ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
|
|
- Εύφημη Στεφανόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A B). Dakle x C i vrijedi x / A B ili x A B. Imamo dva slu aja: (1) x / A B Tada x / A i x / B, pa zbog x C i x / B imamo x C \ B, pa zaklju ujemo x (A C) (C \ B). (2) x A B Tada x A i x B, pa zbog x C i x A slijedi x A C, pa vidimo da je opet x (A C) (C \ B). Dokazali smo C \ (A B) (A C) (C \ B). Obratna inkluzija ne vrijedi. Uzmimo primjerice A = C = {1}, B =. Tada je C \ (A B) = {1} \ {1} =, (A C) (C \ B) = {1} ({1} \ ) = {1}. Kako {1}, vidimo da (A C) (C \ B) C \ (A B).
2 Zadatak 2. defnirana s Na partitivnom skupu skupa prirodnih brojeva P(N) zadana je relacija ϱ AϱB ( n N)(B = A {n}). (a) Odredite je li relacija ρ reeksivna, simetri na, antisimetri na, tranzitivna. svoje tvrdnje dokaºite. Sve (b) Moºe li se ϱ nadopuniti do relacije parcijalnog urežaja? Obrazloºite. Rje²enje: (a) reeksivnost ϱ nije reeksivna jer je P(N), no za niti jedan n N ne vrijedi = {n}, pa (, ) / ϱ. simetri nost ϱ nije simetri na jer je primjerice (, {1}) ϱ, ali ({1}, ) / ϱ. antisimetri nost Pretpostavimo da vrijedi (A, B), (B, A) ϱ, za neke A, B P(N). Tada postoje n, m N takvi da je B = A {n} i A = B {m}. Iz ovoga slijedi redom A B i B A, pa je A = B. Dakle ϱ je antisimetri na. tranzitivnost ϱ nije tranzitivna jer imamo (, {1}), ({1}, {1, 2}) ϱ, no (, {1, 2}) / ϱ (u suprotnom bi dvo lan skup {1, 2} mogli prikazati kao prazan skup unija neki jedno lan skup, ²to je o ito nemogu e). (b) Ispitujemo postoji li relacija parcijalnog urežaja ϱ takva da vrijedi ϱ ϱ. Uo imo da vrijedi implikacija AϱB A B. Dakle vidimo da je relacija ϱ sadrºana u relaciji, a znamo da je relacija parcijalnog urežaja. Dakle, odgovor na pitanje je da.
3 Zadatak 3. Neka je x pozitivan, a y negativan realan broj takav da je x + y > 0. Matemati kom indukcijom dokaºite da za sve prirodne brojeve n ve e od 1 vrijedi x n + ( 1) n+1 y n > n (x + y) ( 1) n 1 y n 1. Rje²enje: Uvedimo supstituciju a = x, b = y. Tada su a i b pozitivni realni brojevi i vrijedi a > b. Treba dokazati da za sve prirodne brojeve ve e od 1 vrijedi a n b n > n (a b)b n 1. Baza indukcije: n = 2. Treba dokazati a 2 b 2 > 2 (a b)b. Budu i je a b > 0, dovoljeno je dokazati a + b > 2b, odnosno a > b, a to je ispunjeno po uvjetu zadatka. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj n 2. Korak indukcije: Po pretpostavci imamo: a n b n > n (a b)b n 1. Ako tu nejednakost pomnoºimo s b > 0, dobivamo a n b b n+1 > n (a b)b n. Dodamo li toj nejednakosti (a b)b n s lijeve i desne strane, dobivamo Sada je dovoljno dokazati da vrijedi ²to je ekvivalentno nejednakosti: a n b + ab n 2b n+1 > (n + 1) (a b)b n. a n+1 b n+1 > a n b + ab n 2b n+1, a n+1 > a n b + ab n b n+1, odnosno tj. a n (a b) b n (a b) > 0, (a n b n )(a b) > 0, a to vrijedi za sve pozitivne realne brojeve a i b takve da je a > b.
4 Zadatak 4. (a) Neka je relacija denirana na skupu A. Koriste i kvantikatore i logi ke veznike iskaºite tvrdnju da je simetri na relacija. Rje²enje: ( x A)( y A) x y y x. Napi²ite negaciju gornje tvrdnje, tako da se ne pojavljuje logi ki veznik (smije se pojaviti ili ). Rje²enje: ( x A)( y A) x y y x. (b) Nadopunite relaciju ρ {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} na donjoj slici tako da ona postane relacija ekvivalencije, ali tako da ne sadrºi ba² sve urežene parove iz {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} Za relaciju koju ste nacrtali, odredite [1], [2], [3], [4]. Rje²enje: Na slici su manjim krugovima ozna eni dodani ureženi parovi: zbog reeksivnosti dodajemo (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4); zbog simetri nosti (4, 3) i (1, 4); zbog tranzitivnosti jo² i (1, 3) i (3, 1). Slijedi: [1] = [3] = [4] = {1, 3, 4}, [2] = {2}. (c) Neka je A = {2, 3, 5, 8}, te F = {{5, 3, 8}, {2}}. Zakruºite tvrdnje koje su istinite: (1) F je particija od A (2) P(A) je particija od A (3) F P(A). Rje²enje: Istinita je samo tvrdnja (1). (d) Neka je A skup koji ima 10 elemenata, a ρ relacija ekvivalencije na A takva da kvocijentni skup A / ima to no 2 elementa. Koliko najvi²e elemenata ima skup ρ? ρ Rje²enje: Neka je A / ρ = {[x], [y]}. Ozna imo sa n x i n y broj elemenata od [x] i [y], redom; moºemo uzeti da je n x n y. Svi elementi skupa [x] su mežusobno u relaciji, kao i svi elementi skupa [y]. Stoga ρ ima n 2 x + n 2 y elemenata. Kako A ima 10 elemenata, mogu e su samo sljede e kombinacije: (n x, n y ) {(9, 1), (8, 2), (7, 3), (6, 4), (5, 5)}. Najve u sumu kvadrata ima par (9, 1), pa ρ moºe imati najvi²e = 82 elementa.
5 Zadatak 5. (a) Denirajte sljede e pojmove: relacija parcijalnog urežaja, supremum. Rje²enje: Relacija parcijalnog urežaja: Neka je ρ relacija na skupu A. Kaºemo da je ρ relacija parcijalnog urežaja ako je reeksivna, antisimetri na i tranzitivna. Supremum: Neka je ρ relacija parcijalnog urežaja na skupu A, te neka je B A. Za element a A kaºemo da je gornja meža skupa B ako za sve b B vrijedi b ρ a. Element s A je supremum skupa B ako vrijedi: (1) s je gornja meža skupa B, te (2) za svaku gornju mežu a skupa B vrijedi s ρ a. (b) Koriste i samo Peanove aksiome, deniciju zbrajanja i urežaja na N, dokaºite da za sve n N vrijedi 1 n. Rje²enje: Po deniciji, za a, b N vrijedi a b ako je a = b ili postoji c N takav da je a + c = b. Koriste i tu deniciju, te deniciju zbrajanja (konkretno: = s(1), te 1 + s(c) = s(1 + c)) pokaºimo indukcijom da za sve n N vrijedi 1 n. (baza) n = 1. Po deniciji odmah slijedi 1 n. (korak) Pretpostavimo da za neko n N vrijedi 1 n, te pokaºimo da tada takožer vrijedi 1 s(n). Po deniciji, 1 n vodi na dvije mogu nosti. Prva mogu nost je da vrijedi 1 = n. Tada s(1) = s(n), pa po deniciji zbrajanja imamo = s(n), iz ega po deniciji slijedi 1 s(n). Druga mogu nost je da postoji c N takav da je 1+c = n. Tada s(1+c) = s(n), pa po deniciji zbrajanja imamo 1 + s(c) = s(n), pa ponovno po deniciji slijedi 1 s(n). (c) Neka je S skup, te neka je na P(S) denirana relacija parcijalnog urežaja (biti podskup). Nadalje, neka je A n P(S) za svaki n N. Ozna imo F := {A n : n N} P(S). ƒemu je jednako sup F? Dokaºite! Rje²enje: Supremum emo lako odrediti kada vidimo ²to mora zadovoljavati gornja meža. Neka je X neka gornja meža skupa F. Kako je zadana relacija urežaja, to zna i ( A F) A X, odnosno, ( n N) A n X. Vidimo da U := n=1 A n zadovoljava ovo svojstvo, tj. da je to jedna gornja meža. Pokaºimo i da je skup U supremum. Neka je X bilo koja gornja meža skupa F. Trebamo pokazati da vrijedi U X. Neka je a U proizvoljan. Tada, po deniciji unije, postoji n N takav da je a A n. No kako je X gornja meža, vrijedi A n X, pa onda i a X. Ovim smo pokazali da vrijedi U X, pa je sup F = U = n=1 A n. Sve svoje tvrdnje precizno iskaºite i dokaºite!
6 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: (A B) (B \ C) i B \ (A C). Rje²enje: Neka je x B\(A C). Tada imamo x B i x / A C = (A C)\(A C). Dakle x B i vrijedi x / A C ili x A C. Imamo dva slu aja: (1) x / A C Tada x / A i x / C, pa zbog x B i x / C imamo x B \ C, pa zaklju ujemo x (A B) (B \ C). (2) x A C Tada x A i x C, pa zbog x B i x A slijedi x A B, pa vidimo da je opet x (A B) (B \ C). Dokazali smo B \ (A C) (A B) (B \ C). Obratna inkluzija ne vrijedi. Uzmimo primjerice A = B = {1}, C =. Tada je B \ (A C) = {1} \ {1} =, (A B) (B \ C) = {1} ({1} \ ) = {1}. Kako {1}, vidimo da (A B) (B \ C) B \ (A C).
7 Zadatak 2. defnirana s Na partitivnom skupu skupa cijelih brojeva P(Z) zadana je relacija τ AτB ( n Z)(A = B {n}). (a) Odredite je li relacija τ reeksivna, simetri na, antisimetri na, tranzitivna. svoje tvrdnje dokaºite. Sve (b) Moºe li se τ nadopuniti do relacije parcijalnog urežaja? Obrazloºite. Rje²enje: (a) reeksivnost τ nije reeksivna jer je P(Z), no za niti jedan n Z ne vrijedi = {n}, pa (, ) / τ. simetri nost τ nije simetri na jer je primjerice ({1}, ) τ, ali (, {1}) / τ. antisimetri nost Pretpostavimo da vrijedi (A, B), (B, A) τ, za neke A, B P(Z). Tada postoje n, m Z takvi da je A = B {n} i B = A {m}. Iz ovoga slijedi redom B A i A B, pa je A = B. Dakle τ je antisimetri na. tranzitivnost τ nije tranzitivna jer imamo ({1, 2}, {1}), ({1}, ) τ, no ({1, 2}, ) / τ (u suprotnom bi dvo lan skup {1, 2} mogli prikazati kao prazan skup unija neki jedno lan skup, ²to je o ito nemogu e). (b) Ispitujemo postoji li relacija parcijalnog urežaja τ takva da vrijedi τ τ. Uo imo da vrijedi implikacija AϱB A B. Dakle vidimo da je relacija τ sadrºana u relaciji, a znamo da je relacija parcijalnog urežaja. Dakle, odgovor na pitanje je da.
8 Zadatak 3. Neka su a i b pozitivni realni brojevi takvi da je a > b. Matemati kom indukcijom dokaºite da za sve prirodne brojeve n ve e od 1 vrijedi a n b n > n (a b) b n 1. Rje²enje: Baza indukcije: n = 2. Treba dokazati a 2 b 2 > 2 (a b)b. Budu i je a b > 0, dovoljeno je dokazati a + b > 2b, odnosno a > b, a to je ispunjeno po uvjetu zadatka. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj n 2. Korak indukcije: Po pretpostavci imamo: a n b n > n (a b)b n 1. Ako tu nejednakost pomnoºimo s b > 0, dobivamo a n b b n+1 > n (a b)b n. Dodamo li toj nejednakosti (a b)b n s lijeve i desne strane, dobivamo Sada je dovoljno dokazati da vrijedi ²to je ekvivalentno nejednakosti: odnosno tj. a n b + ab n 2b n+1 > (n + 1) (a b)b n. a n+1 b n+1 > a n b + ab n 2b n+1, a n+1 > a n b + ab n b n+1, a n (a b) b n (a b) > 0, (a n b n )(a b) > 0, a to vrijedi za sve pozitivne realne brojeve a i b takve da je a > b.
9 Zadatak 4. (a) Neka je relacija denirana na skupu A. Koriste i kvantikatore i logi ke veznike iskaºite tvrdnju da je tranzitivna relacija. Rje²enje: ( x A)( y A)( z A) (x y y z) x z. Napi²ite negaciju gornje tvrdnje, tako da se ne pojavljuje logi ki veznik (smije se pojaviti ili ). Rje²enje: ( x A)( y A)( z A) x y y z x z. (b) Nadopunite relaciju ρ {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} na donjoj slici tako da ona postane relacija ekvivalencije, ali tako da ne sadrºi ba² sve urežene parove iz {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} Za relaciju koju ste nacrtali, odredite [1], [2], [3], [4]. Rje²enje: Na slici su manjim krugovima ozna eni dodani ureženi parovi: zbog reeksivnosti dodajemo (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4); zbog simetri nosti (4, 1) i (2, 4); zbog tranzitivnosti jo² i (1, 2) i (2, 1). Slijedi: [1] = [2] = [4] = {1, 2, 4}, [3] = {3}. (c) Neka je A = {2, 3, 5, 8}, te F = {{3}, {2, 5}, {8}}. Zakruºite tvrdnje koje su istinite: (1) F P(A) (2) F je particija od A (3) F je particija od P(A) Rje²enje: Istinite su tvrdnje (1) i (2). (d) Neka je A skup koji ima 9 elemenata, a ρ relacija ekvivalencije na A takva da kvocijentni skup A / ima to no 2 elementa. Koliko najmanje elemenata ima skup ρ? ρ Rje²enje: Neka je A / ρ = {[x], [y]}. Ozna imo sa n x i n y broj elemenata od [x] i [y], redom; moºemo uzeti da je n x n y. Svi elementi skupa [x] su mežusobno u relaciji, kao i svi elementi skupa [y]. Stoga ρ ima n 2 x + n 2 y elemenata. Kako A ima 9 elemenata, mogu e su samo sljede e kombinacije: (n x, n y ) {(8, 1), (7, 2), (6, 3), (5, 4)}. Najmanju sumu kvadrata ima par (5, 4), pa ρ moºe imati najvi²e = 41 element.
10 Zadatak 5. (a) Denirajte sljede e pojmove: relacija totalnog urežaja, inmum. Rje²enje: Relacija totalnog urežaja: Neka je ρ relacija na skupu A. Kaºemo da je ρ relacija totalnog urežaja ako je reeksivna, antisimetri na i tranzitivna, te vrijedi: ( x A)( y A) xρy yρx. Inmum: Neka je ρ relacija parcijalnog urežaja na skupu A, te neka je B A. Za element a A kaºemo da je donja meža skupa B ako za sve b B vrijedi a ρ b. Element i A je inmum skupa B ako vrijedi: (1) i je donja meža skupa B, te (2) za svaku donju mežu a skupa B vrijedi a ρ i. (b) Koriste i samo Peanove aksiome, deniciju zbrajanja i urežaja na N, dokaºite da za sve n N vrijedi 1 n. Rje²enje: Po deniciji, za a, b N vrijedi a b ako je a = b ili postoji c N takav da je a + c = b. Koriste i tu deniciju, te deniciju zbrajanja (konkretno: = s(1), te 1 + s(c) = s(1 + c)) pokaºimo indukcijom da za sve n N vrijedi 1 n. (baza) n = 1. Po deniciji odmah slijedi 1 n. (korak) Pretpostavimo da za neko n N vrijedi 1 n, te pokaºimo da tada takožer vrijedi 1 s(n). Po deniciji, 1 n vodi na dvije mogu nosti. Prva mogu nost je da vrijedi 1 = n. Tada s(1) = s(n), pa po deniciji zbrajanja imamo = s(n), iz ega po deniciji slijedi 1 s(n). Druga mogu nost je da postoji c N takav da je 1+c = n. Tada s(1+c) = s(n), pa po deniciji zbrajanja imamo 1 + s(c) = s(n), pa ponovno po deniciji slijedi 1 s(n). (c) Neka je S skup, te neka je na P(S) denirana relacija parcijalnog urežaja (biti podskup). Nadalje, neka je A n P(S) za svaki n N. Ozna imo F := {A n : n N} P(S). ƒemu je jednako inf F? Dokaºite! Rje²enje: Inmum emo lako odrediti kada vidimo ²to mora zadovoljavati donja meža. Neka je X neka donja meža skupa F. Kako je zadana relacija urežaja, to zna i ( A F) X A, odnosno, ( n N) X A n. Vidimo da P := n=1 A n zadovoljava ovo svojstvo, tj. da je to jedna donja meža. Pokaºimo i da je skup P inmum. Neka je X bilo koja donja meža skupa F. Trebamo pokazati da vrijedi X P. Neka je a X proizvoljan. Kako je X donja meža, za svaki n N vrijedi X A n, pa onda za svaki n N vrijedi a A n. No po deniciji presjeka, to zna i a P. Ovim smo pokazali da vrijedi X P, pa je inf F = P = n=1 A n. Sve svoje tvrdnje precizno iskaºite i dokaºite!
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραMjera i Integral Vjeºbe
Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραBinarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA
Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO. Zrinka Franu²i, Juraj iftar
LINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO Zrinka Franu²i, Juraj iftar Sadrºaj 1 Vektorski prostori 2 11 Osnovne algebarske strukture 4 111 Binarna operacija Grupoid 4 112 Grupa 6 113
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραLokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραKONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραSeminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije)
Seminar 11 (Ispitivanje domene i globalnih svojstava funkcije) Prvo ponoviti/nau iti sadrºaje na sljede oj stani, a zatim rije²iti zadatke na ovoj stranici. Priprema Ove zadatke moºete rije²iti koriste
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραTeorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.
Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραSkupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet
Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα