Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-"

Transcript

1 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη για το κεφάλαιο είναι: Παράγραφος 3. Παράγραφος 3. Παράγραφος 3.3

2 ΘΕΜΑ Α Θέμα Α.. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Α... Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Στις παρακάτω προτάσεις να γράψετε δίπλα στην κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.. Η εξίσωση 0 έχει ακριβώς μια λύση, όταν 0. Η εξίσωση 0 είναι αδύνατη, όταν 0 3. Η εξίσωση 0 είναι ταυτότητα, όταν 0 4. Η εξίσωση 5. Η εξίσωση ( ) 4 είναι ταυτότητα, αν ( 4) είναι αδύνατη, αν 6. Η εξίσωση, με 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση την 7. Η εξίσωση, με 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς δύο λύσεις τις και 8. Η εξίσωση, με 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση την 9. Η εξίσωση, με 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι ταυτότητα. 0. Αν ο ν είναι περιττός φυσικός αριθμός, τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις a και a. Αν ο ν είναι άρτιος φυσικός αριθμός, τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις, τις και a a. Η εξίσωση 3. Η εξίσωση 4. Η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την a a 0 είναι εξίσωση ου βαθμού για κάθε 0 με 0 είναι εξίσωση ου βαθμού. 5. Η εξίσωση a 0 με 0 και 4 0 έχει δύο άνισες ρίζες. 6. Η εξίσωση 7. Η εξίσωση a a 0 με 0 και 0 έχει διπλή ρίζα την 0 με 0 και 0 είναι αδύνατη. 8. Αν η εξίσωση a 0 ( 0) έχει δύο ρίζες και S 0, τότε οι ρίζες είναι αντίθετες.

3 9. Αν η εξίσωση a 0 ( 0) έχει δύο ρίζες και P, τότε οι ρίζες είναι αντίστροφες. 0. Αν η εξίσωση a 0 ( 0) έχει δύο ρίζες και ισχύουν S 0 και P 0, τότε οι ρίζες είναι θετικές.. Η εξίσωση a 0 ( 0) έχει δύο άνισες ρίζες. Α... Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Στις παρακάτω προτάσεις η σωστή απάντηση σε κάθε ερώτηση είναι μόνο μία. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση της κάθε ερώτησης.. Η εξίσωση 0, με 0 είναι αδύνατη, όταν: Α. 0 Β. 0 Γ. 0 Δ. 0. Η εξίσωση 0, με 0 είναι ταυτότητα, όταν: Α. 0 Β. 0 Γ. 0 Δ Η εξίσωση, με 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό έχει: Α.ακριβώς μία λύση Β. καμία λύση Γ. δύο λύσεις Δ.τίποτα από τα προηγούμενα 4. Η εξίσωση 0, με 0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο, όταν: Α. 0 Β. 0 Γ. 0 Δ Η εξίσωση 0, με 0 έχει : Α. καμία ρίζα Β.δύο άνισες ρίζες Γ. μία διπλή ρίζα Δ.τίποτα από τα προηγούμενα 6. Αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών, της εξίσωσης 0 με 0, τότε οι ρίζες είναι αρνητικές αν Α. S 0 και P 0 Β. S 0 και P 0 Γ. S 0 και P 0 Δ. S 0 και P 0 7. Αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα δύο πραγματικών αριθμών,, τότε η εξίσωση που έχει ρίζες τις είναι η: Α. S P 0 Β. S P 0 Γ. S P 0 Δ. 8. Η εξίσωση ( )( ) 0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση: S P 0 Α. 0 Β. 0 Γ. 0 Δ. 0 3

4 Α..3. Ερωτήσεις Αντιστοίχισης Στις παρακάτω ερωτήσεις να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β, ώστε να προκύπτουν ισότητες, αληθείς ή ισοδύναμες σχέσεις ή προτάσεις. Στην στήλη Β υπάρχει ένα επιπλέον στοιχείο.. Θεωρούμε την εξίσωση : 0 (), με, ΣΤΗΛΗ Α (Η ()...) ΣΤΗΛΗ Β (Αν...). Έχει μία ακριβώς λύση α. 0 και 0. Είναι αδύνατη β Είναι ταυτότητα γ. 0 δ. Για όλες τις τιμές των α,β. Θεωρούμε την εξίσωση: (, 0 ) ΣΤΗΛΗ Α (Αν...) ΣΤΗΛΗ Β (Τότε η εξίσωση έχει...). 0 και ν περιττός Α Ακριβώς μια λύση την. 0 και ν άρτιος β. Αδύνατη 3. a 0 και ν περιττός γ. Ακριβώς δύο λύσεις τις και δ. Ακριβώς μια λύση την 3. Θεωρούμε την εξίσωση : a 0 () με 0,, και 4. ΣΤΗΛΗ Α ( εξίσωση () έχει... ΣΤΗΛΗ Β (Αν είναι:..). Δύο ρίζες α. 0. Μία διπλή ρίζα β Είναι αδύνατη στο γ. 0 δ Έστω, οι ρίζες της a ΣΤΗΛΗ Α (Αν...) ΣΤΗΛΗ Β (Τότε S ή P =...). S. P α. β. γ. 0 ( 0, 0) και S και P. 5. Έστω, οι ρίζες της 4 a ΣΤΗΛΗ Α (Αν...) ΣΤΗΛΗ Β (Τότε...). P 0 α., ομόσημες. S 0 β., ετερόσημες 3. P 0 S 0 γ., αρνητικές δ., αντίθετες 0 ( 0 0) και S, P

5 Θέμα Α-Αποδείξεις προτάσεων και ιδιοτήτων Εδώ παρατίθενται όλες οι αποδείξεις των προτάσεων και των ιδιοτήτων που βρίσκονται στην εξεταστέα ύλη του μαθήματος: «Άλγεβρα» της Α Λυκείου και θα αποτελέσουν το ο μέρος του ου θέματος (το Α). Οι αποδείξεις έγιναν σύμφωνα με το περιεχόμενο του σχολικού βιβλίου.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 με 0 έχει ακριβώς μία λύση, την. Απόδειξη Έχουμε: 0 a. Αν 0, τότε: a. Επομένως, αν 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 με 0 και 0 είναι αδύνατη. Απόδειξη Έχουμε: 0 a. Αν 0, τότε η εξίσωση γίνεται: 0 και αφού 0 η εξίσωση δεν έχει λύση και γι αυτό λέμε ότι είναι αδύνατη. 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 με 0 και 0 είναι ταυτότητα. Απόδειξη Έχουμε: 0 a. Αν 0, τότε η εξίσωση γίνεται: 0 0 και αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό, δηλαδή είναι ταυτότητα. 4. Θεωρούμε την εξίσωση: 0 ( 0) και τη διακρίνουσα της 4. Να αποδείξετε ότι, αν Δ>0, η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες, τις,. 5

6 Απόδειξη: Για την επίλυση της εξίσωσης θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της «συμπλήρωσης του τετραγώνου». Έχουμε: 0 0 [αφού 0] 4 4 a 4a 4 Αν θέσουμε Δ= 4a, τότε η τελευταία εξίσωση γίνεται: 4. Αν Δ>0, τότε έχουμε: ή, δηλαδή ή 5. Θεωρούμε την εξίσωση: 0 ( 0) και τη διακρίνουσα της 4. Να αποδείξετε ότι αν Δ=0 η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την,. Απόδειξη Εφαρμόζοντας όπως στην προηγούμενη απόδειξη τη μέθοδο της «συμπλήρωσης του τετραγώνου» έχουμε:. 4 Αν Δ=0, τότε η εξίσωση γράφεται: ή 0 ή Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την. 6

7 6. Θεωρούμε την εξίσωση: 0 ( 0) και τη διακρίνουσα της 4. Να αποδείξετε ότι αν Δ<0 η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες. Απόδειξη Εφαρμόζοντας όπως στην προηγούμενη απόδειξη τη μέθοδο της «συμπλήρωσης του τετραγώνου» έχουμε: 4 Αν Δ<0, τότε η τελευταία εξίσωση, άρα και η ισοδύναμή της η αρχική, δεν έχει πραγματικές ρίζες, δηλαδή είναι αδύνατη στο. 7. Αν, οι ρίζες της εξίσωσης 0 ( 0), να αποδείξετε ότι το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών είναι αντίστοιχα : S και P. Απόδειξη: Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: και. Τώρα έχουμε: S a a ( ) ( ) ( 4 ) 4 P 4a 4 4 7

8 Από την Τράπεζα θεμάτων του Υπουργείου ΠΑΙ.Θ.(Ι.Ε.Π.). Περιέχει 7 θέματα αυτής της κατηγορίας. ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση ( ) 6 0 () με παράμετρο α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το, να βρείτε το λ (Μονάδες 3) β) Για λ= να λύσετε την εξίσωση () (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση: ( ) 0, με παράμετρο λ 0. α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό (Μονάδες ) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ 0. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Β3 Δίνεται το τριώνυμο 5 ΘΕΜΑ Β α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, και (Mονάδες 6) β) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων:, και (Mονάδες 9) γ) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς ΘΕΜΑ Β4 και α) Να λύσετε την εξίσωση 3 (Μονάδες ) β) Αν a, με a είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση a 3 0 (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Β5 Δίνεται η εξίσωση 4( ) 0, με παράμετρο 8

9 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. 9 Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Β6 Δίνεται η εξίσωση, με παράμετρο. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: ( ) ( )( ), β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε. γ) Για ποια τιμή του η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Β7 α) Να λύσετε την εξίσωση 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος. ΘΕΜΑ Β8 (Μονάδες 5) Δίνεται η εξίσωση: ( 9) 3, με παράμετρο () α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές πραγματικές τιμές για το, να γράψετε τρεις εξισώσεις. β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του, ώστε η () να έχει μία και μοναδική λύση. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την τιμή του, ώστε η μοναδική λύση της () να ισούται με 4.

10 ΘΕΜΑ Β9 Θεωρούμε την εξίσωση 0, με παράμετρο. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες. β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δυο ρίζες,, να προσδιορίσετε το, ώστε να ισχύει: ( ) (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Β0 Δίνεται η εξίσωση: ( 3) a 9, με παράμετρο a. α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις: i) όταν a (Μονάδες 5) ii) όταν a 3 β) Να βρείτε τις τιμές του a, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε τη λύση αυτή. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Β α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η παράσταση αριθμού. έχει νόημα πραγματικού β) Για τις τιμές του που βρήκατε στο α) ερώτημα, να λύσετε την εξίσωση: 0. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Β Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο Π = 0cm και εμβαδό E = 4cm. α) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. 0

11 ΘΕΜΑ Β3 Δίνονται δύο πραγματικοί αριθμοί a και, τέτοιοι ώστε: a και 7. α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας ( )., να δείξετε ότι: 64 β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς a,. γ) Να προσδιορίσετε τους αριθμούς a,. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Β4 Δίνονται οι αριθμοί: α) Να δείξετε ότι: A B 3 και (Μονάδες ) A, B= AB β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς A, B (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Β5 Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: 4 και α) Να αποδείξετε ότι: 5. a 0 β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Β6 Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: και 3 3 α) Να αποδείξετε ότι:. β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Β7 Δίνεται το τριώνυμο ( 3 ) 3. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: ( 3 )

12 (Μονάδες ) β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. (Μονάδες 3) Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) ΘΕΜΑ Β8 α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: (Μονάδες 5) 0. β) Να λύσετε την εξίσωση: ΘΕΜΑ Β9 Δίνεται το τριώνυμο: 0, με α) Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε, όπου Δ η διακρίνουσα του τριωνύμου. (Μονάδες 3) β) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), i) Να βρείτε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών της () ii) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες και, όπου και. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Β0 Δίνεται η εξίσωση: ( ) ( )( ), με παράμετρο α) Να λύσετε την εξίσωση για και για. (Μονάδες ) β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει μοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Β Δίνεται η παράσταση: K α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3.. β) Για ποιες τιμές του ορίζεται η παράσταση K ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

13 (Mονάδες 7) γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση K. ΘΕΜΑ Β Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: και 30 α) Να αποδείξετε ότι: 5. β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Β3 Δίνονται οι παραστάσεις A και B, όπου ο είναι πραγματικός ριθμός. α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις A, B πρέπει: και 0. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ισχύει A B (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Β4 Δίνεται η εξίσωση 4( ) 0, με παράμετρο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει: ( ) 5 0 ΘΕΜΑ Β5 Δίνονται οι αριθμοί: α) Να δείξετε ότι: i) A B A, 5 5 B 5 5 3

14 ii) AB 0 Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) β) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς A και B (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Β6 Δίνεται η εξίσωση για τις οποίες: ( ) 0, με παράμετρο. Να βρείτε τις τιμές του α) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 3) β) Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Β7 Δίνεται η εξίσωση ( ) 0, με παράμετρο. α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση δύο ρίζες πραγματικές και άνισες (Μονάδες ) β) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε το ώστε 3 (Μονάδες 3) 4

15 ΘΕΜΑ Γ Με την εισήγηση των διδασκόντων. Περιλαμβάνονται 8 θέματα αυτής της κατηγορίας. ΘΕΜΑ Γ Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) β) γ) t t t 3 () 3 4 (Μονάδες 9) () 3 4 (Μονάδες 7 ) (3) (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Γ Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) y 3y 4 0 () β) (Μονάδες 4) ( 3) 3 ( 3) 4( 3) () (Μονάδες 7) γ) ( 5) 3(5 ) 4 0 (3) (Μονάδες 7) δ) ( 5) (5 )( ) 0 (4) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Γ3 Να λύσετε την εξίσωση ( 9) 3 (), όταν: α) 3 β) 3 γ) 3 και 3 (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Γ4 Δίνονται οι παραστάσεις: 5 A 9 4, B 4 9 και η εξίσωση: B A ().

16 Για ποια η εξίσωση () : α) Είναι ταυτότητα; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7) β) Είναι αδύνατη; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Έχει μοναδική λύση; Στην περίπτωση αυτή να βρείτε τη λύση της. ΘΕΜΑ Γ5 Δίνονται οι εξισώσεις: 3 ( 3 5) 5 0 (), 5 ( 3 5) 3 0 () α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. 6 (Μονάδες 0 ) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει επίσης δύο άνισες πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης (). γ) Να γενικεύσετε το παράδειγμα των εξισώσεων () και (), κατασκευάζοντας μια εξίσωση που έχει ρίζες τις αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης : ( ) 0, με, 0 και.να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. a a (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Γ6 Δίνεται η παράσταση: K a α) Πότε η εξίσωση () είναι ου βαθμού; ( ) ( ) ( ) () β) Αν η εξίσωση () είναι ου βαθμού, να αποδείξετε ότι έχει μια διπλή ρίζα για κάθε a,. γ) Να λυθεί η εξίσωση () (Μονάδες 7 ) ΘΕΜΑ Γ7 Δίνεται η εξίσωση: 0 με,, () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης () και να αποδείξετε ότι έχει πραγματικές ρίζες για κάθε,,,.

17 (Μονάδες 3) Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) β) Να λύσετε την εξίσωση (), αν έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες Πότε η εξίσωση () έχει ίσες ρίζες; Στην περίπτωση αυτή να βρείτε την διπλή ρίζα της. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Γ8 Δίνεται η εξίσωση: 0 () με, 0 >4ν () α) Να κατασκευάσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τις αντίθετες των ριζών της εξίσωσης () β) Να αποδείξετε ότι η () δεν έχει ρίζα το 0 και να κατασκευάσετε την εξίσωση πoυ έχει ρίζες τις αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης () (Μονάδες 8 ) γ) Αν, επιπλέον i) Να βρείτε τα,, ώστε οι ρίζες της εξίσωσης () να διαφέρουν κατά 5. ii) Να βρείτε τα,, ώστε τo τετράγωνο της μίας ρίζας της εξίσωσης () να είναι η άλλη της ρίζα. ΘΕΜΑ Γ9 (Μονάδες 5) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) () (Μονάδες 7) β) () 4 γ) (3) ΘΕΜΑ Γ0 Δίνεται η εξίσωση: 0 () με τους αριθμούς, να αποτελούν τις ενδείξεις της ρίψης δύο ζαριών αντίστοιχα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Η εξίσωση () να έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 9) β) Η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 9) 7

18 γ) Η εξίσωση () να μην έχει πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση: ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. P( A) P( A B) 4 P( B) 0 (), όπου A και B ασυμβίβαστα α) Ποια είναι η συνθήκη για το ενδεχόμενο A, ώστε η εξίσωση () να είναι εξίσωση ου βαθμού; (Μονάδες 5) β) Να λύσετε την εξίσωση (), αν είναι ου βαθμού. (Μονάδες 5) γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 9) δ) Αν η εξίσωση () έχει μια διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ισοπίθανα. ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση: 0, () () α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει διπλή ρίζα ; β) Αν, να λύσετε την εξίσωση () γ) Αν δ) Για (Μονάδες 5), να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο άνισες ρίζες. 3, να κατασκευάστε την εξίσωση που έχει ως ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης () 3 αυξημένες κατά 3. ΘΕΜΑ Γ3 Δίνεται η εξίσωση: ( ) ( 4) 0 () με λ. Επιλέγουμε τυχαία μια τιμή, όπου 0 0, 9, 3, 0,, 3,, ο δειγματικός χώρος του 3 8

19 πειράματος τύχης, του οποίου τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Έστω A, B και τα ενδεχόμενα του Ω που ορίζονται: A / η εξίσωση () να έχει ρίζες πραγματικές και ίσες B / η εξίσωση () να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες / η εξίσωση () να μην έχει καμία πραγματική ρίζα Να βρείτε: α) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Α β) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Β (Μονάδες 9) γ) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ ΘΕΜΑ Γ4 Δίνονται οι εξισώσεις 3 () και 3 3 () α) Να λύσετε τις εξισώσεις () και () (Μονάδες 0 ) β) Να κατασκευάστε την εξίσωση που έχει ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης () (Μονάδες 7 ) γ) Να βρείτε την εξίσωση της μορφής κοινή λύση των εξισώσεων () και (). ΘΕΜΑ Γ5 Δίνεται η εξίσωση:. a 0 ( 0) που έχει μια διπλή ρίζα την 3 0 (, ) () η οποία έχει δύο ρίζες και, με α) Να αποδείξετε ότι και ότι S 4P, όπου S και P το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών της εξίσωσης (). (Μονάδες 0 ) β) Να βρείτε τα,, ώστε οι ρίζες και να πληρούν ταυτόχρονα τις σχέσεις: 3 3 () 3 5( ) (3) (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Γ6 9

20 Δίνεται η εξίσωση: ( ) () με. α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση () είναι εξίσωση ου βαθμού; (Μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης () είναι: 8 ( ) (Μονάδες 8 ) γ) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει δύο άνισες ρίζες και για ποιες τιμές του λ είναι αδύνατη; (Μονάδες 5 ) δ) Στην περίπτωση που η εξίσωση () έχει δύο άνισες ρίζες, να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι ρίζες της εξίσωσης () είναι αρνητικές. ΘΕΜΑ Γ7 Δίνεται η εξίσωση: [ P( A) ] 4 P( A ) 4[ P( A)] 0 (), όπου Α ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω με A α) Να γράψετε σε μορφή διαστήματος τις τιμές που μπορεί να πάρει η πιθανότητα του ενδεχομένου Α, ώστε η εξίσωση () να είναι εξίσωση ου βαθμού. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες ετερόσημες (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Γ8 Δίνονται οι εξισώσεις: 6 9 () και a 0 () με 0 και 0, 3 3 καθώς και η παράσταση A. i) Να λύσετε την εξίσωση () ii) Να λύσετε την εξίσωση A iii) Αν η εξίσωση () έχει ως ρίζες τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη από τις ρίζες που προέκυψαν από τα ερωτήματα α) και β), να αποδείξετε ότι 0 και 0 0

21 Από την Τράπεζα θεμάτων του Υπουργείου ΠΑΙ.Θ.( Ι.Ε.Π). Περιέχει 4 θέματα αυτής της κατηγορίας. ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση 4 0 () με παράμετρο λ R. α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ R, η () έχει δύο ρίζες άνισες. β) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης (): i) Να βρείτε το S ii) Να βρείτε το P ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού λ. (Μονάδες 5) γ) Αν η μία ρίζα της εξίσωσης () είναι ο αριθμός 3, τότε: i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης () είναι ο αριθμός 3 ii) να βρείτε το λ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση ( ) ( 3) 0 (), με παράμετρο α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης () είναι: 5 β) Να βρείτε τις τιμές του, ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) γ) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του το άθροισμα των ριζών S και το γινόμενο των ριζών P. (Μονάδες 4) δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του, ώστε για τις ρίζες, της εξίσωσης () να σχύει η σχέση : ( ) ( 3) 0 ΘΕΜΑ Δ3 Δίνεται η εξίσωση a a a ΘΕΜΑ Δ ( ) 0, όπου α, β δύο θετικοί αριθμοί. α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι: ( a ) β) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των αριθμών και, ώστε η εξίσωση να έχει δυο ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των,

22 Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) a γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι,, τότε να αποδείξετε ότι: ( )( ) 4 (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Δ4 Δίνεται η εξίσωση: ( ) ( ) ( ) 0, () με παράμετρο α) Να βρεθούν οι τιμές του, για τις οποίες η () είναι εξίσωση ου βαθμού. β) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του που βρήκατε στο (α) ερώτημα η () παίρνει τη μορφή ( ) 0 γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιμές του που βρήκατε στο (α) ερώτημα η () έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (), αν αυτή είναι ου βαθμού. ΘΕΜΑ Δ5 Δίνεται η εξίσωση 0 () με παράμετρο λ R α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (), τότε και ο αριθμός είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. (Μονάδες 5) γ) Για, να αποδείξετε ότι: i) Οι ρίζες, της εξίσωσης () είναι αριθμοί θετικοί. ii) 4 4 (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δ6 Δίνεται η εξίσωση ( ) 0, () με παράμετρο λ R. α) Να λύσετε την εξίσωση όταν 0. (Μονάδες 5) β) Έστω 0. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, τις οποίες στη συνέχεια να βρείτε.

23 Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) ii. Αν και είναι οι δυο ρίζες της εξίσωσης (), να προσδιορίσετε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει ΘΕΜΑ Δ7 Δίνονται οι εξισώσεις 3 0 () και () α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (). (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (). γ) Να βρείτε τριώνυμο της μορφής που οι ρίζες του να είναι κάποιες από τις ρίζες της εξίσωσης () και επιπλέον, για κάθε αρνητικό αριθμό, να έχει θετική τιμή. ΘΕΜΑ Δ8 Δίνεται η εξίσωση 0 με, πραγματικούς αριθμούς. Αν η παραπάνω εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 4, τότε: α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του. β) Να αποδείξετε ότι 4 (Μονάδες7) γ) Δίνεται επιπλέον η εξίσωση 3 0 () Να εξετάσετε για ποια από τις τιμές του που βρήκατε στο (α) ερώτημα, η εξίσωση () δεν έχει πραγματικές ρίζες. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δ9 Δίνεται η εξίσωση ( ) 0, με παράμετρο 0 α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του, δηλαδή σταθερή. β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με μονάδες. 3

24 ΘΕΜΑ Δ0 Δίνεται το τριώνυμο: Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) ( ), 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Για κάθε 0, αν, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το τριώνυμο: ( ), 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες για κάθε 0 β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Αν 0 και, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, τότε να συγκρίνετε τους αριθμούς και και. 4

25 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το τριώνυμο: ( ), 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες για κάθε 0 β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών. (Μονάδες 5) γ) Αν 0, τότε: i) το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) να αποδείξετε ότι, όπου, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου. ΘΕΜΑ Δ3 Δίνεται η εξίσωση: 36 0 () με παράμετρο α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του, η εξίσωση () έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Υποθέτουμε τώρα ότι μία από τις ρίζες της εξίσωσης () είναι ο αριθμός ρ. (i) Να δείξετε ότι ο αριθμός - ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (Μονάδες 7) (ii) Να δείξετε ότι: ρ 0 και ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης: (Μονάδες 4+6=0) ΘΕΜΑ Δ4 α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δύο μόνο πραγματικές ρίζες, τις οποίες προσδιορίσετε. και να 5

26 β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση: 0 () με παραμέτρους, 4 Να δείξετε ότι: Αν γ < 0 τότε : i) 4 0 (Μονάδες 3) ii) η εξίσωση () έχει δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Δ5 α) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο Π = 34 cm και διαγώνιο δ=3 cm i) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι E= 60 (Μονάδες 5) ii) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) iii) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) cm β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 40 8 cm. ΘΕΜΑ Δ6 cm και διαγώνιο Δίνεται η εξίσωση: ( ) 0 (), με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A, όπου S, P το άθροισμα και το γινόμενο των S P ριζών της εξίσωσης () αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό αριθμό λ. (Μονάδες 9) 6

27 ΘΕΜΑ Δ7 Δίνεται το τριώνυμο: ( ) 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 β) Αν οι ρίζες του τριωνύμου είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, τότε: i) να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου. (Μονάδες 4) ii) να βρείτε την περίμετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ και να αποδείξετε ότι 4 για κάθε 0. iii) για την τιμή του λ που η περίμετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 4, τι συμπεραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Δ8 Δίνεται το τριώνυμο: 6 7, όπου α) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 7) β) i) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε την τιμή του αθροίσματος των ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόμενο των ριζών. (Μονάδες ) ii) Να δείξετε ότι, για κάθε με 7 6, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσημο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) γ) i) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση 6 7 () έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. ii) Έχει η εξίσωση () για 3 0 τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4) 7

28 ΘΕΜΑ Δ9 α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: Nα δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. β) Να κατασκευάσετε μία διτετράγωνη εξίσωση της μορφής 0 η οποία να έχει 4 δύο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Να αποδείξετε τον ισχυρισμό σας λύνοντας την εξίσωση που κατασκευάσατε. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ0 α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση: () με παραμέτρους,. 4 Να δείξετε ότι: Αν 0, 0 και 4 0, τότε η εξίσωση () έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ α) Να λύσετε τις εξισώσεις () και () β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής: a 0 (3) και a 0 (4), με 0. Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός είναι εξίσωσης (3) και α γ 0, τότε i) ρ 0 και (Μονάδες 5) ρίζα της ii) o επαληθεύει την εξίσωση (4). 8

29 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση: 5 a 0 με παράμετρο 0. α) Να αποδείξετε ότι αν αντίστροφοι μεταξύ τους. 5 a, τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς, που είναι β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν. (Μονάδες 5) γ) Να λύσετε την εξίσωση: ΘΕΜΑ Δ3 ( ) 5( ) 0 Δίνεται η εξίσωση ( ) (4 3), με παράμετρο λ R α) Να γράψετε την εξίσωση στη μορφή a 0, 0. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. γ) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες πραγματικές και άνισες, i) να υπολογίσετε τα S και P ii) να αποδείξετε ότι η παράσταση A (4 3)(4 3) είναι ανεξάρτητη του λ,δηλαδή σταθερή. (Mονάδες 0) ΘΕΜΑ Δ4 Δίνεται η εξίσωση: ( 5) 0 () με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης (). 9 (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (), να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες ισχύει: ( )( ) 4

30 ΘΕΜΑ Δ5 α) Να λύσετε την εξίσωση: () β) Δίνονται οι ομόσημοι αριθμοί, για τους οποίους ισχύει: a 3a 4 0 i) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης (). (Μονάδες 7) ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. ΘΕΜΑ Δ6 Δίνεται η εξίσωση: 0, με παράμετρο λ R () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει 0 d(, ) (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Δ7 Δίνεται η εξίσωση: 0, με παράμετρο λ R () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν και, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του λ ισχύει: d(, ) d(, ) (Μονάδες 9) 30

31 ΘΕΜΑ Δ8 Δίνεται η εξίσωση 0, με παράμετρο λ R α) Να δείξετε ότι για κάθε λ R η εξίσωση έχει δυο άνισες ρίζες. β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε λ R. γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, οι δυο άνισες ρίζες της εξίσωσης ανήκουν στο διάστημα (-,4). (Μονάδες 3) ΘΕΜΑ Δ9 Δίνεται η εξίσωση: ( a ) a 0, με παράμετρο a 0. α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι ( a ). (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: p γ) Να βρεθούν οι τιμές του ώστε: p p ΘΕΜΑ Δ30 Δίνεται η εξίσωση: 0 με παράμετρο. a και p a α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες, διαφορετικές μεταξύ τους. β) Να δείξετε ότι: (Μονάδες 4) γ) Αν για τις ρίζες, ισχύει επιπλέον:, τότε: i) Να δείξετε ότι: 4 (Μονάδες 7) ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες, και την τιμή του λ ΘΕΜΑ Δ3 Τα σπίτια τεσσάρων μαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της Δήμητρας βρίσκονται πάνω σε έναν ευθύγραμμο δρόμο, ο οποίος ξεκινάει από το σχολείο τους. 3

32 Οι αποστάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο, s A, s B, s, και s αντίστοιχα, ικανοποιούν τις σχέσεις: sa 3s s 4 s A s B B και s s s s A Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σημείο Ο και τα σημεία Α, Β, παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα. α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σημεία Γ και Δ, που παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της Δήμητρας. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 3 (Μονάδες ) β) Αν επιπλέον, οι τιμές των αποστάσεων σε Km ικανοποιούν τις σχέσεις s A s, 4 και s s 0,45 τότε: B A B i) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς s A, s B ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις s A, s B, s και s ΘΕΜΑ Δ3 (Μονάδες 7) Δίνεται η εξίσωση: 5 0, με παράμετρο α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε, η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. (Μονάδες 7) β) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε: ΘΕΜΑ Δ33 i) Να προσδιορίσετε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει: ( ) 8 7( ) 0. 4 (Μονάδες9) ii) Για, να βρείτε την τιμή της παράστασης: (Μονάδες 9) Οι πλευρές, ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 4( ) 6 0, με (0, 4)

33 α) Να βρείτε: Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου. β) Να αποδείξετε ότι 6, για κάθε (0, 4). (Μονάδες 7) γ) Για ποια τιμή του λ η περίμετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση με 6; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; ΘΕΜΑ Δ34 Οι πλευρές ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης: ( ) 0, με (0, ) α) Να βρείτε: i) την περίμετρο Π του ορθογωνίου. ii) το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. β) Να αποδείξετε ότι Ε, για κάθε λ 0,. (Μονάδες 7) γ) Για ποια τιμή του λ το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με ; Τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; ΘΕΜΑ Δ35 Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ABΓ ( ˆ 90 0 ) με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη, y τέτοια, ώστε: y 0. α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ABΓ συναρτήσει του δίνεται από τον τύπο: E( ) ( 0 ), (0,0). (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι 33 5 E( ) για κάθε (0,0).

34 γ) Για ποια τιμή του (0,0) το εμβαδόν E( ) γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με 5 ; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ABΓ ; ΘΕΜΑ Δ36 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει περίμετρο 40 cm. Αν cm είναι το μήκος του παραλληλογράμμου, τότε : α) να αποδείξετε ότι 0 0. (Μονάδες 4) β) να αποδείξετε ότι το εμβαδόν E( ) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση: ( ) 0 γ) να αποδείξετε ότι ισχύει E( ) 00, για κάθε (0, 0). δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο 40cm, εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 0cm. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Δ37 Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο Δημήτρης τερμάτισαν σε έναν αγώνα δρόμου με αντίστοιχους χρόνους (σε λεπτά) t, t, t, t σχέσεις: t ta α) i) Να δείξετε ότι: (Μονάδες 5) t ta tb και 3 t t t t A t t A B t B A B, για τους οποίους ισχύουν οι ii) Να βρείτε τη σειρά με την οποία τερμάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Δίνεται επιπλέον ότι ισχύει: t t 6 και t t 8 A B i) Να γράψετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς t A και t B A B 34

35 (Μονάδες 5) Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) ii) Να βρείτε τους χρόνους τερματισμού των τεσσάρων αθλητών. (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ38 Για την κάλυψη, με τετράγωνα πλακάκια, μέρους ενός τοίχου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πλακάκια τύπου Α με πλευρά d cm ή πλακάκια τύπου Β με πλευρά (d+) cm. α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εμβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου Α και κάθε πλακάκι τύπου Β. β) Αν η επιφάνεια μπορεί να καλυφθεί είτε με 00 πλακάκια τύπου Α είτε με 8 τύπου Β, να βρείτε: i) Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου (Μονάδες ) ii) Το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν. (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Δ39 Μια μπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει μια τροχιά, μετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t (σε sec) κατά την κίνησή της, προσδιορίζεται από τη συνάρτηση: h t t t ( ) 5 0,05 α) Να βρείτε τις τιμές h (0), h (), h() και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο του προβλήματος. β) Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η μπάλα θα φτάσει στο έδαφος. γ) Να αποδείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η μπάλα κάθε χρονική στιγμή t μπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο: h( t) 5[, ( t ) ] (Μονάδες 5) δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγμή t (σε sec) που το ύψος h της μπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,5 m 35

36 ΘΕΜΑ Δ40 Στο επόμενο σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ=3 και το Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος. α) Να αποδείξετε ότι E 6 9, (0,3). (Μονάδες 9) β) Να αποδείξετε ότι 9 E για κάθε (0,3) γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εμβαδόν των σκιασμένων τετραγώνων του σχήματος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο με 9 ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Mονάδες 8) ΘΕΜΑ Δ4 Οι ανθρωπολόγοι για να προσεγγίσουν το ύψος ενός ενήλικα, χρησιμοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις που παριστάνουν τη σχέση μεταξύ του μήκους y (σε cm ) οστού του μηρού και του ύψους (σε cm ) του ενήλικα ανάλογα με το φύλο του: Γυναίκα: y Άνδρας: y 0,

37 α) Ένας ανθρωπολόγος ανακαλύπτει ένα μηριαίο οστό μήκους 38,5 cm που ανήκει σε γυναίκα. Να υπολογίσετε το ύψος της γυναίκας. β) Ο ανθρωπολόγος βρίσκει μεμονωμένα οστά χεριού, τα οποία εκτιμά ότι ανήκουν σε άντρα ύψους περίπου 64 cm. Λίγα μέτρα πιο κάτω, ανακαλύπτει ένα μηριαίο οστό μήκους 4,8 cm που ανήκει σε άντρα. Είναι πιθανόν το μηριαίο οστό και τα οστά χεριού να προέρχονται από το ίδιο άτομο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Να εξετάσετε αν μπορεί ένας άνδρας και μια γυναίκα ίδιου ύψους να έχουν μηριαίο οστό ίδιου μήκους. (Μονάδες 9) Ακολουθούν Διαγωνίσματα στο 3 ο Κεφάλαιο, σύμφωνα με τις οδηγίες του Ι.Ε.Π. και την σχετική νομοθεσία για τη δομή, επιλογή και διάρθρωση των θεμάτων. 37

38 Διαγώνισμα ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση ( ) 4 είναι ταυτότητα, αν β) Η εξίσωση γ) Η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την a 0 με 0 και 0 έχει διπλή ρίζα, την Μονάδες Μονάδες Μονάδες δ) Αν η εξίσωση a 0 ( 0) έχει δύο ρίζες και ισχύουν: S 0 και P 0, τότε οι ρίζες είναι θετικές. ε) Η εξίσωση a Α. Αν, οι ρίζες της εξίσωσης 0 ( 0) έχει δύο άνισες ρίζες Μονάδες Μονάδες 0 ( 0), να αποδείξετε ότι το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών είναι αντίστοιχα : S και P Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: και 3 3 α) Να αποδείξετε ότι:. Μονάδες 0 β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε. ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση: Μονάδες 5 β) Να αποδείξετε ότι η () δεν έχει ρίζα το 0 και να κατασκευάσετε την εξίσωση πoυ έχει 38 0 () με, 0 >4ν () α) Να κατασκευάσετε την εξίσωση που έχει ρίζες τις αντίθετες των ριζών της εξίσωσης () Μονάδες 6

39 ρίζες τις αντίστροφες των ριζών της εξίσωσης () γ) Αν, επιπλέον Μονάδες 8 i) Να βρείτε τα,, ώστε οι ρίζες της εξίσωσης () να διαφέρουν κατά 5. Μονάδες 6 ii) Να βρείτε τα,, ώστε τo τετράγωνο της μιας ρίζας της εξίσωσης () να είναι η άλλη της ρίζα. ΘΕΜΑ Δ α) Να λύσετε τις εξισώσεις () και () Μονάδες 5 Μονάδες 0 β) Ένας μαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης () είναι οι αντίστροφοι των ριζών της εξίσωσης () και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής: a 0 (3) και a 0 (4), με 0. Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι: Αν ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης (3) και α γ 0, τότε i) ρ 0 και Μονάδες 5 ii) o επαληθεύει την εξίσωση (4). Μονάδες 0 39

40 Διαγώνισμα ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν (α,β,γ) γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η εξίσωση ( 4) είναι αδύνατη, αν Μονάδες β) Η εξίσωση, με 0 και ν περιττό φυσικό αριθμό, έχει ακριβώς μια λύση την γ) Αν η εξίσωση αντίστροφες. a 0 ( 0) έχει δύο ρίζες και S 0, τότε οι ρίζες είναι Μονάδες Μονάδες Στις παρακάτω προτάσεις η σωστή απάντηση σε κάθε ερώτηση είναι μόνο μία. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση της κάθε ερώτησης. δ) Αν S και P το άθροισμα και το γινόμενο αντίστοιχα των ριζών, της εξίσωσης 0 με 0, τότε οι ρίζες είναι αρνητικές αν: Α. S 0 και P 0 Β. S 0 και P 0 Γ. S 0 και P 0 Δ. S 0 και P 0 ε) Η εξίσωση 0, με 0 έχει : Μονάδες Α. καμία ρίζα Β.δύο άνισες ρίζες Γ.μία διπλή ρίζα Δ.τίποτα από τα προηγούμενα Μονάδες Α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 0 με 0 έχει ακριβώς μία λύση, την Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η εξίσωση ( ) 0, με παράμετρο. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: α) η εξίσωση έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με. 40 Μονάδες 3 Μονάδες

41 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση: τιμή, όπου ( ) ( 4) 0 () με λ. Επιλέγουμε τυχαία μια 0 0, 9, 3, 0,, 3,, ο δειγματικός χώρος του 3 πειράματος τύχης, του οποίου τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Έστω Α, Β και Γ τα ενδεχόμενα του Ω που ορίζονται: A / η εξίσωση () να έχει ρίζες πραγματικές και ίσες Να βρείτε: / η εξίσωση () να έχει ρίζες πραγματικές και άνισες / η εξίσωση () να μην έχει καμία πραγματική ρίζα α)την πιθανότητα του ενδεχομένου Α β) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Β γ) Την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ Μονάδες 8 Μονάδες 9 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το τριώνυμο: ( ), 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0 Μονάδες β) Αν, είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S συναρτήσει του λ 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P των ριζών. γ) Αν 0, το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ) Για κάθε 0, αν, είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου, να αποδείξετε ότι Μονάδες 5 Μονάδες 6 4

42 Μονάδες 6 Ακολουθούν επαναληπτικά διαγωνίσματα που αφορούν στα κεφάλαια ο, ο και 3 ο, σύμφωνα με τις οδηγίες του Ι.Ε.Π. και τη σχετική νομοθεσία για τη δομή, επιλογή και διάρθρωση των θεμάτων στις προαγωγικές εξετάσεις. 4

43 Διαγώνισμα -Επαναληπτικό ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι πάντα συμπληρωματικά. β) Για τους θετικούς αριθμούς a, και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: Μονάδες Μονάδες γ) Για κάθε a, ισχύει: Μονάδες δ) Η εξίσωση a 0 είναι εξίσωση ου βαθμού για κάθε Μονάδες ε) Αν η εξίσωση a 0 ( 0) έχει δύο άνισες ρίζες, και P, τότε οι ρίζες είναι αντίστροφες. Α. Αν,, να αποδείξετε ότι: Μονάδες Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Δίνεται ο πίνακας: Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνω πίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων: 43

44 Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιο του 3 Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του 3 ΘΕΜΑ Γ Έστω οι αριθμοί, y τέτοιοι, ώστε και y (,0) (0, ). 3 α) Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση A 3y Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες 9 Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση y (3y ) B είναι ανεξάρτητη του y. y Μονάδες 9 γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση είναι ανεξάρτητη του. ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το τριώνυμο: 6 7, όπου λ R Μονάδες 0 α) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες. Μονάδες 7 β) i) Αν και είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να βρείτε την τιμή του αθροίσματος των ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόμενο των ριζών. Μονάδες ii) Να δείξετε ότι, για κάθε λ με 7 < λ < 6, το τριώνυμο έχει δύο άνισες ομόσημες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσημο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) i) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση Μονάδες () έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Μονάδες 8 ii) Έχει η εξίσωση () για 3 0 τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 4 44

45 ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα -Επαναληπτικό Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν (α,β,γ) γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν τα Α και Β θεωρούνται ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και το ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού, τότε η λεκτική ερμηνεία του είναι: «Πραγματοποιείται μόνο το Α» Μονάδες β) Αν Α ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ονομάζουμε πιθανότητα του (A) ενδεχομένου Α τον αριθμό: P( ), όπου Ν(Α) και Ν(Ω) το πλήθος των ( ) ευνοϊκών και δυνατών περιπτώσεων αντίστοιχα. Μονάδες γ) Για κάθε 0 ισχύει: Μονάδες Στις παρακάτω ερωτήσεις να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με ένα μόνο στοιχείο της στήλης Β, ώστε να προκύπτουν ισότητες. Στη στήλη Β υπάρχει ένα επιπλέον στοιχείο. δ) ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β. P( A ) α. P( B) P( A B). P( B A) β P( ) γ. P( A) δ. ε) ΣΤΗΛΗ Α (, 0 ) ΣΤΗΛΗ Β Μονάδες. α.. β. 3. γ. δ. 45 Μονάδες

46 Α. Θεωρούμε την εξίσωση: 0 ( 0) και τη διακρίνουσά της 4. Να αποδείξετε ότι αν Δ>0, τότε η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες τις, ΘΕΜΑ Β Δίνεται η παράσταση: A 3 6, όπου ο είναι πραγματικός αριθμός. α) Να αποδείξετε ότι i) για κάθε, A 3 4 ii) για κάθε, A 8 3. Μονάδες 5 Μονάδες β) Αν για τον ισχύει ότι, να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η εξίσωση: Μονάδες 3 P( A) P( A B) 4 P( B) 0 (), όπου A και B ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. α) Ποια είναι η συνθήκη για το ενδεχόμενο A, ώστε η εξίσωση () να είναι εξίσωση ου βαθμού; β) Να λύσετε την εξίσωση (), αν είναι ου βαθμού. γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες. 46 Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 9 δ) Αν η εξίσωση () έχει μια διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ισοπίθανα. ΘΕΜΑ Δ Μονάδες 6 α) Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με περίμετρο Π = 34 cm και διαγώνιο δ=3 cm i) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι E= 60 cm Μονάδες 5 ii) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. Μονάδες 5

47 iii) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με εμβαδόν 40 8 cm. Μονάδες 5 cm και διαγώνιο Μονάδες 0 47

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα .497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε το άθροισμα (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων. Άλγεβρα Α Λυκείου. Το 4 ο Θέμα

Τράπεζα Θεμάτων. Άλγεβρα Α Λυκείου. Το 4 ο Θέμα Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Το 4 ο Θέμα Επιμέλεια: Γιάνναρος Β. Μιχάλης-Μαθηματικός Άσκηση 1 Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ . GI_A_ALG 474 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θεωρούμε την ακολουθία α των θετικών περιττών αριθμών:,3,5,7,... ν --. Να αιτιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. για να κάψει 360 θερμίδες είναι: f( x)

ΘΕΜΑ 4. για να κάψει 360 θερμίδες είναι: f( x) Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει 9 θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει 12 θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει 360 θερμίδες. α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

1η έκδοση Αύγουστος2014

1η έκδοση Αύγουστος2014 mat hemat i c a. gr η έκδοση Αύγουστος04 Μία παρέα διαδικτυακών μαθηματικών φίλων, μελών του http://www.mathematica.gr, μοιράστηκε την ευθύνη, να παρουσιάσει στην κοινότητα τις λύσεις των Μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ και ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Σε ένα σχολείο με 00 μαθητές, οι 90 έχουν ποδήλατο, 36 έχουν «παπί», ενώ 84 άτομα δεν έχουν ούτε ποδήλατο ούτε παπί. Διαλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012(Β ΣΕΙΡΑ) ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ :

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012(Β ΣΕΙΡΑ) ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2012(Β ΣΕΙΡΑ) ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΤΑΞΗ : Β ΧΡΟΝΟΣ : 2 ΩΡΕΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΤΜΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ Γ Ρ Α Π Τ Ε Σ Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/06/2014

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ Γ Ρ Α Π Τ Ε Σ Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/06/2014 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΛΕΜΕΣΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 Γ Ρ Α Π Τ Ε Σ Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ ΘΕΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/06/014 ΤΑΞΗ: Β ΧΡΟΝΟΣ: ώρες (10:15 1:15) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:..

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο α ) Ποια παράσταση καλείται μονώνυμο; Δώστε παράδειγμα. β ) Πότε δυο μονώνυμα είναι όμοια ; Δώστε παράδειγμα όμοιων μονωνύμων. γ ) Για ποιες τιμές των μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα