Numerička matematika 12. predavanje
|
|
|
- Πρίαμος Μαλαξός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Numerička matematika 12. predavanje Saša Singer web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumMat 2009, 12. predavanje p.1/101
2 Sadržaj predavanja Numerička integracija (nastavak): Ekstrapolacija i Rombergov algoritam. Primjeri za Rombergov algoritam. Integracijske formule visokog stupnja egzaktnosti. Gauss Christoffel formule. Gauss Radau formule. Gauss Lobatto formule. Primjer za težinske Newton Cotesove i Gaussove formule. Osnovna svojstva Gaussovih formula. Gaussove formule i Hermiteova interpolacija. NumMat 2009, 12. predavanje p.2/101
3 Informacije Službeni termin drugog kolokvija je: srijeda, 1. 7., u 12 sati. Rok za predaju zadaća je dan drugog kolokvija, 1. 7., do ponoći (24 sata). Neslužbeni termin popravnog kolokvija je: ponedjeljak, , u 9 sati. Na pod kolegijem Numerička analiza, možete naći naša predavanja. Ako naš web zakaže, ima tamo... NumMat 2009, 12. predavanje p.3/101
4 Informacije nastavak Domaće zadaće iz NM realizacija ide preko web aplikacije. Pogledajte na službeni web kolegija, pod zadaće. Tamo su početne upute. Skraćeni link je Direktni link na aplikaciju za zadaće je Kolegij Numerička matematika ima demonstratora! Sonja Šimpraga termin je četvrtkom, od Pogledajte oglas na oglasnoj ploči za dogovor. NumMat 2009, 12. predavanje p.4/101
5 Informacije nastavak Moja web stranica za Numeričku matematiku je mat/ Skraćena verzija skripte 1. dio (prvih 7 tjedana): mat/num mat1.pdf Skraćena verzija skripte 2. dio (drugih 7 tjedana): mat/num mat2.pdf NumMat 2009, 12. predavanje p.5/101
6 Informacije nastavak Na molbu Sanje Singer i Vedrana Novakovića, za goste je otvorena i web stranica kolegija Matematika 3 i 4 na FSB-u. Tamo možete naći dodatne materijale za neke dijelove NM, posebno vježbe i riješene zadatke. Predavanja su malo nježnija od naših. Početna stranica je Zatim potražite Katedra za matematiku i onda: odete (kliknete) na kolegije Matematika 3 i 4, kliknete na gumb Prijava kao gost, na stranici potražite blok 3 Numerička matematika. Iskoristite! Naravno, smijete pogledati i ostalo! NumMat 2009, 12. predavanje p.6/101
7 Rombergov algoritam NumMat 2009, 12. predavanje p.7/101
8 Općenito o Rombergovom algoritmu Pri izvodu Rombergovog algoritma koristimo se sljedećim principima: udvostručavanjem broja podintervala u produljenoj trapeznoj metodi, eliminacijom vodećeg člana u asimptotskom razvoju greške, iz dvije susjedne produljene formule. Ponovljena primjena ovog principa zove se Richardsonova ekstrapolacija. Za početak, treba objasniti što je to asimptotski razvoj. NumMat 2009, 12. predavanje p.8/101
9 Asimptotski razvoj Da bismo mogli približno izračunati sumu konvergentnog reda neke funkcije f u točki x, oblika f(x) = a n p n (x), n=0 red smo aproksimirali konačnom parcijalnom sumom N f N (x) = a n p n (x). n=0 Time smo podrazumijevali da ostatak reda teži prema nuli, i to po N, za fiksni x lim (f(x) f N(x)) = lim a n p n (x) = 0. N N n=n+1 NumMat 2009, 12. predavanje p.9/101
10 Precizna definicija asimptotskog niza Ako zamijenimo ulogu N i x u konvergenciji razvoja, dobivamo novi pojam asimptotskog razvoja. Pritom red uopće ne mora konvergirati. Precizna definicija asimptotskog razvoja u okolini neke točke bazirana je na definiciji asimptotskog niza u okolini te točke. Definicija. (Asimptotski niz) Neka je D R neka domena i c Cl D neka točka iz zatvarača skupa D, s tim da c može biti i + ili. Nadalje, neka je ϕ n : D R, n N 0, niz funkcija za kojeg vrijedi ϕ n (x) = o(ϕ n 1 (x)) (x c u D), za svaki n N. Tada kažemo da je (ϕ n ) asimptotski niz kad x c u skupu D. NumMat 2009, 12. predavanje p.10/101
11 Precizna definicija asimptotskog razvoja Podsjetnik. Oznaka ϕ n (x) = o(ϕ n 1 (x)) znači da svaka funkcija ϕ n raste bitno sporije od prethodne funkcije ϕ n 1 u okolini neke točke (kod nas c), u smislu da vrijedi lim x c x D ϕ n (x) ϕ n 1 (x) = 0, što uključuje i pretpostavku da je ϕ n 1 (x) 0 na nekoj okolini točke c gledano u skupu D, osim eventualno u samoj točki c. Definicija. (Asimptotski razvoj) Neka je (ϕ n ), n N 0, asimptotski niz kad x c u skupu D. Formalni red funkcija a n ϕ n n=0 NumMat 2009, 12. predavanje p.11/101
12 Precizna definicija asimptotskog razvoja je asimptotski razvoj funkcije f za x c u skupu D, oznaka f(x) a n ϕ n (x) (x c u D), n=0 ako za svaki N N vrijedi relacija asimptotskog ponašanja f(x) = N 1 n=0 a n ϕ n (x) + O(ϕ N (x)) (x c u D), tj. apsolutna greška izmedu f i (N 1)-e parcijalne sume reda raste najviše jednako brzo kao i N-ti član asimptotskog niza, u okolini točke c. NumMat 2009, 12. predavanje p.12/101
13 Euler MacLaurinova formula Asimptotski razvoj pogreške za produljenu trapeznu metodu integracije daje Euler MacLaurinova formula. Teorem. (Euler MacLaurinova formula) Neka su m i n cijeli brojevi takvi da je m 0 i n 1. Definiramo ekvidistantnu mrežu s n podintervala na [a,b], tj. h = b a n, x k = a + kh, k = 0,...,n. Pretpostavimo da je f C (2m+2) [a,b]. Za pogrešku produljene trapezne metode vrijedi E n (f) = b a f(x)dx I T n (f) = m i=1 d 2i n 2i + F n,m, NumMat 2009, 12. predavanje p.13/101
![Definiramo ekvidistantnu mrežu s n podintervala na [a,b], tj. h = b a n, x k = a + kh, k = 0,...,n.](/docs-images/49/20943784/images/page_13.jpg "Pretpostavimo da je f C (2m+2) [a,b].")
14 Euler MacLaurinova formula gdje su koeficijenti a ostatak je F n,m = d 2i = B 2i (2i)! (b a)2i ( f (2i 1) (b) f (2i 1) (a) ), (b a)2m+2 (2m + 2)!n 2m+2 b Ovdje su B 2i Bernoullijevi brojevi, a ( ) x a B 2m+2 f (2m+2) (x)dx. h B i = 1 0 B i (x)dx, i 1, NumMat 2009, 12. predavanje p.14/101
15 Euler MacLaurinova formula a B i je periodičko proširenje običnih Bernoullijevih polinoma { B i (x), za 0 x 1, B i (x) = B i (x 1), za x 1. Dokaz je u klasičnim udžebnicima numeričke analize. U koeficijentima d 2i javljaju se Bernoullijevi brojevi. Osim B 1 = 1, svi ostali neparni Bernoullijevi brojevi su 0, a prvih 2 nekoliko parnih je: B 0 = 1, B 2 = 1, B 6 4 = 1, B 30 6 = 1, B 42 8 = 1, 30 B 10 = 5, B = 691, B = 7, B 6 16 = Nadalje, brojevi B 2i vrlo brzo rastu po apsolutnoj vrijednosti, tako da je B NumMat 2009, 12. predavanje p.15/101
16 Eliminacija člana greške Red u n 2, koji se javlja u asimptotskoj ocjeni pogreške za produljenu trapeznu metodu b m E n (f) = f(x)dx In T d 2i (f) = n + F n,m, 2i a i=1 ne konvergira kad glatkoća m raste u, jer koeficijenti d 2i ne teže prema nuli. Naravno, znamo da E n (f) 0, kad broj podintervala n. Ideja: Ako je funkcija f dovoljno glatka, eliminirati član po član u sumi za grešku, na osnovu izračunatih vrijednosti integrala s n/2 i n podintervala, odnosno, s duljinama koraka 2h i h. NumMat 2009, 12. predavanje p.16/101
17 Izvod Rombergovog algoritma Neka je I (0) n trapezna formula n podintervala. Iz Euler MacLaurinove formule, (ako je funkcija f dovoljno glatka i n paran), za asimptotski razvoj greške imamo I I (0) n I I (0) = d(0) 2 n/2 = 4d(0) 2 n 2 n + d(0) 4 2 n + + d(0) 2m 4 n + F 2m n,m + 16d(0) m d (0) 2m n 4 n 2m + F n/2,m. Želimo eliminirati prvi član greške s n 2, pa prvi razvoj pomnožimo s 4 i oduzmemo mu drugi razvoj. Dobivamo 12d(0) 4(I I n (0) ) (I I (0) n/2 ) = 4 n 4 60d(0) 6 +. n 6 NumMat 2009, 12. predavanje p.17/101
18 Izvod Rombergovog algoritma Premješanjem članova koji imaju I na lijevu stranu, a zatim dijeljenjem, dobivamo I = 4I(0) n I (0) n/2 3 4d(0) 4 n 4 20d(0) 6 +. n 6 Prvi član zdesna uzimamo kao bolju, popravljenu aproksimaciju integrala. Označimo tu aproksimaciju s I (1) n = 4I(0) n I (0) n/2, n paran, n 2. 3 Sada u formuli za grešku, da bismo lakše računali, definiramo d (1) 4 = 4d (0) 4, d (1) 6 = 20d (0) 6,... NumMat 2009, 12. predavanje p.18/101
19 Izvod Rombergovog algoritma Time smo dobili novi integracijski niz I (1) 2,I (1) 4,I (1) 8,... Njegova je greška I I (1) n = d(1) 4 n + d(1) 6 4 n +. 6 Sličan argument kao i prije možemo upotrijebiti i dalje. Eliminirajmo prvi član pogreške iz I n (1) i I (1) n/2, I I (1) n/2 = 16d(1) 4 n d(1) 6 +, n 6 uz uvjet da je funkcija dovoljno glatka i da je n djeljiv s 4. Tada je 16(I I n (1) ) (I I (1) n/2 ) = 48d(1) 6 +, n 6 NumMat 2009, 12. predavanje p.19/101
20 Izvod Rombergovog algoritma odnosno I = 16I(1) n I (1) n/ d(1) n 6 Ponovno, prvi član s desne strane proglasimo za novu aproksimaciju integrala I (2) n = 16I(1) n I (1) n/2, n djeljiv s 4, n Induktivno, nastavljanjem postupka, dobivamo Richardsonovu ekstrapolaciju I (k) n = 4k I n (k 1) 4 k 1 I (k 1) n/2, n 2 k. NumMat 2009, 12. predavanje p.20/101
21 Izvod Rombergovog algoritma Pritom je greška jednaka E (k) n = I I (k) n = d(k) 2k+2 n 2k+2 + = β k (b a)h 2k+2 f (2k+2) (ξ), a ξ b. Sada možemo složiti Rombergovu tablicu I (0) 1 I (0) 2 I (1) 2 I (0) 4 I (1) 4 I (2) NumMat 2009, 12. predavanje p.21/101
22 Poredak računanja Poredak računanja u tablici je sljedeći: Iz ocjene greške možemo izvesti omjere grešaka u stupcu Rombergove tablice, uz pretpostavku dovoljne glatkoće funkcije f. Dobivamo E (k) n E (k) 2n 2 2k+2, NumMat 2009, 12. predavanje p.22/101
23 Omjeri grešaka u Rombergovoj tablici tj. omjeri pogrešaka u stupcu se moraju ponašati kao Puno ilustrativnije od omjera grešaka E n (k) /E (k) 2n 2 2k+2 je promatranje eksponenta omjera grešaka 2k + 2, NumMat 2009, 12. predavanje p.23/101
24 Primjeri za Rombergov algoritam NumMat 2009, 12. predavanje p.24/101
25 Omjeri grešaka u Rombergovoj tablici Pokažimo na primjeru da prethodni omjeri pogrešaka u stupcu vrijede samo ako je funkcija dovoljno glatka. Primjer. Rombergovim algoritmom s točnošću nadite vrijednosti integrala 1 e x dx, 1 x 3/2 dx, 1 xdx i pokažite kako se ponašaju omjeri pogrešaka i eksponenti omjera pogrešaka u stupcima. NumMat 2009, 12. predavanje p.25/101
26 Eksponencijalna funkcija Eksponencijalna funkcija ima beskonačno mnogo neprekidnih derivacija, pa bi se računanje integrala moralo ponašati po predvidanju. Ako usporedujemo vrijednosti samo po dijagonali tablice, nakon 2 5 = 32 podintervala u trapeznoj formuli, dobivamo približnu vrijednost integrala I 5 takvu da je I 5 = I = e 1 = I I 5 = 0. NumMat 2009, 12. predavanje p.26/101
27 Eksponencijalna funkcija Omjeri pogrešaka u stupcima su pa uz malo kreativnog vida vidimo da su omjeri prema predvidanju 4, 16, 64, 256, 1024,... NumMat 2009, 12. predavanje p.27/101
28 Eksponencijalna funkcija Eksponenti omjera pogrešaka su pa ponovno čitamo da su eksponenti omjera pogrešaka 2, 4, 6, 8, 10,... NumMat 2009, 12. predavanje p.28/101
29 Funkcija x 3/2 Funkciji f(x) = x 3/2 puca druga derivacija u 0, pa bi zanimljivo ponašanje moralo početi već u drugom stupcu, jer je za trapez je funkcija dovoljno glatka za ocjenu pogreške. Nakon 2 15 podintervala u trapeznoj formuli, dobivamo približnu vrijednost I 15 = I = 2/5 = I I 15 = Primijetite da je broj intervala poprilično velik! NumMat 2009, 12. predavanje p.29/101
30 Funkcija x 3/2 Što je s omjerima pogrešaka? Nakon prvog stupca omjeri pogrešaka su se stabilizirali. NumMat 2009, 12. predavanje p.30/101
31 Funkcija x 3/2 Bit će nam mnogo lakše provjeriti što se dogada ako napišemo samo eksponente omjera pogrešaka Eksponenti omjera pogrešaka od drugog stupca nadalje su za točno 1 veći od eksponenta same funkcije (integriramo!). NumMat 2009, 12. predavanje p.31/101
32 Funkcija x Situacija s funkcijom f(x) = x mora biti još gora, jer njoj puca prva derivacija u 0. Nakon 2 15 podintervala u trapeznoj formuli, ne dobivamo željenu točnost I 15 = I = 2/3 = I I 15 = NumMat 2009, 12. predavanje p.32/101
33 Funkcija x Omjeri pogrešaka u tablici su: NumMat 2009, 12. predavanje p.33/101
34 Funkcija x Pripadni eksponenti su U posljednja dva primjera, Rombergovom algoritmu se može pomoći tako da supstitucijom u integralu dobijemo glatku funkciju. U oba slučaja, supstitucija je x = t 2. NumMat 2009, 12. predavanje p.34/101
35 Zadatak Ako u posljednjem integralu promijenimo granice integracije 2 x dx što mislite kojoj će se funkciji iz prethodnog primjera najsličnije ponašati omjeri pogrešaka? 1 NumMat 2009, 12. predavanje p.35/101
36 Druge oznake U literaturi postoji i drugačija oznaka za aproksimacije integrala u Rombergovoj tablici T (k) m = 4m T (k+1) m 1 4 m 1 T (k) m 1. Sama tablica ima oblik T (0) 0 T (1) 0 T (0) 1 T (2) 0 T (1) 1 T (0) NumMat 2009, 12. predavanje p.36/101
37 Još malo o Rombergovoj tablici Tvrdnja. Drugi stupac Rombergove tablice odgovara produljenoj Simpsonovoj formuli redom s 2, 4,... podintervala. Nadimo eksplicitnu formulu za I (1) n. Ako trapezna formula ima n podintervala, onda je pripadni h = (b a)/n, n/2 podintervala, onda je pripadni h 1 = 2(b a)/n = 2h. Iz trapeznih formula za n i n/2 podintervala, I (0) n = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f n 1 + f n ) I (0) n/2 = h 1 2 (f 0 + 2f 2 + 2f n 2 + f n ), NumMat 2009, 12. predavanje p.37/101
38 Još malo o Rombergovoj tablici uvrštavanjem u I (1) n, dobivamo I (1) n = 4I(0) n I (0) n/2 3 = 4 3 h 2 (f 0 + 2f f n 1 + f n ) 1 3 h1 2 (f 0 + 2f f n 2 + f n ) = 2h 3 (f 0 + 2f f n 1 + f n ) h 3 (f 0 + 2f f n 2 + f n ) = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f f n 2 + 4f n 1 + f n ), što je Simpsonova formula s n podintervala. NumMat 2009, 12. predavanje p.38/101
39 Zadatak Odgovaraju li ostali stupci u Rombergovoj tablici sljedećim Newton Cotesovim formulama (Simpsonovoj formuli 3/8, Booleovoj formuli,... )? Na sreću, odgovor je ne! U protivnom, Rombergov algoritam ne bi konvergirao, recimo za funkciju Runge. Za točnost 10 12, ako usporedujemo dijagonalni dio tablice, potrebno je 2 10 = 1024 podintervala, a dobiveni rezultat je I 10 = I = I I 10 = NumMat 2009, 12. predavanje p.39/101
40 Oprez s oscilirajućim funkcijama Primjer. Korištenjem Rombergovog algoritma izračunajte približnu vrijednost integrala 1 sin(17πx) dx tako da greška bude manja ili jednaka Podintegralna funkcija je relativno brzo oscilirajuća i ima 17 grba. Tablicu ispisujemo samo na prvih par decimala (a računamo u punoj točnosti tipa extended). NumMat 2009, 12. predavanje p.40/101
41 Oprez s oscilirajućim funkcijama Rombergova tablica: Rezultat (sa svim znamenkama): I 7 = I I 7 = I = NumMat 2009, 12. predavanje p.41/101
42 Oprez s oscilirajućim funkcijama Što je razlog stabilizacije oko jedne, pa oko druge vrijednosti? Nedovoljan broj podintervala u trapeznoj formuli, koji ne opisuje dobro ponašanje funkcije. Rješenje problema: u svaku grbu treba staviti barem nekoliko točaka. Sljedeće slike nam to zorno i pokazuju. Tek kad smo stavili 16 točaka u trapeznu formulu, stavili smo skoro jednu točku po grbi i trapezna formula je počela prepoznavati oblik podintegralne funkcije. NumMat 2009, 12. predavanje p.42/101
43 Oprez s oscilirajućim funkcijama y x Produljena trapezna formula s 2 podintervala. NumMat 2009, 12. predavanje p.43/101
44 Oprez s oscilirajućim funkcijama y x Produljena trapezna formula s 4 podintervala. NumMat 2009, 12. predavanje p.44/101
45 Oprez s oscilirajućim funkcijama y x Produljena trapezna formula s 8 podintervala. NumMat 2009, 12. predavanje p.45/101
46 Oprez s oscilirajućim funkcijama y x Produljena trapezna formula sa 16 podintervala. NumMat 2009, 12. predavanje p.46/101
47 Zadatak Korištenjem Rombergovog algoritma izračunajte približnu vrijednost integrala 1 sin(257πx) dx 0 tako da greška bude manja ili jednaka Oprez, ako u Rombergovom algoritmu ne zahtijevate stavljanje dovoljnog broja podintervala, dobiveni rezultat bit će pogrešan! NumMat 2009, 12. predavanje p.47/101
48 Trapez može biti brži od Romberga Primjer. Korištenjem Rombergovog algoritma izračunajte približnu vrijednost integrala 1 e cos(πx) cos(πx)dx 0 tako da greška bude manja ili jednaka U ovom primjeru dogada se zanimljiv fenomen: produljena trapezna formula može brže izračunati točan rezultat nego Rombergov algoritam. Razlog: Dobro ponašanje produljene trapezne formule za periodičke funkcije! NumMat 2009, 12. predavanje p.48/101
49 Trapez može biti brži od Romberga Početni dio Rombergove tablice: Crveno označeni brojevi imaju sve znamenke točne. Rombergov algoritam daje netočniju aproksimaciju NumMat 2009, 12. predavanje p.49/101
50 Trapez može biti brži od Romberga Sporost Rombergovog algoritma posljedica je činjenice da trapezna formula s jednim podintervalom ima veliku grešku. Budući da ona ulazi u ekstrapolaciju rezultata na dijagonali, dijagonalni rezultati su dosta pogrešni. Stvarno, za produljenu trapeznu formulu ne vrijedi isti razvoj pogreške (puno je točnija)! Rješenje problema: usporedimo susjedne rezultate u stupcima tablice i ako se oni slože na odgovarajuću točnost, uzmemo ih kao aproksimaciju. NumMat 2009, 12. predavanje p.50/101
51 Teorija integracijskih formula nastavak NumMat 2009, 12. predavanje p.51/101
52 Težinske integracijske formule sažetak Do sada smo radili integracijske formule oblika b a w(x)f(x)dx = I m (f) + E m (f), I m (f) = (ispuštamo gornje indekse m) u kojima su m w k f(x k ), k=0 čvorovi integracije x 0,...,x m bili fiksni unaprijed zadani, a težinske koeficijente w 0,...,w m odredivali smo iz uvjeta egzaktnosti na vektorskom prostoru polinoma P d što većeg stupnja d. Iz teorema o interpolacijskim formulama znamo da za polinomni stupanj egzaktnosti d takvih formula vrijedi d = m. NumMat 2009, 12. predavanje p.52/101
53 Težinske integracijske formule sažetak Kod nekih formula (Simpson, srednja točka) dobili smo da je za parne m, stvarni stupanj egzaktnosti za jedan veći, tj. vrijedi d = m + 1, iako se težine odreduju iz uvjeta egzaktnosti na prostoru P m. U nastavku tražimo integracijske formule još višeg stupnja egzaktnosti za koje vrijedi d > m. To znači da neki ili svi čvorovi integracije moraju biti slobodni, tako da i njih odredujemo iz uvjeta egzaktne integracije. Iz tradicionalnih razloga, zbog veze s ortogonalnim polinomima i njihovim nultočkama, takve formule se malo drugačije označavaju! NumMat 2009, 12. predavanje p.53/101
54 Promjena oznaka za integracijske formule Promjene u oznakama su: čvorovi se broje od 1, a ne od 0, broj čvorova označava se s n, umjesto m + 1. Težinska integracijska ili kvadraturna formula onda ima sljedeći oblik: b w(x)f(x)dx = I n (f) + E n (f), I n (f) = n w k f(x k ). a k=1 Broj n N zove se red formule. Opet ispuštamo gornje indekse n, tj. ne pišemo w (n) k, x(n) k. NumMat 2009, 12. predavanje p.54/101
55 Težinska funkcija u integracijskoj formuli Pretpostavljamo da je težinska funkcija w pozitivna (ili barem nenegativna) i integrabilna na [a,b]. Ako je interval [a,b] beskonačan, moramo osigurati da prethodni integral postoji, bar u slučaju kad je funkcija f polinom, neovisno o stupnju. To postižemo zahtjevom da svi momenti težinske funkcije w µ k := b x k w(x)dx, k N 0, postoje (kao integrali) i da su konačni. a Takve težinske funkcije w zovemo polinomno dopustivima. Nadalje pretpostavljamo da je w takva! NumMat 2009, 12. predavanje p.55/101
56 Interpolacijske težinske kvadraturne formule Uz ove pretpostavke i oznake, za bilo kojih n različitih čvorova x 1,...,x n, težinska integracijska ili kvadraturna formula b a w(x)f(x)dx = n w k f(x k ) + E n (f) k=1 ima polinomni stupanj egzaktnosti (barem) d = n 1, ako i samo ako je interpolacijska, tj. dobivena je kao egzaktni integral interpolacijskog polinoma funkcije f u čvorovima x 1,...,x n. NumMat 2009, 12. predavanje p.56/101
57 Težine u interpolacijskim formulama Ekvivalentno, polinomni stupanj egzaktnosti integracijske formule je (barem) d = n 1, ako i samo ako za težinske koeficijente w k vrijedi b w k = w(x)l k (x)dx, k = 1,...,n, a gdje su l k, za k = 1,...,n, polinomi Lagrangeove baze na mreži čvorova x 1,...,x n (stupanj tih polinoma je sada n 1) l k (x) = n j=1 j k x x j x k x j, k = 1,...,n. Napomena: Ovo smo već dokazali, samo oznake su nove! NumMat 2009, 12. predavanje p.57/101
58 Integracijske formule višeg stupnja egzaktnosti Nameće se prirodno pitanje: može li se postići i bolje, tj. možemo li dobiti veći stupanj egzaktnosti, d > n 1? Uočite: Jedina šansa za to je pažljiviji izbor čvorova integracije x k. Naime, čim je d n 1, težine w k su nužno odredene prethodnom formulom, pa njih više ne možemo birati. Odgovor je potvrdan i relativno jednostavan! Za formulaciju rezultata definiramo tzv. polinom čvorova n ω n (x) = (x x k ). k=1 NumMat 2009, 12. predavanje p.58/101
59 Integracijske formule višeg stupnja egzaktnosti Teorem. Neka je k zadani cijeli broj takav da je 0 k n. Težinska integracijska formula b a w(x)f(x)dx = I n (f) + E n (f), I n (f) = n w k f(x k ), ima polinomni stupanj egzaktnosti d = n 1 + k, ako i samo ako je formula interpolacijska i k=1 polinom čvorova ω n je ortogonalan na sve polinome p P k 1 s težinskom funkcijom w, b w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, za svaki p P k 1. a NumMat 2009, 12. predavanje p.59/101
60 Integracijske formule višeg stupnja egzaktnosti Dokaz. Iz prošlog teorema znamo da za stupanj egzaktnosti vrijedi d n 1 ako i samo ako je formula interpolacijska. Preostaje pokazati da je d = n 1 + k ekvivalentno relaciji ortogonalnosti za polinom ω n. 1. smjer (nužnost): d = n 1 + k = ortogonalnost. Neka je p P k 1 bilo koji polinom stupnja najviše k 1. Za produkt f = ω n p onda vrijedi ω n p P n+k 1. Zbog pretpostavke d = n 1 + k, integracijska formula egzaktno integrira polinom f = ω n p, pa je b a w(x)ω n (x)p(x)dx = n k=1 w k ω n (x k )p(x k ). NumMat 2009, 12. predavanje p.60/101
61 Integracijske formule višeg stupnja egzaktnosti No, svi čvorovi x k su nultočke polinoma čvorova ω n, tj. vrijedi Onda je ω n (x k ) = 0, k = 1,...,n. b a n w(x)ω n (x)p(x)dx = w k ω n (x k )p(x k ) = 0, k=1 za svaki p P k 1, što dokazuje prvi smjer. 2. smjer (dovoljnost): ortogonalnost = d = n 1 + k. Neka je p P n+k 1 bilo koji polinom. Treba pokazati da integracijska formula I n egzaktno integrira polinom p. NumMat 2009, 12. predavanje p.61/101
62 Integracijske formule višeg stupnja egzaktnosti Prvo podijelimo p s polinomom čvorova ω n po Euklidovom teoremu o dijeljenju s ostatkom. Onda je p = q ω n + r, gdje je q P k 1 kvocijent, a r P n 1 ostatak. Egzaktnom integracijom dobivamo b w(x)p(x) dx = b w(x)q(x)ω n (x)dx + b w(x)r(x) dx. a a a Zbog q P k 1 i pretpostavke ortogonalnosti prvi integral na desnoj strani je nula. NumMat 2009, 12. predavanje p.62/101
63 Integracijske formule višeg stupnja egzaktnosti Dobivamo da je b w(x)p(x) dx = b w(x)r(x) dx. a a No, zbog r P n 1 i pretpostavke da je formula interpolacijska, Zato je formula I n egzaktno integrira polinom r. b w(x)r(x) dx = n w k r(x k ). a k=1 NumMat 2009, 12. predavanje p.63/101
64 Integracijske formule višeg stupnja egzaktnosti Sad uvrstimo r = p q ω n. Dobivamo redom n n ( w k r(x k ) = w k p(xk ) q(x k )ω n (x k ) ) k=1 k=1 = { znamo ω n (x k ) = 0, za k = 1,...,n } n = w k p(x k ). k=1 Kad spojimo zadnje tri relacije, izlazi b a n w(x)p(x) dx = w k p(x k ) = I n (p), k=1 pa formula I n egzaktno integrira sve polinome p P n+k 1. NumMat 2009, 12. predavanje p.64/101
65 O granicama za stupanj egzaktnosti Nekoliko komentara na prethodni rezultat. Relacija ortogonalnosti b a w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, za svaki p P k 1, omogućava povećanje stupnja egzaktnosti formule za k, s d = n 1, na d = n 1 + k. Ograničenje 0 k n u teoremu je prirodno i nužno! Naime, relacija ortogonalnosti postavlja točno k dodatnih uvjeta na čvorove x 1,...,x n. NumMat 2009, 12. predavanje p.65/101
66 O granicama za stupanj egzaktnosti Za k = 0 nema dodatnih ograničenja, jer za bilo koji izbor čvorova možemo dobiti d = n 1 (interpolacijska formula). S druge strane, zbog nenegativnosti težnske funkcije w, mora biti k n. Opravdanje: Polinom čvorova ω n mora biti ortogonalan na sve polinome iz P k 1, tj. na polinome stupnja najviše k 1. Za k > n, polinom ω n bi trebao biti ortogonalan na sve polinome iz P n, a to znači i na samog sebe, što je nemoguće! Dakle, k = n je maksimalno povećanje stupnja egzaktnosti koje se može postići, a maksimalni stupanj egzaktnosti je d max = 2n 1. NumMat 2009, 12. predavanje p.66/101
67 Gaussove integracijske formule d = 2n 1 Integracijske ili kvadraturne formule maksimalnog stupnja egzaktnosti d = 2n 1 zovu se Gaussove ili Gauss Christofellove formule. Relacija ortogonalnosti iz prethodnog teorema za k = n glasi b a w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, za svaki p P n 1. Drugim riječima, polinom čvorova ω n (stupnja n) mora biti ortogonalan na sve polinome nižeg stupnja do najviše n 1. No, to isto svojstvo zadovoljava i odgovarajući ortogonalni polinom p n, stupnja n, s težinskom funkcijom w na [a,b]. NumMat 2009, 12. predavanje p.67/101
68 Čvorovi u Gaussovim formulama Znamo da je p n jednoznačno odreden, do na multiplikativnu konstantu. Ako za p n uzmemo da ima vodeći koeficijent A n = 1, onda je ω n = p n, n N 0. Zato se formule najvišeg stupnja egzaktnosti obično zovu Gaussove formule s težinskom funkcijom w na [a,b]. U Gaussovim formulama, čvorovi x k su potpuno odredeni kao sve nultočke polinoma p n, p n (x k ) = 0, k = 1,...,n. Sjetite se, te nultočke su realne, jednostruke i leže u otvorenom intervalu (a,b). NumMat 2009, 12. predavanje p.68/101
69 Težine u Gaussovim formulama Za težine w k znamo da vrijedi w k = b w(x)l k (x)dx, k = 1,...,n, a gdje su l k, za k = 1,...,n, polinomi Lagrangeove baze na mreži čvorova x 1,...,x n (stupanj od l k je n 1). Kod Lagrangeove interpolacije pokazali smo da polinome l k možemo izraziti preko polinoma čvorova ω n = p n (ranije ω), u obliku p n (x) l k (x) = (x x k )p n (x, k = 1,...,n. k) Uočite da multiplikativna konstanta u p n nije bitna skrati se, pa možemo uzeti bilo koju normalizaciju za polinome p n. NumMat 2009, 12. predavanje p.69/101
70 Težine u Gaussovim formulama Dobivamo izraz za težine w k preko ortogonalnih polinoma p n w k = b a w(x) p n (x) (x x k )p n(x k ) dx, k = 1,...,n. Ova formula se rijetko koristi za stvarno računanje težina. Prema autoru formule, težine w k u Gaussovim formulama ponekad se zovu i Christofellovi brojevi. O ostalim svojstvima Gaussovih formula malo kasnije. Prvo, spomenimo još dva tipa integracijskih formula koje se koriste u praksi, a imaju visoki, ali ne i maksimalni stupanj egzaktnosti, tj. k < n. NumMat 2009, 12. predavanje p.70/101
71 Integracijske formule s fiksnim rubovima Prethodni teorem ima praktične primjene i za k < n. U težinskoj integracijskoj ili kvadraturnoj formuli b a w(x)f(x)dx = I n (f) + E n (f), I n (f) = n w k f(x k ). k=1 unaprijed zadamo n k čvorova integracije u [a,b], a preostalih k čvorova odredujemo tako da dobijemo maksimalni mogući stupanj egzaktnosti d = n 1 + k. Ovaj pristup se najčešće koristi za k = n 1 i k = n 2, a zadani čvorovi su jedan ili oba ruba intervala integracije [a,b], s tim da zadani rubni čvor mora biti konačan. NumMat 2009, 12. predavanje p.71/101
72 Gauss Radau formule jedan rub, d = 2n 2 Neka je lijevi rub intervala točka a konačna i zadana kao čvor integracije x 1 = a. Preostalih k = n 1 čvorova odredujemo tako da dobijemo maksimalni stupanj egzaktnosti d = 2n 2. Ove integracijske formule zovu se Gauss Radau formule. Prema prethodnom teoremu, pripadni polinom čvorova ω n (x) = (x a)(x x 2 ) (x x n ) =: (x a)p n 1 (x) mora zadovoljavati relaciju ortogonalnosti za k = n 1 b a w(x)ω n (x)p(x)dx = 0, za svaki p P n 2. NumMat 2009, 12. predavanje p.72/101
73 Gauss Radau formule jedan rub, d = 2n 2 To možemo zapisati i ovako b w(x) (x a)p n 1 (x)p(x)dx = 0, za svaki p P n 2. a Faktor (x a), koji odgovara fiksnom čvoru x 1 = a, ima fiksni predznak na [a,b] nenegativan je. Zato ga smijemo izvaditi iz polinoma čvorova ω n i dodati težinskoj funkciji w. Tako dobivamo novu težinsku funkciju w a (x) := (x a)w(x), koja je, takoder, nenegativna na [a,b]. NumMat 2009, 12. predavanje p.73/101
74 Gauss Radau formule jedan rub, d = 2n 2 Relacija ortogonalnosti sada ima oblik b w a (x)p n 1 (x)p(x)dx = 0, za svaki p P n 2, a gdje je p n 1 polinom stupnja n 1. Slično ranijem, odavde dobivamo sljedeći zaključak: preostalih n 1 čvorova x 2,...,x n moraju biti nultočke ortogonalnog polinoma p n 1 s težinskom funkcijom w a. Potpuno isti princip radi i za desni rub b, s faktorom b x. Ako fiksiramo x n = b, preostali čvorovi x 1,...,x n 1 moraju biti nultočke ortogonalnog polinoma p n 1 s težinskom funkcijom w b (x) := (b x)w(x). NumMat 2009, 12. predavanje p.74/101
75 Gauss Lobatto formule oba ruba, d = 2n 3 Neka su oba ruba intervala točke a i b konačne i zadane kao čvorovi integracije x 1 = a, x n = b. Preostala k = n 2 čvora odredujemo tako da dobijemo maksimalni stupanj egzaktnosti d = 2n 3. Ove integracijske formule zovu se Gauss Lobatto formule. Na potpuno isti način se dokazuje da preostala n 2 čvora x 2,...,x n 1 moraju biti nultočke ortogonalnog polinoma p n 2 s težinskom funkcijom w a,b, w a,b (x) := (x a)(b x)w(x). Napomena: ovo transformiranje težinske funkcije radi samo za čvorove u rubovima intervala (nenegativnost). NumMat 2009, 12. predavanje p.75/101
76 Primjer za težinske formule NumMat 2009, 12. predavanje p.76/101
77 Težinska Newton Cotesova vs. Gaussova f. Primjer. Napravimo usporedbu zatvorene Newton Cotesove formule i Gaussove formule s 2 čvora, za težinsku funkciju w(x) = x 1/2 na intervalu [0, 1]. Integracijske formule glase: 1 w x 1/2 1 NC f(0) + w2 NC f(1) (Newton Cotes), f(x)dx w1 G f(x 1 ) + w2 G f(x 2 ) (Gauss). 0 NumMat 2009, 12. predavanje p.77/101
78 Težinska Newton Cotesova formula U slučaju Newton Cotesovih formula, težine možemo izračunati iz w k = b a w(x)l k (x)dx, k = 1, 2. Lagrangeova baza l 1 i l 2 jednaka je l 1 (x) = x l 2 (x) = x = x, = x + 1, NumMat 2009, 12. predavanje p.78/101
79 Težinska Newton Cotesova formula pa imamo w NC 1 = = 1 0 x 1/2 l 1 (x)dx = 1 (2x 1/2 23 ) 1 x3/2 = 4 0 3, 0 (x 1/2 x 1/2 )dx w NC 2 = 1 0 x 1/2 l 2 (x)dx = 1 0 x 1/2 dx = x3/2 = NumMat 2009, 12. predavanje p.79/101
80 Težinska Newton Cotesova formula Tražena zatvorena Newton Cotesova formula glasi: 1 0 x 1/2 f(x)dx = 4 3 f(0) + 2 f(1) + ENC 2 (f), 3 pri čemu je E NC 2 (f) pripadna greška. Uočite da korijenski singularitet u nuli uzrokuje da vrijednost f(0) dobiva dvostruko veću težinu od vrijednosti f(1). NumMat 2009, 12. predavanje p.80/101
81 Gaussova formula Gaussovu formulu najlakše je odrediti preko ortogonalnih polinoma. Treba nam normalizirani ortogonalni polinom p 2, stupnja 2, s težinom x 1/2 na [0, 1] p 2 (x) = x 2 + a 1 x + a 0. Taj polinom mora biti ortogonalan na polinome nižeg stupnja: za polinom 1 dobivamo: 0 = 1 x 1/2 p 2 (x)dx = 1 (x 3/2 + a 1 x 1/2 + a 0 x 1/2 )dx = 0 ( 2 5 x5/2 + 2a 1 3 x3/2 + 2a 0 x 1/2 0 ) 1 = a 1 + 2a 0, NumMat 2009, 12. predavanje p.81/101
82 Gaussova formula za polinom x izlazi: 0 = 1 x 1/2 xp 2 (x)dx = 1 (x 5/2 + a 1 x 3/2 + a 0 x 1/2 )dx = 0 ( 2 7 x7/2 + 2a 1 5 x5/ a 0x 3/2 Sustav za koeficijente je: 0 ) a 1 + 2a 0 = a a 0 = 2 7. = a 1 + 2a 0 3. NumMat 2009, 12. predavanje p.82/101
83 Gaussova formula Rješenje tog sustava je pa je ortogonalni polinom p 2 a 1 = 6 7, a 0 = 3 35, p 2 (x) = x x Čvorovi za Gaussovu integracijsku formulu su nultočke polinoma p 2 : x 1 = 1 ( ) , 7 5 x 2 = 1 ( ) NumMat 2009, 12. predavanje p.83/101
84 Gaussova formula Za računanje težinskih koeficijenata w G 1 i w G 2, mogli bismo iskoristiti formulu za w k kao kod Newton Cotesove formule. Medutim, kad imamo čvorove x 1 i x 2 puno je lakše iskoristiti da Gaussova formula egzaktno integrira bazu polinoma stupnja 0, pa stavljamo f(x) = 1 i dobivamo jednadžbu 1 w1 G + wg 2 = x 1/2 dx = 2, 0 i stupnja 1, pa stavljamo f(x) = x i dobivamo jednadžbu x 1 w G 1 + x 2 w G 2 = 1 0 x 1/2 xdx = 2 3. NumMat 2009, 12. predavanje p.84/101
85 Gaussova formula Rješenje prethodne dvije jednadžbe je w1 G = , w2 G = Sada je težina w G 1 približno puta veća od težine w G 2. NumMat 2009, 12. predavanje p.85/101
86 Gaussova formula Tražena Gaussova formula glasi: 1 0 x 1/2 f(x)dx = ( ) 5 6 ( E G 2 (f), pri čemu je E G 2 (f) pripadna greška. ( 3 f ) 5 6 f ) 6 5 ( ) 6 5 NumMat 2009, 12. predavanje p.86/101
87 Težinska Newton Cotesova vs. Gaussova f. Usporedimo prethodne dvije formule na integralu I = 1 0 ( πx x 1/2 cos 2 ) dx = 2C(1) , pri čemu C označava Fresnelov kosinusni integral. Aproksimacije po obje formule formule su: a pripadne greške I NC = , I G , E NC , E G , što pokazuje da je Gaussova formula puno bolja. NumMat 2009, 12. predavanje p.87/101
88 Gaussove integracijske formule NumMat 2009, 12. predavanje p.88/101
89 Gaussove integracijske formule ponavljanje Gaussova integracijska ili kvadraturna formula s težinskom funkcijom w na intervalu [a,b] ima oblik b a w(x)f(x)dx = I n (f) + E n (f), I n (f) = n w k f(x k ), k=1 i dostiže maksimalni stupanj egzaktnosti d max = 2n 1. Čvorovi x k su sve nultočke ortogonalnog polinoma p n s težinskom funkcijom w na [a,b], Težine w k su dane formulom w k = b a w(x) p n (x) (x x k )p n(x k ) dx, k = 1,...,n. NumMat 2009, 12. predavanje p.89/101
90 Čvorovi Gaussovih integracijskih formula U nastavku, detaljnije analiziramo neka bitna svojstava Gaussovih formula. Samo radi jednostavnosti, dodatno pretpostavljamo da je težinska funkcija w pozitivna na cijelom intervalu [a,b], osim eventualno u konačno mnogo točaka (singulariteti dozvoljeni). Teorem (Svojstva čvorova). Svi čvorovi x k su realni, različiti i leže unutar otvorenog intervala [a,b]. Dokaz. Znamo da su čvorovi x k sve nultočke odgovarajućeg ortogonalnog polinoma p n s težinskom funkcijom w na [a,b], p n (x k ) = 0, k = 1,...,n. Sve tvrdnje o čvorovima direktna su posljedica tvrdnji o nultočkama odgovarajućih ortogonalnih polinoma. NumMat 2009, 12. predavanje p.90/101
91 Pozitivnost težina u Gaussovim formulama Teorem (Pozitivnost težina). Sve težine w k su pozitivne. Dokaz. Neka su l j, za j = 1,...,n, polinomi Lagrangeove baze na mreži čvorova x 1,...,x n (stupanj od l j je n 1). Za polinom l j u čvoru x k vrijedi { 0, za j k, l j (x k ) = δ j,k = 1, za j = k. Uočite da ista relacija vrijedi i za kvadrate l 2 j polinoma Lagrangeove baze u čvorovima x k l 2 j (x k) = l j (x k ) = δ j,k = { 0, za j k, 1, za j = k. NumMat 2009, 12. predavanje p.91/101
92 Pozitivnost težina u Gaussovim formulama Onda je očito da vrijedi w j = n w k l j (x k ) = n w k l 2 j (x k), j = 1,...,n. k=1 k=1 No, polinomi l 2 j imaju stupanj 2n 2, pa ih Gaussova formula integrira egzaktno! To znači da je w j = n w k l 2 j(x k ) = k=1 b a w(x)l 2 j(x)dx > 0, j = 1,...,n, zbog pozitivnosti podintegralne funkcije na desnoj strani. Time je dokazana pozitivnost težina w k u Gaussovim integracijskim formulama. NumMat 2009, 12. predavanje p.92/101
93 Pozitivnost težina u formulama s d = 2n 2 Potpuno isti argument vrijedi i za integracijske formule stupnja egzaktnosti 2n 2, (za jedan manjeg nego u Gaussovim formulama), jer egzaktno integriraju polinome l 2 k, za k = 1,...,n. Na primjer, težine u Gauss Radau formulama su, takoder, pozitivne. NumMat 2009, 12. predavanje p.93/101
94 Integralne relacije za težine uz d 2n 2 Prema ranijem teoremu, u svim interpolacijskim kvadraturnim formulama, za težine w k vrijedi b w k = w(x)l k (x)dx, k = 1,...,n. a Iz dokaza pozitivnosti težina odmah dobivamo i proširenu relaciju b b w k = w(x)l k (x)dx = w(x)l 2 k(x)dx > 0, k = 1,...,n. a a Opet, to vrijedi za težine w k u Gaussovim formulama (d = 2n 1) i formulama stupnja egzaktnosti d = 2n 2. NumMat 2009, 12. predavanje p.94/101
95 Konvergencija Gaussovih formula Tvrdnja. Ako je [a,b] konačni interval, tada Gaussova formula konvergira za bilo koju neprekidnu funkciju f, tj. za f C[a,b] vrijedi E n (f) 0, za n. Dokaz se temelji na Weierstrassovom teoremu o uniformnoj aproksimaciji polinomima, koji kaže: Ako je ˆp 2n 1 (f; ) polinom stupnja 2n 1 koji najbolje uniformno aproksimira f na [a,b], onda vrijedi lim f( ) ˆp 2n 1(f; ) = 0. n Za bilo koji n N, gledamo grešku Gaussove formule reda n. NumMat 2009, 12. predavanje p.95/101
96 Konvergencija Gaussovih formula Budući da je E n (ˆp 2n 1 ) = 0 (zbog polinomnog stupnja egzaktnosti d = 2n 1), slijedi E n (f) = E n (f ˆp 2n 1 ) = b a b a w(x) ( f(x) ˆp 2n 1 (x) ) dx n ( w k f(xk ) ˆp 2n 1 (f;x k ) ) k=1 w(x) f(x) ˆp2n 1 (x) n dx + w f(xk k ) ˆp 2n 1 (f;x k ) ( b f( ) ˆp 2n 1 (f; ) a k=1 w(x)dx + n w k ). k=1 NumMat 2009, 12. predavanje p.96/101
97 Konvergencija Gaussovih formula U prethodnom izvodu koristili smo činjenicu da su težinski koeficijenti w k pozitivni. Uočimo da je n w k = k=1 b a w(x)dx = µ 0, pa korištenjem prethodne formule zaključujemo E n (f) 2µ 0 f( ) ˆp 2n 1 (f; ) 0, za n, što je trebalo dokazati. NumMat 2009, 12. predavanje p.97/101
98 Ne vrijedi za Newton Cotesove formule Ovaj zaključak ne vrijedi za Newton Cotesove formule, iako formula s n čvorova egzaktno integrira polinom ˆp n 1. Naime, za malo veće n, težine w k mogu biti i negativne. Tada još uvijek vrijedi n b w k = w(x)dx = µ 0, k=1 a zbog egzaktne integracije konstante f(x) = 1. Medutim, apsolutne vrijednosti težina neograničeno rastu, kad n raste, tako da n w k, za n, k=1 a upravo ova suma ulazi u ocjenu greške. NumMat 2009, 12. predavanje p.98/101
99 Gaussove formule i Hermiteova interpolacija NumMat 2009, 12. predavanje p.99/101
100 Integracija i interpolacija ponavljanje Vidjeli smo da se Newton Cotesove formule mogu dobiti integracijom Lagrangeovog interpolacijskog polinoma za funkciju f na (zadanoj) mreži čvorova x 1,...,x n. Tu činjenicu smo onda iskoristili za nalaženje i ocjenu greške integracijske formule. Na sličan način, i Gaussove formule mogu se dobiti integracijom Hermiteovog interpolacijskog polinoma za funkciju f na mreži čvorova x 1,...,x n, uz dodatni zahtjev da koeficijenti uz članove s derivacijama budu jednaki nula to će odrediti čvorove. Nakon dokaza, to ćemo iskoristiti za nalaženje greške Gaussove integracije. NumMat 2009, 12. predavanje p.100/101
101 Integral Hermiteovog interpolacijskog polinoma Hermiteov interpolacijski polinom za funkciju f na mreži čvorova x 1,...,x n, interpolira vrijednosti funkcije i njezine derivacije u čvorovima (2n uvjeta), pa, općenito, ima stupanj 2n 1. To odgovara stupnju egzaktnosti d = 2n 1 za Gaussove formule, pa cijeli pristup ima smisla. NumMat 2009, 12. predavanje p.101/101
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1
Uvod u numeričku matematiku Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujaković 1 Asistentica: Sanda Bujačić 1 1 Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci Numerička integracija O problemima integriranja
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Obi ne diferencijalne jednadºbe
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Numerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
NUMERIČKA INTEGRACIJA
NUMERČKA NTEGRACJA ZADATAK: Odrediti približnu vrednost integrala ntegral određujemo pomoću formule: f ( x) = p( x) + R( x) vrednost integrala polinoma R ocena greške a b f ( xdx ) Kvadraturne formule
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste
Numerička matematika 12. predavanje
Numerička matematika 12. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 12. predavanje p. 1/108 Sadržaj predavanja Numerička integracija
Iterativne metode - vježbe
Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Potpuno pivotiranje. Faktorizacija Choleskog
Potpuno pivotiranje Potpuno pivotiranje kao pivota odabire po modulu najveći element iz cijele podmatrice dolje desno Osim zamjene redaka, ovdje je dozvoljena i zamjena stupaca (preimenovanje tj mijenjanje
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije