δείξετε ότι ο όγκος V του κουτιού εκφράζεται ως συνάρτηση του με τον τύπο V() 6 0 (Μονάδες 6) β) Να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει το στο πλαίσιο του προβλήματος (Μονάδες ) γ) Να βρείτε τις διαστάσεις (εκφρασμένες σε dm με ακέραιους αριθμούς) του κουτιού αν γνωρίζουμε ότι ο όγκος του είναι 8 dm (Μονάδες 7) δ) Στο σχ δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης V() 6 0 για (0, ) Χρησιμοποιώντας το σχήμα να βρείτε ποιος είναι ο μεγαλύτερος όγκος που μπορεί να έχει το κουτί Στη συνέχεια να υπολογίσετε αλγεβρικά τις διαστάσεις του κουτιού με το μεγαλύτερο όγκο (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 696 Δίνεται η συνάρτηση f ( ), ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΘΕΜΑ ο α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f () (Μονάδες ) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, μετατοπίζοντας κατάλληλα την (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

58 ΘΕΜΑ 86 Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι παραβολές C f και C g που είναι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα με πεδίο ορισμού το Η γραφική παράσταση της g προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόπιση Παρατηρώντας το σχήμα: α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιμή του (Μονάδες 0) β) Να βρείτε μέσω ποιων μετατοπίσεων της Cf προκύπτει η C g (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 86 Δίνεται η συνάρτηση f () 9 α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή: f () (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

59 β) Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() Στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της g (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 78 - f ( ) c d, ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση: παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία, με c,d θετικές σταθερές, η γραφική A 0,6,B,0 α) Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους τους c,d και να υπολογίσετε την τιμή τους (Μονάδες 0) β) Θεωρώντας γνωστό ότι c 6 d i να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες (Μονάδες ) ii να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πώς αυτή σχετίζεται με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() (Μονάδες 6) iii με βάση την παραπάνω γραφική παράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης f, τα διαστήματα στα οποία η f είναι μονότονη, καθώς και το είδος της μονοτονίας της σε καθένα από αυτά τα διαστήματα (Μονάδες 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

60 ΘΕΜΑ 09 Δίνεται η συνάρτηση f (),, R α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(, 8), να δείξετε ότι και (Μονάδες 8) β) Αν g() είναι η συνάρτηση που προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f οριζόντια κατά μονάδα προς τα αριστερά και κατακόρυφα κατά μονάδες προς τα κάτω, να βρείτε τον τύπο της g (Μονάδες 9) γ) Αν h() ( ) είναι η συνάρτηση που προκύπτει από τη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f οριζόντια κατά κ μονάδες προς τα δεξιά και κατακόρυφα κατά μονάδες κάτω, να βρείτε το κ ( 0) (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

61 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f ii Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή iii Να λύσετε την ανίσωση : f ( ) f () iv Να λύσετε την ανίσωση : f ( ) 8 v Να λύσετε την ανίσωση : f f ( ) 8 0 vi Να λύσετε την ανίσωση : 8 ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 8 7 i Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή ii Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το Στη συνέχεια να βρείτε ποια είναι η θέση ελαχίστου; ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση (,) f ( ) H γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο i Να δείξετε ότι και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία iii Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή ΘΕΜΑ Ο Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία (, ) και (,) i Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f ii Να λύσετε την ανίσωση : f iii Να λύσετε την ανίσωση : f ( 0) f (7) f (7) f (0) iv Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει ότι : f ( ) f ( ) f ( ) ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) H γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (,8) i Να δείξετε ότι και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία iii Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο, το οποίο και να βρείτε iv f ( ) f ( ) Για οποιαδήποτε, να αποδείξτε ότι : 0 6 v Αν 0 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), να αποδείξετε ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 60

62 ΘΕΜΑ 6 Ο Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) 6 H γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (7,0) i Να δείξετε ότι και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f ii Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε τα ακρότατα της f iv Για οποιαδήποτε, να αποδείξτε ότι : f ( ) f ( ) ΘΕΜΑ 7 Ο Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το, είναι γνησίως μονότονη, ισχύει : f f και η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο (, ) i Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία f, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες iii Για κάθε, (, ), να αποδείξετε ότι : f ( ) f ( ) 6 0 ii Αν ισχύει f 8 iv Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες για κάθε v Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης () Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει : f 0 ΘΕΜΑ 8 Ο Δίνεται συνάρτηση f : (0,), γνησίως μονότονη, για την οποία ισχύει : f f i Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f ii Να αποδείξετε ότι : f ( ) f () f () f (7) για κάθε ( 0, ) 7 iii Να αποδείξετε ότι : f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) για κάθε (0,) ΘΕΜΑ 9 Ο Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, η οποία είναι γνησίως μονότονη, περιττή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία (, ) και (,8 ) i Να αποδείξετε ότι ii Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της f iii Να λύσετε την ανίσωση : f iv Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης : g ( ) f βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

63 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ όπου η απόσταση του Μ από την αρχή των αξόνων Ο ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Για έναν σύντομο κατά προσέγγιση υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο, ο κύκλος δηλ που έχει κέντρο Ο και ρ= Σύμφωνα με τα παραπάνω θα ισχύει : (ή ) (ή ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

64 ΤΑ ΠΡΟΣΗΜΑ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Από τον τριγωνομετρικό κύκλο προκύπτουν και τα πρόοσημα των τριγωνομετρικών αριθμών όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Οι γωνίες εκτός από μοίρες, μετριούνται και με ακτίνια (rad) Ένας κύκλος είναι π rad, οπότε προκύπτει ο τύπος που μετατρέπει τις μοίρες σε ακτίνια και αντίστροφα για μια γωνίας ω : όπου η γωνία ω είναι και α rad πχ η γωνία 0 είναι rad Έτσι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών του ο τεταρτημορίου δίνονται από τον παρακάτω πίνακα : Γωνία ω 0 ή 0rad ημω 0 συνω εφω 0 0 ή rad 6 ή rad σφω Δεν ορίζεται 60 ή rad 90 ή rad 0 Δεν ορίζεται 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

65 ΕΝΑΣ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΠΙΝΑΚΑ ο ΒΗΜΑ : Αρχικά γραφούμε : 0 ή Γωνία ω 0rad 0 ή rad 6 ή rad 60 ή rad 90 ή rad ημω συνω εφω σφω ο ΒΗΜΑ : Συμπληρώνουμε κάτω από τις ρίζες κατά σειρά τους αριθμούς 0,,,, και υπολογίζουμε το κάθε αποτέλεσμα 0 ή 0 ή ή 60 ή 90 ή Γωνία ω 0rad rad rad rad rad ημω 0 συνω εφω σφω ο ΒΗΜΑ : Οι τιμές του συνω είναι «ανάποδες» από τις τιμές του ημω 0 ή 0 ή ή 60 ή Γωνία ω 0rad rad rad rad 6 ημω 0 συνω 90 ή rad 0 εφω σφω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

66 ο ΒΗΜΑ : Για την εφω ισχύει : άρα : 0 ή 0 ή ή Γωνία ω 0rad rad rad 6 ημω 0 συνω εφω ή rad 90 ή rad 0 0 δεν ορίζεται σφω ο ΒΗΜΑ : Οι τιμές της εφω είναι «ανάποδες» από τις τιμές της σφω 0 ή 0 ή ή 60 ή Γωνία ω 0rad rad rad rad 6 ημω 0 συνω εφω 0 σφω δεν ορίζεται 90 ή rad 0 δεν ορίζεται 0 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ 0,90,80, 70 ή 0 0, 90, 80 0, 70 0, 90 0, 80, ,,, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ «ΜΕΓΑΛΩΝ» ΓΩΝΙΩΝ ( 60 ) ή σε ακτίνια ( ) ( 60 ) ή σε ακτίνια ( ) ( 60 ) ή σε ακτίνια ( ) ( 60 ) ή σε ακτίνια ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

67 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο παρακάτω σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη, και τη γωνία ω Λύση : Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ορθογώνιο άρα : Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ορθογώνιο άρα : 6 άρα Επίσης (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να εκφράσετε σε rad γωνία : i 0 ii 0 iii 60 iv 8 Λύση : i Χρησιμοποιούμε τον τύπο για rad Άρα 0 rad ii Χρησιμοποιούμε τον τύπο για 80 0 rad Άρα 0 rad 80 iii Χρησιμοποιούμε τον τύπο για rad Άρα 60 7 rad 80 iv Χρησιμοποιούμε τον τύπο για και έχω : 0 και έχω : 60 και έχω : και έχω : rad Άρα 8 rad ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 66

68 (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να μετατρέψετε σε μοίρες γωνία : i 9 rad ii rad iii rad 0 6 iv Λύση : i Γνωρίζουμε ότι rad 60 rad rad 0 ii 80 rad iii rad iv Από τον τύπο μοίρες rad, για 00, έχουμε : (Άσκηση 6 σελ 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : i 80 ii 90 iii 980 iv 600 Λύση : i Θα χρησιμοποιήσουμε τους τύπους ( 60 ), ( 60 ), ( 60 ) και ( 60 ) Αν κάνουμε τη διαίρεση 80 : 60 θα βρούμε πηλίκο και υπόλοιπο 0 Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : 80 ( 60 0) 0 80 ( 60 0) 0 80 (60 0) 0 80 ( 60 0) 0 ii Αν κάνουμε τη διαίρεση 90 : 60 θα βρούμε πηλίκο 8 και υπόλοιπο 60 Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : 90 ( ) ( ) ( ) ( ) 60 iii Αν κάνουμε τη διαίρεση 980 : 60 θα βρούμε πηλίκο και υπόλοιπο 80 Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 67

69 980 ( 60 80) ( 60 80) (60 80) ( 60 80) 80 (δεν ορίζεται) iv Αν κάνουμε τη διαίρεση 600 : 60 θα βρούμε πηλίκο 0 και υπόλοιπο 0 Άρα ισχύει : οπότε έχουμε : 600 (060 0) (060 0) (060 0) (060 0) 0 (δεν ορίζεται) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της γραμμής Α με τα ίσα τους στη γραμμή Β Γραμμή Α Γωνία ω σε μοίρες Α 0 0 Β 0 Γ 60 0 Δ 0 0 Ε 0 ΣΤ 0 0 Γραμμή Β Γωνία ω σε rad Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα Γωνία ω Πρόσημο ημω συνω εφω σφω 7 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i ημ00 0 >0 ii 0 iii ημ>0 iv συν<0 v ημ>0 vi εφ6>0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Μια επίκεντρη γωνία ω βαίνει σε τόξο μήκους 0cm Να εκφράσετε τη γωνία ω σε ακτίνια, αν η ακτίνα του κύκλου είναι ρ=cm 9 Να εκφράσετε τη γωνία i 0 0 σε rad ii rad σε μοίρες 0 Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: i 76 0 ii 9 6 rad Nα δείξετε ότι : ημ+συν ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 68

70 Nα βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παραστάσεων : i ii iii Αν και, να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: i Α=συν(+) ii Β=εφ iii Γ=ημ(-) Με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος να υπολογίσετε : i το ύψος ΑΔ ii τη γωνία φ iii το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Να μετατρέψετε σε μοίρες τα τόξα : i,,, ii,,, 6 6 iii,, 8, 8 6 Να μετατρέψετε σε ακτίνια (rad) τις γωνίες : i 0, 0,, 70 ii 0,, 7 Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : i iii ii 6 8 Να βρείτε του τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών : i ii iii iv v vi 6 9 Να υπολογίσουμε τις τιμές των παραστάσεων : 6 i 6 ii iii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 69

71 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Απόδειξη : Αν (, ) είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε θα είναι : και Επειδή όμως, ( ) και ), θα ισχύει : (, οπότε θα έχουμε : Απόδειξη : Στο ίδιο σχήμα έχουμε : (εφόσον 0 ) (εφόσον 0 ) Απόδειξη : Είναι : και (εφόσον 0 και 0 ) Επομένως : και ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 70

72 Έχω Όμως Επίσης : , άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου 0, άρα και 9 (Άσκηση σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad Λύση : Έχω : Όμως, άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου 0, άρα Επίσης : και (Άσκηση σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας rad Λύση : Έχω : Όμως : 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

73 , όμως, άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο όπου 0, άρα Επίσης Τέλος (Άσκηση σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν και, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Λύση : Έχω : Από τον τύπο, όμως άρα βρισκόμαστε στο ο τεταρτημόριο άρα 0, άρα Επίσης Τελικά η παράσταση (Άσκηση 7 σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι, τα σημεία (, ) του επιπέδου με και, είναι σημεία κύκλου Ο(0,0) κέντρου και ακτίνας ρ= Λύση : Αρκεί να αποδείξουμε ότι η απόσταση του σημείου (, ) από την αρχή των αξόνων Ο(0,0) είναι ιση με Έχουμε : ( ) ( 0) ( 0) 9( ) 9 ( ) ( ) 9 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

74 6 (Άσκηση 8 σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν ισχύει και, να δείξετε ότι 9 6 Λύση : Έχω : 9 6 9( ) ( ) ( ) που ισχύει 7 (Άσκηση 0 σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : i ii Λύση : i Με τον περιορισμό ότι : 0 και 0 έχω : ί ( )( ) ii που ισχύει ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 που ισχύει 8 (Άσκηση σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : i ii Λύση : i Με τον περιορισμό ότι : 0 και 0 έχω : ( ) ( ) ( ) που ισχύει ii Με τον περιορισμό ότι : 0, 0 και 0 ()() έχω : ( ) ( ) ( )( ) ( ) που ισχύει 9 (Άσκηση σελ 6 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Αν να αποδείξετε ότι : Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

75 Έχω : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) όμως ( ) ( ) ( ) Άρα Όμως : άρα βρισκόμαστε στο ο και στο ο άρα ισχύει 0, οπότε Επίσης άρα ισχύει 0 και 0 Άρα που ισχύει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 0 Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στη στήλη Β, ώστε να ισχύουν οι ταυτότητες Στήλη Α Στήλη Β Α ημ ω Β εφω -συν ω Γ σφω Δ συν ω Ε +εφ ω 6 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i ii iii iv v 00 vi 0 0 vii viii 7 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

