ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 4 / 5 / 01 ΕΞΕΤΑΣΤΕΣ : ΒΟΥΛΓΑΡΕΛΗΣ Α. ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΗΣ Β. ΔΙΟΛΑΤΖΗΣ Θ. ΘΕΜΑ Α 1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του. (10 μονάδες). Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; (5 μονάδες) 3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Ισχύει. β) Αν δύο τρίγωνα έχουν ίσα εμβαδά, τότε τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα. γ) Η γωνία ενός κανονικού ν-γώνου και η κεντρική του γωνία είναι συμπληρωματικές. δ) Η πλευρά ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο, ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. ε) Σε κύκλο (Ο, R), το εμβαδόν Ε κυκλικού τομέα μ ο δίνεται από τον τύπο (5χ=10 μονάδες) E πr μ ΘΕΜΑ Β Σε ορθογώνιο 90 οι δύο κάθετες πλευρές του είναι 3 και 4. Να υπολογιστούν: 1. οι προβολές των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα. τις διαμέσους και. 3. το εμβαδόν του τριγώνου. 4. τις ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου. ( μονάδες)

2 ΘΕΜΑ Γ Κανονικού πολυγώνου, η ακτίνα R είναι 6 cm και το απόστημά του α είναι 3 cm. Να υπολογιστούν: 1. Το πλήθος ν των πλευρών του. Αν ν=4 να βρεθούν:. η κεντρική του γωνία και η γωνία του πολυγώνου 3. Το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου. 4. Το εμβαδόν του εγγεγραμμένου κύκλου στο κανονικό πολύγωνο ( μονάδες) ΘΕΜΑ Δ Με διάμετρο την πλευρά ΒΓ = α ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ γράφουμε ημικύκλιο προς το ίδιο μέρος που τέμνει τις πλευρές του τριγώνου στα σημεία Δ και Ε. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνο ΟΒΔ και ΟΕΓ είναι ισόπλευρα. β) Nα υπολογισθεί το εμβαδόν του κυκλικού τομέα (ΟΔΒ) συναρτήσει του α. γ) Να υπολογισθούν τα εμβαδά των δύο κυκλικών τμημάτων που βρίσκονται έξω από το τρίγωνο συναρτήσει του α. δ) Να βρεθεί το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΑΔΕ ( μονάδες) Ο Δ/ΝΤΗΣ ΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΕΣ Σ. ΑΝΔΡΕΑΔΕΛΛΗΣ ΒΟΥΛΓΑΡΕΛΗΣ Α. ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΗΣ Β. ΔΙΟΛΑΤΖΗΣ Θ.

3 ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ B ΣΑΞΖ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΓΔΩΜΔΣΡΗΑ ΠΔΜΠΣΖ 7 ΗΟΤΝΗΟΤ Να αποδείξεηε όηι ζε κάθε οπθογώνιο ηπίγυνο ηο ηεηπάγυνο ηος ύτοςρ πος ανηιζηοισεί ζηην ςποηείνοςζα ιζούηαι με ηο γινόμενο ηυν πποβολών ηυν κάθεηυν πλεςπών ηος ζηην ςποηείνοςζα.. Πόηε ένα κςπηό πολύγυνο λέγεηαι κανονικό; Μονάδες 10 Μονάδες 5 3. Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ πος ακολοςθούν γπάθονηαρ ζηην κόλλα ζαρ ηη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα ζηο γπάμμα πος ανηιζηοισεί ζε κάθε ππόηαζη. α. Αν α, β, γ πλεςπέρ ηπιγώνος ΑΒΓ με α < β + γ ηόηε β. Σε ένα κανονικό ν γυνο εγγεγπαμμένο ζε κύκλο ακηίναρ R ιζσύει: α ν +λ ν = R, όπος λ ν η πλεςπά και α ν ηο απόζηημα ηος. γ. Το μήκορ ηόξος μ 0 ενόρ κύκλος (Ο, R) ιζούηαι με: R. 180 δ. Η πλεςπά ενόρ κανονικού ηεηπαγώνος εγγεγπαμμένος ζε κύκλο (Ο, R) ιζούηαι με 4 R. ε. Έναρ ηύπορ για ηον ςπολογιζμό ηος εμβαδού ηπιγώνος ΑΒΓ είναι και ο Δ = η π, όπος π η ακηίνα ηος εγγεγπαμμένος κύκλος ηος ηπιγώνος και η, η ημιπεπίμεηπορ ηος. Μονάδες 5x=10 ΘΔΜΑ Β Έζηυ ηπίγυνο ΑΒΓ με πλεςπέρ α = 6, β = 14, γ = Να βπεθεί ηο είδορ ηος ηπιγώνος υρ ππορ ηιρ γυνίερ ηος.. Να αποδεισθεί όηι ηο εμβαδόν ηος ηπιγώνος είναι ( ) Να ςπολογιζηεί ηο εμβαδόν ηος εγγεγπαμμένος κύκλος (Ι, π) ηος ηπιγώνος ΑΒΓ. 4. Να ςπολογιζηεί ηο μήκορ ηηρ διαμέζος μ β. Μονάδες =5

4 ΘΔΜΑ Γ Σε κύκλο (Ο, R) πποεκηείνοςμε ηην διάμεηπο ΑΒ καηά ημήμα Δ Μ ΒΓ = R και καηά ημήμα ΑΓ = R. Φέπνοςμε ηέμνοςζα ΓΔΜ ηέηοια Γ Α Ο Β Γ ώζηε R Να αποδείξεηε όηι R 3.. Να αποδείξεηε όηι ηο ΓΜ είναι εθαπηόμενο ημήμα. 3. Να ςπολογίζεηε ηην ΓΔ ζε ζςνάπηηζη ηος R. 4. Να ςπολογίζεηε ηο εμβαδόν ηος γπαμμοζκιαζμένος μικηόγπαμμος ηπιγώνος ΜΒΓ. Μονάδες =5 ΘΔΜΑ Γ Σηο διπλανό ζσήμα δίνονηαι: Α 3,, 3 4 Μ μέζο ηηρ ΑΓ και ΜΗ // ΑΒ. Μ Να αποδείξεηε όηι: 1. (ΗΜΔ) = (ΗΔΓ). Γ Δ. (ΗΜΑ)= (ΑΒΗ). 3. ( ) 1. ( ) 3 Β Η Γ Μονάδες 8+8+9=5 Ο ΓΗΔΤΘΤΝΣΖ ΟΗ ΔΗΖΓΖΣΔ

5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ B ΤΑΞΗ ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΡΟ ΟΥ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΤΗ 19 IOYN ΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕ ΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΥΟ () ( ) Ονοµατεπώνυµο: Ονοµατεπώνυµο:.... Α.Κ. Α.Κ.. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Α.Κ. ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του, είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. Μονάδες 10 Α. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήµατος. Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β >α +γ τότε το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο. β. Η δύναµη ενός σηµείου Ρ ως προς κύκλο (O,R) δίνεται από τον τύπο Ρ (O,R) = OΡ + R. α β γ γ. Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ, δίνεται από τον τύπο (ΑΒΓ) =, 4ρ όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου. δ. Για την κεντρική γωνία ω ν κάθε κανονικού πολυγώνου µε ν πλευρές ισχύει o 360 ω =. ν ν ε. Σε κάθε κανονικό πολύγωνο µε ν πλευρές, εγγεγραµµένο σε κύκλο αν ακτίνας R ισχύει λ ν + = R. 4 Μονάδες 5x=10 ΘΕΜΑ Β α 3 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε α= γ και µ α=. Β1. Να δείξετε ότι β= γ 7

6 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ B ΤΑΞΗ Β. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΑΒΓ ως προς τις γωνίες του. γ 7 Β3. Αν Β το ύψος του τριγώνου, να δείξετε ότι: Α = 7 Β4. Βρείτε το λόγο των εµβαδών: ( Β Μ ), όπου Μ το µέσο της πλευράς β. ( ΑΒΓ ) Μονάδες =5 ΘΕΜΑ Γ o Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ( Α = 90 ) µε ΒΓ =0 και τον κύκλο που διέρχεται από τα Α, Γ και τέµνει τις προεκτάσεις των ΒΓ και ΑΒ στα σηµεία και Ζ αντίστοιχα ώστε Β = 1,8, ΑΒ>ΒΖ και ΑΖ= 15. Γ1. Να αποδείξετε ότι ΑΒ =1. Γ. Να υπολογίσετε το µήκος της ΑΓ. Γ3. Αν Κ το µέσο της ΒΓ και Η το µέσο της ΚΓ, να αποδείξετε ότι 3(ΑΚΓ)=8( ΒΗΖ). Μονάδες 9+7+9=5 ΘΕΜΑ ίνεται κύκλος (K,5),η διάµετρος του ΑΒ και ένα σηµείο του Γ διαφορετικό των Α και Β. Η εφαπτόµενη του κύκλου στο Γ τέµνει,τις κάθετες στα άκρα Α και Β της διαµέτρου ΑΒ στα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Έστω Μ το µέσο της ΕΖ. 1. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΚΖ είναι ορθογώνιο.. Να αποδείξετε ότι : ΑΕ ΒΖ=5. 3. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: Ε Ζ. ( Κ,R) ( Κ,R) 4. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τραπεζίου ( ZE) K ΑΒ =ΑΒ Μ. Ζ Μ Γ Ε Α K Β Μονάδες =5 Ο ΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

7 3º Γενικό Λύκειο Σερρών Περίοδος: Μαΐου Ιουνίου 01 ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ : Τάξη : ευτέρα (Β) Μάθηµα : Γεωµετρία Θ Ε Μ Α Τ Α Γραπτών προαγωγικών εξετάσεων περιόδου Μαΐου Ιουνίου 01 των µαθητών της B τάξης στο µάθηµα της Γεωµετρίας ΘΕΜΑ 1 0 Α. Nα αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισµα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών του είναι ίσο µε το τετράγωνο της υποτείνουσας. Μον.10 Β. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις: 1. Αν σε τρίγωνο ισχύει ότι α < β + γ τότε A > Το εµβαδόν τραπεζίου δίνεται από τον τύπο Ε = (Β + β) υ. 3. Για το εµβαδόν τριγώνου ισχύει και ο τύπος Ε = 1 βγηµα. 4. Το µήκος κύκλου δίνεται από τον τύπο L = πr. 5. Αν φ ν η γωνία κανονικού ν-γώνου και ω ν η κεντρική γωνία του τότε φ ν = ω ν. Μον.15 ΘΕΜΑ 0 ίνονται δύο οµόκεντροι κύκλοι (Ο, R) και (Ο, ρ) µε R > ρ. Αν η διάµετρος ΑΒ του κύκλου (Ο, R) τέµνει τον (Ο, ρ) στα σηµεία Γ και και Μ τυχαίο σηµείο του κύκλου (Ο, R) διαφορετικό των Α, Β ενώ Ν τυχαίο σηµείο του (Ο, ρ) διαφορετικό των Γ, να δείξετε ότι: 1. ΝΑ + ΝΒ = ρ + R. Μον.15. MΓ + Μ = ΝΑ + ΝΒ. Μον.10 ΘΕΜΑ 3 0 ίνεται κύκλος (Ο, R) και σηµείο Ρ έξω από αυτόν. Από το Ρ φέρνουµε την τέµνουσα ΡΑΒ έτσι ώστε ΡΑ =ΑΒ και την εφαπτοµένη ΡΚ = R 6. Να δείξετε ότι: 1. ΑΒ = λ 3. Μον.1. Να βρείτε τον λόγο των εµβαδών των τριγώνων ΡΒΚ και ΡΑΚ. Μον.13 ΘΕΜΑ 4 0. ίνεται το τετράγωνο ΑΒΓ µε πλευρά α = 8 cm. Φέρνουµε τις διαγωνίους ΑΓ και Β που τέµνονται στο Ο. Με κέντρο το Α και ακτίνα το ΑΟ κάνουµε τεταρτοκύκλιο µέσα στο τετράγωνο που τέµνει τις πλευρές ΑΒ και Α στα σηµεία Κ και Λ αντίστοιχα. 1. Να βρείτε το εµβαδόν του τετραγώνου ΑΒΓ. Μον. 5. Το µήκος του ΑΟ. Μον Το άθροισµα των εµβαδών των µικτόγραµµων τριγώνων ΚΟΒ και ΛΟ. Μον.10 ΣΕΡΡΕΣ : 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 Ο /ΝΤΗΣ ΟΙ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ

8 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑЇΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 01 1 ο Θέµα Α) Να αποδείξετε ότι η πλευρά λ 6 και το απόστηµα α 6 ενός κανονικού εξαγώνου που είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας R, δίνονται από τους τύπους λ6 = R και α6 R 3 =. (Μονάδες 15) Β) Να γράψετε στην κόλλα απαντήσεων τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω προτάσεις και δίπλα τον χαρακτηρισµό ΣΩΣΤΟ αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ αν η πρόταση είναι λάθος: 1. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α > β + γ, τότε το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο.. Αν δύο τρίγωνα είναι όµοια τότε ο λόγος των εµβαδών τους είναι ίσος µε τον λόγο οµοιότητάς τους. 3. Αν η µ α είναι η διάµεσος τριγώνου ΑΒΓ που αντιστοιχεί στην πλευρά του α, β + γ α τότε: µ α = Το εµβαδό τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο µε Ε= τρ, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραµµένου του κύκλου. 5. Το εµβαδό κυκλικού τοµέα µ κύκλου ακτίνας R, είναι ίσο µε πr µ 360. (Μονάδες 10) ο Θέµα ίνεται ένα ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓ µε τα εξής στοιχεία: ΑΒ / /Γ, ΑΒ< Γ, Αˆ ˆ = = 90, ΑΒ= 4, Α = 3 και ΒΓ= 5. Να υπολογίσετε: Α) την προβολή της ΒΓ πάνω στην Γ, (Μονάδες 8) Β) το εµβαδό του τραπεζίου ΑΒΓ, (Μονάδες 9) Γ) το εµβαδό του τριγώνου ΒΓ. (Μονάδες 8)

9 3 ο Θέµα ίνεται κύκλος ( Ο,R ) και µία χορδή του AB= R. Να υπολογίσετε: Α) Την κυρτή επίκεντρη γωνία ˆω = AOB. (Μονάδες 6) Β) Το µήκος του κυρτού τόξου AB, συναρτήσει της ακτίνας R του κύκλου. (Μονάδες 6) Γ) Το εµβαδό του κυκλικού τοµέα OAB µε αντίστοιχο ( ) τόξο το κυρτό τόξο AB, συναρτήσει της ακτίνας R του κύκλου. (Μονάδες 6) ε1 ) Τον λόγο των εµβαδών ε 1 και ε των κυκλικών ε τµηµάτων στα οποία διαιρείται ο κυκλικός δίσκος ( Ο,R ) από τη χορδή ΑΒ. (Μονάδες 7) 4 ο Θέµα Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α= 13cm, β= 8cm και γ= 7cm. Α) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 6) Β) Να υπολογίσετε τη γωνία του ˆΑ. (Μονάδες 7) Γ) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του είναι ίσο µε 14 3 cm. (Μονάδες 6) ) Να υπολογίσετε την ακτίνα ρ του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου. (Μονάδες 6) ίνονται: συν30 = ηµ60 = ηµ10 = 3, 1 ηµ30 = συν60 =, συν10 1 =. Οδηγίες: 1. Να απαντήσετε σε όλα τα θέµατα.. Όλες οι απαντήσεις να γραφούν στην κόλλα αναφοράς και όχι στην κόλλα των θεµάτων. 3. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας και στο αντίγραφο των θεµάτων. Ο Εισηγητής Νικολόπουλος Αθανάσιος

10 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣΟΥ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΠΕΜΠΤΗ 7 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος του. Δηλαδή, όπου Β και β οι βάσεις του τραπεζίου και υ το ύψος του. Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό κάθε ερωτήματος και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 7 Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( =90 ) και το ΑΔ είναι ύψος. (i) Για την πλευρά ΒΓ ισχύει: Α. Β. Γ. Δ. (ii) Για την πλευρά ΔΓ ισχύει: Α. Β. Γ. Δ. (iii) Για την πλευρά ΑΔ ισχύει: Α. Β. Γ. Δ. (iv) Για την πλευρά ΑΒ ισχύει: Α. Β. Γ. Δ. Μονάδες 8 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας την κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύει, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι πάντα οξυγώνιο. β. Το εμβαδόνe κυκλικού δίσκου ακτίνας R, είναι γ. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση δ. Η πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (O,R) είναι ε. Το εμβαδόν Ε ενός τριγώνου ΑΒΓ με μήκη πλευρών α, β, γ είναι, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Μονάδες 10

11 ΘΕΜΑ Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α = 7, β = 3 και γ = 6. Β1. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του. Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ. Μονάδες 9 Β3. Να υπολογίσετε το μήκος ΔΜ της προβολής της ΑΜ στην ΒΓ. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς ΑΒ = 6 και Ε σημείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε: (ΑΒΓΔ) = 3 (ΔΑΕ). Γ1. Να αποδείξετε ότι ΑΕ = 4. Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι Μονάδες 6 Γ3. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΔΕΓ. Μονάδες 6 Γ4. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Δ από την ΕΓ. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Σε κύκλο ( Ο, R) δίνονται τα διαδοχικά σημεία Α,Β,Γ,Δ τέτοια ώστε: ΑΒ =, ΒΓ =, ΓΔ = R και ΔΑ = R. Οι προεκτάσεις των ΓΔ και ΒΑ τέμνονται στο σημείο Κ. Δ1. Να αποδείξετε ότι η ΒΔ είναι διάμετρος του κύκλου. Μονάδες 6 Δ. Να υπολογίσετε, ως συνάρτηση του R: α. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Μονάδες 6 β. Το μήκος του τμήματος ΓΚ. Μονάδες 8 γ. Το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΚ. Μονάδες 5 Να απαντήσετε στην κόλλα σας σε όλα τα θέματα. Τα σχήματα που θα γίνουν στην κόλλα σας μπορείτε να τα κάνετε και με μολύβι. Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ

12 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ B ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΜΦΙΛΩΝ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 01 EΞETΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της διαμέσου που περιέχεται μεταξύ των πλευρών αυτών, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου της τρίτης πλευράς. ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Κανονικό πολύγωνο Τετράγωνο Εξάγωνο Πλευρά λ ν Απόστημα α ν Κεντρική γωνία ω ν Γωνία φ ν ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ) i. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα. ii. Αν από ένα εξωτερικό σημείο Ρ κύκλου (Ο,R) φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα ΡΕ και μια ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β τότε ισχύει: ΡΕ = ΡΑ ΑΒ. iii. iv. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότε ο λόγος των εμβαδών τους ισούται με το λόγο ομοιότητας τους. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό αν έχει όλες τις πλευρές του ίσες. v. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: α = β +γ βγ.συνα. ΜΟΝΑΔΕΣ 10

13 ΘΕΜΑ Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με α = 5, β = 7 και γ = 3 Β1. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 Β. Αν από το Γ φέρουμε την ΓΔ κάθετη στην ΑΒ, να δείξετε ότι ΒΔ = 5/. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Β3. Να δείξετε ότι η γωνία = ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Β4. Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου μ α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Β5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται το τραπέζιο ΑΒΓΔ για το οποίο ισχύουν: = = 90 0 και ΔΓ = ΑΒ = ΑΔ = 8. Γ1. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ. ΜΟΝΑΔΕΣ 5 Γ. Με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ γράφουμε κύκλο. Να βρείτε το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Γ3. Αν Κ είναι το μέσον της ΒΓ να δείξετε ότι (ΒΔΚ) = (ΑΒΓ). ΜΟΝΑΔΕΣ 1

14 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το διπλανό ημικύκλιο κέντρου Ο και ακτίνας R=10 στο οποίο το μήκος του τόξου ΑΒ είναι 0 3. Δ1. Να δείξετε ότι η γωνία = ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Δ. Να υπολογίσετε τις χορδές ΑΒ και ΒΓ. ΜΟΝΑΔΕΣ 8 Δ3. Αν με κέντρο το Α και ακτίνα ΑΒ γράψουμε κύκλο που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε, να υπολογίσετε το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου χωρίου ΒΕΓ. ΜΟΝΑΔΕΣ 9 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ Ν. ΚΕΦΑΛΑΣ Ν. ΒΑΡΟΥΤΙΔΟΥ