ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Τελευταία ενηµέρωση: Νοέµβριος 2016) Ανέστης Τσοµίδης Κατερίνη

2 Περιεχόµενα 1 Αναλογίες Το ϑεώρηµα του Θαλή Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων Οµοιότητα Οµοια τρίγωνα Οµοια πολύγωνα Μετρικές σχέσεις Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο Εµβαδά Εµβαδά ϐασικών ευθυγράµµων σχηµάτων Άλλοι τύποι και συµπεράσµατα Κανονικά πολύγωνα και µέτρηση κύκλου Κανονικά πολύγωνα Μέτρηση κύκλου

3 1 Αναλογίες 1.1 Το ϑεώρηµα του Θαλή 1.1. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα µήκη των τµηµάτων x, y Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να εξετάσετε αν τα τµήµατα x, y είναι παράλληλα Από τυχαίο σηµείο Ν της διαµέσου ΑΜ ενός τριγώνου ΑΒΓ, ϕέρνουµε παράλληλες προς τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ που τέµνουν την ΒΓ στα, Ε αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι α) M B = ME ϐ) M = ME. EΓ 1.4. Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Από την κορυφή Γ ϕέρνουµε ευθεία εκτός αυτού, η οποία τέµνει τις ευθείες ΑΒ, Α στα σηµεία Ε, Ζ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι AB AE + A AZ = Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Από την κορυφή Α ϕέρνουµε ευθεία η οποία τέµνει τις Β, ΒΓ, Γ στα σηµεία Ε, Ζ, Θ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι 1 AE = 1 AZ + 1 AΘ Θεωρούµε τραπέζιο ΑΒΓ µε ϐάσεις ΑΒ, Γ. Οι ευθείες Α, ΓΒ τέµνονται στο Κ. Η παράλληλη από το Β προς την ΑΓ τέµνει την Α στο Ε. Να δείξετε ότι KA 2 = K KE Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και ένα σηµείο Κ της διαγωνίου ΑΓ τέτοιο ώστε KΓ = 5KA. Αν η ΒΚ τέµνει την Α στο Ε, να δείξετε ότι BE = 6KE. 2

4 1.8. Εστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ. Αν Ε, Ζ είναι τα ϐαρύκεντρα των τριγώνων ΑΒΓ, Α Γ αντίστοιχα, να δείξετε ότι EZ B Θεωρούµε κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ και σηµείο Ρ της πλευράς ΑΒ. Φέρνουµε P Σ A µε Σ B, ΣT BΓ µε T Γ και T N A µε N AΓ. Να δείξετε ότι P N BΓ. 1.2 Τα ϑεωρήµατα των διχοτόµων Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε AB = 4, AΓ = 5 και BΓ = 6. Φέρνουµε την εξωτερική διχοτόµο ΑΖ και παίρνουµε σηµείο Ε στην ΒΓ τέτοιο ώστε Z Ò AE = 90. α) Να δείξετε ότι η ΑΕ είναι εσωτερική διχοτόµος του τριγώνου ΑΒΓ. ϐ) Να υπολογίσετε τα µήκη των τµηµάτων ΖΒ, ΒΕ και ΕΓ Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε AB = AΓ και σηµεία, Ε στις προεκτάσεις της ΒΓ προς τα µέρη των Β, Γ αντίστοιχα, τέτοια ώστε B = ΓE. Αν ΒΖ, ΓΗ είναι διχοτόµοι των τριγώνων ΑΒ, ΑΓΕ αντίστοιχα, να δείξετε ότι ZH BΓ Οι διχοτόµοι των γωνιών Ò A και Ò B ενός παραλληλογράµµου ΑΒΓ τέµνουν τις διαγωνίους του στα Ε και Ζ. Αποδείξτε ότι EZ AB Θεωρούµε κύκλο διαµέτρου ΑΒ και χορδή Γ κάθετη στην ΑΒ. Αν Μ είναι σηµείο της χορδής Γ και οι ευθείες ΜΑ, ΜΒ τέµνουν τον κύκλο στα Ε, Ζ αντίστοιχα, να δείξετε ότι EΓ E = ZΓ Z Θεωρούµε κύκλο διαµέτρου ΑΒ και χορδή Γ κάθετη στην ΑΒ. Από ένα σηµείο Σ του κύκλου ϕέρνουµε τις ευθείες ΣΓ και Σ που τέµνουν την ΑΒ στα σηµεία Μ, Ν αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AM AN = BM BN Σε τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος Α και η διάµεσος ΑΜ τριχοτοµούν τη γωνία Ò A. Να δείξετε ότι ÒA = 90, Ò B = 60, b Γ = Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε AB < AΓ, τη διχοτόµο του Α και το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ. Η παράλληλη από το Μ προς την Α τέµνει τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι BE = ΓZ = 1 (β + γ). 2 3

5 2 Οµοιότητα 2.1 Οµοια τρίγωνα 2.1. Να αντιστοιχίσετε κάθε τρίγωνο της πρώτης γραµµής µε το όµοιό του στη δεύτερη γραµµή Να ϐρείτε το x σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα Για το σχήµα 1, να δείξετε ότι ΓΕ ΑΒ. Στο σχήµα 2 τα τρίγωνα ΖΗΘ και ΖΚΙ είναι όµοια και ακόµη ΙΚ ΗΘ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΙΚΘΗ είναι εγγράψιµο σε κύκλο. 4

6 2.4. Θεωρούµε τραπέζιο ΑΒΓ µε Ò A = Ò = 90 και ΑΓ Β. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΑΒ και Α Γ είναι όµοια και στη συνέχεια να δείξετε ότι A 2 = AB Γ Από την κορυφή Α παραλληλογράµµου ΑΒΓ ϕέρνουµε ευθεία που τέµνει τις ΒΓ, Γ στα σηµεία Ε, Ζ αντίστοιχα. α) Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΑΒΕ και Α Ζ είναι όµοια. ϐ) Να δείξετε ότι BE Z = AB A Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και τα ύψη του Α και ΒΕ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα Α Γ και ΒΕΓ είναι όµοια. ϐ) Αποδείξτε ότι BΓ 2 = 2AΓ EΓ Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ ϕέρνουµε το ύψος Α. Θεωρούµε σηµείο Ε της ΑΒ τέτοιο ώστε E AB. Να δείξετε ότι A 2 = AΓ E Θεωρούµε κύκλο µε διάµετρο ΑΒ και τις εφαπτόµενες αυτού ε 1, ε 2 στα Α, Β αντίστοιχα. Παίρνουµε τυχαίο σηµείο του κύκλου Ε και οναµάζουµε Μ, Ν τα σηµεία τοµής των ΒΕ, ΑΕ µε τις ε 1, ε 2 αντίστοιχα. Να δείξετε ότι AB 2 = AM BN Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο Ζ της πλευράς ΒΓ. Από τις κορυφές Β, Γ ϕέρνουµε παράλληλες προς την ΑΖ οι οποίες τέµνουν τις ΑΒ, ΑΓ στα σηµεία Η, Ε αντίστοιχα. Να δείξετε ότι 1 AZ = 1 BE + 1 HΓ Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ ϕέρνουµε το ύψος Α. Ονοµά- Ϲουµε Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ είναι όµοια Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ = ΑΓ και Μ το µέσο της πλευράς ΒΓ. Αν σηµείο της πλευράς ΑΒ και Ε σηµείο της πλευράς ΑΓ τέτοια ώστε B EΓ = MB 2, να δείξετε ότι α) M B M ΓE ϐ) Ó ME = Ò B Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και τη διάµεσό του Α. Από τυχαίο σηµείο Μ της πλευράς ΒΓ ϕέρνουµε παράλληλη στη διάµεσο ΑΜ, η οποία τέµνει τις ΑΒ, ΑΓ στα Κ, Λ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το άθροισµα ΜΚ + ΜΛ είναι σταθερό Θεωρούµε δύο κύκλους µε ακτίνες R 1, R 2 οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο Α. Αν ΒΓ είναι ένα κοινό εξωτερικό εφαπτόµενο τµήµα να δείξετε ότι η απόσταση d του Α από τη ΒΓ δίνεται από τον τύπο d = 2R 1R 2 R 1 + R Θεωρούµε κύκλο µε ακτίνα R και την εφαπτοµένη σε σηµείο Α αυτού. Αν Μ είναι σηµείο του κύκλου και d η απόσταση του Μ από την εφαπτοµένη, να δείξετε ότι MA 2 = 2dR Τετράγωνο ΚΛΜΝ πλευράς x έχει τις κορυφές Κ, Λ στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και τις Μ, Ν στις πλευρές ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα. α) Αποδείξτε ότι x(a + υ a ) = a + υ a. ϐ) Αν x/υ a = 2/3, να ϐρείτε το λόγο των περιµέτρων των τριγώνων ΑΝΜ και ΑΒΓ. 5

7 2.2 Οµοια πολύγωνα ύο από τα παρακάτω τετράπλευρα T 1, T 2, T 3 είναι όµοια. Βρείτε τα όµοια τετράπλευρα και το x Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε κέντρο Ο. Αν Κ, Μ, Μ, Ν είναι τα µέσα των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, Ο αντίστοιχα, να δείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι ένα παραλληλόγραµµο όµοιο µε το ΑΒΓ Θεωρούµε τα παραλληλόγραµµα ΑΒΓ και ΕΖΗΘ για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις ÒA = E Ò AB και EZ = A EΘ. Αποδείξτε ότι τα παραλληλόγραµµα ΑΒΓ και ΕΖΗΘ είναι όµοια Για τους ϱόµβους ΑΒΓ και ΕΖΗΘ ισχύει Ò A = Ò E. Αποδείξτε ότι οι ϱόµβοι ΑΒΓ και ΕΖΗΘ είναι όµοιοι Οι πλευρές ενός τετραπλεύρου είναι 3, 4, 5, 6 και είναι όµοιο µε ένα τετράπλευρο που η διαφορά της µικρότερης από τη µεγαλύτερη πλευρά του είναι 2. Να ϐρείτε τις πλευρές του δεύτερου τετραπλεύρου Θεωρούµε τα κυρτά τετράπλευρα ΑΒΓ και ΕΖΗΘ. Τα τµήµατα ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α, ΑΓ είναι ανάλογα προς τα τµήµατα ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ, ΕΗ. Να δείξετε ότι τα τετράπλευρα ΑΒΓ και ΕΖΗΘ είναι όµοια ύο ορθογώνια έχουν ίσες τις γωνίες των διαγωνίων τους. Αποδείξτε ότι είναι όµοια. 6

8 3 Μετρικές σχέσεις 3.1 Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο 3.1. Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ και ύψος Α. Αν AB = 6 και BΓ = 10, να υπολογίσετε τα µήκη των τµηµάτων ΑΓ, Β, Γ, Α Ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ έχει πλευρά α και ύψος υ = 4 3. Να ϐρείτε το µήκος της πλευράς α Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ και ύψος Α. Αν A = 2/ 5 και BΓ = 5, να υπολογίσετε τα µήκη των τµηµάτων Β, Γ Θεωρούµε κύκλο µε κέντρο Κ και µια ακτίνα του KΓ = R. Φέρνουµε χορδή ΑΒ κάθετη στην ακτίνα ΚΓ, που την τέµνει στο. Αν K = a να δείξετε ότι: α) AB 2 = 4(R a)(r + a) και ϐ) AΓ 2 = 2R(R a) ύο κύκλοι (K, a) και (Λ, 2a) εφάπτονται εξωτερικά στο. Αν ΑΒ είναι ένα κοινό εφαπτόµενο τµήµα τους, να δείξετε ότι το τετράπλευρο µε κορυφές Α, Β, Κ, Λ είναι τραπέζιο και να υπολογίσετε το µήκος του ΑΒ ως συνάρτηση του a Θεωρούµε κύκλο µε κέντρο Κ και µια ακτίνα του KA = R. Φέρνουµε χορδή ΒΓ του κύκλου παράλληλη προς την ΚΑ. Να δείξετε ότι AB 2 + AΓ 2 = 4R Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ και διχοτόµο Γ. Αν AB = 3 και AΓ = 4, να υπολογίσετε το µήκος της διχοτόµου Γ ίνεται κύκλος κέντρου Κ και µια διάµετρός του ΑΒ. Σχεδιάζουµε ακόµη ένα κύκλο µε διάµετρο ΚΑ. Σε τυχαίο σηµείο Γ της ΚΑ ϕέρνουµε κάθετη ευθεία, που τέµνει τον κύκλο διαµέτρου ΚΑ στο και τον κύκλο διαµέτρου ΑΒ στο Ε. Αποδείξτε ότι AE 2 = 2A Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΑΒΓ τέµνονται κάθετα. Αποδείξτε ότι AB 2 + Γ 2 = A 2 + BΓ Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε AB < AΓ και ονοµάζουµε Η το ορθόκεντρο του τριγώνου. Αποδείξτε ότι HΓ 2 HB 2 = AΓ 2 AB Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ και ύψος Α. Αν 4AB = 3AΓ, να δείξετε ότι 16 B = 9 Γ Θεωρούµε κύκλο κέντρου Κ, διαµέτρου AB = 2R και δύο κάθετες ακτίνες ΚΓ, Κ. Αν Ε, Ζ είναι οι προβολές των Γ, αντίστοιχα πάνω στην ΑΒ, να δείξετε ότι α) K EΓ = K Z και ϐ) KE 2 + KZ 2 = R ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ και Ε σηµείο της διαγωνίου του Β. Να δείξετε ότι AB 2 AE 2 = EB E. 7

9 3.2 Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι AB = 3, BΓ = 5, AΓ = 7. α) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο και να υπολογίσετε τη γωνία Ò B. ϐ) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΒΓ. γ) Να υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΑΓ Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε Ò A = 120 και γ = 1. α) Να υπολογίσετε το µήκος της προβολής της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΑΓ. ϐ) Να δείξετε ότι a 2 = β 2 + β Θεωρούµε τραπέζιο ΑΒΓ µε ϐάσεις ΑΒ, Γ τέτοιες ώστε Γ = 2AB. Να δείξετε ότι AΓ 2 + B 2 = BΓ 2 + Γ 2 + A Θεωρούµε δύο οµόκεντρους κύκλους C 1, C 2 µε ακτίνες R, r αντίστοιχα και R > r. Αν ΑΒ είναι µια διάµετρος του C 2 και Μ ένα σηµείο του C 1, να δείξετε ότι MA 2 + MB 2 = 2(R 2 + r 2 ) (Θεώρηµα Stewart) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σηµείο της πλευράς ΒΓ, όπως στο σχήµα που ακολουθεί. α) Εφαρµόστε το νόµο συνηµιτόνων στα τρίγωνα Α Γ και ΑΒ για να υπολογίσετε τα β 2 και γ 2 αντίστοιχα. ϐ) Με τη ϐοήθεια των αποτελεσµάτων του (α) να δείξετε ότι: x 2 = µ β2 + ν γ 2 a µ ν. 8

10 4 Εµβαδά 4.1 Εµβαδά ϐασικών ευθυγράµµων σχηµάτων 4.1. Ενα ορθογώνιο µε διαστάσεις x, x + 2 και ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε µήκη καθέτων πλευρών x, 6x είναι ισεµβαδικά. Να ϐρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου και µήκη των πλευρών του τριγώνου Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του Α και ΓΕ. Αν AB = 5, BΓ = 8 και A = 4 να ϐρείτε το µήκος του ύψους ΓE Ενα τετράγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 4cm έχουν την ίδια περί- µετρο. Να ϐρείτε το εµβαδό του τετραγώνου Οι διαγώνιοι ενός ϱόµβου έχουν µήκη 16cm και 12cm. Να ϐρείτε το εµβαδό του ϱόµβου και µήκος του ύψους από µια κορυφή του Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε A = 6, Γ = 8. Φέρνουµε τα ύψη ΑΚ και ΓΛ. Να δείξετε ότι AK ΛΓ = Ενα παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο 48 και το ένα του ύψος είναι διπλάσιο του άλλου. Να ϐρείτε τα µήκη των πλευρών του παραλληλογράµµου Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε A = 3, AB = 6 και σηµεία Ε, Ζ στις πλευρές ΑΒ, Γ αντίστοιχα τέτοια ώστε E BZ και BE = 2. Να ϐρείτε την απόσταση των ευθειών Ε, ΒΖ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και κύκλος (K, R) που έχει το κέντρο του στην πλευρά ΒΓ και εφάπτεται των πλευρών ΑΒ, ΑΓ. Να δείξετε ότι R(β + γ) = 2(ABΓ) Θεωρούµε τετράπλευρο ΑΒΓ περιγεγραµµένο σε κύκλο µε κέντρο Κ. Αποδείξτε ότι (KAB) + (KΓ ) = 1 2 (ABΓ ) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα µέσα, Ε, Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα. α) Πόσα παραλληλόγραµµα µπορείτε να ϐρείτε στο σχήµα; ϐ) Αν (ABΓ) = 20, να ϐρείτε το εµβαδό του τριγώνου ΕΖ Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και σηµείο Ε της διαγωνίου ΑΓ. Από το Ε ϕέρνουµε παράλληλες ευθείες προς τις πλευρές του. Αποδείξτε ότι τα παραλληλόγραµµα που ϐρίσκονται εκατέρωθεν της διαγωνίου ΑΓ είναι ισεµβαδικά Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ, τη διάµεσό του Α και τα µέσα Ε, Ζ των τµηµάτων ΑΒ, Α αντίστοιχα. Από το Α ϕέρνουµε ευθεία ε παράλληλη στην ΒΓ. Αν Η είναι τυχαίο σηµείο της ε, να δείξετε ότι ( EZ) = 1 4 (H Γ). 9

11 4.13. ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τυχαίο σηµείο Μ της πλευράς ΑΒ. Να δείξετε ότι (MA ) + (MBΓ) = 1 2 (ABΓ ) ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και τυχαίο σηµείο Μ της διαγωνίου ΑΓ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΒΓ και Μ Γ είναι ισεµβαδικά ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και το µέσο Μ της διαγωνίου Β. Από το Μ ϕέρνουµε ευθεία ε που τέµνει τις πλευρές ΑΒ, Γ στα Ε, Ζ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι (AEZ ) = (EBΓZ) ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ϐάσεις ΑΒ, Γ και Μ το µέσο της διαµέσου του. Από το Μ ϕέρνουµε ευθεία ε που τέµνει τις πλευρές ΑΒ, Γ στα Ε, Ζ αντίστοιχα. Αποδείξτε ότι (AEZ ) = (EBΓZ) Να υπολογίσετε το εµβαδό του γραµµοσκιασµένου µέρους του παρακάτω σχή- µατος ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ϐάσεις ΑΒ, Γ. Οι ευθείες Α και ΒΓ τέµνονται στο Ε. Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΕΒ και ΕΑΓ είναι ισεµβαδικά Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ, AB = 4 και b Γ = 30. Φέρνουµε τη µεσοκάθετη της ΒΓ η οποία τέµνει την ΒΓ στο Μ και την ΑΓ στο Ν. Υπολογίστε το εµβαδό του τετραπλεύρου ΑΒΜΝ Θεωρούµε τραπέζιο ΑΒΓ µε ϐάσεις Γ = a, AB = β µε a > β. Αν υ είναι το ύψος του τραπεζίου και Κ το σηµείο τοµής των διαγωνίων ΑΓ, Β να δείξετε ότι (K Γ) (KAB) = (a β)υ Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και σηµεία, Ε στην πλευρά του ΒΓ τέτοια ώστε B = ΓE < BΓ/2. Η παράλληλη της ΑΒ από το τέµνει την ΑΓ στο Ζ και οι ΒΖ, ΑΕ τέµνονται στο Η. Να δείξετε ότι (HAB) = (HEΓZ) Θεωρούµε τρίγωνο ΜΑΒ και ϕέρνουµε από το Μ ευθεία ε η οποία δεν τέµνει το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. Παίρνουµε στην ε σηµεία Γ, τέτοια ώστε το Μ να είναι το µέσο του Γ. Να δείξετε ότι (AB ) + (ABΓ) = 2(MAB). 10

12 4.2 Αλλοι τύποι και συµπεράσµατα Ενα τρίγωνο ΑΒΓ έχει a = 3, β = 12, b Γ = 60 και είναι ισεµβαδικό µε ισόπλευρο τρίγωνο ΕΖ. Να ϐρείτε το µήκος της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε AB = AΓ = 10 και BΓ = 12. Να υπολογίσετε το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ και στη συνέχεια να ϐρείτε τα µήκη των ακτίνων R, ρ του περιγεγραµµένου και του εγγεγραµµένου κύκλου του ΑΒΓ αντίστοιχα α) Ενα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ έχει διαγωνίους µε µήκη δ 1, δ 2 των οποίων η γωνία είναι ω. Να δείξετε ότι (ABΓ ) = 1 2 δ 1δ 2 ηµω. ϐ) Ενα κυρτό τετράπλευρο ΕΖΗΘ έχει ίσες διαγωνίους και είναι ισεµβαδικό µε τετράγωνο ΙΚΛΜ. Το µήκος της πλευράς του ΙΚΛΜ είναι ίσο µε το µισό του µήκους µιας διαγωνίου του ΕΖΗΘ. Να ϐρείτε την οξεία γωνία των διαγωνίων του ΕΖΗΘ α) Για οποιουσδήποτε ϑετικούς πραγµατικούς αριθµούς α, ϐ να δείξετε ότι Œ a + β 2 aβ 2 και να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα. ϐ) Να ϐρείτε τη µέγιστη τιµή του εµβαδού τριγώνου ΑΒΓ µε AB = 3, AΓ = 4. γ) Να ϐρείτε τη µέγιστη τιµή του εµβαδού τριγώνου ΑΒΓ µε AB + AΓ = ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του Α προς την υποτείνουσα ΒΓ. Αν Ε είναι σηµείο της πλευράς ΑΓ και E AΓ να δείξετε ότι τα τρίγωνα Α Γ και Α Ε είναι όµοια και ακόµη (A E) (A Γ) = γ2 a ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε β = 2γ και Μ το µέσο της πλευράς ΑΓ. Παίρνουµε σηµείο στην πλευρά ΒΓ τέτοιο ώστε BΓ = 3B. Αποδείξτε ότι α) (BM ) ( MΓ) = 1 2 και ϐ) (M Γ) (ABΓ) = Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε AB = 3, BΓ = 5, AΓ = 4. Κατασκευάζουµε εκτός του τριγώνου τα τετράγωνα ΒΕ Γ, ΑΓΙΘ και ΒΑΛΚ. α) Να υπολογίσετε τα εµβαδά των τριγώνων ΒΚΕ, Γ Ι και ΑΘΛ. ϐ) Να υπολογίσετε το εµβαδό του πολυγώνου ΙΘΛΚΕ Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουµε την πλευρά ΑΒ προς το µέρος του Β κατά τµήµα B = AB, την πλευρά ΒΓ προς το µέρος του Γ κατά τµήµα ΓE = BΓ και την πλευρά ΓΑ προς το µέρος του Α κατά τµήµα AZ = ΓA. Να δείξετε ότι ( EZ) = 7(ABΓ). 11

13 5 Κανονικά πολύγωνα και µέτρηση κύκλου 5.1 Κανονικά πολύγωνα 5.1. Αποδείξτε ότι τα µέσα των πλευρών κανονικού εξαγώνου είναι κορυφές κανονικού εξαγώνου Αποδείξτε ότι τα σηµεία τοµής των διαγωνίων κανονικού πενταγώνου είναι κο- ϱυφές κανονικού πενταγώνου Θεωρούµε κανονικό πολύγωνο µε ακτίνα R = 8 και απόστηµα a ν = 4 3. Να ϐρείτε την πλευρά του, το πλήθος των κορυφών του και την κεντρική του γωνία Να εξετάσετε αν υπάρχει κανονικό πολύγωνο µε κεντρική γωνία ίση µε Ο λόγος των αποστηµάτων δύο κανονικών δεκαγώνων είναι 3/4. Να ϐρείτε το λόγο των περιµέτρων και το λόγο των εµβαδών τους Σε κύκλο ακτίνας R = 3 είναι εγγεγραµµένο το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και περιγεγραµµένο το ισόπλευρο τρίγωνο ΕΖ. Να ϐρείτε τα µήκη των πλευρών αυτών των τριγώνων Θεωρούµε κύκλο ακτίνας R = 4 και τις χορδές του AB = λ 5, BΓ = λ 20. Αποδείξτε ότι AΓ = 4 2 και (ABΓ) = 2 4 λ 5λ Αν a ν είναι το απόστηµα ενός κανονικού ν-γώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο ακτίνας R και R είναι η ακτίνα του περιγεγραµµένου στον ίδιο κύκλο κανονικού ν-γώνου, να δείξετε ότι R = R2 a ν Το κανονικό ν-γωνο Π είναι εγγεγραµµένο, ενώ το κανονικό ν-γωνο Π περιγεγραµµένο στον ίδιο κύκλο ακτίνας R. Αν (Π ) = 2(Π), να δείξετε ότι ν = Θεωρούµε κανονικό εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ εγγεγραµµένο σε κύκλο (O, R). Οι προεκτάσεις των ΑΒ, Γ τέµνονται στο Η. Να ϐρείτε συναρτήσει του R το εµβαδό του τριγώνου ΗΑ Θεωρούµε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (O, R). Στην προέκταση της ΑΒ προς το Β παίρνουµε σηµείο τέτοιο ώστε B = 2AB. Από το ϕέρνουµε το εφαπτόµενο τµήµα Ε του κύκλου. Να δείξετε ότι E = 3λ Θεωρούµε τετράγωνο ΑΒΓ εγγεγραµµένο σε κύκλο (O, R). Στις προεκτάσεις των ΑΒ, ΒΓ, Γ, Α παίρνουµε τµήµατα BK = ΓΛ = M = AN = R 3. Να δείξετε ότι το ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο και να ϐρείτε ως συνάρτηση του R την ακτίνα του περιγεγραµµένου του κύκλου Θεωρούµε κανονικό πεντάγωνο ΑΒΓ Ε του οποίου οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΕ τέµνονται στο Σ. α) Αποδείξτε ότι AB ΓE και ότι τα τρίγωνα ΑΒΣ και ΣΓΕ είναι όµοια. ϐ) Αποδείξτε ότι BΣ AB = EΣ BE και 12 1 AB + 1 BE = 1 BΣ.

14 5.2 Μέτρηση κύκλου Το µήκος ενός κύκλου είναι ίσο µε την περίµετρο ενός τετραγώνου. Αποδείξτε ότι ο κύκλος έχει το µεγαλύτερο εµβαδό Θεωρούµε δύο οµόκεντρους κύκλους C 1, C 2 µε ακτίνες R 1, R 2 όπου R 1 > R 2. Φέρνουµε χορδή ΑΒ του C 1 η οποία εφάπτεται του C 2 στο Μ. Αποδείξτε ότι το εµβαδό του κυκλικού δακτυλίου που ορίζεται από τους C 1, C 2 είναι ίσο µε το εµβαδό κύκλου που έχει ακτίνα το τµήµα ΑΜ Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα ΒΓ. Σχεδιάζουµε µε δια- µέτρους τις πλευρές του τριγώνου ηµικύκλια εκτός αυτού. α) Αποδείξτε ότι το εµβαδό του ηµικυκλίου διαµέτρου ΒΓ είναι ίσο µε το άθροισµα των εµβαδών των ηµικυκλίων µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ. ϐ) Εξετάστε αν το µήκος του ηµικυκλίου διαµέτρου ΒΓ είναι ίσο µε το άθροισµα των µηκών των ηµικυκλίων µε διαµέτρους ΑΒ, ΑΓ ίνεται κύκλος (O, R) και µια ακτίνα του ΟΑ. Φέρνουµε τη χορδή ΒΓ κάθετη στην ΟΑ στο µέσο της Μ. Αποδείξτε ότι BΓ = R 3 και να ϐρείτε το εµβαδό του κυκλικού τµήµατος ΒΑΓ ίνεται κύκλος (O, R) και τα σηµεία του Α, Β τέτοια ώστε A Ò OB = 60. Φέρνουµε την εφαπτοµένη του κύκλου στο Α και από το Β κάθετη στην εφαπτοµένη που την τέµνει στο Γ. Να ϐρείτε την περίµετρο του µεικτόγραµµου τριγώνου ΑΒΓ και το εµβαδό του Θεωρούµε κύκλο (O, R) και δύο κάθετες ακτίνες του ΟΑ, ΟΒ. Με διάµετρο την ΑΒ γράφουµε εκτός του κύκλου ηµικύκλιο. Να ϐρείτε το εµβαδό και την περίµετρο του σχηµατιζόµενου µηνίσκου Θεωρούµε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς a. Με διάµετρο την ΒΓ γράφουµε ηµικύκλιο που τέµνει τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ στα, Ε αντίστοιχα. α) Να ϐρείτε την περίµετρο του µεικτόγραµµου τριγώνου Α Ε. ϐ) Να ϐρείτε το άθροισµα των εµβαδών των δύο κυκλικών τµηµάτων που ϐρίσκονται εκτός του τριγώνου Θεωρούµε τετράγωνο ΑΒΓ και σχεδιάζουµε εντός αυτού δύο ηµικύκλια µε διαµέτρους Α, Γ τα οποία τέµνονται στο Ε. Να δείξετε ότι το εµβαδό του µεικτόγραµµου τριγώνου ΑΕ είναι ίσο µε το 1/4 του εµβαδού του τετραγώνου ΑΒΓ Θεωρούµε ηµικύκλιο µε κέντρο Ο και διαµέτρου AB = 2R. Στο εσωτερικό του ηµικυκλίου γράφουµε τα ηµικύκλια διαµέτρων ΑΟ και ΟΒ και τον κύκλο κέντρου Κ που εφάπτεται στα τρία ηµικύκλια. α) Αποδείξτε ότι η ακτίνα του κύκλου κέντρου Κ είναι R/3. ϐ) Να ϐρείτε το εµβαδό της επιφάνειας που ϐρίσκεται εντός του ηµικυκλίου διαµέτρου ΑΒ και εκτός των άλλων δύο ηµικυκλίων και του κύκλου. 13

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

Καλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο

ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή ή λάθος Να γράψετε Σ στο τέλος της πρότασης αν αυτή είναι Σωστή και Λ αν αυτή είναι Λάθος: ύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν ίσες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 34 1ο ΣΧΕ ΙΟ ιδακτική ενότητα: Πυθαγόρειο Θεώρηµα ΘΕΜΑ 1ο Α. (1,5 µονάδες) Αν στο διπλανό σχήµα το Α είναι ύψος του τυχαίου τριγώνου ΑΒΓ και Ε ΑΒ,

Διαβάστε περισσότερα

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M

α Εφαρµογές στα τρίγωνα Από τις (1), (2) έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. είναι Οµοίως στο τρίγωνο BM είναι ZE // M Απαντήσεις 51 5. Εφαρµογές των παραλληλογράµµων α Εφαρµογές στα τρίγωνα α.1 Στο τρίγωνο AB Γ είναι Ε // (1) Επίσης Ζ, ΕΗ, άρα Ζ // ΕΗ () Από τις (1), () έχουµε ότι το ΕΗΖ είναι παραλληλόγραµµο. α. Στο

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 )

γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες Β ευθεία (2 ) οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) γεωµετρία του ευκλείδη µε λίγα λόγια για µαθητές α λυκείου (www.sonom.gr) 1 γωνίες µη κυρτή ευθεία ( ) πλήρης (4 ) κυρτή, οξεία (< 1 ) ορθή ( =1 ) αµβλεία ( > 1 ) συµπληρωµατικές παραπληρωµατικές φ ω ω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ.

1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 1. Στο σχήµα που ακολουθεί, η Αx είναι εφαπτοµένη του κύκλου (Ο, ρ) σε σηµείο του Α και επιπλέον ισχύουν ΓΑ x =85 0 και BA =40 0. α) Να αποδείξετε ότι ˆΒ 1=45. β) Να υπολογίσετε τη γωνία φ. 2. Στο ακόλουθο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Γεωµετρίας Β Λυκείου Θέµα 1 Α. Να υπολογίσετε την πλευρά λ και το απόστηµα α τετραγώνου εγγεγραµµένου σε κύκλο (Ο, R) συναρτήσει της ακτίνας R (10 Μονάδες) Β. Να χαρακτηρίσετε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρηµα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν Α ΒΓ, Ε ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 919113 949422 www.syghrono.gr ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 19/ 04/ 2012 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε) 9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ)

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΓΕ) Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Έστω τρίγωνο ΑΒ και έστω, Ε, Ζ τα µέσα των πλευρών ΑΒ, Β και Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι: α) ( ΕΖ) = (ΖΕ) 1 β) ( ΕΖ) = (ΑΒ). 4 2. ** Να δείξετε ότι το εµβαδόν τυχόντος τετραπλεύρου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων

Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρία Β Λυκείου Τράπεζα θεμάτων www.askisopolis.gr η έκδοση - - 0 Μεταβολές από την προηγούμενη έκδοση Αφαιρέθηκαν οι ασκήσεις _90, _900 και _907 Αλλαγές: Στην άσκηση _909 άλλαξε το β ερώτημα, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE

ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου. // ) και BE ΡΑΛΛΕΙΟ ΓΕΛ ΘΗΛΕΩΝ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧ. ΕΤΟΣ 06-7 Επειδή το ζητήσατε κορίτσια μου: Α. ΘΕΩΡΙΑ Τα κεφάλαια: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Γεωμετρίας Β Λυκείου 9 ο Μετρικές σχέσεις, 0 ο Εμβαδά, ο Μέτρηση Κύκλου, την διδαχθείσα ύλη Β.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015

Γεωμετρία Β Λυκείου. Τράπεζα Θεμάτων 18-22/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων 8 -//0 ο Θέμα Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Πατσιμάς Δημήτρης Θεωρήματα διχοτόμων..8.δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ διχοτόμο της γωνίας και Φέρουμε τις διχοτόμους

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 : ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ>ΑΓ) και ΑΔ, ΑΕ η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος του αντίστοιχα. Αν είναι ΑΒ=6, ΔΒ=, ΒΓ=5 και ΒΕ=5, να αποδείξετε ότι: α) ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το μισό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο

ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. ΘΕΜΑ 3 ο ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15)

Αναλογίες. ΘΕΜΑ 2ο. (Μονάδες 5) β) Να υπολογίσετε το ΓΒ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) ΑΒ από το σημείο Γ ; (Μονάδες 15) Αναλογίες 2_20863. Στο παρακάτω σχήμα είναι 12 και 8. α) Να υπολογίσετε τους λόγους και. (Μονάδες 6) β) Να υπολογίσετε το ΑΓ συναρτήσει του κ. (Μονάδες 5) γ) Να υπολογίσετε τον λόγο. Σε τι λόγο λ διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 5 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Σε κύκλο (Ο, R) προεκτείνουµε µία διάµετρο του εκατέρωθεν των και και στις προεκτάσεις παίρνουµε τµήµατα = = R. Έστω ΕΜ τέµνουσα του κύκλου τέτοια ώστε Μ = R 7 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το

ΑΒ ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ) και σηµείο Μ της πλευράς του Α ώστε =. Από το 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ=ΑΓ, Â =36o και η διχοτόµος του Β. α) Να αποδείξετε ότι: i) Τα τρίγωνα Β Γ και ΑΒΓ είναι όµοια. ii) A 2 =ΑΓ Γ β) Αν θεωρήσουµε το ΑΓ ως µοναδιαίο τµήµα (ΑΓ=1), να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ Ο 1. Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει τις AB,AΓ στα Δ,E αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι AΔ = AB

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. β γ α β. α γ β δ. Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Αντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης Α µε την τιµή του στην στήλη Β 1 11.6 11.8 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 50 51 Ερωτήσεις Κατανόησης 1. ντιστοιχίστε κάθε µέγεθος της στήλης µε την τιµή του στην στήλη Στήλη Στήλη Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας Εµβαδόν κυκλικού τοµέα

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε

Θεώρημα Θαλή. μ10. μ 10 γ) Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε,Ζ,Η και Θ των πλευρών του ΑΔ, ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ αντίστοιχα τέτοια, ώστε Θεώρημα Θαλή.8975. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 9 και 5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN =

AΓ BΓ BΓ. = 40 MN = 2 AB + AΓ AN = 1 ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Οι πρωταρχικές έννοιες της Γεωμετρίας είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο. Δεχόμαστε ότι: Από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανάληψη Γεωμετρίας Β Λυκείου

Μεθοδική Επανάληψη Γεωμετρίας Β Λυκείου Μεθοδική Επανάληψη Γεωμετρίας Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr 8ο Κεφάλαιο: Ομοιότητα. Πότε δύο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται όμοια; Τι ονομάζεται λόγος ομοιότητας αυτών; Με τι ισούται ο

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα