ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

Transcript

1 1

2 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα. ηλαδή: β = α Γ, γ = α Β το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο ΑΒΓ της υποτείνουσας, είναι ίσο µε το άθροισµα των τετράγωνων του κάθετων πλευρών. ηλαδή: α = β + γ το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους, που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, είναι ίσο µε το γινόµενο των προβολών των κάθετων πλευρών στην υποτείνουσα. ηλαδή: υ = Β Γ Θεωρήµατα οξείας ή αµβλείας γωνίας. ε κάθε τρίγωνο το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι οξείας (η αµβλείας) γωνίας είναι ίσο µε το άθροισµα των τετράγωνων των δυο άλλων πλευρών ελαττωµένο (η αυξηµένο) κατά το διπλάσιο γινόµενο της µιας των πλευρών αυτών επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτήν. α = β + γ ± β Α ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ για κάθε γωνία π.χ. την Α, ισχύει µια από τις σχέσεις: Α Α Α > < = L 1 α > β + L 1 α < β + L 1 α = β + Νόµος συνηµίτονων γ γ γ ή ή ε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α,β,γ ισχύει: α = β + γ βγ συναˆ ή β = γ + α αγ συνβˆ ή γ = α + β αγ συνγˆ

3 Θεωρήµατα διαµέσων Το άθροισµα των τετραγώνων δυο πλευρών τριγώνου είναι ίσο µε το διπλάσιο τετράγωνο της διαµέσου της αντίστοιχης στην τρίτη πλευρά, αυξηµένο κατά το µισό τετράγωνο της τρίτης πλευράς. β α + γ = µ α + Η διαφορά των τετραγώνων δυο πλευρών τριγώνου είναι ίση µε το διπλάσιο γινόµενο της τρίτης πλευράς επί την προβολή της αντίστοιχης διαµέσου σε αυτήν. β γ = α Μ (β γ), όπου Μ η προβολή της διαµέσου πάνω στην τρίτη πλευρά. Τύποι ιαµέσων β + γ α µ α =, 4 α + γ β µ β =, 4 β = + α 4 γ µ γ Θεώρηµα τεµνόµενων χορδών. Εάν δυο χορδές ΑΒ και Γ ενός κύκλου τέµνονται στο Ο, ισχύει ότι: ΟΑ ΟΒ = ΟΓ Ο Εάν δυο τµήµατα ΑΒ και Γ (ή οι προεκτάσεις τους) τέµνονται στο σηµείο Ο και ισχύει ότι: ΟΑ ΟΒ = ΟΓ Ο τα σηµεία Α,Β,Γ, θα είναι οµοκυκλικα. ύναµη σηµείου ως προς κύκλο. Έστω σηµείο Ο και ΑΒ τέµνουσα του κύκλου που διέρχεται από το Ο. Ονοµάζουµε ύναµη σηµείου Ο ως προς τον κύκλο (Κ,R) την παράσταση: υν Ο = ΟΑ ΟΒ Εάν το σηµείο Ο είναι εξωτερικό τότε: Εάν το σηµείο Ο είναι εσωτερικό τότε: Θεώρηµα εφαπτόµενης ( Κ,R) υν Κ όπου δ = ΟΚ. (,R) Ο = ΟΑ ΟΒ = δ R υν( Κ,R) Ο = ΟΑ ΟΒ = R δ όπου = ΟΚ δ. Αν από σηµείο Ο εκτός κύκλου (Κ,R) φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΟΕ και µια τέµνουσα ΟΑΒ τον κύκλο, ισχύει ότι: ΟΑ ΟΒ = ΟΕ. ίνεται κύκλος ( K, R), σηµείο Ο εκτός του κύκλου, η τέµνουσα ΟΑΒ και σηµείο Ε του κύκλου. Αν OA OB = OE, το τµήµα ΟΕ είναι εφαπτόµενο στον κύκλο. 3

4 Ερωτήσεις του τύπου «ωστό- άθος» 1. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο. Ισχύει α > β + γ.. Αν γ η µεγαλύτερη πλευρά τριγώνου ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ και γ > α + β, τότε αυτό είναι αµβλυγώνιο. 3. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Ισχύει β < α + γ. 4. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ ισχύειβ < α + γ, τότε το τρίγωνο είναι πάντοτε οξυγώνιο. 5. Για τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος Α, ισχύει ΑΒ = ΒΓ.Β. 6. ε τρίγωνο ΑΒΓ µε Α < 90 ισχύει ΒΓ < ΑΒ + ΑΓ. 7. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ ισχύουν ταυτόχρονα: α < β + γ, β < α + γ, γ < α + β, τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο. 8. Υπάρχει τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ για το οποίο να ισχύουν ταυτόχρονα: α > β + γ, β < α + γ, γ > α + β. 9. Αν γνωρίζουµε τις τρεις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ α, β, γ, τότε συγκρίνοντας το τετράγωνο µιας οποιασδήποτε πλευράς του µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, µπορούµε να διαπιστώσουµε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, οξυγώνιο ή αµβλυγώνιο. 10. Το τρίγωνο που έχει µήκη πλευρών 5, 7, 9 είναι οξυγώνιο. 11. το τρίγωνο ΑΒΓ που έχει διάµεσο την ΑΜ και ύψος το Α ισχύει: AΓ - ΑΒ = ΒΓ. Μ. 11. το διπλανό σχήµα, αν το Α είναι ύψος, ισχύει ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ - Β. Γ. 1. Αν Α η προβολή της πλευράς γ πάνω στη β τριγώνου ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ και ισχύουν ταυτόχρονα: α = β + γ - βα και α = β + γ + βα, τότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. 13. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ = 6 cm, ΑΓ = 8 cm και ΒΓ = 7 cm. Η ΑΜ είναι διάµεσος και το Α είναι ύψος. Το Μ ισούται µε cm. 14. το τρίγωνο ΑΒΓ η µ α είναι διάµεσός του. Ισχύει β + γ = µ α + α. 4

5 15. το τρίγωνο ΑΒΓ η ΑΜ είναι διάµεσος και το Α είναι ύψος. Ισχύει: ΑΒ + ΑΓ = ΑΜ + Μ. 16. Αν γνωρίζουµε τις διάµεσους ενός τριγώνου, µπορούµε να υπολογίσουµε τις πλευρές του. 17. Η απόδειξη των θεωρηµάτων της διαµέσου, µπορεί να γίνει µε τη βοήθεια της γενίκευσης του Πυθαγορείου Θεωρήµατος. 18. το διπλανό σχήµα Ο είναι το κέντρο του κύκλου και Ο = δ, ΟΑ = R. Ισχύει Α.ΑΒ = δ - R. 19. Το σηµείο Ρ είναι εσωτερικό του κύκλου (Ο, R) και ΟΡ = δ < R. Αν µια ευθεία διέρχεται από το Ρ και τέµνει τον κύκλο στα Α, Β, τότε ΡΑ.ΡΒ = R - δ. 0. Η δύναµη σηµείου ως προς κύκλο και η απόσταση του σηµείου από το κέντρο είναι ποσά ανάλογα. 1. ίνονται δύο οµόκεντροι κύκλοι. ηµείο Ρ κινείται στον εξωτερικό κύκλο. Η δύναµη του σηµείου Ρ ως προς τον εσωτερικό κύκλο είναι σταθερή.. το διπλανό σχήµα είναι ΟΓ = 4 cm, Ο = 3 cm και ΟΒ = OA 3 = x. Η τιµή του x είναι cm. 3. Τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και Γ τέµνονται στο σηµείο Ο και είναι ΟΑ = 3 cm, ΟΒ = 6 cm, ΟΓ = cm και Ο = 8 cm. Τα σηµεία Α, Β, Γ, είναι οµοκυκλικά. 5

6 Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 4. το διπλανό σχήµα η Β σε cm ισούται µε: i. 3 ii. 4 iii. 5 iv. 6 v. 7 B x cm 4 cm 5. το διπλανό σχήµα η Γ σε cm ισούται µε: i. ii. 3 iii., iv. 3, v. 3,5 6. το διπλανό σχήµα η Γ σε cm ισούται µε: i. 5,5 ii. 8 iii. 4 iv. 5 v. 4,5 10 cm 7. Αν το µήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου είναι 5 α, τότε τα µήκη των καθέτων πλευρών του είναι: i. 3α, α ii. α, α iii. α, α iv. α, 5 α v. 3 α, α 8. Η διαγώνιος τετραγώνου είναι 4 cm. Το µήκος της πλευράς του σε cm ισούται µε: i. ii. 5 iii. 5, iv. 3 v. 9. Το ευθύγραµµο τµήµα που είναι µέση ανάλογος των ευθυγράµµων τµηµάτων µε µήκη cm και 4 cm έχει µήκος σε cm: i. 8 ii. 3 iii. 6, iv. v το ορθογώνιο τρίγωνο του σχήµατος ισχύει ΑΒ Β =. Ο λόγος ισούται µε: ΑΓ Γ i. 3 ii. 4 iii. 31. το διπλανό σχήµα είναι ΑΒ = 4 cm, ΒΓ = 5 cm και το Α ύψος και η γωνία ΒΑ = 30. Το µήκος της πλευράς ΑΓ σε cm ισούται µε: i. 3 ii. 41 iii. 10 iv. 1 v. 0 Γ A B 3 cm A B A A 6 cm x cm 4 cm 6 cm x cm B Γ Γ Γ 3. Aν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ = ΑΓ + ΒΓ, τότε το τρίγωνο είναι: i. Ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Β ii. Ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Α 6

7 ii. Ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Γ 33. Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος ισχύει: i. ΑΒ = Β ΒΓ ii. ΑΓ = ΑΒ Α iii.α = Β Γ iv.α = Β ΒΓ v.αβ = Β Γ vi.αγ = Γ ΒΓ B A Γ 34. Για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήµατος, στο οποίο η Α είναι ύψος και η ΑΜ διάµεσος, ισχύει: i. ΑΒ = ΒΓ Β B Μ ii. ΑΒ = ΑΜ ΒΓ + - ΑΓ iii.αβ = ΑΜ + ΒΜ iv.αβ = ΒΓ - ΑΓ v.αβ = Β + Α vi.αβ = ΒΓ + ΒΜ το διπλανό σχήµα είναι ΑΒ = 4 cm, ΒΓ = 5 cm και το Α ύψος και η γωνία ΒΑ = 30. Το µήκος της πλευράς ΑΓ ισούται µε: Α. 3 Β. 41 Γ Ε. 0 A Γ 36. το διπλανό σχήµα ισχύει: Α. γ = β + α + αγ Β. γ = β - α - αβ Γ. β = α + γ + αγ. β = α + γ αγ Ε. β = γ + Γ 37. ε τρίγωνο ΑΒΓ µε Α < 90 φέρνουµε τα ύψη Β και ΓΕ. Από τις παρακάτω ισότητες λανθασµένη είναι: Α. α = β + γ - βα Β. α = β + γ - γαε Γ. α = Β + Γ. α = β + γ + βα Ε. α = ΕΒ + ΕΓ 38. ε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ ισχύει α = β + γ + βγ. Αν Α είναι η προβολή της πλευράς γ = ΑΒ στην ΑΓ τότε η γωνία ΑΒ είναι: Α. 45 Β. 30 Γ Ε. 15 7

8 39. το τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α = 90, β > γ, το Α ύψος και η ΑΜ = µ α διάµεσος. Από τις παρακάτω σχέσεις λανθασµένη είναι: Α. β + γ = 4ΑΜ Β. β - γ = α Μ Γ. β = µ α + ΜΓ + α Μ. β + γ = µ α + α Ε. γ + µ α = Α + BM 40. το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90 ) είναι: Α. β + γ = µ α Β. β + γ = µ α. β + γ = 4µ α Ε. β + γ = 5µ α Γ. β + γ = 3µ α 41. Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει ΑΒ < ΑΓ, την ΑΜ διάµεσο και το Α ύψος. Ισχύει: Α. ΑΓ - ΑΒ = ΒΓ.Γ Β. ΑΒ - ΑΓ = ΒΓ. Μ Γ. ΑΒ + ΑΓ = ΒΓ. Μ. ΑΓ + ΑΒ = ΑΜ. Μ Ε. κανένα από τα προηγούµενα 4. ε τρίγωνο ΑΒΓ µε πλευρές α, β, γ ισχύει: α = β + γ - βα, όπου Α η προβολή της γ πάνω στη β. Αν έχουµε β < Α, τότε: Α. Γ < 90 Β. Γ > 90 Γ. Γ = 90. Α > 90 Ε. Β > Αν α = 10 cm, β = 9 cm και γ = 7 cm είναι τα µήκη πλευρών τριγώνου ΑΒΓ τότε η προβολή Α της πλευράς γ πάνω στη β σε cm είναι: Α. 5 3 Β. 8 Γ Ε το διπλανό τρίγωνο είναι ΑΒ = 5 cm, ΑΓ = 7 cm και ΒΓ = 6 cm. Η ΑΜ είναι διάµεσος και το Α είναι ύψος. Το Μ έχει µήκος: Α. 1 Β. Γ.,5. 3 Ε το διπλανό σχήµα είναι Α = cm, Β = 9 cm, = 6 cm. Για να είναι οµοκυκλικά τα σηµεία Α, Γ, Β και, το Γ πρέπει να ισούται µε: Α. 6 9 Γ.. 6 Β Ε. 3 A Γ 6 9 B 8

9 46. το διπλανό σχήµα η σωστή σχέση είναι: Α. ΡΑ.ΡΓ = Ρ.ΡΒ Β. ΡΑ.ΡΒ = ΡΓ.Ρ Γ. ΡΑ.ΑΒ = ΡΓ.Γ. ΡΑ.Ρ = ΡΓ.ΡΒ Ε. ΡΑ.Γ = ΡΓ.ΑΒ 47. το διπλανό σχήµα η σωστή σχέση είναι: Α. ΡΑ.ΑΒ = ΡΓ.Γ Β. ΡΑ.ΡΒ = ΡΓ.Ρ Γ. ΡΑ.Ρ = ΡΓ.ΡΒ. ΡΑ.Γ = ΡΓ.ΑΒ Ε. ΡΑ.ΡΓ = ΑΒ.Γ 48. ε κύκλο (Ο, R) θεωρούµε τη χορδή ΑΒ. ηµείο Ρ µετακινείται πάνω στη χορδή. Η δύναµη του σηµείου Ρ ως προς τον κύκλο γίνεται µέγιστη όταν: Α. το Ρ είναι ένα από τα άκρα Α και Β Β. το Ρ είναι µέσο της ΑΒ Γ. οποιοδήποτε σηµείο της ΑΒ. το Ρ διαιρεί το ΑΒ σε µέσο και άκρο λόγο Ε. κανένα από τα παραπάνω 9

10 Ερωτήσεις αντιστοίχησης 49. Να αντιστοιχήσετε κάθε είδος τριγώνου που βρίσκεται στη στήλη (Α) µε την αντίστοιχη τριάδα αριθµών που βρίσκεται στη στήλη (Β) και µπορεί να αποτελεί µήκη των πλευρών του. στήλη Α Είδος τριγώνου οξυγώνιο ορθογώνιο αµβλυγώνιο στήλη Β µήκη ευθυγράµµων τµηµάτων 7, 4, 5, 3, 4 3, 7, 4 5, 7, 8 7, 4, 50. τη στήλη (Α) έχουµε είδη µιας γωνίας τριγώνου ΑΒΓ και στη στήλη (Β) σχέσεις µεταξύ των πλευρών του. Να αντιστοιχήσετε σε κάθε γωνία της στήλης (Α) την αντίστοιχη σχέση από τη στήλη (Β). στήλη Α Α = 90 Α < 90 Β = 90 Β < 90 στήλη Β β = α - γ α < β + γ α > β + γ α + γ = β γ - β > α β < γ + α γ = α + β 10

11 51. Από κάθε σχήµα της στήλης (Α) προκύπτει µια σχέση της στήλης (Β). Να αντιστοιχήσετε κάθε σχήµα της στήλης (Α) µε την αντίστοιχη σχέση της στήλης (Β). στήλη Α στήλη Β Γ = Α. Β + ΑΒ.ΒΓ Α + Β = ΑΕ + ΕΒ ΑΒ = Α + Β + Β.Α ΑΓ - ΒΓ = Α - Β ΑΒ = ΒΓ + ΑΓ + ΒΓ. Γ Α + Γ = ΑΕ + ΕΓ 11

12 5. το επίπεδο του κύκλου (Ο, R) παίρνουµε σηµείο που απέχει απόσταση δ από το κέντρο Ο του κύκλου. Φέρνουµε από το σηµείο ευθεία που τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β. Να αντιστοιχήσετε κάθε θέση του σηµείου που περιγράφεται στη στήλη (Α) µε την αντίστοιχη τιµή του γινοµένου Α.Β που βρίσκεται στη στήλη (Β). στήλη Α Το σηµείο είναι: στήλη Β Τιµή του γινοµένου Α.Β εσωτερικό του κύκλου δ - R εξωτερικό του κύκλου R - δ 0 πάνω στο κέντρο δ πάνω στον κύκλο R R + δ 1

13 53. Τα άγνωστα µήκη x, ψ, ω που βρίσκονται στα σχήµατα της στήλης (Α) δίνονται στη στήλη (Β). Να αντιστοιχήσετε κάθε σχήµα της στήλης (Α) µε το αντίστοιχο µήκος της στήλης (Β), όπου Α διχοτόµος, ΚΗ ύψος και ΚΜ διάµεσος. στήλη Α στήλη Β

14 Ερωτήσεις διάταξης 54. Αν µ α, µ β, µ γ οι διάµεσοι τριγώνου ΑΒΓ και µ β < µ α < µ γ, να βρείτε τις αντίστοιχες σχέσεις µεταξύ των πλευρών α, β, γ. 55. ίνονται: Μ N (0,3) µε ΟΜ =, (0,4) Ρ µε ΟΝ = 5, (0,5) µε ΟΡ = 4, (0,7) T µε Ο = 7, (0,7) µε ΟΤ = 6. Να γράψετε τα σηµεία Μ, Ν, Ρ,, Τ σε µια σειρά, έτσι ώστε το καθένα από το προηγούµενό του να έχει µεγαλύτερη δύναµη. 56. Το σηµείο Μ ανήκει στον κύκλο (Ο, R). Το σηµείο Ρ είναι εξωτερικό του κύκλου και το σηµείο είναι εσωτερικό του κύκλου. Να γράψετε τις δυνάµεις των σηµείων: Ρ (O,R), (O,R) και (O,R) σε µια σειρά από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη. 14