78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας"

Transcript

1

2

3 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου άλλου συόλου Β Μία συάρτηση της οποίας το σύολο Α είαι υποσύολο του συόλου R τω πραγματιώ αριθμώ, εώ το Β συμπίπτει με το R Tι λέγεται τιμή μίας συάρτησης στο Ο αριθμός y στο οποίο ατιστοιχίζεται το 3 Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Τι οομάζεται εξαρτημέη αι τι αεξάρτητη μεταβλητή της Το γράμμα, που συμβολίζει οποιοδήποτε στοιχείο του Α, οομάζεται αεξάρτητη μεταβλητή, εώ το y, που παριστάει τη τιμή της συάρτησης στο αι εξαρτάται από τη τιμή του, λέγεται εξαρτημέη μεταβλητή 4 'Εστω οι συαρτήσεις, που ορίζοται σε έα σύολο Α Πως ορίζοται I Το άθροισμα S II Η διαφορά D III Το γιόμεο P IV Το πηλίο R S I, II D, III P, IV R, όπου αι 5 Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού έα σύολο Α Τι οομάζεται γραφιή παράσταση ή αμπύλη της σε έα αρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω Oy Το σύολο τω σημείω M, για όλα τα 6 Πότε έα σημείο M, y του επιπέδου τω αξόω αήει στη αμπύλη της συάρτησης Ότα y 7 Τι οομάζεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της συάρτησης Η εξίσωση y 8 Πότε μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα αι πότε γησίως φθίουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

4 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γησίως αύξουσα: ότα για οποιαδήποτε σημεία, Δ με < ισχύει < Γησίως φθίουσα ότα για οποιαδήποτε σημεία, Δ με < ισχύει > 9 Πότε μια συάρτηση λέγεται γησίως μοότοη σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της 'Οτα είαι γησίως αύξουσα στο Δ ή ότα είαι ή γησίως φθίουσα στο Δ Τι οομάζουμε περιοχή του Κάθε αοιτό διάστημα το οποίο περιέχει το I Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό μέγιστο στο II Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπιό ελάχιστο I Ότα ισχύει για άθε σε μια περιοχή του, II Ότα ισχύει για άθε σε μια περιοχή του Τι οομάζοται αρότατα μίας συάρτησης Τα μέγιστα αι τα ελάχιστα της συάρτησης τοπιά ή ολιά 3 Α οι συαρτήσεις αι έχου στο όρια πραγματιούς αριθμούς, δηλαδή α lm l αι lm l όπου αι l πραγματιοί αριθμοί ποια είαι τα όρια lm, lm, l lm, lm, lm l l, kl, l l,, l, l l l 4 Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής Α για άθε ισχύει lm 5 Έστω μια συάρτηση αι, έα σημείο της γραφιής της παράστασης C Ποιος είαι ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της C στο Α εφω lm Ο y ω Α C Μ ε 6 Τι οομάζεται παράγωγος της στο Το όριο lm Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

5 3 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας 7 Τι οομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς το, ότα Η παράγωγος της στο 8 Τι οομάζεται παράγωγος μια συάρτησης με πεδίο ορισμού το Α 'Εστω Β το σύολο τω στα οποία η είαι παραγωγίσιμη Παράγωγος της οομάζεται η συάρτηση με τη οποία άθε ατιστοιχίζεται στο lm 9 Τι οομάζεται δεύτερη παράγωγος μια συάρτησης Η παράγωγος '' της συάρτησης Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συάρτησης c είαι δηλαδή ότι c Έχουμε c c αι για,, οπότε lm Άρα c Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτιής συάρτησης είαι δηλαδή ότι Έχουμε, αι για, Επομέως lm lm Άρα Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης είαι δηλαδή ότι Έχουμε, αι για, Επομέως, lm lm Άρα 3 Να αποδείξετε ότι I II 3 III Έχουμε I, Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

6 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας II 3 3 III 4 Ποιες είαι οι παράγωγοι τω συαρτήσεω ημ, συ,, e ln Ισχύει,, συ ημ ημ συ e e, ln 5 Να αποδείξετε ότι c c Έστω Έχουμε c c c c, αι για c c Επομέως lm lm c c Άρα c c 6 Να αποδείξετε ότι Έστω Έχουμε, αι για, Επομέως lm lm lm Άρα 7 Ποιες είαι οι παράγωγοι τω συαρτήσεω,, Ισχύει 8 Α μία συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ αι ισχύει > ατιστοίχως < για άθε εσωτεριό σημείο του Δ τι συμπέραίουμε για τη μοοτοία της στο Δ Η είαι γησίως αύξουσα ατιστοίχως γησίως φθίουσα στο Δ Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος Α για μια συάρτηση ισχύου

7 5 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας για α, β, > στο α, αι < στο, β ατιστοίχως για α, β, < στο α, αι > στο, β το συμπεραίουμε για τα αρότατα της στο α, β Η παρουσιάζει στο διάστημα α, β μέγιστο για ατιστοίχως η παρουσιάζει ελάχιστο στο διάστημα για, β α 3 Τι οομάζεται στη στατιστιή πληθυσμός, δείγμα, αι πότε έα δείγμα θα οομάζεται ατιπροσωπευτιό εός πληθυσμού Πληθυσμός λέγεται έα σύολο του οποίου εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρατηριστιά τους Δείγμα οομάζεται μία μιρή ομάδα- υποσύολο του πληθυσμού 'Εα δείγμα είαι ατιπροσωπευτιό εά έχει επιλεγεί ατά τέτοιο τρόπο, ώστε άθε μοάδα του πληθυσμού α έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί 3 Τι οομάζοται στη στατιστιή μεταβλητές αι τι τιμές μίας μεταβλητής Μεταβλητές λέγοται τα χαρατηριστιά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό Οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή λέγοται τιμές της μεταβλητής 3 Πως διαρίοται οι μεταβλητές ως προς τις τιμές τους I Σε ποιοτιές ή ατηγοριές τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί II Σε ποσοτιές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί αι διαρίοται: Σε διαριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές Σε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματιώ αριθμώ α, β 33 Ποια είαι τα είδη συχοτήτω μίας μεταβλητής αι πως ορίζοται Συχότητες για όλα τα είδη μεταβλητώ:,,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, εός δείγματος μεγέθους v, Τότε Η απόλυτη συχότητα της τιμής είαι ο αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή στο σύολο τω παρατηρήσεω Η σχετιή συχότητα της τιμής είαι ο αριθμός, Η σχετιή συχότητα % της τιμής είαι ο αριθμός %, δηλαδή % Αθροιστιές συχότητες μόο για ποσοτιές μεταβλητές : Η αθροιστιή συχότητα της τιμής είαι ο αριθμός N που εφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής Α οι τιμές,,, είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστιή συχότητα της τιμής είαι N Η αθροιστιή σχετιή συχότητα της τιμής είαι ο αριθμός που εφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής σε σχέση με το Α οι τιμές,,, είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η σχετιή αθροιστιή συχότητα της τιμής είαι Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

8 6 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Η αθροιστιή σχετιή συχότητα % της τιμής είαι ο αριθμός % που εφράζει το ποσοστο τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής Α,,, οι τιμές είαι σε αύξουσα διάταξη, τότε η σχετιή αθροιστιή συχότητα % της τιμής είαι % % % 34 I Με τι είαι ίσο το άθροισμα II Με τι είαι ίση η διαφορά N N III Με τι είαι ίση η διαφορά Με,, 35 Να αποδείξετε ότι για τη σχετιή συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: I για,,, II % I Αφού θα είαι δηλαδή II Ισχύει 36 Τι οομάζεται αταομή συχοτήτω μίας μεταβλητής με τιμές,,, Υπάρχου 3 είδη αταομώ συχοτήτω Πρόειται για : -το σύολο τω ζευγώ, - το σύολο τω ζευγώ, - το σύολο τω ζευγώ, % αι άλλα 3 α η μεταβλητή είαι ποσοτιή: -το σύολο τω ζευγώ, N - το σύολο τω ζευγώ, - το σύολο τω ζευγώ, % 37 Πότε χρησιμοποιείται το ραβδόγραμμα Να δώσετε μία περιγραφή του Χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής Αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσοται πάω στο οριζότιο ή το αταόρυφο άξοα Σε άθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετιή συχότητα 38 Πότε χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω Να δώσετε μία περιγραφή του Χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής Σε άθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια μία άθετη γραμμή της οποίας το με μήος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα 39 Πότε χρησιμοποιείται το πολύγωο συχοτήτω Να δώσετε μία περιγραφή του Χρησιμοποιείται ότα έχουμε ποσοτιές μεταβλητές Προύπτει από το διάγραμμα συχοτήτω εώοτας ατά περίπτωση τα σημεία, ή, ή, % 4 Πότε χρησιμοποιείται το υλιό διάγραμμα Να δώσετε μία περιγραφή του Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

9 7 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ δεδομέω, ότα οι διαφορετιές τιμές της μεταβλητής είαι σχετιά λίγες Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετιές συχότητες τω τιμώ της μεταβλητής 4 Με τι είαι ίσο το τόξο α εός υλιού που ατιστοιχεί στη τιμή o 36 Είαι α 36 o για,,, 4 Τι είαι το χροόγραμμα ή χροολογιό διάγραμμα Είαι το διάγραμμα μίας μεταβλητής που οι τιμές που παίρει είαι χροιές στιγμές 43 Τι είαι οι λάσεις αι τα όρια τω λάσεω Τι είαι η ετριή τιμή, το πλάτος αι η συχότητα μίας λάσης Οι λάσεις είαι διαστήματα της μορφής μορφής [ α, β στα οποία ταξιομούται ομαδοποιούται τα δεδομέα Όρια τω λάσεω είαι τα άρα α, β τω διαστημάτω αυτώ Κετριή α β τιμή της λάσης [ α, β είαι το έτρο της αι πλάτος της είαι ο αριθμός β α Συχότητα της λάσης [ α, β οομάζεται το πλήθος τω παρατηρήσεω που προύπτου από τη διαλογή για τη αυτή 44 Τι είαι το ιστόγραμμα συχοτήτω Πως ατασευάζεται Τι είαι το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω Ιστόγραμμα συχοτήτω είαι η γραφιή παράσταση εός πίαα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα Κατασευάζεται ως εξής: Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με ατάλληλη λίμαα, τα όρια τω λάσεω Στη συέχεια, σχηματίζουμε διαδοχιά ορθογώια ιστούς, από αθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της λάσης αι ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της λάσης αυτής Το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω προύπτει από έα ιστόγραμμα συχοτήτω α θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, στη αρχή αι στο τέλος, με συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω 45 Ποια είαι η αριθμητιή τιμή του εμβαδού του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα Α έχουμε διάγραμμα απολύτω συχοτήτω το εμβαδό αυτό είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος Α έχουμε διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω το εμβαδό αυτό είαι εώ α έχουμε διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω % το εμβαδό αυτό είαι 46 Πως ορίζεται η μέση τιμή μίας ποσοτιής μεταβλητής Χ Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t, t,, t v, τότε η μέση τιμή δίεται από τη σχέση: ή ισοδύαμα από τη σχέση: t t t t t Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

10 8 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας όπου,,, είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ αι v, v,, v οι ατίστοιχες συχότητες 47 Πως εφράζεται η μέση τιμή από τις τιμές μίας μεταβλητής αι τις σχετιές συχότητες τους 48 Τι οομάζουμε σταθμισμέο αριθμητιό μέσο ή σταθμιό μέσο τω τιμώ,,, στάθμισης βαρύτητας w, w,, w Το αριθμό w w w w w w w w με συτελεστές 49 Τι οομάζεται διάμεσος δ εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά Η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός 5 Τι οομάζεται εύρος μίας αταομής Οομάζεται ο αριθμός R Μεγαλύτερη παρατήρηση-μιρότερη παρατήρηση 5 Να αποδείξετε ότι Ισχύει t t t v v t v v t t tv t t tv v v v v 5 Τι οομάζεται διαύμαση ή διασπορά μίας αταομής Είαι ο αριθμός s όπου s t ή ισοδύαμα ότα έχουμε πίαα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα: s 53 Τι οομάζεται τυπιή απόλιση μίας αταομής Είαι ο αριθμός s που δίεται από τη σχέση: s s Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

11 9 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας 54 Α η μεταβλητή Χ αολουθεί τη αοιή αταομή με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση s ποσοστό τω παρατηρήσεω που βρίσεται στο διάστημα s, s στο διάστημα s, s στο διάστημα 3s, 3s 68%, 95% αι 99,7% 55 Ποιο είαι ατά προσέγγισι το εύρος μίας αοιής αταομής Είαι περίπου έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6s 56 Πως ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας CV τυπιή απόλιση s Είαι CV % % μέση τιμή α ααφέρετε το 57 Πως συγρίεται η ομοιογέεια δύο δειγμάτω Α, Β Συγρίουμε τους συτελεστές μεταβολής τω Α, Β Μεγαλύτερη ομοιογέεια έχει εείο το δείγμα με μιρότερο συτελεστή μεταβολή Γειά δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το % 58 Πότε έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές Α ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το % 59 Τι λέγεται δειγματιός χώρος εός πείραμα τύχης Είαι το σύολο { ω, ω,, ω } τω δυατώ αποτελεσμάτω ω, ω,, ω του πειράματος 6 Τι λέγεται εδεχόμεο εός πείραμα τύχης Είαι το σύολο που έχει ως στοιχεία έα ή περισσότερα αποτελέσματα εός πειράματος τύχης δηλαδή το σύολο όλω τω υποσυόλω του δειγματιού χώρου ω, ω,, ω } { 6 Τι λέγεται απλό αι τι σύθετο εδεχόμεο εός πείραμα τύχης Έα εδεχόμεο λέγεται απλό ότα έχει έα μόο στοιχείο αι σύθετο α έχει περισσότερα στοιχεία 6 Πότε λέμε ότι έα εδεχόμεο Α εός πειράματος τύχης πραγματοποιείται ή συμβαίει σε μια συγεριμέη ετέλεσή του πειράματος Ότα το αποτέλεσμα εός πειράματος, σε αυτή τη ετέλεσή είαι στοιχείο του εδεχομέου Α 63 Τι οομάζοται ευοϊές περιπτώσεις για τη πραγματοποίησή εός εδεχομέου Είαι τα στοιχεία του εδεχομέου 64 Ποιο είαι το βέβαιο αι ποιο το αδύατο εδεχόμεο Είαι ατιστοίχως το αι το Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

12 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας 65 Α Α είαι έα εδεχόμεο τι συμβολίζει το N Το πλήθος τω στοιχείω του Α 66 Πότε πραγματοποιείται το εδεχόμεο Να παραστήσετε το σε έα διάγραμμα του Venn 'Ότα πραγματοποιούται συγχρόως τα Α αι Β I 67 Πότε πραγματοποιείται το εδεχόμεο Να παραστήσετε το σε έα διάγραμμα του Venn 'Ότα πραγματοποιείται έα τουλάχιστο από τα Α, Β U 68 Πότε πραγματοποιείται το ατίθετο εδεχόμεο του Α Να παραστήσετε το σε έα διάγραμμα του Venn Ότα δε πραγματοποιείται το Α 69 Πότε πραγματοποιείται η διαφορά του Β από το Α Να παραστήσετε το σε έα διάγραμμα του Venn Ότα πραγματοποιείται, το Α αλλά όχι το Β 7 Πότε δύο εδεχόμεα Α αι Β λέγοται ασυμβίβαστα ή ξέα μεταξύ τους 'Οτα 7 Να δώσετε το λασιό ορισμό της πιθαότητας Σε έα πείραμα με ισοπίθαα αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθαότητα του εδεχομέου Α το αριθμό: Πλήθος Ευοϊώ Περιπτώσεω N P Πλήθος Δυατώ Περιπτώσεω N Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

13 7 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Πως από το λασιό ορισμό της πιθαότητας προύπτει ότι P, P, P N P N P N 3 Για άθε εδεχόμεο Α ισχύει P, αφού το πλήθος τω στοιχείω εός εδεχομέου είαι ίσο ή μιρότερο από το πλήθος τω στοιχείω του δειγματιού χώρου 73 Να δώσετε το αξιωματιό ορισμό της πιθαότητας Έστω { ω, ω,, ω} έας δειγματιός χώρος με πεπερασμέο πλήθος στοιχείω Σε άθε απλό εδεχόμεο { ω } ατιστοιχίζουμε έα πραγματιό αριθμό, που το συμβολίζουμε με P ω, έτσι ώστε α ισχύου: P ω P ω P ω P ω Το αριθμό P ω οομάζουμε πιθαότητα του εδεχομέου { ω } ς πιθαότητα P εός εδεχομέου { α, α,, α } ορίζουμε το άθροισμα P α P α P α, εώ ως πιθαότητα του αδύατου εδεχομέου ορίζουμε το αριθμό P 74 Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους εδεχόμεα Α αι Β ισχύει ο απλός προσθετιός όμος: P P P Α N αι N λ, τότε το έχει λ ασυμβίβαστα Δηλαδή, έχουμε N λ N N Επομέως: P N N N N N στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α αι Β δε θα ήτα N N P P N N 75 Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματιά εδεχόμεα Α αι ισχύει: P P Επειδή προσθετιό όμο:, δηλαδή τα Α αι U είαι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχιά, σύμφωα με το απλό P P P P P P P P Οπότε P P Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

14 Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας 76 Να αποδείξετε ότι για δύο εδεχόμεα Α αι Β εός δειγματιού χώρου ισχύει ο προσθετιός όμος: P P P P Για δυο εδεχόμεα Α αι Β έχουμε N N N N, αφού στο άθροισμα N N το πλήθος τω στοιχείω του υπολογίζεται δυο φορές Α διαιρέσουμε τα μέλη της με N έχουμε: N N N N N N N N αι επομέως P P P P U 77 Να αποδείξετε ότι α, τότε P P Επειδή έχουμε διαδοχιά: N N, N N, P P N N 78 Να αποδείξετε ότι για δύο εδεχόμεα Α αι Β εός δειγματιού χώρου ισχύει P P P Επειδή τα εδεχόμεα αι είαι ασυμβίβαστα αι, έχουμε: P P P Άρα P P P Πειραματιό Λύειο Μαθηματιά Γ Λυείου Ν Σ Μαυρογιάης Ευαγγελιής Σχολής Σμύρης Γειής Παιδείας Απρίλιος 6

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών)

3. Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Ανάπτυγμα Taylor (για συναρτήσεις δυό μεταβλητών) Μια «πολύπλοη» συνάρτηση f, δυό μεταβλητών, μπορεί να προσεγγιστεί (στην γειτονιά ενός σημείου (,y)) από μια πολυωνιμιή συνάρτηση με την βοήθεια του αναπτύγματος

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ)

( Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Χ. ΑΜΙΑΝΟΥ, Ν. ΠΑΠΑ ΑΤΟΣ, Χ. Α. ΧΑΡΑΛΑΜΠΙ ΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ 003 Στη Ρίτα Στη Χρυούλα Στη Λέα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ατί

Διαβάστε περισσότερα

( ) x. 1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. =. Να. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) ( x 2

( ) x. 1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. =. Να. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) ( x 2 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 1 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( ημ ) + σφ =, g( ) ημ ημ = και h( ) ημ( ) αποδειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και η h ούτε άρτια ούτε περιττή Να εξετασθεί αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks)

ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΑΣΙΣΜΕΝΕΣ ΣΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΕΝΟΣ Ή ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΩΝ (Methods Based on Ranks) Στο κεφάλαιο αυτό, εξετάζονται ορισμένες τεχικές ανάλυσης δεδομένων, οι

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ A.0. Σύνολα Μια οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων λέγεται * ότι είναι ένα σύνολο και τα αντικείμενα λέγονται στοιχεία του συνόλου. Αν με Α συμβολίσουμε ένα σύνολο και α είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα