«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»"

Transcript

1

2 Η παρούσα Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την..από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από τους : Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή 1). (επιβλέπων Καθηγητής).... 2) )......

3 Η γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς: Ο ένας είναι το θεώρημα του Πυθαγόρα, ο άλλος είναι η διαίρεση μιας γραμμής σε μέσο και άκρο λόγο (Χρυσή Τομή). Τον πρώτο μπορούμε να τον συγκρίνουμε με ένα μέτρο χρυσού. Το δεύτερο μπορούμε να το ονομάσουμε πολύτιμο κόσμημα. Johannes Kepler

4 ΑΝΤΙ ΠΡΟΛΟΓΟΥ Η ενασχόλησή μου με την τέχνη ξεκίνησε «τυχαία» στα πλαίσια της εργασίας «Μαθηματικά και Ζωγραφική στην Αναγέννηση» του μαθήματος «Γεωμετρία για την διδακτική» με τον κ. Βασιλείου και συνεχίστηκε με την μελέτη του έργου του Erwin Panofsky «Η προοπτική ως συμβολική μορφή». Με προτροπή των διδασκόντων μου, σκέφτηκα να ψάξω περισσότερο την αμφιλεγόμενη από πολλούς σχέση Μαθηματικών και Τέχνης. Οι δυσκολίες πάρα πολλές οι μαθηματικοί δεν έχουν σχέση με την τέχνη, ενώ οι ζωγράφοι μάλλον αποποιούνται τα μαθηματικά ως «δύσκολα». Διάβασα Ιστορία Τέχνης, συνομίλησα με ιστορικούς τέχνης, αρχιτέκτονες, και τελικά κατέληξα στην λέξη κλειδί «ΑΝΑΛΟΓΙΑ» Μια έννοια άμεσα συνυφασμένη με τα μαθηματικά αλλά και με την τέχνη. Η παρούσα διπλωματική έχει ως βάση τα μαθηματικά, αλληλένδετα αλλά με διαφορετικές επιρροές μέσα στον χρόνο με την Τέχνη. Τι εννοούμε όμως με τον όρο Τέχνη; Την Ζωγραφική και την Αρχιτεκτονική, την Γλυπτική... Τα όρια δεν είναι προκαθορισμένα γι αυτό και μπλέκονται μεταξύ τους, διαμέσου των αιώνων. Προσπάθησα να τα βάλω σε τάξη καλύπτοντας μια ιστορική αναδρομή, να τα συσχετίσω και να βρω την «χρυσή τομή». Άλλωστε, «η ουσία των μαθηματικών είναι η ελευθερία τους», κατά τον Cantor. Ελευθερία να κατασκευάζουμε, ελευθερία να κάνουμε υποθέσεις. Θα ήθελα να επισημάνω πως σκοπός μου ήταν να παρουσιάσω μια ιστορική αναδρομή. Εννοείται πως υπάρχουν κενά σε κάποιες περιόδους εστίασα εκεί που θεώρησα σημαντικότερο και γι αυτό μερικά τμήματα απαιτούν περισσότερη ανάλυση. Έκανα μελέτη όλων των περιόδων αλλά στάθηκε πάρα πολύ δύσκολο δεδομένου ότι έπρεπε να μπουν όλα σε μια τάξη. Ναι, όλοι αποδέχονται πως τα μαθηματικά έχουν σχέση με την Τέχνη. Αλλά εμπεριστατωμένες απόψεις δεν βρέθηκαν πολλές. Απέφυγα ηθελημένα να προβώ σε προσωπικά συμπεράσματα αφήνοντας στον αναγνώστη μια ελευθερία άποψης. Ωστόσο όλες οι αναλύσεις είναι τεκμηριωμένες και αναλυμένες.

5 Επιπλέον, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Νεστορίδη που με εμπιστεύτηκε και με ενθάρρυνε όταν απογοητευόμουν. Είναι σπουδαίο να είσαι ειλικρινής και έντιμος, και πάνω απ όλα άνθρωπος. Είναι ο καθηγητής που ποτέ δεν εφησυχάζει και ενδιαφέρεται για ότι έχει σχέση με τα «καινούργια γνώση». Ο κ. Λάππας με προέτρεψε να κάνω μια ανάλυση στα Στοιχεία του Ευκλείδη και έτσι το μαθηματικό κομμάτι έγινε πιο σαφές. Με στήριξε εξαρχής σε αυτό το επιχείρημά μου δείχνοντάς μου την συμπαράστασή του και κατευθύνοντάς με στην βιβλιογραφία. Ο κ. Βασιλείου πάντα θα παραμένει ο δάσκαλος της Γεωμετρίας για εμένα, και ένας πολύ καλός συζητητής με ανήσυχο πνεύμα. Ήταν εκείνος που με «αφύπνισε» με την Προβολική Γεωμετρία, προπτυχιακά και μεταπτυχιακά, και τις προεκτάσεις της, μαθαίνοντάς μου πως δεν πρέπει ποτέ να αρκούμαι σε ότι ξέρω. Τον ευχαριστώ ιδιαιτέρως για την βοήθειά του και τις ουσιαστικές παρατηρήσεις και συμβουλές του στην παρουσίαση και διόρθωση της διπλωματικής. Δεν θα ξεχάσω να αναφέρω το «μαγικό ραβδί» του κ. Νεγρεπόντη που λειτούργησε καταλυτικά στην ενασχόλησή μου με τα Στοιχεία. Τον ευχαριστώ για την συμβουλή του, και ιδιαίτερα για τον χρόνο που μου διέθεσε. Ειδικότερα, θα ήθελα να πω ένα μεγάλο ευχαριστώ στον κ. Σταυρίδη, επίκουρο καθηγητή του Ε.Μ.Π. ο οποίος άνοιξε τους ορίζοντές μου και με μύησε στην μαγεία της Τέχνης δίνοντάς μου απλά κατευθυντήριες γραμμές. Πραγματικά, η διπλωματική αυτή εργασία θα ήταν μίζερη και ελλιπής χωρίς αυτόν. Τέλος, ευχαριστώ όσους βοήθησαν έμμεσα ή άμεσα και ιδιαίτερα τον αδερφό μου και τους μαθητές μου που θα είναι πάντα η κινητήρια δύναμή μου σε ότι κάνω.

6 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ ΕΝΑΣ ΙΣΤΟΡΙΚΟΣ ΚΑΙ ΕΙΚΑΣΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΜΕ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Βαζούρα Ελένη Υποβλήθηκε στο Πανεπιστήμιο Αθηνών στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών που απονέμει το τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, Ελλάδα Νοέμβριος, 2007

7 Βαζούρα Ελένη, 2007 ii

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΙΙ ΙΙΙ IV Εισαγωγή Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Α. Μαθηματική θεμελίωση 1 Β. Το Ευκλείδιο κείμενο 7 Βιβλίο Ι 8 Βιβλίο ΙI 9 Βιβλίο ΙII 16 Βιβλίο ΙV 22 Βιβλίο V 26 Βιβλίο VΙ 27 Βιβλίο VIΙ, VIII, IX 34 Βιβλίο X 35 Βιβλίο XΙ, XII 40 Βιβλίο XIIΙ 41 Γ. Συμπεράσματα Πεντάγωνο Παρατηρήσεις Θεώρημα ΧΙΙΙ-1 ως Στάδια της ανάπτυξης της ΔΜΑΛ στο 76 βιβλίο XIII ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ Α. Βασικά συστήματα αναλογιών 79 Β. Οι αρμονικές χαράξεις Μια παλιά θεωρία αρμονίας Αρμονικές αναλογίες Γεωμετρικές 83 χαράξεις 2. Αρμονικές χαράξεις Ο αριθμός φ και το ορθογώνιο φ Η 87 χρυσή τομή 4. Η χρυσή αναλογία 90 Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΩΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΩΝ ΡΥΘΜΩΝ Α. Εισαγωγή 93 Β. Η αναζήτηση μιας θεωρίας ανθρώπινων μετρήσεων 94 Γ. Η κλασσική θεωρία αναλογιών 103 Δ. Η βυζαντινή θεωρία αναλογιών 113 Ε. Αναγέννηση 135 ΣΤ. Συμπεράσματα 154 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΧΑΡΑΞΕΙΣ A. Εισαγωγή 157 Η έρευνα 158 v iii

9 Β. Η γεωμετρική χάραξη ως κάναβος του έργου τέχνης Triangulatur και Quadratur Ο κύκλος και τα κανονικά πολύγωνα Η ομοιότητα επιπέδων σχημάτων Αναλογίες εμβαδών 174 Γ. Η αριθμητική αναλογία 178 Δ. Συμπέρασμα 180 V VI ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ Α. Εισαγωγή 181 Β. Μεσαίωνας 182 Γ. Η πρώιμη Αναγέννηση 189 Δ. Ο 19 ος αιώνας 204 Ε. O 20 ος αιώνας 212 ΣΤ. Συμπέρασμα 231 ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Α. Εισαγωγή 233 Β. Μεσαίωνας 235 Γ. Πρώιμη Αναγέννηση 243 Δ. Αναγέννηση 255 Ε. Ζωγραφική του 19 ου αιώνα 258 ΣΤ. Σύγχρονη εποχή 267 Ζ. Συμπέρασμα 269 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Α Μετάφραση του βιβλίου του Erwin Panofsky, H προοπτική ως συμβολική μορφή ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Β Μετάφραση αποσπάσματος του βιβλίου του Bϋlent Atalay, MATH AND THE MONA LISA, The Art and Science of Leonardo Da Vinci ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 359 iv

10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το ότι η Τέχνη έχει κάποια μυστική, ιερή έννοια πολλοί κατά καιρούς το έχουν διαισθανθεί. Από όλες τις θεωρίες πιο ουσιαστική είναι η στενή σχέση της με την ομοιογένεια του ρυθμού του σύμπαντος, αφού η τέχνη δεν είναι τίποτα άλλο παρά ρυθμός. Στην ταξινόμηση της παρούσας διπλωματικής γεννήθηκε το ζήτημα αν έπρεπε τα καθαρά μαθηματικό-γεωμετρικά σχήματα να προηγηθούν ή να έπονται των φυσικό-οργανικών. Ίσως και οι δύο τρόποι να είναι εξίσου νόμιμοι. Ο ένας υποθέτει ότι ο Αριθμός προϋπάρχει των αντικειμένων είτε ως Θεϊκή σκέψη και πρότυπο, είτε και απλώς ως ένστικτο και ρυθμός του ανθρώπου. Ο άλλος φαντάζεται τον άνθρωπο να ανακαλύπτει σταδιακά διαμέσου της φύσης και της νόησής του πως ο νόμος του αριθμού δεσπόζει παντού. Αλλά ακόμα και αν δεχτούμε πως η γεωμετρία προϋπήρχε ως έμφυτο ένστικτο στην φύση του ανθρώπου, χρειάστηκε πολύς καιρός και καταβλήθηκε μεγάλη προσπάθεια για να μετατραπεί σε ενσυνείδητη λογική έννοια. Η ανακάλυψη λοιπόν της γεωμετρίας αποτελεί έναν σημαντικό θρίαμβο του ανθρώπου με τα στοιχεία και τον εαυτό του. Είναι σαν να βρήκε το κλειδί με το οποίο άνοιξε σταδιακά την «πόρτα» των δυνατοτήτων του αρκεί να σκεφτούμε πόσο δύσκολο είναι ακόμα και σε όσους είναι πιο ειδικευμένοι με τα γεωμετρικά σχήματα να αναλύσουμε για παράδειγμα τον ρυθμικό νόμο τον οποίο ακολουθεί η συνέχεια των κινήσεων ενός αντικειμένου. Είναι τελείως διαφορετικό να παρατηρείς «κάτι» με θαυμασμό, από το να σχεδιάζεις. Η διανοητική ικανότητα του σχεδιασμού υπαγορεύεται από τους νόμους της Γεωμετρίας. Έτσι λοιπόν γεννήθηκε η Γεωμετρία και γρήγορα εξελίχθηκε βασισμένη στις ανάγκες της ζωής. Γρήγορα σταθεροποιήθηκε στην μορφή πρακτικών κανόνων, λιγοστών στην αρχή και σιγά-σιγά περισσοτέρων. Οι κανόνες αυτοί εισήλθαν από την πείρα και την εφαρμογή μετρώντας και παραβάλλοντας 1. 1 Μια προσέγγιση του θέματος γίνεται στο κεφάλαιο «θεωρίες αρμονικών χαράξεων στην αρχιτεκτονική». v

11 Η γεωμετρία έχει μετατραπεί, από αδρομερής και πρακτική μορφή μετρήματος χωραφιών σε θεωρητική γνώση, οπότε εφαρμόσθηκε στην Αρχιτεκτονική και την τέχνη, με τη διατύπωση των αναλογιών των μερών μεταξύ τους και ως προς το σύνολο, τη σύνθεση καλλιτεχνικών έργων με βάση modulus (πρότυπα) και άλλα παρεμφερή μέσα. Τις μελέτες αναφορικά με το πρόβλημα των αναλογιών τις υποδέχονται εν γένει με δυσπιστία ή, στην καλύτερη των περιπτώσεων, με ελάχιστο ενδιαφέρον. Καμία από τις δύο αυτές στάσεις δεν προκαλεί έκπληξη. Η έλλειψη εμπιστοσύνης βασίζεται στο γεγονός ότι η έρευνα των αναλογιών υποκύπτει αρκετά συχνά στον πειρασμό της ερμηνείας των αντικειμένων σύμφωνα ακριβώς με τον ορισμό που τους έχει αποδοθεί. Η αδιαφορία επεξηγείται από την σύγχρονη, υποκειμενική άποψη ότι ένα έργο τέχνης είναι κάτι εντελώς παράλογο. Ένας σύγχρονος θεατής, που συνεχίζει να διατελεί υπό την επήρεια αυτής της Ρομαντικής ερμηνείας της τέχνης, αντιμετωπίζει με έλλειψη ενδιαφέροντος, αν όχι με δυσαρέσκεια, τον ιστορικό που του λέει ότι ένα λογικό σύστημα αναλογιών, ή ακόμα κι ένα σαφές γεωμετρικό σχήμα, υπόκειται σε αυτή ή εκείνη την αναπαράσταση. Παρόλα αυτά, η εξέταση της ιστορίας των κανόνων των αναλογιών ανταμείβει τον ιστορικό της τέχνης (υπό την προϋπόθεση ότι περιορίζει τον εαυτό του σε θετικά δεδομένα και είναι πρόθυμος να εργαστεί με ανεπαρκές, αντί με αμφιλεγόμενο υλικό). Είναι εξίσου σημαντικό να γνωρίζει εάν συγκεκριμένοι καλλιτέχνες ή περίοδοι της τέχνης είχαν την τάση ή όχι να τηρούν απαρέγκλιτα ένα σύστημα αναλογιών, όσο και τον τρόπο με τον οποίο η μέθοδος της επεξεργασίας τους ενέχει ουσιαστικό νόημα. Διότι θα ήταν σφάλμα να υποτεθεί ότι οι θεωρίες των αναλογιών αυτές καθαυτές είναι σταθερά ίδιες και απαράλλακτες. Υπάρχει μια θεμελιώδης διαφορά μεταξύ της μεθόδου των Αιγυπτίων και της μεθόδου του Πολύκλειτου, μεταξύ της διαδικασίας του Λεονάρντο και της διαδικασίας του Μεσαίωνα μια διαφορά τόσο μεγάλη και, πάνω από όλα, τέτοιου χαρακτήρα, που αντανακλά τις βασικές διαφορές μεταξύ της τέχνης της Αιγύπτου και της τέχνης της κλασικής αρχαιότητας, μεταξύ της τέχνης του Λεονάρντο και της τέχνης του Μεσαίωνα. Αν vi

12 προσπαθήσουμε, αναλογιζόμενοι τα ποικίλα συστήματα αναλογιών που μας είναι γνωστά, να κατανοήσουμε το νόημα τους αντί για την παρουσίαση τους, αν επικεντρωθούμε όχι στην λύση που καταλήξαμε όσο στον σχηματισμό του προβλήματος που ετέθη, θα αποκαλυφθούν ως εκφράσεις της ίδιας «καλλιτεχνικής πρόθεσης» (Kunstwollen) που πραγματώθηκε στα κτίρια, στα γλυπτά και στους πίνακες μιας δεδομένης περιόδου ή ενός δεδομένου καλλιτέχνη. Η ιστορία της θεωρίας των αναλογιών είναι η απεικόνιση της ιστορίας του ρυθμού. Επιπλέον, καθώς πιθανότατα κατανοούμε απόλυτα ο ένας τον άλλον όταν ασχολούμαστε με μαθηματικούς σχηματισμούς, δύναται ίσως να θεωρηθεί και ως απεικόνιση η οποία συχνά υπερβαίνει το πρωτότυπο του σε σαφήνεια. Κάποιος μπορεί να υποστηρίξει ότι η θεωρία των αναλογιών εκφράζει την συχνά πολύπλοκη έννοια του Kunstwollen κατά τρόπο σαφέστερο ή τουλάχιστον, ευκολότερο στον καθορισμό από την ίδια την τέχνη. Όπως αναμένεται λοιπόν θα εξετάσουμε την αναλογία σε διάφορες διαστάσεις και θα δούμε πότε και που χρησιμοποιείται η Χρυσή τομή και υπό ποιό πρίσμα. Αρχικά θα εξετάσουμε τα Στοιχεία του Ευκλείδη έπειτα θα ασχοληθούμε με την ιστορία της Θεωρίας των Ανθρώπινων αναλογιών ως απεικόνιση της ιστορίας των ρυθμών, και θα γίνει η πρώτη γνωριμία μας με την Τέχνη. Από εκεί θα περάσουμε στις γεωμετρικές χαράξεις και πως αυτές δημιουργήθηκαν και χρησιμοποιήθηκαν. Θα δούμε την επιρροή της στην Αρχιτεκτονική, όπου κρίνεται αναγκαίο, μέχρι τον Le Corbusier. Θα αναφέρουμε σαφώς την σημασία του πλαισίου ενός ζωγραφικού πίνακα και από εκεί θα δούμε που χρησιμοποιήθηκε η χρυσή τομή μέχρι την σύγχρονη εποχή, που εκφράστηκε μέσω του Κυβισμού. Σκοπός μας, είναι να γίνει μια ιστορική ανασκόπηση και όχι να προβούμε σε γενικά πάγια συμπεράσματα. Κάτι τέτοιο άλλωστε είναι δύσκολο και παρακινδυνευμένο όταν μιλάμε για Τέχνη. Υπάρχουν πολλές προεκτάσεις και διαφορετικές προσεγγίσεις για πτυχές του θέματος. Τα όποια συμπεράσματα προέκυψαν και γράφτηκαν είναι συγκεκριμένα και έχουν προκύψει έπειτα από ουσιαστική μελέτη. vii

13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Α. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ Ο ορισμός της μαθηματικής έννοιας η οποία βρίσκεται στο κέντρο όλων των συζητήσεων που περιέχονται σε αυτή τη μελέτη είναι παραπλανητικά εύκολος. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια ευθεία ΑΒ την οποία επιθυμούμε να διαιρέσουμε σε ένα σημείο C. Υπάρχουν φυσικά πολλοί τρόποι για να γίνει αυτό, αλλά το θέμα που μας ενδιαφέρει εμφανίζεται όταν το σημείο διαίρεσης C είναι τέτοιο που όσον αφορά στο μεγαλύτερο και το μικρότερο τμήμα και σε ολόκληρη την ευθεία, έχουμε μία σταθερότητα στους λόγους που εμφανίζονται με την έννοια ότι ολόκληρη η ευθεία : μεγαλύτερο τμήμα = μεγαλύτερο τμήμα : μικρότερο τμήμα, ή AB = AC (βλ. Σχήμα Ι.1) AC CB Σχήμα Ι.1 Εάν η ευθεία έχει διαιρεθεί με αυτόν τον τρόπο τότε η ορολογία που χρησιμοποιείται είναι ότι «η ευθεία έχει διαιρεθεί σε μέσο και άκρο λόγο». Πράγματι, αυτή ακριβώς είναι η ορολογία στον τρίτο ορισμό του Βιβλίου VI των Στοιχείων του Ευκλείδη (300 π.χ.). Πιο κάτω στο Βιβλίο VI (Θεώρημα VI-30), βρίσκουμε την περιγραφή της γεωμετρικής διαίρεσης μιας ευθείας σε μέσο και άκρο λόγο. Αν αυτό ήταν το μοναδικό που αφορά στον μέσο και άκρο λόγο στον Ευκλείδη, η ιστορία μας τουλάχιστον το πρώτο μέρος της θα ήταν σύντομη. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια και τα ιστορικά προβλήματα, πρέπει να επιστρέψουμε από το Βιβλίο VI που περιλαμβάνει εφαρμογές της θεωρίας αναλογιών που αναπτύσσεται από 1

15 το Βιβλίο V στο Βιβλίο II το οποίο έχει μια σειρά από προτάσεις σχετικές με τετράγωνα, ορθογώνια και τρίγωνα. Εκεί στο Θεώρημα ΙΙ-11 βρίσκουμε μία κατασκευή η οποία ενώ δηλώνεται με όρους εμβαδών, στην πραγματικότητα ορίζει επίσης την διαίρεση μιας ευθείας σύμφωνα με την διαίρεση σε μέσο και άκρο λόγο: «Να αποκοπεί δοθείσα ευθεία γραμμή έτσι ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου που περιέχεται από όλη την ευθεία και ένα από τα τμήματα, να είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου στο εναπομείναν τμήμα». Σχήμα Ι.2 Με όρους του Σχήματος Ι.2 οι απαιτήσεις του θεωρήματος δηλώνουν ότι το τετράγωνο ACDE με πλευρές ίσες με AC πρέπει να έχει το ίδιο εμβαδόν με το ορθογώνιο με πλευρές AB, CB. Με σύγχρονο συμβολισμό, μπορούμε να γράψουμε αυτή την απαίτηση ως ACiAC= ABCB i. Αυτό με τη σειρά του είναι ισοδύναμο με το AB AC = AC CB ή AB: AC = AC: CB (δηλαδή με τον ορισμό της διαίρεσης σε μέσο και άκρο λόγο). Γιατί υπάρχουν δύο κατασκευές (πρόταση ΙΙ-11 και πρόταση VI- 30) που οδηγούν στο ίδιο σημείο διαίρεσης; Ένας λόγος είναι, όπως δηλώσαμε προηγουμένως, ότι το Βιβλίο VI περιλαμβάνει την θεωρία των αναλογιών η οποία εισάγεται μόνο στο Βιβλίο V και γι αυτό δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στο Βιβλίο II. Αλλά αυτό απλά ξεπερνά το 2

16 πραγματικό ερώτημα που είναι γιατί η Διαίρεση σε Μέσο και Άκρο Λόγο (ΔΜΑΛ) εισάγεται για πρώτη φορά. Αυτό που μπορεί να απαντηθεί εδώ είναι το ερώτημα: Που χρησιμοποιείται η έννοια ΔΜΑΛ στα ίδια τα Στοιχεία; Η πρώτη θέση είναι στο Βιβλίο IV και για αυτό πρέπει να περιλαμβάνει μάλλον τον ορισμό εμβαδού ΙΙ-11 παρά τον ορισμό αναλογίας VI, ορισμός 3 ο οποίος έχει σαν θέμα του την κατασκευή κάποιων κανονικών πολυγώνων. Το Θεώρημα IV ειδικότερα αφορά στην κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου. Σχήμα Ι.3 Δεδομένου ότι σκοπός μας είναι να δείξουμε σύντομα γιατί η ΔΜΑΛ εισέρχεται στην κατασκευή του πενταγώνου, θα μιλήσουμε για πραγματικές γωνίες και όμοια τρίγωνα. Αυτό πάντως, δεν είναι αυτό που βρίσκουμε στον Ευκλείδη, όπου τα πραγματικά μεγέθη των γωνιών δεν αναφέρονται ποτέ και η θεωρία των όμοιων τριγώνων αναπτύσσεται μόνο στο Βιβλίο VI. Εάν κοιτάξουμε τώρα στο σχήμα Ι.3a βλέπουμε ότι το κανονικό πεντάγωνο θα καθοριστεί από το τρίγωνο που 3

17 σχηματίζεται από τις δύο παρακείμενες διαγώνιους. Αυτή η παρατήρηση είναι η βάση της κατασκευής του IV-11, ενώ το ίδιο το τρίγωνο κατασκευάζεται στο IV-10. Εάν διχοτομήσουμε μία από τις 72 ο γωνίες βάσης (σχήμα Ι.3b) βλέπουμε ότι το μικρό τρίγωνο DCB που σχηματίζεται έτσι, θα είναι επίσης ένα σειρά του σημαίνει ότι τα τρίγωνα τρίγωνο. Αυτό με τη ABD και DCB είναι ανάλογα: AB DB =. Αλλά τα τρίγωνα είναι ισοσκελή, που σημαίνει ότι DB BC DB = DC = AC. Η αναλογία γίνεται έτσι, AD AC =, το οποίο είναι AC BC ακριβώς η απαίτηση η ευθεία AB να διαιρεθεί σε μέσο και άκρο λόγο στο C. Εάν τώρα εξετάσουμε τα υπόλοιπα των Στοιχείων βρίσκουμε ότι εκτός από μερικές ευθείες χρήσεις του πενταγώνου στα IV-12 και IV-16 ούτε η ΔΜΑΛ ούτε το πεντάγωνο εμφανίζονται εκτός από τον ορισμό του λόγου και τη κατασκευή στο Βιβλίο VI- μέχρι το Βιβλίο XIII. Εδώ βρίσκουμε μια σειρά αποτελεσμάτων που εμπεριέχουν την ΔΜΑΛ, ιδιοτήτων του πενταγώνου ειδικά το αποτέλεσμα του XIII-8 ότι οι διαγώνιοι του κανονικού πενταγώνου τέμνονται σε μέσο και άκρο λόγο με το μεγαλύτερο τμήμα να είναι η πλευρά του πενταγώνου και στη συνέχεια η κατασκευή του εικοσάεδρου και του δωδεκάεδρου που και οι δύο περιλαμβάνουν το πεντάγωνο και την ΔΜΑΛ. Έτσι, από μία πρώτη σύντομη ματιά βλέπουμε ότι στα Στοιχεία τουλάχιστον η έννοια της ΔΜΑΛ συνδέεται στενά με τη κατασκευή του πενταγώνου και των σχετιζόμενων στερεών, χωρίς να αναφέρει πότε παρουσιάστηκε αρχικά. Η δυσκολία αυτού φαίνεται αν επιστρέψουμε στον ορισμό εμβαδού της ΔΜΑΛ που υπάρχει στο Θεώρημα 11 του Βιβλίου ΙΙ (Σχήμα Ι.2). Όπως αναφέραμε πριν, το Βιβλίο II έχει προτάσεις που αφορούν στα εμβαδά ορθογωνίων και τετραγώνων. Για να δείξουμε τη φύση του με περισσότερη ακρίβεια ας κοιτάξουμε το Θεώρημα ΙΙ-6 το οποίο, μαζί με το Πυθαγόρειο θεώρημα, χρησιμοποιείται για την απόδειξη του ΙΙ-11. 4

18 Στο σχήμα Ι.4 η δοθείσα ευθεία AB της οποίας το μέσο είναι το C προεκτείνεται σε ένα αυθαίρετο σημείο D. Σχεδιάζουμε τα τετράγωνα IV και V με πλευρές CB και BD αντίστοιχα, και αυτά με τη σειρά τους καθορίζουν τις πλευρές των ορθογωνίων I, II, και III. Έστω ότι κοπούν αυτά τα κομμάτια και παρατηρηθεί το μεγάλο ορθογώνιο στο πάνω μέρος που φτιάχνεται από τα I, II, και V. Εάν μετακινηθεί το II να καλύψει το III, και μετά μετακινηθεί το Ι ώστε να αντικαταστήσει το ΙΙ, αφήνοντας το V εκεί που είναι, το μεγάλο ορθογώνιο έχει μετασχηματιστεί στο μεγάλο τετράγωνο, εκτός από το τετράγωνο IV. Αυτό είναι και το μοναδικό επιχείρημα στην απόδειξη του II-11, του οποίου η πρόταση απλά βάζει μαζί ότι ακριβώς ειπώθηκε: εμβαδόν (ορθογωνίου με πλευρές AD και DB) + εμβαδόν (τετραγώνου με πλευρά CB) = εμβαδόν (τετραγώνου με πλευρά CD). Σχήμα Ι.4 Ας επισημάνουμε, πως παρά την απλότητα του θεωρήματος, διάφοροι συγγραφείς νόμιμα αναρωτήθηκαν μήπως υπάρχει και κάτι παραπάνω από το προφανές σε αυτό. Στη συνέχεια έδειξαν ότι η ΙΙ-6 μπορεί να θεωρηθεί με όρους αλγεβρικών ταυτοτήτων, ισοτήτων και αριθμητικών εννοιών. Το ίδιο αληθεύει για άλλα αποτελέσματα του Βιβλίου II και αλλού στα Στοιχεία, και ειδικά του ΙΙ-11 το οποίο, όπως είδαμε, ουσιωδώς εμπεριέχει την ΔΜΑΛ. Για αυτό, προκειμένου να 5

19 διερευνήσουμε τις απαρχές της ΔΜΑΛ, πρέπει να πάρουμε υπόψη μας όλες αυτές τις διάφορες θεωρίες και τα συμπεράσματα τους Βέβαια, η ιστορία δεν τελειώνει με τα Στοιχεία, γιατί η έννοια της ΔΜΑΛ συνέχισε να παίζει ένα σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των μαθηματικών. Μία πτυχή ιδιαίτερου ενδιαφέροντος είναι η αριθμητική τιμή που σχετίζεται με την ΔΜΑΛ. Εάν πάρουμε μία αυθαίρετη ευθεία και την διαιρέσουμε σε μέσο και άκρο λόγο με το μεγαλύτερο τμήμα ως x 1 1 και ολόκληρη την ευθεία ως x (Σχήμα Ι.5) τότε ο ορισμός δίνει = 1 x 1 ή x 2 x 1= 0. Η θετική ρίζα αυτής της εξίσωσης δεύτερου βαθμού είναι η το οποίο είναι κατά προσέγγιση 1,618. Σχήμα Ι.5 Η έκθεση που θα γίνει παρακάτω αφιερώνεται αποκλειστικά στη παρουσίαση του Ευκλείδειου κειμένου και δεν παίρνει υπόψη της κανένα εξωτερικό μαθηματικό ή ιστορικό υλικό. Όσον αφορά στις ίδιες τις αποδείξεις χρησιμοποιούμε ποικίλες προσεγγίσεις. Για τα αποτελέσματα κλειδιά -όπως ΙΙ-11, ΙV-10, ΙV-11 XII-8- που έχουν καταλυτικό ρόλο, έχουμε δώσει τις πλήρεις αποδείξεις όπως στον Ευκλείδη, εκτός από το ότι μερικές φορές αλλάξαμε την εσωτερική σειρά για να είναι πιο κατανοητό το κείμενο. Για άλλα αποτελέσματα, μερικές φορές δώσαμε μία σκιαγράφηση της απόδειξης. Στην περίπτωση του ΧΙΙΙ-13 βάλαμε μαζί υπό τον αριθμό ΧΙΙΙ,13 το λήμμα του δεύτερου και το σχετικό αποτέλεσμα το οποίο χρησιμοποιείται αλλά δεν δηλώνεται ρητά ποτέ. Στο δεύτερο κομμάτι αναλύουμε τι κάνει και τι δεν κάνει ο Ευκλείδης στον χειρισμό της ΔΜΑΛ. Διερευνώντας το Ευκλείδειο κείμενο 6

20 με λεπτομέρεια, μπορούμε να σχηματίσουμε μερικές ιδέες για την καταγωγή της έννοιας της ΔΜΑΛ. Β. ΤΟ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΚΕΙΜΕΝΟ Όπως αναφέρθηκε στην αρχή, η μελέτη της ΔΜΑΛ έπρεπε να ξεκινήσει με μία λεπτομερή ανάλυση του Ευκλείδειου κειμένου και για αυτόν θα ήταν καλύτερα να συγκεντρωθούν όλα τα σχετικά θεωρήματα. Όπως θα φανεί, έχουν παραλειφθεί τα περισσότερα θεωρήματα ισότητας και ομοιότητας καθώς και κάποια άλλα αποτελέσματα που δεν έχουν κάποιο σημαντικό ρόλο. Τα διαγράμματα ακολουθούν αυτά της κριτικής έκδοσης των Euclid-Ηeiberg εκτός από το ότι τα ελληνικά γράμματα έχουν αντικατασταθεί από τις λατινικές εκδοχές τους όπως στον Euclid-Ηeath. Αυτό έχει γίνει για να διευκολυνθεί η σύγκριση. Έχει πάντως ακολουθηθεί η κύρια ένδειξη αυτής της έκδοσης προσδιορίζοντας τα τετράπλευρα με τέσσερα γράμματα αντί για δύο, παρόλο που μερικές φορές χωρία προσδιορίζονται απλά με λατινικά αριθμητικά. Τα αποτελέσματα ακολουθούνται από ένα μερικό κατάλογο αυτών των θεωρημάτων των Στοιχείων στα οποία χρησιμοποιούνται. Μερικές φορές δίνεται μόνο μια αναφορά σε ένα βιβλίο μια ακολουθία τριών τελειών δείχνει ότι ο κατάλογος δεν είναι πλήρης. Σε μερικές περιπτώσεις έχουμε δώσει επίσης ένα μερικό κατάλογο των κύριων αποτελεσμάτων που χρησιμοποιούνται στην απόδειξη. Για όλους αυτούς τους καταλόγους έχω ακολουθήσει, με μερικές διορθώσεις και προσθήκες, τους καταλόγους που υπάρχουν στο Euclid Frajese. Δεν έχει γίνει μεθοδική σύγκριση με άλλους καταλόγους και ενδείξεις όπως αυτές που δίνονται στα Euclid-Peyrard, Euclid-Heiberg, Euclid-Heath, Neuenschwander [1972,1973], Mueller [1981], παρόλο που χρησιμοποιούνται και αυτά για διάφορα αποτελέσματα. 7

21 ΒΙΒΛΙΟ Ι. Το βιβλίο περιέχει μερικά βασικά αποτελέσματα που αφορούν ευθείες, τρίγωνα και παραλληλόγραμμα. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι,32. Σε κάθε τρίγωνο μία εξωτερική γωνία είναι το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ισούται με δύο ορθές γωνίες. Χρησιμοποιείται σε: IV- 10, XIII- 8, 9, 10, 11,και 18 λήμμα... ΘΕΩΡΗΜΑ Ι,42 (ένας μετασχηματισμός του αποτελέσματος εμβαδού). Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο του οποίου δίνεται η μία γωνία και του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το εμβαδόν δοθέντος τριγώνου. Χρησιμοποιείται σε: Ι- 44, 45 ΘΕΩΡΗΜΑ Ι,43 (παραπληρώματα). Σε (ορθογώνιο) παραλληλόγραμμο ABCD φέρνουμε διαγώνιο AC, και έστω Κ τυχαίο σημείο της διαγωνίου. Τότε τα δύο παραλληλόγραμμα που σχηματίζονται εκατέρωθεν της διαγωνίου-τα οποία ονομάζει παραπληρώματα είναι ισοεμβαδικά. Σχήμα Ι.6 Χρησιμοποιείται σε: Ι-44, ΙΙ-4, 5, 6, 7, 8, VI-27, 28, 29, X, XIII-1, 2, 3,4, 5. 8

22 Σημείωση: Η Ι-43 είναι σημαντική γιατί εμφανίζεται η έννοια του γνώμονα η οποία είναι Πυθαγόρεια, και αποτελεί σύνδεση των βιβλίων I και II, δεδομένου ότι ο ορισμός του γνώμονα είναι ο όρος 2, στο βιβλίο II. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι,44 (μία εφαρμογή του αποτελέσματος των εμβαδών). Να κατασκευαστεί (να εφαρμοστεί) σε δοθείσα ευθεία ένα παραλληλόγραμμο με τους περιορισμούς ότι μια γωνία δίνεται και ότι το εμβαδόν είναι ίσο με το εμβαδόν δοθέντος τριγώνου. Χρησιμοποιείται σε: Ι-45, VI-25, X, XIII. Σημείωση : Γίνεται πρωτογενής εφαρμογή του 5 ου αιτήματος. ΘΕΩΡΗΜΑ Ι,45 (ένας μετασχηματισμός του αποτελέσματος των εμβαδών). Να κατασκευαστεί ένα παραλληλόγραμμο του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με τον εμβαδόν δοθέντος ευθυγράμμου σχήματος. Χρησιμοποιείται σε: ΙΙ-14, VI-25, X (27 φορές) ΘΕΩΡΗΜΑ Ι,47 (Πυθαγόρειο Θεώρημα). Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα BC και πλευρές AB και AC, κατασκευάζουμε τετράγωνα με τις παραπάνω πλευρές, ώστε το τετράγωνο της υποτείνουσας να ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών. Χρησιμοποιείται σε: ΙΙ-9,10,14, ΙΙΙ-36, ΧΙΙΙ ΒΙΒΛΙΟ II. Η καταγωγή, το περιεχόμενο και το νόημα των αποτελεσμάτων σε αυτό το βιβλίο έχουν αποτελέσει αντικείμενο πολλών αντικρουόμενων απόψεων. Στην παρούσα φάση δεν θα επεκταθούμε παρά μόνο όπου κρίνεται απαραιτήτως αναγκαίο. Κατά τον Van Der Waerden, είναι η «Γεωμετρική Άλγεβρα». Οι αποδείξεις των προτάσεων στηρίζονται μόνο 9

23 στις και στην 46 του Βιβλίου I. Αναφέρουμε επίσης ότι σ αυτό το βιβλίο παρουσιάζεται μια πρώτη μορφή ασυμμετρίας. ΟΡΟΣ 2. Δίνεται ο ορισμός του γνώμονα, ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στο Θεώρημα Ι,43 (δηλαδή τα δύο παραπληρώματα ως προς τη διαγώνιο μαζί με ένα από τα παραλληλόγραμμα καλούνται γνώμων). Χρησιμοποιείται σε: ΙΙ-5,6, VΙ-27,28,29, ΧΙΙΙ-1,2,3,4... ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ,1. Στο διάγραμμα έστω D και E αυθαίρετα σημεία διαίρεσης της ευθείας BC. Τότε το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων I, II, III ισούται με το εμβαδόν του (ορθογωνίου) παραλληλογράμμου με πλευρές BC και BG. Σχήμα Ι.7 Δεν χρησιμοποιείται ποτέ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ,2. Έστω ΑΒ όποια ευθεία και σε αυτή σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο. Εάν C είναι ένα αυθαίρετο σημείο διαίρεσης της ΑΒ τότε το εμβαδόν του τετραγώνου πλευράς ΑΒ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων I και II (Σχήμα Ι.8). 10

24 Σχήμα Ι.8 Χρησιμοποιείται σε: XIII-10 και πεπλεγμένα στο I-47. Σημείωση: Η απόδειξη δεν χρησιμοποιεί το ΙΙ-1. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ,4. Σε δοθέν τετράγωνο πλευράς a+ b, φέρνουμε την διαγώνιο. Από τυχαίο σημείο διαίρεσης σχηματίζουμε τα παραπληρώματα ab. Τότε το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά την a+ b ισούται με το άθροισμα του 2 τετραγώνου πλευράς a και με τον γνώμονα ( 2ab + b ). Σχήμα Ι.9 Χρησιμοποιεί: Τον όρο 2 και το θεώρημα Ι,43. Χρησιμοποιείται σε: ΙΙ-12, ΙΧ, Χ, XIII, λήμμα 2 11

25 ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ,5 (κατ έλλειψιν). Έστω AB ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο διαιρείται σε δύο άνισα τμήματα AD και DB και C το μέσο του AB. Τότε το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου, πλευράς CB, ισούται με το άθροισμα των εμβαδών του τετραγώνου πλευράς CD και του ορθογωνίου με πλευρές AD και DH. Σχήμα Ι.10 Σημείωση: Είναι I = II + III δεδομένου ότι το C είναι μέσο. Επίσης από την I-43 θα είναι II = IV(παραπληρώματα). Χρησιμοποιείται σε: II-14, III-35, X-17, Λήμμα 41 και 59. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ,6 (καθ υπερβολήν). Έστω AB μία ευθεία γραμμή και C το μέσο της. Προσθέτουμε άλλη μια ευθεία γραμμή BD στην AB. Τότε το εμβαδόν του τετραγώνου πλευράς CD ισούται με το άθροισμα του τετραγώνου πλευράς CB και του ορθογωνίου με πλευρές AD και DM. 12

26 Σχήμα Ι.11 Χρησιμοποιείται σε: II-11, III-36, X-28, Λήμματα 1,2. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ,9. Έστω ευθεία AB και C το μέσο της. Έστω D ένα αυθαίρετο σημείο της AB διαφορετικό από το C. Τότε το άθροισμα των τετραγώνων με πλευρές AD και DB αντίστοιχα, ισούται με διπλάσιο του αθροίσματος των τετραγώνων με πλευρές AC και CD αντίστοιχα. Σχήμα Ι.12 Δεν χρησιμοποιείται ποτέ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ,10. Έστω AB μία ευθεία με C το μέσο της. Έστω ότι το τμήμα BD προστίθεται στο AB. Τότε το άθροισμα των τετραγώνων που ορίζονται από τις πλευρές AD και DB, ισούται με το διπλάσιο του αθροίσματος των τετραγώνων που ορίζονται από τις πλευρές AC και CD. 13

27 Σχήμα Ι.13 Δεν χρησιμοποιείται ποτέ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΙ,11 (Διαίρεση Τμήματος σε Μέσο και Άκρο Λόγο- Χρυσή Τομή- Διατύπωση μέσω εμβαδού). Να διαιρεθεί δοθείσα ευθεία AB σε δύο τμήματα, ένα μεγαλύτερο AH και ένα μικρότερο HB έτσι ώστε το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς AB να ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου πλευρών AB και BH. Σημείωση: Ενώ η εικόνα που συμπεραίνουμε είναι αυτή του σχήματος Ι.14a, εντούτοις το σχήμα στο Ευκλείδειο κείμενο είναι το Ι.14b. Σχήμα Ι.14a Απόδειξη: (Βάσει Σχήματος Ι.14b). Κατασκευάζουμε τετράγωνο ABDC και έστω E το μέσο του AC. Θεωρείστε σημείο F στην προέκταση της EC τέτοιο ώστε FE μετά κατασκευάστε τετράγωνο AFGH. Αφού το E είναι το μέσο της = EB και και το AF προστίθεται στο AC, βάσει της II-6 έχουμε ότι: AC 14

28 (, ) ( ) ( ) ( ) R CF FA + S AE = S EF = S BE 2. Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα (I-47), S( BE) = S( AE) + S( AB) έτσι ώστε όταν αφαιρέσουμε το S( AE ) έχουμε: (. ) S ( AB) R CF FA =. Σχήμα Ι.14b Με όρους των αριθμημένων χωρίων, η τελευταία ισότητα μπορεί να γραφεί I + II = II + III έτσι ώστε αφαιρώντας III=R(AH,HK) έχουμε S(AH) = R(BD,HB) = R(AB,HB). Αυτή δείχνει ότι το H είναι το ζητούμενο σημείο διαίρεσης. Χρησιμοποιεί τις : Ι-47, ΙΙ-6. Χρησιμοποιείται σε: ΙV-10. ΘΕΩΡΗΜΑ II,14 (Ένας μετασχηματισμός του αποτελέσματος του εμβαδού). Να κατασκευαστεί τετράγωνο που οποίου το εμβαδόν είναι ίδιο με αυτό δοθέντος ορθογώνιου σχήματος. Χρησιμοποιεί τις : I-45, Ι-47. Χρησιμοποιείται σε: Βιβλίο X (5 φορές) 2 Το R συμβολίζει το γινόμενο των τμημάτων που αναφέρονται μέσα στην παρένθεση. Το S συμβολίζει το εμβαδόν που σχηματίστηκε από την ευθεία που αναφέρεται στην παρένθεση. Στο Ευκλείδειο κείμενο γράφει «τετράγωνο στην ευθεία». 15

29 ΒΙΒΛΙΟ III. Αυτό το βιβλίο ασχολείται με τις ιδιότητες των κύκλων. ΘΕΩΡΗΜΑ III,20. Έστω Β και C δύο σημεία στη περιφέρεια ενός κύκλου. Έστω επίκεντρη γωνία και έστω BOC η BAC μια εγγεγραμμένη γωνία, όπου A τυχαίο σημείο στην περιφέρεια του κύκλου. Τότε BOC = 2 BAC Χρησιμοποιείται σε: III-27, VI-33 Σχήμα Ι.15 Το σχήμα αναφέρεται στα θεωρήματα III-20,26,27,28,29 16

30 ΘΕΩΡΗΜΑ III,26. Έστω BC και EF τόξα ίσων κύκλων. Υποθέτουμε ότι οι επίκεντρες γωνίες BOC και EOF είναι ίσες. Τότε τα τόξα BC και EF είναι ίσα. Το ίδιο ισχύει εάν οι εγγεγραμμένες γωνίες BAC και EDF είναι ίσες. Χρησιμοποιείται σε: III-27,28, IV-11, XIII-10 Σημείωση: Η πρόταση λέει ότι τα τόξα θα είναι ίσα εάν όποιες γωνίες, είτε οι επίκεντρες είτε οι εγγεγραμμένες είναι ίσες. Στο IV-11 χρησιμοποιείται η ισότητα των εγγεγραμμένων γωνιών ενώ στο XIII-10 χρησιμοποιείται η ισότητα των επίκεντρων γωνιών. Πάντως για κάποιο λόγο η απόδειξη του III-26 υποθέτει ότι και οι επίκεντρες και οι εγγεγραμμένες γωνίες είναι ίσες. Αυτό δεν φαίνεται να παρατηρήθηκε στα διάφορα σχόλια. ΘΕΩΡΗΜΑ III,27. Εάν τα τόξα είναι ίσα τότε οι γωνίες είναι ίσες. Χρησιμοποιείται σε: III-29, IV-11, VI-33 ΘΕΩΡΗΜΑ III,28. Σε δύο ίσους κύκλους εάν οι χορδές CB και EF είναι ίσες τότε το τόξο CB είναι ίσο με το τόξο EF. Χρησιμοποιείται σε: XIII,8 ΘΕΩΡΗΜΑ III,29. Σε δύο ίσους κύκλους εάν τα τόξα CB και EF είναι ίσα τότε οι χορδές CB, EF είναι ίσες. Χρησιμοποιείται σε: IV-11, XIII-10 ΘΕΩΡΗΜΑ III,32. Έστω BC τόξο ενός κύκλου και BF η εφαπτομένη στο σημείο B. Έστω D ένα σημείο σε αυτό από τα δύο τόξα που ορίζεται από το B και C σημείο που δεν περιλαμβάνεται στην είναι ίσες. CBF, τότε οι BDC και FBC 17

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 1 Νοεμβρίου 2014. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms.

GREEK MATHEMATICAL SOCIETY Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 3616532-3617784 - Fax: 3641025 e-mail : info@hms.gr www.hms. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 17 Ιανουαρίου 015 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 7 49 3 4 3 6 11 Υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Α= + + : 3 9 7 3 5 10 Πρόβλημα Μία οικογένεια αγόρασε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα