2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ"

Transcript

1 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί:.. Για παράδειγµα άρρητοι είναι οι αριθµοί: ΑΞΟΝΑΣ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ: ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ: ΟΥ ΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ:. ΑΝΤΙΘΕΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ: Υπάρχει πραγµατικός αριθµός µε αντίθετο τον εαυτό του; Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ: ΠΡΟΣΕΤΑΙΡΙΣΤΙΚΗ: ΟΥ ΕΤΕΡΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ: Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

3 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ: ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ: Ο αριθµός δεν έχει αντίστροφο! Υπάρχει πραγµατικός αριθµός µε αντίστροφο τον εαυτό του; Η αφαίρεση ορίζεται µε τη βοήθεια της πρόσθεσης: Η διαίρεση ορίζεται µε τη βοήθεια του πολλαπλασιασµού: ΑΛΛΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Μπορούµε να προσθέτουµε δύο (ή περισσότερες) ισότητες κατά µέλη. α = β αν είναι και τότε : γ = δ Μπορούµε να πολλαπλασιάσουµε δύο (ή περισσότερες) ισότητες κατά µέλη. α = β αν είναι και τότε : γ = δ Μπορούµε στα δύο µέλη µιας ισότητας να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε τον ίδιο πραγµατικό αριθµό. ηλαδή: α = β α + γ = β + γ Μπορούµε και τα δύο µέλη µιας ισότητας να τα πολλαπλασιάσουµε ή να τα διαιρέσουµε µε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό. ηλαδή : αν γ 0 τότε α = β α γ = β γ Το γινόµενο δύο ή περισσότερων πραγµατικών αριθµών είναι ίσο µε το µηδέν αν και µόνον αν ένας τουλάχιστον από τους αριθµούς είναι ίσος µε το µηδέν. ηλαδή αν είναι α β γ = 0 τότε: Το γινόµενο δύο ή περισσότερων πραγµατικών αριθµών είναι διάφορο από το µηδέν αν και µόνον αν κανένας από τους αριθµούς δεν είναι ίσος µε το µηδέν. ηλαδή αν είναι α β γ 0 τότε: Προσοχή όταν διαγράφουµε από µια ισότητα της µορφής α γ = β γ τον παράγοντα γ πρέπει αυτός να είναι διάφορος του µηδέν! Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

4 ΥΝΑΜΕΙΣ Αν α πραγµατικός αριθµός και ν θετικός ακέραιος τότε ορίζουµε : ν α = α α... α ( ν παράγοντες ) µε ν > 1 1 α = α 0 α = 1, για κάθε α 0 α ν 1 =, α 0 ν α εν ορίζεται η δύναµη Ιδιότητες υνάµεων 1. α ν α µ =... ν α.... µ α = µ ν. ( α ) = ν ν α β = ( α β ) ν ν α α 5. =, β 0 ν β β ν 0 0. ν ν 1, αν ν άρτιος = = = 1, αν ν περιττός Ισχύει ότι : , ( 1) ν ν Ισχύει πάντα η συνεπαγωγή: α = β α = β (γιατί;) Το αντίστροφο όµως δεν ισχύει πάντα! ν ν ηλαδή αν είναι α = β τότε όχι αναγκαία α = β (γιατί;) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. ( α β γ ) ( αβ 4 γ ) =. ( αβ ) ( α β) =.. ( 4α β ). ( αβ ) =.. Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

5 4. α β 9α β = γ β γ α γ 5. 1 β β : α α = ( αβ γ ) ( ) α β γ =.. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: 1. ( α + β ) =.... ( α β ) =... ( α + β ) =... ( α β ) =.... ( α + β ) = ( α β ) =... + = (διαφορά τετραγώνων) 5. ( α β) ( α β)... = (διαφορά κύβων) 6. α β ( ) ( ) + = (άθροισµα κύβων) 7. α β ( ) ( ) 8. ( α + β + γ ) = ( α + β γ ) = ( α β γ ) =... Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

6 ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Ευθεία Απόδειξη Παράδειγµα 1 ο : Να αποδειχθεί η ταυτότητα ( α + β )( x + y ) ( α x+ β y) = ( α y β x) Απόδειξη: α + β x + y α x+ β y = 1 ο µέλος : ( )( ) ( ) Παράδειγµα ο : αν α + β + γ = 0 τότε α + β + γ = αβγ (Ταυτότητα υπό συνθήκη) Απόδειξη: Παράδειγµα ο -α + -β + -γ = α + β + γ -9 Αν είναι α+β+γ=6 να δειχθεί ότι: ( ) ( ) ( ) Απόδειξη Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 5

7 Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο Παράδειγµα: Να αποδειχθεί ότι ένας ρητός αριθµός (ρ) και ένας άρρητος αριθµός (α) δίνουν άθροισµα νέο άρρητο. Απόδειξη: ΜΕΘΟ ΟΣ ΓΙΑ ΙΑ ΟΧΙΚΟΥΣ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ Αν είναι α, β, γ διαδοχικοί ακέραιοι τότε συνήθως τους θέτουµε: β-1, β, β+1 Αν είναι α, β, γ, δ διαδοχικοί ακέραιοι τότε συνήθως τους θέτουµε : α, α+1, α+, α+ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ο Αν οι αριθµοί α, β, γ, δ είναι διαδοχικοί ακέραιοι τότε να δειχθεί ότι: βγ αδ = ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ο Αν α και β διαδοχικοί ακέραιοι να δειχθεί ότι η παράσταση α + β + α β είναι τετράγωνο ακεραίου. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 6

8 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ο Αν οι αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί ακέραιοι να δειχθεί ότι α + γ = β ( β + ) ΛΥΣΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΓΙΑ ΑΡΤΙΟΥΣ ΠΕΡΙΤΤΟΥΣ Αν α ένας άρτιος αριθµός τότε η µορφή του είναι α = κ, κ Z Αντίστροφα αν ένας αριθµός α µπορεί να πάρει τη µορφή α = κ, κ Z, τότε ο α είναι άρτιος αριθµός. Αν α ένας περιττός αριθµός τότε η µορφή του είναι α = κ + 1, κ Z Αντίστροφα αν ένας αριθµός α µπορεί να πάρει τη µορφή α = κ + 1, κ Z, τότε ο α είναι περιττός αριθµός. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να αποδειχθεί ότι το τετράγωνο ενός περιττού αριθµού είναι επίσης περιττός. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν το άθροισµα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθµού είναι πολλαπλάσιο του να δειχθεί ότι και ο τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του. ΛΥΣΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 7

9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 Ο Αν είναι α+β=5 και αβ=- να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: Α = α + β B = α + β Γ = α + β = + α β ΛΥΣΗ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ο 1 Αν είναι α+ = α να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: 1 Α = α + α 1 B = α + α Γ = α + α = α -α ΛΥΣΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 8

10 ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: α γ Στην αναλογία =, β, δ 0 β δ Οι όροι α και γ λέγονται:.. Οι όροι β και δ λέγονται:.. Οι όροι α και δ λέγονται:.. Οι όροι β και γ λέγονται:. Ιδιότητες Αναλογιών α β γ δ 1. = α δ = β γ, ( β, δ 0) α γ α β β δ γ δ. = =, ( β, γ, δ 0) α γ α + β γ + δ β δ β δ. = =, ( β, δ 0) α γ α + γ β δ β + δ 4. = =, ( β, δ, β + δ 0) Βασική µέθοδος για ασκήσεις µε ανάλογα ποσά. Παράδειγµα 1 ο : Τρία αδέλφια ο Άρης (10 ετών), ο Βασίλης (8 ετών) και η Γεωργία (7 ετών) πρόκειται να µοιραστούν ένα χρηµατικό ποσό 700 ανάλογα µε την ηλικία τους. Να βρεθεί το ποσό που αναλογεί στον καθένα. Λύση: Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 9

11 Παράδειγµα ο : Οι γωνίες Α, Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες µε τους αριθµούς, 7 και 8 αντίστοιχα. Να βρεθούν οι γωνίες. Λύση: Παράδειγµα ο : x y Έστω ότι, α, β 0 α β Λύση: x y 4x+ y =,, α β 4α + β =. Να δειχθεί ότι ( α β ) ( α β ) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να απλοποιηθεί η παράσταση : α + β α β α : β ( α+ β) β α Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 10

12 ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ αν α > 0 και β > 0 τότε α + β 0 αν α < 0 και β < 0 τότε α + β 0 α αν α, β οµ όσηµοι τότε α β 0 και β 0 α αν α, β ετερόσηµοι τότε α β 0 και β 0 Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει: α 0 Πότε ισχύει η ισότητα;.. Αν είναι α + β = 0 τότε. Αν είναι α + β > 0 τότε. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ 1. Αν είναι α>β και β>γ τότε θα είναι και α>γ (µεταβατική ιδιότητα). Μπορούµε στα δύο µέλη µιας ανισότητας να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε τον ίδιο πραγµατικό αριθµό. ηλαδή: α > β α + γ > β + γ. Μπορούµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας να τα πολλαπλασιάσουµε ή να τα διαιρέσουµε µε τον ίδιο θετικό αριθµό και η φορά της να µην αλλάξει. ηλαδή : αν γ > 0 τότε α > β α γ > β γ 4. Μπορούµε και τα δύο µέλη µιας ανισότητας να τα πολλαπλασιάσουµε ή να τα διαιρέσουµε µε τον ίδιο αρνητικό αριθµό και η φορά της να αλλάξει. ηλαδή : αν γ < 0 τότε α > β α γ < β γ 5. Για τους θετικούς αριθµούς α, β και τον θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναµία: ν ν α > β α > β Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 11

13 6. Για τους θετικούς αριθµούς α, β και τον θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναµία: ν ν α = β α = β 7. Μπορώ να προσθέτω οµόστροφες ανισότητες κατά µέλη. α > β ηλαδή αν είναι και τότε : γ > δ 8. Μπορώ να πολλαπλασιάζω οµόστροφες ανισότητες κατά µέλη όταν όλοι οι όροι τους είναι θετικοί. α > β ηλαδή αν είναι και και α, β, γ, δ > 0 τότε : γ > δ Αν α και β οµόσηµοι τότε ισχύει α < β > α β (δηλαδή µπορούµε να αντιστρέφουµε τους όρους µιας ανισότητας µε οµόσηµους όρους και η φοράς της να αλλάξει) Ποτέ δεν αφαιρούµε ούτε διαιρούµε ανισότητες κατά µέλη έστω και αν είναι οµόστροφες! ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Η (Εφαρµογή της ιδιότητας : α + β = 0 α = 0 και β = 0) ΛΥΣΗ 1. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α και β για τους οποίους ισχύει: x y x y = 0. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α και β για τους οποίους ισχύει: ΛΥΣΗ α β α β = 0 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

14 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η ( Απόδειξη ανισότητας) α + β x + y α x+ β y Να αποδειχθεί ότι : ( )( ) ( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η Να αποδειχθεί ότι : ( Απόδειξη ανισότητας) α + α + > για κ θε α R 1 0, ά ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4 Η ( Απόδειξη ανισότητας) Να αποδειχθεί ότι : α 6α + 10 > 0, για κάθε α R ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5 Η ( Απόδειξη ανισότητας) Να δειχθεί ότι : α + α + 1> 0, για κάθε α R ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

15 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6 Η ( Απόδειξη ανισότητας) 1 Να αποδειχθεί ότι : α +, για κάθε α > 0. Πότε ισχύει η ισότητα; α ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 7 Η ( Άσκηση Μέθοδος) Αν για τους αριθµούς α και β ισχύουν 1< α < και < β < 4, να βρεθούν τα όρια των τιµών των παραστάσεων: Α = α + β, α 1 Β = α + β, Γ = 5α β, = α β + α 5, Ε = β ΛΥΣΗ 1< α < i < β < 4 i 1< α < < β < 4 1< α < i < β < 4 5 ( ) i 1< α < < β < 4 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 14

16 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 1 5 =..., =..., =..., 5 =..., =..., =... Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού είναι ηλαδή αν α>0 τότε α = Η απόλυτη τιµή ενός αρνητικού αριθµού είναι.. ηλαδή αν α<0 τότε α = Η απόλυτη τιµή του 0 είναι: 0 = ΟΡΙΣΜΟΣ:.., αν α 0 α =, αν α < =.. =.. =.. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 15

17 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ 1. α β = α β ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΓΕΝΙΚΑ ΙΣΧΥΕΙ: α... 1 α αν = ν Επίσης είναι : α = α α. =, β 0 β β. α + β α + β ΑΠΟ ΕΙΞΗ Η ισότητα ισχύει όταν.... ΓΕΝΙΚΑ ΙΣΧΥΕΙ : α1 + α αν Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 16

18 ΕΞΑΓΩΓΗ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η : Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση Α = α 5 + α 6 α 7 + α, αν 5< α < 6 5 < α < 6 5 < α < 6 5 < α < 6 5 < α < 6 Άρα είναι : ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η : Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση Α = π + π π = π 4 = 5 = 5 = Άρα είναι Α= ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η :Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση διάφορες τιµές των µη µηδενικών αριθµών α και β. Α = α β α β για τις ΛΥΣΗ Αν α > 0 και β > 0 τότε Α = = Αν α > 0 και β < 0 τό τε Α = = Ανα < 0 και β > 0 τό τε Α = = Ανα < 0 και β < 0 τό τε Α = = Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 17

19 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η : Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση α + π = Α = α + π α α + + π α 4α + 4 = π 4 = Άρα είναι Α= ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 5 Η : Να γραφεί χωρίς απόλυτες τιµές η παράσταση x x + 1 = Α = x x x + 1 x =,, αν αν Άρα είναι Α = Λαµβάνοντας υπόψη ότι α 0 και β 0 για κά θε α, β R Πότε ισχύει η ισότητα α + β = 0 ;... Πότε ισχύει η ανισότητα α + β > 0; ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να βρεθούν οι αριθµοί α και β αν είναι α β + α + β 6 = 0 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 18

20 ΙΑΣΤΗΜΑΤΑ 1. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε α x β, λέγεται. διάστηµα από α µέχρι β και συµβολίζεται µε [ α, β]. Γραφική απεικόνιση. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε α < x < β, λέγεται διάστηµα από α µέχρι β και συµβολίζεται µε ( α, β ). Γραφική απεικόνιση Οι αριθµοί α και β λέγονται. των διαστηµάτων αυτών και κάθε αριθµός µεταξύ των α και β λέγεται αυτών.. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε α < x β, λέγεται.. διάστηµα και συµβολίζεται µε ( α, β ]. Γραφική απεικόνιση 4. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε α x < β, λέγεται.. διάστηµα και συµβολίζεται µε [ α, β ). Γραφική απεικόνιση 5. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε x α, συµβολίζεται µε Γραφική απεικόνιση (, α ]. Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 19

21 6. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε < α Γραφική απεικόνιση x, συµβολίζεται µε ( α),. 7. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε x α, συµβολίζεται µε [ α, + ). Γραφική απεικόνιση 8. Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών χ µε > α Γραφική απεικόνιση x, συµβολίζεται µε ( α + ),. Τα σύµβολα και + διαβάζονται «συν άπειρο» και «πλην άπειρο» αντίστοιχα και δεν παριστάνουν πραγµατικούς αριθµούς. ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η Να παραστήσετε γραφικά τα παρακάτω σύνολα πραγµατικών αριθµών και να γράψετε τα αντίστοιχα διαστήµατα. 1. x 5 διάστηµα :. 0 < x < 6 διάστηµα :. < x < 0 ή < x < 7 διάστηµα : Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 0

22 4. 1 x 1 ή x > διάστηµα : 5. x 0 ή < x 5 διάστηµα : 6. x < ή x > διάστηµα : 7. x 5 και x > 4 διάστηµα : 8. x < 1 και x διάστηµα : 9. x < 4 και < x 6 διάστηµα : 10. x 0 και < x 5 διάστηµα : Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

23 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης Β. 1 ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β < x < Α x [,) x ή x > Β x (,] x Γ x (,) < 4 < > x ή x x [,] 5 x Ε x (, ] (, + ) < 6 x ή x ΣΤ x (, ) (, + ) 7 x < ή x Ζ x (, ] [, + ) 8 x Η x (, ) [, + ) ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να γραφούν µε τη µορφή διαστήµατος ή ένωσης διαστηµάτων οι παρακάτω εκφράσεις : 1 1< x < 5 x ή x > 0 4 x < 8 4 x < ή x > 5 5 < x 1 6 x 0 ή x 6 7 x < 4 ή x 8 x 1 9 x και 6 < x Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

24 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η Να γραφούν µε ανισότητες οι παρακάτω σχέσεις : 1 x [ 1,) x (, 1] (, + ) x (,7] 4 x (,0) ( 4, + ) 5 x ( 4, 1) 6 x (, 4] [0, + ) 7 x [ 5,5] 8 x (,4) [8, + ) 9 x (,0) [, 4] 10 x (,] [5,10) ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 5 Η Να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που περιέχονται στο διάστηµα [,). Να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που περιέχονται στο διάστηµα ( 5,]. Να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που περιέχονται στην ένωση των διαστηµάτων : ( 4, 1) (,6 ). Να γράψετε όλους τους ακέραιους αριθµούς που περιέχονται στην ένωση των διαστηµάτων : [ 1,1] (,4 ). Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

25 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ Έστω δύο αριθµοί α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα µε τα σηµεία Α και Β αντιστοίχως. Το µήκος του τµήµατος ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθµών α και β και συµβολίζεται d α, β. µε ( ) Προφανώς είναι d (, ) d (, ) α β = β α α β = β α Στην περίπτωση όπου είναι α < β η απόσταση των αριθµών α και β είναι d ( α, β ) = β α και λέγεται µήκος του διαστήµατος [ α, β]. Έστω ένα διάστηµα [ α, β] και έστω Α και Β τα σηµεία που παριστάνουν τα άκρα α και β αντίστοιχα. Αν είναι Μ το µέσον του τµήµατος ΑΒ τότε ο αριθµός που αντιστοιχεί στο Μ είναι :... και λέγεται... του [ α, β]. Ο αριθµός... λέγεται.. του διαστήµατος [ α, β]. Ως µήκος, κέντρο και ακτίνα των διαστηµάτων ( α, β ), ( α, β] και [ α, β ) ορίζουµε το µήκος το κέντρο και την ακτίνα του [ α, β]. ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η Να βρεθεί το µήκος το κέντρο και η ακτίνα των παρακάτω διαστηµάτων : ΙΑΣΤΗΜΑ ΜΗΚΟΣ ΚΕΝΤΡΟ ΑΚΤΙΝΑ [, ] [,8 ] ( 7, 1 ) (,10] [ 4,7) [,6) Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

26 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να βρεθούν οι παρακάτω αποστάσεις : 1. ( 4,5) d =. d ( 7, ) =. d (,11) =. 4. d ( 8,) = 5. d ( 9,) =.. 6. d (, 1) = ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να βρεθούν οι τιµές του αριθµού x για τις οποίες ισχύει : 1 d ( x,) = 4 d ( x ), = 5 d ( x,) = 7 4 d ( x ), 1 = 1 5 d ( x, ) = d ( x,8) 6 d ( x, ) = d ( x, 6) Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 5

27 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η 1. Να βρεθούν οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει : d ( x,0)< 4 Γενικά αν θ ένας θετικός αριθµός είναι : d ( x,0 ) < θ x Να βρεθούν οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει : d ( x,0)> 5 Γενικά αν θ ένας θετικός αριθµός είναι : d ( x,0 ) > θ x Να βρεθούν οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει : d ( x,)< 6 Γραφική επίλυση: Αλγεβρική επίλυση : 4. Να βρεθούν οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει : d ( x ) Γραφική επίλυση:, > Αλγεβρική επίλυση : Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 6

28 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Η : Να αποδειχθεί ότι: α β + β α α β + α β ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η : Να δειχθεί ότι: α + β αβ Έπειτα να δειχθεί ότι αν α + β = 1 και x + y = 1 τότε ισχύει α x+ β y 1 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η Αν είναι x και y να δειχθεί ότι: i) x+ y 1 ii) x+ y-5 17 ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 7

29 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Στηριζόµαστε κυρίως στις γνωστές ιδιότητες: x = θ x = θ ή x = θ (1) και x = y x = y ή x = y (), όπου θ θετικός αριθµός. 1. Να λυθεί η εξίσωση : x+ = 9 Σύµφωνα µε την ιδιότητα (1) έχουµε : 6 ή x+ = 9 x = 6 x = x = 1 ή x+ = 9 x = 1 x = x = 6 Οµοίως να λυθεί η εξίσωση : x 11 = ή ή. Να λυθεί η εξίσωση : x 9 = x+ Σύµφωνα µε την ιδιότητα () έχουµε : ή x 9 = x+ x x = 9+ x = 1 ή 6 x 9 = x x+ x = 9 x = 6 x = x = Οµοίως να λυθεί η εξίσωση : x 15 = x 5 ή ή. Να λυθεί η εξίσωση : x 5 = 4 ή ή ή x = 9 x 5 = 4 x = 9 ή x = 9 ή x = 1 x 5 = 4 x = 1 ή x = 1 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 8

30 4. Να λυθεί η εξίσωση : x = 7 ή x = 10 x = 1 x = 7 x = 10 ή x = 10 x = 8 x = 7 x = 4 ( αδύνατη ) Οµοίως να λυθεί η εξίσωση : x 1 4 = ή ή x x + x Να λυθεί η εξίσωση : = Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους της εξίσωσης µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών που είναι το 1 ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονοµαστών και ισοδύναµα έχουµε : x x + x = ( x + + 5) ( x + ) = ( x + + 1) x x = x x + x + x + = ή x + = x = 0 x + = ή x + = x = 6 6. Να λυθεί η εξίσωση x 5 = x 1 Επειδή οι απόλυτες τιµές είναι µη αρνητικοί αριθµοί θα πρέπει αρχικά να θέσουµε τον περιορισµό : x 1 0 x 1 Τότε έχουµε : ή x 5 = x 1 x = 4 x = δεκτή x 5 = x 1 6 ή x 5 = x + 1 4x = 6 x = x = δεκτή 4 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 9

31 Οµοίως να λυθεί η εξίσωση : x + 7 = x Να λυθεί η εξίσωση : x 5 x + = x 5 Έχουµε ισοδύναµα : x 5 x + = x 5 x 5 x + x 5 = 0 ( ) x 5 x + = 0 ή x 5 = 0 x 5 = 0 x = 5 ή x + = x = 1 ή x + = 0 x + = ή x + = x = 5 8. Να λυθεί η εξίσωση : x 4 + x x = 0 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 0

32 ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Στηριζόµαστε κυρίως στις γνωστές ιδιότητες: x θ θ x θ (1) και x θ ή x θ ή x θ () όπου θ θετικός αριθµός. 1. Να λυθεί η ανίσωση : x Σύµφωνα µε την ιδιότητα (1) έχουµε : 5 > 0 x x x 6 8 x x [ 8, ]. Να λυθεί η ανίσωση : x 11 > Σύµφωνα µε την ιδιότητα () έχουµε : ή x 11 > x > 14 x > 7 x 11 > ή x 11< x < 8 x < 4 x (,4) ( 7, + ). Να λυθεί η ανίσωση x + 6 < 5 x + 6 < 5 5 < x + 6 < 5 1 < x + < x+ < 11 11< x+ < 11 1< x < 9 Και ή x+ > 1 x > 1 x+ > 1 ή x+ < 1 x < ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΣΗ : x ( 1, ) ( 1,9) Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 1

33 4. Να λυθεί η ανίσωση : 1< x+ 1 7 Η διπλή ανίσωση «σπάει» σε δύο απλές. x+ 1 7 x+ 1 > 1 ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΣΗ 5 x + 5 x x 5 5. Να λυθεί η ανίσωση : Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους της εξίσωσης µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών που είναι το 1 ώστε να γίνει απαλοιφή των παρονοµαστών και ισοδύναµα έχουµε : Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

34 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ :... Άρα ισχύει : α = x x = α, α 0, x 0 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ Ισχύει για κάθε µη αρνητικό αριθµό α ότι : ( α ) = α Γενικά δεν ισχύει α + β = α + β (σε ποια περίπτωση ισχύει;) ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η : Βασικές τετραγωνικές ρίζες = 0 = 1 = = = 4 = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 10 = 11 = 1 = 1 = 14 = 15 = 16 = 17 = 18 = = 900 = 1600 = 500 = 65 = 0,16 = 0,09 = 1,44 =,5 = 0,0001= Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα

35 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η : Απλοποίηση ριζικού 8 = 4 = 4 = 1 = 18 = 7 = = 48 = 50 = 75 = 7 = 00 = 98 = 0 = 00 = 45 = = 8 = 15 = 6 = 500 = ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η : Ρητοποίηση του παρονοµαστή κλάσµατος = = = = = 6 = = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = + Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

36 10 7 = = = = 5 = = ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η παραστάσεις µε ριζικά και µεταβλητό υπόριζο. Να βρεθούν οι τιµές του x για τις οποίες ορίζεται η παράσταση ( x x 4)( x x 4) Α = Και να δειχθεί ότι Α = 6. ΛΥΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 5 Η υπολογισµός παραστάσεων µε ριζικά. 1. Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης : Α = ( 11 ) + ( 11 4) ( 11 ) = ( 11 4) = Άρα είναι : Α = ( 11 ) + ( 11 4) =. Αν είναι < x < 5 να βρεθεί η τιµή της παράστασης : x 10x 5 x 6x 9 Α = x x = x x = Α = x 10x+ 5 + x 6x + 9= Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 5

37 . Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης : 11 7 Β = Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης ( Α Β)( Α+Β ) όπου : Α = και Β = Να απλοποιηθεί η παράσταση : Α = ( + ) ( 7 )( 7 + ) + ( ) 6. Να απλοποιηθεί η παράσταση : A = = = Άρα είναι Α = = Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 6

38 ΟΡΙΣΜΟΣ ν-στησ ΡΙΖΑΣ :.... Άρα ισχύει : ν α = x x ν = α, α 0, x 0 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ν-στης ΡΙΖΑΣ ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 1 Η Να υπολογιστούν οι ρίζες και να αιτιολογηθεί το αποτέλεσµα. 1 =... διότι: 8 =... διό τι: 15 =... διό τι: 4 1 =... διό τι: 7 =... διό τι: 4 16 =... διό τι: 5 1 =... διό τι: 64 =... διό τι: 4 81 =... διό τι: 4 16 =... διό τι: 4 65 =... διό τι: 5 4 =... διό τι: ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης : A = = Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 7

39 ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ Η Να απλοποιηθεί η παράσταση: 4 Α = α α α = ΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1 = 1 4 = = 1 = = 4 5 = ΡΑΣΤΗΡΙΩΤΗΤΑ 4 Η Να απλοποιηθεί η παράσταση: 4 α α α Α = = α α Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 8

40 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Να αποδειχθεί η ταυτότητα: ( ) ( ) ( ) ( ) α + 1 α 1 = α 1 + α α Να αποδειχθεί η ταυτότητα: ( α + β + γ ) + ( α β) + ( β γ ) + ( γ α) = ( α + β + γ ) Αν είναι α + β + γ = 0, α, β, γ 0 να δειχθεί ότι : α + + β + + γ + = β γ α γ β α Να γίνουν οι πράξεις: Α) 1 1 α + α + α α α α ( 1) Απ : α 1 α 1 α + 1 α + α α 1 α 1 Β) Απ : 1 α Γ) αβ α β β α β : + + α + β α + β α ( Α π : α) Αν είναι α + β = 5 και αβ = 6 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: 4 4 Α = α + β, Β = α + β, Γ = α + β Αν είναι 1 α + = 5, α 0 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: α Α = α +, Β = α +, Γ = α + α α α 4 4 Αν το άθροισµα των ψηφίων ενός τριψήφιου αριθµού είναι πολλαπλάσιο του 9 να δειχθεί ότι και ο τριψήφιος είναι πολλαπλάσιο του 9. Αν είναι α-β=-4 και αβ=5 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: Α = α + β B = α -β Γ = α + β = α β 1 Αν είναι α- = 5 α να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: 1 Α = α + α = 1 4 B α - Γ = α + α 1 4 α = α -5α Να αποδειχθεί ότι : ν x y w 6 τό τε ( ) + ( ) + ( ) + 9 = + + Α + + = x y w x y w Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 9

41 Να δειχθεί ότι: ( -x) + ( 5-x) + ( x-8) = ( -x)( 5-x)( x-8 ) Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) ( ) -x + 5-x + x-8 = 0 Να δειχθεί ότι: ( x + 4)( y + 9) = ( xy+ 6) + ( x-y ) α -β -βγ β -γ -αγ γ -α -βα Αν είναι α+β+γ=0 να δειχθεί ότι: + + = 0 α+ β β+ γ α+ γ Αν οι αριθµοί α και β είναι θετικοί και ισχύει α + β = 1, να δειχθεί ότι 1 1 Αν ισχύει α + β = 1, να δειχθεί ότι αβ και α + β 4 Να δειχθεί ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει: Πότε ισχύει η ισότητα; Να δειχθεί ότι για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ ισχύει: α + β + γ αβ + βγ + αγ Πότε ισχύει η ισότητα; Έστω α>β>0. Να αποδειχθεί ότι: α β > ( α β) Αν είναι α - να αποδειχθεί ότι α + 7 α + 9α Αν είναι < < α β να αποδειχθεί ότι ( ) α+ β 4+ αβ 1 1 α+ + 4 α Αν α θετικός αριθµός να δειχθεί ότι ( ) 6α Αν είναι 0 < α < να αποδειχθεί ότι α < < α+ Να δειχθεί ότι ( ) ( ) Να δειχθεί ότι α -4α+ 4 > 0 α + 9 α+ Πότε ισχύει η ισότητα; α β 4 4 α + β α β + αβ Να δειχθεί ότι α + 4β + 5 4( α-β ) Πότε ισχύει η ισότητα; Να δείξετε ότι ισχύει : ( ) α β + 8β 4αβ για κάθε α,β R. Να δειχθεί ότι 9α -1α+ 5 > 0 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 40

42 Αν είναι α - να αποδειχθεί ότι α α α Αν είναι α-β = να αποδειχθεί ότι: i) 1+ αβ 0 ii) α + 4β Αν είναι 1< α < και < β < 4 να βρεθεί µεταξύ ποιών αριθµών περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παραστάσεις: α-β i) Α = α+ β ii) Β = α + β - iii) Γ = α-β+ 1 iv) = α + Αν είναι α+ β+ γ 0 να αποδειχθεί ότι α + β + γ αβγ Πότε ισχύει η ισότητα; Αν είναι α > και β > να αποδειχθεί ότι αβ > α+ β Αν x,y,z θετικοί αριθµοί να δειχθεί ότι ( )( )( ) x + 1 y + 1 z + 1 8xyz Αν 0 < α,β,γ < 1 να δειχθεί ότι: i) ( 1-α)( 1-β) > 1-α-β ii) ( 1-α)( 1-β)( 1-γ) > 1-α-β-γ Να δειχθεί ότι ( α + β )( γ + δ ) ( αγ+ βδ ) Να δειχθεί ότι ( αβ+ βγ+ αγ) αβγ( α+ β+ γ ) Αν α,β,γ θετικοί αριθµοί να δειχθεί ότι ( ) Αν είναι α>0 να δειχθεί ότι α + 1 α + 1 α α α+ β+ γ α β γ Αν α,β,γ θετικοί αριθµοί να δειχθεί ότι α + β + γ αβγ α β γ Έπειτα να δειχθεί ότι + + β γ α Να αποδειχθεί ότι: ( α ) α 5 όπου α ένας θετικός αριθµός Να βρεθούν οι αριθµοί α και β αν ισχύει: Να βρεθούν οι αριθµοί α και β αν ισχύει: α + β + 10α 4β + 9= 0 α + β 6α + 8β + 5= 0 ίνεται ότι < α < και 1< β < να βρεθεί µεταξύ ποιών αριθµών βρίσκονται οι τιµές των 1 παραστάσεων: Α= 5α + β Β= β α Γ= α β + Αν α<β<γ να απλοποιηθεί η παράσταση: A= 4 α -β -1 - a -γ - - γ -β + Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 41

43 Αν είναι α και β να αποδειχθεί ότι : Α) α + β 1 Β) 5α β Να λυθούν οι εξισώσεις i) x-5 = 7 ii) x+ 1 = x-5 iii) x+ = x-4 Να λυθούν οι εξισώσεις i) x + 1 x - x = 5 10 ii) x- + 1 x- -4 x- - = -1 6 iii) x- + 1 x- -1 -x + - = -1 6 Να λυθούν οι εξισώσεις i) x -5 = ii) x + 1 = x + 5 iii) x - = x + 5 Να λυθούν οι εξισώσεις i) x-5 = x- ii) x+ 1 = x+ 1 iii) x+ = 1-x Να λυθούν οι εξισώσεις i) x + = - x-4 ii) x + 1 = x + -x iii) x-1 = x- 5-x Να λυθούν οι ανισώσεις i) x+ 5 9 ii) x- 7 iii) 7-x 9 Να λυθούν οι ανισώσεις i) x -7 ii) x -5 1 iii) x Να λυθούν οι ανισώσεις i) x + 1 x -4 x ii) x x+ 1 - x iii) x x x - > 6 Να λυθούν οι ανισώσεις i) x+ 5 9 ii) 1 -x 5 iii) 1< x -5 < 9 iv) < 1 x 7 Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

44 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις x i) A = x- + x-5 ii) B = x-1 + -x -x- iii) Γ = - x+ x Να λυθεί η εξίσωση: x = Να λυθεί η εξίσωση: x+ + x+ x+ 1 = 5 10 Να λυθεί η εξίσωση: x 5 = x 4 Να λυθεί η ανίσωση: x Να λυθεί η ανίσωση: 1 x x 1 x Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α,β,γ για τους οποίους ισχύει: i) = 4 α+ 1 + β+ + γ- = 0 α 1 β-1 γ 0 ii) ( ) ( ) Να αποδειχθεί ότι Να αποδειχθεί ότι x+ y- 5-7 x+ y- x+ 1 y- - 5 x+ 1 y- Αν α<β<γ να απλοποιηθεί η παράσταση: A = α-β - β-γ + 4 γ-α Αν α<β<γ να απλοποιηθεί η παράσταση: A = 5 α-β-1 -β-γ- + γ-α+ 1 Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση A = x- - x+ 1-5-x Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση A = x+ - x x Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση A = x+ x+ - x α β Αν x = και y = α + β α + β να δειχθεί ότι x + y = 1 α-4 α R- 1 και = α-1 Αν { } και να δειχθεί ότι α = Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 4

45 Αν είναι α+ β α+ β α < 1 να δειχθεί ότι < 1 β α β Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α και β να δειχθεί ότι: = α = β 1+ α 1+ β 1 Για κάθε α 0 να δειχθεί ότι α+ α Να λυθεί η εξίσωση: x 5 = x 4 Να λυθεί η ανίσωση: x Να λυθεί η ανίσωση: 1 x x x Έστω ότι x y < και x y <.Να αποδειχθεί ότι x y < 1 Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: Α = 6 + (Απ: Α=6) Β = (Απ: Β=) Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: Α = (Απ: Α=4) Β = (Απ: Β=6) Να δειχθεί ότι = Να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: i) A = ii) B = Να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: i) A α 15 81α, α 0 = + + < ii) ( ) B = x + x 10x+ 5, < x < 5 Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση ( ) A = x+ x 6x+ 9 + x Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 44

46 Για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού x να απλοποιηθεί η παράσταση 4 4 A = x + x y + y + 1 Αν είναι α = 5 + και β = 5 να βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων i) A = α 4αβ+ β ii) B = 5α αβ β Aν είναι α + β = 1 να δειχθεί ότι 4 4 α + 4β + β + 4α = Για ποιές τιµές του πραγµατικού αριθµού x ορίζονται οι παραστάσεις i) A = x 1+ x ii) B = x 1 + x Nα βρεθούν οι τιµές των παραστάσεων: 4 ( )( 4 4 )( 4 ) A = α + β α + β α β, α,β 0 B = ( )( 7 5 ) i) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις ( + ) και ( ) ii) Να απλοποιηθεί η παράσταση A = Να απλοποιηθεί η παράσταση x + x + 1 x 4x + 4 A = +, αν 1< x < x + 1 x Να υπολογιστούν οι παραστάσεις i) ii) Να βρεθούν τα εξαγόµενα: i) 4 6 x x x, x 0 ii) 5 x 10 x x, x 0 iii) 4 x x x, x > x x Να µετατραπούν οι παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ρητό εκθέτη: i) A =, ii) 5 10 B =, iii) 5 Γ = 7 7 +, iv) = 5 + 5, v) 1 E = Να γίνουν οι πράξεις: Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 45

47 Να απλοποιηθούν τα ριζικά: i) 7+ 10, ii) , iii) α+ β αβ, α,β > 0 iv) 7+ 4, v) 4+ Να υπολογιστεί η παράσταση: A = Να υπολογιστεί η παράσταση: A 5 5 Να υπολογιστεί η παράσταση: A Να συγκριθούν οι αριθµοί: i) 5 και +, ii) και 5 +, iii) 5 και = + ( A = ) = + ( A = ) Aν είναι x = + 1 να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων i) 1 A = x+, ii) x 1 B = x + x Αν á 0, â 0 να δειχθεί ότι : á+ â á+ â Αν á> 0 να δείξετε ότι : á 1 + á Αν είναι α = 5 + και β = 5 να βρεθεί η τιµή της παράστασης A = α 4αβ+ β. Να γίνουν οι πράξεις: i) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις ( + ) και ( ) ii) Να απλοποιηθεί η παράσταση A = Να απλοποιηθεί η παράσταση x + x + 1 x 4x + 4 A = +, αν 1< x < x + 1 x Επιµέλεια : Χαλατζιάν Παύλος Σελίδα 46

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή:

Διάταξη Πραγματικών Αριθμών. Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: Να είναι άνισοι, δηλαδή: Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Έστω α, β πραγματικοί αριθμοί. Τι σχέση μπορεί να έχουν αυτοί οι αριθμοί; Μπορεί, να είναι ίσοι: α=β ή Να είναι άνισοι, δηλαδή: Πρόσθεση πραγματικών αριθμών Αν α, β ομόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Εξισώσεις και Προβλήματα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Εξίσωση με έναν άγνωστο λέγεται... 2. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης λέγεται...... 3. Επίλυση εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 152 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 217 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 152 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 217 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 113 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 15 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 7 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» y y=x 2 y=(x-2) 2 y=(x-2) 2-1 0 1 2 3 x -1 Τόμος 2ος Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí ÊåöÜëáéï 8 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 24: -Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß -ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò -ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ -Áðüëõôç ôéìþ ñçôïý áñéèìïý -áíôßèåôïé áñéèìïß -Óýãêñéóç

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 6 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα Ε_ΜλΓΑ(α)

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( ) Τηλ 106176-7 /10600 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x 8 + 6 8 6 6 i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x 6 + + 6 6 6 i i Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2 ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2015-2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΠΑΥΛΟΣ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Διάνυσμα λέγεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα