ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 - ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματιή συνάρτηση πραγματιής μεταβλητής; Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι μια διαδιασία με την οποία άθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα αριβώς στοιχείο άποιου άλλου συνόλου Β Αν Α R, Β Rη συνάρτηση λέγεται πραγματιή συνάρτηση πραγματιής μεταβλητής Tι λέγεται τιμή μίας συνάρτησης στο ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Αν με τη συνάρτηση αυτή το A αντιστοιχίζεται στο y, τότε γράφουμε y αι διαβάζουμε y ίσον του Το λέγεται τιμή της στο 3 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Τι ονομάζεται εξαρτημένη αι τι ανεξάρτητη μεταβλητή της ; Αν με τη συνάρτηση το Aαντιστοιχίζεται στο y, τότε γράφουμε y Το γράμμα, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης στο αι εξαρτάται από την τιμή του, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή 4 'Έστω οι συναρτήσεις, που ορίζονται σε ένα σύνολο Α Πως ορίζονται I Το άθροισμα S ; II Η διαφορά D ; III Το γινόμενο P ; IV Το πηλίο R / ; Αν δύο συναρτήσεις, ορίζονται αι οι δύο σε ένα σύνολο Α, τότε ορίζονται αι οι συναρτήσεις: Το άθροισμα S, με S, A Η διαφορά D, με D, A Το γινόμενο P, με P, Aαι Το πηλίο R, με R, όπου Aαι 5 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α Τι ονομάζεται γραφιή παράσταση ή αμπύλη της σε ένα αρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oy ; Γραφιή παράσταση ή αμπύλη της σε ένα αρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oy λέγεται το σύνολο των σημείων M, για όλα τα A

2 - 6 Πότε ένα σημείο M, y του επιπέδου των αξόνων ανήει στην αμπύλη της συνάρτησης ; Ένα σημείο M, y του επιπέδου των αξόνων ανήει στην αμπύλη της, μόνο όταν y 7Τι ονομάζεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της συνάρτησης Η εξίσωση y επαληθεύεται μόνο από τα ζεύγη, y που είναι συντεταγμένες σημείων της γραφιής παράστασης της αι λέγεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της 8Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα αι πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με < ισχύει <, 9Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Δ, όταν για οποιαδήποτε σημεία, με < ισχύει > Τι ονομάζουμε περιοχή του ; περιοχή του ονομαζουμε ένα ανοιτό διάστημα το οποίο περιέχει το, I Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό μέγιστο στο A ; II Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό ελάχιστο A; I Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει Τοπιό μέγιστο στο A, όταν για άθε σε μια περιοχή του, αι τοπιό ελάχιστο στο A, όταν για άθε σε μια περιοχή του Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό ελάχιστο στο A όταν για άθε σε μια περιοχή του, Τι ονομάζονται αρότατα μίας συνάρτησης ; Τα μέγιστα αι τα ελάχιστα μιας συνάρτησης, τοπιά ή ολιά, λέγονται αρότατα της συνάρτησης Ε

3 - 3 3Αν οι συναρτήσεις αι έχουν στο όρια πραγματιούς αριθμούς, δηλαδή αν l αι l µε l, l R lm l m ποια είναι τα όρια :,,,,, ν lm lm lm lm lm lm lm l l lm k kl lm ll l lm l lm ν ν l lm ν νl 4Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής ; Ποιο είναι το χαρατηριστιό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε λειστό διάστημα ; Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για άθε A ισχύει lm 5 Συμπληρώστε τα ενά : l m ηµ, l m εφ, lm ηµ l m ηµ, l m εφ εφ, l m e e, e l m, l m συν, l m σφ, lml n l m συν συν, l m σφ σφ, lmln l n 6 Έστω μια συνάρτηση αι ένα σημείο A, της γραφιής της παράστασης C Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α ; Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της αμπύλης που είναι η γραφιή παράσταση μιας συνάρτησης στο σημείο, θα είναι

4 - 4 7Τι ονομάζεται παράγωγος της στο ; Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της αν,το όριο lm υπάρχει αι είναι πραγματιός αριθμός αι ονομάζεται παράγωγος της στο, συμβολίζεται με : Δηλαδή lm 8Τι ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς το, όταν ; Η παράγωγος της στο εφράζει το ρυθμό μεταβολής του y ως προς το, όταν 9Τι ονομάζεται παράγωγος μια συνάρτησης με πεδίο ορισμού το Α ; Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, αι Β το σύνολο των A στα οποία η είναι παραγωγίσιμη Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία άθε αντιστοιχίζεται στο lm Η συνάρτηση αυτή λέγεται πρώτη παράγωγος της αι συμβολίζεται με Τι ονομάζεται δεύτερη παράγωγος μια συνάρτησης ; Η παράγωγος της συνάρτησης λέγεται δεύτερη παράγωγος της αι συμβολίζεται με Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης c είναι δηλαδή ότι c Απόδειξη Έχουμε για άθε R c c αι για, Άρα c, οπότε lm Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτιής συνάρτησης είναι δηλαδή ότι Απόδειξη Έχουμε, αι για, Επομένως lm lm Άρa

5 - 5 3Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης είναι δηλαδή ότι Απόδειξη Έστω η συνάρτηση Έχουμε, αι για, Επομένως, lm Άρα lm 4Να αποδείξετε ότι : η παράγωγος της συνάρτησης είναι Απόδειξη Έστω η συνάρτηση, αι για, Έχουμε Επομένως, lm lm Άρα 5Ποιες είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων ημ, συν, e, ln> ; Για τις συναρτήσεις ηµ, συν ηµ συν συν ηµ, > Για την εθετιή αι τη λογαριθμιή συνάρτηση, με βάση τον αριθμό e, αποδεινύεται ότι e e αι ln

6 - 6 ΘΕΩΡΙΑ 6Να αποδείξετε ότι c c Αποδειξη Έστω η συνάρτηση c F Έχουμε c c c F F, αι για c c F F Επομένως lm lm c c F F Άρα c c 7Να αποδείξετε ότι Απόδειξη Έστω η συναρτηση F Έχουμε F F, αι για, F F Επομένως lm lm lm F F Άρα 8Ποιες είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων,, ; Για το γινόμενο αι το πηλίο συναρτήσεων αποδεινύεται ότι ισχύουν οι παραάτω ανόνες παραγώγισης: Αποδεινύεται ότι για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει:

7 - 7 9Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ αι ισχύει > αντιστοίχως < για άθε εσωτεριό σημείο του Δ τι συμπεραίνουμε για την μονοτονία της στο Δ ; Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ αι ισχύει > για άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ αι ισχύει < για άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 3Αν για μια συνάρτηση ισχύουν για α, β, > στο α, αι < στο, β αντιστοίχως για α, β, < στο α, αι > στο, β τι συμπεραίνουμε για τα αρότατα της στο α, β ; Αν για μια συνάρτηση ισχύουν για α, β, > στο α, αι < στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα α, β για μέγιστο Αν για μια συνάρτηση ισχύουν για α, β, < στο α, αι > στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα α, β για ελάχιστο 3 Να αποδείξετε ότι : αι εφ συν Απόδειξη ' ' Έχουμε : Άρα Έχουμε εφ ηµ ηµ συν ηµ συν συν συν συν ηµ συν συν Άρα εφ συν

8 - 8 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τι εννοούμε με τον όρο στατιστιή ; Στατιστιή είναι ένα σύνολο αρχών αι μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδιασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτιή αι αποτελεσματιή παρουσίασή τους την ανάλυση αι εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων Τι ονομάζεται πληθυσμός, δείγμα, αι πότε ένα δείγμα θα ονομάζεται αντιπροσωπευτιό ενός πληθυσμού; Ενα σύνολο το οποιο θέλουμε να εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρατηριστιά τους λέγεται πληθυσμός Καθε υποσύνολο του πληθυσμού, το οποίο αλείται δείγμα Ένα δείγμα θεωρείται αντιπροσωπευτιό ενός πληθυσμού, εάν έχει επιλεγεί ατά τέτοιο τρόπο, ώστε άθε μονάδα του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί 3Τι ονομάζονται στη στατιστιή μεταβλητές αι τι τιμές μίας μεταβλητής; Τα χαρατηριστιά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό λέγονται μεταβλητές varables αι τις συμβολίζουμε συνήθως με τα εφαλαία γράμματα X, Y, Z,, Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής 4Πως διαρίνονται οι μεταβλητές ως προς τις τιμές τους; Τις μεταβλητές τις διαρίνουμε: Σε ποιοτιές ή ατηγοριές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί Σε ποσοτιές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί αι διαρίνονται: -Σε διαριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές -Σε συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν αποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματιών αριθμών α, β 5Τι αλείται απογραφή ; Αναφέρετε δυο μειονετήματά της Ένας τρόπος για να πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για άποιο πληθυσμό είναι να εξετάσουμε όλα τα άτομα στοιχεία του πληθυσμού ως προς το χαρατηριστιό που μας ενδιαφέρει Η μέθοδος αυτή συλλογής των δεδομένων αλείται απογραφή - Σε πολλές όμως περιπτώσεις η εξέταση όλων των μονάδων του πληθυσμού είναι δύσολη ή αόμα αι αδύνατη - Επίσης ο όπος, ο χρόνος αι τα έξοδα που χρειάζονται για τη διεξαγωγή μιας απογραφής είναι πολλές φορές αρετά μεγάλα, ιδίως όταν ο πληθυσμός που εξετάζεται είναι αρετά μεγάλος

9 - 9 6 Έστω < < <, ν οι διαφορετιές τιμές μιας μεταβλητής Χ, ενός δείγματος μεγέθους v A Πως ορίζονται : α Η απόλυτη συχνότητα ν της τιμής β Η σχετιή συχνότητα της τιμής γ Η σχετιή συχνότητα% της τιμής % δ Η αθροιστιή συχνότητα N της τιμής για ποσοτιές μεταβλητές ε Η αθροιστιή σχετιή συχνότητα F της τιμής αι το αντίστοιχο ποσοστιαίο μέγεθος F% Β Συμπληρώστε τα ενά : α ν ν ν β N αι F γ N - N -, 3,, δ F - F -,, 3,, ε N αι F Α α Αν,,, είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v, ν Στην τιμή αντιστοιχίζεται η απόλυτη συχνότητα ν, δηλαδή ο φυσιός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων β Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα ν με το μέγεθος ν του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχνότητα της τιμής, δηλαδή ν,,,, ν γ Τις σχετιές συχνότητες τις εφράζουμε επί τοις εατό, οπότε συμβολίζονται με %, δηλαδή % δ Αθροιστιές συχνότητες εφράζουν το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι μιρότερες ή ίσες της τιμής ε Αθροιστιές σχετιές συχνότητες F, οι οποίες εφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μιρότερες ή ίσες της τιμής Β α ν ν ν v β ν, αι F, γ ν,, 3,, δ F F, 3,, ε v v v αι k Fk 3 k 7 Να αποδείξετε ότι για τη σχετιή συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες : I για,,, II Απόδειξη Για τις σχετιές συχνότητες λ λ v, v,, των απλών ενδεχομένων θα έχουμε: v,,,, λ αφού v λ v Α μελος : λ v v

10 - 8 Τι ονομάζεται ατανομή συχνοτήτων μίας μεταβλητής με τιμές,,, ; Για μια μεταβλητή, το σύνολο των ζευγών, ν λέμε ότι αποτελεί την ατανομή συχνοτήτων 9 Πότε χρησιμοποιείται το ραβδόγραμμα ; Να δώσετε μία περιγραφή του Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση των τιμών μιας ποιοτιής μεταβλητής Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσονται πάνω στον οριζόντιο ή τον αταόρυφο άξονα Σε άθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετιή συχνότητα Έτσι έχουμε αντίστοιχα το ραβδόγραμμα συχνοτήτων αι το ραβδόγραμμα σχετιών συχνοτήτων Τόσο η απόσταση μεταξύ των στηλών όσο αι το μήος των βάσεών τους αθορίζονται αυθαίρετα Πότε χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων; Να δώσετε μία περιγραφή του Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτιή μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόνη διαφορά ότι αντί να χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώνια υψώνουμε σε άθε υποθέτοντας ότι < < < μία άθετη γραμμή με μήος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα, όπως φαίνεται στο σχήμα α Μπορούμε επίσης αντί των συχνοτήτων ν στον άθετο άξονα να βάλουμε τις σχετιές συχνότητες, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετιών συχνοτήτων Πότε χρησιμοποιείται το πολύγωνο συχνοτήτων; Να δώσετε μία περιγραφή του Ενώνοντας τα σημεία, ν ή, έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετιών συχνοτήτων, αντίστοιχα, που μας δίνουν μια γενιή ιδέα για τη μεταβολή της συχνότητας ή της σχετιής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε Πότε χρησιμοποιείται το υλιό διάγραμμα; Να δώσετε μία περιγραφή του Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο των ποιοτιών όσο αι των ποσοτιών δεδομένων, όταν οι διαφορετιές τιμές της μεταβλητής είναι σχετιά λίγες Το υλιό διάγραμμα είναι ένας υλιός δίσος χωρισμένος σε υλιούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ν ή τις σχετιές συχνότητες των τιμών της μεταβλητής

11 - 3Με τι είναι ίσο το τόξο α ενός υλιού διαγραμματοσς που αντιστοιχεί στην τιμή ; Αν συμβολίσουμε με α το αντίστοιχο τόξο ενός υλιού τμήματος στο υλιό διάγραμμα συχνοτήτων, τότε: o 36 α ν 36 o για,,, ν 4 Τι είναι το σημειόγραμμα ; Όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η ατανομή τους μπορεί να περιγραφεί με το σημειόγραμμα στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφιά σαν σημεία υπεράνω ενός οριζόντιου άξονα 5Τι είναι το χρονόγραμμα ή χρονολογιό διάγραμμα ; Το χρονόγραμμα ή χρονολογιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή απειόνιση της διαχρονιής εξέλιξης ενός οιονομιού, δημογραφιού ή άλλου μεγέθους Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του χρόνου αι ο άθετος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής 6 Τι είναι οι λάσεις αι τα όρια των λάσεων ; Τι είναι η εντριή τιμή, το πλάτος αι η συχνότητα μίας λάσης ; Κλάσεις λέγονται οι ομάδες που ταξινομούνται οι τιμές μιας μεταβλητής, ώστε άθε τιμή να ανήει σε μια λάση Όρια των λάσεων λέγονται τα άρα των λάσεων Κεντριή τιμή μιας λάσης λέγεται η τιμή του έντρου της λάσης Πλάτος μιας λάσης λέγεται η διαφορά του ατωτέρου από το ανώτερο άρο της λάσης Το πλήθος των παρατηρήσεων ν που προύπτουν από τη διαλογή για την λάση αλείται συχνότητα της λάσης αυτής ή συχνότητα της εντριής τιμής, 7 Τι είναι το ιστόγραμμα συχνοτήτων ; Πως ατασευάζεται ; Τι είναι το πολύγωνο σχετιών συχνοτήτων ; Η γραφιή παράσταση ενός πίναα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το ιστόγραμμα συχνοτήτων Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με ατάλληλη λίμαα, τα όρια των λάσεων Στη συνέχεια, ατασευάζουμε διαδοχιά ορθογώνια ιστούς, από αθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της λάσης αι ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της λάσης αυτής Θεωρώντας το πλάτος c ως μονάδα μέτρησης του χαρατηριστιού στον οριζόντιο άξονα, το ύψος άθε ορθογωνίου είναι ίσο προς τη συχνότητα της αντίστοιχης λάσης, έτσι ώστε να ισχύει πάλι ότι το εμβαδόν των ορθογωνίων είναι ίσο με τις αντίστοιχες συχνότητες Επομένως, στον αταόρυφο άξονα σε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων βάζουμε τις συχνότητες Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, στην αρχή αι στο

12 - τέλος, με συχνότητα μηδέν αι στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων, σχηματίζεται το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων αι τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος ν Όμοια ατασευάζεται από το ιστόγραμμα σχετιών συχνοτήτων αι το πολύγωνο σχετιών συχνοτήτων με εμβαδόν ίσο με, v 8 6 4,3,5,,5,, Υ ψος σε cm Ύ ψος σε cm α β Με τον ίδιο τρόπο ατασευάζονται αι τα ιστογράμματα αθροιστιών συχνοτήτων αι αθροιστιών σχετι-ών συχνοτήτων Αν ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστιών συχνοτήτων τα δεξιά άρα όχι μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα βρίσουμε το πολύγωνο αθροιστιών συχνοτήτων της ατανομής F,9,8,7,6,5,4,3,, Ύ ψος σε cm 8 Ποια είναι η αριθμητιή τιμή του εμβαδού του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων αι τον οριζόντιο άξονα; Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων αι τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος ν 9 Τι ονομάζεται αμπύλη συχνοτήτων ; Εάν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των λάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρετά μεγάλος τείνει στο άπειρο αι ότι το πλάτος των λάσεων είναι αρετά μιρό τείνει στο μηδέν, τότε η πολυγωνιή γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή μιας ομαλής αμπύλης, η οποία ονομάζεται αμπύλη συχνοτήτων

13 - 3 Τι λέγεται ομοιόμορφη ατανομή αι ποια η αμπύλη συχνοτήτων της ; Όταν οι παρατηρήσεις ατανέμονται ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β],, η ατανομή λέγεται ομοιόμορφη α β γ δ Τι λέγεται ανονιή ατανομή αι ποια η αμπύλη συχνοτήτων της ; Η ατανομή β, με ωδωνοειδή μορφή λέγεται ανονιή ατανομή normal dstrbuton αι παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστιή α β γ δ Ποιά ατανομή λέγεται ασύμμετρη; Ποια είναι τα είδη ασυμμετρίας ; Σχεδιάστε τις αμπύλες συχνοτήτων τους Όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετριά ατανεμημένες, η ατανομή λέγεται ασύμμετρη με θετιή ασυμμετρία > δ όπως στην ατανομή γ ή αρνητιή ασυμμετρία < δόπως στην ατανομή δ α β γ δ 3Τι αλούμε μέτρα θέσης ; Τα μέτρα θεσης είναι αριθμητιά μεγέθη, που να μας δίνουν τη θέση του έντρου των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα

14 - 4 4 Τι αλούμε μέτρα διασποράς ; Μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας είναι αριθμητιά μεγέθη που μας δινουν τη διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές ετείνονται γύρω από το έντρο τους 5 Τι αλούνται μέτρα ασυμμετρίας ; Μέτρα ασυμμετρίας είναι αριθμητια μεγεθη που αθορίζουν τη μορφή της ατανομής Κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη αμπύλη συχνοτήτων είναι συμμετριή ή όχι ως προς την ευθεία, για δεδομένο σημείο του άξονα Τα μέτρα αυτά εφράζονται σε συνάρτηση με τα μέτρα θέσης αι διασποράς 6 Πως ορίζεται η μέση τιμή μίας ποσοτιής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών t, t,, tν μεγέθους ν ; Όταν σε ένα δείγμα μεγέθους ν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι t, t,, tv, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με αι δίνεται από τη σχέση: t t t t ν ν ν ν ν ν t 7 Πως εφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτιής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών,,, μεγέθους ν, με αντίστοιχες συχνότητες ν,ν,, ν ; Σε μια ατανομή συχνοτήτων, αν,,, είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχνότητες v, v,, v αντίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύναμα από τη σχέση: ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν 8 Τι ονομάζουμε σταθμισμένο αριθμητιό μέσο ή σταθμιό μέσο των τιμών,,, ν με συντελεστές στάθμισης βαρύτητας w,w,, wν ; Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετιή βαρύτητα έμφαση στις τιμές,,, ν ενός συνόλου δεδομένων, τότε αντί του αριθμητιού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθμισμένο αριθμητιό μέσο ή σταθμιό μέσο Εάν σε άθε τιμή,,, ν δώσουμε διαφορετιή βαρύτητα, που εφράζεται με τους λεγόμενους συντελεστές στάθμισης βαρύτητας w, w,, wν, τότε ο σταθμιός μέσος βρίσεται από τον τύπο:

15 - 5 w w w ν w ν ν ν w w wν w 9 Πως εφράζεται η μέση τιμή μίας ποσοτιής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών,,,, μεγέθους ναπό τις τιμές της μεταβλητής αι τις σχετιές συχνότητές τους,,, ; Η μέση τιμή μίας ποσοτιής μεταβλητής Χ, σε ένα δείγμα τιμών,,,, μεγέθους ναπό τις τιμές της μεταβλητής αι τις σχετιές συχνότητές τους,,, ; ν ν 3 Πως ορίζεται η διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί ατά αύξουσα σειρά ; Διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, όταν το ν είναι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το ν είναι άρτιος αριθμός 3Τι ονομάζεται εύρος ή ύμανση R μιας ατανομής ; Αναφέρατε ένα σημαντιό μειονέτημά του Το εύρος ή ύμανση R, που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος R Μεγαλύτερη παρατήρηση-μιρότερη παρατήρηση Το εύρος είναι ένα αρετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις δυο αραίες παρατηρήσεις 3Δείξτε ότι ο αριθμητιός μέσος των απολίσεων των παρατηρήσεων ενός δείγματος από τη μέση τιμή του είναι ίσος με το μηδέν Απόδειξη v v v v v v v

16 - 6 33Τι ονομάζεται διαύμανση ή διασπορά s² μιας ατανομής σε ένα δείγμα τιμών t, t,, tv μεγέθους ν; Διαύμανση ή διασπορά των παρατηρήσεων t, t t 3,, t ν μιας μεταβλητής Χ αλείται ο μέσος όρος των τετραγώνων των απολίσεων των t από τη μέση τιμή τους,ορίζεται από τη σχέση ν s t ν 34Αναφέρατε ένα σημαντιό μειονέτημα της διαύμανσης εξαιτίας του οποίου προτιμάμε την θετιή ρίζα της Η διαύμανση είναι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει ένα μειονέτημα Δεν εφράζεται με τις μονάδες με τις οποίες εφράζονται οι παρατηρήσεις Για παράδειγμα, αν οι παρατηρήσεις εφράζονται σε cm, η διαύμανση εφράζεται σε cm Αν όμως πάρουμε τη θετιή τετραγωνιή ρίζα της διαύμανσης, θα έχουμε ένα μέτρο διασποράς που θα εφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του χαρατηριστιού, όπως αριβώς είναι αι όλα τα άλλα μέτρα θέσης, που εξετάσαμε έως τώρα 35Τι ονομάζεται τυπιή απόλιση s μιας ατανομής ; Η ποσότητα αυτή λέγεται τυπιή απόλιση,συμβολίζεται με s αι δίνεται από τη σχέση: s s 36 Αν η μεταβλητή Χ αολουθεί την ανονιή ατανομή με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση s, να αναφέρετε το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσεται στο διάστημα s, s s, s 3s, 3s αν η αμπύλη συχνοτήτων για το χαρατηριστιό που εξετάζουμε είναι ανονιή ή περίπου ανονιή, τότε η τυπιή απόλιση s έχει τις παραάτω ιδιότητες: το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσεται στο διάστημα s, s το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσεται στο διάστημα s, s το 99,7% περίπου των παρατη-ρήσεων βρίσεται στο διάστημα 3s, 3s s 3s s s s s 3s 68% 95% 99,7% s

17 Ποιο είναι ατά προσέγγιση το εύρος R μίας ανονιής ατανομής ; Το εύρος εύρος R μίας ανονιής ατανομής ισούται περίπου με έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6s 38 Πως ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας CV ; Ένα μέτρο το οποίο μας βοηθά στη σύγριση ομάδων τιμών, που είτε εφράζονται σε διαφορετιές μονάδες μέτρησης είτε εφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν σημαντιά διαφορετιές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας ο οποίος ορίζεται από το λόγο: τυπιή απόλιση s CV % % µέση τιµή 39Πως συγρίνονται ως προς την ομοιογένεια δύο δείγματα Α, Β με βάση τους συντελεστές μεταβολής ; Θα λέμε ότι το δείγμα Α έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από ένα δείγμα Β, όταν : CV < CV A 4Πότε ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές ; ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το % 4Από τα, δ, s, s, R ποια είναι μέτρα θέσης αι ποια μέτρα διασποράς ; Τα μέτρα διασποράς είναι: Το εύρος R Η διαύμανση s Η τυπιή απόλιση s Τα μέτρα θέσης είναι: Η μέση τιμή Η διάμεσος δ 4 α Αν y c τοτε ɺ : y αι S y β Αν y λ τοτε ɺ : y αι S y α y c, s y s β y c, s y c s k k για ένα δείγμα τιμών 43 Αποδείξτε τους παραάτω τύπους : s,,, μεγέθους ν, με αντίστοιχες σχετιές συχνότητες,,, Απόδειξη

18 - 8 s k v v v vk k v v vk k v v v k k v v k k v v v v v v v v v v k k k v v v v s v v v v ν v v v v ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Πότε ένα πείραμα λέγεται πείραμα τύχης αι πότε αιτιορατιό ; Ένα πείραμα ατά το οποίο η γνώση των συνθηών άτω από τις οποίες ετελείται αθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιορατιό πείραμα Υπάρχουν όμως αι πειράματα των οποίων δεν μπορούμε ε των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται φαινομενιά τουλάχιστον άτω από τις ίδιες συνθήες Ένα τέτοιο πείραμα ονομάζεται πείραμα τύχης ατι λέγεται δειγματιός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης ; βτι λέμε δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις ενός πειράματος τύχης ; Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματιός χώρος αι συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω 3 Τι λέγεται ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ; Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο ή γεγονός 4 Τι λέγεται απλό αι τι σύνθετο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ; Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο αι σύνθετο αν έχει περισσότερα στοιχεία

19 - 9 5 Πότε λέμε ότι ένα ενδεχόμενο Α ενός πειράματος τύχης πραγματοποιείται ή συμβαίνει σε μια συγεριμένη ετέλεσή του πειράματος ; Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγεριμένη ετέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει 6Τι ονομάζονται ευνοϊές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή ενός ενδεχομένου; Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται αι ευνοϊές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του 7Ποιο είναι το βέβαιο αι ποιο το αδύνατο ενδεχόμενο ; Ο ίδιος ο δειγματιός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο αι αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήει στο Ω Γι αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο Δεχόμαστε αόμα ως ενδεχόμενο αι το ενό σύνολο που δεν πραγματοποιείται σε αμιά ετέλεση του πειράματος τύχης Γι αυτό λέμε ότι το είναι το αδύνατο ενδεχόμενο 8 Αν Α είναι ένα ενδεχόμενο τι συμβολίζει το NA ; Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε με A 9 Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A ; Να παραστήσετε το A σε ένα διάγραμμα Venn Το ενδεχόμενο A, που διαβάζεται Α τομή Β ή Α αι Β αι πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α αι A Ω A Πότε πραγματοποιείται το ενδεχόμενο A ; Να παραστήσετε το A σε ένα διάγραμμα Venn Το ενδεχόμενο A, που διαβάζεται Α ένωση Β ή Α ή Β αι πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β A Ω A

20 - Πότε πραγματοποιείται το αντίθετο ενδεχόμενο A του Α ; Να παραστήσετε το A σε ένα διάγραμμα Venn Το ενδεχόμενο A, που διαβάζεται όχι Α ή συμπληρωματιό του Α αι πραγματο-ποιείται, A A όταν δεν πραγματοποιείται το Α Το A λέγεται αι αντίθετο του Α Ω Πότε πραγματοποιείται η διαφορά A του Β από το Α ;Να παραστήσετε το A σε ένα διάγραμμα Venn Το ενδεχόμενο A, που διαβάζεται διαφορά του Β από το Α αι πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β Είναι εύολο να δούμε ότι A A Ω A A 3 Πότε δύο ενδεχόμενα Α αι Β λέγονται ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους ; Δύο ενδεχόμενα Α αι Β λέγονται ασυμβίβαστα η ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως απολειόμενα, όταν A 4 Τι ονομάζεται σχετιή συχνότητα ενός ενδεχομένου Α ; Αν σε ν ετελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται φορές, τότε ο λόγος v ονομάζεται σχετιή συχνότητα του Α αι συμβολίζεται με A 5Έστω Ω { ω, ω,, ωλ }δειγματιός χώρος αι τα απλά ενδεχόμενα {ω},{ω},,{ωλ} τα οποία πραγματοποιούνται,,, λ φορές αντίστοιχα σε ν ετελέσεις του πειράματος με σχετιές συχνότητες,,, λ Δείξτε ότι λ Αποδειξη Από τις σχετιές συχνότητες λ λ v, v,, των απλών ενδεχομένων θα έχουμε: v λ v λ v v 6Τι ονομάζεται στατιστιή ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών ;

21 - Οι σχετιές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από άποιους αριθμούς όχι πάντοτε ίδιους, αθώς ο αριθμός των δοιμών του πειράματος επαναλαμβάνεται απεριόριστα Το εμπειριό αυτό εξαγόμενο, το οποίο επιβεβαιώνεται αι θεωρητιά, ονομάζεται στατιστιή ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών 7Να δώσετε τον λασιό ορισμό της πιθανότητας Σε ένα πείραμα με ν ισοπίθανα αποτελέσματα η σχετιή συχνότητα ενός ενδεχομένου με στοιχεία θα τείνει στον αριθμό Γι αυτό είναι εύλογο σε ένα πείραμα με ισοπίθανα ν αποτελέσματα να ορίσουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό: Πλήθος Ευνοϊών Περιπτώσεων A P A Πλήθος υνατών Περιπτώσεων Ω 8 Πως από τον λασιό ορισμό της πιθανότητας προύπτει ότι PΩ, P, PA ; Από τον λασιο ορισμό της πιθανοτητας προύπτει ότι: Ω P Ω Ω P Ω 3 Για άθε ενδεχόμενο Α ισχύει P A, αφού το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μιρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματιού χώρου 9 Να δώσετε τον αξιωματιό ορισμό της πιθανότητας Έστω Ω ω, ω,, ω } ένας δειγματιός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων Σε άθε { ν { απλό ενδεχόμενο ω } αντιστοιχίζουμε έναν πραγματιό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με P ω, έτσι ώστε να ισχύουν: P ω ω P ω P ων P Τον αριθμό P ω ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου ω } Ως πιθανότητα P A ενός ενδεχομένου A α, α,, α } ορίζουμε το άθροισμα { { P α P α P α, ενώ ως πιθανότητα του αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό P

22 - Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α αι Β ισχύε ο απλός προσθετιός νόμος : PA PA P Αποδειξη Αν A αι λ, τότε το A έχει λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α αι Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα Δηλαδή, έχουμε A λ A Επομένως: A P A Ω A Ω A Ω Ω P A P Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετιός νόμος smply addtve law αι ισχύει αι για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α, Β αι Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε P A Γ P A P P Γ Ω A A Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματιά ενδεχόμενα Α αι A ισχύει : PA PA Αποδειξη Επειδή A A, δηλαδή τα Α αι A είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχιά, σύμφωνα με τον απλό προσθετιό νόμο: P A A P A P A P Ω P A P A A A P A P A Ω Οπότε P A P A Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α αι Β ισχύει ο προσθετιός νόμος : PA PA P PA Αποδειξη Για δυο ενδεχόμενα Α αι Β έχουμε A A A, αφού στο άθροισμα A το πλήθος των στοιχείων του A υπολογίζεται δυο φορές Αν διαιρέσουμε τα μέλη της με Ω έχουμε: A A A Ω Ω Ω Ω Ω A A

23 - 3 αι επομένως P A P A P P A Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετιός νόμος 3 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α αι Β με Α Β ισχύει : PA P Αποδειξη Επειδή A έχουμε διαδοχιά: A A Ω Ω A P A P Ω 4 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α αι Β ισχύει : PA - PA - PΑ Αποδειξη Επειδή τα ενδεχόμενα A αι A είναι ασυμβίβαστα αι A A A, έχουμε: P A P A P A A Άρα P A P A P A Ω A 5 Αποδείξτε ότι : α P[A - Β-Α] PA ΡΒ - PΑ β ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ ΡΑ Β γ ma {PA, P } ΡΑ Β mn {, ΡΑ ΡΒ } δ ma {, PA P } ΡΑ Β mn { ΡΑ, ΡΒ } ε Αν ΡΑ ΡΒ > τότε Α, Β όχι ασυμβίβαστα Απόδειξη α A, A ξένα μεταξύ τους άρα από τον προσθετιό νόμο : P A A P A P A P A P A P P A P A P P A β P A ' P A P A P P A P A P P A γ A P P A Ma{ P, P A } P A A A P A P A

24 - 4 P A P A P P A P A P A P P A P A Mn{, P A P } δ ma {, PA P } ΡΑ Β mn { ΡΑ, ΡΒ } A A P A P A Mn{ P, P A } P A A P A P P A P A P P A P A P P A P A ma{,p A P } Ρ Α Β ε Αν ΡΑ ΡΒ > τότε Α, Β όχι ασυμβίβαστα Αν Α, Β ασυμβιβαστα τοτε P A P A P > ατοπο αρα Α, Β όχι ασυμβίβαστα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 1 9 8 3 8 9 ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα.

xdx και κ xdx x. Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 1 9 8 3 8 9 ) 1 Να αποδειχθει οτι : α) Η συναρτηση f με f(x)= x ειναι γνησιως αυξουσα. Π α ν ε λ λ α δ ι ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 9 8 3 8 9 ) Να αποδειχθει οτι : Η συναρτηση f με f() ειναι γνησιως αυξουσα. Για ισχυουν : d αι d. Η f εχει πεδιο ορισμου το Α[, ) αι ειναι συνεχης σε αυτο. Αομη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Μια «πολύπλοη» συνάρτηση f, δυό μεταβλητών, μπορεί να προσεγγιστεί (στην γειτονιά ενός σημείου (,y)) από μια πολυωνιμιή συνάρτηση με την βοήθεια του αναπτύγματος

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 20 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f είναι f, για κάθε. Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015

Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 2000-2015 Θέματα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής 000-015 Περιεχόμενα Θέματα Επαναληπτικών 015.................................................. 3 Θέματα 015............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση

1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση ¾½ Ø Å Ñ Ø Ò È Ø Ì Ü Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ ¾¼ Å ÓÙ ¾¼¼ 1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) 0, 8 και P (B) 0, 4 να αποδείξετε ότι: (αʹ) 0, P (A B) 0, 4 (βʹ) Τα A και B δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (2001 2012) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (2003 2012) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑŸΙΚ Ν ΕΞΕΤΑΣΕ Ν (00 0) & ΘΕΜΑΤ Ν ΠΡΟΣΟΜΕΙ ΣΗΣ Ο.Ε.Φ.Ε (003 0) Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα