ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες

Transcript

1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γειές έοιες Στατιστιή είαι ο λάδος τω μαθηματιώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους αι τη παρουσίασή τους σε ατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού για τη εξυπηρέτηση διαφόρω σοπώ. Πληθυσμός είαι το σύολο τω ατιειμέω (έμψυχω ή άψυχω) για τα οποία συλλέγοται στοιχεία. Άτομο οομάζεται άθε στοιχείο εός πληθυσμού ή εός δείγματος. Δείγμα είαι έα μέρος (υποσύολο) του πληθυσμού, που είαι ατιπροσωπευτιό του πληθυσμού αι από τη εξέταση του οποίου βγάζουμε συμπεράσματα για ολόληρο το πληθυσμό. Δειγματοληψία είαι η εξέταση εός δείγματος, άποιου πληθυσμού. Μέγεθος ή πλήθος ( ) εός πληθυσμού (ή εός δείγματος) οομάζεται το πλήθος τω ατόμω του.

2 Πληθυσμός Δείγμα Άτομο Μεταβλητή είαι το χαρατηριστιό εός πληθυσμού, ως προς το οποίο αυτός εξετάζεται. H μεταβλητές συμβολίζοται με εφαλαία γράμματα π.χ. συήθως το γράμμα Χ, εώ οι τιμές τους με με τα ατίστοιχα πεζά ι έα μιρό δείτη αρίθμησης π.χ.,, 3,... αι γειά, όπου =,, 3,... Είδη μεταβλητώ Οι μεταβλητές χωρίζοται σε δύο γειές ατηγορίες : Ποιοτιές είαι εείες που δε επιδέχοται μέτρηση, πχ. χρώμα ματιώ, μόρφωση, θρήσευμα, λπ. Ποσοτιές είαι εείες που μπορού α μετρηθού, πχ. ύψος, μισθός, ώρες εργασίας, τιμή, λπ.

3 Είδη ποσοτιώ μεταβλητώ Με τη σειρά τους, οι ποσοτιές μεταβλητές χωρίζοται σε : Διαριτές δηλαδή, εείες στις οποίες άθε άτομο του πληθυσμού μπορεί α πάρει μόο διαεριμέες τιμές, πχ. αριθμός παιδιώ, μέρες διαοπώ, λπ. Συεχείς είαι εείες, στις οποίες άθε άτομο του πληθυσμού μπορεί α πάρει οποιαδήποτε πραγματιή τιμή, που αήει σε διάστημα (ή έωση διαστημάτω) πραγματιώ αριθμώ, πχ. ύψος, βάρος, λπ. 3

4 Παρατηρήσεις μη ομαδοποιημέες Συχότητα ή απόλυτη συχότητα ( ) Συχότητα ή απόλυτη συχότητα μιας τιμής οομάζεται το πλήθος τω ατόμω του πληθυσμού (ή του δείγματος) για τα οποία η μεταβλητή παίρει τη τιμή αυτή = ( ) 0 =,,..., ( ) Σχετιή συχότητα ( f ) Σχετιή συχότητα μιας τιμής οομάζεται ο λόγος της συχότητας προς το μέγεθος του δείγματος αι συμβολίζεται με f. f = =,,..., ( ) f + f f = ( ) f % + f % f % = 00 % ( ) f % = f 00 ( ) 0 f ( ) Αθροιστιή συχότητα ( Ν ) Αθροιστιή συχότητα μιας τιμής οομάζεται το άθροισμα τω συχοτήτω τω τιμώ που είαι μιρότερες ή ίσες με τη τιμή αυτή. 4

5 Ν = =,,... Ν = =,,... Ν+ = N + + =,,... Αθροιστιή σχετιή συχότητα ( F ) Αθροιστιή σχετιή συχότητα μιας τιμής οομάζεται το άθροισμα τω σχετιώ συχοτήτω f τω τιμώ που είαι μιρότερες ή ίσες με τη τιμή αυτή. F = f + f f =,,... F % = F 00 =,,... F = f =,,... F+ = F + f+ =,,... F = N =,,... Παρατηρήσεις ομαδοποιημέες λάση λειστό [ α, β ) αοιχτό άτω άρο άω άρο Πλάτος ( c ) μιας λάσης [α, β) οομάζεται η διαφορά τω άρω της, δηλαδή : c = β α 5

6 Κέτρο ή ετριή τιμή ( ) μιας λάσης [α, β) οομάζεται το ημιάθροισμα τω άρω της, δηλαδή : = α β Διαγράμματα Διάγραμμα συχοτήτω Το διάγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για ποσοτιές μεταβλητές. Μπορούμε α φτιάξουμε διαγράμματα για οποιοδήποτε συχότητα: απλή, σχετιή, αθροιστιή, σχετιή αθροιστιή ή τις ατίστοιχες %. Α εώσουμε τις ορυφές εός διαγράμματος συχοτήτω ή αθροιστιώ συχοτήτω, σχηματίζουμε τα ατίστοιχα πολύγωα συχοτήτω. 6

7 Ν Ραβδόγραμμα Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για ποιοτιές μεταβλητές. Το ραβδόγραμμα μπορεί α είαι άθετο ή οριζότιο. f N Ο οριζότιος άξοας δε είαι άξοας με τη αυστηρή έοια, αλλά μια σειρά από διαδοχιές θέσεις. Γι' αυτό, η απόσταση ή το πάχος τω ράβδω, που σχεδιάζουμε, είαι αυθαίρετο αι δε παίζει αέα ουσιαστιό ρόλο. Τα ραβδογράμματα δε έχου πολύγωο συχοτήτω. 7

8 Κυλιό διάγραμμα Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται τόσο για ποσοτιές, όσο αι για ποιοτιές μεταβλητές. Τα τόξα α εός υλιού διαγράμματος (ή οι ατίστοιχες επίετρες γωίες) συδέοται άμεσα με τη σχετιή συχότητα f, σύμφωα με τη σχέση: α f = ή α = 360 f 360 Κάθε ύλος είαι χωρισμέος σε 360. Κάθε διάμετρος χωρίζει το ύλο σε δύο ημιύλια, αθέα ίσο με 80. Κάθε ορθή γωία έχει μέτρο ο 80 ο φ 90 ο Ιστόγραμμα συχοτήτω Το ιστόγραμμα χρησιμοποιείται για ομαδοποιημέες ποσοτιές παρατηρήσεις. α β 8

9 Μπορούμε α φτιάξουμε ιστόγραμμα για οποιοδήποτε συχότητα: απλή, σχετιή, αθροιστιή ή σχετιή αθροιστιή (ή τις ατίστοιχες %). Η ατασευή του πολύγωου συχοτήτω, στη περίπτωση ιστογράμματος, είαι ελαφρά δυσολότερη από το απλό διάγραμμα. Πολύγωο συχοτήτω α β Χρησιμοποιούμε βοηθητιές λάσεις, επιπλέο. Εώουμε τα έτρα τω λάσεω. Το εμβαδό που περιλείεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το άξοα ισούται με το άθροισμα τω εμβαδώ όλω τω ορθογωίω. Το εμβαδό άτω από το πολύγωο συχοτήτω () ισούται με, εώ το εμβαδό άτω από το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω (f) ισούται με. () () Με τη προϋπόθεση ότι χρησιμοποιήσουμε ως μοάδα μέτρησης το πλάτος c. 9

10 Πολύγωο αθροιστιώ συχοτήτω Ν α β Εώουμε διαγωίως, τις δεξιές ορυφές τω ορθογωίω. 0

11 Μέτρα θέσης Μέτρα θέσης μιας μεταβλητής οομάζουμε τα παραάτω μεγέθη : Επιρατούσα τιμή (ή ορυφή) Διάμεσος Μέση τιμή (ή αριθμητιός μέσος) Σταθμιός μέσος Επιρατούσα τιμή ( Μο ) Επιρατούσα τιμή μια μεταβλητής οομάζεται η τιμή της μεταβλητής με τη μεγαλύτερη συχότητα. Είαι δυατό α υπάρχου περισσότερες από μία επιρατούσες τιμές, στη περίπτωση που δύο ή περισσότερες τιμές έχου τη μέγιστη συχότητα. Τότε λέμε πως έχουμε διόρυφη ή πολυόρυφη αταομή συχοτήτω. Είαι δυατό α μη υπάρχει επιρατούσα τιμή, α όλες οι παρατηρήσεις είαι διαφορετιές Ομαδοποιημέες παρατηρήσεις Επιρατούσα λάση οομάζεται η λάση με τη μεγαλύτερη συχότητα. Στη περίπτωση ομαδοποιημέω παρατηρήσεω, η εύρεση της επιρατούσας τιμής γίεται γραφια, από το ιστόγραμμα συχοτήτω :

12 επιρατούσα λάση Μ0 Διάμεσος ( δ ) Διάμεσος εός δείγματος παρατηρήσεω, οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά οομάζεται : Η μεσαία παρατήρηση, α το πλήθος είαι περιττό. Το ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω, α το πλήθος είαι άρτιο. Η διάμεσος αι η θέση στη οποία τη ααζητούμε είαι δύο διαφορετιά πράγματα. Ομαδοποιημέες παρατηρήσεις Στη περίπτωση ομαδοποιημέω παρατηρήσεω, η εύρεση της διαμέσου γίεται γραφια, από το πολύγωο, οποιουδήποτε αθροιστιού ιστογράμματος ( N ή F ) : F (%) 00% 50% δ

13 3 Μέση τιμή ( ) Μέση τιμή εός δείγματος μεγέθους οομάζεται το πηλίο του αθροίσματος τω παρατηρήσεω, προς το πλήθος τους.... Προειμέου για παρατηρήσεις ταξιομημέες σε αταομή συχοτήτω : v... v v ( ) Ισχύει αόμα : f... f f f ( ) Στη περίπτωση που άθε τιμή συμμετέχει στα δεδομέα, με διαφορετιή βαρύτητα /συτελεστή βαρύτητας ( w ), τότε ατί του αριθμητιού μέσου χρησιμοποιούμε το τύπο του σταθμιού μέσου : w... w w w... w w w w ( )

14 Σύγριση μέτρω θέσης Μέση Τιμή Εξαρτάται απ' όλες τις τιμές. Εργαζόμαστε ευολότερα θεωρητιά ή αλγεβριά. Επηρεάζεται από αραίες τιμές. Διάμεσος Δε επηρεάζεται από αραίες τιμές. Εξαρτάται από το πλήθος όλω τω τιμώ. Ο υπολογισμός της παρουσιάζει δυσολίες σε ορισμέες περιπτώσεις, όπως π.χ. σε συεχή μεταβλητή. Επιρατούσα Τιμή Δε επηρεάζεται από αραίες τιμές. Χρήσιμη σε ποιοτιά δεδομέα, όπου μέση τιμή αι διάμεσος δε έχου όημα. Εξαρτάται μόο από τη μεγαλύτερη τιμή αι αγοεί τις υπόλοιπες. 4

15 5 Μέτρα διασποράς Εύρος ( R ) Εύρος τω τιμώ μιας μεταβλητής οομάζεται η διαφορά της μιρότερης τιμής, από τη μεγαλύτερη : R = ma mn Διαύμαση ή διασπορά ( s ) Διαύμαση μιας μεταβλητής Χ, η οποία παίρει το πλήθος τιμές, =,, 3,..., με μέση τιμή οομάζεται το πηλίο : ) (... ) ( ) ( ) ( s Α οι τιμές της μεταβλητής Χ είαι ταξιομημέες σε πίαα συχοτήτω, με διαφορετιές τιμές, τότε: ) (... ) ( ) ( ) ( s Α η μέση τιμή δε είαι αέραιος αριθμός, τότε προειμέου α διευολύουμε τους υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε τους εαλλατιούς τύπους : v s ή v v s

16 Τυπιή απόλιση ( s ) Τυπιή απόλιση s μιας μεταβλητής X, που παίρει το πλήθος τιμές, =,,... με μέση τιμή οομάζεται η τετραγωιή ρίζα της διαύμασης, δηλαδή: s = s Μεταβολές μέσης τιμής & τυπιής απόλισης Πρόσθεση σταθεράς cr Α σε άθε παρατήρηση, εός δείγματος,,..., v με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση s, προσθέσουμε έα σταθερό αριθμό cr, τότε για τη μέση τιμή y αι τη τυπιή απόλιση sy τω παρατηρήσεω y, y,..., yv, που προύπτου, ισχύει ότι : y = + c sy = s Πολλαπλασιασμός με σταθερά cr Α άθε παρατήρηση, εός δείγματος,,..., v με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση s, πολλαπλασιαστεί με έα σταθερό αριθμό cr, τότε για τη μέση τιμή y αι τη τυπιή απόλιση sy τω παρατηρήσεω y, y,..., yv, που προύπτου, ισχύει ότι : y = c sy = c s 6

17 Μέτρα μεταβολής Συτελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας ( CV ) Συτελεστής μεταβλητότητας μιας ποσοτιής μεταβλήτης Χ, η οποία παρουσιάζει μέση τιμή αι τυπιή απόλιση s, οομάζεται το πηλίο : CV = X s s ή CV = 00% X Α CV 0% τότε ο πληθυσμός (ή το δείγμα) οομάζεται ομοιογεής ή ομογεής. Α CV > 0% τότε ο πληθυσμός (ή το δείγμα) είαι αομοιογεής. Α < 0, τότε χρησιμοποιούμε τη. Δηλαδή : CV = s s ή CV = 00% Ο συτελεστής μεταβολής είαι έα μέτρο σχετιής διασποράς. Ο συτελεστής μεταβολής είαι αεξάρτητος απ' τις μοάδες μέτρησης. 7

18 Καοιή αταομή Σε μια αοιή (ή περίπου αοιή) αταομή, το εύρος ισούται με περίπου 6 τυπιές απολίσεις: R 6 s Σε μια αοιή (ή περίπου αοιή) αταομή, η μέση τιμή αι η διάμεσος ταυτίζοται : δ αοιή (ή περίπου αοιή) αταομή : το 68 % τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα : s, s το 95 % τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα : s, s το 99,7 % τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα : 3s, 3s 8

19 3s s s + s + s + 3s 0,5 %,35 % 3,5 % 34 % 34 % 3,5 %,35 % 0,5 % 68 % 95 % 99,7 % 9

20 0