The Normal and Lognormal Distributions

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "The Normal and Lognormal Distributions"

Transcript

1 The Normal and Lognormal Distributions John Norstad February, 999 Updated: November 3, Abstract The basic properties of the normal and lognormal distributions, with full proofs. We assume familiarity with elementary probability theory and with college-level calculus.

2 DEFINITIONS AND SUMMARY OF THE PROPOSITIONS Definitions and Summary of the Propositions Proposition : Proposition : Proposition 3: e (x µ) /σ dx x e (x µ) /σ dx µ x e (x µ) /σ dx µ + σ Definition The normal distribution N[µ, σ ] is the probability distribution defined by the following density function: e (x µ) /σ Note that Proposition verifies that this is a valid density function (its integral from to is ). Definition The lognormal distribution LN[µ, σ ] is the distribution of e X where X is N[µ, σ ]. Proposition 4: If X is N[µ, σ ] then E(X) µ and Var(X) σ. Proposition 5: If Y is LN[µ, σ ] then E(Y ) e µ+ σ and Var(Y ) e µ+σ (e σ ). Proposition 6: If X is N[µ, σ ] then ax + b is N[aµ + b, a σ ]. Proposition 7: If X is N[µ, σ], Y is N[µ, σ], and X and Y are independent, then X + Y is N[µ + µ, σ + σ]. n Corollary : If X i are independent N[µ, σ ] for i... n then X i is N[nµ, nσ ]. Corollary : LN[nµ, nσ ]. Proposition 8: If Y i are independent LN[µ, σ ] for i... n then The probability density function of LN[µ, σ ] is: x e (log(x) µ) /σ i n Y i is i

3 PROOFS OF THE PROPOSITIONS Proofs of the Propositions Proposition e (x µ) /σ dx First assume that µ and σ. Let: a e x / dx Then: a e x / e y / dxdy e (x +y )/ dxdy Apply the polar transformation x r cos θ, y r sin θ, dxdy rdrdθ: a e r / rdrdθ [ e ] r / dθ [ ( )]dθ a >, and we just showed that a, so we must have a. For the general case, apply the transformation y x µ σ, dy dx σ : e (x µ) /σ dx e y / σdy e y / dy

4 PROOFS OF THE PROPOSITIONS 3 Proposition x e (x µ) /σ dx µ First assume that µ and σ. x e x / n dx lim xe x / dx n lim [ e ] n x / n lim / ) ( e n [( e / )] lim n For the general case, apply the transformation y x µ σ, dy dx σ : x e (x µ) /σ dx Proposition 3 µ (µ + σy) e y / σdy e y / dy + σ y e y / dy µ + σ (by Proposition ) µ x e (x µ) /σ dx µ + σ First assume that µ and σ. Integrate by parts using f x, f, g e x /, g xe x / : n x e x / dx n fg dx f(n)g(n) f()g() (e / ) (ne / ) n n f gdx e x / dx

5 PROOFS OF THE PROPOSITIONS 4 Then: n ne / n x e x / dx e x / dx e x / dx ne / lim lim n x e x / dx n [ n ] e x / dx ne / n e x / / dx lim n ne lim n ne / (by Proposition ) All that remains is to show that the last limit above is. We do this using L Hôpital s rule: lim / lim n ne n n e n / lim n ne n / For the general case, apply the transformation y x µ σ, dy dx σ : x e (x µ) /σ dx µ µσ (µ + σy) e y / σdy σ e y / dy + y e y / dy + y e y / dy µ + µσ + σ (by Propositions and ) µ + σ

6 PROOFS OF THE PROPOSITIONS 5 Proposition 4 If X is N[µ, σ ] then E(X) µ and Var(X) σ. E(X) x e (x µ) /σ dx µ (by Proposition ) Var(X) E(X ) E(X) (by Proposition in reference []) x e (x µ) /σ dx µ µ + σ µ (by Proposition 3) σ Proposition 5 If Y is LN[µ, σ ] then E(Y ) e µ+ σ Var(Y ) e µ+σ (e σ ). and Y e X where X is N[µ, σ ]. First assume that µ : E(Y ) E(e X ) e σ e xσ x σ dx e x e x /σ dx e (x σ ) +σ 4 σ dx e (x σ ) /σ dx e σ (by Proposition ) e σ E(Y ) E(e X ) e σ e 4xσ x σ dx e x e x /σ dx e (x σ ) +4σ 4 σ dx e (x σ ) /σ dx e σ (by Proposition ) e σ Var(Y ) E(Y ) E(Y ) (by Proposition in reference []) e σ (e σ ) e σ e σ e σ (e σ )

