(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)"

Ἀναίτις Θεοδοσίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () () (). 0. α) ωνία Κ + γωνία 180. Θ (Κ) γα Άρα 1 () γα Λ Ι ( Κ γ, α). Κ βγ Άρα (Κ) () ( γ). βγ βγ Όµοια βρίσκουµε (Ι), (ΛΘ) β) (ΚΛΘΙ) () + (ΚΛ) + (ΙΘ) + () + (Κ) + (Ι) + βγ (ΛΘ) + γ + β + α βγ βγ βγ α + β + γ + βγ α + (β + γ) ή (ΚΛΘΙ) α + βγ (α + βγ). 1

2 1. α) A + A 180. Άρα (EAH) () γβ 1. γβ β) () () + () + () + () γβηµ0 + γ B A 0 β γβηµ150 + γ + β γβ + γ + β. α) φού τρίγωνο H ισοσκελές, τότε υ (1) και υ. φού στο τρίγωνο, A 0, τότε υ υ και AB υ () πό (1), () έχουµε: + υ + β) υ + 6 γ) υ 1,, υ 1 υ + 6 υ,, υ υ

3 . α) Τα τρίγωνα και έχουν κοινή την γωνία. () Άρα () και 1. () Άρα () E 1, όµως AB Όµοια βρίσκουµε () 1 (), άρα () () () και () β) () () - () - () - () α) () ηµ10 18 cm β) Τα τρίγωνα και έχουν κοινή την γωνία. () Άρα () E A 6 π όπου () () cm 5. α) Τα τρίγωνα Μ και Μ έχουν κοινό ύψος, έστω υ, από την κορυφή Μ. Έτσι: (BM) (Μ) υ υ. γ β Μ γ 1 Όµως β (1) (θεώρηµα διχοτόµων στο, µε διχοτόµο της γωνίας ) (BM) 1 Άρα (Μ) 15

4 (M) β) () Μ () Όµως από την (1) έχουµε: + 1 +,, () (M) Έτσι, από τις (), () έχουµε: () A B 1 6. (Ο) κύκλου) AB ρ ρ (Ο), (Ο) B ρ (Ο) (ρ ακτίνα εγγεγραµµένου A ρ AB + (Ο) + (Ο) ρ (Ο) + (Ο) Όµως + + (), A + Άρα, από (1) και () έχουµε (Ο) + (Ο) (Ο) + (Ο) ρ (1) Σηµείωση: απόδειξη της () είναι απλή λόγω της ισότητας των εφαπτόµενων προς τον κύκλο από σηµείο εκτός αυτού. 7. α) (Θ) (Θ) - () (1) και () () - () () Όµως (Θ) (), διότι έχουν κοινή βάση την και ίσα ύψη από τις κορυφές και Θ την απόσταση των παραλλήλων και. Άρα, από (1), () έχουµε (Θ) () 16

5 β) (Θ) (Θ) + (Θ) () Όµως στο ερώτηµα (α) αποδείξαµε ότι (Θ) () (4) και µε όµοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι (Θ) () (5) Άρα η () λόγω των (4), (5) γίνεται: (Θ) () + () 8. α) Το είναι τραπέζιο (γενικά). Άρα: Z + E Μ. Z + E Άρα () υ Μ υ (1) β) Όµοια µε το ερώτηµα (α) αποδεικνύεται ότι () ΜΘ υ () Όµως ΜΘ Μ () υ Άρα από τις (1), (), () έχουµε: () () // // Μ Θ 9. α) () (Θ) + (Θ). Όµως τα τρίγωνα Θ και Θ έχουν κοινή βάση τους Θ ύψη α - β β) () () υ, άρα () υ 1 (α - β) 4 υ α - β α - β α + β + α EZ + α υ α + β 8 Άρα () - () και ίσα υ 1 + υ. Όµοια () α - β 4 α + β υ υ () β + α 8 υ α + β υ ή 4 υ. 17

6 40. α) , άρα α β + γ Άρα ορθογώνιο στο. β) Τα τρίγωνα (), () είναι όµοια. β γ (AB) γ 15 Άρα: () β 8 1 α 41. Τα τρίγωνα και είναι όµοια. Άρα () Μ 4. () 9 φού () 90 cm, τότε () cm 4. α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα διότι έχουν: i) BB ii) iii) Άρα. 1 Όµοια, άρα το είναι παραλληλόγραµµο. β) ( ) 1, άρα έχουµε () Άρα: ( ) () Όµοια: ( ). Έτσι έχουµε: ( ) () + ( ) + ( )

7 4. Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν κοινή βάση Ο και ίσα ύψη υ από τις κορυφές και (η ισότητα των υψών είναι προφανής λόγω της ισότητας των αντιστοίχων ορθογωνίων τριγώνων που σχηµατίζονται από τα ύψη και τις πλευρές, του παραλληλογράµµου ), άρα είναι ισοδύναµα. 44. ίναι τρίγωνα. Άρα και (αφού ορθογώνιο παραλληλόγραµµο). Άρα + + (1) () () υ υ ( ) υ + υ υ + υ () + υ + ( 1) υ 45. α + v + V 60 (1) v + V () πό την (1) λόγω της () έχουµε α 0, άρα α 10 m. α 8 v α Στο H έχουµε α +,, 6 m Θ Όµως Θ, άρα v α 40,, v 14 m Άρα V m. V 19

8 46. φού Ο Ο A Ο Ο α) Ο Ο ή Ο Ο - Ο Ο Ο - Ο - ή Ο Ο 0, απ όπου Ο 1 cm, Ο 16 cm. 50 φού , τότε τρίγωνο Ο ορθογώνιο στο O. β) () (Ο) - (Ο) cm. 47. Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει: µ α υ α, όµως υ α Όµοια µ β α, µ γ α. Άρα µ α + µ + µ β γ α Όµως α 4 () α (1) 4 Άρα η (1) λόγω της () γίνεται: µ α + µ β + µ γ. α. EB υ 48. (EB) A υ (A) (EB) + (A) (EB + A) υ υ υ υ () 140

9 49. () () ή A A 6 ή A 6 1 ή 4 Όµοια βρίσκουµε E 1 α β, E, E γ Όµως: α + β γ, άρα E 1 + E E. 141

10 51. α) () 1 ηµ. Παρατηρούµε ότι αν ηµ γίνει µέγιστο θα έχουµε το µεγαλύτερο δυνατό εµβαδό. Άρα αν 90, τότε ηµ 1 (µέγιστο) και () 600 m. Συνεπώς οι πρόσκοποι πρέπει να σχηµατίσουν τρίγωνο µε γωνία 90. β) () 1 ηµ ,5 m + 70 m για να είναι µέγιστο το πρέπει 5 m. Σηµείωση: ίναι γνωστό ότι το γινόµενο δύο αριθµών µε σταθερό άθροισµα γίνεται µέγιστο όταν οι αριθµοί γίνουν ίσοι. 5. α) () (α + β) β) Τα τρίγωνα, Θ, Θ, είναι προφανώς ίσα και ορθογώνια λόγω της κατασκευής τους (βλ. σχήµα). Άρα Θ Θ γ. β γ 1 Όµως: Θ Θ 1 Άρα , άρα 90. Άρα το Θ είναι τετράγωνο. γ) Προφανώς Θ β β (βλ. (β) ερώτηµα). Άρα () (Θ) (Θ) () (Θ) γ α + β. α αβ 1 1 Θ δ) () γ αβ + 4 αλλά () (α + β) Άρα (α + β) γ + αβ ή α + β + αβ γ + αβ ή α + β γ Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο. 14

11 5. α) () 900 m 60 β) () 600 m () m γ) Όπως φαίνεται από το διπλανό z z ω y x σχήµα, τα τέσσερα οικόπεδα (Ι), (ΙΙ), (ΙΙΙ), (ΙV) έχουν αντίστοιχα IV III II I 0 προσόψεις x, y + ω, z, z στον εθνικό δρόµο και πρέπει να είναι ισεµβαδικά. 60 Z ηλαδή Ι ΙΙ ΙΙΙ ΙV, απ όπου έχουµε: x 0 y 0 + ω 60 z π όπου: z 11,5 (1) x, 5 () y + ω,5 () 0 λλά z + ω + y + x 60, η οποία λόγω των (1), () γίνεται: 11,5 + ω + y +,5 60 ή ω + y 15 (4) Λύνοντας το σύστηµα των () και (4) έχουµε: y 7,5 και ω 7,5 Άρα η περίµετρος των Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV είναι αντίστοιχα 105 m, 150 m, 15 m, 15 m. 14

12 54. α) m Άρα 848,5 m β) E m γ) Το ΚΙ είναι ορθογώνιο τραπέζιο, αφού // ΙΛ και Z 90. πίσης και τα ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΠΝΘ, ΡΠΘ, ΡΣ, ΣΙ. δ) i) (ΚΙ) + IK Κ Όµως Κ Ο - ΟΚ m. Άρα (ΚΙ) m Σ Ι Ρ Κ Ο Π Θ Λ Ν Μ ii) Ι 1,1. 4 Άρα η περίµετρος Π + Κ + ΙΚ + Ι ,1 81,1 m. 55. Φέρνουµε το ύψος και από το ευθεία παράλληλη προς την, την x. Παίρνουµε x τµήµα πάνω στην x ώστε. Το ζητούµενο ορθογώνιο έχει πλευρές,. 144

13 56. φάση: πό το φέρνουµε παράλληλη προς την, την. Το πεντάγωνο µετασχηµατίζεται σε ισοδύναµο τετράπλευρο, το. φάση: Φέρνουµε τη διαγώνιο και από το την //. Το είναι ισοδύναµο µε το τετράπλευρο. 57. Φέρνουµε το ύψος. Πάνω στην προέκταση της παίρνουµε. Το τρίγωνο είναι το ισοδύναµο ορθογώνιο. 58. άν x είναι η πλευρά του τετραγώνου, τότε x 7. Κατασκευάζουµε το x ως µέση x ανάλογο των και 7. Σε ευθεία xy παίρνουµε διαδοχικά x A 7 y 145

14 τα τµήµατα, 7. Με διάµετρο το 10 γράφουµε ηµικύκλιο και στο σηµείο υψώνουµε κάθετο. Το µήκος του είναι η ζητούµενη πλευρά του τετραγώνου. 146

Σχετικά έγγραφα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό