Prof. dr Dragan Gaji}
|
|
- Ευρώπη Παπάγος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prof. dr Dragan Gaji}
2 Kosmos... Sve {to nas okru`uje. Nepojmljivo veliko prostranstvo, koje se {iri (~ak ubrzano), sa OGROMNIM brojem galaksija, zvezda, oblaka pra{ine i gasa. Milijardama godina kroz njega struji zra~enje. Procenjuje se da u Kosmosu ima preko 100 milijardi galaksija, pri ~emu svaka u proseku ima 100 milijardi zvezda. Ne mo`e se ni zamisliti koliko je to svetova poput na{eg. Pa ipak, Kosmos je stra{no prazan i {upalj.
3 Sa razvojem ljudske misli menjale su se i predstave o Kosmosu. Zami{ljali su ga kao ravnu plo~u na le ima kornja~a, kitova, slonova i sli~no. Neki (Aristotel, Ptolomej, ali i Kopernik, Kepler,...) zami{ljali su ga kao koncentri~ne, rotiraju}e, kristalne sfere za koje su zaka~ene planete, komete, zvezde...
4 Neki su smatrali da se mo`e do}i na kraj sveta, gde se mo`e proviriti s one strane neba... Za na{e dana{nje izlaganje mo`da je najinteresantnija anti~ka legenda o Atlasu (Atlantu), koji nosi svet na svojim ramenima.
5 Atlas je bio sin Titana Japeta i okeanide Klimene. Ovaj div je u~estvovao u Titanomahiji, borbi Krona i drugih bogova protiv Zevsa. Ali mudriji i sposobniji Zevs, sa svojim bogovima sa Olimpa, pobedio je staru generaciju bogova sa Otrija. Pora`eni Atlas morao je, za kaznu, da na svojim le ima nosi nebeski svod. Jednom je ~uveni junak Heraklo do{ao u Atlantovu zemlju da ubere zlatne jabuke za mikenskog kralja Euristeja. Atlas se ponudio da mu ubere jabuke, ali da ga Heraklo odmeni za kratko.
6 Atlas mu je ubrao jabuke i ponudio se da ih sam odnese kralju Mikene. Za Herakla je to bilo providno lukavstvo. Zamolio je Atlasa da pridr`i nebeski svod, dok on sebi od trave ne napravi {titnik za rame, jer ga teret bolno pritiska. Kad ga je Atlant zamenio, Heraklo mu se zahvalio na ljubaznosti, uzeo jabuke i s njima nestao. Atlas je morao do svoje smrti (ali ga se nije oslobodio ni kasnije) da nosi te`ak teret.
7 Zvezde Iako ih vidimo golim okom svega nekoliko hiljada, u Kosmosu ih ima nebrojeno mnogo! Ushi}uje ~injenica da je u svakom od nas deli} neke udaljene zvezde.
8 Sve zvezde koje golim okom vidimo na na{em nebu pripadaju na{oj Galaksiji. Galaksija spada u spiralne galaksije srednje veli~ine. Gledano s boka ona li~i na dva priljubljena tanjira, pre~nika oko sg. U njenom centru je zadebljanje od oko sg. U galakti~koj ravni i disku nalaze se spiralni kraci, kojih, kako pokazuju savremena merenja ima ~etiri. Galaksija ima izme u 100 i 300 milijardi zvezda. Najve}i broj se nalazi u galakti~kom disku.
9 Najnovija istra`ivanja ukazuju da je Galaksija barirana, tj. da se njeno jezgro izdu`ilo u pre~agu (gredu), iz koje se razvijaju spiralni kraci. O na{oj Galaksiji mnogo toga smo saznali izu~avanjem susedne, Andromedine galaksije (M31). Od nas je udaljena 2.2 miliona sg i duplo je ve}a od Galaksije.
10 Sa Zemlje, iznutra, mi na nebeskom svodu vidimo samo deo Galaksije. To je Mle~ni Put, svetla traka koja deli nebo na dva dela. On zauzima uvek isti polo`aj me u zvezdama. U na{em narodu poznat je ik kao Kumova slama,jer je po predanju, kum od kuma ukrao breme slame, koja se usput rasipala, pa je Bog postavio na nebo da slu`i kao opomena. Sli~ne legende prisutne su i kod Bugara, Jermena, Arapa,...
11 Po anti~koj legendi, Zevs je na prevaru obljubio Alkmenu, Amfitrionovu `enu. Iz te avanture rodio se da mu sin postne besmrtan, naredio je da ga podoji (u snu) njegova ljubomorna `ena (i sestra) Hera. Ali nemirni Heraklo je ritnuo, zbog ~ega se ona probudila i otrgla od dojke. Od nadolaze}eg mleka koje se prosulo po nebu nastao je Mle~ni Put.
12 Iako nam zvezde na nebu deluju kao ta~kice (grupisane u sazve` a), koje se razlikuju samo po boji i sjaju, pokazuje se da razlike me u njima mogu biti vrlo, vrlo velike.
13 Me utim, zvezde se mogu drasti~no razlikovati. Npr. mogu biti velike kao ~itav planetarni deo Sun~evog sistema, ali mogu imati i dimenzije od svega desetak kilometara. Neutronska zvezda μ Cefei i Sunce
14 Zvezde se mogu javiti pojedina~no, kao usamljene, ali su ~e{}e dvostruke, trostruke, vi{estruke. Mogu biti grupisane u jata i ve}e asocijacije. Naj~e{}e su sfernog oblika, ali mogu biti i spljo{tene (zbog sopstvene rotacije) ili levkaste (zbog pretakanja njihove supstance u bliske zvezde).
15 ...razumno je nadati se kako ćemo, u ne tako dalekoj budućnosti, biti sposobni da razumemo tako jednostavnu stvar kao što je jedna zvezda. A. S. Edington, 1926.
16
17
18
19 Sunce izvor svetlosti, toplote. Bez njega `ivot nije mogao da nastane, niti bi bez njega mogao da opstane.
20 Zato Sunce u svim civilizacijama ima atribute bo`anstva. U njegovu slavu podizani su gradovi i zidani hramovi. Stounhend` (Ju`na Engleska): 30 velikih kamenih monolita (4x2.5 m) postavljenih u krug i 49 manjih kamenih blokova dovu~enih sa 180 km udaljenog mesta. Monoliti su obra eni 1600 g.p.n.e. gp Namena: mo`da prva Sun~eva opservatorija.
21 Egipatska civilizacija trajala je oko tri hiljade godina. U njoj je dominirao kult Sunca. Egipatska bo`anstva Sunca: Amon- Ra, Mentu, Atum, Ra-Harahti, Oziris, Hor (sin Ozirisa i Izide). Amenhotep IV je uveo u religiju jedinog boga u svemiru, Atona. U blizini dana{njeg Kaira 4000 g.p.n.e. sagra en je Heliopolis. Faraon Sozistrat podigao je 50 m visok obelisk. Egip}ani su verovali da zalazak i izlazak Sunca zna~e smrt i vaskrsnu}e Ra. Politi~ka solarna mitologija. Obelisk u Karnaku. Amon-Ra (Luksor) Amenhotep IV i Aton
22 Sun~ev to~ak (Kelti) i zlatni kolut (Inke), kao simboli bo`anstva i ve~itog trajanja i kretanja Sunca.
23 Ama Terasu, japanska boginja Sunca. Ro ena je iz levog oka Izanagija, vrhovnog bo`anstva VII generacije bogova. Bila je prababa prvog cara Japana Ninigi-no-Mikoto.
24 Gr~ka bo`anstva Sunca: Hiperion, Helije, Apolon. Helije je bio sna`an i lep bog, sjajnih o~iju. Sin Titana Hiperiona i Teje. Bio je blistav bog sa zlatnom kosom i krunom od zraka. Svakog jutra, kada Eoja, boginja zore, otvori vrata dana, Helije se na istoku, u zlatnim ko~ijama sa krilatim konjskim ~etveropregom, izdizao iz Okeana. Preko dana je prelazio preko neba. Sunce, oka~eno o ko~ije obasjavalo je Zemlju, daruju}i ljudima toplotu, svetlost i `ivot. Uve~e se, prolaze}i kroz zapadne vratnice dana, spu{tao u Okean.
25 Iz nozdrva njegovih belih konja izbijali su vatra i svetlost. Ko~ije mu je iskovao Hefest, bog vatre i kova~ me u bogovima. Helija su svuda i svi voleli, osim u Hadovom carstvu. Imao je 12 dvoraca (zodija~ki znaci). Njegova su bila i ostrva Rodos i Trinakrija (Sicilija).
26 Njemu je bio posve}en Kolos sa Rodosa, {esto od sedam anti~kih ~uda. Bio je visok m, napravljen 280 g.p.n.e. od 70 t bakra i gvo` a. Ka`u da je bio prili~no jeziv. Sru{io se 235 g.p.n.e. prilikom zemljotresa. Sve do Kipa slobode bio je najvi{a skulptura na svetu. Legenda o Faetonu (sin Helija i njegove ljubavnice Klimene): Helije mu je ispunio `elju i dao mu svoja kola da ih provoza. Ali nije bio ve{t: kada su se kola spustila nisko spalio je Zemlju i tako su nastale Sahara i Nubijska pustinja, a stanovnicima je opr`io ko`u pa su postali crnci. Geja, boginja Zemlje tra`ila je da Zevs to prekine. On je munjom oborio Faetona na Zemlju. Astronomi su smatrali da se izme u Marsa i Jupitera raspala planeta Faeton, od koje je nastao asteroidni pojas.
27 Legenda o Klitiji bila je nesre}no zaljubljena u Helija, koji se tajno voleo sa Leukotejom, }erkom persisjkog kralja. Ljubomorna nimfa Klitija prijavila je ljubavnike devoj~inom ocu. Ovaj je k}i zakopao u `ivi pesak. Helije je razmako pesak zrakom, ali je bilo kasno. Mrtvu Leukoteju pretvorio je u tamjan, da bi se i mrtva uzdizala ka bogovima, a u besu Klitiju je pretvorio u heliotropnu biljku suncokret.
28 Balbek (Liban) anti~ko prebivali{te bogova Sunca. Na slici su ostaci Jupiterovog hrama. Palmira (Sirija): Apolonov hram. U Indiji bo`anstva Sunca su i: Mitra, Surija, Savitr, Vi{nu U Vavilonu: [ama{, Ninib, Nergal, Marduk (ujedno i bog Jupitera).
29 Kod Slovena je Car Sunca bio Svarogov sin Da`bog. U prekolumbovskoj Americi centralno mesto u religijama gj naroda pripada p bogovima Sunca. Kecalkoatl bog Sunca Maja i Tolteka, koji su `iveli pod torturom kalendara, a da nisu znali npr. za to~ak.
30 Hramovi opservatorije. Acte~ka piramida Sunca (Teotihuakan, Meksiko) petospratni stepenasti hram kvadratne osnove visine 63 m i zapremine milion kubnih metara. Okrugla gra evina Karakol (Maje, ^i~en Itca) hram-opservatorija sa otvorima za svaku stranu sveta. I danas je Sunce motiv na zastavama: Japana, Argentine, Urugvaja, Kirgizije, Kazahstana, Nigera, Makedonije, Nepala, Tajvana, Osnovna nov~anica u Peruu je sol.
31 Gde se nalazi Sunce? Orionov krak centar galaksije u Strelcu brzina 250 km/h galakti~ka godina 220 miliona god udaljenost od Zemlje 1 AU (8 svetlosnih minuta, 150 miliona km) Slede}a po udaljenosti je Proxima Centaury (4.24 sg) vezana za Alfa Kentaura, najsjajniju dvojnu zvezdu ju`ne hemisfere. Sledi Barnardova zvezda (5.95 sg), koja najbr`e juri prema nama, brzinom od 108km/s.
32 SUNCE na{a zvezda polupre~nik km (109 puta ve}i od Zemlje) zapremina 1,3 miliona puta ve}a od Zemljine masa puta ve}a od Zemljine sve planete zajedno 750-ti deo mase Sunca 99,87% ukupne mase Sun~evog sistema masa se godi{nje smanji za 1, kg
33 Koliko energije gj nastaje u fuziji? svake sekunde 700 miliona tona vodonika fuzijom prelazi u 695 miliona tona helijuma, a od 5 miliona tona nastaje energija kao pri eksploziji 150 miliona tona TNT
34 Sun~eve pege pg u opti~kom delu spektra po povr{ini crne ta~ke Galilej prvi detaljno prou~avao pege prvi znak da Sunce nije savr{eno i da se na njemu de{avaju neke promene
35 Kako je Galilej video pege?
36 I re~e Bog: neka bude svjetlost. I bi svjetlost. I stvori Bog dva vidjela velika: vidjelo ve}e da upravqa danom, i vidjelo mawe da upravqa no}u, i zvijezde. (Prva kwiga Mojsijeva koja se zove Postawe)
37
38 MESEC prijatelj pesnika i zaljubljenih. Njegova bleda svetlost op~injava.
39 Gr~ka boginja Meseca bila je Selena (rimska Luna). K}i Titana Hiperiona i Tee, sestra Helija i Eoe. Sa Zevsom je imala k}eri Pandiju ( lep{a od svih ) i Ersu (rosu). Bila je zanosna, dugokrila, sa zlatnom dijademom na glavi, iz koje izbija blaga svetlost. Kada se pojavila na nebu u punoj lepoti, pred njom su bledele zvezde. Nebom se vozila u ko~ijama, koje su polako vukla dva bela konja ili mazge, po nekima, ~ak krave. Njihovi rogovi simbolizovali su polumesec. Ljudi su Selenu slavili u dane mladog i punog meseca. Poistove}ivana je sa Artemidom.
40 Lepa je legenda vezana za njenu ljubav prema Endimionu. Prema legendi, ovog pastira ve~ito je usnio Zevs na planini Latmiji. Selena se u njega zaljubila, kada ga je tako usnulog videla. Kad god se, na svom putu preko neba, na{la iznad pe}ine u kojoj je spavao, ona ga je ljubila i milovala svojim zracima. Ali nije uspela da ga probudi, zbog ~ega je bila tu`na, a njeno svetlo je od `alosti bledelo. Po drugoj legendi, ona ga je sama uspavala, da bi mogla da ga svake ve~eri ljubi i grli, a da on to ne zna. Ima predanja po kojima joj Endimion ipak uzvra}ao ljubav. Ona je sa njim imala pedeset k}eri (broj lunarnih meseci izme u dve Olimpijade).
41 Iako na{ sused ne ispunjava ni jedan uslov za postojanje `ivota, od 20. jula god. na njemu se povremeno pojavljuje j `ivot (dodu{ed sa Zemlje). Definitivno: za razliku od Zemlje, na Mesecu nema mese~ara.
42 Iako na Mesecu nema vanzemaljaca, posvetimo mu jo{ malo vremena u`ivaju}i u prizorima i mese~ini. Za vreme totalnog pomra~enja Mesec je crven. Prema na{im predanjima, to ale kidaju komad po komad Meseca, zbog ~ega on krvari. Bog {alje an ele, koji brane i sastavljaju Mesec. U tome im ljudi poma`u, jure}i ale dizanjem larme i pucanjem u vazduh. Crveni deo Sun~eve svetlosti, ti pri prolasku kroz Zemljinu atmosferu, upada u Zemljinu senku (u kojoj se nalazi Mesec).
43
44
45 Verovatno ste primetili: ni na jednom od ovih snimaka na Mese~evom nebu ne vide se zvezde! To nije zato {to su snimci pravljeni u studiju, pa su one kao dekoracija zaboravljene, a da Ameri se stvarno nisu ni spustili na Mesec. Zbog nepostojanja atmosfere Mese~eva povr{ina je jako osvetljena, tako da su pri snimanju ekspozicije morale da budu kratke, a u tom slu~aju slab sjaj zvezda ne ostavlja trag na filmu.
46 Jo{ par interesantnih detalja o Mesecu: Zbog plimskih delovanja Mesec se svake godine udaljava od Zemlje za 3 cm. Zbog toga kroz, otprilike, milijardu godina na Zemlji ne}e vi{e dolaziti do pomra~enja Sunca.
47 Clementine (1994.) je na ju`nom Mese~evom polu detektovala vodeni led. Lunar Protector (1999.) je na oba pola neutronskim spektrometrom detektovao milijarde tona smrznute vode ili se radi o mineralima bogatim vodonikom.
48 Led, verovatno, poti~e od kometa, kojesupale na Mesec. Voda se zadr`ala u kraterima koji su uvek u senci. Na severnom polu ima % vi{e vode nego na ju`nom, koji ima vi{e kratera r u senci. Ove zalihe vode ne podrazumevaju mogu}nost postojanja vode u te~nom stanju na Mesecu.
49 Jo{ malo mese~ine
50
51
52
53 Na{a Galaksija sadr`i od 100 do 300 milijardi zvezda. U svetloj traci, Mle~nom Putu, nalazi se ogroman broj udaljenih zvezda, ali ih, golim okom, ne vidimo kao skup pojedina~nih svetlih objekata. Sve zvezde koje na na{em nebu vidimo golim okom pripadaju na{oj galaksiji. Druge galaksije vidimo kao mrlje, bez uo~avanja pojedina~nih zvezda u njima (osim kada se radi o eksplozijama supernovih).
54 Tokom obilaska Z. oko Sunca, njena osa rotacije uperena je ka Polari (Severnja~a). Severni nebeski pol prolazi pored Polare na oko 44. Gr~ko ime Polare bilo je Kinosura (Pse}i rep). Poznata je i kao Stella Maris, Tramontana, Udaljena je od nas 450 s.g. Pre~nik joj je oko 120 puta ve}i od Sun~evog. Na ju`noj polulopti danas ne postoji Ju`na zvezda ( Ju`nja~a ).
55 Iz prakti~nih razloga orijentacije na nebu javila se potreba da se zvezde na neki na~in grupi{u u celine. Grupe zvezda u odre enom delu neba su sazve` a. Danas sazve` e predstavlja oblast neba ome enu uslovnim granicma. Svi objekti koji se vide unutar te oblasti pripadaju tom sazve` u (zvezde, magline, galaksije, itd.) Astrognozija ve{tina eti poznavanja zvezdanog neba, nala`enja zvezda i sazve` a i poznavanja njihovih imena.
56 Asterizam grupa zvezda koja ~ini upadljivu figuru na nebu, ali koja nije kompletno sazve` e. Pomo}u asterizama je olak{ano uo~avanje sazve` a na nebu.
57 Primeri jo{ nekih asterizama
58 Zvezde iz istog sazve` a ne moraju biti me usobno povezane, niti prostorno bliske.
59 Zvezde istog sazve` a samo se projektuju u isti deo neba.
60 Imena sazve` a dobijana su po polubogovima ili junacima (Orion, Herkul, Persej, ), po `ivotinjama (Veliki i Mali Medved, Rak, Lav, Labud, ), po predmetima (Trougao, Lira, [estar, ), sa mitskim konotacijama (Berenkina kosa, Vodolija, Devica, ), itd.
61 Primer: najsjajnija zvezda (jasno, posle Sunca) na na{em nebu je Sirijus (α Canis Majoris). Ime poti~e od arapske re~i seirius (svetlucav, `arki) ili od Sirije (pse}a zvezda). U Egiptu Nova godina se slavila sa zajedni~kim izlaskom Sunca i Sirijusa, kada su po~injale vru}ine i poplave. Kod Rimljana se zvao Kanikul ( pse}i dani dani vru}ina). Prema legendi, kad se spustio na Zemlju Sirijus se zaljubio u Oporu, boginju jesenjih plodnosti. Ona nije prihvatila njegove ponude. On se naljutio i na Zemlji je izazvao vru}ine. Opora je popustila i uzvratila mu ljubav. Zato kada stigne jesen (Opora) Sirijus pove}a sjaj. Sirijus je i verni Orionov pas.
62 Nakon spoznaje da je rotacija n. sfere prividna, dugo se smatralo da se zvezde ne kre}u ( zvezde nekretnice ). Edmund Halej (1718) upore ivao svoje podatke o polo`ajima zv. sa podacima Tiho de Brahea. Zaklju~io je da se zv. kre}u u raznim pravcima razli~itim brzinama. Samo nam se ~ini da se one ne kre}u zbog velikih udaljenosti. Fotometrijske metode i kori{}enje Doplerovog efekta pokazali su da su stvarne brzine zvezda km/s. Zbog toga se izgled asterizama s vremenom menja (te ti maler za astrologiju).
63 Po{to je podela na sazve` a ve{ta~ka i stvar konvencije i kulturno-obrazovnog nasle a, kroz istoriju se broj i izgled poznatih sazve` a menjao. Postoje vrlo razli~ite zvezdane karte i atlasi neba. Verovatno su prve karte neba crte`i podno Himalaja stari preko g. Haldejci (2500 g.p.n.e) imali spiskove sa nekoliko desetina grupisanih zvezda, kojima su pripisavali astrolo{ki zna~aj. Grupisanje zvezda bilo je prisutno i kod drevnih Egip}ana i Kineza.
64 U anti~koj Gr~koj, Eudoks (IV v.p.n.e) zvezde je svrstao u 47 sazve` a. Ptolomej je u Almagestu 1000 zvezda svrstao u 48 sazve` a. Karte su bile u obliku slika bez jasno definisanih granica. Ove karte su bile aktuelne svedoxviveka.koristioihjei veka. ih i Kolumbo.
65 Me unarodna astronomska unija (MAU) formirana je g. Sa spiska sazve` a tada je izbrisano 27 sazve` a.
66 Broj sazve` a je tada sveden na 88 (severno od nebeskog ekvatora 29, ju`no 46, a 13 je sa obe strane). Iz na{ih geografskih {irina vidi se 69 sazve` a. Posao oko razgrani~enja poveren je belgijskom astronomu Eugenu Delportu. Kona~ne granice me u sazve` ima usvojene su g.
67
68 Orion Sin boga mora Posejdona. Strastveni lovac ogrnut lavljom ko`om. Bio visok (dok je hodao po dnu mora iz vode mu virila glava). Bio je izuzetno lep. Mogao je da hoda po vodi. ^esto je lovio sa Artemidom, boginjom lova i ~ednosti. Poku{ao je da joj se nabaci, ali ga je ona, povre ena time, odbila. Proganjao je i Plejonu, majku Plejada. Meropu je silovao, a njen otac ga je na prevaru oslepeo.vid je povratio gledaju}i u jutarnje Sunce.
69 Eoja, boginja zore, zaljubila se u njega (verovatno je vodila i ljubav sa njim). Ljubomorni Apolon je od Geje tra`io osvetu. Ona je re{ila da ubije Oriona. Na njega je poslala ogromnu {korpiju, koja je bila otporna na njegovo oru`je i koja ga je smrtno ubola. O`alo{}ena Artemida ga je uznela na nebo kao sazve` e. Ali je, zbog pomenute uvrede, na nebo postavila i [korpiju, koja ga i tamo proganja (kad sazve`- e [korpije izlazi, Orion zalazi). Interesantno je da Orionu prethode Plejade (na Zemlji je ~eznuo za njima).
70 Po drugoj legendi, Orion je jedno vreme stanovao sa Artemidom. Njen brat Apolon bio je ljubomoran zbog toga. Jednom, dok je Orion hodao po morskom dnu, Apolon je Artemidi osporio ve{tinu ga anja strelom. Ona je tada odapela strelu prema crnoj ta~ki na moru. Ne znaju}i o kome se radi, pogodila je Oriona u glavu. Asklepije, bog lekarskih ve{tina, poku{ao je da o`ivi Oriona. To je munjom spre~io Zevs, jer ni jedan bog ne mo`e da pokvari delo drugog boga. O~ajna Artemida je Oriona poslala na nebo. Tamo ga verno prati njegov pas Sirijus.
71
72 Plejade (Vla{i}i) Golim okom mo`e se videti 6-7 zvezda ovog rasejanog jata, a Galilej ih je pomo}u svog teleskopa video 36. Kod nas se ime Vla{i}i dovodi u vezu sa legendom o bra}i, majstorima zanata, koji su jednom prilikom svojim ume}ima spasili neku devojku od smrtne opasnosti. Kao nagradu, otac devojke ponudio je ruku svoje k}eri bilo kom od njih. Kako oni nisu mogli da se dogovore, bogovi su ih preneli na nebo da budu ve~no zajedno.
73 Ime poti~e od gr~ke re~i pleias, {to zna~i skup, grupa. Pod ovim imenom pominju se jo{ kod Homera i Hesioda. Ptolomej je ovo sazve` e smatrao posebno va`nim.
74 Prema jednoj legendi Plejade su k}eri Titana Atlanta (Atlas - onaj koji strada) i Plejone (plove}a kraljica). Njihova imena su: Alciona (odvra}a nepogode), Elektra (}ilibar), Maja (baka), Meropa (govorljiva), Tajgeta (proverena), Celena (crnoputa) i Steropa (jogunasto lice). Bile su Artemidine pratilje u lovu. Bile su miljenice ljudi i bogova. Najmla a Meropa bila je udata za smrtnika Sizifa, zbog ~ega je bila tamnija od drugih. Orion je nasrtao na njihovu majku. Da bi ih za{titio, Zevs ih je preneo na nebo kao golubice.
75 Jo{ malo mitologije Mali i Veliki Medved Boginja Rea (sestra i `ena Kronosa!) na Kritu je sakrila Zevsa od Kronosa, koji je pro`dirao svoju decu da bi sa~uvao presto. Zevsa su negovale nimfe Adrastea i Idaja. Hranile su ga mlekom bo`anske koze Amaltee, a ~uvali su ga polubogovi ratnici Kureti (~im bi zaplakao zveckali bi {titovima).
76 Kad je Zevs odrastao naterao je Kronosa da povrati njegovu bra}u i sestre, a potom ga je, nakon velikih borbi, zbacio sa prestola. Nimfe dadilje preneo je na nebo kao sazve` a Mali i Veliki Medved.
77 Prema drugoj legendi, Zevs je zaveo i obljubio Kalisto, Artemidinu pratilju. ^edna Artemida je proterala Kalisto da luta po {umi, a ljubomorna Zevsova `ena (i sestra) Hera pretvorila je u medvedicu. Ne znaju}i o kome se radi, jednog dana nju je ustrelio sin Arkad. Zevs ih je oboje uzneo na nebo. Neki tvrde da je Zevs spre~io Arkada da ubije majku, tako {to ga je pretvorio u medveda i uzdigao ih na nebo.
78
79 Zvezde imaju svoj `ivot. Ukoliko nisu bile jako masivne na kraju skon~aju kao beli patuljci i zvezdani ugarci. Ako su, pak, velike mase eksplodiraju kao supernove. Kao posledica njihove eksplozije Kosmosom se {iri udarni talas.
80 Udar sabija oblake gasa i pra{ine na koje nailazi. Time otpo~inje stvaranje nove zvezde. Tako smrt jedne zvezde zna~i ra anje druge. Παντα ρει!
81 HVALA NA
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραAntene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:
Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραElektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραS t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:
S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110
Διαβάστε περισσότεραAkvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραElementi kosmologije. Glava Zvezde i galaksije
Glava 14 Elementi kosmologije 14.1 Zvezde i galaksije Rane civilizacije su verovale da je Zemlja centar Univerzuma. Tek u 16. veku je primećeno da je Zemlja samo jedna mala planeta koja orbitira oko Sunca.
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα