Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Transcript

1 Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα Α = {,4,6,8} και Β = {, 4, {6,8}} είναι ίσα. iv) Τα σύνολα Α = { x Ν/ x < 5} και Β = { x Ζ / x < 5 } είναι ίσα. v) Το σύνολο Α = { (,), (4,5) } είναι υποσύνολο του Β = {,,3,4,5}. vi) Τα σύνολα Α = { (,3), (5,8) } και Β = { (3,), (8,5)} είναι ίσα. vii) Αν Α Β και Β Α, τότε Α = Β. viii) Ισχύει ότι: Α, για κάθε σύνολο Α. ix) Ισχύει ότι: Α Α, για κάθε σύνολο Α x) Αν x A B, τότε x Α και x B. xi) Αν x Α Β, τότε x Α και x Β. xii) Αν Α και Β, τότε το σύνολο Α Β δεν μπορεί να είναι το κενό σύνολο. xiii) Αν Α και Β, τότε το σύνολο Α Β μπορεί να είναι το κενό σύνολο. xiv) Αν α Α, τότε: α Α Β xv) Αν α Α, τότε: α Α Β xvi) Αν α Α Β, τότε: α Β. xvii) Αν α Α Β, τότε: α Α. xviii) Αν α Β, τότε: α Α Β xix) Αν α Α, τότε: α Α Β xx) Ισχύει ότι: Α Β Α Β Ε. Να χαρακτηρίσετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ αν είναι σωστή και με το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη. i) Για κάθε σύνολο Α ισχύει Α Α. ii) Για το κενό σύνολο ισχύει η σχέση = { }. iii) Το σύνολο Α = {, 3, 8, 0} και Β = {0, 3, 8, } δεν είναι ίσα. iv) Αν Α = {3, 6} και Β = {,, 3, 6} τότε Α Β. v) Αν Α = {, } και Β = {{, }, 6, 7} τότε Α Β. vi) Για τα σύνολα Α και κενό ισχύει η σχέση Α = Α. vii) Για τα σύνολα Α και κενό ισχύει η σχέση Α = Α. viii) Αν το βασικό σύνολο είναι Ω τότε Α Α = Ω ix) Αν το βασικό σύνολο είναι Ω τότε Α Α = x) Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου. xi) Αν Α Β = τότε Α Β = Ω

2 xii) Αν Α Β = τότε Α = Β = Ε.3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση: i) Αν Α = { x R / (x-)(x-3)=0} και Β= { x R / x 3} τότε: α) Α Β = {,3} β) Α Β = {} γ) Α Β = {3} δ) Α Β = ii) Αν Α Β, τότε: α)α Β = Α β) Α Β = Β γ) Α Β = Α Β δ) Α Β = iii) Αν Α Β, τότε: α) Α Β Α Β β) Α Β = γ) Α Β = δ) Α Β Α Β iv) Αν Α= { 0,, 5, 7} και Β= {, 3, 4, 6, 9} τότε: α) Α Β ={ 0,,,3,4,5,6,7,8,9} β) A B = { 0,,5,7 } γ) A B = δ) Α Β = Α Β Ε.4 Αν Ω = {,,3,4,5,6} είναι το βασικό σύνολο και Α = {,,3,4}, Β = {3,4,5}, να βρείτε τα σύνολα: α) Α Β β) Α Β γ) Α δ) Β ε) (Α Β) στ) (Α Β) ζ) Α Β η) Α Β E.5 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το διάγραμμα Venn για τα σύνολα Α, Β και το βασικό σύνολο Ω. Να βρείτε τα σύνολα: α)α β)β γ) Α Β δ) Α Β ε) Α στ) Β ζ) Α B η) A B Ε.6 Να βρείτε όλα τα υποσύνολα του συνόλου Α = { x Z / -4 x 4 }. Ε.7 Με βασικό σύνολο Ω = {,,...,5}, θεωρούμε τα σύνολα: Α = { x Ω / πολλαπλάσιο του } Β = { x Ω / πολλαπλάσιο του 5}. Να παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα του Venn και να προσδιορίσετε τα σύνολα: α) Α Β β) Α Β γ) Α δ) Β ε) Α Β στ) Β Α Ε.8 ίνονται τα σύνολα: Α = {γράμματα της λέξης πόλη} Β = {γράμματα της λέξης δήμαρχος} Γ = {γράμματα της λέξης εκλογή}.

3 i) Να γράψετε τα σύνολα Α, Β, Γ με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn. ii) Να προσδιορίσετε τα σύνολα Α Β, Β Γ, Γ Α, Α Β, Β Γ, Α Γ. iii) Να επαληθεύσετε ότι: α) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) β) Α (Β Γ) = (Α Β) (Γ Α) Ε.9 Με τη βοήθεια του διαγράμματος Venn του παρακάτω σχήματος να προσδιορίσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: Ω, Α, Β, Α Β, Α Β, Α, Β, Α Β, Α Β. Ε.0 Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: α) Α = { x N : 4 x 0 } β) Β = { x N : x άρτιος και x < 3} γ) Γ = { x N : x² + x - = 0} δ) = { x R : x + 3x + 5= 0 } E. ίνεται ότι το βασικό σύνολο Ω = {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} και τα σύνολα Α = {, 4, 6, 8}, Β = { x Ω : x πολλαπλάσιο του 3}. α) Να παραστήσετε τα σύνολα Α, Β με περιγραφή και αναγραφή των στοιχείων τους αντίστοιχα. β) Να βρείτε τα σύνολα: Α Β, Α Β, Α, Β, (Α Β), (Α Β), Α Β, Α Β. Τι παρατηρείτε; E. ίνονται τα σύνολα Α = {,, 3, 4} Β = {5, 6, 7, 8} Γ = {,, 3, 4, 5, 9, 0, } =. Να βρείτε τα σύνολα: Α Β, Β, (Α Β) Γ, Α Γ, Α, (Α Β). E.3 ίνεται ότι το βασικό σύνολο Ω = {, 3, 5, 7} και τα σύνολα Α = {, 6}, Β= {,4,6}. α) Να βρείτε τα σύνολα Α Β, Α Β, Α, Β. β) Να αποδείξετε ότι (Α Β) = Α Β και (Α Β) = Α Β. E.4 Στο διπλανό διάγραμμα Venn να σημειώσετε ποιο μέρος αντιπροσωπεύουν τα σύνολα: α) Α B β) Α B γ) Α δ) Β ε) (Α B) Ω Α Β 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΥΠΟΣ-ΠΡΑΞΗ ΣΥΝΟΛΟ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Α Πραγματοποιείται το Α P(A) Α εν πραγματοποιείται το Α P(A ) = - Ρ(Α) Α Β Πραγματοποιούνται Ρ(Α Β) = Ρ(Α)+Ρ(Β) - Ρ(Α Β) συγχρόνως τα Α, Β Α Β Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α,Β Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Α- Β ή Α Β Πραγματοποιείται μόνο το Α Ρ(Α Β)= Ρ(Α) Ρ(Α Β)=Ρ(Α Β) Ρ(Β) Β - Α ή Α Β Πραγματοποιείται μόνο το Β Ρ(Β-Α)=Ρ(Β) Ρ(Α Β)= Ρ(Α Β) Ρ(Α) (Α Β) ή Α Β εν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β P(Α Β) =- Ρ(Α Β) [(Α Β ) ( Α Β )] εν πραγματοποιείται ακριβώς - Ρ(Α Β)+Ρ(Α Β) ένα από τα Α, Β ( Α -Β ) ( Β-Α ) Πραγματοποιείται ακριβώς ένα Ρ[(Α-Β) (Β-Α)] = Ρ(Α Β)-Ρ(Α Β) από τα Α, Β Α Β ή (Α Β) ή (Β Α) εν πραγματοποιείται μόνο το P(Α Β )= - Ρ(Β-Α) Β Α Β ή (Α Β ) ή (Α Β) εν πραγματοποιείται μόνο το P(Α Β )=- Ρ(Α Β) Α Α Β ή (Α Β ) εν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α, Β Ή πραγματοποιείται το πολύ ένα από τα Α, Β Ρ(Α Β ) = Ρ(Α Β). Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε το γράμμα Σ αν είναι σωστή και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη. α) Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου του πειράματος. β) Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης ονομάζεται απλό ενδεχόμενο. γ) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι βέβαιο ενδεχόμενο. δ) Το συμπλήρωμα Α οποιουδήποτε ενδεχομένου Α ενός πειράματος τύχης είναι επίσης ενδεχόμενο αυτού του πειράματος. ε) ύο ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα όταν Α Β = Α. στ) Το ενδεχόμενο Α = {, 3,7}, Β = {0,, 7} είναι ξένα μεταξύ τους. ζ) Το ενδεχόμενο Α = {, 3, 5} έχει πληθικό αριθμό Ν(Α) = 6. η) Το κενό σύνολο είναι βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης.. Να χαρακτηρίσετε σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: α) Τα ενδεχόμενα Α Β και Β Α είναι ασυμβίβαστα 4

5 Σε κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις να σημειώσετε το γράμμα Σ αν είναι σωστή και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη σύμφωνα με το διάγραμμα Venn του σχήματος i) Α Β ii) Γ Β iii) Γ iv) Γ Α v) Γ Α vi) Β Γ = Β vii) (Γ ) Α = Α viii) Α Β = Β ix) Β (Γ ) = Α x) Β = xi) (Γ Β) Α = Γ xii) Γ = xiii) Α (Γ ) = Β xiv) Β Ω = xv) (Γ ) Β = Β.4 Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε το γράμμα Σ αν είναι σωστή και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη: i) Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: 0 P(A) < ii) Αν το ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα τότε η πιθανότητα του ενδεχόμενου Α είναι: ΝΩ ( ) P(A) = ΝΑ ( ) iii) Αν για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου ισχύει η σχέση Α Β τότε Ν(Α) Ν(Β) iv) Για τις πιθανότητες του βέβαιου Ω και του αδύνατου ενδεχόμενου ισχύουν αντίστοιχα οι σχέσεις: P(Ω) = 0 και P( ) = v) Αν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α (Α Ω) είναι Ρ(Α) = 0,7 η πιθανότητα του συμπληρώματος Α (Α Ω) είναι Ρ(Α )= 0,3 vi) ύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα vii) ύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι συμπληρωματικά viii) Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: P(Α Β) = P(Α Β) P(A) P(B) P(A) + P(A ) = Ρ(Α) = Ρ(Β) τότε Α = Β Αν Α Β τότε P(Α Β) = Ρ(Α) Αν Α Β τότε P(Α Β) = Ρ(Β) Ρ (Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β Α ) 5

6 Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε το γράμμα Σ αν είναι σωστή και το γράμμα Λ αν είναι λανθασμένη: i) Αν ισχύει ότι Α Β, τότε Ρ(Α ) Ρ(Β) ii) Αν ισχύει ότι Α Β, τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) < iii) Αν Α Β, τότε είναι πάντοτε Ρ(Α) Ρ(Β) iv) Έστω Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω. a) Αν Ρ(Α) =, τότε πάντα θα είναι Α=Ω b) Αν Ρ(Α)=0, τότε πάντα θα είναι Α=.6 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε ενδεχόμενο της στήλης Α με την πρόταση που τα περιγράφει α) Α Β. Πραγματοποιείται μόνο το Α β) Α Β. εν πραγματοποιείται το Α. γ) Α 3. Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β. δ) Β 4. Πραγματοποιείται τουλάχιστον το Α ή το Β. ε) (Α Β) 5. εν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β. 6. Πραγματοποιείται το Β.7 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Ενδεχόμενα Τα Α, Β πραγματοποιούνται συγχρόνως εν πραγματοποιείται το Α εν πραγματοποιείται ούτε το Α ούτε το Β Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β Πραγματοποιείται μόνο το Α, όχι όμως το Β Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β Τα Α και Β δεν πραγματοποιούνται συγχρόνως Συμβολισμός.8 Ρίχνουμε ένα νόμισμα (με ένδειξη κορώνα ή γράμματα). Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος..9 Σ ένα κουτί έχουμε 3 μπάλες κόκκινες και δύο άσπρες. Παίρνουμε από το κουτί διαδοχικά από μια μπάλα χωρίς επανατοποθέτηση και σταματάμε όταν βγάλουμε δύο του ίδιου χρώματος. Να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος..0 Από μια τράπουλα παίρνουμε διαδοχικά 4 χαρτιά στην τύχη και σημειώνουμε το χρώμα τους (Μ) ή (Κ). Να γραφεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος και τα ενδεχόμενα: Α: Το δεύτερο και το τρίτο χαρτί έχουν το ίδιο χρώμα και

7 Β: Το πρώτο χαρτί είναι μαύρο και το τέταρτο κόκκινο. Τέσσερις τουρίστες έχουν την δυνατότητα να μείνουν σε δύο ξενοδοχεία Α και Β. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω, και τα ενδεχόμενα: Α: «ύο ακριβώς να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο», Β: «ύο τουλάχιστον να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο», Γ: «ύο το πολύ να μείνουν στο ίδιο ξενοδοχείο».. Σε ένα κουτί υπάρχουν μαύρες και κόκκινες σφαίρες. Βγάζουμε διαδοχικά ( χωρίς επανατοποθέτηση) μία μία τις σφαίρες μέχρι να βρούμε: α) μία μαύρη σφαίρα β) και τις δύο μαύρες σφαίρες Να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος σε κάθε περίπτωση..3 Ρίχνουμε ένα νόμισμα μέχρι να φέρουμε γράμματα (Γ). Αν έχουμε το πολύ τέσσερις ευκαιρίες να βρείτε όλα τα ενδεχόμενα του πειράματος τύχης..4 Ρίχνουμε ταυτόχρονα ένα ζάρι και ένα νόμισμα. Να βρείτε: i) Το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης ii) Τα ενδεχόμενα: α) Α: Κορώνα και περιττός αριθμός β) Β: Γράμματα και άρτιος αριθμός.5 Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι : Ω = { x Ν : 0 x } α) Να βρείτε με αναγραφή των στοιχείων του το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης, και να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα ενδεχόμενα:. Α = { x Ω : x πολλαπλάσιο του αριθμού 4}. Β = { x Ω : x < 7 } β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: Γ: Τα Α, Β πραγματοποιούνται ταυτοχρονα. : Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α, Β Ε: εν πραγματοποιείται το Α Ζ: εν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β..6 Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης με πίνακα διπλής εισόδου και τα ενδεχόμενα: Α: οι αριθμοί των δύο ρίψεων είναι διαδοχικοί Β: οι αριθμοί των δύο ρίψεων έχουν άθροισμα 0. 7

8 .7 Σε ένα κουτί υπάρχουν τρεις μαρκαδόροι, ένας μαύρος, ένας κόκκινος και ένας μπλέ. Επιλέγουμε στην τύχη έναν μαρκαδόρο, καταγράφουμε το χρώμα του και τον επανατοποθετούμε στο κουτί. Στη συνέχεια επιλέγουμε άλλον ένα μαρκαδόρο και καταγράφουμε το χρώμα του. Να βρείτε: i) Τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος ii) Το ενδεχόμενο να επιλέξουμε μαρκαδόρους του ίδιου χρώματος iii) Το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον έναν κόκκινο μαρκαδόρο iv) Το ενδεχόμενο να μην επιλέξουμε τον μπλε μαρκαδόρο v) Το ενδεχόμενο να επιλέξουμε ακριβώς έναν μαύρο μαρκαδόρο.8 Μια εταιρεία ελέγχει τα Mp4 που παράγει. Ο έλεγχος σταματά όταν βρεθούν ελαττωματικά Mp4 ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 Mp4. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω β) Να βρείτε τα ενδεχόμενα: i) Α: να βρεθεί το πολύ ελαττωματικό Mp4 ii) Β: να βρεθεί ακριβώς ελαττωματικό Mp4 iii) Γ: να βρεθούν τουλάχιστον μη ελαττωματικά Mp4.9 Εξετάζουμε τις οικογένειες που έχουν τρία παιδιά και καταγράφουμε το φύλο των παιδιών κατά σειρά ηλικίας τους. α) Να βρείτε τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος β) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: τουλάχιστον ένα παιδί να είναι κορίτσι Β: το πολύ δύο παιδιά να είναι κορίτσια i) Να περιγράψετε λεκτικά τα ενδεχόμενα Α και Α Β ii) Να βρείτε τα ενδεχόμενα Α, Β, Α, Β και Α Β.0 Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, με: Ρ(Α)= 3 4, Ρ(Β)= 3 και Ρ(Α Β)= 3 5 Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: i) εν πραγματοποιείται το Α ii) Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β iii) εν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β iv) Πραγματοποιείται μόνο το Α v) Πραγματοποιείται μόνο το Β vi) Πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α και Β 8

9 . Ρίχνουμε ένα ζάρι μια φορά. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός Β: η ένδειξη του ζαριού να είναι περιττός αριθμός Τί παρατηρείτε μεταξύ των ενδεχομένων Α και Β;. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι απαντήσεις των μαθητών της Α Λυκείου ενός σχολείου, στην ερώτηση πόσα αδέρφια έχουν. Μαθητές Αδέρφια Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή να βρείτε την πιθανότητα η οικογένειά του να έχει: α) τρία παιδιά β) τέσσερα παιδιά.3 Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Αφού βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων να φέρουμε: α) την ίδια ένδειξη και τις φορές β) μία φορά τουλάχιστον την ένδειξη 6 γ) άθροισμα 9.4 Σε ένα κουτί υπάρχουν 0 μπαλάκια αριθμημένα από το έως το 0. Αν ο Μιχάλης τραβήξει τυχαία έναν αριθμό που διαιρείται από το κερδίζει ένα βιβλίο, ενώ αν τραβήξει έναν αριθμό που διαιρείται από το 5 κερδίζει ένα CD. Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α: Θα κερδίσει ένα βιβλίο. Β: Θα κερδίσει ένα βιβλίο ή ένα CD. Γ: Θα κερδίσει ένα βιβλίο και ένα CD. : Θα κερδίσει μόνο ένα βιβλίο. Ε: εν θα κερδίσει ούτε βιβλίο ούτε CD..5 Έστω μία τράπουλα με 5 φύλλα. Επιλέγουμε ένα φύλλο στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω εδεχομένων: Α: «το φύλλο να είναι κόκκινο» Β: «το φύλλο να είναι σπαθί» Γ: «το φύλλο να είναι 8 ή 9» 9

10 .6 Οι απουσίες που έχει ο κάθε μαθητής της Α τάξης ενός Λυκείου είναι από 0 έως και 80. Υπάρχουν 35 μαθητές με απουσίες από 0 έως και 50. Επιλέγουμε στην τύχη έναν από τους παραπάνω μαθητές και θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: Ο μαθητής έχει απουσίες από 0 έως και 50. Β: Ο μαθητής έχει πάνω από 30 απουσίες. Αν η πιθανότητα του ενδεχομένου Α είναι 0,5 και η πιθανότητα του ενδεχομένου ο μαθητής να έχει απουσίες από 30 έως και 50 είναι 0,3, να υπολογίσετε: α) Το πλήθος των μαθητών της Γ τάξης αυτού του Λυκείου. β) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Β. γ) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Α-Β. δ) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Β-Α..7 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α:«η ένδειξη να είναι 6» Β: «η ένδειξη να είναι περιττή» Γ:«η ένδειξη να είναι περιττή και ταυτόχρονα μικρότερη από 5.8 Σε ένα τεστ αντιστοίχησης υπάρχουν 3 ερωτήσεις (,,3) και 3 απαντήσεις (Α,Β,Γ) Αν ένας μαθητής κάνει μια τυχαία αντιστοίχηση, να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: να έχει 3 σωστές απαντήσεις Β : μόνο μια σωστή Γ: καμία σωστή.9 Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω. Αν Ρ(Α)=.Ρ(Β)=0,6 και Ρ(Α Β)=0,8, να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Κ: να πραγματοποιηθούν το Α και το Β, Λ: να πραγματοποιηθεί μόνο το Β, Μ: να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β, Ν: να πραγματοποιηθεί μόνα ένα από τα Α και Β..30 Έστω Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)= 9, Ρ(Β)= 3, Ρ(Α Β)= 6. Να βρεθούν οι πιθανότητες των Α, Β, Α Β, Α-Β, Β-Α, Α Β, Α Β.3 Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α)=0,5 Ρ(Β )=0,65 και Ρ(Α Β)=0,5 να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Α-Β, Β-Α, Α Β, Α Β. 0

11 .3 Το καλοκαίρι θα κυκλοφορήσουν στην αγορά δύο νέα παγωτά Α και Β. Αν η πιθανότητα να πετύχει το Α είναι 0,6 και η πιθανότητα να πετύχει το Β είναι 0,7, η δε πιθανότητα να αποτύχει τουλάχιστον ένα από τα δύο είναι 0,6, να βρεθεί η πιθανότητα να πετύχει τουλάχιστον ένα από τα Α και Β.33 Από τους 0 μαθητές της Γ τάξης ενός Λυκείου, οι 90 παίζουν ποδόσφαιρο ή μπάσκετ, από αυτούς 50 παίζουν μόνο ποδόσφαιρο και 30 παίζουν και τα δύο. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων, αν εκλεγεί ένας μαθητής στην τύχη: Α: να παίζει μόνο μπάσκετ, Β: να μην παίζει κανένα από τα δύο, Γ: να παίζει ποδόσφαιρο, : να παίζει μπάσκετ, Ε: να παίζει μόνα ένα από τα δύο.34 Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης. Να παραστήσετε με διαγράμματα Venn και να και να περιγράψετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: α) ( ) B A β) ( ) A B Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν: Ρ(Α) = και Ρ(Β)=. 4 α) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα. 5 β) Να αποδείξετε ότι : P( A B) Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν: Ρ(Α) = 0,3, Ρ(Β) = 0,4. Να αποδείξετε ότι: 0, 4 P( A B) 0, Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύουν: Ρ(Α) = 0,3, Ρ(Β) = 0,. Να αποδείξετε ότι : 0, P( A B) 0, Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(Α) = 0,5, Ρ(Β) = 0,3 και Ρ(Α Β ) = 0,7. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β. β) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.

12 γ) Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β. δ) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β..39 Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ(Α) =, Ρ(Β) = και Ρ (Α Β) = Να βρείτε την Ρ(Α Β)..40 Θεωρούμε το πείραμα ρίψης ενός ζαριού. α) Να βρείτε το δειγματικό χώρο και να περιγράψετε με διάγραμμα του Venn τα ενδεχόμενα Α = {, 5, 6}, B = {,, 3, 6}, A B, A B, B A, A. β) Να αντιστοιχίσετε καθεμιά από τις πράξεις της ης στήλης με το αντίστοιχο ενδεχόμενο της ης στήλης. η Στήλη η Στήλη. A B α. Ω. A B β. 3. Α γ. {, 6} 4. Α Β δ. {, 3} 5. Β Α ε. {5} στ. {4}

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 : Οι Πραγματικοί Αριθμοί.. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. i) Κάθε ρητός αριθμός έχει τη μορφή, με, και *. ii) Κάθε πραγματικός αριθμός έχει αντίθετο. iii) Κάθε πραγματικός αριθμός έχει αντίστροφο. iv) Αν α, β αντίστροφοι τότε 0. v) Αν αγ = βγ, τότε πάντα α = β vi) Ισχύει η ισοδυναμία: άρτιος υπάρχει κ :. vii) Ισχύει η ισοδυναμία: 0 0 ή 0. viii) Αν α² + β² = 0, τότε α = β= 0 ix) Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. x) Οι αριθμοί α και, με 0 ονομάζονται αντίστροφοι. xi) Ο αντίστροφος του είναι το. xii) Ισχύει ότι 0. xiii) Αν α, β αντίθετοι με 0, τότε + = 0. xiv) Αν 0, με 0, τότε 0. xv) Αν,,, με, τότε οι, είναι αντίστροφοι... Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. i) Για κάθε, ισχύει: = 5. ii) Για κάθε ν, ισχύει: 4 0. iii) Οι αριθμοί και είναι αντίστροφοι. iv) Για κάθε ν, ισχύει:. v) Για κάθε ν, ισχύει: 0 0 vi) Ισχύει:, για κάθε,. vii) Ισχύει:, για κάθε,. viii) Ισχύει: 3 3. ix) Είναι..3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες i) ii) iii) iv) v) vi) vii) 3

14 .4. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: Α = 5 Β = Γ = =.5. Να μετατρέψετε σε απλά τα παρακάτω κλάσματα: + Α = 3 Β = : Γ = = : Να αποδείξετε ότι: i) Το άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός αριθμός. ii) Το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος. iii) Το γινόμενο ενός άρτιου και ενός περιττού είναι άρτιος. iv) Το γινόμενο δύο περιττών αριθμών είναι περιττός..7. Να αποδείξετε ότι: i) αν ο α είναι άρτιος άρτιος, τότε και ο α² είναι άρτιος ii) αν ο α² είναι περιττός, τότε και ο α είναι περιττός.8. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί και 4, είναι περιττοί για κάθε..9. Αν ο ν είναι φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι: i) α = 3 ν- + 3 ν + 3 ν+ είναι πολλαπλάσιο του 3 ii) β = ν + ν+ + ν+ είναι πολλαπλάσιο του 7.0. Αν,, να αποδείξετε ότι ο αριθμός κ = είναι ακέραιος... Αν x = (α + β) + [ ( γ) + ( δ) ] και y = [ ( α) + γ ] + [ ( β) + δ ], να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x, y είναι αντίθετοι... Αν και 4, να βρείτε τις τιμές των αριθμών x, y..3. Αν και 5, να αποδείξετε ότι ΜΚ, = Αν, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α) Α β) B γ) Γ..5. Αν 3, y 0, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i) Α 4

15 6 0x + (4x y 3) A = και Β= x+ + y.6. ίνονται οι παραστάσεις 3(x ω ) + 3(y +ω) 3 Αν χ+y = 008, να βρείτε την τιμή της παράστασης Γ = 008 Α - Β.7. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζονται οι παραστάσεις: i) ii) iii) iv) v) vi).8. Να βρείτε τις τιμές των μεταβλητών για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις: 3 5x + 0 3a i) ii) iii) iv) x ( + 5) 3x ( ) ( ) y + 3 (y ) (a + ) 9 x[(x ) 6].9. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις με μορφή μίας δύναμης. i) ii) 3 3 iii) 5 5 iv) v) vi).0. Να γράψετε ως μια δύναμη καθεμία από τις παρακάτω παραστάσεις: i) Α = x x x ii) Β = y y iii) Γ= ( a a 3 ) 4 y a a iv) = v) Ε= 0 ( a :a) :( a :a ) a.. Να γράψετε καθεμιά από τις παρακάτω παραστάσεις με μορφή μίας δύναμης. i) 5 ii) iii) Αν *, να γράψετε με μορφή μίας δύναμης, τις παρακάτω παραστάσεις: i) x x ii) x x iii) iv) v) vi).3. Αν *, να γράψετε με μορφή μίας δύναμης, τις παρακάτω παραστάσεις: i) ii).4. Να εκφράσετε με μορφή μίας δύναμης τις παρακάτω παραστάσεις: α) Α 4 6 β) Β 3 8 5

16 γ) Γ δ).5. Αν = 0 και =, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α..6. Αν = - και = - -4, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α = 6x 3x y y Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω αριθμοί Α, Β είναι αντίστροφοι. Α Β.8. Να υπολογίσετε το στις παρακάτω ισότητες: i) ii) 64 iii) 3 iv) v) vi), 0 vii), 0 viii), 0 ix),,.9. Συμπληρώστε τα κενά έτσι ώστε να προκύψουν τριώνυμα, που να είναι τέλεια τετράγωνα. i) x x... ii) x 4x... iii) x xy... iv) 4x... 9y v) x... vi) x x... vii) 6x... viii) x... 6y ix)....30, Να συμπληρώσετε τα κενά: i) x 3 + 6x = ( ) 3 ii) (...+) =... - x +... iii) ( ) = 9α αβ+... iv) ( ) x... =... 4x Να βρείτε τα αναπτύγματα: i) 3 ii) iii) 3 iv) 5 v) vi) x, 0 6

17 vii) viii) ix).3. Να βρείτε γινόμενα: i) ii) 3 3 iii) iv) v) vi).33. Να βρείτε τα αναπτύγματα: i) ii) iii) iv) v) vi), Να γίνουν γινόμενα παραγόντων οι παρακάτω παραστάσεις: i) 4(x y) 5(y x) ii) x + 8y 3 6 iii) x + y iv) 6 6 x + x+ y + yω ω v) vii) α 9α β α β + 9β = vi) (x ) + x(x ) + 9x 4 viii) 3 3 x y + x y xy x+ y ( α β)( α γ ) ( α γ)( α β ).35. Να απλοποιηθούν τα παρακάτω κλάσματα i) 3x x 3 + 3x x ii) x 5x+ 6 x iii) x 6x+ 9 x 4x Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i) ii) iii) iv) ( α +β ) ( αβ ) = ( α β ) ( α+β) ( α β) ( α β ) = αβ( α β ) ( α β ) + ( α+β ) + 3( α+β)( α β ) + 3( α+β) ( α β ) = 8α ( α +β )(x + y ) ( α y +β x) = ( αx β y).37. Να βρείτε τα γινόμενα: i) ii) 6 9 iii) 4 iv) Να βρείτε τα αναπτύγματα: i) 3 ii) iii) 3 7

18 .39. Να βρείτε τα διώνυμα των οποίων τα αναπτύγματά τους είναι τα παρακάτω: i) 4 4 ii) 6 9 iii) iv) 6 8 v) 3 3 vi) Να βρείτε τα γινόμενα: i) ii) iii) 4 6 iv) 4.4. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 3 3 ii) iii).4. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) ii) 3 5 iii) iv) v) 3 3 vi) Να αποδείξετε ότι: i) α + β + γ > αβ + αγ + βγ ii) αν α + β + γ > 0 τότε α 3 + β 3 + γ 3 > 3αβγ iii) αν α + β + γ < 0 τότε α 3 + β 3 + γ 3 < 3αβγ.44. Αν α < β < γ να αποδείξετε ότι: i) α < α + β < β ii) α < α + β + γ 3 < γ.45. Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι παρακάτω ανισότητες : i) α + 6 8α ii) (α + β ) (α β) iii) 3α α + > 0 iv) α + β + γ + αβ + αγ + βγ > 0 v) α + αβ + αγ + β + γ 0 vi) α + 4α + 5 > Να αποδείξετε ότι: i) (α + β) + 4αβ 8β ii) α 6α + > 0 α + β iii) αβ iv) 3 (α β ) + αβ (α + β).47. Αν 3 < α < και 5 < β < 6, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η τιμή της παράστασης: i) α β ii) αβ iii) α+4β iv) 3α-β+ 8

19 .48. Αν α < 3 < β, να αποδειχθεί ότι : ίνεται η παράσταση Α = i) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; ii) Να αποδείξετε ότι Α= 0 για κάθε x Να βρεθούν οι αριθμοί x για τους οποίους ισχύει ότι: α) x 5 β) x 3 4 γ) x 3 δ) x Αν α < < 3 vα απλοποιηθεί η παράσταση : Α = 3.5. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές. i) Α = ii) Β = ίνεται η παράσταση Α = 4 i) Να αποδείξετε ότι Α = x - ii) Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς απόλυτες τιμές iii) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του x, ώστε Α = Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, δηλαδή να τις γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. x x + 9 i) Α = 3 x ii) Β = x x + iii) Γ = 4 x x + iv) = x ( 4x 3 x ) v) Ε = +, x 0. x x.55. Αν x (, 5) να δείξετε ότι x + x 5 = Να υπολογιστούν οι παρακάτω ρίζες: i) 5 ii) 7 iii) ( ) 3 iv) ( 4) v) vi) ( 7 ).57. Να βρείτε τις τιμές των επόμενων παραστάσεων: i) Α = 3 ( 5) ii) Β = iii) Γ = ( 3) ( 7) 3 ( 5) + iv) = ( ) ( 8) + ( 8) ( 5 7) 9

20 .58. ίνονται οι παραστάσεις: Α= και Β= α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α και Β. β) Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές με μήκη Α cm και Β cm.να βρείτε το μήκος της υποτείνουσας..59. Να βρείτε για ποιες τιμές του x ορίζονται οι παρακάτω παραστάσεις : x i) 3x 4 ii) 7 5 3x iii) 3 iv) x x 3 v) x 5 vi) 8 x vii) 7x viii) x ix) ( x ).60. Αν 3 < x < να απλοποιηθεί η παράσταση: Α = 5 (x ) 3 (x + 3) + x + 4x Nα δείξετε ότι : + = Να αποδείξετε ότι : i) = + ii) (4 + 5)( 0 6)( 4 5 ) =.63. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες οι οποίες να έχουν ρητό παρονομαστή : i) ii) 3 iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη μορφή μιας ρίζας : i) 4 3 ii) iii) Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις με τη βοήθεια μόνο μίας ρίζας : i) 4 ii) iii) 3 α 4 α 6 iv) v)

21 a β, α 0 είναι λύση της αx+β=0, α 0 ( με άγνωστο το x). iii) Η εξίσωση αx=α, α 0 είναι ταυτότητα (άγνωστος x). iv) Οι εξισώσεις (5x 3) = 3και 5x 3 = 8 είναι ισοδύναμες. 6 v) Αν η εξίσωση αx+β=0 έχει δύο ρίζες ως προς x, τότε α=0 και β=0. vi) Η εξίσωση αx+β=0, με α=0 είναι αδύνατη. vii) Η εξίσωση (λ-)x = -λ, έχει μια μοναδική λύση. viii) Η εξίσωση x 3= 0έχει δυο λύσεις. 3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) ή (Λ) i) Αν α, γ ετερόσημοι αριθμοί, η εξίσωση αx + β x + γ = 0 έχει δύο άνισες ρίζες. ii) Η εξίσωση αx + β x + γ = 0, α 0 έχει μία ρίζα ίση με το μηδέν, όταν η διακρίνουσα της είναι ίση με το μηδέν. iii) Η εξίσωση αx + βx - γ = 0 έχει δύο ρίζες άνισες αν α > 0 και γ > 0. iv) Οι αριθμοί και 3 είναι ρίζες της εξίσωσης x - 5x + 6 = 0. v) Αν η εξίσωση x - λx + = 0, λ R* έχει δύο ρίζες άνισες, αυτές είναι αντίστροφες. vi) Αν η εξίσωση α x + β x + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες αντίθετες, τότε είναι β = 0. vii) Αν p, p είναι ρίζες της αx + βx + γ = 0, α 0 οι ρ, - ρ είναι ρίζες της αx - βx+γ =0. viii) Αν ρ, ρ (ρ. ρ 0) είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 οι, p p, είναι ρίζες της εξίσωσης γx + βx + α = 0, γ 0. ix) Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α + β = και α β = 3 x) Όταν η εξίσωση x + β x + γ = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, το γ είναι αρνητικός αριθμός.

22 xi) Όταν η εξίσωση α x + β x + γ = 0, α < 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες, το γ είναι αρνητικός αριθμός. xii) Όταν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες ομόσημες, το β είναι πάντα θετικός αριθμός. xiii) Αν ρ, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 τότε ρ +ρ = β α. xiv) Αν ρ, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0 οι ρίζες της εξίσωσης αx + β x + γ = 0. ρ, ρ θα είναι xv) Η εξίσωση x - κx - λ = 0 έχει δύο ρίζες ετερόσημες για κάθε κ, λ R*. 3.3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση i) Αν η εξίσωση x - 4x + α = 0 έχει για διπλή ρίζα το, τότε ο α ισούται με : Α. Β. Γ Ε. 0 ii) Αν η εξίσωση x - x - κ = 0 έχει ρίζες άνισες, για τον πραγματικό αριθμό κ ισχύει : Α. κ < - Β. κ.- Γ. κ < 0. κ > - Ε. κ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός iii) Η εξίσωση x - κx + κ = 0 με άγνωστο τον x για κάθε πραγματικό αριθμό κ 0 έχει : Α. δύο ρίζες άνισες αρνητικές Β. δύο ρίζες άνισες θετικές Γ. μια διπλή ρίζα θετική. διπλή ρίζα το μηδέν Ε. καμία πραγματική ρίζα iv) Όταν οι α, γ είναι ετερόσημοι η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει : Α. δύο ρίζες άνισες Β. διπλή ρίζα θετική Γ. διπλή ρίζα αρνητική. καμία ρίζα Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε v) Η εξίσωση x +κ x λ =0 για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ με κ.λ 0, έχει : Α. δύο ρίζες άνισες ομόσημες Β. δύο ρίζες ετερόσημες Γ. μια διπλή ρίζα. καμία πραγματική ρίζα Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε vi) Αν οι ρίζες της εξίσωσης x + λx + 4 = 0 είναι θετικές, τότε ο λ είναι : Α. λ < - 4 Β. λ < 0 Γ. λ = 0. λ < -

23 Ε. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός vii) Οι ρίζες της εξίσωσης x - 4x λ = 0 για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ 0 είναι: Α. ομόσημες θετικές Β. ομόσημες αρνητικές Γ. ετερόσημες. το μηδέν και ένας θετικός αριθμός Ε. το μηδέν και ένας αρνητικό αριθμός viii) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + 5x - 7 = 0, τότε οι x, - x είναι ρίζες της εξίσωσης : Α. x + 5x + 7 = 0 Β. x - 5x - 7 = 0 Γ. x + 5x - 7 = 0. x - 5x + 7 = 0 Ε. x + 7x - 5 = 0 ix) Αν οι ρίζες της εξίσωσης 5x + (3 - λ)x - = 0 είναι αντίθετες τότε ο πραγματικός αριθμός λ είναι : Α. αρνητικός αριθμός Β. λ = 0 Γ. λ = 3. λ = - 3 Ε. λ = 9 x) Αν οι ρίζες της εξίσωσης x - 3αx + α = 0, α 0 είναι αντίστροφες τότε ο α είναι : Α. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 0 Β. οποι οσδήποτε αρνητικός αριθμός Γ. α = ή α = -. α = 9 ή α = - 9 Ε. α = 5 ή α = - 5 xi) Αν α + β = 5 και αβ = 6 τότε οι αριθμοί α, β είναι ρίζες της εξίσωσης : Α. x + 5x + 6 = 0 Β. x - 5x + 6 = 0 Γ. x - 5x - 6 = 0. x + 6x - 5 = 0 Ε. x - 6x + 5 = 0 xii) Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x - 5x+ 3 = 0 τότε η παράσταση x x + ισούται με : Α. 5 Β. 9 Γ Ε. 9 xiii) Αν x, x είναι ρίζες της εξίσωσης x +7x+=0 τότε η παράσταση κx +κx κ 0 ισούται με Α. 7 Β. 7 Γ. 7κ. - 7κ Ε. 7κ xiv) Αν οι αριθμοί x και x είναι ρίζες της εξίσωσης x - 6x - 7 = 0, τότε ο x ισούται με: Α. 9 Β. 7 Γ Ε. 9 3

24 xv) Αν x, x είναι ρίζες της εξίσωσης x + 7x + = 0 τότε η παράσταση κx + κx κ 0 ισούται με: Α. 7 Β. 7 Γ. 7κ. - 7κ Ε. 7κ xvi) Η εξίσωση x - κ x - 3 = 0, κ R* έχει: Α. μία λύση Β. δύο λύσεις Γ. καμία λύση. τέσσερις λύσεις Ε. δεν μπορούμε να απαντήσουμε xvii) Η εξίσωση x 4 + 3x + κ = 0, όπου κ > 0, έχει: Α. μία λύση Β. δύο λύσεις Γ. τέσσερις λύσεις. καμία λύση Ε. δε μπορούμε να απαντήσουμε 3.4 Στη στήλη (Β) βρίσκονται παραστάσεις που αντιστοιχούν στη διακρίνουσα των εξισώσεων της στήλης (Α). Συνδέστε κάθε εξίσωση της στήλης (Α) με την παράσταση που αντιστοιχεί στη διακρίνουσα της στήλης (Β). στήλη (Α) στήλη (Β) x - α = 0 x - αx = 0 x - 3x - α = 0 - α 4α 9 + 4α α - x + αx + 3 = 0 α + α Να λυθούν οι εξισώσεις: i) (x-3)+4=x+ vi) (x+)+=x-3(x-)+4x ii) x-3(-x)-=(x+4)+3 iii) x(x-3)+x-=x -x+5 iv) x -5x+4=x(x-) v) x+(x+)-5=3x- 4

25 3.6 Ομοίως: x + x x 3 x+ α) = x+ β) + x = 3 4 x 3 x + x x γ) + + = x δ) = x x 3 9x ε) + x+ = στ) x x = Ομοίως: α) γ) 3x + 5 x 3 5 x = x β) x + 4 3x x + = x + x 3 x + = + ε) 7(x 3) 3( x) 5(x ) = x Ομοίως: α) (x + 3) (x 6) = (x 36)(x + 3) β) (x-) 3 + x = 0 γ) (4x 3)(x 5) = 6x(4x 3)(x + 5) δ)x 3 6x + 9x = 0 ε) (x 8)(5x + 4) = (x + 9)(5x + 4) 3.9 Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 x = 4 3x ii) 0 (y 9) = 3 + y i) ( ) iii) 3(x + 4) (x ) = + x iv) 3 7( ω ) = 5 4ω v) 5 4(x 3) = x (x ) 3.0 Να λυθούν: i) x + 5 = 7 ii) x 3 x + = iii) 3 4 x+ 3 = x+ 0 iv) x x = x Να λύσετε τις εξισώσεις i) x x x x = ii) 3x x + 3 = 3 x iii) 6 x x x = Να λύσετε τις εξισώσεις: i) (x +) (x-+) =x (x +7 ) 6 ii) (x-) (x+) = x (x-6) +6 iii) (x-3) (x-4) x(x-3)=x(-χ) iv) (x+3) (x-7) (x-)(x+) v) (x+3) -3(5x+3)=(x-) (x+) (3x+) 5

26 3.3 ίνεται η εξίσωση: α 5x ( α )(x ) αx = 6 Να υπολογίσετε τον αριθμό α, ώστε η παράσταση εξίσωση να έχει ρίζα τη χ=. 3.4 Nα λυθούν οι εξισώσεις: i) ( x 3)( x+ ) = 0 ii) x(x ) = 0 iii) iv) vi) (x + ) (x 0) = 0 v) x(x+ 3)(4 x) = 0 (x + 7)(x 5) (3x 8) = 0 (x )(x + 3) = Ομοίως: x + x 3 i) = 0 x x(+ x) x( x) x x + x iii) = x x x (x ) x x 3 ii) = + x+ x x+ x iv) x + 4 x x + = x 4 x+ x 3.6 Ομοίως: i) x+ + x+ 3 = 4 x x+ 3 ii) + x x x + x 3 = + x 4 x x 3.7 Nα λυθούν: i) x = ii) x x = 8 x+ iii) 3x 4 = x x 3x 6 iv) x x = Oμοίως: i) = x x ii) 4 x = iii) 4 x + = x 4 x x iv) x x = x + x x x 3.9 Oμοίως: x 4x+ 5 i) = 3x 5 x + ii) x(3x + 5) + (3x )(x + 3) = 6

27 3.0 Κάποιος αγόρασε ύφασμα και έδωσε 70 ευρώ.αν η τιμή του μέτρου ήταν κατά 4 ευρω φθηνότερη, με τα ίδια χρήματα θα αγόραζε 6m επιπλέον ύφασμα.πόσα μέτρα υφάσματος αγόρασε; 3. Nα λυθούν: a) 5 4 = 5 x x+ x 4 x+ 3 x+ 4 x+ γ) = x x x 3x+ x β) = x + x x+ x+ δ) = 4 x x x 5x Oμοίως: x + 3x 0x + 3 α) + = x x+ x 4 β) x + = x x x + γ) x = 5 x 3 x 3x x 3.3 Nα λυθούν: x + 7x x 3x 45 = 3x 3 6x + 6 4x 4 α) x 3 x 5 γ) 6 = x 4 3x 6 β) 3 + x x x + = 5 x 4 8 x 3x Να λυθούν οι παραμετρικές εξισώσεις: i) (λ -5)x = λ +5λ, ii) λ x = λ(x+), iii) λ x λ = 9x 6λ + 9, iv) λ x = x + λ, v) λ (x-) 3λ = x +, vi) (λ+)x (λ +x) = λ(λ-) 9 vii) (λ+4)x + 6(λ+) =3(x-4) + λ Να λυθούν και να διερευνηθούν οι εξισώσεις : i) λx + λ = μx + μ ii) λ x + λ(x-) = μ 3.6 Να προσδιοριστεί ο λ R, ώστε η εξίσωση: (λ+)x (λ+x) = λ(λ-) - 9 να είναι ταυτότητα 3.7 Να προσδιοριστεί ο λ R, ώστε η εξίσωση: (λ +3)x 4(x-λ) = λ + 3 να είναι αδύνατη. 3.8 Να προσδιοριστεί ο λ R, ώστε η εξίσωση : (λ +)(x ) + x = λ 5λ + 5 να έχει λύση τον αριθμό Αν η εξίσωση (3λ-)x + 9λ = έχει δυο λύσεις, να προσδιοριστεί ο λ Να προσδιοριστούν τα λ και μ, έτσι ώστε η εξίσωση (λ -9)x = λ + 3 να είναι αόριστη και η εξίσωση (4-μ )x = μ +,να είναι αδύνατη 7

28 3.3 Να προσδιοριστούν οι λ, μ, ώστε η εξίσωση λ(λx-) + μ = x + 3 να ισχύει για κάθε x. 3.3 ίνεται η εξίσωση λ(x ) + 4 = x λ.,όπου x είναι ο άγνωστος της εξίσωσης και λ κάποιος ρητός αριθμός. i) Να λύσετε την εξίσωση όταν λ = -3 ii) Ποια πρέπει να είναι η τιμή του λ ώστε η εξίσωση να έχει λύση τον αριθμό 0. iii) Ποια πρέπει να είναι η τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι αδύνατη Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθούν οι εξισώσεις: i) λx 3λ = λ² - 3x ii) λ²x 4λ = 6x λ² iii) 4 λ(λ x) = - λ²x iv) λ²(x + ) = - ( - λx) v) ( λ² + x ) λ( 4 + λx ) = 0 vi) λ( x + ) ( + λx ) = λ²(x ) 3.34 Για τις διάφορες τιμές του μ να λυθούν: i) μ( x 3 ) = - 3 ( x 3 ) ii) ( μ + ) ( x ) = μ 3 iii) μx = - μ ( x μ ) iv) μ(x ) = 3 (μ + 3) 3.35 ίνεται η εξίσωση : λ²( x+ 4 ) 5λ(x + λ) = - 5 Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είναι: i) ταυτότητα ii)αδύνατη 3.36 ίνεται η εξίσωση : λ³( x ) 3λ( 3x λ ) = 9λ Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση είναι: i) ταυτότητα ii) αδύνατη 3.37 ίνεται η εξίσωση : λ(x + λ) 3 ( λ² - x 3 ) = 0 Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, η παραπάνω εξίσωση έχει i) λύση το 3 ii) μοναδική λύση το Να βρείτε το λ αν η εξίσωση λ( λx ) = x ( 3λ ) λ² i) να είναι αόριστη ii) να είναι αδύνατη 3.39 Να λυθούν οι εξισώσεις: 8

29 x+ = 3, ii) x + 5 = 9, iii) x 4 = 0, iv) 3x 9 = 6, v) x+ = 3, vi) x 5= 0, vii) x 5 = 3, viii) 3x = 4, ix) x x + 7x = 6, x) x + = 5, xi) x+ + 3= 0, xii) 7x 4= x Nα λυθούν : i) x + 3 = x 6, ii) x 4 = x+ 6, iii) 3x = 3x 5 iv) x 3 = x+ 7, v) x + 3 = 3x +, vi) x+ 3 = x+, vii) x + = 3, viii) x 3 =, ix) x + 3 = Να λυθούν: i) x x x + + = 8, ii) x + x 3 x + + = 3, iii) 3x + x x + + =, 3 3 iv) x x + x + = v) 3x x + = x, vi) x + x = x Ομοίως: vii) x 3 =, viii) x x + 3x 3 = 0 i) 3 5 ii) iii) 4 3 iv)

30 ii) 5 5 iii) iv) 3.45 Να λυθούν : i) χ ii) χ 0 iii) 5 χ 7 χ iv) 3 3χ χ v) χ χ 3.46 Να λυθεί: x 3 x Να λυθούν: i) x 3-5 = 0 ii) x 7 = 0 iii) x 7 + = 0 iv) x² - 64 = 0 v) x 4 + = Να λυθούν: i) ( x ) ( x ) = 0 iii) (y ) (y + 5 ) = 0 ii) (x ) ( x ) = Nα λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i) x 4 = 8 ii) x 8 = 56 iii) x 5 = -3 iv) x 5 = 43 v) x 5 = Ομοίως: i) x 5 3 = 0 ii) x 6-8χ² = 0 iii) x 3 = 8 5 iv) x 9 x 5 + x 4 = 0 v) x 5 = x 3.5 Να λυθούν: i) ( x )³ = 7 ii) ( x ) 4 = 56 iii) ( x - 4 )³ = - 8

31 των χρημάτων του με επιτόκιο 4% και τα υπόλοιπα με 5% ετησίως. Μετά από έναν χρόνο εισέπραξε τόκο.500 ευρώ. Πόσα χρήματα κατέθεσε με επιτόκιο 4% και πόσο με 5% ; 3.53 Ένας τεχνικός του ΟΤΕ τελειώνει ένα έργο σε 6 ώρες, ένας άλλος σε 3 ώρες και ένας τρίτος σε ώρες. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο, αν εργαστούν όλοι μαζί; 3.54 Να λυθεί η εξίσωση : x + x = x Αν ρ. ρ είναι ρίζες της x + 5x λ + 3 = 0, να υπολογιστεί ο λ ώστε να ισχύει: ρ + ρ 5ρ ρ 5ρ ρ = Γράψτε την εξίσωση που έχει αντίθετες ρίζες από τις ρίζες της εξίσωσης x +x-6= ίνεται η εξίσωση (x - ) - λ(x - 3) = 0 που έχει ρίζες p και p. Να αποδειχθεί ότι η παράσταση (ρ - 3 ) (ρ - 3 ) είναι ανεξάρτητη του λ ίνεται η εξίσωση α x + β x + γ = 0, α 0 και 0. Να δειχθεί ότι : α) οι ρίζες της είναι αντίθετες αν και μόνον αν β = 0 β) οι ρίζες της είναι αντίστροφες αν και μόνον αν α = γ Η εξίσωση (α β ) x + β = 0 όπου α, β πραγματικές παράμετροι με 0< α < β έχει λύση; Αν όχι, γιατί; Αν ναι, ποια; 3.60 Να βρεθεί ο πραγματικός λ, ώστε η εξίσωση (λ+3)x (5λ+)x + 7λ +3 = 0, να έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς 3.6 Για ποιες τιμές του πραγματικού λ οι ρίζες ρ, ρ της εξίσωσης x x + λ- = 0, επαληθεύουν τη σχέση 3ρ ρ = Να βρεθεί ο πραγματικός λ, ώστε η εξίσωση x (λ+3)x + λ+ = 0 να έχει: α) Ρίζες ομόσημες. β) Ρίζες ετερόσημες. γ) Ρίζες αρνητικές. δ) Ρίζες θετικές. ε) Ρίζες αντίθετες. στ) Ρίζες αντίστροφες

32 ii) 0 iii) iv) ² ² 3.67 Να λυθούν: i) (x + )² + - = 0 iii) (x 5) ² ii) (x )² Να λυθούν: i) x 6 + 7x³ - 8 = 0 iii) x 6 + 8x³ + 7 = 0 ii) x 6 6x³ + 64 = Να λυθούν οι οι εξισώσεις : i) (x + )² - (x + ) 3 = 0 ii) x 4 x² - 8 = 0 iii) x 6 + 7x³ - 8 = 0 iv) x 4 5x² + 4 = 0 v) 4x 4 7x² + 4 = 0 vi) x 4 - x² - 0 = Αν η εξίσωση x + βx + γ = 0, δεν έχει ρίζες, τότε το ίδιο συμβαίνει και για την x + x + γ + β(x+) + = Να δειχθεί ότι η εξίσωση 3x +(α+β+γ)x+(αβ+αγ+βγ)=0 έχει μια διπλή ρίζα, αν και μόνον αν α=β=γ. 3.7 ίνεται η εξίσωση x + x - μ + 3 = 0. Να βρεθεί για ποιες τιμές του μ: α) αυτή έχει δύο διαφορετικές ρίζες β) αυτή έχει μια διπλή ρίζα γ) δεν έχει ρίζες.

33 ε) ρ ρ + 3ρ 5ρ + ρ ρ 5ρ + 3ρ + ρ ρ ρ + ρ +, ρ ρ, δ) 3.74 Να δειχθεί ότι : αν η εξίσωση (α - β) x - 4αx + 4β = 0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση (α +β ) x - x + 3(α - β ) = 0 έχει δύο ρίζες άνισες Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: i) x - 4x = 0 ii) 3x = 4x iii) x + x - 5 = 0 iv) 5x - 8x - 8 = 0 v) x - 6x + 7 = 0 vi) y - y + = 0 vii) y - (α + 3) y + 3α = 0 viii) - x + 5x + = 0 ix) x + 4κx - κ = 0 x) 4x - 4κx - 35κ = 0 xi) 8y = 0κy + 3κ 3.76 Να προσδιορίσετε το x συναρτήσει του y από τις εξισώσεις: α) y² + 3xy - 7y = x² - x + 5 β) 6y² - 4y - 3xy = 9x² + 9x Να λυθεί η εξίσωση: x+ - (x - ) = 3x Αν είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης x + βx + α = 0, βάλτε σε κύκλο τη σωστή ισότητα: = α - 4β = β = β - 4αγ = β - 4α = Να λυθούν: α) x + 5x + 4 =0 β) x + 4x -5 =0 γ) x 7x +6 =0 δ) x + 9x +8 = 0 ε) x -8x +9 =0 στ) x +5x -7 = 0 ζ) x +3x = 0 η) -x + 7x +4 = 0

34 γ) ε) x + ( 3 )x 6 = 0 β) x 3 x + 3 = 0 δ) x 5 x 5 0 x + ( 3)x 3 = 0 3 x 6x+ 3 3 = 0 + = στ) ( ) 5x 0 x = Ομοίως: α) x + ( 3 + )x+ 3 = 0 β) 7 x + ( 7 + 0)x + 0 = 0 γ) 3 x ( 6 + 3)x + 6 = 0 δ) 3 x( 3 + ) = x( x+ 3) ε) x ( 3 ) x+ 4 3 = 0 στ) x ( ) x+ 3+ = Ομοίως: 5 4 α) x + x = 0 β) x x + = 0 γ) δ) x + x = 0 ε) x 3x+ = x x = Ομοίως: 3.84 Ομοίως: α) ( x )( x 7x+ ) = 0 β) ( )( ) γ) ( )( ) x 4 x x 8 = 0 9x 6x + x x = 0 δ)( x x+ 8) x x+ = 0 4 α) 4x + 3χ 0 =0 β) 4 ( x - ) + 3 ( x - ) 0= 0 γ) ( x 3 ) 8 ( x 3 ) +5 = Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο άνισες λύσεις: α) x + αx - =0 β) αx +3x α = 0, με α 0 γ) x + ( α +)x +α = 0 δ) αx + (α )x +α = Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση: α) 4x (α β)x αβ =0 β) 3x αx α =0 γ) x αx +α β = 0 δ) x + (β α )x +α αβ -β = ίνεται η εξίσωση x + 3x + 4 = λ α) Να βρείτε για ποιά τιμή του λ η εξίσωση έχει μία διπλή λύση. β) Για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση.

35 α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μία διπλή λύση. β) Για κάθε τιμή του λ που να λύσετε την εξίσωση Αν a = + 3 : Να λύσετε την εξίσωση: β= ( 7 )( 7 + ) α x +β x+ γ = 0 γ= Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα : α) x 3x 4 β) x 6x + 9 γ) x + x + δ) x + x 6 ε) x +5x + 50 στ) x -x Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: x 3x 9 α) 4x 9 β) 3x + 5x x + 4x+ 4 γ) 3x + 8x + 4 9x + 6x δ) x 9x 5 4x + 4x Η εξίσωση 3x + λx +5 = 0 έχει λύση τη x = και η : 3x + μx 0 = 0 έχει λύση τη x = -. α) Να βρείτε τους αριθμούς λ και μ 3x + λ x + 5 β) Να απλοποιήσετε την παράσταση Α = 3x + μx Το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών άρτιων αριθμών είναι 00.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς ύο αριθμοί έχουν άθροισμα 6, ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 30.Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις έχει δύο ρίζες άνισες; Α. x - x + 5 = 0 B. x + κx + κ = 0 Γ. x - x + 7 = 0. x - x - κ = 0 Ε. x - 6x + 9 = Να βρείτε αν έχει ρίζες και πόσες καθεμιά από τις παρακάτω εξισώσεις χωρίς να τις λύσετε: a. x + 4x + 6 = 0 c. x = 4x - 3 = 0 b. 3x + x + = 0 d. x - 4x + 4 = 0

36

37 x = 0. x + (x - ) = - 5 E. x + (x - ) = Η εξίσωση x +x-8=0 δέχεται ως ρίζα έναν από τους παρακάτω αριθμούς:, -,, - Βρείτε ποιον και στη συνέχεια να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης με δύο τρόπους, χωρίς να τη λύσετε. Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το άθροισμα και το γινόμενο των δύο ριζών. Να γίνει το ίδιο και για τις εξισώσεις: α) x + 7x - 8 = 0 β) x + 3x - 5 = 0 γ) - x + x + = 0 δ) x + 3x + 4 = Να ελέγξετε αν οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες. Στην περίπτωση που έχουν να υπολογίσετε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών. α) x - 3x + 4 = 0 β) - x + 4x + 6 = 0 γ) x + 3x + = 0 δ) x - 4x - 3 = 0 ε) x + x ( + ) + = ίνεται η εξίσωση x + x + λ - = 0 με ρίζες x, x. Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι: x x + 3 (x + x ) + 5 = ίνεται η εξίσωση x - λx - λ - 5 = 0 με ρίζες x, x. Να βρεθεί ο λ έτσι ώστε να ισχύει η σχέση: (x - ) (x - ) = ίνεται η εξίσωση x + λx + λ - 4λ - 5 = 0. Να βρεθεί ο λ έτσι ώστε να ισχύει η σχέση: x = 4 x α)αποδείξτε ότι η εξίσωση x +λx-=0 έχει ρίζες πραγματικές, οποιοσδήποτε και αν είναι ο αριθμός λ. β) Χωρίς να υπολογίσετε τις ρίζες αυτές, να βρείτε τις παρακάτω παραστάσεις: i) x + x ii) x x iii) x x + iv) x x + x x 3. Ποιο είναι το κ όταν η εξίσωση x + κ (x - 6) = 0 έχει ρίζες των οποίων το γινόμενο είναι - ; 3. Ποιο είναι το κ όταν η εξίσωση 6x + 7x + κ = 0 έχει μια ρίζα διπλή;

38 5 Β. ρ ρ = 7 5 Γ. ρ ρ = ρ + ρ = 5 Ε. ρ ρ = Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης x + βx + γ = 0, γ 0, τότε η εξίσωση γx + βx + = 0 έχει για ρίζες της: Α. ρ, - ρ Β. - ρ, ρ Γ. ρ, ρ. ρ, ρ Ε. ρ, ρ 3.5 ίνεται η εξίσωση: 9x +6x+γ=0 με ρίζες ρ, ρ. Εάν γνωρίζουμε ότι ρ - ρ =, α) να βρείτε τις ρίζες ρ και ρ β) να βρείτε το γ. 3.6 Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 να σχηματίσετε μια άλλη εξίσωση που να δέχεται ως ρίζες τους αριθμούς κρ, κρ, όπου κ ακέραιος αριθμός. 3.7 Αν οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο ρίζες άνισες, ποια απ αυτές έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς; Α. - 4x - βx + 4 = 0 Β. 4x + βx - 4 = 0 Γ. x + βx - = 0. x - βx + = 0 Ε. - x - βx + = Να λυθεί η εξίσωση : (x+) + x+ - = Να λυθεί η εξίσωση : x 4 (α+)x + α = Να λυθεί η εξίσωση : x - x = 0 3. Να λυθεί η εξίσωση : ( - x ) = 4

39 x β = 9 + β, όπου α, β πραγματικές παράμετροι και α 0 Υπολογίστε το β όταν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό. 3.7 Να λυθεί η εξίσωση: x 3 = + x 3.8 Να δειχθεί ότι δεν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α + β = 6 και α + β = Αν οι ρίζες της εξίσωσης x (5λ-6μ)x = 0 είναι αντίθετες και οι ρίζες της εξίσωσης λx +3x λμ + λ = 0 με λ 0 είναι αντίστροφες τότε: α) να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών παραμέτρων λ και μ. β) να λυθούν οι εξισώσεις για τις τιμές των λ και μ που βρήκατε Βρείτε την τιμή του λ ώστε : (x - ) (3x - ) = 3x + λx Για τις διάφορες τιμές του λ να λυθούν: i) λχ 3λ = λ² - 3χ ii) λ²χ 4λ = 6χ λ² iii) λ²(χ + ) = - ( - λχ ) iv) (λ² + χ ) - λ( 4 + λχ ) = Να βρεθούν οι τιμές του λ R για να είναι οι ρίζες της εξίσωσης 3x -x+3(λ-7)=0i) θετικές, ii) ετερόσημες, iii) ίσες 3.33 ίνεται η εξίσωση (λ - 3 λ + ) x + (λ - ) x + 3 = 0. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η παραπάνω εξίσωση :

40

41 4x + 5x 4 x (x ) x (x + ) > β) < γ) 5x (x 3) 5 (x + ) x + (x ) + x > δ) < ε) x 3 x 3 x + > 5 στ) x + 5 x 3 x Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων α) x + 3(x ) < x + και (x + 3) x > β) 5(x 5) + 4(x + ) < 6( 3x) και 3(x + ) 4(x ) > 3( x) γ) x + x x x 3 x 0 και > δ) x (x+ ) x+ 3 + > και 3 6 x x + + x < 4 4

42 3(x ) 4x 5 + > και 7 3 (x ) x 3x + x < β) x 3x x > και 3 6 x 3 3x+ + < 4 γ) x+ (x ) + > x 4 και x 3 x > x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) (x - ) (x² - 3x + ) (x² + x + ) < 0 β) (x² - 7x + ) (x²- 5x + 6) (x² + x + 6) >0 γ) x² (3 x²) < 0 δ) ( - x²) (- x + 7) < 0 ε) (x - α) (x - β) (x - γ) > 0 εάν α < β < γ στ) (3x³ - x²) (x² - x + ) < 0 ζ) 3x³ - 5x² + x > 0 x - 7x + - x + 5x + 6 η) > 0 θ) > 0 x - 7x + 60 x + x - 6 ι) x x > 4.5 Να λυθούν: α) x - x + > + - x β) 3 x - 3 > γ) x + x - 4 (x - ) (x - ) (x - 3) (x - 4) > 4.6 Ομοίως: α) - x + 5x β) - x + 4x - 4 > 0 γ) - x + x - < 0 δ) x + x - 5 > 0 ε) 5x + 3x - < 3x - x + 0 στ) 6x - 8 < x - 3x + ζ) x + > 0 η) 4x + 5 > Να δειχθεί ότι η ανίσωση x +6αx +9α +4 > 0 αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x 4.8 Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες το τριώνυμο (μ - 5) x - 3x + 4 είναι θετικό για κάθε πραγματικό αριθμό x. 4.9 ίνεται το τριώνυμο x - 8x + = 0. α) Ποιες είναι οι ρίζες του; β) Όταν το x μεταβάλλεται από 3 έως 5, το πρόσημο του x - 8x + μεταβάλλεται; ικαιολογήστε την απάντησή σας.

43 x - 7x + 3, x - 4x + 4, x + 9x + 8, x - x + έχει έννοια πραγματικού αριθμού; 4. ίνεται το τριώνυμο 4x² + x α) Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο γίνεται ίσο με 0; β) Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο γίνεται θετικό; γ) Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο γίνεται αρνητικό; 4. Το ίδιο για το τριώνυμο 3x²+ 3x Αν ισχύει α>3, να αποδείξετε ότι ( α+4) 6 < Να βρείτε το πρόσημο χ<y <ω, να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων : α) ( χ y) ( y ω ) β) ( χ ω )( ω y ) 4.5 Να βρείτε το πρόσημο α < β < γ <δ, να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: α) (α β) (γ β) (δ β) β) (α γ ) (β δ ) ( δ- γ) γ) (δ α ) ( γ β) (β δ) 4.6 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: x 4 α) 3 β) 5 7x x γ) 4 7x x δ) 3x 4 x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) γ) 3(x 4) x + 5 5x x 3 x 4 5 x > β) x x+ x+ 5 > δ) x 3 x 3 x < Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: α) - 3 < (χ-5) +9 < 7 β) 3 5χ < χ+ < 7χ 5 γ) 4 (3 χ) < 3 χ < 3( χ+) δ) στ) 7 x 5 x (x + 3) 3x 3< ε) 4 < (x ) x (x + ) 4 < + x + 3

44 3x + 5 > 4 3 x < 5 6 x < 0 x < δ) x 3 < 0 5x 3x x 6(3 x) (x 6) ε) 0 4( x) < ( + 8x) 4.0 Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: x < 6x 0 α) β) 5x 5 7 7x < 0 γ) 5 ω 5 7 ω 4 < δ) 4(x + ) > (x + ) 8 + x < 4 x ε) 3(x + 9) < + 4x 3(x 3) ( x ) στ) x (x+ ) 3x < 0 3 x (3 3x) 4. Να βρείτε τις κοινές λύσεις: 3x x 0 < x α) β) + x 4 + 3x 4 x x 4 > x+ 5 x 3 x γ) 3x 7 3 5(5 3x) (x ) < Να αποδείξετε τις παρακάτω ανισότητες και σε κάθε περίπτωση να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα: α) α + β αβ β) α + 9 6α γ) α + 5α α 4 δ) χ + 3χy χy y

45 x 6x + 9 x + 3 β) x x x + x - γ) 4x 9 4x - x + 9 δ) x + 3x 8 x + 4x - ε) x 5 x - 6x Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο x - 4x + 50 παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 5 και μικρότερες του 6; 4.5 Για ποιες τιμές του x ισχύει η διπλή ανίσωση: - < x - x - 3x + < 4.6 Να λυθούν οι ανισώσεις : α) 7x + 4 < x β) x(x 4) + x(x + 3) > 3x + 4 γ) x(x + ) + 7 < x(x + ) 5 δ) x > ε) (x ) + (x + 3) > (x + )(x ) Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 3x + x+ + x > β) x x > x 4 γ) x x 3 < δ) x. 4.8 Να βρείτε που συναληθεύουν οι ανισώσεις (βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων): α) 3x + 4 > x β) 4x + 3(x ) < x 6 γ) 3x (x + ) και και και x < 3 (x + 3) (5 x) > 3x + 3(x ) x < 3x Να λυθούν για τις διάφορες τιμές του λ οι ανισώσεις (λ IR). α) (λ + )x 5 >0 β) λ(x λ ) > x γ) λx < 5λ 4.30 Να λυθεί η (παραμετρική) ανίσωση μ (x + ) μ(x ) + 3 < (3μ ) x + μ, (μ R). 4.3 Να λυθεί η ανίσωση λx + 3 μ 4x (λ, μ R)

46 λx x x + > + δ) x α x x < α α 4.33 Να λύσετε τις ανισώσεις: α) x 3 < 3x β) x x 3x + 6 > 0 γ) 0 x+ x+ 4 δ) 0 x 4.34 Να λυθούν οι ανισώσεις : α) 3x 3 > β) x 5 γ) 3x 6 δ) 5x ε) x + 3 < 0 στ) x + 3 x > x 4.35 Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : α) 3x 4 < + x 5 β) x γ) 5( x ) ( x ) δ) 3 x ε) 3 3x < 3x 3 στ) x ζ) 3 x 3 x 8 3 x > 3 3 η) x + 4 < 3 θ) x 4 ι) 5 x x Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x < 0 β) x < 0 γ) x > δ) x 3 ε) 3 x 4 στ) x > 0 ζ) x 0 η) x + 0 < 4 θ) 7 x < 3 ι) x 7 > 3 ια) x 3 ιβ) 0 x 4 ιγ) 4 x ιδ) x ιε) x x ιστ) x < x ιζ) x x ιη) x x ιθ) x > x

47 ( x + 6) 0 β) x 4 < 5 5 γ) x < δ) 4 x > ε) x 3 < Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις: α) 3x + 7 > 0 και x - 6x + 5 > 0 β) x + 5 > 0, x - < 0 και (x + 4) (x - 6) < 0 γ) 3x + 5 3x - 7 < 0 και x + 3x - 4 x - < Να λυθούν: α) x >5 β) x+ 3 < γ) x - 3 < 6 δ) 3x 4.40 Να λυθούν: α) x²+ x 6 > 0 β) x² - 6x +9 0 γ) 3x² + x Nα λυθούν: a) x x β) 5 - x + 7-3x + 3 γ) 3-3x x 4.4 Nα λυθούν : α) x < 5 β) 0 < x 3 γ) x 3 < 3 δ) 0 < x < 4.43 Oμοίως: α) x + - x + 5x < 3 β) x- - 3 x < 0 γ) x + - x + 5-3x >0 δ) x + > Nα λυθούν οι ανισώσεις: α) 3x < 7 β) 5x - > 6 γ) x δ) 3x > Oμοίως: i) x + 4x - x ii) ( x 5-3 ) + 3 ( 0 x - 4 ) 6

48 x x 3x 0 β) >

49 4.54 Nα λυθούν οι ανισώσεις : α) i) x > 0 ii) x < 0 β) x + > 0 γ) i) 3 3 > 0 ii) < 0 x δ) x > 0 ε) 3 x x α) x < x β) 5 x x+ δ) ζ) 4x 3x x > x 4x + 3 x ε) 7x 3 x + 3x x > 0 στ) 3x x + x > ζ) γ) x + 3x - 4 x (x + 3) x x < 0 x 4x + 5 > 0 στ) > x + > 0 η) x x + 3x 3x + < > 4.56 Να λυθούν οι ανισώσεις : (x )(x 9x + 0) α) > 0 (x x + ) γ) x + 3 x > x x x 5 ε) < x 6x 7 x 3 β) δ) στ) < x 3x+ x 7x + < 0 x 0x + 0 x 5x x +5x + 6 x 4.57 Να δειχθεί ότι για κάθε x (, 4) το κλάσμα Α = x - 5x + 4 x + x + είναι αρνητικό Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις : x 8 < 0 και x 5x + 6 > Για ποιες τιμές του x συναληθεύουν οι ανισώσεις : x x < 3, x x 5 < 0, x > Να λυθούν οι ανισώσεις : α) 3 < x + x + 3 < 0 β) 4x < 3 x 49

50 4.6 Να λυθούν τα συστήματα : α) γ) > x < x + 5 x 3x x > 0 x + > 3 x 5x 6 0 x 5x 7 0 β) δ) x > 0 x > (x 4) (x x 4) 0 x > > + < 6x 5x 0 x 5x Να λυθεί η ανίσωση : x + x 4 > x Να δειχθεί ότι η ανίσωση x + 6αx+9α + 4>0 αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες το τριώνυμο (μ 5)x 3x + 4 είναι θετικό για κάθε πραγματικό αριθμό x Να λυθούν: 4 x x 5 3x x+ i) < x+ 4 7 x x 4 7x ii) + < (x 3)(x ) 4 (x )( x) (x 3)(x ) iii) x x+ 7 5x+ 6 3x iv) > ίνεται η ανίσωση: x + μ 3 λ( 5 x ) Να βρείτε τις τιμές των λ και μ ώστε: i) η ανίσωση να είναι αδύνατη ii) η ανίσωση να αληθεύει για κάθε τιμή x R Να λυθούν: α) 3 x 8 β) 3 x + < 0 γ) 3 x+ > 9 δ) x Να λυθούν: α) x + 4 < x 6 β) x 6 < x + 4 γ) x 3 < x + δ) x + < x 5 ε) x x Nα γίνουν γινόμενο η παρακάτω παραστάσεις: i) x² - x -5 ii) 4x² +x ίνεται to τριώνυμο : x² - 3x i) Να βρεθούν οι ρίζες του τριωνύμου 50

51 ii) Να γραφεί σε μορφή γινομένου iii) Να απλοποιηθεί η παράσταση x 3x A = x 4x Να κάνετε γινόμενο τα τριώνυμα: α) x² - x - β) ω² + 3ω 5 γ) x² + 8x Να παραγοντοποιηθούν: α) α² + αβ 3β² β) α² + 5αβ + 6β² γ) x² + ω² - xω 3x + 3ω + δ) x² +ω² - 3xω + x ω ε) β 4 αβ² + α² - β² + β 4.73 Να βρείτε το πρόσημο των τριωνύμων: α) x² - 4x 5 β) x² + 3x + 4 γ) x² + 4x + 5 δ) -x² + x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x² - 3x > 0 β) x² - 3x < 0 γ) x² - 3x Να λυθούν οι ανισώσεις: α) x² - x + > 0 β) x² - x + < 0 γ) x² -x Να βρεθούν οι τιμές του x R, για να συναληθεύουν οι ανισώσεις: α) x² + 3x > 0 και 3x² - 4x β) x² - 6x + 5 < 0 και x² -5x + 6 > Nα λυθούν : α) 3x² < x + β) x² + 7x > 5 x γ) 5x² - 3x x + x² - γ) 3x² - x < δ) 3x² -9x + 30 ε) x² + x Βρείτε το πεδίο ορισμού Α των παραστάσεων: i) ii) iii) 4 x + x x x + 6 x x x 4 + x x 4.79 Να λυθούν: x x 3x 0 i)