ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι

Transcript

1 Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : HΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υπχρωτικό 3 υ Εξαμήνυ) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτς, Επίκυρς Καθηγητής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ # 3 : ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Μ τν όρ νέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ στην υσία υπνύμ τ έργ πυ δαπανήθηκ (ή παρήχθι) πρκιμένυ να συγκρτηθί η πηγή τυ πδίυ (πυ μπρί να ίναι ένα σύνλ διακριτών σημιακών φρτίων ή μια συνχής κατανμή φρτίυ).τ έργ αυτό ίναι «απθηκυμέν» υπό μρφήν δυναμικής νέργιας της πηγής τυ πδίυ ή νέργιας τυ ηλκτρστατικύ πδίυ πυ αυτή παράγι και μπρί να απδθί ξανά στ πριβάλλν ή να καταναλωθί από ξωτρικό αίτι κατά τη διάλυση της πηγής «στα ξ ων συντέθη». (α) Ενέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ μ πηγή σύνλ διακριτών σημιακών φρτίων. Θα υπλγίσμ την έκφραση πυ δίδι τ συνλικό έργ (παραγόμν ή καταναλισκόμν) για την διάλυση μιας πηγής διακριτών σημιακών φρτίων. Σαν παράδιγμα θα πικαλσθύμ την πρίπτωση τσσάρων σημιακών φρτίων. Τ συνλικό παραγόμν ή καταναλισκόμν έργ θα ισύται μ τ άθρισμα των απαιτύμνων έργων για την μταφρά καθνός φρτίυ ξχωριστά από τη θέση τυ στην πηγή σ ένα μακρυνό σημί πυ θωρίται τ άπιρ. Για την μταφρά τυ πρώτυ φρτίυ q 4 από τη θέση τυ 4 στ άπιρ, θωρώντας ότι αυτό βρίσκται στ πδί πυ δημιυργύν τα φρτία q, q, q 3, θα έχμ ότι : q q q3 W4 = q4v,,3( 4) = q π Για την μταφρά τυ φρτίυ q 3 θα έχμ αντίστιχα ότι : q q W3 = qv 3,( 3) = q3 + 4π 3 3 Για την μταφρά τυ φρτίυ q θα έχμ αντίστιχα ότι : q W = q V ( ) = q 4π Για την μταφρά τυ τλυταίυ φρτίυ q τ απαιτύμν έργ ίναι μηδέν, δδμένυ ότι αυτό δν βρίσκται πλέν στν χώρ κάπιυ ξωτρικύ πδίυ. Άρα W =. Z q W W q 3 34 W 4 q 3 3 q 4 4 Y X

2 Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ Αθρίζντας τα παραπάνω έργα και ανακατανέμντας τυς όρυς έχμ ότι : q q q q q q W = W + W + W + W = q q + + q = q j i 4π π i= j> i ij Γνικύντας για Ν φρτία θα έχμ αντίστιχα ότι : N N qq i j W = 4π i= j> i ij Πυ πρακτικά ισδυναμί μ : qq W = N N i j 4π i= j> i ij Η παραπάνω έκφραση για τα τέσσρα φρτία μπρί να καταστί πι πρακτική γράφντας τ συνλικό έργ ως : q q3 q4 q q3 q4 q q q4 q q q 3 W = W+ W + W3 + W4 = q q q q4 + + = 4π q = = j qi qv i i π i= j= ij i= j i ( ) όπυ η διαίρση μ τ απαιτήθηκ γιατί πήραμ τν όρ τυ κάθ γινμένυ δύ φρές. Γνικύντας τλικά για Ν φρτία θα έχμ ότι : q W = = q = qv( ) N N N j i i i i j 4π = = ij i= j i (Α) Έργ για την διάλυση πηγής απτλύμνης από διάκριτα σημιακά φρτία πυ ισδυναμί μ την απθηκυμένη (δυναμική) νέργια τυ ηλκτρικύ πδίυ της πηγής q Τ έργ αυτό μπρί να ίναι θτικό ή αρνητικό ανάλγα μ τ άν παρήχθι ή καταναλώθηκ έργ για την διάλυση της πηγής τυ πδίυ. Παραγόμν έργ υπδηλώνι τάση της πηγής για «αυθόρμητη» διάλυση (αντίστιχα τ έργ για την συγκρότησή της ίναι αρνητικό και καταναλώθηκ από ξωτρικό αίτι). Καταναλισκόμν έργ υπδηλώνι ότι αυτό πρέπι να πρσφρθί από αξωτρικό αίτι για να διαλυθί η πηγή (αντίστιχα τ έργ για την συγκρότησή της ίναι παραγόμν και υπδηλώνι τάση για «αυθόρμητη» συγκρότηση της πηγής). (β) Ενέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ συνχύς κατανμής φρτίυ. Στην πρίπτωση πυ η πηγή τυ πδίυ ίναι μια τριδιάστατη, διδιάστατη ή μνδιάστατη συνχής κατανμή φρτίυ μ πυκνότητα ρ, σ ή λ αντίστιχα η άκφραση (Α) παίρνι την μρφή λκληρώματς μ αντίστιχς κφράσις : = (Β), (Γ), (Δ) ρvdυ = σvda = λvd όγκς πιφάνια μήκς της της της κατανμής κατανμής κατανμής Έργ για την διάλυση πηγής συνχύς κατανμής φρτίυ πυ ισδυναμί μ την απθηκυμένη (δυναμική) νέργια τυ ηλκτρικύ πδίυ της πηγής

3 Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ Εναλλακτική μρφή της σχέσως (Β): Η έκφραση (Β) για την νέργια τριδιάστατης κατανμής φρτίυ μπρί να κφρασθί ναλλακτικά συναρτήσι της ντάσως τυ ηλκτρικύ πδίυ αντί για τυ δυναμικύ.συγκκριμένα θα έχμ ότι : ρ= ( Ε i ) = ρvdυ = ( ) Vdυ iε όγκς όγκς της της κατανμής κατανμής Εάν διανυσματική συνάρτηση και f βαθμωτή συνάρτηση ίναι γνωστό ότι ισχύι : ( fb) = f B + B f B ( ) ( ) Κατά συνέπια : i = i + i = i ( fb ) d.gauss υ f ( B ) d υ B ( f ) d υ Θ f ( B da ) όγκς όγκς όγκς πιφανια () Επμένως : f ib dυ = Bi f dυ+ f Bi da όγκς όγκς πιφανια Μ βάση αυτή τη γνική έκφραση η σχέση () γίνται : = Ε i V d + V E da = Ε d + ό ό () E V ( ) υ ( i ) = υ V ( E da) γκς πιφανια γκς πιφανια της της της της κατανμής κατανμής κατανμής κατανμής Η παραπάνω έκφραση απαιτί λκλήρωση πάνω στν όγκ της φρτισμένης κατανμής και πάνω στην πιφάνια πυ τν πριβάλλι. Εάν όμως πκτίνμ αυθαίρτα τν όγκ λκλήρωσης σ έναν μγαλύτρ V πυ πρικλίται από μια πιφάνια Α πυ πριβάλλι την κατανμή τ απτέλσμα της κφράσως () δν θα μταβληθί διότι πιπλέν όγκς δν πρικλίι φρτί. Κατά συνέπια και τ απτέλσμα της ισδύναμής της () δν θα μταβληθί. Τίπτα όμως δν μας μπδίζι να πκτίνμ τν όγκ λκλήρωσης στό άπιρ (V z ή αντίστιχα Α z ). Στην πρίπτωση αυτή τ πιφανιακό λκλήρωμα πέφτι σαν /. Πράγματι σ μγάλς απστάσις V~/ E~/ A ~ Κατά συνέπια λκληρώνντας σ όλ τ χώρ η συνισφρά τυ πιφανιακύ λκληρώματς της () τίνι να γίνι αμλητέα και τλικά έχμ την ισδύναμη έκφραση : = Ε dυ (E) όλς χ ώ ρς i 3

4 Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ Από την έκφραση αυτή πρκύπτι ότι η πυκνότητα νέργιας (νέργια/μνάδα όγκυ) τυ Ηλκτρστατικύ πδίυ συνχύς κατανμής φρτίυ ίναι : u = Ε Παρατήρηση : Συγκρίνντας τις κφράσις (Α) και (Ε) παρατηρύμ ότι η μν πρώτη μπρί να δώσι θτικό ή αρνητικό απτέλσμα, όπως έχι αναφρθί ήδη, νώ η δύτρη δίνι πάντα θτικό απτέλσμα. Δδμένυ ότι και ι δύ κφράσις πριγράφυν τ ίδι φυσικό μέγθς μφανίζται κ πρώτης όψως μια αντινμία. Στην πράξη η αντινμία αυτή αίρται μ τ ξής σκπτικό : Η έκφραση (Α) υπλγίζι την νέργια για την συγκρότηση πηγής συστήματς σημιακών φρτίων αγνώντας όμως την νέργια πυ απαιτήθηκ για να δημιυργηθί τ κάθ σημιακό φρτί. Όντως στν πραγματικό κόσμ τα καθαυτό σημιακά φρτία (πχ ηλκτρόνια, πρωτόνια κλπ) «παραδίδνται» ήδη φρτισμένα. Η νέργια πυ απαιτήθηκ για την δημιυργία τυς ίναι στην πράξη άπιρη! Επίσης στην έκφραση (Α) τ δυναμικό V( i ) ίναι τ δυναμικό στη θέση τυ φρτίυ q i λόγω της παρυσίας των υπλίπων φρτίων κτός τυ ίδιυ τυ q i. Όμως στην έκφραση (Β) και την ισδύναμή της (Ε) τ δυναμικό V ίναι τ δυναμικό της πλήρυς συνχύς κατανμής φρτίυ (γ) Ενέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ αλληλπιδρώντων συνχών κατανμών φρτίυ. Ένα ύλγ ρώτημα πυ ανακύπτι ίναι πρσδιρισμός της νέργιας νός συστήματς δυ συνχών κατανμών πυ συνυπάρχυν στν ίδι χώρ, όπως φαίνται στ Σχήμα. Μια σκέψη θα ήταν να αθρίσμ απλά τις νέργις των δυ κατανμών ξχωριστά. Η σκέψη αυτή ίναι ββιασμένη και λανθασμένη. Σύμφωνα μ την αρχή της παλληλίας τ συνλικό ηλκτρικό πδί λόγω της ύπαρξης και των δύ κατανμών θα ίναι : E = E+ E 4

5 Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ Κατά συνέπια μ βάση τη σχέση (Ε) θα έχμ ότι : = Ε dυ = ( E+ E) dυ = ( Ε +Ε + E E) dυ i = όλς όλς όλς χώρς χώρς χώρς = Ε dυ+ Ε dυ+ ( E E ) dυ i όλς όλς όλς χώρς χώρς χώρς Άρα θα έχμ ότι : = + + ( E ie ) dυ όλς χώρς Όπυ = Ενέργια Κατανμής = Ε dυ όλς χ ώ ρς = Ενέργια Κατανμής = Ε dυ όλς χ ώ ρς dυ = ( E ie ) όλς Ενέργια αλληλπίδρασης των δύ κατανμών χώρς Ο τλυταίς όρς πρακτικά αγνίται μόν άν ι δύ κατανμές ίναι πλύ απμακρυσμένς μταξύ τυς. 5

6 Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ Παράδιγμα [Giffiths Πρόβλημα.3]: (α) Τρία φρτία βρίσκνται στις κρυφές ττραγώνυ πλυράς α, όπως στ Σχήμα. Πόσ έργ απαιτίται για να φέρμ ένα ακόμη φρτί +q στην τέταρτη κρυφή από τ άπιρ ; (β) πιά ίναι η δυναμική νέργια τυ συστήματς των τσσάρων φρτίων ; Πόσ ίναι τ έργ πυ παρήχθι ή δαπανήθηκ για τη συγκρότηση τυ συστήματς των τσσάρων φρτίων ; Λύση :(α) Τ τέταρτ φρτί φέρται υσιαστικά στ πδί πυ δημιυργύν τα άλλα τρία. Αρχικά πρέπι να υπλγίσμ τ δυναμικό τυ πδίυ των τριών φρτίων στην τέταρτη κρυφή τυ ττραγώνυ Α. q q q K e VA = VA, + VA, + VA,3 = Ke + Ke + Ke = q a a a a Κατά συνέπια θα έχμ ότι : Ke Ke WA = ( + q) VA = q W A = q > (παραγόμν από τ πδί) a a (β) Θα έχμ ότι : 4 = qv( i i) όπυ : i= q q q q q q Ke e e e e qv () = ( q) K K + K = K + = q a a a a a a a q q q q q q Ke e e e e qv () = ( q) K + K K = K + = q a a a a a a a q q q q q q Ke e e e e qv 3 (3) = ( q) K K + K = K + = q a a a a a a a ( ) ( ) ( ) q q q q q q K qv 4 (4 ( ) e ) = q Ke + Ke Ke = Ke + = q a a a a a a a Ke Ke Άρα : = 4 q = q < a a Παρατηρύμ ότι η δυναμική νέργια τυ συστήματς ίναι αρνητική, γγνός πυ υπδηλώνι ότι πρέπι να καταβληθί έργ από ξωτρικό αίτι για να διαλυθί τ σύστημα. Τ έργ για τη συγκρότηση της πηγής θα ίναι : K e W = = q >. a 6

7 Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ Παράδιγμα : (α) Να υπλγισθί η νέργια τυ ηλκτρικύ πδίυ μιας μιόμρφα φρτισμένης μ συνλικό φρτί Q αγώγιμης σφαίρας ακτίνας. (β) Πιά ίναι η ακτίνα σφαιρικής πιφάνιας μέσα στην πία βρίσκται τ μισό της νέργιας τυ πδίυ ; (γ) Πόση ίναι η νέργια τυ ηλκτρικύ πδίυ δυ μιόμρφα φρτισμένων αγώγιμων σφαιρών ακτίνων και μ φρτία Q και Q αντίστιχα πυ τα κέντρα τυς απέχυν απόσταση ; Λύση : (α) Είναι γνωστό ότι η αγώγιμη σφαίρα φρτίζται μόν πιφανιακά. Επίσης ίναι γνωστό (υπλγίστηκαν στ μάθημα) ότι η ένταση και τ δυναμικό τυ ηλκτρικύ πδίυ μιας μιόμρφα φρτισμένης αγώγιμης σφαίρας δίδνται από τις σχέσις : Q, < K e, E () = Q V() = Ke ˆ, Q Ke, > ς τρόπς : Κάνμ χρήση της σχέσως (Γ) = σvda, δδμένυ ότι η σφαίρα φρτίζται πιφάνια της κατανμής μόν πιφανιακά. Έστω σ η σταθρή πιφανιακή πυκνότητα φρτίυ της. Q Q Q Q = (4 ) ( 4 ) σvda = σ da = σ da σ π σ 4π 4π = = π = 4π 4π πιφάνια πιφάνια πιφάνια της της της σφαίρας σφαίρας σφαίρας Q Q = Q = 8π 8π ς τρόπς : Κάνμ χρήση της σχέσως (Ε) = d d d d d Ε υ = υ υ υ υ Ε + Ε = + Ε = Ε = όλς χώρς χώρς χώρς χώρς χώρς < π π π π Q Ke Q Ke Q Q Ke sin dd d d sin d d θ θ φ θ θ φ π π = = = = 8 Παρατηρύμ ότι καταλήγμ ακριβώς στ ίδι απτέλσμα. 7

8 Eνέργια τυ ηλκτρστατικύ πδίυ (β) Έστω η ζητύμνη ακτίνα. Θα έχμ ότι : π π Q Q e υ θ θ φ 8 π χώρς ( = ) = Ε d = K sin dd d = Θα πρέπι όμως : Q Q ( ) = = = = ( ) = = 8π 8π Παρατηρύμ ότι η νέργια τυ ηλκτρικύ πδίυ της σφαίρας ίναι απθηκυμένη στν χώρ πυ την πριβάλλι μ τ μισό της μέσα στα όρια νητής μόκντρης σφαίρας ακτίνας πυ ίναι διπλάσια από αυτήν της φρτισμένης σφαίρας. (δ)έστω ότι φέρνυμ σ απόσταση δυ μιόμρφα φρτισμένς αγώγιμς σφαίρς ακτίνων και μ φρτία Q και Q αντίστιχα, όπως στ Σχήμα. Η νέργια τυ συνλικύ ηλκτρικύ πδίυ (πυ ισδυναμί μ τη δυναμική νέργια τυ συστήματς των δύ σφαιρών) θα ίναι : = + + ( Ei E) dυ όλς χ ώ ρς Η νέργια αλληλπίδρασης των δυ σφαιρών δν απαιτί τν υπλγισμό τυ λκληρώματς. Γνωρίζντας ότι νόμς τυ Coulomb ισχύι και για σφαιρικές κατανμές φρτίυ, η νέργια αλληλπίδρασής τυς θα ίναι της μρφής πυ ισχύι για δυ σημιακά φρτία. Δηλαδή : Κατά συνέπια : K e QQ Q Q QQ = + + 8π 8π 4π Ο τλυταίς όρς μπρί να αγνηθί από τ άθρισμα άν >> + 8