7 PROOFS OF THE PROPOSITIONS 6 For the general case, apply the transformation y x µ, dy dx: E(Y ) E(e X ) e µ e x e (x µ) /σ dx e µ+y e y /σ dy e y e y /σ dy (by the same reasoning as for the case µ above) e µ e σ e µ+ σ E(Y ) E(e X ) e µ e x e (x µ) /σ dx e (y+µ) e y /σ dy e y e y /σ dy (by the same reasoning as for the case µ above) e µ e σ e µ+σ Var(Y ) E(Y ) E(Y ) (by Proposition in reference []) e µ+σ (e µ+ σ ) e µ+σ e µ+σ e µ+σ (e σ ) Proposition 6 If X is N[µ, σ ] then ax + b is N[aµ + b, a σ ]. Prob(aX + b < k) Prob(X < (k b)/a) (k b)/a e (x µ) /σ dx (apply the transformation y ax + b, dy adx) k k e y b ( a µ) /σ a dy (aσ) e (y (aµ+b)) /a σ dy The last term above is the cumulative density function for N[aµ + b, a σ ], so we have our result.

8 PROOFS OF THE PROPOSITIONS 7 Proposition 7 If X is N[µ, σ ], Y is N[µ, σ ], and X and Y are independent, then X + Y is N[µ + µ, σ + σ ]. First assume that X is N[, ] and Y is N[, σ ]. Then: Prob(X + Y < k) e x / e u /σ dxdu x+u<k (apply the transformation u σy) e (x +y )/ σdxdy x+σy<k e (x +y )/ dxdy () x+σy<k At this point we temporarily make the assumption that k. Figure shows the area over which we are integrating. It is the half of the plane below and to the left of the line x + σy k. Note the following relationships: Figure : Area of Integration x r cos θ r k cos θ + σ sin θ y r sin θ r cos θ + σr sin θ x + σy k tan α k/(k/σ) σ α arctan σ

9 PROOFS OF THE PROPOSITIONS 8 We ll use the following technique to prove the result. First we ll convert the double integral above to polar coordinates. Then we ll rotate the result by α so that the graph above becomes the one shown in below. Then we ll show that the resulting integral is the same as the one for Prob(Z < k) where Z is N[, + σ ]. Figure : Area of Integration Rotated Note that r cos θ x k, and r k/cosθ. Apply the polar transformation x r cos θ, y r sin θ, dxdy rdrdθ to equation (): Prob(X + Y < k) e (x +y )/ dxdy x+σy<k re r / drdθ x+σy<k 3π/+α π/+α 3π/+α π/+α re r / drdθ + k cos θ+σ sin θ re r / drdθ () Note that we have made use of the assumption that k at this point to split the area over which we are integrating into two regions. In the first region, θ varies from π/ + α to 3π/ + α, and the vector at the origin with angle θ does not intersect the line x + σy, so r varies from to. In the second region, θ

10 PROOFS OF THE PROPOSITIONS 9 varies from π/ + α to π/ + α, and the vector does intersect the line, so r varies from to k/(cos θ + σ sin θ). We want to apply the transformation λ θ α to rotate. We first must calculate what happens to the upper limit of integration in the last integral above under this transformation. k cos θ + σ sin θ We now apply some trigonometric identities: k cos(λ + α) + σ sin(λ + α) k cos(λ + arctan σ) + σ sin(λ + arctan σ) cos(λ + arctan σ) cos λ cos(arctan σ) sin λ sin(arctan σ) sin(λ + arctan σ) sin λ cos(arctan σ) + cos λ sin(arctan σ) cos(arctan σ) + σ sin(arctan σ) σ + σ (3) cos(λ + arctan σ) cos λ σ sin λ + σ (4) σ sin(λ + arctan σ) σ sin λ + σ cos λ + σ (5) Adding equations (4) and (5) gives: cos(λ + arctan σ) + σ sin(λ + arctan σ) cos λ + σ cos λ + σ cos λ( + σ ) + σ cos λ + σ (6) We can now do our rotation under the transformation λ θ α. Equations (), (3) and (6) give: Prob(X + Y < k) 3π/ π/ π/ π/ 3π/ π/ π/ π/ re r / drdλ + k cos λ +σ re r / drdλ [ e ] r / dλ + [ e r / ] k cos λ +σ dλ

11 PROOFS OF THE PROPOSITIONS 3π/ π/ π/ [] dλ + π/ k π/ π/ [ ] k e cos λ(+σ ) ( ) dλ e cos λ(+σ ) dλ (7) Now we turn our attention to evaluating Prob(Z < k) where Z is N[, + σ ]. Let W be another random variable which is also N[, +σ ]. We use a sequence of steps similar to the one above, only without the rotation: Prob(Z < k) Prob(Z < k, < W < ) /(+σ ) /(+σ ) z<k + σ e z + σ e w dzdw ( + σ e (z +w )/(+σ ) dzdw ) z<k ( + σ re r /(+σ ) drdθ ) ( + σ ) ( + σ ) ( + σ ) ( + σ ) z<k 3π/ π/ π/ k/cosθ π/ 3π/ π/ π/ π/ π/ k π/ re r /(+σ ) drdθ + re r /(+σ ) drdθ [ ( ] + σ )e r /(+σ ) dθ + [ ( ] + σ )e r /(+σ k/ cos θ ) dθ e cos θ(+σ ) dθ (8) Equations (7) and (8) are the same, so at this point we have completed our proof that Prob(X + Y < k) Prob(Z < k) when k. Now suppose that k <. Propositon 6 implies that for any normal random variable X with mean, X is also normally distributed with mean and the same variance as X. Let A X, B Y, and W Z. Then A is N[, ], B is N[, σ ], and W is N[, + σ ]. So we have: Prob(X + Y < k) Prob( (X + Y ) > k) Prob(A + B > k) Prob(A + B < k) Prob(W < k) (because k > ) Prob(W > k) Prob( Z > k) Prob(Z < k)

12 PROOFS OF THE PROPOSITIONS At this point we have shown that Prob(X + Y < k) Prob(Z < k) for all k. Thus the random variables X + Y and Z have the same cumulative density function. Z is N[, + σ ], so X + Y is also N[, + σ ]. This completes our proof for the case that X is N[, ] and Y is N[, σ ]. For the general case where X is N[µ, σ ] and Y is N[µ, σ ], let A (X µ )/σ and B (Y µ )/σ. By Property 6, A is N[, ] and B is N[, σ /σ ]. Thus: Prob(X + Y < k) Prob(A + B < (k µ µ )/σ ) (k µ µ )/σ + σ /σ e x /(+σ /σ ) dx (apply the transformation y σ x + µ + µ ) k σ + σ e (y (µ+µ)) /(σ +σ ) dy This is the cumulative density function for N[µ + µ, σ + σ ], so we have our full result. Corollary If X i N[nµ, nσ ]. are independent N[µ, σ ] for i... n then n i X i is This corollary follows immediately from Proposition 7. Corollary If Y i LN[nµ, nσ ]. are independent LN[µ, σ ] for i... n then n i Y i is This corollary follows immediately from Definition and Proposition 7.

13 PROOFS OF THE PROPOSITIONS Proposition 8 The probability density function of LN[µ, σ ] is: x e (log(x) µ) /σ Suppose X is LN[µ, σ ]. Thev X e Y where Y is N[µ, σ ]. Then: Prob(X < k) Prob(e Y < k) Prob(Y < log(k)) log(k) e (y µ) /σ dy (apply the transformation x e y, y log(x), dy x dx) k x e (log(x) µ) /σ dx

14 REFERENCES 3 References [] John Norstad. Probability review. Sep.

Areas and Lengths in Polar Coordinates

Areas and Lengths in Polar Coordinates Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the

Διαβάστε περισσότερα

Homework 8 Model Solution Section

Homework 8 Model Solution Section MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx

Διαβάστε περισσότερα

2 Composition. Invertible Mappings

2 Composition. Invertible Mappings Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,

Διαβάστε περισσότερα

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme

Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme Math 6 SL Probability Distributions Practice Test Mark Scheme. (a) Note: Award A for vertical line to right of mean, A for shading to right of their vertical line. AA N (b) evidence of recognizing symmetry

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

CRASH COURSE IN PRECALCULUS

CRASH COURSE IN PRECALCULUS CRASH COURSE IN PRECALCULUS Shiah-Sen Wang The graphs are prepared by Chien-Lun Lai Based on : Precalculus: Mathematics for Calculus by J. Stuwart, L. Redin & S. Watson, 6th edition, 01, Brooks/Cole Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Section 9.2 Polar Equations and Graphs

Section 9.2 Polar Equations and Graphs 180 Section 9. Polar Equations and Graphs In this section, we will be graphing polar equations on a polar grid. In the first few examples, we will write the polar equation in rectangular form to help identify

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS

CHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)

4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1) 84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this

Διαβάστε περισσότερα

Integrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7)

Integrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7) Integrals in clindrical, spherical coordinates (Sect. 5.7 Integration in spherical coordinates. Review: Clindrical coordinates. Spherical coordinates in space. Triple integral in spherical coordinates.

Διαβάστε περισσότερα

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5

Exercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 Prof. Dr. Christine Müller Dipl.-Math. Christoph Kustosz Eercises to Statistics of Material Fatigue No. 5 E. 9 (5 a Show, that a Fisher information matri for a two dimensional parameter θ (θ,θ 2 R 2, can

Διαβάστε περισσότερα

Problem Set 3: Solutions

Problem Set 3: Solutions CMPSCI 69GG Applied Information Theory Fall 006 Problem Set 3: Solutions. [Cover and Thomas 7.] a Define the following notation, C I p xx; Y max X; Y C I p xx; Ỹ max I X; Ỹ We would like to show that C

Διαβάστε περισσότερα

A Note on Intuitionistic Fuzzy. Equivalence Relation

A Note on Intuitionistic Fuzzy. Equivalence Relation International Mathematical Forum, 5, 2010, no. 67, 3301-3307 A Note on Intuitionistic Fuzzy Equivalence Relation D. K. Basnet Dept. of Mathematics, Assam University Silchar-788011, Assam, India dkbasnet@rediffmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.

Exercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1. Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given

Διαβάστε περισσότερα

Second Order RLC Filters

Second Order RLC Filters ECEN 60 Circuits/Electronics Spring 007-0-07 P. Mathys Second Order RLC Filters RLC Lowpass Filter A passive RLC lowpass filter (LPF) circuit is shown in the following schematic. R L C v O (t) Using phasor

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit

Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ordinal Arithmetic: Addition, Multiplication, Exponentiation and Limit Ting Zhang Stanford May 11, 2001 Stanford, 5/11/2001 1 Outline Ordinal Classification Ordinal Addition Ordinal Multiplication Ordinal

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8 questions or comments to Dan Fetter 1

Econ 2110: Fall 2008 Suggested Solutions to Problem Set 8  questions or comments to Dan Fetter 1 Eon : Fall 8 Suggested Solutions to Problem Set 8 Email questions or omments to Dan Fetter Problem. Let X be a salar with density f(x, θ) (θx + θ) [ x ] with θ. (a) Find the most powerful level α test

Διαβάστε περισσότερα

Section 8.2 Graphs of Polar Equations

Section 8.2 Graphs of Polar Equations Section 8. Graphs of Polar Equations Graphing Polar Equations The graph of a polar equation r = f(θ), or more generally F(r,θ) = 0, consists of all points P that have at least one polar representation

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα

Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Εγχειρίδια Μαθηµατικών και Χταποδάκι στα Κάρβουνα Νίκος Στυλιανόπουλος, Πανεπιστήµιο Κύπρου Λευκωσία, εκέµβριος 2009 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Πόσο σηµαντική είναι η απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Forecasting ARMA processes

6.3 Forecasting ARMA processes 122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear

Διαβάστε περισσότερα

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008

Tridiagonal matrices. Gérard MEURANT. October, 2008 Tridiagonal matrices Gérard MEURANT October, 2008 1 Similarity 2 Cholesy factorizations 3 Eigenvalues 4 Inverse Similarity Let α 1 ω 1 β 1 α 2 ω 2 T =......... β 2 α 1 ω 1 β 1 α and β i ω i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p)

2. Let H 1 and H 2 be Hilbert spaces and let T : H 1 H 2 be a bounded linear operator. Prove that [T (H 1 )] = N (T ). (6p) Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Andreas Strömbergsson Prov i matematik Funktionalanalys Kurs: F3B, F4Sy, NVP 2005-03-08 Skrivtid: 9 14 Tillåtna hjälpmedel: Manuella skrivdon, Kreyszigs bok

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Homework for 1/27 Due 2/5

Homework for 1/27 Due 2/5 Name: ID: Homework for /7 Due /5. [ 8-3] I Example D of Sectio 8.4, the pdf of the populatio distributio is + αx x f(x α) =, α, otherwise ad the method of momets estimate was foud to be ˆα = 3X (where

Διαβάστε περισσότερα

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2

If we restrict the domain of y = sin x to [ π 2, π 2 Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the

Διαβάστε περισσότερα

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k!

Bessel functions. ν + 1 ; 1 = 0 for k = 0, 1, 2,..., n 1. Γ( n + k + 1) = ( 1) n J n (z). Γ(n + k + 1) k! Bessel functions The Bessel function J ν (z of the first kind of order ν is defined by J ν (z ( (z/ν ν Γ(ν + F ν + ; z 4 ( k k ( Γ(ν + k + k! For ν this is a solution of the Bessel differential equation

Διαβάστε περισσότερα

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER

ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER ORDINAL ARITHMETIC JULIAN J. SCHLÖDER Abstract. We define ordinal arithmetic and show laws of Left- Monotonicity, Associativity, Distributivity, some minor related properties and the Cantor Normal Form.

Διαβάστε περισσότερα

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality

The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques. Lecture 7: The Janson Inequality The Probabilistic Method - Probabilistic Techniques Lecture 7: The Janson Inequality Sotiris Nikoletseas Associate Professor Computer Engineering and Informatics Department 2014-2015 Sotiris Nikoletseas,

Διαβάστε περισσότερα

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix

Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy. Technical Appendix Testing for Indeterminacy: An Application to U.S. Monetary Policy Technical Appendix Thomas A. Lubik Department of Economics Johns Hopkins University Frank Schorfheide Department of Economics University

Διαβάστε περισσότερα

1. Introduction and Preliminaries.

1. Introduction and Preliminaries. Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš, Serbia Available at: http://www.pmf.ni.ac.yu/filomat Filomat 22:1 (2008), 97 106 ON δ SETS IN γ SPACES V. Renuka Devi and D. Sivaraj Abstract We

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometric Formula Sheet

Trigonometric Formula Sheet Trigonometric Formula Sheet Definition of the Trig Functions Right Triangle Definition Assume that: 0 < θ < or 0 < θ < 90 Unit Circle Definition Assume θ can be any angle. y x, y hypotenuse opposite θ

Διαβάστε περισσότερα

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1

w o = R 1 p. (1) R = p =. = 1 Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 205 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Τριτη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 3. 5.2 (a) From the Wiener-Hopf equation we have:

Διαβάστε περισσότερα

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS

SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS SOLVING CUBICS AND QUARTICS BY RADICALS The purpose of this handout is to record the classical formulas expressing the roots of degree three and degree four polynomials in terms of radicals. We begin with

Διαβάστε περισσότερα

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν.

2. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Experiental Copetition: 14 July 011 Proble Page 1 of. Μηχανικό Μαύρο Κουτί: κύλινδρος με μια μπάλα μέσα σε αυτόν. Ένα μικρό σωματίδιο μάζας (μπάλα) βρίσκεται σε σταθερή απόσταση z από το πάνω μέρος ενός

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 13 - Root Space Decomposition II

Lecture 13 - Root Space Decomposition II Lecture 13 - Root Space Decomposition II October 18, 2012 1 Review First let us recall the situation. Let g be a simple algebra, with maximal toral subalgebra h (which we are calling a CSA, or Cartan Subalgebra).

Διαβάστε περισσότερα

EE101: Resonance in RLC circuits

EE101: Resonance in RLC circuits EE11: Resonance in RLC circuits M. B. Patil mbatil@ee.iitb.ac.in www.ee.iitb.ac.in/~sequel Deartment of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Bombay I V R V L V C I = I m = R + jωl + 1/jωC

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing

Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Hypothesis Testing Γιώργος Μπορμπουδάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Procedure 1. Form the null (H 0 ) and alternative (H 1 ) hypothesis 2. Consider

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2 and compare to M.

( ) 2 and compare to M. Problems and Solutions for Section 4.2 4.9 through 4.33) 4.9 Calculate the square root of the matrix 3!0 M!0 8 Hint: Let M / 2 a!b ; calculate M / 2!b c ) 2 and compare to M. Solution: Given: 3!0 M!0 8

Διαβάστε περισσότερα

1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1

1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 Chapter 7: Exercises 1. A fully continuous 20-payment years, 30-year term life insurance of 2000 is issued to (35). You are given n A 1 35+n:30 n a 35+n:20 n 0 0.068727 11.395336 10 0.097101 7.351745 25

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων.

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. εύτερη Σειρά Ασκήσεων. Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-570: Στατιστική Επεξεργασία Σήµατος 2015 ιδάσκων : Α. Μουχτάρης εύτερη Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Ασκηση 1. 1. Consder the gven expresson for R 1/2 : R 1/2

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval

Chapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations

Διαβάστε περισσότερα

Derivations of Useful Trigonometric Identities

Derivations of Useful Trigonometric Identities Derivations of Useful Trigonometric Identities Pythagorean Identity This is a basic and very useful relationship which comes directly from the definition of the trigonometric ratios of sine and cosine

Διαβάστε περισσότερα

Derivation of Optical-Bloch Equations

Derivation of Optical-Bloch Equations Appendix C Derivation of Optical-Bloch Equations In this appendix the optical-bloch equations that give the populations and coherences for an idealized three-level Λ system, Fig. 3. on page 47, will be

Διαβάστε περισσότερα

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11

Potential Dividers. 46 minutes. 46 marks. Page 1 of 11 Potential Dividers 46 minutes 46 marks Page 1 of 11 Q1. In the circuit shown in the figure below, the battery, of negligible internal resistance, has an emf of 30 V. The pd across the lamp is 6.0 V and

Διαβάστε περισσότερα

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram?

HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? What is the 50 th percentile for the cigarette histogram? HISTOGRAMS AND PERCENTILES What is the 25 th percentile of a histogram? The point on the horizontal axis such that of the area under the histogram lies to the left of that point (and to the right) What

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Orbital angular momentum and the spherical harmonics

Orbital angular momentum and the spherical harmonics Orbital angular momentum and the spherical harmonics March 8, 03 Orbital angular momentum We compare our result on representations of rotations with our previous experience of angular momentum, defined

Διαβάστε περισσότερα

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι

department listing department name αχχουντσ ϕανε βαλικτ δδσϕηασδδη σδηφγ ασκϕηλκ τεχηνιχαλ αλαν ϕουν διξ τεχηνιχαλ ϕοην µαριανι She selects the option. Jenny starts with the al listing. This has employees listed within She drills down through the employee. The inferred ER sttricture relates this to the redcords in the databasee

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων

Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Συστήματα Διαχείρισης Βάσεων Δεδομένων Φροντιστήριο 9: Transactions - part 1 Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Tutorial on Undo, Redo and Undo/Redo

Διαβάστε περισσότερα

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16.

Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. Introduction to Time Series Analysis. Lecture 16. 1. Review: Spectral density 2. Examples 3. Spectral distribution function. 4. Autocovariance generating function and spectral density. 1 Review: Spectral

Διαβάστε περισσότερα

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees

Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Bounding Nonsplitting Enumeration Degrees Thomas F. Kent Andrea Sorbi Università degli Studi di Siena Italia July 18, 2007 Goal: Introduce a form of Σ 0 2-permitting for the enumeration degrees. Till now,

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 6 Mohr s Circle for Plane Stress

Lecture 6 Mohr s Circle for Plane Stress P4 Stress and Strain Dr. A.B. Zavatsk HT08 Lecture 6 Mohr s Circle for Plane Stress Transformation equations for plane stress. Procedure for constructing Mohr s circle. Stresses on an inclined element.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ

ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΩΝ ΣΜΖΜΑ ΖΛΔΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΖΥΑΝΗΚΩΝ ΚΑΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΑ ΤΠΟΛΟΓΗΣΩΝ ΣΟΜΔΑ ΤΣΖΜΑΣΩΝ ΖΛΔΚΣΡΗΚΖ ΔΝΔΡΓΔΗΑ Γηπισκαηηθή Δξγαζία ηνπ Φνηηεηή ηνπ ηκήκαηνο Ζιεθηξνιόγσλ Μεραληθώλ θαη Σερλνινγίαο Ζιεθηξνληθώλ

Διαβάστε περισσότερα

Example of the Baum-Welch Algorithm

Example of the Baum-Welch Algorithm Example of the Baum-Welch Algorithm Larry Moss Q520, Spring 2008 1 Our corpus c We start with a very simple corpus. We take the set Y of unanalyzed words to be {ABBA, BAB}, and c to be given by c(abba)

Διαβάστε περισσότερα

TMA4115 Matematikk 3

TMA4115 Matematikk 3 TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.»

«Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων. Η μεταξύ τους σχέση και εξέλιξη.» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «Χρήσεις γης, αξίες γης και κυκλοφοριακές ρυθμίσεις στο Δήμο Χαλκιδέων.

Διαβάστε περισσότερα

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω

ω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω 0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +

Διαβάστε περισσότερα

MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS

MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS MINIMAL CLOSED SETS AND MAXIMAL CLOSED SETS FUMIE NAKAOKA AND NOBUYUKI ODA Received 20 December 2005; Revised 28 May 2006; Accepted 6 August 2006 Some properties of minimal closed sets and maximal closed

Διαβάστε περισσότερα

Online Appendix to. When Do Times of Increasing Uncertainty Call for Centralized Harmonization in International Policy Coordination?

Online Appendix to. When Do Times of Increasing Uncertainty Call for Centralized Harmonization in International Policy Coordination? Online Appendix to When o Times of Increasing Uncertainty Call for Centralized Harmonization in International Policy Coordination? Andrzej Baniak Peter Grajzl epartment of Economics, Central European University,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ ΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΘΕΣΜΙΚΟ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΚΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΣΗΣ ΠΛΟΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ που υποβλήθηκε στο

Διαβάστε περισσότερα

VBA ΣΤΟ WORD. 1. Συχνά, όταν ήθελα να δώσω ένα φυλλάδιο εργασίας με ασκήσεις στους μαθητές έκανα το εξής: Version 25-7-2015 ΗΜΙΤΕΛΗΣ!!!!

VBA ΣΤΟ WORD. 1. Συχνά, όταν ήθελα να δώσω ένα φυλλάδιο εργασίας με ασκήσεις στους μαθητές έκανα το εξής: Version 25-7-2015 ΗΜΙΤΕΛΗΣ!!!! VBA ΣΤΟ WORD Version 25-7-2015 ΗΜΙΤΕΛΗΣ!!!! Μου παρουσιάστηκαν δύο θέματα. 1. Συχνά, όταν ήθελα να δώσω ένα φυλλάδιο εργασίας με ασκήσεις στους μαθητές έκανα το εξής: Εγραφα σε ένα αρχείο του Word τις

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE

INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE INTEGRATION OF THE NORMAL DISTRIBUTION CURVE By Tom Irvie Email: tomirvie@aol.com March 3, 999 Itroductio May processes have a ormal probability distributio. Broadbad radom vibratio is a example. The purpose

Διαβάστε περισσότερα

Graded Refractive-Index

Graded Refractive-Index Graded Refractive-Index Common Devices Methodologies for Graded Refractive Index Methodologies: Ray Optics WKB Multilayer Modelling Solution requires: some knowledge of index profile n 2 x Ray Optics for

Διαβάστε περισσότερα

Risk! " #$%&'() *!'+,'''## -. / # $

Risk!  #$%&'() *!'+,'''## -. / # $ Risk! " #$%&'(!'+,'''## -. / 0! " # $ +/ #%&''&(+(( &'',$ #-&''&$ #(./0&'',$( ( (! #( &''/$ #$ 3 #4&'',$ #- &'',$ #5&''6(&''&7&'',$ / ( /8 9 :&' " 4; < # $ 3 " ( #$ = = #$ #$ ( 3 - > # $ 3 = = " 3 3, 6?3

Διαβάστε περισσότερα

Section 7.7 Product-to-Sum and Sum-to-Product Formulas

Section 7.7 Product-to-Sum and Sum-to-Product Formulas Section 7.7 Product-to-Sum and Sum-to-Product Fmulas Objective 1: Express Products as Sums To derive the Product-to-Sum Fmulas will begin by writing down the difference and sum fmulas of the cosine function:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ. Πτυχιακή εργασία ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Πτυχιακή εργασία ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ-ΟΦΕΛΟΥΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΙΣΔΥΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΝΕΩΣΙΜΩΝ ΠΗΓΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΥΠΡΟ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2030

Διαβάστε περισσότερα

Math 248 Homework 1. Edward Burkard. Exercise 1. Prove the following Fourier Transforms where a > 0 and c R: f (x) = b. f(x c) = e.

Math 248 Homework 1. Edward Burkard. Exercise 1. Prove the following Fourier Transforms where a > 0 and c R: f (x) = b. f(x c) = e. Math 48 Homework Ewar Burkar Exercise. Prove the following Fourier Transforms where a > an c : a. f(x) f(ξ) b. f(x c) e πicξ f(ξ) c. eπixc f(x) f(ξ c). f(ax) f(ξ) a e. f (x) πiξ f(ξ) f. xf(x) f(ξ) πi ξ

Διαβάστε περισσότερα

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw

Macromechanics of a Laminate. Textbook: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Macromechanics of a Laminate Tetboo: Mechanics of Composite Materials Author: Autar Kaw Figure 4.1 Fiber Direction θ z CHAPTER OJECTIVES Understand the code for laminate stacing sequence Develop relationships

Διαβάστε περισσότερα

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3)

(1) Describe the process by which mercury atoms become excited in a fluorescent tube (3) Q1. (a) A fluorescent tube is filled with mercury vapour at low pressure. In order to emit electromagnetic radiation the mercury atoms must first be excited. (i) What is meant by an excited atom? (1) (ii)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΛΕΝΤΙΝΑ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΥ Α.Μ.: 09/061. Υπεύθυνος Καθηγητής: Σάββας Μακρίδης Α.Τ.Ε.Ι. ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΓΟΣΤΟΛΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Η διαμόρφωση επικοινωνιακής στρατηγικής (και των τακτικών ενεργειών) για την ενδυνάμωση της εταιρικής

Διαβάστε περισσότερα

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics

A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain. Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics A Bonus-Malus System as a Markov Set-Chain Małgorzata Niemiec Warsaw School of Economics Institute of Econometrics Contents 1. Markov set-chain 2. Model of bonus-malus system 3. Example 4. Conclusions

Διαβάστε περισσότερα

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση

Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Αναερόβια Φυσική Κατάσταση Γιάννης Κουτεντάκης, BSc, MA. PhD Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Περιεχόµενο Μαθήµατος Ορισµός της αναερόβιας φυσικής κατάστασης Σχέσης µε µηχανισµούς παραγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 2. Ordinals, well-founded relations.

Chapter 2. Ordinals, well-founded relations. Chapter 2. Ordinals, well-founded relations. 2.1. Well-founded Relations. We start with some definitions and rapidly reach the notion of a well-ordered set. Definition. For any X and any binary relation

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή

Διαβάστε περισσότερα

Coefficient Inequalities for a New Subclass of K-uniformly Convex Functions

Coefficient Inequalities for a New Subclass of K-uniformly Convex Functions International Journal of Computational Science and Mathematics. ISSN 0974-89 Volume, Number (00), pp. 67--75 International Research Publication House http://www.irphouse.com Coefficient Inequalities for

Διαβάστε περισσότερα

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions

The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Theo p. / The Spiral of Theodorus, Numerical Analysis, and Special Functions Walter Gautschi wxg@cs.purdue.edu Purdue University Theo p. 2/ Theodorus of ca. 46 399 B.C. Theo p. 3/ spiral of Theodorus 6

Διαβάστε περισσότερα

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference

Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal

Διαβάστε περισσότερα

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81

MATHEMATICS. 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 1. If A and B are square matrices of order 3 such that A = -1, B =3, then 3AB = 1) -9 2) -27 3) -81 4) 81 We know that KA = A If A is n th Order 3AB =3 3 A. B = 27 1 3 = 81 3 2. If A= 2 1 0 0 2 1 then

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007 Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβληµα της σκέδασης

Το πρόβληµα της σκέδασης Το πρόβληµα της σκέδασης ΦΥΣ 11 - Διαλ.18 1 q Θεωρήστε μή φραγμένη κίνηση σε κεντρικό δυναμικό Ø Σωματίδιο έρχεται από το άπειρο και πηγαίνει στο άπειρο q Υποθέστε ότι F( r) 0 καθώς r Ø H τροχιά προσεγγίζει

Διαβάστε περισσότερα

10 MERCHIA. 10. Starting from standing position (where the SIGN START ) without marshal (self start) 5 minutes after TC4 KALO LIVADI OUT

10 MERCHIA. 10. Starting from standing position (where the SIGN START ) without marshal (self start) 5 minutes after TC4 KALO LIVADI OUT Date: 22 October 2016 Time: 09:00 hrs Subject: BULLETIN No 5 Document No: 1.6 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT

1. Αφετηρία από στάση χωρίς κριτή (self start όπου πινακίδα εκκίνησης) 5 λεπτά µετά την αφετηρία σας από το TC1B KALO LIVADI OUT Date: 21 October 2016 Time: 14:00 hrs Subject: BULLETIN No 3 Document No: 1.3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS-593 Game Theory 1. For the game depicted below, find the mixed strategy

Διαβάστε περισσότερα

Partial Trace and Partial Transpose

Partial Trace and Partial Transpose Partial Trace and Partial Transpose by José Luis Gómez-Muñoz http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/quantum/ jose.luis.gomez@itesm.mx This document is based on suggestions by Anirban Das Introduction This

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible.

Physical DB Design. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible. B-Trees Index files can become quite large for large main files Indices on index files are possible 3 rd -level index 2 nd -level index 1 st -level index Main file 1 The 1 st -level index consists of pairs

Διαβάστε περισσότερα

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume

On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume BULETINUL ACADEMIEI DE ŞTIINŢE A REPUBLICII MOLDOVA. MATEMATICA Numbers 2(72) 3(73), 2013, Pages 80 89 ISSN 1024 7696 On a four-dimensional hyperbolic manifold with finite volume I.S.Gutsul Abstract. In

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΕ ΤΕΛΕΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΕ ΤΕΛΕΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ. Υποβάλλεται στην ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΕ ΤΕΛΕΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Η ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Υποβάλλεται στην ορισθείσα από την Γενική Συνέλευση Ειδικής Σύνθεσης του Τμήματος Πληροφορικής Εξεταστική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων. Χειμερινό Εξάμηνο Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ. Επερωτήσεις SQL ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ342: Βάσεις Δεδομένων Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Φροντιστήριο 10 ΛΥΣΕΙΣ Επερωτήσεις SQL Άσκηση 1 Για το ακόλουθο σχήμα Suppliers(sid, sname, address) Parts(pid, pname,

Διαβάστε περισσότερα

Durbin-Levinson recursive method

Durbin-Levinson recursive method Durbin-Levinson recursive method A recursive method for computing ϕ n is useful because it avoids inverting large matrices; when new data are acquired, one can update predictions, instead of starting again

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ, ΠΕΡΙΟΧΗ ΟΙΚΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΠΟΛΕΟ ΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

A, B. Before installation of the foam parts (A,B,C,D) into the chambers we put silicone around. We insert the foam parts in depth shown on diagram.

A, B. Before installation of the foam parts (A,B,C,D) into the chambers we put silicone around. We insert the foam parts in depth shown on diagram. Corner Joints Machining, Frame edge sealing. Page ID: frame01 D D C A, B A C B C A 20 60 Before installation of the foam parts (A,B,C,D) into the chambers we put silicone around. We insert the foam parts

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΙΑ ΕΜΠΟΡΙΚΟΥ ΝΑΥΤΙΚΟΥ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ :ΤΥΠΟΙ ΑΕΡΟΣΥΜΠΙΕΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΣΠΟΥ ΑΣΤΡΙΑ: ΕΥΘΥΜΙΑ ΟΥ ΣΩΣΑΝΝΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΓΟΥΛΟΠΟΥΛΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 1 ΑΚΑ

Διαβάστε περισσότερα