76 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Α ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αν και αριθμούς της γωνίας ω, να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς Αν γωνίας ω και, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της Αν και 70 0 <ω<60 0, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω Αν και, να αποδείξετε ότι : i και ii Για μια γωνία, ισχύει : i Να αποδείξετε ότι : ii Να υπολογίσετε τους αριθμούς, και 7 Αν είναι, τότε : i Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς,, και ii Να βρείτε το τεταρτημόριο στο οποίο καταλήγει το τόξο 8 Αν είναι, τότε : i Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς,, και ii Να βρείτε το τεταρτημόριο στο οποίο καταλήγει το τόξο 9 Αν για τη γωνία, ισχύει συν +ημ+=0, να βρείτε το ημ 0 Να δείξετε ότι τα σημεία Μ(,) του επιπέδου με =συνθ και =ημθ, είναι σημεία κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ= Αν =ημθ και =συν θ, θ ρ, να δείξετε ότι τα σημεία Μ(,) ανήκουν σε παραβολή, της οποίας να βρείτε την κορυφή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

77 Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του, για τις οποίες να ισχύει συγχρόνως ημ= και Αν ημ+συν=α, να υπολογίσετε ως συνάρτηση του α τις παραστάσεις: i ημσυν ii ημ +συν Αν και, να υπολογιστεί η παράσταση : Β ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να δείξετε ότι : 6 Να δείξετε ότι : 7 Να δείξετε ότι : 8 Να δείξετε ότι : 9 Να δείξετε ότι : ( ) 0 Αν 0<<π, να δείξετε ότι : Να αποδείξετε ότι : Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Να αποδειχθεί ότι : i ( ) ( ) ii iii iv ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 76

78 v vi vii ( ) ( ) Να αποδειχθεί ότι : i ii iii ( ) ( ) iv ( ) ( ) v vi ( ) vii ( )( ) viii i i Γ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ Να αποδειχθεί ότι : i ii ( ) iii iv v 6 Αν 0, να αποδείξετε ότι : 7 Αν, να αποδείξετε ότι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 77

79 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Μέχρι στιγμής γνωρίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του ου τεταρτημορίου (δηλαδή γωνιών από 0 90 ή αλλιώς από 0 rad ), όπως δίνονται από τον πίνακα Θα μάθουμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μεγαλύτερων γωνιών Αυτή η διαδικασία γίνεται με αναγωγή στο ο τεταρτημόριο ΑΠΟ ΤΟ Ο ΣΤΟ Ο Δυο γωνίες λέγονται παραπληρωματικές αν έχουν άθροισμα 80 ή rad Δηλαδή οι γωνίες και 80 ή και είναι παραπληρωματικές και ισχύει : ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) Δηλαδή : Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς : i 0 ii iii 0 iv v vi 6 Λύση : i ii iii 0 (80 60) 60 (80 ) 0 (80 0) 0 iv ( ) v ( ) vi ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : i 0 ii iii 0 iv v vi 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 78

80 ΑΠΟ ΤΟ Ο ΣΤΟ Ο Γωνίες που διαφέρουν κατά οποίες ισχύει : 80 ή rad είναι οι και 80 ή και για τις ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) ( 80 ) ή ( ) Δηλαδή : Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 80 ή rad, έχουν ίδια εφαπτομένη και συνεφαπτομένη, ενώ έχουν αντίθετο ημίτονο και συνημίτονο ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να υπολογίσετε τους παρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς : 7 i 0 ii iii 0 iv v vi 6 Λύση : i 0 (80 0) 0 ii (80 ) iii 0 (80 60) 60 iv ( ) v 7 ( ) vi ( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : 7 i ii 0 iii 0 iv v vi 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 79

81 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΑΠΟ ΤΟ Ο ΣΤΟ Ο Έστω ότι μια γωνία ω βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο Τότε η αντίθετη της ω θα βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο και ισχύει : ( ) ( ) ( ) ( ) Δηλαδή : Οι γωνίες ω και ω έχουν ίδιο συνημίτονο και αντιθέτους τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : i 0 ii 00 iii Λύση : i 0 (60 0) ( 0) 0 ii 00 (60 60) ( 60) 60 iii (60 ) ( ) ΓΩΝΙΕΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ( 90 ) Γωνιες με αθροισμα (ή 90 ) δηλαδή συμπληρωματικές, είναι οι και αλλιώς και 90 και ισχύει : ή επίσης ( ) ( ) επίσης ( ) ( ) επίσης ( ) ( ) επίσης ( ) ( ) Δηλαδή : Στις συμπληρωματικές γωνίες το ημίτονο καθεμίας ισούται με το συνημίτονο της άλλης και η εφαπτομένη καθεμίας με τη συνεφαπτομένη της άλλης και αντίστροφα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 80

82 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 6 Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στοιχεία της στήλης Β Στήλη Α Στήλη Β Α ημ(π+θ) ημθ Β εφ(π-θ) σφθ ημθ Γ Δ σφ(-θ) σφθ Ε σφ(π+θ) εφθ ΣΤ συν(-θ) 6 εφθ 7 συνθ 7 Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα ίσα τους στοιχεία της στήλης Β Στήλη Α Στήλη Β Α ημ 0 ημ6 0 Β συν7 0 σφ6 0 Γ εφ0 0 συν6 0 Δ σφ 0 ημ8 0 σφ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i ii iii iv ημ0 0 = v συν0 0 =- vi συν0 0 = ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Να απλοποιηθεί η παράσταση : Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

83 Θα απλοποιήσουμε κάθε παράγοντα ξεχωριστά και έχουμε : 0 6 Άρα η τιμή της παράστασης είναι : ( ) ΓΕΝΙΚΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ : 0 (Άσκηση σελ 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : i 00 ii 80 Λύση : i Αν διαιρέσουμε το 00 με το 60 έχουμε Άρα 00 (60 0) 0 (80 60) (60 0) 0 (80 60) (60 0) 0 (80 60) (60 0) 0 (80 60) 60 ii Αν διαιρέσουμε το 80 με το 60 έχουμε άρα : ( 80) 80 (7 60 0) 0 (60 0) ( 0) 0 ( 80) 80 (7 60 0) 0 (60 0) ( 0) 0 ( 80) 80 (760 0) 0 (60 0) ( 0) 0 ( 80) 80 (7 60 0) 0 (60 0) ( 0) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

84 (Άσκηση σελ 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : 87 i rad ii rad 6 Λύση : i Αν διαιρέσουμε το 87 με το 6 έχουμε : 87 6 άρα : 87 (6) (6) (6) (6) ii Αν διαιρέσουμε το με το έχουμε : άρα : ( ) ( ) ( ) ( ) (Άσκηση σελ 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αποδείξετε ότι : i ( ) ii ( ) 0 iii iv ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

85 Λύση : i Σε κάθε τρίγωνο ισχύει : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ˆ ) Άρα ( ( )) ( ) ii Ομοίως : ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 ˆ ˆ ˆ iii Ισχύει : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, άρα : iv Ομοίως : (Άσκηση σελ 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) ( ) (80 ) Να απλοποιήσετε την παράσταση : ( ) (90 ) Λύση : ( ) ( 80 ) ( ) ( 90 ) ( ) (80 ) ( ) Επομένως έχουμε : ( ) (90 ) (Άσκηση σελ 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) 9 ( ) ( ) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) Λύση : ( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 ) 0 9 ( ) ( ) ( ) Επομένως έχουμε : ( ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

86 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8 (Άσκηση 6 σελ 70 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι έχει σταθερή τιμή η παράσταση : ) ( ) ( ) ( Λύση : ) ( ) ( ) ( ) ( Επομένως έχουμε : ) ( ) ( ) ( 6 (Άσκηση σελ 7 Β ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι : 7 ) (7 ) ( 7 ) (7 ) ( Λύση : ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6 ) 7 ( ) ( ) ( 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6 ) 7 ( ) ( ) ( 7 Επομένως έχουμε : 7 ) (7 ) ( 7 ) (7 ) ( ) ( ) ( ) (

87 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, όταν : i 0 ii 660 iii 0 iv 00 8 Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, όταν : 9 i ii iii iv v Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω, όταν : 89 9 i ii iii iv v Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : (9 ) (9 ) (9 ) (9 ) i (7 ) (7 ) (7 ) (7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii ( ) ( ) ( ) ( ) Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) i ( ) ( ) ( ) ( ) (7 ) (9 ) ii ( ) ( ) (6 ) (8 ) 7 iii 7 iv ( ) ( ) ( ) ( ) v Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: ( ) ( ) ( ) i A= ( ) ( ) ( ) (80 ) (90 ) (60 ) ii B= (60 ) (80 ) (80 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 86

88 Να υπολογίσετε την παράσταση Α= ( ) ( ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i ii Να δείξετε ότι: ( ) ( ) Να δείξετε ότι: 7 Να δείξετε ότι: ( ) 0 ( ) 8 Να αποδεδειχθεί ότι : i ii iii iv v 89 9 Να δείξετε ότι : 0 Να δείξετε ότι : 9 (0 ) (06 ) ( ) ( ) (70 ) (80 ) ( 0 ) ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 87

89 Αν και ισχύει, να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης : ( ) ( ) ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Δίνεται γωνία με, για την οποία ισχύει : 7 7 (7 ) Να υπολογίσετε : i τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας, (7 ) ii την τιμή της παράστασης : 7 Δίνεται γωνία με,, και η παράσταση : ( ) ( ) ( ) 9 7 ( ) (7 ) i Να δείξετε ότι : ii Αν ισχύει ότι :, να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο ανήκει η τελική πλευρά της γωνίας iii Να βρείτε το και το Δίνεται γωνία για την οποία ισχύει : 6 i Να βρείτε τα και 6 ii Να βρείτε το iii Αν επιπλέον ισχύει ότι 7, να βρείτε το 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 88

90 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ>0 τέτοιος, ώστε για κάθε να ισχύει ότι : και f ( ) f ( ) και f ( ) f ( ) Ο αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f Οι πιο γνωστές περιοδικές συναρτήσεις είναι οι f ( ), f ( ), f ( ) τις οποίες και θα μελετήσαμε Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Η συνάρτηση f ( ) έχει πεδίο ορισμού, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι περιττή συνάρτηση άρα ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε (πράγματι : f ( ) ( ) f ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f ( ) στο διάστημα μιας περιόδου Τ=π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : Έτσι προκύπτει και η γραφική παράσταση της συνάρτησης περιόδου Τ=π f ( ) στο διάστημα μιας Επειδή η συνάρτηση f ( ) είναι περιοδική με περίοδο Τ=π η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή και στα διαστήματα [π,π], [π,6π], [-π,0], [-π,-π] κτλ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 89

91 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Η συνάρτηση f ( ) με, 0 είναι περιοδική με περίοδο, έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ Για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της f ( ) δίνουμε στο τις βασικές τιμές 0,,, και αφού όμως πρώτα τις διαιρέσουμε με τον αριθμό ω Δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης f ( ) : f 0 ( ) γίνεται για την f ( ) : f 0 ( ) και η αντίστοιχη γραφική παράσταση της παίρνει τη μορφή : f ( ) στο διάστημα 0, Παρατηρήσεις : Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση f ( ), τότε σχεδιάζουμε πρώτα την f ( ) και μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της f προς τα πάνω αν α>0 ή προς τα κάτω αν α<0, κατά α μονάδες Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση f ( ), τότε σχεδιάζουμε πρώτα την f ( ) και μετά παίρνουμε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 90

92 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων i f ( ), g( ) 0,, h( ), 0 Λύση : i Για τις συναρτήσεις f ( ), g( ) 0,, h( ) ισχύει : άρα σχηματίζουμε τον πίνακα : f ( ) 0 0 g( ) 0, 0 0, 0 0, h( ) Οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων : (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας) Σε ένα σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) και στη συνέχεια τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( ) και h( ) Λύση : Η γραφική παράσταση της g( ) προκύπτει αν μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά μια μονάδα προς τα πάνω τη γραφική παράσταση της f ( ), ενώ της h( ) αν μεταφέρουμε κατακόρυφα κατά μια μονάδα προς τα κάτω τη γραφική παράσταση της f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

93 (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f ( ) και g( ) 0 Λύση : Η συνάρτηση g( ) είναι περιοδική με περίοδο, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το Δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο 6 βασικός πίνακας της συνάρτησης g( ) : g( ) Έτσι οι γραφικές παραστάσεις των f ) ( και g( ) είναι : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

94 (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας) Έστω η συνάρτηση f ( ) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγο συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου Λύση : Η συνάρτηση f ( ) είναι της μορφής f ( ), με και Άρα έχει μέγιστη τιμή και ελάχιστη τιμή Η περίοδος της συνάρτησης είναι, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το ή αλλιώς θα τις πολλαπλασιάσουμε επί δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης f ( ) : 0 0 f ( ) Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f ( ) : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

95 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Η συνάρτηση f ( ) έχει πεδίο ορισμού, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι άρτια συνάρτηση άρα ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε (πράγματι : f ( ) ( ) f ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα Η μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f ( ) στο διάστημα μιας περιόδου Τ=π φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : Έτσι προκύπτει και η γραφική παράσταση της συνάρτησης μιας περιόδου Τ=π f ( ) στο διάστημα Επειδή η συνάρτηση f ( ) είναι περιοδική με περίοδο Τ=π η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή και στα διαστήματα [π,π], [π,6π], [-π,0], [-π,-π] κτλ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

96 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Η συνάρτηση f ( ) με, 0 είναι περιοδική με περίοδο, έχει μέγιστο το ρ και ελάχιστο το ρ Για να χαράξουμε τη γραφική παράσταση της f ( ) δίνουμε στο τις βασικές τιμές 0,,, και αφού όμως πρώτα τις διαιρέσουμε με τον αριθμό ω Δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης f ( ) : f 0 ( ) 0 γίνεται για την f ( ) : 0 0 f ( ) 0 0 και η αντίστοιχη γραφική παράσταση της παίρνει τη μορφή : f ( ) στο διάστημα 0, Παρατηρήσεις : Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση f ( ), τότε σχεδιάζουμε πρώτα την f ( ) και μετατοπίζουμε τη γραφική παράσταση της f προς τα πάνω αν α>0 ή προς τα κάτω αν α<0, κατά α μονάδες Αν έχω να σχεδιάσω τη συνάρτηση f ( ), τότε σχεδιάζουμε πρώτα την f ( ) και μετά παίρνουμε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

97 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, κάθε φορά στο ίδιο σύστημα αξόνων ii f ( ), g( ) 0,, h( ) 0 Λύση : ii Για τις συναρτήσεις f ( ), g( ) 0,, h( ) ισχύει : άρα σχηματίζουμε τον πίνακα : f ( ) 0 0 g( ) 0, 0, 0 0, 0 0, h( ) 0 0 Οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των παραπάνω συναρτήσεων : 6 (Άσκηση σελ 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f ( ) και g( ) 0 Λύση : Η συνάρτηση g( ) είναι περιοδική με περίοδο, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το Δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο 6 βασικός πίνακας της συνάρτησης g( ) : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 96

98 0 0 6 g( ) 0 0 Έτσι οι γραφικές παραστάσεις των f ( ) και g( ) είναι : 7 (Άσκηση 6 σελ 8 Α ομάδας) Έστω η συνάρτηση f ( ) Ποια είναι η μεγίστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής; Ποια είναι η περίοδος της εν λόγο συνάρτησης; Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου Λύση : Η συνάρτηση f ( ) είναι της μορφής f ( ), με και Άρα έχει μεγίστη τιμή και ελάχιστη τιμή Η περίοδος της συνάρτησης είναι, άρα τις βασικές τιμές 0,,, και θα τις διαιρέσουμε με το ή αλλιώς θα τις πολλαπλασιάσουμε επί δηλαδή : 0,,, και, έτσι ο βασικός πίνακας της συνάρτησης f ( ) : 0 0 f ( ) 0 0 Με τη βοήθεια του πίνακα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της f ( ) : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 97

99 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ) Η συνάρτηση f ( ) έχει πεδίο ορισμού /,, είναι περιοδική με περίοδο Τ=π, είναι περιττή συνάρτηση άρα ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε (πράγματι : f ( ) ( ) f ( ) για κάθε ), άρα η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων Ορίζεται στο διάστημα αλλά και σε κάθε διάστημα της μορφής,, στα οποία είναι γνησίως αύξουσα και δεν έχει ακρότατα Τέλος έχει ασύμπτωτες τις κατακόρυφες ευθείες και και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 98

100 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 (Άσκηση 7 σελ 8 Α ομάδας) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i f ( ) ii g( ) iii h( ) στο ίδιο σύστημα αξόνων Λύση : Η γραφική παράσταση της g( ) προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f ( ) κατά μια μονάδα προς τα πάνω, ενώ της h( ) κατά μια μονάδα προς τα κάτω Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : 9 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις i Αν η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο T, τότε f(+t)= = ii Η συνάρτηση f()=συν έχει σύνολο τιμών το iii Η γραφική παράσταση της f()=ημ λέγεται iv Η συνάρτηση f()=εφ έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R ={ R/ } v Η συνάρτηση f()=ρημω, ρ,ω>0 έχει περίοδο Τ=, μέγιστη τιμή και ελάχιστη τιμή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 99

101 0 i Να συμπληρώσετε με τα σύμβολα, τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις α Αν f()=ημ, τότε f [0, ] β Αν f()=συν,τότε f [, ] γ Αν f()=εφ, τότε f (, ) δ Αν f()=-ημ, τότε f [, ] ii Να συμπληρώσετε με τα σύμβολα <, > τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις α Αν 0<α<β<, τότε συνα συνβ β Αν 0<α<β<, τότε εφα εφβ γ Αν <α<β<,τότε ημα ημβ δ Αν <α<,, τότε ημα ημ ε συν συν στ Αν (,), τότε ημ ημ ημ ζ Αν (, ),τότε εφ εφ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) i Η συνάρτηση f()=εφ έχει πεδίο ορισμού το R ii Η συνάρτηση f()=ημ είναι άρτια iii Η συνάρτηση f()=συν έχει σύνολο τιμών το [-,] iv Η συνάρτηση f()=συν έχει βασική περίοδο το π v Η συνάρτηση f()=εφ έχει σύνολο τιμών το R ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες i f ( ) ii f ( ) Να αποδείξετε ότι : i η συνάρτηση f ( ) έχει περίοδο τον αριθμό Τ=π ii η συνάρτηση f ( ) έχει περίοδο τον αριθμό Τ=π ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 00

102 Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων : i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) iv f ( ) 6 Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων : i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) iv f ( ) 7 Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i f ( ), g( ) 0 ii f ( ), g( ) 0 iii f ( ), g( ) h( ) iv f ( ), g( ) h( ) v f ( ), g( ) h( ) vi f ( ), g( ) h( ) 8 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f ii Να βρείτε τα ακρότατα της f iii Να βρείτε την περίοδο της f iv Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f καθώς και της συνάρτησης g( ) f ( ) στο ίδιο σύστημα αξόνων 9 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να βρείτε τα ακρότατα της f ii Να βρείτε την περίοδο της f iii Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f iv Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f v Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ) i Να αποδείξετε ότι f ( ) και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f ii Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f iii Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f iv Να εξετάσετε αν η εξίσωση f ( ) έχει λύση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

103 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) διέρχεται από το σημείο Μ(π,-) i Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f ii Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f Αν η συνάρτηση f ( ) με, 0 έχει μέγιστο το και περίοδο τον αριθμό Τ=6π, να βρείτε : i Τον τύπο της συνάρτησης ii Τις τιμές f ( ) και f Δίνεται η συνάρτηση : f ( ) με 0 η οποία έχει μέγιστο το i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και την τιμή του α ii Να βρείτε την περίοδο της f iii Να σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της f καθώς και της συνάρτησης g( ) f ( ) στο ίδιο σύστημα αξόνων iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) είναι αδύνατη ( ) Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) και ( ) g( ) 6 0 Να βρείτε τις τιμές των κ, λ αν είναι γνωστό ότι έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την περίοδο της g Να εξετάσετε, αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιοδικές και να βρείτε την περίοδο τους i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) 6 Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή των συναρτήσεων: i f ( ) ii f ( ) 7 Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) iv f ( ) 6 8 Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις : 9 Αν η συνάρτηση f ( ) ( ) ( ), α> και β>0 έχει περίοδο το και μέγιστη τιμή το, να βρείτε τα α και β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

104 0 Έστω η συνάρτηση : f ( ) i Να βρείτε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f ii Να βρείτε την περίοδο της f iiiνα κάνετε τον πίνακα μεταβολών και τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους ίσο με τη περίοδο της f iv Να λύσετε γραφικά: α) Την εξίσωση f()=0, στο [0,6π] β) Την ανίσωση f()>0, στο [0,6π] Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f()= ημ στο διάστημα [0,π] Η θερμοκρασία σε βαθμούς κελσίου μιας ημέρας σε ένα χώρο περιγράφεται κατά t προσέγγιση από τη συνάρτηση 0, όπου t ο χρόνος σε ώρες i Πόση είναι η μέγιστη μεταβολή της θερμοκρασίας κατά τη διάρκεια ενός ώρου; ii Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης για : 0 t iii Ποιες χρονικές στιγμές η θερμοκρασία ήταν: α) 0 0 C β)κάτω από 0 0 C Να εξετάσετε αν καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτια ή περιττή : i f ( ) ii f ( ) iii f ( ) iv f ( ) v f ( ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f( ) έχει περίοδο Τ=π Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις : i f ( ) στο διάστημα, ii f ( ) στο διάστημα ( 0, ) 6 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ( ) στο διάστημα [ 0, ] Στη συνέχεια να συγκρίνεται τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : i και ii και iii και Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ( ) στο διάστημα [ 0, ] Στη συνέχεια να συγκρίνεται τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : i και ii και iii και 7 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

105 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ :,, ΚΑΙ Αν είναι μια λύση της εξίσωσης τότε : ή, Z ( ) Αν είναι μια λύση της εξίσωσης τότε : ή, Z Αν είναι μια λύση της εξίσωσης τότε :, Z Αν είναι μια λύση της εξίσωσης τότε :, Z ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : ΠΩΣ ΔΙΩΧΝΩ ΤΟ «-» (ΜΕΙΟΝ) ( ) ( ) ( ) ( ) Σε όλους τους παραπάνω τύπους των, μπορεί να καταλαμβάνουν διάφορες παραστάσεις της μορφής f ( ), g( ) Σε εξισώσεις με παίρνουμε περιορισμό 0, Σε εξισώσεις με παίρνουμε περιορισμό 0, ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Α ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ (Άσκηση σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i 0 ii iii 0 iv ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

106 Λύση : 0 i 0 0 ή ή, ( 0) ii iii iv ή ή, 0,, (Άσκηση σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii iii iv Λύση : 6 i ή ή, 7 6 ii iii ή ή,, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

107 iv 0 ( 0), (Άσκηση σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i 0 ii iii iv Λύση : i Επειδή : πρέπει 0, Έτσι έχω : 0 0 0, ii Επειδή : πρέπει 0, Έτσι έχω :, 6 6 iii Επειδή : πρέπει 0 0, Έτσι έχω :, iv Επειδή : πρέπει 0 0, Έτσι έχω :, 6 6 (Άσκηση σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii Λύση : i Επειδή : πρέπει 0, Έτσι έχω :, ii Επειδή : πρέπει 0 0, Έτσι έχω :, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 06

108 B ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ (Άσκηση σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ( )( ) 0 ii ( )( ) 0 Λύση : i ( )( ) 0 0 ή ή, ή 0 ή, ή ii ( )( ) 0 0 ή ή, ή 0 0 0, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 07

109 6 (Άσκηση 6 σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ( )( ) 0 ii ( )( ) 0 Λύση : i Επειδή : πρέπει 0, ( )( ) 0 0, ή 0, ii Επειδή : πρέπει 0, Επειδή : πρέπει 0 0 Έτσι έχω : ( )( ) 0 0, ή 0 ή ή ή ή, 0 ή απορρίπτεται λόγο περιορισμού ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 08

110 Γ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) ή 7 (Άσκηση 8 σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii 0 iii 0 7 Λύση : i ή 9 ή ή, 9 ii 0 0 ( 0) 0, iii Επειδή : 7 πρέπει : , Έτσι έχουμε : , 8 (Άσκηση 9 σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii iii Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 09

111 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0 i ii iii 9 (Άσκηση σελ 89 Β ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii Λύση : i ή ή ή, ή 9 9 ή ή, 60, ή Δ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ) ( ) ( g f ή ) ( ) ( g f

112 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ii Επειδή : πρέπει : Επειδή : πρέπει : Έτσι έχω : 0 (Άσκηση 0 σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii iii Λύση : i θέτω και έχω ή Αν Αν ή ή 8 ) ( 0, 8 ύ ή 0, , 0 0 t t 0 0, ή ή, E ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ 0 ) ( ) ( f f

113 ii 0 θέτω και έχω 0 ή Αν αδύνατο αφού Αν, iii t t t t 0 Επειδή : πρέπει 0, Θέτω t και έχω 0 ή Αν Αν, t t t, t t t t (Άσκηση σελ 88 Α ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii Λύση : i ii 0 0, , 6 Επειδή : πρέπει 0, Επειδή : πρέπει : 0 0 Έτσι έχω :, Απορρίπτεται λόγο περιορισμού Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

114 ΣΤ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΣΕ ΔΟΣΜΕΝΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ (Άσκηση σελ 89 Β ομάδας) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης στο διάστημα (, ) Λύση :, Όμως : (, ) αφού, Άρα είναι : ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό(Σ) ή Λάθος(Λ) i Η εξίσωση ημ=α, με α> είναι αδύνατη ii συν=συνθ =κπ+θ, κ Ζ iii ημ=ημθ =κπ+θ ή =κπ-θ, κ Ζ iv εφ=εφθ =κπ+θ, κ Ζ Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις που βρίσκονται στην στήλη Α με τις ρίζες τους στην στήλη Β Στήλη Α- Εξίσωση Στήλη Β- ρίζες Α συν=0 =κπ, κ Ζ Β ημ=0 =κπ+,κ Ζ Γ συν= =κπ, κ Ζ Δ ημ=- =κπ+π, κ Ζ Ε συν=- =κπ-, κ Ζ ΣΤ ημ= 6 =κπ+,κ Ζ 7 =κπ+, κ Ζ Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις ρίζες τους στο διάστημα [0,π] που βρίσκονται στην στήλη Β Στήλη Α- Εξίσωση Στήλη Β- Ρίζες στο [0,π] Α ημ=συν Β συν=-ημ Γ εφ=σφ, 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

115 6 Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις της στήλης Α με τις ρίζες τους στο διάστημα [0, ] που βρίσκονται στην στήλη Β Στήλη Α- Εξίσωση Στήλη Β- Ρίζες στο [0, ] Α ημ= Β συν= Γ ημ=συν Δ συν=0 0 6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Α ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ 7 Να λυθούν οι εξισώσεις : i ii 0 iii 0 iv 0 v vi vii viii 8 Να λυθούν οι εξισώσεις : i ii iii iv 7 v vi vii 0 viii i 0 i 0 ii 0 B ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 8 Να λυθούν οι εξισώσεις i (συν-)(ημ-)=0 ii (εφ-)σφ=0 iii iv ( ημ-)( συν-)=0 v ( )( ) 0 vi 9 Να λυθούν οι εξισώσεις i ( )( ) 0 ii ( )( ) 0 iii 0 iv ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

116 0 Να λυθούν οι εξισώσεις i 6 0 ii 0 6 iii iv 0 v vi 6 vii 0 viii i ( ) 0 vii viii 0 Γ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) ή Δ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f ( ) g( ) f ( ) g( ) Να λυθούν οι εξισώσεις: i ii iii iv 0 6 v ( ) ( ) vi ( ) 0 vii viii i ή E ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f ( ) f ( ) 0 Να λυθούν οι εξισώσεις i ημ -ημ+=0 ii ημ -ημ+=0 iii συν +συν+=0 iv συν +ημ-=0 v ημ =(-συν) vi 6συν -συν +9=0 vii -ημ =ημ-συν viii συν +=ημ i ημ +7συν = συν -ημ= Να λυθούν οι εξισώσεις i ημ + ημ=0 ii συν +συν=0 iii σφ =σφ iv εφ +εφ=0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

117 ΣΤ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΣΕ ΔΟΣΜΕΝΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Να λυθούν οι εξισώσεις: i στο [, ] ii 0 στο [ 0, ] iii στο [ 0, ] iv στο (, ) Ζ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Να λυθούν οι εξισώσεις : i ii iii iv Η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 6 Έστω f ( ) i Να παραγοντοποιηθεί η f() ii Να δείξετε ότι f ( ) 0, R iii Να βρείτε το ώστε f( ) 0 iv Να δείξετε ότι η f είναι άρτια, περιοδική με περίοδο το π, και μέγιστο το 7 Δίνεται η συνάρτηση f ( ), της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο, 6 i Να βρείτε το α ii Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τον άξονα iii Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f και για ποια τιμή του η f παίρνει τη μέγιστη τιμή iv Να λυθεί η εξίσωση : f f ( ) στο [, ] 8 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Να εξετάσετε αν C f τέμνει τους άξονες και iii Να λύσετε την εξίσωση : f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

118 7 9 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) (7 ) i Να δείξετε ότι f ( ) ii Να λύσετε την εξίσωση : f ( ) f iii Να λύσετε την εξίσωση : f ( ) f ( ) 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο ότι iii Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή iv Να λύσετε την εξίσωση : f () 0 0,, να δείξετε Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( ) και 7 g( ) (7 ) i Να δείξετε ότι : f ( ) και g( ) ii Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f και για ποια τιμή του η f παίρνει τη μέγιστη τιμή iii Να βρείτε τη ελάχιστη τιμή της g και για ποια τιμή του η g παίρνει την ελάχιστη τιμή iv Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g στο διάστημα, v Να λύσετε την εξίσωση : f ( ) g( ) 0 Η συνάρτηση f ( ), με 0, έχει μέγιστο το 7 και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη i Να δείξετε ότι : και ii Να βρείτε την περίοδο και την ελάχιστη τιμή μ της f iii Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της f στο διάστημα, iv Να λύσετε την εξίσωση : f ( ) i Να αποδείξετε ότι : ii Να λύσετε την εξίσωση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

119 6 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ Αποδεικνύεται ότι για οποιεσδήποτε γωνιές α, β ισχύουν: ( ) ( ) ( ) ( ) Επίσης, αν π π συνα 0, συνβ 0 και συν(α β) 0, δηλαδη α κπ, β κπ για κάθε ακέραιο κ, ώστε να ορίζονται οι αριθμοί εφα, εφβ και εφ(α+β), τότε ισχύει εφα εφβ εφ(α β) -εφα εφβ Με τους αντιστοίχους περιορισμούς, ώστε να ορίζονται οι εφα, εφβ, εφ(α β), ισχύει και η ισότητα εφα-εφβ εφ(α-β) εφα εφβ Τέλος, αν 0, ημβ 0 και ημ(α β) 0, δηλαδή α κπ και α β κπ για κάθε κ Ζ τότε : σφα σφβ σφ(α β) σφβ σφα Με τους αντιστοίχους περιορισμούς ισχύει και η ισότητα σφα σφβ σφ(α β) σφβ σφα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Να αντιστοιχίσετε στους παρακάτω πίνακες κάθε παράσταση της στήλης Α με την ίση της στη στήλη Β, με την προϋπόθεση ότι ισχύουν οι περιορισμοί για τις γωνίες, όπου χρειάζεται i Στήλη Α Στήλη Β Α συν(α+β) συνασυνβ+ημαημβ Β ημασυνβ-συναημβ συνασυνβ-ημαημβ Γ συν(α-β) ημ(α+β) Δ ημασυνβ+συναημβ ημ(β-α) ημ(α-β) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

120 ii Στήλη Α Α Β σφ(α-β) Γ σφ(α+β) Στήλη Β Δ εφ(α+β) εφ(α-β) iii Στήλη Α Στήλη Β Α ημ(α+β) ημ(α-β) συναημβ Β συν(α+β) + συν(α-β) -ημβσυνα Γ συν(α+β) συν(α-β) συνασυνβ Δ ημ(α-β) ημ(α+β) ημασυνβ -ημαημβ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : i) συν0συν0 - ημ0ημ0 ii) συν0συν0 + ημ0ημ0 iii) ημ(π/)συν(π/) συν(π/)ημ(π/) iv) ημ0συν0 + συν0ημ0 v) ημσυν + συνημ Να δείξετε ότι : ημ(α-β)συνβ + ημβσυν(α-β) = ημα Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει ότι : εφα=/ και εφβ=/, να δείξετε ότι η γωνία Γ είναι π/ ( ) Να δείξετε ότι: i ( ) ( ) ( ) ii 0 6 Αν εφα = -, να λύσετε την εξίσωση εφ(-α) = - ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

121 7 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ α Αν στους τύπους των ημ(α + β), συν(α + β), εφ(α + β) και σφ(α + β) θέσουμε όπου β το α, προκύπτουν: Από τους τύπους του συνα προκύπτει ότι (τύποι αποτετραγωνισμού),, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Να συμπληρώσετε τα κενά στους παρακάτω πίνακες, ώστε να ισχύουν οι ταυτότητες στους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας α i ημα=ημασυνα ημασυνα= ημα ημ= ημ= ημ συν = ημσυν= ημ= ημ = ημ συν = ημ συν = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

122 ii συν α-ημ α=συνα συν -ημ = συν -ημ = +συνα=συν α +συνα= a +συν = iii ημ α= ημ = ημ = 8 ημ = iv εφα= a εφα= εφ0α= Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το ίσο του της στήλης Β Στήλη Α Α συν α Β εφ α Γ ημ α Στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Α ημ συν Β συν -ημ Γ εφ Δ συν Ε εφ συν 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

123 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να δείξετε ότι : ημα = ημ α συνα + συν α ημα Να δείξετε ότι : συν α + ημα εφα = Να δείξετε ότι : ( + συνα)εφα = ημα Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : ημασυνβ = ημα Να αποδείξετε ότι είναι ισοσκελές Αν συνα = - / και α(π, π/), να υπολογίσετε τα : ημα, συνα, εφα, σφα 6 Αν ημα = / και α(π/, π), να υπολογίσετε τα : ημα, συνα, εφα, σφα 7 Να δείξετε ότι: 8 Να δείξετε ότι: i 9 Να λύσετε την εξίσωση: 0 ii ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ Αν 0 και 0, τότε: α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ α) Να λύσετε το σύστημα: (Μονάδες ) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) και του τριγωνομετρικού κύκλου, να βρείτε όλες τις γωνίες με 0, που ικανοποιούν τη σχέση, και να τις απεικονίσετε πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

124 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΡΩΤΟ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 7699 Δίνεται, όπου η οξεία γωνία που σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του παρακάτω σχήματος α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας (Μονάδες 0) β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών και του σχήματος (Μονάδες ) ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f ( ), α) Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η περίοδος της f ; (Μονάδες 9) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου (Μονάδες 0) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μπορεί να πάρει την τιμή Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 770 Δίνεται η συνάρτηση f ( ), α) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f (Μονάδες ) β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας περιόδου 0 f () (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 77 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( ), (Μονάδες 0) α) Να δείξετε ότι f () β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

125 ΘΕΜΑ 78 Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα Παρκ Η απόσταση, σε μέτρα, του καθίσματός τους από το έδαφος τη χρονική στιγμή t sec δίνεται από τη συνάρτηση t h(t) 8 6 και 0 t 80 0 α) Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οποίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις στιγμές κατά τις οποίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος (Μονάδες 8) β) Να υπολογίσετε την ακτίνα της ρόδας (Μονάδες ) γ) Να βρείτε την περίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οποίο η ρόδα ολοκληρώνει μια περιστροφή Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα από 0 έως 80 sec (Μονάδες +=6) δ) Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον πίνακα τιμών και το σύστημα συντεταγμένων που δίνονται παρακάτω και: i να συμπληρώσετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης του ύψους h(t) (Μονάδες ) ii να σχεδιάσετε στο σύστημα συντεταγμένων το τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h(t) με 0 t 90 (Μονάδες ) t h(t) ΘΕΜΑ 78 Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου Η απόσταση του σώματος από το t έδαφος (σε cm), δίνεται από την συνάρτηση: f (t), όπου t ο χρόνος σε ώρες α) Να βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την απόσταση του σώματος από το έδαφος τις χρονικές στιγμές t και t 8 (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα από t 0 έως t 8, ποιά χρονική στιγμή η απόσταση του σώματος από το έδαφος είναι ελάχιστη Ποια είναι η απόσταση αυτή; (Μονάδες0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

126 ΘΕΜΑ 09 Μια ρόδα ποδηλάτου περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της Σημειώνουμε ένα σημείο Ρ της ρόδας (όπως φαίνεται στο σχήμα), το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0, είναι το σημείο επαφής της ρόδας με μια επιφάνεια Η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση h (σε m) του σημείου Ρ από την επιφάνεια, t sec μετά την αρχή της κίνησης δίνεται από τη σχέση: h(t) 0, ( t) 0,, με ω θετική πραγματική σταθερά Υποθέτουμε ότι το σημείο Ρ κάνει ένα πλήρη κύκλο σε sec α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες ) β) Να προσδιορίσετε την απόσταση του Ρ από την επιφάνεια τις στιγμές: t = sec, t = sec και t = 7sec (Μονάδες 6) γ) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της h (Μονάδες ) δ) Να προσδιορίσετε την ακτίνα της ρόδας (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 09 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g(), όπου α, β πραγματικοί αριθμοί και της συνάρτησης f () ( ), όπου ω > 0 και ρ > 0 Και οι δύο συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το R Επίσης η f έχει μέγιστο το α) Να αποδείξετε ότι ρ = και ω = (Μονάδες ) β) Να βρείτε τα α, β (Μονάδες 0) γ) Να βρείτε, γραφικά, το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης () 0 στο διάστημα [0,π] (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 09 t Δίνεται η συνάρτηση f (t) με t [0, ] α) Να βρείτε την περίοδο της f (Μονάδες ) β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της, καθώς και τις τιμές του t για τις οποίες η f παίρνει τις τιμές αυτές (Μονάδες) γ) Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της f (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

127 ΘΕΜΑ 69 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () α) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης f (Μονάδες ) β) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με A,0 Να βρείτε: i τις συντεταγμένες του σημείου Δ (Μονάδες 0) ii τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 69 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () παραμέτρους α, ω > 0 Να βρείτε: με α) την περίοδο της συνάρτησης f (Μονάδες 9) β) τους αριθμούς α και ω (Μονάδες 8) γ) τους αριθμούς kr για τους οποίους η εξίσωση f () k έχει μοναδική λύση στο 0, και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

128 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ α) Είναι η τιμή λύση της εξίσωσης 0; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () με την ευθεία (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 76 - Δίνεται γωνία που ικανοποιεί τη σχέση: α) Να αποδείξετε ότι είτε 0 είτε 0 (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας ω (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f ( ), α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (Μονάδες 0) 0, η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή; (Μονάδες ) β) Για ποια τιμή του ΘΕΜΑ α) Να αποδείξετε ότι: 0 (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιμές του [0, ) για τις οποίες ισχύει (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 769 α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους παρακάτω αριθμούς: 7,, (Μονάδες ) 6 0 β) Αν, να συγκρίνετε τους αριθμούς και (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δίνεται η παράσταση:,, α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση στο διάστημα 0, (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Έστω γωνία για την οποία ισχύουν: και α) Να αποδείξετε ότι (Μονάδες ) β) Να βρείτε την γωνία (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

129 ΘΕΜΑ 77 - α) Να αποδείξετε ότι : όπου, (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση: (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ f () με και 0, η οποία έχει μέγιστη τιμή και Δίνεται η συνάρτηση περίοδο α) Να δείξετε ότι ή και β) Για (Μονάδες 7) i να λυθεί η εξίσωση f () (Μονάδες 0) ii να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα 0,8 (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνεται το σύστημα: με παράμετρο α) Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του (Μονάδες 0) β) Αν και, είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να βρείτε γωνία [0, ) 0 0 τέτοια ώστε 0 και 0 (Μονάδες 7) γ) Αν και, είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να δείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία, τέτοια ώστε και (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 78 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f η οποία είναι της μορφής f () k,,,k πραγματικές σταθερές α) Με βάση τη γραφική παράσταση, να βρείτε: i τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (Μονάδες ) ii την περίοδο T της συνάρτησης f (Μονάδες ) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών,, k Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 9) γ) Θεωρώντας γνωστό ότι,, k να προσδιορίσετε αλγεβρικά την τετμημένη 0 του σημείου A της γραφικής παράστασης, που δίνεται στο σχήμα (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

130 ΘΕΜΑ 786 Δίνονται οι συναρτήσεις f () g() α) Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιμών των συναρτήσεων f και g Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () και g(), για 0, (Μονάδες 8) 0 f () g() 7 β) Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης, να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 0, (Μονάδες ) () στο διάστημα γ) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση () στο διάστημα 0, και να σημειώσετε πάνω στο σχήμα του ερωτήματος (α) τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 78 Ένα παιχνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο από το ταβάνι Το ύψος του από το πάτωμα σε cm h(t) t όπου,, συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται από τη σχέση: πραγματικές σταθερές Όταν το ελατήριο ταλαντώνεται, το ελάχιστο ύψος του παιχνιδιού από το πάτωμα είναι 0 cm και το μέγιστο 00 cm Τη χρονική στιγμή t 0το ύψος παίρνει την ελάχιστη τιμή του και ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης (θέσεις: ελάχιστο-ηρεμία-μέγιστο-ηρεμίαελάχιστο) είναι 6 sec α) Να δείξετε (Μονάδες ) β) Να προσδιορίσετε τις τιμές των, αιτιολογώντας την απάντησή σας (Μονάδες 6) γ) Να υπολογίσετε το ύψος του παιγνιδιού από το πάτωμα sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης (Μονάδες 8) δ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h(t), για 0 t (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 09 Δίνεται η συνάρτηση f () (), R α) Να βρείτε την περίοδο Τ και τη μέγιστη τιμή της f (Μονάδες ) β) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g() ( ), R i Να προσδιορίσετε τα α, β, γ (Μονάδες ) ii Για α = -, β = και γ =, να λύσετε την εξίσωση f() = g() στο διάστημα [0, π) (Μονάδες 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

131 ΘΕΜΑ 690 Δίνεται η εξίσωση (Α) α) Να αποδείξετε ότι, αν το 0 είναι μία λύση της εξίσωσης (Α), τότε ( 0) 0 (Μονάδες ) β) Θεωρούμε την εξίσωση (Β) η οποία προκύπτει υψώνοντας στο τετράγωνο τα δύο μέλη της εξίσωσης (Α) Να λύσετε την εξίσωση (Β) (Μονάδες ) γ) Να λύσετε την εξίσωση (Α) (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται οι γωνίες για, τις οποίες ισχύει: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ α ΘΕΜΑ ο Να αποδείξετε ότι: α) (Μονάδες 0) β) (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 69 α) Να δείξετε ότι : (Μονάδες ) β) Να βρείτε με την βοήθεια του ερωτήματος α) την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης f () R (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ Για τη γωνία ισχύει ότι 8 0 α) Να δείξετε ότι (Μονάδες 0) β) Αν για τη γωνία επιπλέον ισχύει, τότε: 7 i να δείξετε ότι και (Μονάδες 8) ii να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 8 (Μονάδες 7) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

132 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Καλούμε μονώνυμο του κάθε παράσταση της μορφής, όπου α είναι πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος Μονώνυμο του καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό Καλούμε πολυώνυμο του κάθε παράσταση της μορφής : 0 όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και 0,,, είναι πραγματικοί αριθμοί Τα μονώνυμα,,,, 0 λέγονται όροι του πολυωνύμου Οι αριθμοί,,,, 0 λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου Ειδικότερα ο αριθμός 0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου Βαθμό ενός πολυωνύμου () ονομάζουμε τον μεγαλύτερο εκθέτη του που εμφανίζεται στο πολυώνυμο, με την προϋπόθεση ότι ο συντελεστής του είναι διάφορος του μηδενός (Για το μηδενικό πολυώνυμο δεν ορίζεται βαθμός) Δυο πολυώνυμα ( ) 0 και Q ( ) 0 με θα λέμε ότι είναι ισα όταν ισχύουν συγχρόνως : 0 0,, και 0 Στο πολυώνυμο ( ) 0 αν αντικαταστήσουμε το με μια τιμή, τότε ο αριθμός που προκύπτει : ( ), λέγεται αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για Ειδικότερα αν ισχύει ( ) 0, τότε ο αριθμός ρ λέγεται ρίζα του πολυωνύμου ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ Α ομάδας) Να βρείτε για ποιες τιμές του, το πολυώνυμο ( ) ( ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο Λύση : Το () είναι το μηδενικό πολυώνυμο, όταν ισχύουν συγχρόνως : 0 ( ) 0 ή Η κοινή λύση των παραπάνω εξισώσεων είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

133 (Άσκηση σελ Α ομάδας) Να βρείτε για ποιες τιμές του, τα πολυώνυμα ( ) ( ) και Q( ) ( ) είναι ισα Λύση : Τα πολυώνυμα () και Q () είναι ισα, όταν ισχύουν συγχρόνως : 0 ή 0 Η κοινή λύση των παραπάνω εξισώσεων είναι (Άσκηση σελ Β ομάδας) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ και μ, για τους οποίους το πολυώνυμο ( ) 6 έχει ρίζα το και ισχύει ( ) Λύση : Το είναι ρίζα του () ( ) () Επίσης : ( ) ( ) ( ) ( ) () 8 Από () και () έχω : προσθέτοντας κατά μέλη έχω : 9 και από () : 8 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i Η παράσταση P()= 0 είναι πολυώνυμο ii Ένα σταθερό πολυώνυμο έχει βαθμό 0 iii Αν για το πολυώνυμο P() και ισχύει P(ρ) 0, τότε ο αριθμός ρ δεν είναι ρίζα του P() iv Αν τα πολυώνυμα P() και Q() είναι μη μηδενικά και έχουν βαθμούς μ και ν αντίστοιχα, τότε το πολυώνυμο P() Q() έχει βαθμό μ+ν Αν οι βαθμοί των πολυωνύμων P() και Q() είναι μ και ν αντίστοιχα, να αντιστοιχίσετε στον παρακάτω πίνακα τα πολυώνυμα που βρίσκονται στη στήλη Α με τους βαθμούς τους στη στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Α P()Q() ν B [P()] μ Γ Q(Q()) μ+ν Δ P(Q()) μν 6 Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις i Έστω το πολυώνυμο P()=α ν ν +α ν- ν- +α +α 0 α Αν α 0 =0, τότε ο αριθμός είναι ρίζα του P() β Αν α ν 0, τότε ο βαθμός του P() είναι γ Αν το άθροισμα των συντελεστών του P() είναι 0, τότε ο αριθμός είναι ρίζα του P() δ Αν ο βαθμός του P() είναι ν, τότε ο βαθμός του P () είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

134 ε Αν ο βαθμός του P() είναι ν, τότε ο βαθμός του P(P()) είναι ii Αν το πολυώνυμο P() είναι μηδενικού βαθμού ή το μηδενικό πολυώνυμο, τότε η μορφή του είναι iii Αν το πολυώνυμο P() είναι βαθμού, τότε έχει τη μορφή 7 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση i Αν ο σταθερός όρος ενός πολυωνύμου είναι 0, τότε το πολυώνυμο έχει ρίζα τον αριθμό: Α Β 0 Γ - Δ ii Αν το πολυώνυμο P() είναι ου βαθμού, το Π() είναι ου βαθμού και ισχύει η ισότητα P()=δ() Π(), τότε το δ() έχει βαθμό: Α Β Γ 0 iii Αν για το πολυώνυμο P(), ισχύει +=P()(+), τότε ο βαθμός του P() είναι: Α Β Γ Δ iv Το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου P()=(-) 0 + είναι: Α Β Γ Δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Για ποιο λόγο οι παρακάτω παραστάσεις δεν είναι πολυώνυμα του ; i ii 7 iii 6 iv 7 9 Να εξετάσετε ποιες από τις ακόλουθες παραστάσεις είναι μονώνυμα και ποιες πολυώνυμα : i P( ) ii Q( ) iii A( ) iv E( ) v H( ) 0 Δίνονται τα πολυώνυμα : ( ) 6 7 και Q ( ) Να βρείτε τα πολυώνυμα: i ( ) Q( ) ii ( ) Q( ) iii ( ) Q( ) iv Q( ) ( ) Να βρεθούν οι τιμές τις παραμέτρου λ για τις οποίες το πολυώνυμο ( ) ( ) ( ) είναι το μηδενικό πολυώνυμο Για ποιες τιμές του λ το πολυώνυμο P( ) ( ) ( 6) 0 είναι το μηδενικό πολυώνυμο Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να είναι ισα τα πολυώνυμα ( ) ( ) ( ) 8 και Q ( ) ( ) Να βρεθούν οι τιμές των κ, λ, μ ώστε να είναι ισα τα πολυώνυμα P ( ) ( ) ( ) ( ) και Q ( ) ( ) Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε το πολυώνυμο P ( ) να παίρνει τη μορφή P ( ) ( ) ( ) 6 Να προσδιοριστεί ο βαθμός του πολυώνυμου P ( ) ( 9) ( ) ( ) για τις διάφορες τιμές του λ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

135 7 Να προσδιοριστεί, για τις διάφορες τιμές του λ, ο βαθμός του πολυώνυμου : ( ) ( ) ( 6) ( ) 8 Δίνεται το πολυώνυμο : ( ) ( ) ( ) Να βρείτε για ποιες τιμές του το () είναι : i είναι σταθερό πολυώνυμο, ii είναι μηδενικό πολυώνυμο, iii έχει βαθμό μηδέν 9 Έστω τα πολυώνυμα P ( ) 6 8 και Q( ) Να βρείτε τι πρέπει να ισχύει για τους αριθμούς α, β, γ, δ, ώστε το πολυώνυμο P() - Q() να είναι : i ου βαθμού ii το πολύ ου βαθμού iii Μηδενικό πολυώνυμο 0 Να βρείτε τα λ ώστε η αριθμητική τιμή του πολυώνυμου P( ) ( ) ( ) ( ) για =- να είναι Αν το πολυώνυμο () έχει ρίζα τον αριθμό, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q( ) ( ) έχει ρίζα τον αριθμό - Να εξετάσετε αν οι αριθμοί - και είναι ρίζες του πολυώνυμου P ( ) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ,λ για τους οποίους το πολυώνυμο P( ) ( ) 6 έχει ρίζες τους αριθμούς - και Να αποδειχθεί ότι για κάθε λ το πολυώνυμο P( ) ( ) ( ) 00 δεν έχει ρίζα τον αριθμό Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β για τους οποίους το πολυώνυμο P( ) έχει ρίζα τον αριθμό και το άθροισμα των συντελεστών του είναι 8 (Υπόδειξη : Για να βρούμε το άθροισμα των συντελεστών του (), υπολογίζουμε το () ) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) ( ) Να βρείτε : i τον σταθερό όρο του () ii το άθροισμα των συντελεστών του () 7 Δίνεται το πολυώνυμο ( ) ( ) ( ) Να βρείτε τα,, ώστε το () να έχει ρίζα το και η αριθμητική τιμή του για να είναι 6 8 Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ() για το οποίο ισχύει : ( ) P( ) 9 Έστω το πολυώνυμο Ρ(), για το οποίο γνωρίζουμε ότι : P ( ) P( ) για κάθε και P( 0) 0 Να δείξετε ότι P( ) 80 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

136 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων () και () με ( ) 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα () και (), τέτοια ώστε : ( ) ( ) ( ) ( ) όπου το () ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του () Το () λέγεται διαιρετέος, το () διαιρέτης, το () πηλίκο και το () υπόλοιπο της διαίρεσης ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Α ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Να κάνετε τη διαίρεση : ( ) : ( ) και στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης Λύση : Στη διαίρεση της εκφώνησης, το πολυώνυμο ( ) ονομάζεται διαιρετέος ενώ το πολυώνυμο ( ) ονομάζεται διαιρέτης Για να εκτελέσουμε τη διαίρεση ακλουθούμε τα εξής βήματα : Βήμα : Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και γράφουμε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του Αν λείπει κάποια δύναμη την συμπληρώνουμε με συντελεστή μηδέν Βήμα : Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου Έτσι : : με τον πρώτο όρο του διαιρέτη Βήμα : Πολλαπλασιάζουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου με τον διαιρέτη : ( ) και το γινόμενο αυτό το αφαιρούμε από τον διαιρετέο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

137 Βήμα : Το πολυώνυμο είναι το πρώτο μερικό υπόλοιπο Θεωρώντας αυτό ως νέο διαιρετέο, επαναλαμβάνουμε τα δυο προηγούμενα βήματα Βήμα : Το πολυώνυμο είναι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο Θεωρώντας αυτό ως νέο διαιρετέο, επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα Όταν το μερικό υπόλοιπο που θα προκύψει έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του διαιρέτη, τότε η διαίρεση σταματά Δηλαδή το τελικό υπόλοιπο της διαίρεσης είναι - και το πηλίκο Από την παραπάνω διαδικασία προκύπτει η ταυτότητα της διαίρεσης : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Διαιρετέος)=(διαιρέτης)(πηλίκο)+(υπόλοιπο) Να κάνετε τη διαίρεση : ( + + ) : ( + ) και στη συνέχεια να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης Λύση : Γράφουμε το γνωστό σχήμα της διαίρεσης Διαιρούμε το μεγιστοβάθμιο όρο του Διαιρετέου με το μεγιστοβάθμιο όρο του διαιρέτη Έτσι υπολογίζουμε τον πρώτο όρο του πηλίκου Άρα : = ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

138 Πολλαπλασιάζουμε τον όρο που βρήκαμε στο πηλίκο με κάθε όρο του διαιρέτη (κάνουμε δηλαδή επιμεριστική ιδιότητα) Τοποθετούμε το αποτέλεσμα κάτω απ το Διαιρετέο, αλλά με αντίθετα πρόσημα (επειδή εννοείται ότι αφαιρούμε το αποτέλεσμα από το Διαιρετέο) Προσέχουμε κάθε όρος να βρίσκεται ακριβώς κάτω από τον αντίστοιχο (ομοιοβάθμιο) όρο του Διαιρετέου Εκτελούμε την πρόσθεση Οι αντίθετοι όροι διαγράφονται Έπειτα «κατεβάζουμε» και τους υπόλοιπους όρους του Διαιρετέου Συνεχίζουμε κατά τον ίδιο τρόπο, έως ότου ο βαθμός του υπολοίπου γίνει μικρότερος από εκείνον του διαιρέτη Τότε η διαίρεση σταματάει Άρα, στο συγκεκριμένο + παράδειγμα, η ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης θα γράφεται: + + = ( + ) ( + ) + 7 Δ() δ() π() υ() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

139 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Ρ() ΜΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ -ρ (ΣΧΗΜΑ HORNER) ΘΕΩΡΗΜΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου () με το είναι ισο με την τιμή του πολυώνυμου για Είναι δηλαδή () Έτσι η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται : ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ : Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου () με το πολυώνυμο είναι : ( ) ( ) ( ) ( ) Επειδή ο διαιρέτης είναι ου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι σταθερό πολυώνυμο υ Έτσι έχουμε : ( ) ( ) ( ) και, αν θέσουμε, παίρνουμε ( ) ( ) ( ) 0 Επομένως : ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ Ένα πολυώνυμο () έχει παράγοντα το αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του (), δηλαδή αν και μόνο αν ( ) 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ : Έστω ότι το είναι παράγοντας του () Τότε ( ) ( ) ( ) Από την ισότητα αυτή για παίρνουμε ( ) ( ) ( ) 0, που σημαίνει ότι το ρ είναι ρίζα του () Αντιστρόφως : Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του (), δηλαδή ισχύει ( ) 0 Τότε από τη σχέση ( ) ( ) ( ) ( ) παίρνουμε ( ) ( ) ( ), που σημαίνει ότι το είναι παράγοντας του () ΣΧΗΜΑ HORNER Όταν έχω να εκτελέσω μια διαίρεση ενός πολυώνυμου () με ένα παράγοντα της μορφής, τότε χρησιμοποιώ το σχήμα Horner, ακλουθώντας την παρακάτω διαδικασία ΠΡΟΣΟΧΗ : Για ένα πολυώνυμο (), οι ακόλουθες εκφράσεις είναι ισοδύναμες : «το διαιρεί το ()», «η διαίρεση του () με το είναι τέλεια», «το είναι παράγοντας του ()» «το ρ είναι ρίζα του ()» «το () διαιρείται με το» «το είναι διαιρέτης του ()» «το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) : ( ) είναι ισο με μηδέν» Σε κάθε περίπτωση ισχύει : ( ) 0 Αυτό σημαίνει ότι αν δοθεί μια από τις παραπάνω εκφράσεις, τότε θα ισχύουν συγχρόνως όλες μαζί και άμεσα συμπεραίνουμε ότι ( ) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

140 Β ΣΧΗΜΑ HORNER ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i ( 7 0) : ( 0) ii ( 0 ) : ( ) Λύση : i Βήμα : Κάνουμε τον πίνακα του σχήματος Horner και στην πρώτη γραμμή γράφουμε τους συντελεστές του διαιρετέου Αν λείπει κάποια δύναμη του, τη συμπληρώνουμε με συντελεστή μηδέν Στο τέλος της πρώτης γραμμής, γράφουμε το Βήμα : Κατεβάζουμε τον πρώτο συντελεστή στην η θέση της ης γραμμής Βήμα : Πολλαπλασιάζουμε με ρ τον πρώτο αριθμό της ης γραμμής και γράφουμε το γινόμενο στη η θέση της ης γραμμής Στη συνέχεια προσθέτουμε τους αριθμούς της ης στήλης και γράφουμε το άθροισμα στη η θέση της ης γραμμής Βήμα : Επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία για τον αριθμό που βρίσκεται στη η θέση της ης γραμμής και συνεχίζουμε μέχρι να τελειώσουν οι συντελεστές του διαιρετέου στην πρώτη γραμμή έ _ ί ό Προσοχή : Στη διαίρεση ( ) : ( ) ο βαθμός του πηλίκου είναι κατά μικρότερος από τον βαθμό του () Επίσης αφού ο διαιρέτης είναι ου βαθμού, το υπόλοιπο είναι ένας πραγματικός αριθμός Οι αριθμοί που βρίσκονται στην η γραμμή (εκτός από τον τελευταίο) παριστάνουν του συντελεστές του πηλίκου της διαίρεσης Ο τελευταίος αριθμός της ης γραμμής παριστάνει το υπόλοιπο της διαίρεσης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

141 Προσθέτουμε Κατεβάζουμε Με αυτά στο μυαλό μας στη διαίρεση : ( 7 0) : ( 0) ο διαιρετέος είναι ου βαθμού, άρα το πηλίκο θα είναι ου βαθμού με συντελεστές όπως προκύπτουν από το Horner -, 0, - άρα το πηλίκο έχει τη μορφή : ( ) 0 και το υπόλοιπο 0 Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι : ( ) ( ) ( ) ( ) 7 0 ( 0)( 0 ) 0 ii 0 6 Πολλαπλασιάζουμε με το ρ = Πολλαπλασιάζουμε με το ρ = Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, καταλήγουμε στο εξής σχήμα : π() υ() Το τελευταίο άθροισμα που βρήκαμε (στο πλαίσιο) είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης, δηλαδή υ = Τα υπόλοιπα επί μέρους αθροίσματα (,,, ) αποτελούν τους συντελεστές του πηλίκου Προφανώς, αφού διαιρέσαμε με το που είναι πρώτου βαθμού, το πηλίκο θα είναι ένα πολυώνυμο κατά ένα βαθμό μικρότερο από το Διαιρετέο Άρα ο πρώτος όρος θα είναι ο, ο δεύτερος ο κτλ δηλαδή θα έχουμε : π() = + + Γράφουμε τελικά: 0 + = ( ) ( + + ) + Δ() δ() π() υ() ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

142 Γ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση 6 σελ9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα της μορφής που δίνονται σε κάθε περίπτωση, είναι παράγοντες του () i ( ) Λύση : i ος τρόπος : To είναι παράγοντας του () αν και μόνο αν ( ) 0 Πράγματι ( ) ( ) ( ) 8 0 ος τρόπος : To είναι παράγοντας του () αν και μόνο αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( ) : ( ) είναι 0 δηλαδή με το σχήμα Horner : Όπως φαίνεται και από το σχήμα Horner τo είναι παράγοντας του () (Άσκηση σελ9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του κ, για τις οποίες το είναι παράγοντας του g( ) Λύση : To είναι παράγοντας του g () αν και μόνο αν g () 0 0 ή Δ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ Ρ() ΕΧΕΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ (Ή ΔΙΑΙΡΕΙΤΑΙ) ΜΕ ΤΟ ( )( ) Ή ΜΕ ΤΟ ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 (Άσκηση σελ0 β ομάδας σχολικού βιβλίου) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο ( ) 6 διαιρείται με το ( )( ) και να βρείτε το πηλίκο Λύση : Για το () και για έχουμε : Άρα είναι : ( ) ( )( ) 6 0 Για το ( ) και για έχουμε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

143 Άρα είναι : ( ) ( )( ) Οπότε τελικά ( ) ( )( )( ) Αυτό σημαίνει ότι το () διαιρείται με το ( )( ) και το πηλίκο της διαίρεσης είναι το ( ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i Στην ταυτότητα της διαίρεσης πολυωνύμων το υπόλοιπο έχει βαθμό ο οποίος είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη ii Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P() με το -ρ έχει βαθμό 0 iii Αν για το πολυώνυμο P() είναι P(ρ) 0, τότε το P() δεν έχει παράγοντα το -ρ iv Αν η διαίρεση του πολυωνύμου P() με το -ρ είναι τέλεια, τότε ο αριθμός ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου P() Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος i Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι δευτέρου βαθμού, τότε το υπόλοιπο έχει βαθμό το πολύ ii Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι δευτέρου βαθμού, τότε το υπόλοιπο έχει τη μορφή α+β iii Αν το πηλίκο μιας διαίρεσης πολυωνύμων είναι το μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο διαιρετέος είναι το μηδενικό πολυώνυμο iv Αν ο διαιρετέος είναι ου βαθμού και ο διαιρέτης ου βαθμού, τότε το πηλίκο έχει μορφή α+β με α 0 v Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το -, τότε P()=0=P(-) vi Για να έχει το P() παράγοντα το (-)(+), πρέπει P()=0 και π(-)=0, όπου π() το πηλίκο της διαίρεσης του P() με - vii Αν το χ- δεν είναι παράγοντας του P(), τότε P() 0 viii Αν P() 0 για κάθε R, τότε το P() δεν έχει παράγοντα της μορφής -ρ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Α ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 6 Να γίνουν οι ακόλουθες διαιρέσεις : i ( 6 ) : ( ) ii (0 7 ) : ( ) iii (8 ) : ( ) 7 Ομοίως : i ( ) : ( ) ii (7 9) : ( ) iii ( ) : ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

144 B ΣΧΗΜΑ HORNER 8 Να βρεθεί με τη βοήθεια του σχήματος Horner, το πηλίκο, το υπόλοιπο και η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυώνυμου ( ) 7 με τα πολυώνυμα : i ii 9 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρεθούν τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i ( 6 8) : ( ) ii ( ) : ( ) 0 Έστω το πολυώνυμο P( ) Να βρεθεί το Ρ() με τη βοήθεια του σχήματος Horner Γ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( ) με τα πολυώνυμα : i ii iii Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης : ( 00 ) : ( ) Να αποδείξετε ότι το (-) είναι παράγοντας του πολυώνυμου P( ) 6 Να βρείτε τα a έτσι ώστε το πολυώνυμο P( ) ( ) 6 να διαιρείται με το (+) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) ( ) ( ) Να βρείτε τα,, ώστε το () να έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσης του () με το να είναι 6 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P( ) 0 δεν έχει παράγοντα της μορφής (-ρ) Δ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ Ρ() ΕΧΕΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ (Ή ΔΙΑΙΡΕΙΤΑΙ) ΜΕ ΤΟ ( )( ) Ή ΜΕ ΤΟ ( ) 7 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να δείξετε ότι το πολυώνυμο P ( ) 6 9, διαιρείτε με το (-)(-) και να βρείτε το αντίστοιχο πηλίκο 8 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να δείξετε ότι το πολυώνυμο ( ) 8, διαιρετέ με το και να βρείτε το αντίστοιχο πηλίκο 9 Να βρείτε τα,, για τα οποία το ( ) ( ) έχει παράγοντα το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

145 0 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να δείξετε ότι το πολυώνυμο P ( ) 9 0 έχει παράγοντα το ( ) Δίνεται το πολυώνυμο ( ) ( ) Να βρείτε τα,, ώστε το () να έχει παράγοντα το Δίνεται το πολυώνυμο ( ) Να βρείτε τα,, ώστε το () να έχει παράγοντα το ( ) Να βρείτε τα, έτσι ώστε το πολυώνυμο ( ) ( ) ( ) 6 να έχει ρίζες τις, Στη συνέχεια, για τις τιμές των, που βρήκατε να υπολογίσετε το πηλίκο της διαίρεσης ( ) : ( )( ) Ε Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ( ) : ( ), 0 Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του ( ) 9 06 Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του ( ) ( ) () 6 Το πολυώνυμο ( ) 6 7 έχει παράγοντα το, ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) : ( ) είναι Να βρείτε τα, ΣΤ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Αν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του () με τα και είναι και αντίστοιχα, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) : ( 6) 8 Αν το (+) είναι παράγοντας του Ρ(), να αποδείξετε ότι το (-) είναι παράγοντας του Ρ(-) 9 Το υπόλοιπο της διαίρεσης του () με το 6 είναι Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του () με το καθώς και το υπόλοιπο με το Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης : ( ) : ( ) Ένα πολυώνυμο (), όταν διαιρεθεί με το ( ) δίνει πηλίκο ( ) i Να βρεθεί ο βαθμός του () ii Αν επιπλέον το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης είναι ( ), να βρείτε το () ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

146 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση με βαθμό μεγαλύτερο ή ισο του, μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος και κάνουμε παραγοντοποίηση Στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα : 0 0 ή 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 6 Α Ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii Λύση : Έχω : 0 0 ( ) ( ) 0 ή 0 0( ή) ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΡΙΖΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω η πολυωνυμική εξίσωση : v 0 0 με ακεραίους συντελεστές Αν ο ακέραιος 0 είναι ρίζα της εξίσωση, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου 0 Παρατηρήσεις Σχόλια : Μια πολυωνυμική εξίσωση ν-οστου βαθμού έχει το πολύ ν πραγματικές ρίζες Δηλαδή, μια εξίσωση ου βαθμού έχει το πολύ ρίζες Μεθοδολογία : Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση ( ου βαθμού και πάνω), χρησιμοποιούμε το θεώρημα ακεραίων ριζών Με τη βοήθεια του σχήματος Horner και τους κλασικούς τρόπους παραγοντοποίησης, φέρνουμε την εξίσωση σε μορφή P ( ) P ( ) P ( ) 0 οπότε P ( ) 0 ή P ( ) 0 P ή ή ( ) 0 (Στο σχήμα Horner όλες οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι διαιρέτες του σταθερού όρου) (Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι όλα τα πολυώνυμα P ( ), P ( ),, P ( ) να είναι το πολύ ου βαθμού) Μεθοδολογία : Σε πιο σύνθετες μορφές κάνουμε αντικατάσταση μιας ποσότητας, ώστε να προκύψει πιο εύκολη εξίσωση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

147 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να λύσετε τις εξισώσεις : i 6 0 ii Λύση : iοι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι,,, 6 Παρατηρώ όμως ότι το άθροισμα των συντελεστών της εξίσωσης είναι 0, άρα η ρίζα είναι το Άρα : 6 0 ( )( 6 0 ή 6) 0 0 ή ii Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι,,, 6 Όταν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ομόσημοι (είτε θετικοί, είτε αρνητικοί), τότε η εξίσωση δεν μπορεί να έχει θετικές ρίζες Έτσι δοκιμάζω με όλες τις αρνητικές Τελικά : Άρα : ( )( ή 6) 0 0 ή ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : i Έστω η πολυωνυμική εξίσωση a 0 0 με ακέραιους συντελεστές Να βρείτε, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδής Α Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του α 0 Β Αν ο ακέραιος ρ δεν είναι διαιρέτης του α 0, τότε ο ρ δεν είναι ρίζα της εξίσωσης Γ Πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι διαιρέτες του α 0 Δ Αν ο ρ είναι διαιρέτης του α 0, τότε ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης ii Έστω η πολυωνυμική εξίσωση a 0 0 με ακέραιους συντελεστές Να βρείτε, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδής Α Αν οι αριθμοί α 0,α,,α ν είναι θετικοί, τότε η εξίσωση δεν έχει θετική ρίζα Β Αν οι αριθμοί α 0,α,,α ν είναι αρνητικοί, τότε η εξίσωση δεν έχει αρνητική ρίζα Γ Αν οι όροι της εξίσωσης με τις περιττές δυνάμεις του έχουν συντελεστές αρνητικούς αριθμούς και με τις άρτιες δυνάμεις του έχουν συντελεστές θετικούς, τότε η εξίσωση δεν έχει αρνητική ρίζα Δ Αν α 0 0, τότε η εξίσωση έχει ρίζα το 0 Ε Αν α 0 +α + +α ν =0, τότε η εξίσωση έχει ρίζα το ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

148 iii Έστω η εξίσωση 0, α Ζ Να εξετάσετε, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι ψευδής Α Αποκλείεται το να είναι ρίζα της εξίσωσης Β Αν ο ακέραιος ρ είναι ρίζα της εξίσωσης και ρ>7, τότε ρ= Γ Έστω ρ Ζ και ρ> Αν ρ 6 και ρ, τότε ο ρ δεν είναι ρίζα της εξίσωσης Δ Αν ρ Ζ και ο ρ είναι διαιρέτης του, τότε ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης : 6 0 Ομοίως οι εξισώσεις : i ii 0 iii 6 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες 7 Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση 6 0 έχει μια τουλάχιστον ακέραια ρίζα 8 Να λυθεί η εξίσωση : 9 Να λυθεί η εξίσωση : 0 Να λυθεί η εξίσωση : ( 6 ( ) 6 ) ( 8 0 ( ) 0 ) ( ) 0 Ομοίως : i 0 ii (Αντίστροφη εξίσωση) Το πολυώνυμο ( ) 0 έχει παράγοντα το, ενώ διαιρούμενο με το δίνει υπόλοιπο i Να βρείτε τα, ii Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0 Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης τη συνάρτησης : f ( ) 9 με τον άξονα (Υπόδειξη : για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f με τον άξονα, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f ( ) 0 ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : f ( ) και g ( ) (Υπόδειξη : για να βρούμε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων δυο συναρτήσεων f, g λύνουμε την εξίσωση f ( ) g( ) ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης : f ( ) διέρχεται από το σημείο (,6) Να βρείτε : i το ii τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7

149 6 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη 6 Να βρείτε : i το ii τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα 7 Δίνονται οι συναρτήσεις : f ( ) και g( ) 0 Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου f () με το είναι και το πολυώνυμο g () έχει παράγοντα το Να βρείτε : i τα, ii τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f, g ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική ανίσωση ου ή μεγαλύτερου βαθμού, Βήμα : μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος Βήμα : κάνουμε παραγοντοποιηση (αν χρειαστεί με τη βοήθεια του σχήματος Horner), ώστε να φέρουμε την ανίσωση στη μορφή : ( ) ( ) ( ) 0 ή ( ) ( ) ( ) 0 (όπου οι παράγοντες ( ), ( ),, ( ) είναι είτε ου είτε ου βαθμού) Βήμα : βρίσκουμε τις ρίζες (αν υπάρχουν) των παραγόντων ( ), ( ),, ( ) Βήμα : διατάσσουμε τις ρίζες σε έναν άξονα (από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη) Βήμα : κάτω από τον άξονα σχηματίζουμε πίνακα με τα πρόσημα των παραγόντων, στα διαστήματα που χωρίζεται ο άξονας από τις ρίζες Βήμα 6 : στην τελευταία γραμμή του πίνακα βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου εφαρμόζοντας τους κανόνες προσήμου : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Έχω Άρα : 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ή Γινόμενο Άρα επειδή θέλω 0 τότε (, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

150 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Να λυθούν οι ανισώσεις : i 0 ii ( ) ( ) iii 0 Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση τη συνάρτησης f ( ) 6 8 βρίσκεται κάτω από τον άξονα Πότε βρίσκεται πάνω από τον άξονα ; (Υπόδειξη : Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από τον λύνουμε την ανίσωση f ( ) 0 Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται κάτω από τον λύνουμε την ανίσωση f ( ) 0 ) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση τη συνάρτησης P( ) 8 6 βρίσκεται κάτω από τον άξονα Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση τη συνάρτησης f ( ) 6 δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) (Υπόδειξη : Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από τη λύνουμε την ανίσωση f ( ) g( ) Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται κάτω από τη C λύνουμε την ανίσωση f ( ) g( ) ) g Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i f ( ) ii iii f 0 ( ) 6 f ( ) 6 8 Δίνονται τα πολυώνυμα : ( ) και Q( ) ( ) Το () έχει παράγοντα το, ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q () με το είναι i Να αποδείξετε ότι 0 και ii Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων ( ) 0 και Q ( ) 0 6 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) 7 διέρχεται από το σημείο (, 6) i Να βρείτε την τιμή του ii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9 C g

151 iii Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) Το πολυώνυμο : ( ) διαιρούμενο με το αφήνει υπόλοιπο i Να βρείτε τον αριθμό ii Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του () με το iii Να λύσετε την ανίσωση ( ) 8 Το πολυώνυμο : ( ) 8 0 έχει παράγοντα το i Να βρείτε τον αριθμό ii Να λύσετε την ανίσωση ( ) 9 Το πολυώνυμο : ( ) 0 έχει παράγοντα το, ενώ διαιρούμενο με το αφήνει υπόλοιπο i Να βρείτε τις τιμές των, ii Να λύσετε την εξίσωση ( ) 0 iii Να λύσετε την ανίσωση ( ) 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΡΙΖΑΣ ΜΕ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Για να βρούμε μια ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης Ρ()=0 με προσέγγιση δεκάτου, ενεργούμε ως εξής : Βρίσκουμε ένα διάστημα (α,α+), έτσι ώστε Ρ(α)Ρ(α+)<0 (ο α ακέραιος) Θεωρούμε τις τιμές α+0,, α+0,,, α+0,8, α+0,9 και εξετάζουμε για ποιο γειτονικό ζευγάρι το γινόμενο των τιμών τους είναι αρνητικό Συνεχίζουμε με την ίδια διαδικασία για το ζευγάρι που βρήκαμε, στο οποίο προσθέτουμε 0,0, κι έτσι προκύπτουν 9 ενδιάμεσοι αριθμοί Βρίσκουμε τα γειτονικό ζευγάρι που έχει αρνητικό γινόμενο τιμών, το οποίο θα έχει κοινά τα ψηφία των μονάδων και των δεκάτων Ο αριθμός αυτός είναι ρίζα της εξίσωσης Ρ()=0 με προσέγγιση δέκατου Με παρόμοιο τρόπο ενεργούμε για να βρούμε μια ρίζα της πολυωνυμικής εξίσωσης Ρ()=0 με προσέγγιση εκατοστού, χιλιοστού κτλ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 0 Αφού αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 έχει μια ρίζα τουλάχιστον στο διάστημα (0,), να βρείτε μια λύση της στο (0,) με προσέγγιση : i δέκατου ii εκατοστού ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0

152 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, Βήμα : παίρνω περιορισμούς, δηλαδή 0 Βήμα : πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, Βήμα : ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ Α Ομάδας) Να λύσετε τις εξισώσεις : ii Λύση : Έχω :, ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 & Έπειτα κάνω απαλοιφή παρανομαστών : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Άρα : 0 ( )( ) 0 0, ή 0, έ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

153 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι εξισώσεις που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα Για να τις λύσουμε : Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζη ποσότητα 0 ), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, Βήμα : αν στο ο μέλος έχει άγνωστο τότε παίρνουμε περιορισμό και για το ο μέλος 0 Βήμα : υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού του ου μέλους Βήμα : τέλος λύνουμε την εξίσωση και εξετάζουμε ποιες από τις λύσεις είναι δεκτές και ποιες απορρίπτονται ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να λύσετε τις εξισώσεις : i ii iii 6 Λύση : i πρέπει 0 δεκτή ii Έχω : πρέπει 0 () και 0 () Από ()&() ισχύει ( ) 0 (δεκτή) ή (απορ) iii Έχω : 6 6 πρέπει 6 0 () και 0 () Από ()&() ισχύει 6 6 εδώ επίσης πρέπει 0 () Άρα από (), ()&() ισχύει Οπότε : ( ) 0 (απορ) (δεκτή) ή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ( ) ( ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής 0 ή 0 γράφεται ισοδύναμα ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ή ( ) ( ) 0 [όπου ( ) 0 ] και αυτό γιατί το γινόμενο και το πηλίκο δυο αριθμών έχουν το ίδιο πρόσημο ( ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 [ ( ) ( ) ( )] ( ) 0 ( ) ( ) και λύνεται όπως η προηγούμενη γράφεται : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

154 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να λύσετε τις ανισώσεις : i 0 ii 0 iii 6 Λύση : i Πρέπει 0 και Έχω : 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ( ) 0 0, ή, 0 ή 0 ή Γινόμενο - Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ( )( ) 0 (Στο (,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) ii Πρέπει 6 0 και Έχω : 0 ( )( 6) 0 6 ( )( 6) 0 0, ύ ή 6 0 ή Γινόμενο - Πηλίκο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8 τότε [,0] (, ) Άρα επειδή θέλω 0 ( )( 6) 0 τότε (,) 6 (Όταν μια παράσταση είναι πάντα θετική τότε δεν επηρεάζει το πρόσημο στην τελευταία σειρά στο πινακάκι Οπότε θα μπορούσε να παραληφτεί εντελώς) 8 iii Έχω : 0 ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 & (Σε αυτό το σημείο όμως δεν κάνω απαλοιφή παρανομαστών όπως στις αντίστοιχες κλασματικές εξισώσεις, αλλά ομώνυμα κλάσματα Αυτό γιατί η απαλοιφή παρανομαστών δεν επιτρέπεται στις ανισώσεις

155 καθώς η παράσταση με την οποία θα πολλαπλασιάσω κάθε όρο, δεν γνωρίζω αν είναι θετική ή αρνητική) 8 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6 0 ( 6)( ) 0 Έχω : ( 6)( ) ή ή 0 ή Γινόμενο Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ( 6)( ) 0 (, ] (,) [, ) (Στο (-,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) τότε ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΡΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι ανίσωσης που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα Για να τις λύσουμε : ΜΟΡΦΗ : f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζες ποσότητες 0), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και το άλλο στο ο, Βήμα : υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού Βήμα : τέλος λύνουμε την ανίσωση και συναληθευουμε με τους περιορισμούς ΜΟΡΦΗ : f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) Βήμα : παίρνουμε τους περιορισμούς (υπόρριζη ποσότητες 0), Βήμα : βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, Βήμα : διακρίνουμε τις περιπτώσεις : g ( ) 0 και g ( ) 0 και εξετάζουμε για ποιες τιμές του ισχύουν ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να λύσετε τις ανισώσεις : i 8 ii iii 7 Λύση: i Πρέπει : 8 ή [,8] () 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

156 8 Από () και () ισχύει : [,) ii Έχω : () πρέπει : 0 () Διακρίνω τις περιπτώσεις : 0 () άρα από () και () [,) 0 (καλύπτει τον περιορισμό () : ) Τότε στην ανίσωση () και τα δυο μέλη είναι μη αρνητικά 0 άρα μπορώ να υψώσω στο τετράγωνο, έτσι έχω : ( ) ( ) Είναι ή Άρα επειδή θέλω 8 0 [,7] Συναληθευοντας τη λύση αυτή με τον περιορισμό προκύπτει ότι [,7] Άρα τελικά από τις παραπάνω περιπτώσεις προκύπτει ότι η ανίσωση ισχύει αν : [,) ή [,7], δηλαδή τελικά [,7] iii Έχω : 7 7 () πρέπει : 0 () Διακρίνω τις περιπτώσεις : () άρα από () και () η ανίσωση () είναι αδύνατη 7 0 7, τότε για [ 7, ) η () δεν ορίζεται, ενώ για [, ) τα δυο μέλη της ανίσωσης () είναι μη αρνητικά 0 άρα μπορώ να υψώσω στο τετράγωνο, έτσι έχω : 7 ( ) ( 7) 9 0, άρα : - + άρα 0 ισχύει για κάθε σε συνδυασμό με τον περιορισμό ισχύει τελικά [, ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : () Να λυθούν οι εξισώσεις : i ii 6 Να λυθούν οι εξισώσεις : i 6 6 ii ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ

157 7 Να λυθούν οι εξισώσεις : i 7 ii 7 8 Να λυθούν οι εξισώσεις : i ii 6 9 Να λυθούν οι εξισώσεις : i 7 ii 6 iii iv 6 0 Να λυθεί η εξίσωση : 0 Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : 8 Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : 9, για κάθε Να λυθεί η εξίσωση : 0 6 Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( ) Να λυθεί η εξίσωση : Να λυθούν οι ανισώσεις : i 9 ii 8 iii iv 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

158 0 Να λυθούν οι ανισώσεις : i ii 0 iii Να λυθούν οι ανισώσεις : i ii 8 ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 69 α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης ( 6 ) : ( ) (Μονάδες 0) β) Αν P() 6 να βρείτε το R, ώστε η διαίρεση P() : ( ) να έχει υπόλοιπο 0 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 680 Δίνονται τα πολυώνυμα: P() ( ) ( ) 9 και Q() ( ) ( ) ( 9) με R α) Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι και τα δύο πολυώνυμα είναι ου βαθμού Συμφωνείτε με την άποψη αυτή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες ) β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία τα πολυώνυμα Ρ() και Q() είναι ίσα (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 76 Δίνεται το πολυώνυμο P() 8, όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί Αν το πολυώνυμο Ρ() διαιρούμενο με ( + ) αφήνει υπόλοιπο 6 + Ρ() και διαιρούμενο με ( ) αφήνει υπόλοιπο 6 Ρ( ), τότε: α) να αποδείξετε ότι Ρ() = 0 και Ρ( ) = 6 (Μονάδες 8) β) να αποδείξετε ότι α = και β = (Μονάδες 9) γ) να αποδείξετε ότι: () () (6) (7) 0 (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ 76 Έστω Ρ() πολυώνυμο τρίτου βαθμού το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο είναι τέτοιο, ώστε Ρ () = 0 και P() = 8 α) Να αποδείξετε ότι P() (Μονάδες 0) β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 8 (Μονάδες 6) γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ() > (Μονάδες 9) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7 και

159 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 60 Δίνεται το πολυώνυμο P() α) Να δικαιολογήσετε γιατί το διώνυμο είναι παράγοντας του P() (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση P() 0 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6 Δίνεται το πολυώνυμο P() 0 με R για το οποίο γνωρίζουμε ότι έχει ρίζα το α) Να υπολογίσετε την τιμή του α (Μονάδες ) β) Για α = να λύσετε την εξίσωση P() 0 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6 Δίνεται το πολυώνυμο P() 0 με R για το οποίο γνωρίζουμε ότι η τιμή του για = είναι 6 α) Να υπολογίσετε την τιμή του α (Μονάδες ) β) Αν α = και το είναι ρίζα της εξίσωσης P() 0, να προσδιορίσετε τις άλλες ρίζες της εξίσωσης (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6 Δίνεται το πολυώνυμο P() με,, R το οποίο έχει ρίζες τους αριθμούς 0, και α) Να δείξετε ότι β =, γ = και δ = 0 (Μονάδες ) β) Να λύσετε την ανίσωση P() 0 (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 6 Δίνεται το πολυώνυμο P() με R α) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε το P() να έχει παράγοντα το (Μονάδες 0) β) Αν λ = να βρείτε όλες τις ρίζες του πολυωνύμου P() (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 6 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () 6 διέρχεται από το σημείο Μ(,0), α) να αποδείξετε ότι α = (Μονάδες ) β) να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες και (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 66 Δίνεται το πολυώνυμο P() 0 9 α) Να κάνετε τη διαίρεση του πολυωνύμου P() με το πολυώνυμο και να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση P() 0 (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 67 Δίνεται η συνάρτηση f () α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8

160 β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 68 Δίνεται το πολυώνυμο P() με, R α) Αν το πολυώνυμο P() έχει ρίζα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι ίσο με, να βρείτε τα, R (Μονάδες) β) Αν α = και β = 6, να λύσετε την εξίσωση P() 0 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 68 Δίνεται το πολυώνυμο P() Αν το Ρ() έχει παράγοντα το + και Ρ() = 8,τότε: α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (Μονάδες 0) β) Να λύσετε την εξίσωση: Ρ() = 0 (Μονάδες 8) γ) Να λύσετε την ανίσωση: P() 0 (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 68 Δίνεται το πολυώνυμο P() (k 6) 7 k α) Να βρείτε για ποια τιμή του k R, το είναι ρίζα του Ρ() (Μονάδες ) β) Αν κ = 6, να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 68 Δίνεται το πολυώνυμο P() 6 α) Αν γνωρίζετε ότι η τιμή του πολυωνύμου για = είναι ίση με 0 και P() = 0, να βρείτε τα, R (Μονάδες ) β) Αν α = και β = 8, να λύσετε την ανίσωση P() 0 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 68 Μια εταιρεία κατασκευάζει κουτιά σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις cm, cm και cm Ένας νέος πελάτης ζήτησε από την εταιρεία να κατασκευάσει κουτιά με όγκο 0 cm, δηλαδή διπλάσιο από εκείνον που κατασκευάζει Η εταιρεία αποφάσισε να κατασκευάσει τα κουτιά που ζήτησε ο πελάτης της, αυξάνοντας τις διαστάσεις του αρχικού κουτιού κατά σταθερό ακέραιο μήκος α) Να αποδείξετε ότι το θα είναι λύση της εξίσωσης (Ο όγκος V ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με διαστάσεις α, β, γ δίνεται από τον τύπο: V = α β γ) (Μονάδες ) β) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο λύνοντας την εξίσωση που δίνεται στο ερώτημα α) (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 68 Δίνονται τα πολυώνυμα P() ( ) και Q(), όπου α θετικός πραγματικός αριθμός α) Να βρείτε το α ώστε τα πολυώνυμα Ρ() και Q() να είναι ίσα (Μονάδες ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9

161 β) Αν α =, να αποδείξετε ότι η εξίσωση P() = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 686 Δίνεται το πολυώνυμο P() α) Αν Ρ( ) = 6, να δείξετε ότι λ = (Μονάδες ) β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = 0 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 687 Το πολυώνυμο P() ( ) ( ) είναι ου βαθμού α) Να δείξετε ότι λ = (Μονάδες 9) β) Να βρείτε το P() (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε τις ρίζες του P() (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 688 Το πολυώνυμο Ρ() αν διαιρεθεί με το ( ) δίνει πηλίκο και υπόλοιπο τον πραγματικό αριθμό υ α) Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης (Μονάδες 8) β) Αν Ρ() = 0, να βρείτε το υ (Μονάδες 9) γ) Αν υ = 0,να βρείτε το P() (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 7 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με εμβαδό Ε = 0 cm του οποίου η υποτείνουσα είναι κατά cm μεγαλύτερη από τη μία κάθετη πλευρά Αν ονομάσουμε το μήκος αυτής της κάθετης πλευράς και το μήκος της άλλης κάθετης (σε cm), τότε: α) Να δείξετε ότι οι αριθμοί, ικανοποιούν τις σχέσεις: 60 και ( ) (Μονάδες ) β) Να δείξετε ότι ο αριθμός ικανοποιεί την εξίσωση: (Μονάδες ) γ) Αν γνωρίζετε ότι το μήκος της πλευράς είναι αριθμός ακέραιος και μικρότερος του, να βρείτε την τιμή του καθώς και τα μήκη των άλλων πλευρών του τριγώνου (Μονάδες ) δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει άλλο ορθογώνιο τρίγωνο (με διαφορετικά μήκη πλευρών από αυτά που προσδιορίσατε στο ερώτημα γ)) το οποίο ικανοποιεί τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 79 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τμήμα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f (), R και γ, δ πραγματικές σταθερές α) Με βάση τη γραφική παράσταση, να αποδείξετε ότι γ = και δ = 0 (Μονάδες ) β) Θεωρώντας τώρα δεδομένο ότι f (), R : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 60

162 i Να αποδείξετε ότι f ( ) f (), για κάθε R (Μονάδες ) ii Να μεταφέρετε στην κόλα σας το σχήμα και να συμπληρώσετε τη γραφική παράσταση της f για < 0 (Μονάδες ) iii Να επαληθεύσετε ότι f () και, στη συνέχεια, να λύσετε τις εξισώσεις f () και f () (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ 777 Στο σχήμα φαίνονται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α (0, ) και Β (, ) α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (Μονάδες 7) β) Αν η ευθεία έχει εξίσωση = +, να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας με τη γραφική παράσταση της f (Μονάδες 9) γ) Να λύσετε την ανίσωση (Μονάδες 9) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑ 766 Δίνεται το πολυώνυμο P() ( ) ( ) ( ),, R α) Να υπολογίσετε τις τιμές των κ και λ αν το πολυώνυμο Ρ() είναι ου βαθμού και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ() με το είναι ίσο με (Μονάδες 7) β) Για κ = και λ = i Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ() με το (Μονάδες ) ii Να λύσετε την εξίσωση Ρ() + = (Μονάδες 7) () iii Να λύσετε την ανίσωση (Μονάδες 6) ( ) ( ) ΘΕΜΑ 769 Δίνεται το πολυώνυμο P() με, R α) Αν το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + είναι ίσο με 6, να βρείτε τα, R (Μονάδες 7) β) Αν α = και β =, να λύσετε την εξίσωση P() = 0 (Μονάδες 8) γ) Να λύσετε την εξίσωση 0 (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

163 ΘΕΜΑ 77 Δίνεται το πολυώνυμο P() με, R α) Να βρείτε τις τιμές των, R, όταν το πολυώνυμο P() έχει ρίζα το και παράγοντα το + (Μονάδες 7) β) Για κ = 7 και λ = 6 να λυθεί η εξίσωση P() = 0 (Μονάδες 9) () γ) Για κ = 7 και λ = 6 να λυθεί η ανίσωση 0 (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 77 Δίνεται το πολυώνυμο P() 7, για το οποίο γνωρίζουμε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι ίσο με 6 και ότι έχει ρίζα το α) Να βρείτε τις τιμές των α και β (Μονάδες 8) β) Για α = και β = 0, να λύσετε: i την ανίσωση () 0 (Μονάδες 8) ii την εξίσωση () (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ 77 Δίνεται το πολυώνυμο P(), με R α) Να κάνετε τη διαίρεση P() : ( α) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης (Μονάδες 7) β) Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες το ( α) διαιρεί το Ρ() (Μονάδες 6) γ) Αν α =, τότε: i Να λύσετε την ανίσωση () 0 (Μονάδες 6) ii Να λύσετε την ανίσωση ( ) () 0 (Μονάδες 6) ΘΕΜΑ 77 Μια εταιρεία εκτίμησε ότι το κέρδος της Ρ (σε χιλιάδες ευρώ) από την πώληση ενός συγκεκριμένου προϊόντος ήταν: P() 0 9, 0 όπου είναι η διαφημιστική δαπάνη (σε χιλιάδες ευρώ) Για αυτό το προϊόν, ξόδεψε για διαφήμιση χιλιάδες ευρώ και το κέρδος της ήταν,6 χιλιάδες ευρώ α) i Να χρησιμοποιήσετε την παραπάνω γραφική παράσταση της συνάρτησης P() για να εκτιμήσετε ένα άλλο ποσό που θα μπορούσε να δαπανήσει για διαφήμιση η εταιρεία ώστε να έχει το ίδιο κέρδος (Μονάδες ) ii Να επαληθεύσετε αλγεβρικά το αποτέλεσμα του ερωτήματος i (Μονάδες 0) β) Πόσα χρήματα πρέπει να δαπανήσει η εταιρεία για διαφήμιση, ώστε το κέρδος της να είναι μεγαλύτερο από,6 χιλιάδες ευρώ; (Μονάδες 0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

164 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός τότε:,, 0, 0, πχ πχ Αν ν περιττός : ενώ αν ν άρτιος : ή,,,, Η έννοια της δύναμης επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι άρρητος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η εκθετική συνάρτηση : f ( ), με έχει τις εξής ιδιότητες : Το πεδίο ορισμού της είναι το Το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα ( 0, ) (δηλ παίρνει μόνο θετικές τιμές) Είναι γνησίως αύξουσα στο, δηλ για κάθε, ισχύει : αν, τότε f ( ) f ( ) Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο (0,) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιαξονα των Καθώς το τείνει στο και η συνάρτηση f ( ) τείνει στο, ενώ καθώς το τείνει στο η συνάρτηση Η γραφική παράσταση της f f ( ) τείνει στο 0 ( ), με φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

165 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ( ), με 0 έχει τις εξής ιδιότητες : Η εκθετική συνάρτηση : Το πεδίο ορισμού της είναι το Το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα ( 0, ) (δηλ παίρνει μόνο θετικές τιμές) Είναι γνησίως φθίνουσα στο, δηλ για κάθε, ισχύει : αν, τότε f ( ) f ( ) Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο (0,) και έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιαξονα των Καθώς το τείνει στο και η συνάρτηση f ( ) τείνει στο 0, ενώ καθώς το τείνει στο η συνάρτηση Η γραφική παράσταση της f f ( ) τείνει στο ( ), με 0 φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΟΡΙΣΜΟΣ e Αν θεωρήσουμε την ακολουθία και δώσουμε πολύ μεγάλες τιμές στο ν, τότε οι τιμές της προσεγγίζουν έναν πραγματικό αριθμό Ο αριθμός αυτός είναι άρρητος και τον συμβολίζουμε με e (από τον Euler) και ισχύει : e lim, 788 Η συνάρτηση f ( ) e είναι εκθετική συνάρτηση (η πιο συχνά εμφανιζόμενη) και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

166 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων της μορφής : f ( ), με, παρατηρούμε ότι όσο αυξάνει το α τόσο η γραφική παράσταση «πλησιάζει» τον άξονα για 0 Για τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων της μορφής f ( ), με 0, παρατηρούμε ότι όσο μικραίνει το α τόσο η γραφική παράσταση «πλησιάζει» τον άξονα για 0 Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) και g( ), με 0 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα γιατί : g( ) f ( ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6

167 Η γραφική παράσταση της f ( ) c προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της κατά c μονάδες : προς τα πάνω αν c 0, προς τα κάτω αν c 0 Η γραφική παράσταση της f ) κατά ρ μονάδες : προς τα δεξιά αν 0 ( προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της, προς τα αριστερά αν 0 Η γραφική παράσταση της f ( ) c προκύπτει από δυο διαδοχικές μετατοπίσεις, μια οριζόντια κατά ρ και μια κατακόρυφη κατά c ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i f ( ) ii g( ) iii h( ) Λύση : i Η γραφική παράσταση της f ( ) προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της ( ) κατά μονάδες προς τα πάνω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 66

168 ii Η γραφική παράσταση της ( ) g( ) κατά μονάδες προς τα δεξιά προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της iii Η γραφική παράσταση της h( ) προκύπτει από δυο μετατοπίσεις της ( ) : μιας οριζόντιας κατά μονάδες προς τα δεξιά και μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα πάνω ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 67