Ασκήσεις. Άσκηση 1. Να αποδειχτεί ότι οποιαδήποτε δυαδική συµβολοσειρά µήκους λ αποτελεί στιγµιότυπο από 2 λ διαφορετικά σχήµατα.

Transcript

1 Ασκήσεις Άσκηση 1 Να αποδειχτεί ότι οποιαδήποτε δυαδική συµβολοσειρά µήκους λ αποτελεί στιγµιότυπο από 2 λ διαφορετικά σχήµατα. 1

2 1 η Λύση Έστω η δυαδική συµβολοσειρά: α λ α λ-1 α λ-2...α 2 α 1 Οι διαφορετικοί τρόποι που υπάρχουν να αντικαταστήσουµε r απόταλγονίδιατηςµε αδιάφορα είναι: λ r χωρίς να λαµβάνουµευπόψηµας τη σειρά Παράδειγµα: Αν λ=5 και r=2 τότε η συµβολοσειρά (10110) είναι στιγµιότυπο των σχηµάτων: (**110), (*0*10), (*01*0), (*011*), (1**10), λ 5 = = 10 (1*1*0), (1*11*), (10**0), (10*1*), (101**) r 2 1 η Λύση Για κάθε r = 0,1,2,3,...,λυπάρχουν διαφορετικά σχήµατα Εποµένως το συνολικό πλήθος των διαφορετικών σχηµάτων είναι: λ r λ r= 0 λ r Σύµφωνα µετοδιωνύµου του Newton είναι: n n r n x = (1 + x) r= 0 r Για n=λκαιx=1 προκύπτει: λ r= 0 λ = 2 r λ 2

3 2 η Λύση Κάθε θέση της συµβολοσειράς µπορεί να πάρει δύο τιµές, είτε την πραγµατική της τιµήείτετοαδιάφορο σύµβολο Επειδή η συµβολοσειρά έχει µήκος λ προκύπτει ότι είναι στιγµιότυπο 2 λ σχηµάτων Άσκηση 2 Έστω ότι θέλετε να υλοποιήσετε ένα Γ.Α., ο οποίος από ένα πληθυσµό 100 ατόµων θαξεχωρίζειεκείνοτοχρωµόσωµα (µήκους 100), το οποίο περιέχει τους περισσότερους άσους. Ποια αντικειµενική συνάρτηση θα χρησιµοποιήσετε; 99 eval( x) = bi 0 3

4 Άσκηση 3 Έστω ότι θέλουµε να ελαχιστοποιήσουµε τη συνάρτηση f(x)=-x 2 +5x+3 όπου το x ανήκει στο διάστηµα [0, 63]. Πόσα δυαδικά ψηφία θα χρειαστούν για να κωδικοποιηθούν όλες οι πιθανές ακέραιες τιµές του x στο διάστηµα 0 έως 63; 6 δυαδικά ψηφία Άσκηση 4 Να ορίσετε την αντικειµενική συνάρτηση f της δυαδικής συµβολοσειράς x, µε µήκος λ = 4, έτσι ώστε να ισούται µε τον ακέραιο που αναπαριστάται από το δυαδικό αριθµό x, π.χ. f ( ), f( ) 0011 = = 15 Ποια είναι η µέση απόδοση του σχήµατος: 1 4

5 Λύση Ηαντικειµενική συνάρτηση f έχει την παρακάτω µορφή: f= b b b b 3 2 3, b i = 0 ή 1 Η µέση απόδοση ενός σχήµατος S στο οποίο ταιριάζουν p δυαδικές συµβολοσειρές του τρέχοντος πληθυσµού δίνεται από τον παρακάτω τύπο: F(S) = j= 1 όπου eval(v j ) είναι η απόδοση της δυαδικής συµβολοσειράς v j p eval(v ) / p j Λύση Στο σχήµα 1*** ταιριάζουν οι παρακάτω συµβολοσειρές: 1000 eval(1000) = eval(1001) = eval(1010) = eval(1011) = eval(1100) = eval(1101) = eval(1110) = eval(1111) = 15 Εποµένως η µέση απόδοση είναι ( S ) = ( ) / F 1 = 5

6 Άσκηση 5 Έστω ότι µια αντικειµενική συνάρτηση έχει την παρακάτω µορφή: fx= ( ) 2, x 111 1, x 0 0, αλλου Ποια είναι η µέση απόδοση των σχηµάτων: Λύση Η µέση απόδοση ενός σχήµατος S στο οποίο ταιριάζουν p δυαδικές συµβολοσειρές δίνεται από τον τύπο: p F( S) = eval ( v j )/ p j= 1 Στο σχήµα 1 ταιριάζουν τα σχήµατα: Εποµένως η µέση απόδοση του εάν ο αριθµός τωναστερίσκωνισούταιµε n, είναι: ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) n F S1 = eval eval eval eval 111 / 4 2 n n n n n ( ) ( )/ 4 2 FS ( ) FS1 = = 1 2 6

7 Λύση Στο σχήµα 11 ταιριάζουν τα σχήµατα: Εποµένως η µέση απόδοση του σχήµατος είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) n F S2 = eval eval 111 / 2 2 ( ) ( ) n n n FS2 = / 2 2 = 1 Λύση 11 Στο σχήµα ταιριάζουν τα σχήµατα: Εποµένως η µέση απόδοση του σχήµατος είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) n F S3 = eval eval 111 / 2 2 ( ) ( ) n n n FS3 = / 2 2 = 1 7

8 Άσκηση 6 Έξι συµβολοσειρές έχουν τις ακόλουθες τιµές της αντικειµενικής συνάρτησης: 5, 10, 15, 25, 50, 100. Κάνοντας χρήση της εξαναγκασµένης ρουλέτας, να υπολογίσετε τον αναµενόµενο αριθµόαντιγράφωνκάθε συµβολοσειράς στο νέο πληθυσµό, αν σε κάθε γενιά διατηρείται ένας σταθερός πληθυσµός µεγέθους n=6. Λύση Η συνολική απόδοση της τρέχουσας γενιάς είναι: F(n)= =205 Άρα η πιθανότητα επιλογής κάθε ατόµου για την επόµενη γενιά είναι: p(1)=5/205=0.024 p(2)=10/205=0.048 p(3)=15/205=0.073 p(4)=25/205=0.121 p(5)=50/205=0.243 p(6)=100/205=0.487 c(1)=0 c(2)=0 c(3)=0 c(4)=1 c(5)=2 c(6)=3 8

9 Άσκηση 7 Θεωρήστε τις δυαδικές συµβολοσειρές: A 1 = A 2 = A 3 = και τα σχήµατα: H 1 = 1 H 2 = 0 H 3 = 11 H 4 = 000 H 5 = 1 1 H 6 = α) Ποιες συµβολοσειρές ταιριάζουν σε κάθε σχήµα; β) Βρείτε την τάξη και το καθορισµένο µήκος κάθε σχήµατος. γ) Υπολογίστε την πιθανότητα επιβίωσης κάθε σχήµατος, όταν υποβάλλεται σε µετάλλαξη και η πιθανότητα µιας απλής µετάλλαξης είναι p m =0,001. δ) Υπολογίστε την πιθανότητα επιβίωσης κάθε σχήµατος, όταν υποβάλλεται σε διασταύρωση και η πιθανότητα διασταύρωσης είναι p c =0,85. Λύση A 1 = A 2 = A 3 = H 1 = 1 H 2 = 0 H 3 = 11 H 4 = 000 H 5 = 1 1 H 6 = α) ΗΑ 1 ανήκει στα Η 1, Η 3, Η 5 και Η 6 ΗΑ 2 ανήκει στο σχήµαη 2 ΗΑ 3 ανήκει στα Η 2 και Η 3 β) ο(η 1 )=1 δ(η 1 )=1-1=0 ο(η 2 )=1 δ(η 2 )=1-1=0 ο(η 3 )=2 δ(η 3 )=8-7=1 ο(η 4 )=3 δ(η 4 )=7-4=3 ο(η 5 )=2 δ(η 5 )=7-1=6 ο(η 6 )=5 δ(η 6 )=7-1=6 9

10 Λύση A 1 = A 2 = A 3 = H 1 = 1 H 2 = 0 H 3 = 11 H 4 = 000 H 5 = 1 1 H 6 = γ) Η πιθανότητα επιβίωσης ενός σχήµατος S όταν υποβάλλεται σε µετάλλαξη µεπιθανότητα µετάλλαξης p m ισούται µε: os ( ) ( 1 ) ( ) 1 ( ) p S = p o S p s m m Εποµένως: p s (H1)= =0.999 p s (H2)= =0.999 p s (H3)= =0.998 p s (H4)= =0.997 p s (H5)= =0.998 p s (H6)= =0.995 Λύση A 1 = A 2 = A 3 = H 1 = 1 H 2 = 0 H 3 = 11 H 4 = 000 H 5 = 1 1 H 6 = Η πιθανότητα επιβίωσης ενός σχήµατος S όταν υποβάλλεται σε διασταύρωση µεπιθανότητα διασταύρωσης p c ισούται µε: δ( S) ps( S) 1 pc m 1 Εποµένως p s (H 1 )= /7=1 p s (H 2 )= /7=1 p s (H 3 )= /7= p s (H 4 )= /7= p s (H 5 )= /7= p s (H 6 )= /7=

11 Άσκηση 8 Ένας πληθυσµός περιλαµβάνει στη γενιά 0 τις δυαδικές συµβολοσειρές και τις αντίστοιχες αποδόσεις τους: Ηπιθανότηταµετάλλαξης είναι p m =0.01 και η πιθανότητα διασταύρωσης είναι p c =1.0. α) Υπολογίστε τον αναµενόµενο αριθµόσχηµάτων της µορφής S 1 =(1****) που θα υπάρχουν στη γενιά 1. β) Υπολογίστε τον αναµενόµενο αριθµόσχηµάτων της µορφής S 2 =(0**1*) που θα υπάρχουν στη γενιά 1. Λύση S1=(1****) S2=(0**1*) Η εξίσωση που δίνει τον αναµενόµενο, στην επόµενη γενιά, αριθµόδυαδικών συµβολοσειρών που ανήκουν σε ένα σχήµα ισούται µε: δ ( S) ξ ( S, t 1) ξ ( S, t) eval( S, t) / F( t) 1 pc o( S) m 1 Εποµένως έχουµε: δ(s 1 )=1-1=0 o(s 1 )=1 δ(s 2 )=4-1=3 o(s 2 )=2 = 0 4 = eval v i / 4 = / 4 = i= 1 ( ) ( ) ( ) F t ( t ) ( ) (, t ) ( )/ eval S1, = 0 = / 2= 15 eval S2 = 0 = = 10 ( ) p + m 11

12 Λύση ξ ( St, + 1) ξ( St, ) eval(s, t)/ Ft ( ) ηλαδή έχουµε: α) ξ( S1 t 1) , = = = β) ξ( S2 t 1) , = = = Θα υπάρχουν είτε τρεις συµβολοσειρές απότοσχήµα S 1 και µία συµβολοσειρά απότοσχήµα S 2 είτε τέσσερις συµβολοσειρές από το σχήµα S1 και καµία συµβολοσειρά από το σχήµα S2. Άσκηση 9 Θεωρείστε ότι ένα σχήµα Η όταν υπάρχει σε µια συγκεκριµένη δυαδική συµβολοσειρά την κάνει να εµφανίζει απόδοση 25% µεγαλύτερη από τη µέση απόδοση του τρέχοντος πληθυσµού. Εάν οι πιθανότητες καταστροφής λόγω διασταύρωσης και µετάλλαξης για το παραπάνω σχήµαείναιαµελητέες, καθορίστε σε ποια γενιά θα επικρατήσει σε ένα πληθυσµό µεγέθους n = 20, 50, 100 και 200, όταν ένας και µόνο ένας εκπρόσωπος του σχήµατος αυτού περιέχεται στον πληθυσµόκατάτηγενιά0. 12

13 Λύση Οαριθµός των συµβολοσειρών ενός σχήµατος Η που επιλέγονται για την επόµενη γενιά δίνεται από τον τύπο: ξ ( Ht, + 1) = ξ( Ht, ) evalht (, ) / Ft ( ) Έχουµε: ξ( H,0) = 1 ξ ξ ξ ( t ) eval ( H, t ) / F = ( H ) ξ( H ) ( H ) ξ( H ), 1 =, = 1. 25, 2 =, = 125. ( H ) ξ( H ), 3 =, = Λύση Το σχήµα Η θα επικρατήσει σε κάποιον πληθυσµόότανοισυµβολοσειρές που ανήκουν σ αυτό αποτελούν τουλάχιστον το 50% του πληθυσµού αυτού. Εποµένως για n=20 έχουµε: x x 11 Για n=50 έχουµε: x x 15 Για n=100 έχουµε: x x 18 Για n=200 έχουµε: x x 21 13

14 Άσκηση 10 Θεωρήστε ένα πρόβληµαπουείναι κωδικοποιηµένοωςέναςχωρίςπρόσηµο δυαδικός ακέραιος µεταξύ του 0 και του 127 (µεβάσητο10), όπου: =0 10, =64 10 & = Υπολογίστε τους ακεραίους του διαστήµατος τιµών που καλύπτονται από καθένα από τα παρακάτω σχήµατα: Λύση Το σχήµα 1****** περιέχει τους ακέραιους από = έως = Το σχήµα ******0 περιέχει τους ακέραιους από = έως = ανά 2 Το σχήµα * περιέχει τους ακέραιους από = έως = Το σχήµα 10***** περιέχει τους ακέραιους από = έως = Το σχήµα *****01 περιέχει τους ακέραιους από = έως = ανά 4 14

15 Άσκηση 11 ίνεται ο εξής πληθυσµός συµβολοσειρών τη γενιά 0: 11010, 01011, 11001, και η εξής αντικειµενική συνάρτηση: 4 b + 1 (1 ( 1) i ) F = i= 0 2 όπου το b i είναι το i-οστό δυαδικό ψηφίο (το πρώτο δυαδικό ψηφίο έχει δείκτη i=0). Επίσης δίνεται η παρακάτω λίστα τυχαίων αριθµών που έχει παραχθεί µεχρήσηµιας γεννήτρια τυχαίων αριθµών: 0.25, 0.73, 0.15, 0.52, 0.81, 0.65 Άσκηση 11 (συνέχεια) Θεωρήστε ότι: 1. ΟΓ.Α. χρησιµοποιεί τελεστή επιλογής που βασίζεται στην απόδοση της αντικειµενικής συνάρτησης κάθε ατόµου (κάθε άτοµο επιλέγεται ανάλογα µετην απόδοσή του) και πλήρη αντικατάσταση των ατόµων κάθε γενιάς (κανένας γονέας δεναντιγράφεταιστηνεπόµενη γενιά). 2. Πιθανότητα µετάλλαξης ίση µε 0. 15

16 Άσκηση 11 (συνέχεια) 3. Η επιλογή των ατόµων που θα συµµετέχουν στη διασταύρωση γίνεται µεβάσητοντελεστή επιλογής και τους τυχαίους αριθµούς που προέκυψαν από τη γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Ο τελεστής διασταύρωσης είναι µονού σηµείου µε πιθανότητα διασταύρωσης 1.0, µετοσηµείο διασταύρωσης να επιλέγεται τυχαία ανάµεσα στα τέσσερα πιθανά σηµεία διασταύρωσης κάθε συµβολοσειράς. Με βάση κάποιο τυχαίο αριθµό τα σηµεία διασταύρωσης θα επιλέγονται από τα αριστερά προς τα δεξιά µε ίδια πιθανότητα και γιατατέσσεραπιθανάσηµεία (0.25 για κάθε πιθανή θέση). ηλαδή εάν ο τυχαίος αριθµός είναι ο 0.45 το σηµείο διασταύρωσης θα είναι ανάµεσα στο δυαδικό ψηφίο 1 και το δυαδικό ψηφίο 2 (το πιο αριστερό ψηφίο έχει αριθµό 0). Άσκηση 11 (συνέχεια) 4. Και τα δύο παιδιά που προκύπτουν από µία διασταύρωση προστίθενται στον πληθυσµότης επόµενης γενιάς, εποµένως µόνο δύο διασταυρώσεις χρειάζονται γιαναδηµιουργηθεί ο πληθυσµός της γενιάς 1 από τον πληθυσµότης γενιάς 0. 16

17 Άσκηση 11 (συνέχεια) Να υπολογίσετε τα ακόλουθα: 1. Την απόδοση της αντικειµενικής συνάρτησης για κάθε άτοµο του πληθυσµού στη γενιά Την µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά Τη ρουλέτα που χρησιµοποιείτε για την επιλογή των ατόµων από τη γενιά 0. Να φαίνεται καθαρά το ποσοστό που αντιστοιχεί σε κάθε άτοµοτου αρχικού πληθυσµού. 4. Τον πληθυσµότωνατόµων στη γενιά Τον αριθµότωνατόµων του πληθυσµού που ανήκουν στα σχήµατα 1***1 και **01* στην γενιά 0 και στη γενιά Τη µέση απόδοση των παραπάνω σχηµάτων στη γενιά 0 και στη γενιά Την απόδοση της αντικειµενικής συνάρτησης για κάθε άτοµοτουπληθυσµού στη γενιά 0. Ηγενιά0 αποτελείται από τα χρωµοσώµατα: v 1 =11011, v 2 =01011, v 3 =11001, v 4 = Η απόδοση για κάθε ένα από τα άτοµατηςγενιάς0 είναι: eval(v 1 )=2 eval(v 2 )=1 eval(v 3 )=3 eval(v 4 )=4 F = 4 i= 0 (1 ( 1) 2 b i + 1 ) 17

18 2. Την µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 0. Η συνολική απόδοση του πληθυσµού είναι: F(0)= =10 Η µέση απόδοση του πληθυσµού στη γενιά 0 είναι: F ( 0) = ( ) / 4 = 2,5 3. Τη ρουλέτα που χρησιµοποιείτε για την επιλογή των ατόµων από τη γενιά 0. Να φαίνεται καθαρά το ποσοστό που αντιστοιχεί σε κάθε άτοµοτουαρχικούπληθυσµού. Ηπιθανότηταεπιλογήςκάθεατόµου είναι: eval(v1)=0,2 eval(v2)=0,1 eval(v3)=0,3 eval(v4)=0,4 Εποµένως, η ρουλέτα που χρησιµοποιείται για την επιλογή τους είναι: 18

19 0.25, 0.73, 0.15, 0.52, 0.81, , 01011, 11001, Τον πληθυσµότωνατόµων στη γενιά 1. Η συσσωρευµένη πιθανότητα για κάθε άτοµοείναι: Ο πρώτος τυχαίος αριθµός είναι ο 0.25, εποµένως το πρώτο άτοµοείναιτοv2.οεπόµενος τυχαίος αριθµός είναι ο 0.73, άρα επιλέγεται το v4. Ο τρίτος τυχαίος αριθµός είναι ο 0.15 εποµένως έχουµε διασταύρωση µονού σηµείου των v2 και v4 µετά το δυαδικό σηµείο 0, δηλαδή: Στη συνέχεια επιλέγεται το v3 αφού ο επόµενος αριθµός είναι ο Τέλος, επιλέγεται το v4 αφού ο πέµπτος αριθµός είναι ο Ο τελευταίος τυχαίος αριθµός είναι ο 0.65 εποµένως έχουµε διασταύρωση µονού σηµείου των v3 και v4 µετά το δυαδικό σηµείο 3, δηλαδή: 5. Τον αριθµότωνατόµων του πληθυσµού που ανήκουν στα σχήµατα 1***1 και **01* στην γενιά 0 και στη γενιά 1. Στο σχήµα 1***1 ανήκουν οι συµβολοσειρές: Γενιά 0: 11011, 11001, Γενιά 1: 11011, 11011, Στο σχήµα **01* ανήκουν οι συµβολοσειρές: Γενιά 0: 11011, Γενιά 1: 11011,

20 6. Τη µέση απόδοση των παραπάνω σχηµάτων στη γενιά 0 και στη γενιά 1. 20