ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι Μηχανική, Ηλεκτρισμός: 1. Νόμοι Νεύτωνα 2. Έργο 3. Ενέργεια 4. Ισχύς. 5. Αρχή διατήρησης (Ενέργειας-Ορμής-Στροφορμής). 6. Αρμονικές και φθίνουσες Ταλαντώσεις 7. Στατικός Ηλεκτρισμός 8. Δυναμικός Ηλεκτρισμός 9. Συνεχές ηλεκτρικό ρεύμα Βιβλία προτεινόμενα: Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α, Μηχανική-Θερμοδυναμική, Συγγραφέας Hugh D. Young, Εκδόσεις Παπαζηση Φυσική, (Μηχανική Θερμοδυναμική, Κυματική-Οπτική Σύγχρονη Φυσική), Παταργιας Nικος, Μακεδονικές Εκδόσεις 2009 ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 1

2 Ευθύγραμμη κίνηση Ευθύγραμμη τροχιά ονομάζεται η τροχιά σε ευθεία γραμμή. Καμπυλόγραμμη τροχιά ονομάζεται η τροχιά σε καμπύλη γραμμή. Κυκλική τροχιά ονομάζεται η τροχιά σε περιφέρεια κύκλου. Προκειμένου να σχεδιάσουμε την τροχιά ενός κινητού, θα πρέπει να γνωρίζουμε τη θέση του κάθε χρονική στιγμή. Διάστημα s ονομάζεται το μήκος της τροχιάς που διανύει το κινητό σε ορισμένο χρόνο t. Για να μετρήσουμε το διάστημα και τον αντίστοιχο χρόνο της κινήσεως παίρνουμε αυθαίρετα κάποια θέση του κινητού, ως αρχή (s=0,t=0) και τη λέμε αφετηρία. 1. Ο ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κλίμακα ονομάζεται μια ευθεία ή ένας άξονας αριθμημένος με θετικές και αρνητικές τιμές. Οι θετικές τιμές είναι προς τα δεξιά με αύξουσα σειρά και οι αρνητικές τιμές είναι προς τα αριστερά πάλι με αύξουσα σειρά (κατά απόλυτη τιμή). Το σημείο με την τιμή μηδέν είναι το σημείο αναφοράς. Θέση ονομάζεται ένα σημείο στο χώρο στο οποίο μπορεί να βρίσκεται ένα σώμα μια δεδομένη χρονική στιγμή t. Το σημείο αυτό μπορεί να ανήκει σε μια ευθεία, για παράδειγμα ο άξονας x ή ο άξονας y. Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σώματος χρειαζόμαστε ένα σημείο αναφοράς, δηλαδή μια γνωστή αρχική θέση. Στο σημείο αναφοράς αντιστοιχούμε την ένδειξη μηδέν και γράφουμε x=0. Απόσταση είναι το μήκος της συνολικής διαδρομής που διανύει ένα κινούμενο σώμα ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 2

3 2. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ Στη Φυσική, για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σωματίου, πρέπει να αναφερθούμε σε κάποιο σημείο, που το θεωρούμε ως σημείο αναφοράς. Απαιτείται ο ακριβής ποσοτικός προσδιορισμός της, που προκύπτει από μετρήσεις. Ένα σωμάτιο κινείται σε ευθεία γραμμή Έστω ότι ένα σωμάτιο βρίσκεται ή κινείται σε ευθεία γραμμή. Για να προσδιορίσουμε τη θέση του σωματίου πρέπει να ορίσουμε ένα σημείο αναφοράς ή αρχή, για τις μετρήσεις μας. Σημαντικό είναι ότι πρέπει να προσδιορίσουμε, αν το σωμάτιο κινείται δεξιά ή αριστερά, σε σχέση με την αρχή. Μπορούμε κατά σύμβαση να συμβολίσουμε το δεξιά με (+) και το αριστερά με ( ). Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η ευθεία πάνω στην οποία μπορεί να κινείται ένα σωμάτιο, όπου η κίνηση μπορεί να γίνεται δεξιά ή αριστερά του σημείου Ο. Τοποθετούμε πάνω στην ευθεία δυο μετροταινίες με την αρχή τους στο Ο, μια δεξιά του και μια αριστερά του. Οι δύο μετροταινίες μαζί με το σημείο Ο (αρχή), αποτελούν το σύστημα αναφοράς. Ένα σύστημα αναφοράς σε ευθεία γραμμή Για παράδειγμα, αν το σωμάτιο βρίσκεται στο σημείο Μ η θέση του θα είναι x = +4cm. Αντίστοιχα, αν το σωμάτιο βρίσκεται στο σημείο Μ η θέση του θα είναι x = -3cm. Η θέση του σωματίου στο συγκεκριμένο σύστημα αναφοράς, προσδιορίζεται με έναν αριθμό, ο οποίος συμβολίζεται με το γράμμα x και ο οποίος μπορεί να πάρει θετικές ή αρνητικές τιμές. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 3

4 3. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Θεωρούμε ένα σωμάτιο, που βρίσκεται στο επίπεδο. Για να προσδιορίσουμε τη θέση του σωματίου χρειαζόμαστε δύο άξονες. Το σύστημα αναφοράς μας είναι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Στα Μαθηματικά το σύστημα αυτό λέγεται Καρτεσιανό. Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Η θέση του σωματίου προσδιορίζεται με δύο αριθμούς (x, y) που ονομάζονται συντεταγμένες του σωματίου. Για να βρούμε τη θέση του σωματίου φέρνουμε από αυτό κάθετες πάνω στους άξονες x, y. Για να βρούμε παραδείγματος χάρη, τη θέση των σημείων, φέρνουμε από αυτό κάθετες πάνω στους άξονες Χ,Y. Για το πρώτο σημείο τα ίχνη των καθέτων αυτών πάνω στους άξονες x, y, αντιστοιχούν στους αριθμούς 3 και 2. Το διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (3, 2) αποτελεί τις συντεταγμένες του σημείου, και προσδιορίζει τη θέση του στο επίπεδο. Για το δεύτερο σημείο τα ίχνη των καθέτων αυτών πάνω στους άξονες x, y, αντιστοιχούν στους αριθμούς -4 και -1. Το διατεταγμένο ζεύγος αριθμών (-4, -1) αποτελεί τις συντεταγμένες του σημείου, και προσδιορίζει τη θέση του στο επίπεδο. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 4

5 Ένα κινητό κινείται στο επίπεδο των ορθογωνίων αξόνων Οx και Οy Τώρα θα μελετήσουμε την περίπτωση ενός κινητού. Ας υποθέσουμε ότι ένα κινητό κινείται στο επίπεδο των ορθογωνίων αξόνων Οx και Οy, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Η θέση του κινητού σε κάθε χρονική στιγμή καθορίζεται, όταν γνωρίζουμε τις αποστάσεις x και y από τους άξονες ΟΨ και ΟΧ αντίστοιχα. Οι αποστάσεις αυτές x και y λέγονται συντεταγμένες του κινητού και κατά τη διάρκεια της κίνησης μεταβάλλονται με το χρόνο. Όταν ένα σώμα ηρεμεί οι συντεταγμένες του παραμένουν αμετάβλητες. Η θέση ενός πλοίου καθορίζονται με δυο συντεταγμένες Η θέση ενός πλοίου, που κινείται στη θάλασσα, καθορίζονται με δυο συντεταγμένες. Η θέση ενός αεροπλάνου καθορίζονται με τρεις συντεταγμένες Υπάρχουν όμως κινητά που η θέση τους καθορίζεται με τρεις συντεταγμένες (αεροπλάνο, αερόστατο κ.τ.λ.) ή με μια συντεταγμένη (σιδηρόδρομος που κινείται σε ευθύγραμμες σιδηροτροχιές). 4. Η ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟΥ ΣΕ ΑΞΟΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Θεωρούμε ένα σωμάτιο που κινείται στην ευθεία xx. Υποθέτουμε ότι το σωμάτιο μετακινείτε από ένα αρχικό σημείο Μ1,το οποίο βρίσκεται στη θέση x1,σ' ένα άλλο σημείο Μ2,το οποίο βρίσκεται στη θέση x2. Την διαφορά x 2 - x 1 την ορίζουμε ως μετατόπιση Δx του σωματίου πάνω στην ευθεία κίνησής ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 5

6 5. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΣΩΜΑΤΙΟΥ ΣΕ ΑΞΟΝΑ Μετατόπιση Δx του σωματίου πάνω στην ευθεία κίνησής του, από ένα αρχικό σημείο το οποίο βρίσκεται στη αρχική θέση x αρχ, σ' ένα άλλο σημείο το οποίο βρίσκεται στη τελική θέση x τελ ονομάζεται η διαφορά x τελ x αρχ Δx=x τελ - x αρχ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Για να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια της μετατόπισης σωματίου σε άξονα θα δούμε τρία παραδείγματα με τα συμπεράσματα τους. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Έστω ότι το σωμάτιο μετακινείτε από ένα αρχικό σημείο Μ 1,το οποίο βρίσκεται στη θέση x 1 =4cm,σ' ένα άλλο σημείο Μ 2,το οποίο βρίσκεται στη θέση x 2 =12cm. Η μετατόπιση Δx του σωματίου πάνω στην ευθεία κίνησής του είναι: Δx = x 2 - x 1 = +12cm - 4cm = +8cm. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Αν υποθέσουμε ότι το σωμάτιο μετακινήθηκε από το σημείο Μ 1 έως το σημείο Μ 3, του οποίου η θέση είναι x 3 = +1cm, τότε η μετατόπισή του θα είναι: Δx = x 3 - x 1 = +1cm - 4cm = -3cm. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Το πρόσημο (+) στην πρώτη μετατόπιση σημαίνει ότι το σωμάτιο μετακινήθηκε προς τα δεξιά, ενώ το πρόσημο (-) στη δεύτερη μετατόπιση σημαίνει ότι το σωμάτιο κινήθηκε προς τα αριστερά. Άρα: Α) Το διάνυσμα της μετατόπισης είναι θετικό, όταν η τελική θέση του σώματος είναι δεξιότερα της αρχικής του θέσης. Δηλαδή: x τελ >x αρχ ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 6

7 Β) Το διάνυσμα της μετατόπισης είναι αρνητικό, όταν η τελική θέση του σώματος είναι αριστερότερα της αρχικής του θέσης. Δηλαδή: x τελ <x αρχ Η μετατόπιση είναι διάνυσμα που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική του θέση. Έτσι στην πρώτη περίπτωση η μετατόπιση Δx είναι το διάνυσμα με αρχή Μ 1, τέλος το σημείο Μ 2 και αλγεβρική τιμή Δx = +8cm.Στη δεύτερη περίπτωση η μετατόπιση Δx είναι το διάνυσμα που έχει αρχή το σημείο Μ 1, τέλος το σημείο Μ3 και αλγεβρική τιμή Δx = -3 cm. Μπορούμε να καθορίσουμε τη θέση ενός κινητού με ένα διάνυσμα x, που έχει αρχή το σημείο αναφοράς (Ο) και τέλος το σημείο Μ στο οποίο βρίσκεται το κινητό. Στην περίπτωση αυτή η μετατόπιση Δx του κινητού από μια θέση x 1 μέχρι μια άλλη θέση x 2 ορίζεται ως: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Δx = x 2 - x 1 Κατά τη διάρκεια μιας ευθύγραμμης κίνησης είναι δυνατόν η φορά της να αντιστραφεί. Για παράδειγμα το κινητό ξεκινά από τη θέση x 1 = +4cm και αφού φτάσει στη θέση +9cm επιστρέφει τελικά στη θέση x 2 = -3cm. Για να υπολογίσουμε τη μετατόπιση του κινητού, ανεξάρτητα από τη διαδρομή που ακολουθεί το κινητό, αφαιρούμε από την τελική θέση την αρχική. Δηλαδή: Δx = x 2 - x 1 Έτσι στο παράδειγμα η ζητούμενη μετατόπιση είναι: Δx = x 2 - x 1 = -3cm - 4cm= -7cm Αυτό σημαίνει ότι το κινητό μετατοπίστηκε κατά -7cm προς τα αριστερά. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 7

8 Στην ίδια κίνηση το διάστημα, δηλαδή η απόσταση που διάνυσε το κινητό είναι: s = 5cm + 9cm + 3cm = 17cm. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Δηλαδή το διάστημα δεν ταυτίζεται πάντοτε με τη μετατόπιση του κινητού. Ένα άτομο περιπατάει 70m ανατολικά, και μετά 30 m δυτικά. Το ολικό διάστημα που ταξίδεψε είναι 100 m (γραμμή dashed); αλλά η μετατόπιση του κινητού, που φαίνεται με το μπλε βέλος είναι 40 m προς την ανατολή.. Γενικεύοντας πρέπει να αναφέρουμε ότι, το συμπέρασμα στο οποίο καταλήξαμε ισχύει για όλες τις κινήσεις, εκτός από την ευθύγραμμη κίνηση σταθερής φοράς, όπου το διάστημα και η μετατόπιση ταυτίζονται. Το διάστημα (απόσταση) είναι μέγεθος μονόμετρο, ενώ η μετατόπιση είναι μέγεθος διανυσματικό ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 8

9 Ερωτήσεις: 1. Έχεις κάνει ένα ταξίδι μετ 'επιστροφής σε ένα πολυκατάστημα ένα χιλιόμετρο μακριά. Ποιο είναι το ολικό διάστημα που ταξιδέψατε; Ποιά είναι η μετατόπιση σας; 2. Περπατάτε 70 μέτρα σε όλη την πανεπιστημιούπολη, όταν ακούτε ένα φίλο που σας καλεί από πίσω, και μετά περπατήσατε 30 μέτρα πίσω το δρόμο που πήρατε για να τον συναντήσετε Ποιο είναι το ολικό διάστημα που ταξιδέψατε; Ποια είναι η μετατόπιση σας; ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 9

10 6. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Χρησιμοποιούμε καθημερινά την έννοια της ταχύτητας για να δείξουμε πόσο γρήγορα ή πόσο αργά κινείται ένα αντικείμενο. Η έννοια αυτή χρησιμοποιείται με δυο διαφορετικούς τρόπους. Ένα σώμα Α είναι ταχύτερο από κάποιο άλλο Β, όταν το Α μπορεί να διανύσει την ίδια διαδρομή με τον Β σε μικρότερο χρόνο. Επίσης, μεταξύ δυο σωμάτων Α και Β που κινούνται, ταχύτερο είναι εκείνο, που στον ίδιο χρόνο διανύει διαδρομή μεγαλύτερου μήκους Άρα βλέπουμε ότι η ταχύτητα συνδέεται με δυο μεγέθη, το μήκος της διαδρομής και το χρόνο. Ο Γαλιλαίος όρισε πρώτος την ταχύτητα ως την απόσταση που διανύει ένα σώμα στη μονάδα του χρόνου. Ταχύτητα ενός σώματος υ ονομάζεται το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που το μέτρο της ισούται με το πηλίκο της μετατόπισης Δx του σώματος σε χρονικό διάστημα Δt ως προς το χρονικό διάστημα Δt αυτό. υ = Δx/Δt Όπως γνωρίζουμε η μετατόπιση είναι μέγεθος διανυσματικό. Συνεπώς και η ταχύτητα είναι επίσης μέγεθος διανυσματικό, δηλαδή χαρακτηρίζεται τόσο από το μέτρο της, όσο και από τη φορά και τη διεύθυνση της. Δηλαδή: ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 10

11 Μονάδα μέτρησης της ταχύτητας στο S.I. είναι το ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο 1m/s. Γενικά μονάδα μέτρησης της ταχύτητας μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε μονάδα μήκους ανά οποιαδήποτε μονάδα χρόνου. Η ταχύτητα χρησιμοποιείται με δυο έννοιες, της μέσης και της στιγμιαίας ταχύτητας. 7. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Για παράδειγμα έχουμε ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθεία γραμμή και κατά τέτοιο τρόπο ώστε σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήματα. Μια τέτοια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλή κίνηση και είναι η απλούστερη από όλες τις κινήσεις. Άρα: Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία ένα σώμα κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και σε ίσα χρονικά διαστήματα Δt διανύει ίσα διαστήματα Δx, δηλαδή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Στην κίνηση αυτή ονομάζουμε μέτρο της ταχύτητας υ του σώματος το σταθερό πηλίκο του διαστήματος Δx που διανύει το σώμα σε χρόνο Δt, προς το χρόνο αυτό Δt. 8. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ Η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση μπορεί να μελετηθεί και γραφικά με τη βοήθεια του διαγράμματος της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο t. Το διάγραμμα ταχύτητας (υ) - χρόνου(t) στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Για να κατασκευάσουμε μια γραφική παράσταση, χρειαζόμαστε πειραματικές τιμές των φυσικών μεγεθών που θα παραστήσουμε, ή αν δεν έχουμε πειραματικές τιμές, πρέπει να γνωρίζουμε την αλγεβρική σχέση που συνδέει τα φυσικά μεγέθη, ώστε να συμπληρώσουμε πίνακα τιμών. Το διάγραμμα μετατόπισης (Χ) - χρόνου(t) στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Παρατηρούμε, ότι οι γραφικές παραστάσεις είναι ευθείες γραμμές, όπως ήταν αναμενόμενο, εφόσον η αλγεβρική σχέση μεταξύ των μεγεθών x, t είναι γραμμική, ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 11

12 που όμως έχουν διαφορετική κλίση. Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της μετατόπισης σε συνάρτηση με το χρόνο δίνει την ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση Επειδή η κλίση προκύπτει ως το πηλίκο της μετατόπισης δια του χρόνου, Δx/Δt, με το οποίο πηλίκο έχουμε ορίσει την ταχύτητα, συμπεραίνουμε ότι: Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της μετατόπισης σε συνάρτηση με το χρόνο δίνει την ταχύτητα στην ευθύγραμμη κίνηση. Αν παραστήσουμε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο, τη σταθερή ταχύτητα υα και υβ των δύο κινητών, προκύπτουν οι ευθείες γραμμές (α) και (β). Γραφική παράσταση της ταχύτητας υα και υβ των δύο κινητών σε συνάρτηση με το χρόνο. Τα εμβαδά Ε α (μπλε) και Ε β (γραμμοσκιασμένο), δίνουν τις μετατοπίσεις των κινητών α, β, αντίστοιχα Οι ευθείες (α) και (β) είναι παράλληλες στον άξονα του χρόνου. Υπολογίζοντας τα εμβαδά Εα και Εβ μεταξύ των αντίστοιχων ευθειών (α), (β) και των αξόνων ταχύτητα - χρόνος, βρίσκουμε τις αντίστοιχες μετατοπίσεις. Μπορούμε λοιπόν από τη γραφική παράσταση υ = f(t) να υπολογίζουμε τη μετατόπιση Δx, βρίσκοντας το αντίστοιχο εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ των αξόνων υ, t και της ευθείας που παριστά την ταχύτητα. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 12

13 9. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουμε μελετήσει την έννοια της ταχύτητας όπου η ταχύτητα παραμένει σταθερή σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή της κίνησης. Οι κινήσεις που εκτελούν τα κινητά δεν είναι πάντοτε ευθύγραμμες ομαλές, αλλά μεταβαλλόμενες Στην καθημερινότητα οι συνηθισμένες κινήσεις δεν είναι ευθύγραμμες ομαλές. Οι κινήσεις που εκτελούν τα κινητά (αυτοκίνητα, αεροπλάνα, τρένα, πλοία κ.λπ.) δεν είναι πάντοτε ευθύγραμμες ομαλές, αλλά μεταβαλλόμενες, δηλαδή η ταχύτητά τους δεν παραμένει διαρκώς σταθερή. Τώρα πρέπει να μελετήσουμε για παράδειγμα, τη ταχύτητα που διανύει ένα αυτοκίνητο στη διαδρομή Αθήνα - Θεσσαλονίκη. Σ' αυτή την περίπτωση η ταχύτητα αλλάζει, δεν είναι η ίδια σε όλη τη χρονική διάρκεια της κίνησης. Με λίγα λόγια ο λόγος της μετατόπισης προς τον χρόνο παίρνει διαφορετικές τιμές κατά τη διάρκεια διαδρομής του αυτοκινήτου από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη. Οι τιμές αυτές εξαρτώνται από το διάστημα s ή από το χρόνο t που θα επιλέξουμε. ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Άρα για να προσδιορίσουμε την ταχύτητα που διανύει το αυτοκίνητο στη διαδρομή Αθήνα - Θεσσαλονίκη πρέπει να βρούμε μια νέα έννοια. Αυτή η νέα έννοια σχετίζεται με τη συνολική απόσταση που διανύει το αυτοκίνητο και τη συνολική χρονική διάρκεια κίνησής του. Σε τέτοιες περιπτώσεις ορίζουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος που λέγεται μέση ταχύτητα υ μ. Aν s είναι το διάστημα,που διανύει το κινητό σε χρόνο t, τότε η μέση ταχύτητα του, για το χρονικό διάστημα t, ορίζεται ως εξής: Μέση ταχύτητα υμ ονομάζεται το πηλίκο του συνολικού μήκους της διαδρομής s που διήνυσε ένα κινητό σε ορισμένο συνολικό χρόνο t προς το συνολικό χρόνο αυτό t. Μέση ταχύτητα= Διάστημα /Αντίστοιχος χρόνος υ μ =s/t Πολύ σημαντικό να τονίσουμε είναι ότι η μέση ταχύτητα είναι μονόμετρο μέγεθος. H µέση ταχύτητα είναι ο µέσος όρος των διαφόρων ταχυτήτων που ανάπτυξε κατά διαστήµατα το κινητό ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 13

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ 1. Διανύουμε μ' ένα αυτοκίνητο 200 χιλιόμετρα σε δύο ώρες. Τότε μπορούμε να πούμε ότι η μέση ταχύτητα του αυτοκίνητου ήταν υμ=s/t=200/2=100 km/h χιλιόμετρα την ώρα. 2. Ένα κινούμενο σώμα έχει μεγαλύτερη μέση ταχύτητα από ένα άλλο, όταν διανύει την ίδια απόσταση σε μικρότερο χρόνο. Ένα αυτοκίνητο χρειάζεται περίπου πέντε ώρες για το ταξίδι Αθήνα-Θεσσαλονίκη, ενώ ένα λεωφορείο χρειάζεται για την ίδια απόσταση σε 7 ώρες. Άρα το αυτοκίνητο έχει μεγαλύτερη μέση ταχύτητα από το λεωφορείο. 3. Αν τρέξουµε µε το αυτοκίνητο µας απόσταση 50 χιλιοµέτρων σε µια ώρα, λέµε ότι η ταχύτητα µας ήταν 50 χιλιόµετρα ανά ώρα (50 Km/h). Όµως δεν σηµαίνει κατ ανάγκη πως το ταχύµετρο έδειχνε συνεχώς την ίδια ταχύτητα. Η ταχύτητα µεταβαλλόταν συνεχώς είτε σε µικρότερες είτε σε µεγαλύτερες τιµές από 50 Km/h. Το 50 Km/h, ονοµάζεται µέση ταχύτητα και είναι ουσιαστικά ο µέσος όρος των διαφόρων ταχυτήτων που ανάπτυξε κατά διαστήµατα το αυτοκίνητο. 4. Έστω ότι καταγράφουμε τη θέση του δρομέα ως συνάρτηση του χρόνου σαν κινείται κατά μήκος του άξονα χ του συστήματος συντεταγμένων. Κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος 3.00-s, αλλάζει η θέση ενός δρομέα από x 1 = 50,0 m για να x 2 = 30,5 m. Ποια είναι η μέση ταχύτητα του δρομέα; Vavg = ( ) meters/3.00 sec = -6.5 m/s in the x direction. Η μετατόπιση είναι = 19.5 m. Πάντα η απάντηση μας πρέπει να περιλαμβάνει μέτρο, μονάδες και διεύθυνση 5. Ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο ξεκινά από την ηρεμία, και μετά από 1 δευτερόλεπτο είναι 19 μέτρα από τη γραμμή εκκίνησης. Μετά τα επόμενα 3 δευτερόλεπτα, το αυτοκίνητο είναι 277 μέτρα από τη γραμμή εκκίνησης. Ποια ήταν η μέση ταχύτητα του σε αυτές τις 3 δευτερόλεπτα; ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 14

15 Ξεκινά από την ηρεμία = αρχική ταχύτητα = 0 Το αυτοκίνητο κινείται κατά μήκος της ευθείας (δηλαδή κατά μήκος ενός άξονα x) έχει συντεταγμένες x = 0 στο t = 0 δευτερόλεπτα έχει συντεταγμένες x = +19 μ. σε χρόνο t = 1 δευτερόλεπτο Έχει συντεταγμένων x = 277 μ. σε χρόνο t = 1 +3 = 4 δευτερόλεπτα. Παραπάνω έχουμε ένα γράφημα που δείχνει τη θέση χ του σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου t. Η μέση τιμή της χ-ταχύτητα σχετίζεται με την κλίση του γραφήματος x- t. Αρνητική ταχύτητα??? Μέση x-ταχύτητα είναι αρνητική κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος, αν το σωματίδιο κινείται σε αρνητική x-κατεύθυνση για το εν λόγω χρονικό διάστημα ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 15

16 ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 16

17 10. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο ταξίδι από την Αθήνα στη Θεσσαλονίκη, η ταχύτητα του αυτοκινήτου δεν παραμένει σταθερή. Η κίνηση αυτή που δεν είναι ούτε ευθύγραμμη ούτε ομαλή, ονομάζεται γενικά μεταβαλλόμενη κίνηση. Μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται η κίνηση η οποία δεν είναι ούτε ευθύγραμμη ούτε ομαλή. Ένα σώμα που κινείται δεν έχει πάντοτε την ίδια ταχύτητα. Για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο κινείται σε μια λεωφόρο με ταχύτητα 40 km/h. Όταν το αυτοκίνητο σταματά στο κόκκινο φανάρι, η ταχύτητά του μηδενίζεται. Όταν αργότερα αρχίζει να κινείται πάλι, εξαιτίας της έντονης κυκλοφορίας, φθάνει σταδιακά μόνο τα 20 km/h. Πιο μετά στην εθνική οδό τρέχει με 120 km/h. Τη στιγμιαία ταχύτητα του αυτοκινήτου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή μας τη δείχνει το ταχύμετρο Ας υποθέσουμε ότι οδηγούμε ένα αυτοκίνητο. Παρατηρούμε, ότι όσο μικραίνει η χρονική διάρκεια κίνησης του αυτοκινήτου, τόσο η υπολογιζόμενη από τις μετρήσεις μέση ταχύτητα προσεγγίζει την πραγματική ταχύτητα του αυτοκινήτου που δείχνει το κοντέρ. Αν η χρονική διάρκεια κίνησης του αυτοκινήτου γίνει πάρα πολύ μικρή, τότε η υπολογιζόμενη ταχύτητα λέγεται στιγμιαία και ταυτίζεται με αυτή που δείχνει το ταχύμετρο σε μία τυχαία χρονική στιγμή ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΙΓΜΙΑΙΑΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Μπορούμε να μιλήσουμε για την ταχύτητα του αυτοκινήτου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή κοιτάζοντας την ένδειξη του ταχύμετρου (κοντέρ). Η ταχύτητα του κινητού σε μια ορισμένη χρονική στιγμή λέγεται στιγμιαία ταχύτητα. Στιγμιαία ταχύτητα ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που δείχνει την ταχύτητα του σώματος μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Το μέτρο της δίνεται από τον τύπο: υ=δx/δt όπου: υ είναι η στιγμιαία ταχύτητα Δx είναι η μετατόπιση του σώματος Δt είναι το πολύ μικρό χρονικό διάστημα ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 17

18 Όταν ταξιδεύουμε με ένα αυτοκίνητο, μας ενδιαφέρει το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να διανύσουμε τη συνολική διαδρομή που αντιστοιχεί στο ταξίδι. Ενδιαφερόμαστε για τη μέση ταχύτητα που μπορεί να αναπτύξουμε στη διάρκεια όλου του ταξιδιού. Η μέση ταχύτητα, επειδή αναφέρεται στη συνολική διαδρομή, δε δίνει πληροφορίες για τις μεταβολές της στιγμιαίας ταχύτητας, στη διάρκεια της διαδρομής. Στις περισσότερες κινήσεις, η στιγμιαία ταχύτητα δε διατηρείται σταθερή, έτσι γενικά είναι διαφορετική από τη μέση ταχύτητα. Στην περίπτωση της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης η στιγμιαία και η μέση ταχύτητα συμπίπτουν. 11. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου χρησιμοποιεί τρεις μηχανισμούς προκειμένου να μεταβάλλει την ταχύτητα του αυτοκινήτου. Ο πρώτος είναι το γκάζι, που χρησιμοποιείται για να διατηρηθεί σταθερό ή για να αυξηθεί το μέτρο της ταχύτητας. Ο δεύτερος είναι το φρένο, για να μειωθεί το μέτρο της ταχύτητας. Ο τρίτος είναι το τιμόνι, με το οποίο μεταβάλλεται η κατεύθυνση της ταχύτητας. Για να περιγράψουμε τις δυνατότητες που έχουν τα αυτοκίνητα αναφερόμαστε ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 18

19 σε πόσα δευτερόλεπτα το κοντέρ τους φτάνει τα 100km/h, ξεκινώντας από την ηρεμία Θα μπορούσαμε να συγκρίνουμε τις επιταχύνσεις των αυτοκινήτων αν γνωρίζαμε την ταχύτητα που αποκτούν μέσα σε οποιοδήποτε χρόνο, ξεκινώντας από την ηρεμία. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Γενικά για να συγκρίνουμε τις επιταχύνσεις των κινητών, των οποίων η κίνηση δεν είναι ομαλή βρίσκουμε πόσο αλλάζει η ταχύτητα στη μονάδα του χρόνου, διαιρώντας τη μεταβολή της ταχύτητας με το χρόνο. Έτσι υπολογίζουμε το ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η ταχύτητα. Όταν ο οδηγός θέλει το όχημα του να κινηθεί ταχύτερα τότε <<πατάει γκάζι>>. Αντίθετα, όταν θέλει να ελαττώσει την ταχύτητα του οχήματος του <<πατάει φρένο>>. Στην πρώτη περίπτωση λέμε ότι το όχημα επιταχύνεται ενώ στη δεύτερη ότι επιβραδύνεται. Το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας Δυ προς το χρόνο Δt που έγινε η μεταβολή αυτή, το ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ Για να προσδιορίσουμε το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η ταχύτητα ενός κινητού, εισάγουμε ένα νέο φυσικό μέγεθος, την επιτάχυνση. Το πηλίκο Δυ/Δt το ονομάζουμε επιτάχυνση και το συμβολίζουμε με το γράμμα α. Άρα: Επιτάχυνση α ονομάζεται το φυσικό μέγεθος που εκφράζεται με το σταθερό πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας Δυ, προς το χρόνο Δt που χρειάστηκε για τη μεταβολή αυτή. α = Δυ/Δt Η επιτάχυνση α είναι διανυσματικό μέγεθος με χαρακτηριστικά: μέτρο: α=δυ/δt διεύθυνση: ίδια με την διεύθυνση της ταχύτητας φορά: ίδια με τη φορά της ταχύτητας όταν η ταχύτητα αυξάνει και αντίθετη όταν η ταχύτητα μειώνεται. Όταν η ταχύτητα αυξάνει, τότε το μέτρο της επιτάχυνσης είναι θετικό: α=δυ/δt =υ τελ -υ αρχ /Δt>0 γιατί υ τελ >υ αρχ. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 19

20 και η φορά της επιτάχυνσης συμπίπτει με την φορά της ταχύτητας. Όταν η ταχύτητα αυξάνει, τότε το μέτρο της επιτάχυνσης είναι θετικό και η φορά της επιτάχυνσης συμπίπτει με την φορά της ταχύτητας. Όταν η ταχύτητα μειώνεται, τότε το μέτρο της επιτάχυνσης είναι αρνητικό και η φορά της επιτάχυνσης είναι αντίθετη της ταχύτητας Όταν η ταχύτητα μειώνεται,τότε το μέτρο της επιτάχυνσης είναι αρνητικό: α=δυ/δt =υ τελ -υ αρχ /Δt<0 γιατί υ τελ <υ αρχ. και η φορά της επιτάχυνσης είναι αντίθετη της ταχύτητας. Σε αυτή την περίπτωση την επιτάχυνση την ονομάζουμε αρνητική επιτάχυνση ή επιβράδυνση. ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ Οι μονάδες μέτρησης της επιτάχυνσης προκύπτουν από τον τύπο α=δυ/δt,όταν αντικαταστήσουμε το Δυ και το Δt με τις αντίστοιχες μονάδες τους. Στο Διεθνές Σύστημα S.I. μονάδα επιτάχυνσης είναι το ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο 1 m/s 2. Ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο 1 m/s 2 ονομάζεται η επιτάχυνση ενός κινητού που η ταχύτητα του αυξάνεται κατά 1m/s σε κάθε δευτερόλεπτο ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 20

21 Η μονάδα αυτή προκύπτει από την σχέση α=δυ/δt ως εξής: α=1m/s/s = 1 m/s 2 Ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο 1 m/s 2 ονομάζεται η επιτάχυνση ενός κινητού που η ταχύτητα του αυξάνεται κατά 1m/s σε κάθε δευτερόλεπτο. Στο CGS μονάδα επιτάχυνσης είναι το ένα εκατοστόμετρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο (1 cm/s 2 ). ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Εμείς θα περιοριστούμε μόνο στην περιγραφή κινήσεων που η ταχύτητά τους αλλάζει με σταθερό ρυθμό, δηλαδή σε κινήσεις στις οποίες η επιτάχυνση α = Δυ / Δt είναι σταθερή. Για παράδειγμα αν α = 8 m/s 2,τότε σε κάθε δευτερόλεπτο η ταχύτητα αλλάζει 8 m/s. Εάν το μέτρο ή η κατεύθυνση της ταχύτητας μεταβάλλονται, λέμε ότι η ταχύτητα με την οποία κινείται το σώμα είναι μεταβαλλόμενη. Η ταχύτητα του αυτοκινήτου έχει πάντοτε την ίδια διεύθυνση και φορά, το μέτρο της όμως μεταβάλλεται κατά την ίδια ποσότητα σε κάθε δευτερόλεπτο Στην κίνηση που παριστάνει το παραπάνω σχήμα η ταχύτητα του αυτοκινήτου έχει πάντοτε την ίδια διεύθυνση και φορά, το μέτρο της όμως μεταβάλλεται κατά την ίδια ποσότητα σε κάθε δευτερόλεπτο. Η κίνηση αυτή λέγεται ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία το κινητό κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά την ίδια ποσότητα σε κάθε μονάδα χρόνου Στις κινήσεις αυτές διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: α) η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται, οπότε η κίνηση ονομάζεται ομαλά επιταχυνόμενη. β) η ταχύτητα του κινητού μειώνεται, οπότε η κίνηση ονομάζεται ομαλά επιβραδυνόμενη. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 21

22 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση η ταχύτητα του κινητού μειώνεται Η επιτάχυνση α όπως έχουμε αναφέρει είναι διανυσματικό μέγεθος. Τώρα πρέπει να ορίσουμε επιτάχυνση σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Επιτάχυνση α σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος του οποίου η τιμή ισούται με το πηλίκο της μεταβολής Δυ της ταχύτητας προς τον χρόνο Δt στον οποίο γίνεται η μεταβολή αυτή. Το μέτρο της επιτάχυνση α σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση είναι: α = Δυ/Δt Η επιτάχυνση έχει την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και αντίθετη κατεύθυνση με αυτήν στην ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 22

23 Πάντοτε όμως η κατεύθυνση της επιτάχυνσης α είναι ίδια με την κατεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας Δυ. Παραδείγματα 1. Ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο ξεκινά από την ηρεμία, και μετά από 1 δευτερόλεπτο είναι στα 19 μέτρα από τη γραμμή εκκίνησης. ; Μετά τα επόμενα 3 δευτερόλεπτα, το αυτοκίνητο είναι στα 277 μέτρα από τη γραμμή εκκίνησης. ; Ποια ήταν η μέση επιτάχυνση της στο πρώτο δευτερόλεπτο; Ποια ήταν η μέση επιτάχυνση της στα πρώτα 4 δευτερόλεπτα; ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 23

24 2. Ένα σωματίδιο κινείται σε ευθεία γραμμή με τη θέση του να δίνεται από την x = (2,10 m/s 2 ) t 2 + (2,80 m). ; Υπολογίστε (α) μέση επιτάχυνση της κατά τη διάρκεια του διαστήματος από το t 1 = 3,00 s σε t 2 = 5,00 s, & (β) στιγμιαία επιτάχυνση του ως μία συνάρτηση του χρόνου. ΛΥΣΗ Κάνουμε τις γραφικές (a) x vs. t, (b) v vs. t, and (c) a vs. t για την κίνηση x = At 2 + B. Η ταχύτητα είναι η παράγωγος του x; v = (4.20 m/s 2 )t. V = dx/dt = (4.2 m/s) t V 1 = 12.6 m/s V 2 = 21 m/s Dv/Dt = 8.4 m/s/2.0 s = 4.2 m/s 2 Η παράγωγος της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση a = 4.20 m/s 2. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 24

25 3. Ένα γράφημα δείχνει την ταχύτητα ως συνάρτηση του χρόνου για δύο αυτοκίνητα που επιταχύνονται από 0 σε 100 km / h σε χρόνο 10,0 s; Συγκρίνετε (α) τη μέση επιτάχυνση? (Β) τη στιγμιαία επιτάχυνση? Και (γ) τη συνολική απόσταση που διανύθηκε για τα δύο αυτοκίνητα. ΛΥΣΗ a. Ίδια τελική ταχύτητα σε σχέση με το χρόνο=> Η μέση επιτάχυνση είναι ίδια. Και τα δύο έχουν την ίδια αλλαγή στην ταχύτητα τους κατά το ίδιο χρονικό διάστημα. b. το Αυτοκίνητο Α επιταχύνει γρηγορότερα από το Β στην αρχή, αλλά στη συνέχεια είναι πιο αργό από το Β προς το τέλος (βλέπε την κλίση των γραμμών). c. Το αυτοκίνητο Α θα είναι πάντα πιο γρήγορο από ό, τι το αυτοκίνητο Β, γι 'αυτό θα ταξιδεύει μακρύτερα. ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΕΝΟΣ ΚΙΝΗΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουμε αναφέρει ένα κινητό που ακολουθεί ευθύγραμμη τροχιά, και έχει σταθερή κατά μέτρο και διεύθυνση λέμε ότι εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Στις ομαλές μεταβαλλόμενες κινήσεις η στιγμιαία και η μέση επιτάχυνση συμπίπτουν. Γι' αυτό στις κινήσεις αυτές μιλάμε μόνο για επιτάχυνση. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 25

26 Σε κάθε ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, σε κάθε χρονική στιγμή αλλάζει, εκτός από τη μετατόπιση και η ταχύτητα Είναι φανερό ότι σε κάθε ομαλά μεταβαλλόμενη(επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη) κίνηση, σε κάθε χρονική στιγμή αλλάζει, εκτός από τη μετατόπιση και η ταχύτητα, πράγμα που σημαίνει ότι για τον προσδιορισμό της χρειάζονται δυο συναρτήσεις, από τις οποίες η μία θα περιέχει την ταχύτητα και η άλλη την μετατόπιση. Για να περιγράψουμε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, πρέπει σε κάθε χρονική στιγμή να προσδιορίσουμε την ταχύτητα και τη θέση του κινητού Για να περιγράψουμε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, πρέπει σε κάθε χρονική στιγμή να προσδιορίσουμε την ταχύτητα και τη θέση του κινητού. Οι εξισώσεις που μας βοηθούν να προσδιορίσουμε την ταχύτητα και τη θέση του κινητού ονομάζονται εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης εξισώσεις αυτές προκύπτουν ως εξής: Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Από τον ορισμό της επιτάχυνσης α = Δυ/Δt προκύπτει ότι η μεταβολή της ταχύτητας στο χρόνο Δt είναι: α = Δυ/Δt ή Δυ=αΔt Αν υποθέσουμε ότι ένα κινητό τη χρονική στιγμή μηδέν t=0 έχει αρχική ταχύτητα υ 0,τη χρονική στιγμή t είναι υ και αρχίζει να επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α. Έτσι σε χρόνο t η αύξηση της ταχύτητας θα έχει τιμή αt. H μεταβολή της ταχύτητας Δυ είναι: Δυ=αΔt ή υ-υ 0 =α(t-0) υ=υ 0 +αt Ειδικά για την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση τα μεγέθη υ 0 και α λαμβάνονται ομόσημα, ενώ για την επιβραδυνόμενη κίνηση ετερόσημα. Είναι φανερό πως για ένα κινητό η αρχική ταχύτητα υ 0 μπορεί να λαμβάνεται πάντοτε ως θετική, πράγμα που σημαίνει ότι η επιτάχυνση θα αποδίδεται με α θετικό και η επιβράδυνση με α αρνητικό. Επειδή τα διανύσματα υ 0, υ, α είναι συγγραμμικά στην ευθύγραμμη κίνηση, η πρόσθεση τους ανάγεται σε αλγεβρική πρόσθεση των τιμών τους. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 26

27 Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ισχύει η εξίσωση: υ =υο + αt Στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση ισχύει η εξίσωση: υ =υο - αt Αν η αρχική ταχύτητα είναι υο=0 από τη σχέση υ =υο + αt προκύπτει: ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ υ = αt Στα παραδείγματα που έχουμε δει για την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση παρατηρούμε ότι η ταχύτητα του κινητού διπλασιάζεται τριπλασιάζεται κ.λπ., όταν ο χρόνος αντίστοιχα διπλασιάζεται τριπλασιάζεται κ.λπ. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η ταχύτητα του κινητού είναι ανάλογη προς το χρόνο που κινήθηκε αυτό Από αυτό συμπεραίνουμε τον νόμο της ταχύτητας: Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η ταχύτητα του κινητού είναι ανάλογη προς το χρόνο που κινήθηκε αυτό. Ο νόμος αυτός εκφράζεται από την σχέση: υ = αt ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Για να παραστήσουμε γραφικά τον νόμο της ταχύτητας, κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα τιμών. Η εξίσωση της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο, είναι εξίσωση πρώτου βαθμού και μπορεί να παρασταθεί γραφικά σε διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου με ευθεία γραμμή. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 27

28 Γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου (υ - t) στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ0 =0 Ύστερα με τον γνωστό τρόπο κατασκευάζουμε το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος που παριστάνει γραφικά τον νόμο υ = αt όταν το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία. Γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου (υ - t) στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα υ0 Για το διάγραμμα αυτό αρκούν δύο σημεία, γιατί όπως είπαμε η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή. Αν πάρουμε την αρχική και την τελική ταχύτητα, έχουμε τη γραφική παράσταση του παρακάτω σχήματος. Ας υποθέσουμε ότι τώρα το κινητό επιταχύνεται ομαλά σε ευθύγραμμο τμήμα με αρχική ταχύτητα υ0 και τελική υ σε χρόνο t. Όπως και προηγουμένως, παίρνουμε την αρχική και την τελική ταχύτητα, οπότε έχουμε τον πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση. Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνει την επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Επειδή η κλίση προκύπτει ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας με το χρόνο, Δυ/Δt, με το οποίο έχουμε ορίσει την επιτάχυνση, συμπεραίνουμε ότι: Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνει την επιτάχυνση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Κλίση ευθείας : Δυ/Δt = α ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 28

29 Η γραφική παράσταση της σταθερής επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση του κινητού, θα είναι ευθεία γραμμή, παράλληλη στον άξονα του χρόνου t. Η γραφική παράσταση της σταθερής επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση του κινητού, θα είναι ευθεία γραμμή, παράλληλη στον άξονα του χρόνου t Το εμβαδόν μεταξύ της γραφικής παράστασης (ευθείας) και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου είναι: Ε = βάση ύψος= υ Παρατηρούμε ότι το εμβαδόν είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας κατά την χρονική διάρκεια της επιτάχυνσης του κινητού. Άρα το εμβαδόν, μεταξύ της ευθείας που αναπαριστά την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου, είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας Δυ. Το εμβαδόν, μεταξύ της ευθείας που αναπαριστά την επιτάχυνση σε συνάρτηση με το χρόνο, και των αξόνων επιτάχυνσης και χρόνου, είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας Δυ Ομοίως εργαζόμαστε για την κατασκευή των διαγραμμάτων της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο υ = f(t) και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο α = f(t) στην περίπτωση της ομαλά επιβραδυνόμενης κίνησης. Παραδείγματα 1. Πως βρίσκουμε την ταχύτητα από μια γραφική παράσταση επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο. Έστω αρχική ταχύτητα ενός σωματιδίου 10m/s ποια η ταχύτητα του στο χρόνο t=8 sec ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 29

30 Η μεταβολή στη ταχύτητα βρίσκεται στην επιφάνεια κάτω από τη καμπύλη της επιτάχυνσης, δλδ Vτελ=Vαρχ + επιφανεια κατω από την τη καμπυλη της επιταχυνσης μεταξύ tαρχ και tτελ Η επιφανεια κατω από την καμπυλη μεταξύ των δυο ζητούμενων χρόνων 0 sec και 8 sec μπορεί να χωριστεί σε ένα παραλληλόγραμμο με 0 sec t 4 sec και ένα τρίγωνο με 4 sec t 8 sec. Μπορούμε να βρούμε εύκολα το εμβαδόν σε αυτές τις επιφάνειες. Οπότε η ταχύτητα για t=8 sec είναι =10 m/s+4m/s 2 (4sec)+(1/2)(4m/s 2 )(4sec)=34 m/s 2. ΣΚΙ σε βουνό με κλίση: ένας σκιέρ κατεβαίνει ένα βουνό με ταχύτητα 20 m/s, χωρίς τριβές, διανύοντας μια απόσταση 100 μέτρα. Ποια η γωνία κλίσης του βουνού? ΛΥΣΗ Θεωρούμε ότι δεν έχουμε αντίσταση αέρα και ότι η κλίση του βουνού είναι μια ευθεία. Θέτουμε τον άξονα χ να είναι παράλληλος με την κίνηση Θέτουμε ότι ο σκιέρ κινείται προς τα θετικά Η επιτάχυνση του θα είναι α x= g*sinθ. Από τις εξισώσεις x=x 0 + υ 0 t + 1/2 αt 2 και υ = υ 0 + αt έχουμε υ 2 = υ α(x-x 0 )=> υ 2 x = υ 0 2 x + 2α x (x-x 0 )= 2g*sinθ(x-x 0 ), αφού υ 0x =0 sinθ= υ 2 x/ [2g*sinθ(x-x 0 )] =[20m/s] 2 /[2(9,8m/s 2 )*(100m)]=0,204=> θ=sin -1 (0,204)=12 o ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 30

31 3. Ποιο γράφημα θέσης σε σχέσης με το χρόνο αντιπροσωπεύει την κίνηση του σώματος που φαίνεται στο σχήμα? 4. Ποιο γράφημα ταχύτητα-σε σχέση με τον χρόνο πηγαίνει με το γράφημα θέσεως σε σχέση με το χρόνο -στα αριστερά; ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 31

32 5. Ποιο γράφημα θέσης ως προς τον χρόνο πηγαίνει με τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ως προς τον χρόνο στην κορυφή; Η θέση του σωματιδίου για ti = 0 s είναι x i = -10 m. 6. Πούo γράφημα ταχύτητας ως προς τον χρόνο ή γραφήματα πηγαίνει με το γράφημα επιτάχυνσης ως προς τον χρόνο; ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 32

33 Το σωματίδιο είναι αρχικά κινείται προς τα δεξιά και τελικά προς τα αριστερά Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Η εξίσωση κίνησης είναι ο προσδιορισμός της θέσης ενός αντικειμένου, το οποίο επιταχύνεται ομαλά, σε συνάρτηση με το χρόνο. Η εξίσωση αυτή προκύπτει με γραφικό τρόπο από το διάγραμμα υ = f(t). Στη μελέτη της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης είδαμε ότι το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραμμής που παριστά την ταχύτητα και των αξόνων ταχύτητας και χρόνου είναι ίσο με τη μετατόπιση. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 33

34 Το εμβαδόν του τραπεζίου που περικλείεται μεταξύ της γραμμής που παριστά την ταχύτητα και των αξόνων υ, t είναι ίσο με τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Ομοίως μπορεί να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν του τραπεζίου που περικλείεται μεταξύ της γραμμής που παριστά την ταχύτητα και των αξόνων υ, t είναι ίσο με τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Οπότε, αν υπολογίσουμε το εμβαδόν χρησιμοποιώντας αντί των αριθμητικών τιμών, τα σύμβολα υ, t, οδηγούμαστε στην εξίσωση για τη μετατόπιση Δx. Δηλαδή: Ε τραπ = άθροισμα βάσεων/2 ύψος ή Δx = υ + υ 0 /2 (t-0) Αλλά γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα είναι: υ = υ 0 + αt. Συνεπώς: Δx = υ 0 + at + υ 0 /2 t = 2υ 0 t + αt 2 /2 ή Δx = υ 0 t + 1/2 αt 2 και αν xο=0, έχουμε: x = υ 0 t +1/2 αt 2 Ομοίως στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση προκύπτει ότι: x = υ 0 t -1/2 αt 2 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Στην κίνηση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα παρατηρούμε ότι το διάστημα που διανύει το αυτοκίνητο τετραπλασιάζεται, εννιαπλασιάζεται κ.λπ., όταν ο χρόνος αντίστοιχα διπλασιάζεται, τριπλασιάζεται κ.λπ. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση το διάστημα που διανύει το ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 34

35 κινητό είναι ανάλογο προς το τετράγωνο του χρόνου που κινήθηκε αυτό Από αυτό συμπεραίνουμε τον νόμο του διαστήματος: Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση το διάστημα που διανύει το κινητό είναι ανάλογο προς το τετράγωνο του χρόνου που κινήθηκε αυτό. Ο νόμος αυτός εκφράζεται από την σχέση: x = 1/2 αt 2 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Για να παραστήσουμε γραφικά τον νόμο του διαστήματος,κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα τιμών. Ύστερα με τον γνωστό τρόπο κατασκευάζουμε το διάγραμμα του παρακάτω σχήματος που παριστάνει γραφικά τον νόμο x = 1/2 αt 2 όταν το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία. Γραφική παράσταση της θέσης x σε συνάρτηση με τον χρόνο στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, με αρχική ταχύτητα Η γραφική παράσταση της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση είναι καμπύλη. Αυτό γιατί όπως προκύπτει από τη σχέση x = υ 0 t +1/2 αt 2, η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς το χρόνο. Γραφική παράσταση του διαστήματος (θέσης) x σε συνάρτηση με τον χρόνο στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, με αρχική θέση x 0 και αρχική ταχύτητα Ομοίως εργαζόμαστε για την κατασκευή της γραφικής παράστασης της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο x=f(t), στη ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 35

36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. Ένας μοτοσικλετιστής κατευθύνεται ανατολικά από ένα χωριό της Πάτρας και επιταχύνει αφού περάσει το σήμα που ορίζει τα όρια του χωριού στη θέση x=0 m. Η επιτάχυνση του είναι σταθεί α=4 m/s 2. Τη χρονική στιγμή t=0 sec βρίσκεται 5 μετρά ανατολικά από το σήμα και έχει ταχύτητα 15 m/s. Α)βρείτε την θέση και τη ταχύτητα τη χρονική στιγμή t=2 sec, B) Που βρίσκεται ο μοτοσικλετιστής όταν η ταχύτητα του είναι 25 m/s ΛΥΣΗ A) Από την εξίσωση Δx = υ 0 t + 1/2 αt 2 =>x=x 0 + υ 0 t + 1/2 αt 2 => x=5m+15m/s *2 sec+1/2 [4m/s 2 *(2 sec) 2 ]=43 m Από την εξίσωση υ = υ 0 + αt=> υ = 15m/s + 4m/s 2 *(2 sec)=23m/s B) Από τις δυο εξισώσεις x=x 0 + υ 0 t + 1/2 αt 2 και υ = υ 0 + αt βγαίνει ότι υ 2 = υ α(x-x 0 ) =>x=55 m 2. Ένα αυτοκίνητο παίρνει μπροστά από ένα σχολείο, όπου το όριο ταχύτητας είναι 10 m/s με σταθερή ταχύτητα 15m/s. ένα τροχονόμος που περίμενε στη γωνιά με τη μοτοσυκλέτα του αρχίζει να καταδιώκει τον οδηγό με σταθερή επιτάχυνση 3m/s 2. Α)πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσει ο τροχονόμος το αυτοκίνητο Β) ποια η ταχύτητα του τροχονόμου εκείνη τη στιγμή Γ) πόση η συνολική απόσταση που διένυσε ο τροχονόμος ΛΥΣΗ Παίρνουμε ως αρχή τη γωνία x=0 και για τα δυο οχήματα Έστω x τροχ =x p η θέση του τροχονόμου και x αυτό = x M η θέση του αυτοκινήτου Για κάθε μια θέση εφαρμόζουμε την παρακάτω εξίσωση x=x 0 + υ 0 t + 1/2 αt 2 x Μ =x 0 + υ 0 t + 1/2 αt 2 = υ 0 t =15m/s* t ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 36

37 x p =x 0 + υ 0 t + 1/2 αt 2 = 1/2 αt 2 = 1/2 (3m/s 2 )* (t) 2 A) Ο τροχονόμος φτάνει στο αυτοκίνητο όταν x p = x Μ. Εξισώνοντας τις δυο παραπάνω εξισώσεις θα έχουμε 15m/s* t=1/2 (3m/s 2 )* (t) 2 => t=0 η t=10 sec Η πρώτη χρονική στιγμή είναι όταν το αυτοκίνητο προσπέρνα τον τροχονόμο και η δεύτερη χρονική στιγμή είναι όταν ο τροχονόμος φτάνει τον οδηγό. Β) Από την εξίσωση υ = υ 0 + αt=> υ=(3m/s)t = (3m/s)*(10 sec)=30 m/s Γ) Η συνολική απόσταση που διένυσε ο τροχονόμος είναι x p =x 0 + υ 0 t + 1/2 αt 2 = 1/2 αt 2 = 1/2 (3m/s 2 )* (10 sec) 2 =150 m 3. Οδηγείτε με το αυτοκίνητο σε ένα δρόμο του Αιγίου με 56,3268 km\h (μιλώντας ταυτόχρονα στο κινητό). Ξαφνικά βλέπετε μια ηλικιωμένη κυρία να διασχίζει το δρόμο περίπου στα 100 μέτρα μακριά και πατάτε τα φρένα. Το αυτοκίνητό σας επιβραδύνεται ομοιόμορφα με επιβράδυνση 1,25 m/s 2. Θα γλιτώσει η ηλικιωμένη κυρία? ΛΥΣΗ Δεδομένα: Η αρχική ταχύτητα του οχήματος ήταν 56,3268 km/h=15,64 m/s Η τελική ταχύτητα του οχήματος θα είναι 0 m/s H επιβράδυνση του 1,25 m/s 2 Ψάχνουμε: Το χρόνο που θα κάνει να σταματήσει και το διάστημα που θα διανύσει μέχρι τότε Από τις εξισώσεις x=x 0 + υ 0 t + 1/2 αt 2 και υ = υ 0 + αt έχουμε υ 2 = υ α(x-x 0 )=> [υ 2 - υ 0 2 ]/2α =(x-x 0 )=>[ ]/2(-1.25)=97.8 m Άρα η γριούλα τη γλιτώνει!! ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ευθύγραμμη τροχιά ονομάζεται η τροχιά σε ευθεία γραμμή. Καμπυλόγραμμη τροχιά ονομάζεται η τροχιά σε καμπύλη γραμμή. Κυκλική τροχιά ονομάζεται η τροχιά σε περιφέρεια κύκλου. Διάστημα s ονομάζεται το μήκος της τροχιάς που διανύει το κινητό σε ορισμένο χρόνο t. Για να μετρήσουμε το διάστημα και τον αντίστοιχο χρόνο της κινήσεως παίρνουμε αυθαίρετα κάποια θέση του κινητούς αρχή (s=0,t=0) και τη λέμε αφετηρία. Κλίμακα ονομάζεται μια ευθεία ή ένας άξονας αριθμημένος με θετικές και αρνητικές τιμές. Θέση ονομάζεται ένα σημείο στο χώρο στο οποίο μπορεί να βρίσκεται ένα σώμα μια δεδομένη χρονική στιγμή t. Υλικό σημείο ονομάζεται μια οντότητα που έχει θέση στο χώρο και δεν έχει διαστάσεις. ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 37

38 Σωμάτιο ή σημειακό αντικείμενο είναι η αναπαράσταση ενός αντικειμένου με ένα σημείο. Για να μετρήσουμε το χρόνο χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης το 1 δευτερόλεπτο η 1 second (1sec). Χρονική στιγμή ονομάζεται η ένδειξη του ρολογιού ή του χρονομέτρου και είναι ένα στιγμιαίο γεγονός που συνδέεται με το χρόνο. Χρονικό διάστημα από μια χρονική στιγμή t1 σε μια επόμενη t2 ονομάζουμε την τιμή που προκύπτει όταν από τη δεύτερη χρονική στιγμή αφαιρέσουμε την πρώτη και συμβολίζεται με Δt. Δt=t2-t1 Τα σύμβολα t 1 και t 2 αναφέρονται σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές. Μετατόπιση Δx του σωματίου πάνω στην ευθεία κίνησής του, από ένα αρχικό σημείο το οποίο βρίσκεται στη αρχική θέση x αρχ, σ' ένα άλλο σημείο το οποίο βρίσκεται στη τελική θέση x τελ ονομάζεται η διαφορά x τελ - x αρχ. Δx=x τελ - x αρχ α) Το διάνυσμα της μετατόπισης είναι θετικό, όταν η τελική θέση του σώματος είναι δεξιότερα της αρχικής του θέσης. Δηλαδή: x τελ >x αρχ β) Το διάνυσμα της μετατόπισης είναι αρνητικό, όταν η τελική θέση του σώματος είναι αριστερότερα της αρχικής του θέσης. Δηλαδή: x τελ <x αρχ Ταχύτητα ενός σώματος υ ονομάζεται το διανυσματικό φυσικό μέγεθος που το μέτρο της ισούται με το πηλίκο της μετατόπισης Δx του σώματος σε χρονικό διάστημα Δt ως προς το χρονικό διάστημα Δt αυτό. Μονάδα μέτρησης της ταχύτητας στο S.I. είναι το ένα μέτρο ανά δευτερόλεπτο 1m/s Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία ένα σώμα κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και σε ίσα χρονικά διαστήματα Δt διανύει ίσα διαστήματα Δx, δηλαδή κινείται με σταθερή ταχύτητα. Μέση ταχύτητα υμ ονομάζεται το πηλίκο του συνολικού μήκους της διαδρομής s που διήνυσε ένα κινητό σε ορισμένο συνολικό χρόνο t προς το συνολικό χρόνο αυτό t. μέση ταχύτητα = διάστημα/αντίστοιχος χρόνος υ μ =s/t Μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται η κίνηση η οποία δεν είναι ούτε ευθύγραμμη ούτε ομαλή. Στιγμιαία ταχύτητα ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που δείχνει την ταχύτητα του σώματος μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Το μέτρο της δίνεται από τον τύπο: υ=δx/δt όπου: υ είναι η στιγμιαία ταχύτητα Δx είναι η μετατόπιση του σώματος Δt είναι το πολύ μικρό χρονικό διάστημα ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 38

39 Επιτάχυνση α ονομάζεται το φυσικό μέγεθος που εκφράζεται με το σταθερό πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας Δυ, προς το χρόνο Δt που χρειάστηκε για τη μεταβολή αυτή. α = Δυ/Δt Η επιτάχυνση α είναι διανυσματικό μέγεθος με χαρακτηριστικά: μέτρο: α=δυ/δt διεύθυνση: ίδια με την διεύθυνση της ταχύτητας φορά: ίδια με τη φορά της ταχύτητας όταν η ταχύτητα αυξάνει και αντίθετη όταν η ταχύτητα μειώνεται. Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία το κινητό κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά και η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά την ίδια ποσότητα σε κάθε μονάδα χρόνου. Στις κινήσεις αυτές διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: α) η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται, οπότε η κίνηση ονομάζεται ομαλά επιταχυνόμενη. β) η ταχύτητα του κινητού μειώνεται, οπότε η κίνηση ονομάζεται ομαλά επιβραδυνόμενη. Επιτάχυνση α σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος του οποίου η τιμή ισούται με το πηλίκο της μεταβολής Δυ της ταχύτητας προς τον χρόνο Δt στον οποίο γίνεται η μεταβολή αυτή. Στην ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση, είναι οι εξής: υ = υ ο + αt : Εξίσωση ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. υ = υ ο - αt : Εξίσωση ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. x = υ o t+ 1/2 α t 2 :Εξίσωση κίνησης στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. x = υ o t - 1/2 α t 2 :Εξίσωση κίνησης στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Βιβλιογραφία Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Α, Μηχανική-Θερμοδυναμική, Συγγραφέας Hugh D. Young, Εκδόσεις Παπαζηση, 8 η Εκδοση, 1994, (Κεφ2) Φυσική, (Μηχανική Θερμοδυναμική, Κυματική-Οπτική Σύγχρονη Φυσική), Παταργιας Nικος, Μακεδονικές Εκδόσεις 2009 (Κεφ 1) Στέργιος Πελλης, 2012, Pearson Education inc. 2008, Pearson Addison-Wesley ΔΡΑΚΑΚΗ ΕΛΕΝΗ Σελίδα 39