Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής"

Transcript

1 Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα Α = {,4,6,8} και Β = {, 4, {6,8}} είναι ίσα. iv) Τα σύνολα Α = { x Ν/ x < 5} και Β = { x Ζ / x < 5 } είναι ίσα. v) Το σύνολο Α = { (,), (4,5) } είναι υποσύνολο του Β = {,,3,4,5}. vi) Τα σύνολα Α = { (,3), (5,8) } και Β = { (3,), (8,5)} είναι ίσα. vii) Αν Α Β και Β Α, τότε Α = Β. viii) Ισχύει ότι: Α, για κάθε σύνολο Α. ix) Ισχύει ότι: Α Α, για κάθε σύνολο Α x) Αν x A B, τότε x Α και x B. xi) Αν x Α Β, τότε x Α και x Β. xii) Αν Α και Β, τότε το σύνολο Α Β δεν μπορεί να είναι το κενό σύνολο. xiii) Αν Α και Β, τότε το σύνολο Α Β μπορεί να είναι το κενό σύνολο. xiv) Αν α Α, τότε: α Α Β xv) Αν α Α, τότε: α Α Β xvi) Αν α Α Β, τότε: α Β. xvii) Αν α Α Β, τότε: α Α. xviii) Αν α Β, τότε: α Α Β xix) Αν α Α, τότε: α Α Β xx) Ισχύει ότι: Α Β Α Β Ε. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ αν είναι σωστή και με το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη. i) Για κάθε σύνολο Α ισχύει Α Α. ii) Για το κενό σύνολο ισχύει η σχέση = { }. iii) Το σύνολο Α = {, 3, 8, 0} και Β = {0, 3, 8, } δεν είναι ίσα. iv) Αν Α = {3, 6} και Β = {,, 3, 6} τότε Α Β. v) Αν Α = {, } και Β = {{, }, 6, 7} τότε Α Β. vi) Για τα σύνολα Α και κενό ισχύει η σχέση Α = Α. vii) Για τα σύνολα Α και κενό ισχύει η σχέση Α = Α. viii) Αν το βασικό σύνολο είναι Ω τότε Α Α = Ω ix) Αν το βασικό σύνολο είναι Ω τότε Α Α = x) Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου. xi) Αν Α Β = τότε Α Β = Ω

2 xii) Αν Α Β = τότε Α = Β = Ε.3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: i) Αν Α = { x R / (x-)(x-3)=0} και Β= { x R / x 3} τότε: α) Α Β = {,3} β) Α Β = {} γ) Α Β = {3} δ) Α Β = ii) Αν Α Β, τότε: α)α Β = Α β) Α Β = Β γ) Α Β = Α Β δ) Α Β = iii) Αν Α Β, τότε: α) Α Β Α Β β) Α Β = γ) Α Β = δ) Α Β Α Β iv) Αν Α= { 0,, 5, 7} και Β= {, 3, 4, 6, 9} τότε: α) Α Β ={ 0,,,3,4,5,6,7,8,9} β) A B = { 0,,5,7 } γ) A B = δ) Α Β = Α Β Ε.4 Αν Ω = {,,3,4,5,6} είναι το βασικό σύνολο και Α = {,,3,4}, Β = {3,4,5}, να βρείτε τα σύνολα: α) Α Β β) Α Β γ) Α δ) Β ε) (Α Β) στ) (Α Β) ζ) Α Β η) Α Β E.5 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το διάγραμμα Venn για τα σύνολα Α, Β και το βασικό σύνολο Ω. Να βρείτε τα σύνολα: α)α β)β γ) Α Β δ) Α Β ε) Α στ) Β ζ) Α B η) A B Ε.6 Να βρείτε όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α = { x Z / -4 x 4 }. Ε.7 Με βασικό σύνολο Ω = {,,...,5}, θεωρούμε τα σύνολα: Α = { x Ω / πολλαπλάσιο του } Β = { x Ω / πολλαπλάσιο του 5}. Να παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα του Venn και να προσδιορίσετε τα σύνολα: α) Α Β β) Α Β γ) Α δ) Β ε) Α Β στ) Β Α Ε.8 ίνονται τα σύνολα: Α = {γράμματα της λέξης πόλη} Β = {γράμματα της λέξης δήμαρχος} Γ = {γράμματα της λέξης εκλογή}.

3 i) Να γράψετε τα σύνολα Α, Β, Γ με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn. ii) Να προσδιορίσετε τα σύνολα Α Β, Β Γ, Γ Α, Α Β, Β Γ, Α Γ. iii) Να επαληθεύσετε ότι: α) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) β) Α (Β Γ) = (Α Β) (Γ Α) Ε.9 Με τη βοήθεια του διαγράμματος Venn του παρακάτω σχήματος να προσδιορίσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: Ω, Α, Β, Α Β, Α Β, Α, Β, Α Β, Α Β. Ε.0 Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: α) Α = { x N : 4 x 0 } β) Β = { x N : x άρτιος και x < 3} γ) Γ = { x N : x² + x - = 0} δ) = { x R : x + 3x + 5= 0 } E. ίνεται ότι το βασικό σύνολο Ω = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} και τα σύνολα Α = {, 4, 6, 8}, Β = { x Ω : x πολλαπλάσιο του 3}. α) Να παραστήσετε τα σύνολα Α, Β με περιγραφή και αναγραφή των στοιχείων τους αντίστοιχα. β) Να βρείτε τα σύνολα: Α Β, Α Β, Α, Β, (Α Β), (Α Β), Α Β, Α Β. Τι παρατηρείτε; E. ίνονται τα σύνολα Α = {,, 3, 4} Β = {5, 6, 7, 8} Γ = {,, 3, 4, 5, 9, 0, } =. Να βρείτε τα σύνολα: Α Β, Β, (Α Β) Γ, Α Γ, Α, (Α Β). E.3 ίνεται ότι το βασικό σύνολο Ω = {, 3, 5, 7} και τα σύνολα Α = {, 6}, Β= {,4,6}. α) Να βρείτε τα σύνολα Α Β, Α Β, Α, Β. β) Να αποδείξετε ότι (Α Β) = Α Β και (Α Β) = Α Β. E.4 Στο διπλανό διάγραμμα Venn να σημειώσετε ποιο μέρος αντιπροσωπεύουν τα σύνολα: α) Α B β) Α B γ) Α δ) Β ε) (Α B) Ω Α Β 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΥΠΟΣ-ΠΡΑΞΗ ΣΥΝΟΛΟ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Α Πραγματοποιείται το Α P(A) Α εν πραγματοποιείται το Α P(A ) = - Ρ(Α) Α Β Πραγματοποιούνται Ρ(Α Β) = Ρ(Α)+Ρ(Β) - Ρ(Α Β) συγχρόνως τα Α, Β Α Β Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α,Β Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Α- Β ή Α Β Πραγματοποιείται μόνο το Α Ρ(Α Β)= Ρ(Α) Ρ(Α Β)=Ρ(Α Β) Ρ(Β) Β - Α ή Α Β Πραγματοποιείται μόνο το Β Ρ(Β-Α)=Ρ(Β) Ρ(Α Β)= Ρ(Α Β) Ρ(Α) (Α Β) ή Α Β εν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β P(Α Β) =- Ρ(Α Β) [(Α Β ) ( Α Β )] εν πραγματοποιείται ακριβώς - Ρ(Α Β)+Ρ(Α Β) ένα από τα Α, Β ( Α -Β ) ( Β-Α ) Πραγματοποιείται ακριβώς ένα Ρ[(Α-Β) (Β-Α)] = Ρ(Α Β)-Ρ(Α Β) από τα Α, Β Α Β ή (Α Β) ή (Β Α) εν πραγματοποιείται μόνο το P(Α Β )= - Ρ(Β-Α) Β Α Β ή (Α Β ) ή (Α Β) εν πραγματοποιείται μόνο το P(Α Β )=- Ρ(Α Β) Α Α Β ή (Α Β ) εν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α, Β Ή πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α, Β Ρ(Α Β ) = Ρ(Α Β). Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε το γράμμα Σ αν είναι σωστή και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη. α) Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου του πειράματος. β) Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης ονομάζεται απλό ενδεχόμενο. γ) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι βέβαιο ενδεχόμενο. δ) Το συμπλήρωμα Α οποιουδήποτε ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης είναι επίσης ενδεχόμενο αυτού του πειράματος. ε) ύο ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα όταν Α Β = Α. στ) Το ενδεχόμενο Α = {, 3,7}, Β = {0,, 7} είναι ξένα μεταξύ τους. ζ) Το ενδεχόμενο Α = {, 3, 5} έχει πληθικό αριθμό Ν(Α) = 6. η) Το κενό σύνολο είναι βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης.. Να χαρακτηρίσετε σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: α) Τα ενδεχόμενα Α Β και Β Α είναι ασυμβίβαστα 4

5 Σε κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις να σημειώσετε το γράμμα Σ αν είναι σωστή και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη σύμφωνα με το διάγραμμα Venn του σχήματος i) Α Β ii) Γ Β iii) Γ iv) Γ Α v) Γ Α vi) Β Γ = Β vii) (Γ ) Α = Α viii) Α Β = Β ix) Β (Γ ) = Α x) Β = xi) (Γ Β) Α = Γ xii) Γ = xiii) Α (Γ ) = Β xiv) Β Ω = xv) (Γ ) Β = Β.4 Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε το γράμμα Σ αν είναι σωστή και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη: i) Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: 0 P(A) < ii) Αν το ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα τότε η πιθανότητα του ενδεχόμενου Α είναι: ΝΩ ( ) P(A) = ΝΑ ( ) iii) Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου ισχύει η σχέση Α Β τότε Ν(Α) Ν(Β) iv) Για τις πιθανότητες του βέβαιου Ω και του αδύνατου ενδεχόμενου ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις: P(Ω) = 0 και P( ) = v) Αν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α (Α Ω) είναι Ρ(Α) = 0,7 η πιθανότητα του συμπληρώματος Α (Α Ω) είναι Ρ(Α )= 0,3 vi) ύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα vii) ύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι συμπληρωματικά viii) Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(Α Β) = P(Α Β) P(A) P(B) P(A) + P(A ) = Ρ(Α) = Ρ(Β) τότε Α = Β Αν Α Β τότε P(Α Β) = Ρ(Α) Αν Α Β τότε P(Α Β) = Ρ(Β) Ρ (Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β Α ) 5

6 Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε το γράμμα Σ αν είναι σωστή και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη: i) Αν ισχύει ότι Α Β, τότε Ρ(Α ) Ρ(Β) ii) Αν ισχύει ότι Α Β, τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) < iii) Αν Α Β, τότε είναι πάντοτε Ρ(Α) Ρ(Β) iv) Έστω Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω. a) Αν Ρ(Α) =, τότε πάντα θα είναι Α=Ω b) Αν Ρ(Α)=0, τότε πάντα θα είναι Α=.6 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε ενδεχόμενο της στήλης Α με την πρόταση που τα περιγράφει α) Α Β. Πραγματοποιείται μόνο το Α β) Α Β. εν πραγματοποιείται το Α. γ) Α 3. Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β. δ) Β 4. Πραγματοποιείται τουλάχιστον το Α ή το Β. ε) (Α Β) 5. εν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β. 6. Πραγματοποιείται το Β.7 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Ενδεχόμενα Τα Α, Β πραγματοποιούνται συγχρόνως εν πραγματοποιείται το Α εν πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β Πραγματοποιείται μόνο το Α, όχι όμως το Β Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β Τα Α και Β δεν πραγματοποιούνται συγχρόνως Συμβολισμός.8 Ρίχνουμε ένα νόμισμα (με ένδειξη κορώνα ή γράμματα). Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος..9 Σ ένα κουτί έχουμε 3 μπάλες κόκκινες και δύο άσπρες. Παίρνουμε από το κουτί διαδοχικά από μια μπάλα χωρίς επανατοποθέτηση και σταματάμε όταν βγάλουμε δύο του ίδιου χρώματος. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος..0 Από μια τράπουλα παίρνουμε διαδοχικά 4 χαρτιά στην τύχη και σημειώνουμε το χρώμα τους (Μ) ή (Κ). Να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος και τα ενδεχόμενα: Α: Το δεύτερο και το τρίτο χαρτί έχουν το ίδιο χρώμα και

7 Β: Το πρώτο χαρτί είναι μαύρο και το τέταρτο κόκκινο. Τέσσερις τουρίστες έχουν την δυνατότητα να μείνουν σε δύο ξενοδοχεία Α και Β. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω, και τα ενδεχόμενα: Α: «ύο ακριβώς να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο», Β: «ύο τουλάχιστον να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο», Γ: «ύο το πολύ να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο».. Σε ένα κουτί υπάρχουν μαύρες και κόκκινες σφαίρες. Βγάζουμε διαδοχικά ( χωρίς επανατοποθέτηση) μία μία τις σφαίρες μέχρι να βρούμε: α) μία μαύρη σφαίρα β) και τις δύο μαύρες σφαίρες Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος σε κάθε περίπτωση..3 Ρίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι να φέρουμε γράμματα (Γ). Αν έχουμε το πολύ τέσσερις ευκαιρίες να βρείτε όλα τα ενδεχόμενα του πειράματος τύχης..4 Ρίχνουμε ταυτόχρονα ένα ζάρι και ένα νόμισμα. Να βρείτε: i) Το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης ii) Τα ενδεχόμενα: α) Α: Κορώνα και περιττός αριθμός β) Β: Γράμματα και άρτιος αριθμός.5 Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι : Ω = { x Ν : 0 x } α) Να βρείτε με αναγραφή των στοιχείων του το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης, και να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα ενδεχόμενα:. Α = { x Ω : x πολλαπλάσιο του αριθμού 4}. Β = { x Ω : x < 7 } β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Γ: Τα Α, Β πραγματοποιούνται ταυτοχρονα. : Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α, Β Ε: εν πραγματοποιείται το Α Ζ: εν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β..6 Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης με πίνακα διπλής εισόδου και τα ενδεχόμενα: Α: οι αριθμοί των δύο ρίψεων είναι διαδοχικοί Β: οι αριθμοί των δύο ρίψεων έχουν άθροισμα 0. 7

8 .7 Σε ένα κουτί υπάρχουν τρεις μαρκαδόροι, ένας μαύρος, ένας κόκκινος και ένας μπλέ. Επιλέγουμε στην τύχη έναν μαρκαδόρο, καταγράφουμε το χρώμα του και τον επανατοποθετούμε στο κουτί. Στη συνέχεια επιλέγουμε άλλον ένα μαρκαδόρο και καταγράφουμε το χρώμα του. Να βρείτε: i) Τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος ii) Το ενδεχόμενο να επιλέξουμε μαρκαδόρους του ίδιου χρώματος iii) Το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον έναν κόκκινο μαρκαδόρο iv) Το ενδεχόμενο να μην επιλέξουμε τον μπλε μαρκαδόρο v) Το ενδεχόμενο να επιλέξουμε ακριβώς έναν μαύρο μαρκαδόρο.8 Μια εταιρεία ελέγχει τα Mp4 που παράγει. Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν ελαττωματικά Mp4 ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 Mp4. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: i) Α: να βρεθεί το πολύ ελαττωματικό Mp4 ii) Β: να βρεθεί ακριβώς ελαττωματικό Mp4 iii) Γ: να βρεθούν τουλάχιστον μη ελαττωματικά Mp4.9 Εξετάζουμε τις οικογένειες που έχουν τρία παιδιά και καταγράφουμε το φύλο των παιδιών κατά σειρά ηλικίας τους. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: τουλάχιστον ένα παιδί να είναι κορίτσι Β: το πολύ δύο παιδιά να είναι κορίτσια i) Να περιγράψετε λεκτικά τα ενδεχόμενα Α και Α Β ii) Να βρείτε τα ενδεχόμενα Α, Β, Α, Β και Α Β.0 Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, με: Ρ(Α)= 3 4, Ρ(Β)= 3 και Ρ(Α Β)= 3 5 Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: i) εν πραγματοποιείται το Α ii) Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β iii) εν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β iv) Πραγματοποιείται μόνο το Α v) Πραγματοποιείται μόνο το Β vi) Πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α και Β 8

9 . Ρίχνουμε ένα ζάρι μια φορά. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός Β: η ένδειξη του ζαριού να είναι περιττός αριθμός Τί παρατηρείτε μεταξύ των ενδεχομένων Α και Β;. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι απαντήσεις των μαθητών της Α Λυκείου ενός σχολείου, στην ερώτηση πόσα αδέρφια έχουν. Μαθητές Αδέρφια Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή να βρείτε την πιθανότητα η οικογένειά του να έχει: α) τρία παιδιά β) τέσσερα παιδιά.3 Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Αφού βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων να φέρουμε: α) την ίδια ένδειξη και τις φορές β) μία φορά τουλάχιστον την ένδειξη 6 γ) άθροισμα 9.4 Σε ένα κουτί υπάρχουν 0 μπαλάκια αριθμημένα από το έως το 0. Αν ο Μιχάλης τραβήξει τυχαία έναν αριθμό που διαιρείται από το κερδίζει ένα βιβλίο, ενώ αν τραβήξει έναν αριθμό που διαιρείται από το 5 κερδίζει ένα CD. Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α: Θα κερδίσει ένα βιβλίο. Β: Θα κερδίσει ένα βιβλίο ή ένα CD. Γ: Θα κερδίσει ένα βιβλίο και ένα CD. : Θα κερδίσει μόνο ένα βιβλίο. Ε: εν θα κερδίσει ούτε βιβλίο ούτε CD..5 Έστω μία τράπουλα με 5 φύλλα. Επιλέγουμε ένα φύλλο στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω εδεχομένων: Α: «το φύλλο να είναι κόκκινο» Β: «το φύλλο να είναι σπαθί» Γ: «το φύλλο να είναι 8 ή 9» 9

10 .6 Οι απουσίες που έχει ο κάθε μαθητής της Α τάξης ενός Λυκείου είναι από 0 έως και 80. Υπάρχουν 35 μαθητές με απουσίες από 0 έως και 50. Επιλέγουμε στην τύχη έναν από τους παραπάνω μαθητές και θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: Ο μαθητής έχει απουσίες από 0 έως και 50. Β: Ο μαθητής έχει πάνω από 30 απουσίες. Αν η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι 0,5 και η πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να έχει απουσίες από 30 έως και 50 είναι 0,3, να υπολογίσετε: α) Το πλήθος των μαθητών της Γ τάξης αυτού του Λυκείου. β) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Β. γ) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Α-Β. δ) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Β-Α..7 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α:«η ένδειξη να είναι 6» Β: «η ένδειξη να είναι περιττή» Γ:«η ένδειξη να είναι περιττή και ταυτόχρονα μικρότερη από 5.8 Σε ένα τεστ αντιστοίχησης υπάρχουν 3 ερωτήσεις (,,3) και 3 απαντήσεις (Α,Β,Γ) Αν ένας μαθητής κάνει μια τυχαία αντιστοίχηση, να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: να έχει 3 σωστές απαντήσεις Β : μόνο μια σωστή Γ: καμία σωστή.9 Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω. Αν Ρ(Α)=.Ρ(Β)=0,6 και Ρ(Α Β)=0,8, να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Κ: να πραγματοποιηθούν το Α και το Β, Λ: να πραγματοποιηθεί μόνο το Β, Μ: να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β, Ν: να πραγματοποιηθεί μόνα ένα από τα Α και Β..30 Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)= 9, Ρ(Β)= 3, Ρ(Α Β)= 6. Να βρεθούν οι πιθανότητες των Α, Β, Α Β, Α-Β, Β-Α, Α Β, Α Β.3 Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=0,5 Ρ(Β )=0,65 και Ρ(Α Β)=0,5 να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Α-Β, Β-Α, Α Β, Α Β. 0

11 .3 Το καλοκαίρι θα κυκλοφορήσουν στην αγορά δύο νέα παγωτά Α και Β. Αν η πιθανότητα να πετύχει το Α είναι 0,6 και η πιθανότητα να πετύχει το Β είναι 0,7, η δε πιθανότητα να αποτύχει τουλάχιστον ένα από τα δύο είναι 0,6, να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει τουλάχιστον ένα από τα Α και Β.33 Από τους 0 μαθητές της Γ τάξης ενός Λυκείου, οι 90 παίζουν ποδόσφαιρο ή μπάσκετ, από αυτούς 50 παίζουν μόνο ποδόσφαιρο και 30 παίζουν και τα δύο. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων, αν εκλεγεί ένας μαθητής στην τύχη: Α: να παίζει μόνο μπάσκετ, Β: να μην παίζει κανένα από τα δύο, Γ: να παίζει ποδόσφαιρο, : να παίζει μπάσκετ, Ε: να παίζει μόνα ένα από τα δύο.34 Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης. Να παραστήσετε με διαγράμματα Venn και να και να περιγράψετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: α) ( ) B A β) ( ) A B Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν: Ρ(Α) = και Ρ(Β)=. 4 α) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα. 5 β) Να αποδείξετε ότι : P( A B) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν: Ρ(Α) = 0,3, Ρ(Β) = 0,4. Να αποδείξετε ότι: 0, 4 P( A B) 0, Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν: Ρ(Α) = 0,3, Ρ(Β) = 0,. Να αποδείξετε ότι : 0, P( A B) 0, Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(Α) = 0,5, Ρ(Β) = 0,3 και Ρ(Α Β ) = 0,7. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β. β) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.

12 γ) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β. δ) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β..39 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(Α) =, Ρ(Β) = και Ρ (Α Β) = Να βρείτε την Ρ(Α Β)..40 Θεωρούμε το πείραμα ρίψης ενός ζαριού. α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο και να περιγράψετε με διάγραμμα του Venn τα ενδεχόμενα Α = {, 5, 6}, B = {,, 3, 6}, A B, A B, B A, A. β) Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις πράξεις της ης στήλης με το αντίστοιχο ενδεχόμενο της ης στήλης. η Στήλη η Στήλη. A B α. Ω. A B β. 3. Α γ. {, 6} 4. Α Β δ. {, 3} 5. Β Α ε. {5} στ. {4}

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 : Οι Πραγματικοί Αριθμοί.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. i) Κάθε ρητός αριθμός έχει τη μορφή, με, και *. ii) Κάθε πραγματικός αριθμός έχει αντίθετο. iii) Κάθε πραγματικός αριθμός έχει αντίστροφο. iv) Αν α, β αντίστροφοι τότε 0. v) Αν αγ = βγ, τότε πάντα α = β vi) Ισχύει η ισοδυναμία: άρτιος υπάρχει κ :. vii) Ισχύει η ισοδυναμία: 0 0 ή 0. viii) Αν α² + β² = 0, τότε α = β= 0 ix) Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. x) Οι αριθμοί α και, με 0 ονομάζονται αντίστροφοι. xi) Ο αντίστροφος του είναι το. xii) Ισχύει ότι 0. xiii) Αν α, β αντίθετοι με 0, τότε + = 0. xiv) Αν 0, με 0, τότε 0. xv) Αν,,, με, τότε οι, είναι αντίστροφοι... Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. i) Για κάθε, ισχύει: = 5. ii) Για κάθε ν, ισχύει: 4 0. iii) Οι αριθμοί και είναι αντίστροφοι. iv) Για κάθε ν, ισχύει:. v) Για κάθε ν, ισχύει: 0 0 vi) Ισχύει:, για κάθε,. vii) Ισχύει:, για κάθε,. viii) Ισχύει: 3 3. ix) Είναι..3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες i) ii) iii) iv) v) vi) vii) 3

14 .4. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: Α = 5 Β = Γ = =.5. Να μετατρέψετε σε απλά τα παρακάτω κλάσματα: + Α = 3 Β = : Γ = = : Να αποδείξετε ότι: i) Το άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός αριθμός. ii) Το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος. iii) Το γινόμενο ενός άρτιου και ενός περιττού είναι άρτιος. iv) Το γινόμενο δύο περιττών αριθμών είναι περιττός..7. Να αποδείξετε ότι: i) αν ο α είναι άρτιος άρτιος, τότε και ο α² είναι άρτιος ii) αν ο α² είναι περιττός, τότε και ο α είναι περιττός.8. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και 4, είναι περιττοί για κάθε..9. Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι: i) α = 3 ν- + 3 ν + 3 ν+ είναι πολλαπλάσιο του 3 ii) β = ν + ν+ + ν+ είναι πολλαπλάσιο του 7.0. Αν,, να αποδείξετε ότι ο αριθμός κ = είναι ακέραιος... Αν x = (α + β) + [ ( γ) + ( δ) ] και y = [ ( α) + γ ] + [ ( β) + δ ], να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x, y είναι αντίθετοι... Αν και 4, να βρείτε τις τιμές των αριθμών x, y..3. Αν και 5, να αποδείξετε ότι ΜΚ, = Αν, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α) Α β) B γ) Γ..5. Αν 3, y 0, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i) Α 4

15 6 0x + (4x y 3) A = και Β= x+ + y.6. ίνονται οι παραστάσεις 3(x ω ) + 3(y +ω) 3 Αν χ+y = 008, να βρείτε την τιμή της παράστασης Γ = 008 Α - Β.7. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζονται οι παραστάσεις: i) ii) iii) iv) v) vi).8. Να βρείτε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις: 3 5x + 0 3a i) ii) iii) iv) x ( + 5) 3x ( ) ( ) y + 3 (y ) (a + ) 9 x[(x ) 6].9. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις με μορφή μίας δύναμης. i) ii) 3 3 iii) 5 5 iv) v) vi).0. Να γράψετε ως μια δύναμη καθεμία από τις παρακάτω παραστάσεις: i) Α = x x x ii) Β = y y iii) Γ= ( a a 3 ) 4 y a a iv) = v) Ε= 0 ( a :a) :( a :a ) a.. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις με μορφή μίας δύναμης. i) 5 ii) iii) Αν *, να γράψετε με μορφή μίας δύναμης, τις παρακάτω παραστάσεις: i) x x ii) x x iii) iv) v) vi).3. Αν *, να γράψετε με μορφή μίας δύναμης, τις παρακάτω παραστάσεις: i) ii).4. Να εκφράσετε με μορφή μίας δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις: α) Α 4 6 β) Β 3 8 5

16 γ) Γ δ).5. Αν = 0 και =, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α..6. Αν = - και = - -4, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = 6x 3x y y Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω αριθμοί Α, Β είναι αντίστροφοι. Α Β.8. Να υπολογίσετε το στις παρακάτω ισότητες: i) ii) 64 iii) 3 iv) v) vi), 0 vii), 0 viii), 0 ix),,.9. Συμπληρώστε τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν τριώνυμα, που να είναι τέλεια τετράγωνα. i) x x... ii) x 4x... iii) x xy... iv) 4x... 9y v) x... vi) x x... vii) 6x... viii) x... 6y ix)....30, Να συμπληρώσετε τα κενά: i) x 3 + 6x = ( ) 3 ii) (...+) =... - x +... iii) ( ) = 9α αβ+... iv) ( ) x... =... 4x Να βρείτε τα αναπτύγματα: i) 3 ii) iii) 3 iv) 5 v) vi) x, 0 6

17 vii) viii) ix).3. Να βρείτε γινόμενα: i) ii) 3 3 iii) iv) v) vi).33. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i) ii) iii) iv) v) vi), Να γίνουν γινόμενα παραγόντων οι παρακάτω παραστάσεις: i) 4(x y) 5(y x) ii) x + 8y 3 6 iii) x + y iv) 6 6 x + x+ y + yω ω v) vii) α 9α β α β + 9β = vi) (x ) + x(x ) + 9x 4 viii) 3 3 x y + x y xy x+ y ( α β)( α γ ) ( α γ)( α β ).35. Να απλοποιηθούν τα παρακάτω κλάσματα i) 3x x 3 + 3x x ii) x 5x+ 6 x iii) x 6x+ 9 x 4x Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i) ii) iii) iv) ( α +β ) ( αβ ) = ( α β ) ( α+β) ( α β) ( α β ) = αβ( α β ) ( α β ) + ( α+β ) + 3( α+β)( α β ) + 3( α+β) ( α β ) = 8α ( α +β )(x + y ) ( α y +β x) = ( αx β y).37. Να βρείτε τα γινόμενα: i) ii) 6 9 iii) 4 iv) Να βρείτε τα αναπτύγματα: i) 3 ii) iii) 3 7

18 .39. Να βρείτε τα διώνυμα των οποίων τα αναπτύγματά τους είναι τα παρακάτω: i) 4 4 ii) 6 9 iii) iv) 6 8 v) 3 3 vi) Να βρείτε τα γινόμενα: i) ii) iii) 4 6 iv) 4.4. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 3 3 ii) iii).4. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) ii) 3 5 iii) iv) v) 3 3 vi) Να αποδείξετε ότι: i) α + β + γ > αβ + αγ + βγ ii) αν α + β + γ > 0 τότε α 3 + β 3 + γ 3 > 3αβγ iii) αν α + β + γ < 0 τότε α 3 + β 3 + γ 3 < 3αβγ.44. Αν α < β < γ να αποδείξετε ότι: i) α < α + β < β ii) α < α + β + γ 3 < γ.45. Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι παρακάτω ανισότητες : i) α + 6 8α ii) (α + β ) (α β) iii) 3α α + > 0 iv) α + β + γ + αβ + αγ + βγ > 0 v) α + αβ + αγ + β + γ 0 vi) α + 4α + 5 > Να αποδείξετε ότι: i) (α + β) + 4αβ 8β ii) α 6α + > 0 α + β iii) αβ iv) 3 (α β ) + αβ (α + β).47. Αν 3 < α < και 5 < β < 6, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η τιμή της παράστασης: i) α β ii) αβ iii) α+4β iv) 3α-β+ 8

19 .48. Αν α < 3 < β, να αποδειχθεί ότι : ίνεται η παράσταση Α = i) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; ii) Να αποδείξετε ότι Α= 0 για κάθε x Να βρεθούν οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει ότι: α) x 5 β) x 3 4 γ) x 3 δ) x Αν α < < 3 vα απλοποιηθεί η παράσταση : Α = 3.5. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές. i) Α = ii) Β = ίνεται η παράσταση Α = 4 i) Να αποδείξετε ότι Α = x - ii) Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς απόλυτες τιμές iii) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x, ώστε Α = Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, δηλαδή να τις γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. x x + 9 i) Α = 3 x ii) Β = x x + iii) Γ = 4 x x + iv) = x ( 4x 3 x ) v) Ε = +, x 0. x x.55. Αν x (, 5) να δείξετε ότι x + x 5 = Να υπολογιστούν οι παρακάτω ρίζες: i) 5 ii) 7 iii) ( ) 3 iv) ( 4) v) vi) ( 7 ).57. Να βρείτε τις τιμές των επόμενων παραστάσεων: i) Α = 3 ( 5) ii) Β = iii) Γ = ( 3) ( 7) 3 ( 5) + iv) = ( ) ( 8) + ( 8) ( 5 7) 9

20 .58. ίνονται οι παραστάσεις: Α= και Β= α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β. β) Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές με μήκη Α cm και Β cm.να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας..59. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις : x i) 3x 4 ii) 7 5 3x iii) 3 iv) x x 3 v) x 5 vi) 8 x vii) 7x viii) x ix) ( x ).60. Αν 3 < x < να απλοποιηθεί η παράσταση: Α = 5 (x ) 3 (x + 3) + x + 4x Nα δείξετε ότι : + = Να αποδείξετε ότι : i) = + ii) (4 + 5)( 0 6)( 4 5 ) =.63. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες οι οποίες να έχουν ρητό παρονομαστή : i) ii) 3 iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μιας ρίζας : i) 4 3 ii) iii) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη βοήθεια μόνο μίας ρίζας : i) 4 ii) iii) 3 α 4 α 6 iv) v)

21 a β, α 0 είναι λύση της αx+β=0, α 0 ( με άγνωστο το x). iii) Η εξίσωση αx=α, α 0 είναι ταυτότητα (άγνωστος x). iv) Οι εξισώσεις (5x 3) = 3και 5x 3 = 8 είναι ισοδύναμες. 6 v) Αν η εξίσωση αx+β=0 έχει δύο ρίζες ως προς x, τότε α=0 και β=0. vi) Η εξίσωση αx+β=0, με α=0 είναι αδύνατη. vii) Η εξίσωση (λ-)x = -λ, έχει μια μοναδική λύση. viii) Η εξίσωση x 3= 0έχει δυο λύσεις. 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) ή (Λ) i) Αν α, γ ετερόσημοι αριθμοί, η εξίσωση αx + β x + γ = 0 έχει δύο άνισες ρίζες. ii) Η εξίσωση αx + β x + γ = 0, α 0 έχει μία ρίζα ίση με το μηδέν, όταν η διακρίνουσα της είναι ίση με το μηδέν. iii) Η εξίσωση αx + βx - γ = 0 έχει δύο ρίζες άνισες αν α > 0 και γ > 0. iv) Οι αριθμοί και 3 είναι ρίζες της εξίσωσης x - 5x + 6 = 0. v) Αν η εξίσωση x - λx + = 0, λ R* έχει δύο ρίζες άνισες, αυτές είναι αντίστροφες. vi) Αν η εξίσωση α x + β x + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες αντίθετες, τότε είναι β = 0. vii) Αν p, p είναι ρίζες της αx + βx + γ = 0, α 0 οι ρ, - ρ είναι ρίζες της αx - βx+γ =0. viii) Αν ρ, ρ (ρ. ρ 0) είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 οι, p p, είναι ρίζες της εξίσωσης γx + βx + α = 0, γ 0. ix) Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α + β = και α β = 3 x) Όταν η εξίσωση x + β x + γ = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, το γ είναι αρνητικός αριθμός.

22 xi) Όταν η εξίσωση α x + β x + γ = 0, α < 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, το γ είναι αρνητικός αριθμός. xii) Όταν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες ομόσημες, το β είναι πάντα θετικός αριθμός. xiii) Αν ρ, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 τότε ρ +ρ = β α. xiv) Αν ρ, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 οι ρίζες της εξίσωσης αx + β x + γ = 0. ρ, ρ θα είναι xv) Η εξίσωση x - κx - λ = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες για κάθε κ, λ R*. 3.3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση i) Αν η εξίσωση x - 4x + α = 0 έχει για διπλή ρίζα το, τότε ο α ισούται με : Α. Β. Γ Ε. 0 ii) Αν η εξίσωση x - x - κ = 0 έχει ρίζες άνισες, για τον πραγματικό αριθμό κ ισχύει : Α. κ < - Β. κ.- Γ. κ < 0. κ > - Ε. κ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός iii) Η εξίσωση x - κx + κ = 0 με άγνωστο τον x για κάθε πραγματικό αριθμό κ 0 έχει : Α. δύο ρίζες άνισες αρνητικές Β. δύο ρίζες άνισες θετικές Γ. μια διπλή ρίζα θετική. διπλή ρίζα το μηδέν Ε. καμία πραγματική ρίζα iv) Όταν οι α, γ είναι ετερόσημοι η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει : Α. δύο ρίζες άνισες Β. διπλή ρίζα θετική Γ. διπλή ρίζα αρνητική. καμία ρίζα Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε v) Η εξίσωση x +κ x λ =0 για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ με κ.λ 0, έχει : Α. δύο ρίζες άνισες ομόσημες Β. δύο ρίζες ετερόσημες Γ. μια διπλή ρίζα. καμία πραγματική ρίζα Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε vi) Αν οι ρίζες της εξίσωσης x + λx + 4 = 0 είναι θετικές, τότε ο λ είναι : Α. λ < - 4 Β. λ < 0 Γ. λ = 0. λ < -

23 Ε. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός vii) Οι ρίζες της εξίσωσης x - 4x λ = 0 για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ 0 είναι: Α. ομόσημες θετικές Β. ομόσημες αρνητικές Γ. ετερόσημες. το μηδέν και ένας θετικός αριθμός Ε. το μηδέν και ένας αρνητικό αριθμός viii) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + 5x - 7 = 0, τότε οι x, - x είναι ρίζες της εξίσωσης : Α. x + 5x + 7 = 0 Β. x - 5x - 7 = 0 Γ. x + 5x - 7 = 0. x - 5x + 7 = 0 Ε. x + 7x - 5 = 0 ix) Αν οι ρίζες της εξίσωσης 5x + (3 - λ)x - = 0 είναι αντίθετες τότε ο πραγματικός αριθμός λ είναι : Α. αρνητικός αριθμός Β. λ = 0 Γ. λ = 3. λ = - 3 Ε. λ = 9 x) Αν οι ρίζες της εξίσωσης x - 3αx + α = 0, α 0 είναι αντίστροφες τότε ο α είναι : Α. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 0 Β. οποι οσδήποτε αρνητικός αριθμός Γ. α = ή α = -. α = 9 ή α = - 9 Ε. α = 5 ή α = - 5 xi) Αν α + β = 5 και αβ = 6 τότε οι αριθμοί α, β είναι ρίζες της εξίσωσης : Α. x + 5x + 6 = 0 Β. x - 5x + 6 = 0 Γ. x - 5x - 6 = 0. x + 6x - 5 = 0 Ε. x - 6x + 5 = 0 xii) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x - 5x+ 3 = 0 τότε η παράσταση x x + ισούται με : Α. 5 Β. 9 Γ Ε. 9 xiii) Αν x, x είναι ρίζες της εξίσωσης x +7x+=0 τότε η παράσταση κx +κx κ 0 ισούται με Α. 7 Β. 7 Γ. 7κ. - 7κ Ε. 7κ xiv) Αν οι αριθμοί x και x είναι ρίζες της εξίσωσης x - 6x - 7 = 0, τότε ο x ισούται με: Α. 9 Β. 7 Γ Ε. 9 3

24 xv) Αν x, x είναι ρίζες της εξίσωσης x + 7x + = 0 τότε η παράσταση κx + κx κ 0 ισούται με: Α. 7 Β. 7 Γ. 7κ. - 7κ Ε. 7κ xvi) Η εξίσωση x - κ x - 3 = 0, κ R* έχει: Α. μία λύση Β. δύο λύσεις Γ. καμία λύση. τέσσερις λύσεις Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε xvii) Η εξίσωση x 4 + 3x + κ = 0, όπου κ > 0, έχει: Α. μία λύση Β. δύο λύσεις Γ. τέσσερις λύσεις. καμία λύση Ε. δε μπορούμε να απαντήσουμε 3.4 Στη στήλη (Β) βρίσκονται παραστάσεις που αντιστοιχούν στη διακρίνουσα των εξισώσεων της στήλης (Α). Συνδέστε κάθε εξίσωση της στήλης (Α) με την παράσταση που αντιστοιχεί στη διακρίνουσα της στήλης (Β). στήλη (Α) στήλη (Β) x - α = 0 x - αx = 0 x - 3x - α = 0 - α 4α 9 + 4α α - x + αx + 3 = 0 α + α Να λυθούν οι εξισώσεις: i) (x-3)+4=x+ vi) (x+)+=x-3(x-)+4x ii) x-3(-x)-=(x+4)+3 iii) x(x-3)+x-=x -x+5 iv) x -5x+4=x(x-) v) x+(x+)-5=3x- 4

25 3.6 Ομοίως: x + x x 3 x+ α) = x+ β) + x = 3 4 x 3 x + x x γ) + + = x δ) = x x 3 9x ε) + x+ = στ) x x = Ομοίως: α) γ) 3x + 5 x 3 5 x = x β) x + 4 3x x + = x + x 3 x + = + ε) 7(x 3) 3( x) 5(x ) = x Ομοίως: α) (x + 3) (x 6) = (x 36)(x + 3) β) (x-) 3 + x = 0 γ) (4x 3)(x 5) = 6x(4x 3)(x + 5) δ)x 3 6x + 9x = 0 ε) (x 8)(5x + 4) = (x + 9)(5x + 4) 3.9 Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 x = 4 3x ii) 0 (y 9) = 3 + y i) ( ) iii) 3(x + 4) (x ) = + x iv) 3 7( ω ) = 5 4ω v) 5 4(x 3) = x (x ) 3.0 Να λυθούν: i) x + 5 = 7 ii) x 3 x + = iii) 3 4 x+ 3 = x+ 0 iv) x x = x Να λύσετε τις εξισώσεις i) x x x x = ii) 3x x + 3 = 3 x iii) 6 x x x = Να λύσετε τις εξισώσεις: i) (x +) (x-+) =x (x +7 ) 6 ii) (x-) (x+) = x (x-6) +6 iii) (x-3) (x-4) x(x-3)=x(-χ) iv) (x+3) (x-7) (x-)(x+) v) (x+3) -3(5x+3)=(x-) (x+) (3x+) 5

26 3.3 ίνεται η εξίσωση: α 5x ( α )(x ) αx = 6 Να υπολογίσετε τον αριθμό α, ώστε η παράσταση εξίσωση να έχει ρίζα τη χ=. 3.4 Nα λυθούν οι εξισώσεις: i) ( x 3)( x+ ) = 0 ii) x(x ) = 0 iii) iv) vi) (x + ) (x 0) = 0 v) x(x+ 3)(4 x) = 0 (x + 7)(x 5) (3x 8) = 0 (x )(x + 3) = Ομοίως: x + x 3 i) = 0 x x(+ x) x( x) x x + x iii) = x x x (x ) x x 3 ii) = + x+ x x+ x iv) x + 4 x x + = x 4 x+ x 3.6 Ομοίως: i) x+ + x+ 3 = 4 x x+ 3 ii) + x x x + x 3 = + x 4 x x 3.7 Nα λυθούν: i) x = ii) x x = 8 x+ iii) 3x 4 = x x 3x 6 iv) x x = Oμοίως: i) = x x ii) 4 x = iii) 4 x + = x 4 x x iv) x x = x + x x x 3.9 Oμοίως: x 4x+ 5 i) = 3x 5 x + ii) x(3x + 5) + (3x )(x + 3) = 6

27 3.0 Κάποιος αγόρασε ύφασμα και έδωσε 70 ευρώ.αν η τιμή του μέτρου ήταν κατά 4 ευρω φθηνότερη, με τα ίδια χρήματα θα αγόραζε 6m επιπλέον ύφασμα.πόσα μέτρα υφάσματος αγόρασε; 3. Nα λυθούν: a) 5 4 = 5 x x+ x 4 x+ 3 x+ 4 x+ γ) = x x x 3x+ x β) = x + x x+ x+ δ) = 4 x x x 5x Oμοίως: x + 3x 0x + 3 α) + = x x+ x 4 β) x + = x x x + γ) x = 5 x 3 x 3x x 3.3 Nα λυθούν: x + 7x x 3x 45 = 3x 3 6x + 6 4x 4 α) x 3 x 5 γ) 6 = x 4 3x 6 β) 3 + x x x + = 5 x 4 8 x 3x Να λυθούν οι παραμετρικές εξισώσεις: i) (λ -5)x = λ +5λ, ii) λ x = λ(x+), iii) λ x λ = 9x 6λ + 9, iv) λ x = x + λ, v) λ (x-) 3λ = x +, vi) (λ+)x (λ +x) = λ(λ-) 9 vii) (λ+4)x + 6(λ+) =3(x-4) + λ Να λυθούν και να διερευνηθούν οι εξισώσεις : i) λx + λ = μx + μ ii) λ x + λ(x-) = μ 3.6 Να προσδιοριστεί ο λ R, ώστε η εξίσωση: (λ+)x (λ+x) = λ(λ-) - 9 να είναι ταυτότητα 3.7 Να προσδιοριστεί ο λ R, ώστε η εξίσωση: (λ +3)x 4(x-λ) = λ + 3 να είναι αδύνατη. 3.8 Να προσδιοριστεί ο λ R, ώστε η εξίσωση : (λ +)(x ) + x = λ 5λ + 5 να έχει λύση τον αριθμό Αν η εξίσωση (3λ-)x + 9λ = έχει δυο λύσεις, να προσδιοριστεί ο λ Να προσδιοριστούν τα λ και μ, έτσι ώστε η εξίσωση (λ -9)x = λ + 3 να είναι αόριστη και η εξίσωση (4-μ )x = μ +,να είναι αδύνατη 7

28 3.3 Να προσδιοριστούν οι λ, μ, ώστε η εξίσωση λ(λx-) + μ = x + 3 να ισχύει για κάθε x. 3.3 ίνεται η εξίσωση λ(x ) + 4 = x λ.,όπου x είναι ο άγνωστος της εξίσωσης και λ κάποιος ρητός αριθμός. i) Να λύσετε την εξίσωση όταν λ = -3 ii) Ποια πρέπει να είναι η τιμή του λ ώστε η εξίσωση να έχει λύση τον αριθμό 0. iii) Ποια πρέπει να είναι η τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθούν οι εξισώσεις: i) λx 3λ = λ² - 3x ii) λ²x 4λ = 6x λ² iii) 4 λ(λ x) = - λ²x iv) λ²(x + ) = - ( - λx) v) ( λ² + x ) λ( 4 + λx ) = 0 vi) λ( x + ) ( + λx ) = λ²(x ) 3.34 Για τις διάφορες τιμές του μ να λυθούν: i) μ( x 3 ) = - 3 ( x 3 ) ii) ( μ + ) ( x ) = μ 3 iii) μx = - μ ( x μ ) iv) μ(x ) = 3 (μ + 3) 3.35 ίνεται η εξίσωση : λ²( x+ 4 ) 5λ(x + λ) = - 5 Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είναι: i) ταυτότητα ii)αδύνατη 3.36 ίνεται η εξίσωση : λ³( x ) 3λ( 3x λ ) = 9λ Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είναι: i) ταυτότητα ii) αδύνατη 3.37 ίνεται η εξίσωση : λ(x + λ) 3 ( λ² - x 3 ) = 0 Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η παραπάνω εξίσωση έχει i) λύση το 3 ii) μοναδική λύση το Να βρείτε το λ αν η εξίσωση λ( λx ) = x ( 3λ ) λ² i) να είναι αόριστη ii) να είναι αδύνατη 3.39 Να λυθούν οι εξισώσεις: 8

29 x+ = 3, ii) x + 5 = 9, iii) x 4 = 0, iv) 3x 9 = 6, v) x+ = 3, vi) x 5= 0, vii) x 5 = 3, viii) 3x = 4, ix) x x + 7x = 6, x) x + = 5, xi) x+ + 3= 0, xii) 7x 4= x Nα λυθούν : i) x + 3 = x 6, ii) x 4 = x+ 6, iii) 3x = 3x 5 iv) x 3 = x+ 7, v) x + 3 = 3x +, vi) x+ 3 = x+, vii) x + = 3, viii) x 3 =, ix) x + 3 = Να λυθούν: i) x x x + + = 8, ii) x + x 3 x + + = 3, iii) 3x + x x + + =, 3 3 iv) x x + x + = v) 3x x + = x, vi) x + x = x Ομοίως: vii) x 3 =, viii) x x + 3x 3 = 0 i) 3 5 ii) iii) 4 3 iv)

30 ii) 5 5 iii) iv) 3.45 Να λυθούν : i) χ ii) χ 0 iii) 5 χ 7 χ iv) 3 3χ χ v) χ χ 3.46 Να λυθεί: x 3 x Να λυθούν: i) x 3-5 = 0 ii) x 7 = 0 iii) x 7 + = 0 iv) x² - 64 = 0 v) x 4 + = Να λυθούν: i) ( x ) ( x ) = 0 iii) (y ) (y + 5 ) = 0 ii) (x ) ( x ) = Nα λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i) x 4 = 8 ii) x 8 = 56 iii) x 5 = -3 iv) x 5 = 43 v) x 5 = Ομοίως: i) x 5 3 = 0 ii) x 6-8χ² = 0 iii) x 3 = 8 5 iv) x 9 x 5 + x 4 = 0 v) x 5 = x 3.5 Να λυθούν: i) ( x )³ = 7 ii) ( x ) 4 = 56 iii) ( x - 4 )³ = - 8

31 των χρημάτων του με επιτόκιο 4% και τα υπόλοιπα με 5% ετησίως. Μετά από έναν χρόνο εισέπραξε τόκο.500 ευρώ. Πόσα χρήματα κατέθεσε με επιτόκιο 4% και πόσο με 5% ; 3.53 Ένας τεχνικός του ΟΤΕ τελειώνει ένα έργο σε 6 ώρες, ένας άλλος σε 3 ώρες και ένας τρίτος σε ώρες. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο, αν εργαστούν όλοι μαζί; 3.54 Να λυθεί η εξίσωση : x + x = x Αν ρ. ρ είναι ρίζες της x + 5x λ + 3 = 0, να υπολογιστεί ο λ ώστε να ισχύει: ρ + ρ 5ρ ρ 5ρ ρ = Γράψτε την εξίσωση που έχει αντίθετες ρίζες από τις ρίζες της εξίσωσης x +x-6= ίνεται η εξίσωση (x - ) - λ(x - 3) = 0 που έχει ρίζες p και p. Να αποδειχθεί ότι η παράσταση (ρ - 3 ) (ρ - 3 ) είναι ανεξάρτητη του λ ίνεται η εξίσωση α x + β x + γ = 0, α 0 και 0. Να δειχθεί ότι : α) οι ρίζες της είναι αντίθετες αν και μόνον αν β = 0 β) οι ρίζες της είναι αντίστροφες αν και μόνον αν α = γ Η εξίσωση (α β ) x + β = 0 όπου α, β πραγματικές παράμετροι με 0< α < β έχει λύση; Αν όχι, γιατί; Αν ναι, ποια; 3.60 Να βρεθεί ο πραγματικός λ, ώστε η εξίσωση (λ+3)x (5λ+)x + 7λ +3 = 0, να έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς 3.6 Για ποιες τιμές του πραγματικού λ οι ρίζες ρ, ρ της εξίσωσης x x + λ- = 0, επαληθεύουν τη σχέση 3ρ ρ = Να βρεθεί ο πραγματικός λ, ώστε η εξίσωση x (λ+3)x + λ+ = 0 να έχει: α) Ρίζες ομόσημες. β) Ρίζες ετερόσημες. γ) Ρίζες αρνητικές. δ) Ρίζες θετικές. ε) Ρίζες αντίθετες. στ) Ρίζες αντίστροφες

32 ii) 0 iii) iv) ² ² 3.67 Να λυθούν: i) (x + )² + - = 0 iii) (x 5) ² ii) (x )² Να λυθούν: i) x 6 + 7x³ - 8 = 0 iii) x 6 + 8x³ + 7 = 0 ii) x 6 6x³ + 64 = Να λυθούν οι οι εξισώσεις : i) (x + )² - (x + ) 3 = 0 ii) x 4 x² - 8 = 0 iii) x 6 + 7x³ - 8 = 0 iv) x 4 5x² + 4 = 0 v) 4x 4 7x² + 4 = 0 vi) x 4 - x² - 0 = Αν η εξίσωση x + βx + γ = 0, δεν έχει ρίζες, τότε το ίδιο συμβαίνει και για την x + x + γ + β(x+) + = Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3x +(α+β+γ)x+(αβ+αγ+βγ)=0 έχει μια διπλή ρίζα, αν και μόνον αν α=β=γ. 3.7 ίνεται η εξίσωση x + x - μ + 3 = 0. Να βρεθεί για ποιες τιμές του μ: α) αυτή έχει δύο διαφορετικές ρίζες β) αυτή έχει μια διπλή ρίζα γ) δεν έχει ρίζες.

33 ε) ρ ρ + 3ρ 5ρ + ρ ρ 5ρ + 3ρ + ρ ρ ρ + ρ +, ρ ρ, δ) 3.74 Να δειχθεί ότι : αν η εξίσωση (α - β) x - 4αx + 4β = 0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση (α +β ) x - x + 3(α - β ) = 0 έχει δύο ρίζες άνισες Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: i) x - 4x = 0 ii) 3x = 4x iii) x + x - 5 = 0 iv) 5x - 8x - 8 = 0 v) x - 6x + 7 = 0 vi) y - y + = 0 vii) y - (α + 3) y + 3α = 0 viii) - x + 5x + = 0 ix) x + 4κx - κ = 0 x) 4x - 4κx - 35κ = 0 xi) 8y = 0κy + 3κ 3.76 Να προσδιορίσετε το x συναρτήσει του y από τις εξισώσεις: α) y² + 3xy - 7y = x² - x + 5 β) 6y² - 4y - 3xy = 9x² + 9x Να λυθεί η εξίσωση: x+ - (x - ) = 3x Αν είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης x + βx + α = 0, βάλτε σε κύκλο τη σωστή ισότητα: = α - 4β = β = β - 4αγ = β - 4α = Να λυθούν: α) x + 5x + 4 =0 β) x + 4x -5 =0 γ) x 7x +6 =0 δ) x + 9x +8 = 0 ε) x -8x +9 =0 στ) x +5x -7 = 0 ζ) x +3x = 0 η) -x + 7x +4 = 0

34 γ) ε) x + ( 3 )x 6 = 0 β) x 3 x + 3 = 0 δ) x 5 x 5 0 x + ( 3)x 3 = 0 3 x 6x+ 3 3 = 0 + = στ) ( ) 5x 0 x = Ομοίως: α) x + ( 3 + )x+ 3 = 0 β) 7 x + ( 7 + 0)x + 0 = 0 γ) 3 x ( 6 + 3)x + 6 = 0 δ) 3 x( 3 + ) = x( x+ 3) ε) x ( 3 ) x+ 4 3 = 0 στ) x ( ) x+ 3+ = Ομοίως: 5 4 α) x + x = 0 β) x x + = 0 γ) δ) x + x = 0 ε) x 3x+ = x x = Ομοίως: 3.84 Ομοίως: α) ( x )( x 7x+ ) = 0 β) ( )( ) γ) ( )( ) x 4 x x 8 = 0 9x 6x + x x = 0 δ)( x x+ 8) x x+ = 0 4 α) 4x + 3χ 0 =0 β) 4 ( x - ) + 3 ( x - ) 0= 0 γ) ( x 3 ) 8 ( x 3 ) +5 = Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο άνισες λύσεις: α) x + αx - =0 β) αx +3x α = 0, με α 0 γ) x + ( α +)x +α = 0 δ) αx + (α )x +α = Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση: α) 4x (α β)x αβ =0 β) 3x αx α =0 γ) x αx +α β = 0 δ) x + (β α )x +α αβ -β = ίνεται η εξίσωση x + 3x + 4 = λ α) Να βρείτε για ποιά τιμή του λ η εξίσωση έχει μία διπλή λύση. β) Για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση.

35 α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μία διπλή λύση. β) Για κάθε τιμή του λ που να λύσετε την εξίσωση Αν a = + 3 : Να λύσετε την εξίσωση: β= ( 7 )( 7 + ) α x +β x+ γ = 0 γ= Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα : α) x 3x 4 β) x 6x + 9 γ) x + x + δ) x + x 6 ε) x +5x + 50 στ) x -x Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: x 3x 9 α) 4x 9 β) 3x + 5x x + 4x+ 4 γ) 3x + 8x + 4 9x + 6x δ) x 9x 5 4x + 4x Η εξίσωση 3x + λx +5 = 0 έχει λύση τη x = και η : 3x + μx 0 = 0 έχει λύση τη x = -. α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ 3x + λ x + 5 β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α = 3x + μx Το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών άρτιων αριθμών είναι 00.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ύο αριθμοί έχουν άθροισμα 6, ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 30.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις έχει δύο ρίζες άνισες; Α. x - x + 5 = 0 B. x + κx + κ = 0 Γ. x - x + 7 = 0. x - x - κ = 0 Ε. x - 6x + 9 = Να βρείτε αν έχει ρίζες και πόσες καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις χωρίς να τις λύσετε: a. x + 4x + 6 = 0 c. x = 4x - 3 = 0 b. 3x + x + = 0 d. x - 4x + 4 = 0

36

37 x = 0. x + (x - ) = - 5 E. x + (x - ) = Η εξίσωση x +x-8=0 δέχεται ως ρίζα έναν από τους παρακάτω αριθμούς:, -,, - Βρείτε ποιον και στη συνέχεια να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης με δύο τρόπους, χωρίς να τη λύσετε. Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το άθροισμα και το γινόμενο των δύο ριζών. Να γίνει το ίδιο και για τις εξισώσεις: α) x + 7x - 8 = 0 β) x + 3x - 5 = 0 γ) - x + x + = 0 δ) x + 3x + 4 = Να ελέγξετε αν οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες. Στην περίπτωση που έχουν να υπολογίσετε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών. α) x - 3x + 4 = 0 β) - x + 4x + 6 = 0 γ) x + 3x + = 0 δ) x - 4x - 3 = 0 ε) x + x ( + ) + = ίνεται η εξίσωση x + x + λ - = 0 με ρίζες x, x. Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: x x + 3 (x + x ) + 5 = ίνεται η εξίσωση x - λx - λ - 5 = 0 με ρίζες x, x. Να βρεθεί ο λ έτσι ώστε να ισχύει η σχέση: (x - ) (x - ) = ίνεται η εξίσωση x + λx + λ - 4λ - 5 = 0. Να βρεθεί ο λ έτσι ώστε να ισχύει η σχέση: x = 4 x α)αποδείξτε ότι η εξίσωση x +λx-=0 έχει ρίζες πραγματικές, οποιοσδήποτε και αν είναι ο αριθμός λ. β) Χωρίς να υπολογίσετε τις ρίζες αυτές, να βρείτε τις παρακάτω παραστάσεις: i) x + x ii) x x iii) x x + iv) x x + x x 3. Ποιο είναι το κ όταν η εξίσωση x + κ (x - 6) = 0 έχει ρίζες των οποίων το γινόμενο είναι - ; 3. Ποιο είναι το κ όταν η εξίσωση 6x + 7x + κ = 0 έχει μια ρίζα διπλή;

38 5 Β. ρ ρ = 7 5 Γ. ρ ρ = ρ + ρ = 5 Ε. ρ ρ = Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, γ 0, τότε η εξίσωση γx + βx + = 0 έχει για ρίζες της: Α. ρ, - ρ Β. - ρ, ρ Γ. ρ, ρ. ρ, ρ Ε. ρ, ρ 3.5 ίνεται η εξίσωση: 9x +6x+γ=0 με ρίζες ρ, ρ. Εάν γνωρίζουμε ότι ρ - ρ =, α) να βρείτε τις ρίζες ρ και ρ β) να βρείτε το γ. 3.6 Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 να σχηματίσετε μια άλλη εξίσωση που να δέχεται ως ρίζες τους αριθμούς κρ, κρ, όπου κ ακέραιος αριθμός. 3.7 Αν οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο ρίζες άνισες, ποια απ αυτές έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς; Α. - 4x - βx + 4 = 0 Β. 4x + βx - 4 = 0 Γ. x + βx - = 0. x - βx + = 0 Ε. - x - βx + = Να λυθεί η εξίσωση : (x+) + x+ - = Να λυθεί η εξίσωση : x 4 (α+)x + α = Να λυθεί η εξίσωση : x - x = 0 3. Να λυθεί η εξίσωση : ( - x ) = 4

39 x β = 9 + β, όπου α, β πραγματικές παράμετροι και α 0 Υπολογίστε το β όταν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό. 3.7 Να λυθεί η εξίσωση: x 3 = + x 3.8 Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α + β = 6 και α + β = Αν οι ρίζες της εξίσωσης x (5λ-6μ)x = 0 είναι αντίθετες και οι ρίζες της εξίσωσης λx +3x λμ + λ = 0 με λ 0 είναι αντίστροφες τότε: α) να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών παραμέτρων λ και μ. β) να λυθούν οι εξισώσεις για τις τιμές των λ και μ που βρήκατε Βρείτε την τιμή του λ ώστε : (x - ) (3x - ) = 3x + λx Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθούν: i) λχ 3λ = λ² - 3χ ii) λ²χ 4λ = 6χ λ² iii) λ²(χ + ) = - ( - λχ ) iv) (λ² + χ ) - λ( 4 + λχ ) = Να βρεθούν οι τιμές του λ R για να είναι οι ρίζες της εξίσωσης 3x -x+3(λ-7)=0i) θετικές, ii) ετερόσημες, iii) ίσες 3.33 ίνεται η εξίσωση (λ - 3 λ + ) x + (λ - ) x + 3 = 0. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η παραπάνω εξίσωση :

40

41 4x + 5x 4 x (x ) x (x + ) > β) < γ) 5x (x 3) 5 (x + ) x + (x ) + x > δ) < ε) x 3 x 3 x + > 5 στ) x + 5 x 3 x Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων α) x + 3(x ) < x + και (x + 3) x > β) 5(x 5) + 4(x + ) < 6( 3x) και 3(x + ) 4(x ) > 3( x) γ) x + x x x 3 x 0 και > δ) x (x+ ) x+ 3 + > και 3 6 x x + + x < 4 4

42 3(x ) 4x 5 + > και 7 3 (x ) x 3x + x < β) x 3x x > και 3 6 x 3 3x+ + < 4 γ) x+ (x ) + > x 4 και x 3 x > x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) (x - ) (x² - 3x + ) (x² + x + ) < 0 β) (x² - 7x + ) (x²- 5x + 6) (x² + x + 6) >0 γ) x² (3 x²) < 0 δ) ( - x²) (- x + 7) < 0 ε) (x - α) (x - β) (x - γ) > 0 εάν α < β < γ στ) (3x³ - x²) (x² - x + ) < 0 ζ) 3x³ - 5x² + x > 0 x - 7x + - x + 5x + 6 η) > 0 θ) > 0 x - 7x + 60 x + x - 6 ι) x x > 4.5 Να λυθούν: α) x - x + > + - x β) 3 x - 3 > γ) x + x - 4 (x - ) (x - ) (x - 3) (x - 4) > 4.6 Ομοίως: α) - x + 5x β) - x + 4x - 4 > 0 γ) - x + x - < 0 δ) x + x - 5 > 0 ε) 5x + 3x - < 3x - x + 0 στ) 6x - 8 < x - 3x + ζ) x + > 0 η) 4x + 5 > Να δειχθεί ότι η ανίσωση x +6αx +9α +4 > 0 αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x 4.8 Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες το τριώνυμο (μ - 5) x - 3x + 4 είναι θετικό για κάθε πραγματικό αριθμό x. 4.9 ίνεται το τριώνυμο x - 8x + = 0. α) Ποιες είναι οι ρίζες του; β) Όταν το x μεταβάλλεται από 3 έως 5, το πρόσημο του x - 8x + μεταβάλλεται; ικαιολογήστε την απάντησή σας.

43 x - 7x + 3, x - 4x + 4, x + 9x + 8, x - x + έχει έννοια πραγματικού αριθμού; 4. ίνεται το τριώνυμο 4x² + x α) Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο γίνεται ίσο με 0; β) Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο γίνεται θετικό; γ) Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο γίνεται αρνητικό; 4. Το ίδιο για το τριώνυμο 3x²+ 3x Αν ισχύει α>3, να αποδείξετε ότι ( α+4) 6 < Να βρείτε το πρόσημο χ<y <ω, να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων : α) ( χ y) ( y ω ) β) ( χ ω )( ω y ) 4.5 Να βρείτε το πρόσημο α < β < γ <δ, να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: α) (α β) (γ β) (δ β) β) (α γ ) (β δ ) ( δ- γ) γ) (δ α ) ( γ β) (β δ) 4.6 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: x 4 α) 3 β) 5 7x x γ) 4 7x x δ) 3x 4 x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) γ) 3(x 4) x + 5 5x x 3 x 4 5 x > β) x x+ x+ 5 > δ) x 3 x 3 x < Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) - 3 < (χ-5) +9 < 7 β) 3 5χ < χ+ < 7χ 5 γ) 4 (3 χ) < 3 χ < 3( χ+) δ) στ) 7 x 5 x (x + 3) 3x 3< ε) 4 < (x ) x (x + ) 4 < + x + 3

44 3x + 5 > 4 3 x < 5 6 x < 0 x < δ) x 3 < 0 5x 3x x 6(3 x) (x 6) ε) 0 4( x) < ( + 8x) 4.0 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: x < 6x 0 α) β) 5x 5 7 7x < 0 γ) 5 ω 5 7 ω 4 < δ) 4(x + ) > (x + ) 8 + x < 4 x ε) 3(x + 9) < + 4x 3(x 3) ( x ) στ) x (x+ ) 3x < 0 3 x (3 3x) 4. Να βρείτε τις κοινές λύσεις: 3x x 0 < x α) β) + x 4 + 3x 4 x x 4 > x+ 5 x 3 x γ) 3x 7 3 5(5 3x) (x ) < Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισότητες και σε κάθε περίπτωση να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα: α) α + β αβ β) α + 9 6α γ) α + 5α α 4 δ) χ + 3χy χy y

45 x 6x + 9 x + 3 β) x x x + x - γ) 4x 9 4x - x + 9 δ) x + 3x 8 x + 4x - ε) x 5 x - 6x Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο x - 4x + 50 παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 5 και μικρότερες του 6; 4.5 Για ποιες τιμές του x ισχύει η διπλή ανίσωση: - < x - x - 3x + < 4.6 Να λυθούν οι ανισώσεις : α) 7x + 4 < x β) x(x 4) + x(x + 3) > 3x + 4 γ) x(x + ) + 7 < x(x + ) 5 δ) x > ε) (x ) + (x + 3) > (x + )(x ) Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 3x + x+ + x > β) x x > x 4 γ) x x 3 < δ) x. 4.8 Να βρείτε που συναληθεύουν οι ανισώσεις (βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων): α) 3x + 4 > x β) 4x + 3(x ) < x 6 γ) 3x (x + ) και και και x < 3 (x + 3) (5 x) > 3x + 3(x ) x < 3x Να λυθούν για τις διάφορες τιμές του λ οι ανισώσεις (λ IR). α) (λ + )x 5 >0 β) λ(x λ ) > x γ) λx < 5λ 4.30 Να λυθεί η (παραμετρική) ανίσωση μ (x + ) μ(x ) + 3 < (3μ ) x + μ, (μ R). 4.3 Να λυθεί η ανίσωση λx + 3 μ 4x (λ, μ R)

46 λx x x + > + δ) x α x x < α α 4.33 Να λύσετε τις ανισώσεις: α) x 3 < 3x β) x x 3x + 6 > 0 γ) 0 x+ x+ 4 δ) 0 x 4.34 Να λυθούν οι ανισώσεις : α) 3x 3 > β) x 5 γ) 3x 6 δ) 5x ε) x + 3 < 0 στ) x + 3 x > x 4.35 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : α) 3x 4 < + x 5 β) x γ) 5( x ) ( x ) δ) 3 x ε) 3 3x < 3x 3 στ) x ζ) 3 x 3 x 8 3 x > 3 3 η) x + 4 < 3 θ) x 4 ι) 5 x x Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x < 0 β) x < 0 γ) x > δ) x 3 ε) 3 x 4 στ) x > 0 ζ) x 0 η) x + 0 < 4 θ) 7 x < 3 ι) x 7 > 3 ια) x 3 ιβ) 0 x 4 ιγ) 4 x ιδ) x ιε) x x ιστ) x < x ιζ) x x ιη) x x ιθ) x > x

47 ( x + 6) 0 β) x 4 < 5 5 γ) x < δ) 4 x > ε) x 3 < Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις: α) 3x + 7 > 0 και x - 6x + 5 > 0 β) x + 5 > 0, x - < 0 και (x + 4) (x - 6) < 0 γ) 3x + 5 3x - 7 < 0 και x + 3x - 4 x - < Να λυθούν: α) x >5 β) x+ 3 < γ) x - 3 < 6 δ) 3x 4.40 Να λυθούν: α) x²+ x 6 > 0 β) x² - 6x +9 0 γ) 3x² + x Nα λυθούν: a) x x β) 5 - x + 7-3x + 3 γ) 3-3x x 4.4 Nα λυθούν : α) x < 5 β) 0 < x 3 γ) x 3 < 3 δ) 0 < x < 4.43 Oμοίως: α) x + - x + 5x < 3 β) x- - 3 x < 0 γ) x + - x + 5-3x >0 δ) x + > Nα λυθούν οι ανισώσεις: α) 3x < 7 β) 5x - > 6 γ) x δ) 3x > Oμοίως: i) x + 4x - x ii) ( x 5-3 ) + 3 ( 0 x - 4 ) 6

48 x x 3x 0 β) >

49 4.54 Nα λυθούν οι ανισώσεις : α) i) x > 0 ii) x < 0 β) x + > 0 γ) i) 3 3 > 0 ii) < 0 x δ) x > 0 ε) 3 x x α) x < x β) 5 x x+ δ) ζ) 4x 3x x > x 4x + 3 x ε) 7x 3 x + 3x x > 0 στ) 3x x + x > ζ) γ) x + 3x - 4 x (x + 3) x x < 0 x 4x + 5 > 0 στ) > x + > 0 η) x x + 3x 3x + < > 4.56 Να λυθούν οι ανισώσεις : (x )(x 9x + 0) α) > 0 (x x + ) γ) x + 3 x > x x x 5 ε) < x 6x 7 x 3 β) δ) στ) < x 3x+ x 7x + < 0 x 0x + 0 x 5x x +5x + 6 x 4.57 Να δειχθεί ότι για κάθε x (, 4) το κλάσμα Α = x - 5x + 4 x + x + είναι αρνητικό Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις : x 8 < 0 και x 5x + 6 > Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις : x x < 3, x x 5 < 0, x > Να λυθούν οι ανισώσεις : α) 3 < x + x + 3 < 0 β) 4x < 3 x 49

50 4.6 Να λυθούν τα συστήματα : α) γ) > x < x + 5 x 3x x > 0 x + > 3 x 5x 6 0 x 5x 7 0 β) δ) x > 0 x > (x 4) (x x 4) 0 x > > + < 6x 5x 0 x 5x Να λυθεί η ανίσωση : x + x 4 > x Να δειχθεί ότι η ανίσωση x + 6αx+9α + 4>0 αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες το τριώνυμο (μ 5)x 3x + 4 είναι θετικό για κάθε πραγματικό αριθμό x Να λυθούν: 4 x x 5 3x x+ i) < x+ 4 7 x x 4 7x ii) + < (x 3)(x ) 4 (x )( x) (x 3)(x ) iii) x x+ 7 5x+ 6 3x iv) > ίνεται η ανίσωση: x + μ 3 λ( 5 x ) Να βρείτε τις τιμές των λ και μ ώστε: i) η ανίσωση να είναι αδύνατη ii) η ανίσωση να αληθεύει για κάθε τιμή x R Να λυθούν: α) 3 x 8 β) 3 x + < 0 γ) 3 x+ > 9 δ) x Να λυθούν: α) x + 4 < x 6 β) x 6 < x + 4 γ) x 3 < x + δ) x + < x 5 ε) x x Nα γίνουν γινόμενο η παρακάτω παραστάσεις: i) x² - x -5 ii) 4x² +x ίνεται to τριώνυμο : x² - 3x i) Να βρεθούν οι ρίζες του τριωνύμου 50

51 ii) Να γραφεί σε μορφή γινομένου iii) Να απλοποιηθεί η παράσταση x 3x A = x 4x Να κάνετε γινόμενο τα τριώνυμα: α) x² - x - β) ω² + 3ω 5 γ) x² + 8x Να παραγοντοποιηθούν: α) α² + αβ 3β² β) α² + 5αβ + 6β² γ) x² + ω² - xω 3x + 3ω + δ) x² +ω² - 3xω + x ω ε) β 4 αβ² + α² - β² + β 4.73 Να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων: α) x² - 4x 5 β) x² + 3x + 4 γ) x² + 4x + 5 δ) -x² + x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x² - 3x > 0 β) x² - 3x < 0 γ) x² - 3x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x² - x + > 0 β) x² - x + < 0 γ) x² -x Να βρεθούν οι τιμές του x R, για να συναληθεύουν οι ανισώσεις: α) x² + 3x > 0 και 3x² - 4x β) x² - 6x + 5 < 0 και x² -5x + 6 > Nα λυθούν : α) 3x² < x + β) x² + 7x > 5 x γ) 5x² - 3x x + x² - γ) 3x² - x < δ) 3x² -9x + 30 ε) x² + x Βρείτε το πεδίο ορισμού Α των παραστάσεων: i) ii) iii) 4 x + x x x + 6 x x x 4 + x x 4.79 Να λυθούν: x x 3x 0 i)

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ 1. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν θεωρείτε ότι ο ισχυρισμός που διατυπώνετε είναι αληθής, ενώ αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής να κυκλώσετε το Ψ. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. Δίνεται το τριώνυμο : 3.Να βρείτε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου για : 3 4 i) 3 i 4 3. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 5 3 g( ) i h( ) 3. Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

1η έκδοση Αύγουστος2014

1η έκδοση Αύγουστος2014 mat hemat i c a. gr η έκδοση Αύγουστος04 Μία παρέα διαδικτυακών μαθηματικών φίλων, μελών του http://www.mathematica.gr, μοιράστηκε την ευθύνη, να παρουσιάσει στην κοινότητα τις λύσεις των Μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ

1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ. 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος» 1. Η ευθεία y = 5 είναι κάθετη στον άξονα y y. Σ Λ 2. Η ευθεία x = - 2 είναι παράλληλη προς τον άξονα x x. Σ Λ 3. Οι ευθείες x = κ και y

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα .497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού

Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με βάση την αναμορφωμένη έκδοση του σχολικού βιβλίου Άλγεβρας της Αʹ τάξης του Γενικού Λυκείου, που θα διδάσκεται από το σχολικό έτος 00-0. Είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΛ www.askisopolis.gr 3 4 .5381 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 0, οι κόκκινες είναι 7, ενώ όλες οι μπάλες μαζί είναι

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα