ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σύνθεση συναρτήσεων Θεωρία Σχόλια Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Έστω οι συναρτήσεις : A R, :Β R Το τυχαίο A, µε την A. αντιστοιχίζεται στην τιµή Αν η τιµή αυτή ( ) B θα αντιστοιχίζεται σε τιµή, µε τη. Έτσι προκύπτει νέα συνάρτηση, µε την οποία το αντιστοιχίζεται, κατ ευθείαν,. στην τιµή Αυτή η νέα συνάρτηση λέγεται σύνθεση της µε τη και συµβολίζεται o. A (A) () o B R (()). Πεδίο ορισµού και τύπος της o Από τον ορισµό προκύπτει ότι o = { ( ) } o ( o ) () = ( ()) ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Παρατήρηση Στη σύνθεση o, πρώτα λειτουργεί η (ας γράφεται δεύτερη).. Εύρεση του τύπου y = (o)() = ( ) Στον τύπο y = () της, θέτουµε όπου το ()

2 3. Η προσεταιριστική ιδιότητα Ισχύει ( ho( o ))() = ( ho o )() Όχι όµως πάντοτε η αντιµεταθετική. Γενικά είναι ( o )() ( o )() ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν ( ) = ln( ) και =, να βρεθεί η o. > 0 <. Άρα = (, ) 0. Άρα = [, + ) o = { ( ) } = { < ln( ) } = { e } < = (, e] ln( ) ln( ) lne e e ( o )() = (()) = ( ln( ) ) = ln( ). Αν ( ) = και ( ) =, να βρεθεί η o. 0 Άρα = [, + ) 0 Άρα = (, ) (, + ) o = { ( ) } = { / } ( o )() = (()) = ( ) = = { / } = { / 3 } = [, 3) (3, + )

3 3 3. Αν ( o)( ) = + και o = R, = R, ( () ) = + () Στον τύπο ( ) = e θέτουµε όπου το () () ( () ) = e + = = e, να βρεθεί η συνάρτηση. () e > 0 () = ln( + ) µε + > 0 () = ln( + ) µε > 4. Αν ( o)( ) = ln και =, να βρεθεί η συνάρτηση o = (0, + ), = R, ( () ) = ln () Στον τύπο ( ) = θέτουµε όπου το () ( () ) = [ () ] ln = [ () ] 0 () = ln µε ln 0 ή () = ln µε ln 0 () = ln µε ή () = ln µε 5. Αν ( o)( ) = και o = R, () = = R, Στην () θέτουµε + = u, οπότε = u () (u) = (u ) (u) = u +u (u) = u + u, u R = +, να βρεθεί η συνάρτηση. ( + ) = ()

4 4 6. Αν ( o)( ) = + e και o = R, = R, ( () ) = Στην () θέτουµε () (u) = lnu + (u) = lnu + (u) = lnu + e = u > 0, ln u e ln e ln u e e ln u e (u) = lnu + e u, u > 0 = e να βρεθεί η συνάρτηση. + e ( e ) = οπότε = lnu + e () 7. Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα [ ) το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) ( 4 ) Πρέπει Άρα 4 + [, + ) = (, 0] [4, + ) = , +, να βρείτε ( 4) 0 0 ή 4 8. Αν η συνάρτηση έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα [ ) το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ( ) = ( 3 + ln ). Για να ορίζεται ο ln, πρέπει > 0 () Επίσης πρέπει 3 + ln [, + ) 3 + ln ln ln ln Συναλήθευση των (), () = [ e, + ), +, να βρείτε e e ()

5 5 9. Για τους µιγαδικούς z, w και τη συνάρτηση ( ) = ( + z ) + z w δίνεται ότι ( o)( ) = 6 για κάθε R. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z, w κινούνται σε γνωστούς κύκλους. Για τη διευκόλυνσή µας, θέτουµε z = λ και w = µ. Τότε ( ) = ( + λ ) + λ µ ( () ) = ( + λ ) () + λ µ = ( + λ ) [( + λ ) + λ µ] + λ µ = ( + λ ) + ( + λ )(λ µ) + λ µ = ( + λ ) + (λ µ) ( + λ + ) = ( + λ ) + (λ µ) ( ( o)( ) = 6 για κάθε R ( + λ ) + (λ µ) ( λ + ) = 6 ( + λ ) = 6 και (λ µ) ( + λ = 4 και λ µ = 0 λ = 3 και λ = µ z = 3 και z = w z = 3 και w = 3 λ + ) = 0 λ + ) για κάθε R Άρα οι εικόνες των z, w κινούνται στον κύκλο που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 3

6 6 0. Έστω οι µιγαδικοί z, w 0 και οι συναρτήσεις ( ) = + z, ( ) = w +. Αν o = o και οι C, C τέµνονται σε σηµείο που έχει τετµηµένη, να αποδείξετε ότι οι εικόνες των z, w κινούνται σε γνωστούς κύκλους. Θέτουµε z = λ και w = µ, όπου λ, µ >0, οπότε ( ) = + λ, ( ) = µ + = R, o = R = { /( ) } = { R / ( ) } o = οµοίως = R o = o (()) = ( ()) C, () + λ = µ () + µ + + λ = µ( + λ) + λ µ + + λ = µ + µλ + λ = µλ () R = R C τέµνονται σε σηµείο που έχει τετµηµένη () = () + λ = µ + λ = µ () Σύστηµα των (), () µλ= λ= µ µ µ= λ= µ µ = 4 λ= µ µ= λ= µ µ= λ= Άρα z = και w = Εποµένως ο z κινείται στον κύκλο (Ο, ) και ο w στον κύκλο Ο,

7 7. Έστω συνάρτηση : R R τέτοια ώστε, για κάθε R να ισχύει ( ) = + 3. Να βρείτε την τιµή ( + ) συναρτήσει του. Στη δοσµένη ισότητα, όπου θέτουµε u +. ηλαδή = u + άρα = u + Οπότε παίρνουµε (u + ) = (u + ) + (u + ) 3 = u + 4u u + 3 = u + 5u + 3 Όπου u θέτουµε. Οπότε ( + ) = Έστω συνάρτηση : R R, τέτοια ώστε να ισχύει ( o)( ) = για κάθε 3 3 R. Να αποδείξετε ότι ( ) = [( )], R. Θυµίζουµε ότι: αν κ = λ τότε (κ) = (λ) 3 o = ( ()) = 3 () Σύµφωνα µε την υπενθύµιση, η () ( ( ()) ) = ( 3 ) () [ ] (3) Στην (), όπου θέτουµε () και παίρνουµε ( ( ()) ) = Από τις (), (3) ( ) = [( )] 3. Έστω συνάρτηση : o = R R, τέτοια ώστε να ισχύει για κάθε R. Να αποδείξετε ότι ( ) = ( ), R. Υπόδειξη. Ακολούθησε την άσκηση.

8 8 4. Έστω συνάρτηση : R R, τέτοια ώστε να ισχύει ( o)( ) = για κάθε R. i) Να αποδείξετε ότι ( ) = () ii) Να λύσετε την εξίσωση ( () ) = 5 i) ( o)( ) = ( ()) = () ( ( ())) = ( ) () Θέτοντας όπου το () η () ( ( ())) = () (3) Από τις (), (3) ( ) = () (4) ii) Θέτοντας όπου το () η (4) ( () )) = ( ()) ( () )) = ( () )) = 4 Η εξίσωση ( () )) = 5 4 = 5 = 9 () 5. Έστω συνάρτηση : R. Να αποδείξετε ότι = o = + ( ()) = o = +, R R, τέτοια ώστε να ισχύει + () Σύµφωνα µε την υπενθύµιση στην άσκηση, η () ( ( ())) = ( + ) και για = παίρνουµε ( ( ())) = ( + ) ( ( ())) = () () Όπου, στην (), θέτουµε (), οπότε ( ( ())) = [ () ] () + (3) Από τις (), (3) [ () ] () + = () [ () ] () + = 0 [ () ] = 0 () = 0 () =

9 9 6. Έστω οι συναρτήσεις, : R R µε ( ) = 3 4 Να αποδείξτε ότι ( ) = ( ) =. ( ( )) = 3+ 4 () Σύµφωνα µε την υπενθύµιση στην άσκηση, η () ( ( ())) = ( + ) και και για = παίρνουµε ( ( ())) = ( ) ( ( ())) = () () Όπου, στην (), θέτουµε (), οπότε ( ( ())) = [ () ] 3 () + 4 (3) Από τις (), (3) [ () ] 3 () + 4 = () Η υπόθεση ( ) = [ () ] 4 () + 4 = 0 [ () ] = 0 () = 0 () = (4) (4) () = =.