Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα."

Άγνη Αποστολίδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι ) είναι διάστηµα. Είναι χαρακτηριστική ιδιότητα των ανοικτών ή κλειστών διαστηµάτων στο ότι δεν µπορούν να γραφούν ως ένωση δύο ξένων ανοικτών ή κλειστών υποδιαστηµάτων αντίστοιχα. Η ιδιότητα αυτή γενικεύεται στον και επιτρέπει να αποδείξουµε ένα αντίστοιχο αποτέλεσµα για συνεχείς πραγµατικές συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Ορισµός. Ένα σύνολο Α λέγεται συνεκτικό αν δεν µπορεί να γραφεί ως ένωση δύο ξένων µη κενών ανοικτών στο Α υποσυνόλων. Με άλλα λόγια ένα σύνολο Α δεν είναι συνεκτικό αν υπάρχουν U, V ανοικτά ώστε, Α Α Α Α = U, V,( U) ( V) και ( U) ( V) Προφανώς τα µονοσύνολα του Α Α =Α. είναι συνεκτικά σύνολα. Αποδεικνύεται το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα που χαρακτηρίζει τα συνεκτικά υποσύνολα του Θεώρηµα (Συνεκτικότητα των διαστηµάτων). Τα µόνα συνεκτικά υποσύνολα του µε περισσότερα από ένα στοιχεία είναι τα διαστήµατα. ( ανοικτά, κλειστά,ηµιανοικτά φραγµένα ή µη φραγµένα). Απόδειξη: Παραλείπεται. Υπενθύµιση. Αν Χ σύνολο και Α Χ τότε η χαρακτηριστική συνάρτηση του, Α Α : Χ : Α =., Α συνόλου Α είναι η συνάρτηση 3.7 Λήµµα. Οι ακόλουθοι ισχυρισµοί είναι ισοδύναµοι για ένα σύνολο Α. (ι) Το Α δεν είναι συνεκτικό. (ιι) Υπάρχει f : f Α =,. ανοικτά στο f Α συνεχής ώστε { } Απόδειξη: (ι) (ιι) Το Α γράφεται ως Α= ( Α U) ( Α V) µε Α U Α V και ( U) ( V) και παρατηρούµε ότι η f είναι συνεχής µε f ( Α ) = {, }. = Α U όπου U, V Α Α =. Θέτουµε ( η f αντιστρέφει τα ανοικτά υποσύνολα του σε σχετικά ανοικτά υποσύνολα του Α). (ιι) (ι) Τα σύνολα f Α = { } και Α = f {} είναι σχετικά ανοικτά υποσύνολα του Α σε τρόπο ώστε Α Α =Α, Α, Α και Α Α =. Έστω U, V ανοικτά ώστε Α = U είναι συνεκτικό. Α και Α = V Α. Εποµένως το Α δεν

2 4 f 3.8 Πρόταση Έστω Α είναι συνεκτικό υποσύνολο του Α συνεκτικό και f :. Α συνεχής τότε το Απόδειξη: Αν το f ( Α ) δεν ήταν συνεκτικό τότε θα υπήρχε µια συνεχής συνάρτηση, g : f ( Α) {,} µε g( f ( Α )) = {,}. Τότε η συνάρτηση gof : Α θα ήταν συνεχής και ( gof )( Α ) = {,}. Εποµένως το Α δεν θα ήταν συνεκτικό, άτοπο. Η έννοια της συνεκτικότητας οδηγεί στην ακόλουθη γενίκευση του θεωρήµατος ενδιαµέσου τιµής του Λογισµού µιας µεταβλητής. 3.9 Θεώρηµα ( Ενδιαµέσου Τιµής ) Έστω f : Α συνεχής. Αν το Α είναι συνεκτικό υποσύνολο του τότε το f Α είναι διάστηµα του, δηλαδή η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο διαφορετικών τιµών της. Απόδειξη: Έπεται προφανώς από το προηγούµενο αποτέλεσµα και τον χαρακτηρισµό των συνεκτικών υποσυνόλων του. Α I οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων του Α, τότε η ένωση Α= Α είναι συνεκτικό υποσύνολο του 3. Λήµµα. Έστω { : } κλειστότητα ενός συνεκτικού συνόλου είναι σύνολο συνεκτικό. Απόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι υπάρχει f : Έστω, υποθέτουµε ότι Α Α, έπεται ότι f ( y) f ώστε. Επίσης η Α συνεχής µε {,} f Α =. f =. Επειδή το κάθε Α είναι συνεκτικό και = = για κάθε y Α και για κάθε I. Συνεπώς η f δεν µπορεί να παίρνει την τιµή. ( Ανάλογα, αποδεικνύεται ότι αν f ( ) = τότε y Α= Α f y = για κάθε. Έτσι καταλήγουµε σε άτοπο και άρα το Α είναι συνεκτικό. Για τον δεύτερο ισχυρισµό παρατηρούµε ότι αν f : Ι Α συνεχής ( όπου Α συνεκτικό ) µε f ( Α) {,}, τότε η συνέχεια της f έπεται ότι αυτή δεν µπορεί να είναι επί του {, }. Πράγµατι αν υπήρχαν, Α µε f ( ) = και θα υπήρχαν ακολουθίες ( ) και ( y ) στοιχείων του Α ώστε και y Συνεπώς f f = και f ( y) f =. Επειδή ( f ( ) ) και f ( y ) είναι ακολουθίες στοιχείων του {, } έπεται ότι f ( ) = και N. Συνεπώς f ( Α ) = {,}, άτοπο. N για κάποιο N f = τότε. f y = για κάθε (*) 3. Ορισµός Έστω, Α και Α. Η συνεκτική συνιστώσα Ατου στο Α είναι η ένωση όλων των συνεκτικών υποσυνόλων του Α που περιέχουν το. Χρησιµοποιώντας τα δύο Λήµµατα που αποδείξαµε παραπάνω (3.7 και 3. ) αποδεικνύεται εύκολα ( αφήνεται ως άσκηση ) η ακόλουθη.

3 4 (*) 3.. Πρόταση. Έστω, Α και Α. Τότε ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Η συνεκτική συνιστώσα Α του στο Α είναι συνεκτικό σύνολο και είναι ένα µεγιστικό συνεκτικό υποσύνολο του Α. ( Αν Α Β Α και Β συνεκτικό τότε Α =Β ). (ιι) Η συνεκτική συνιστώσαα του στο Α είναι σύνολο κλειστό στο Α. (ιιι) Το σύνολο των συνεκτικών συνιστωσών των σηµείων του Α συνιστά µια διαµέριση του Α, δηλαδή, κάθε δύο διαφορετικές συνιστώσες του Α είναι ξένες και η ένωσή τους ισούται µε το Α. (ιν) Μια συνεχής συνάρτηση f : Α είναι σταθερή πάνω σε κάθε συνεκτική συνιστώσα του Α. Παρατήρηση. Οι συνεκτικές συνιστώσες ενός συνόλου Α δεν είναι απαραίτητα σύνολα ανοικτά στο Α. Για παράδειγµα οι συνεκτικές συνιστώσες των σηµείων του Q είναι µονοσύνολα. Ένα άλλο παράδειγµα είναι το σύνολο Α= : { }. Οι συνεκτικές συνιστώσες του Α είναι οι: το {},,...,... σχετικά µε το Α. Από την άλλη µεριά αποδεικνύεται ότι οι συνεκτικές συνιστώσες ενός ανοικτού συνόλου U είναι σύνολα ανοικτά στον. και το { }, παρατηρούµε ότι το { } δεν είναι ανοικτό 3.3 Ορισµός: (ι) Έστω, a, b το ( προσανατολισµένο ) ευθύγραµµο τµήµα από το aστο b είναι το σύνολο [, ] { : [,] } a b t a tb t = +. (ιι) Έστω,,..., a a σηµεία του. Η πολυγωνική γραµµή µε κορυφές τα a,..., a Ρ= a, a a, a... a, a. είναι το σύνολο, [ ] [ ] [ ] (ιιι) Ένα υποσύνολο 3 Κ λέγεται κυρτό αν για κάθε a, b Κ ισχύει ότι [ a, b] Κ. Παρατηρούµε ότι κάθε ευθύγραµµο τµήµα [ a, b] είναι κυρτό υποσύνολο του 3.4 Πρόταση: (ι) Κάθε ευθύγραµµο τµήµα και γενικότερα κάθε πολυγωνική γραµµή στον είναι σύνολα συνεκτικά. (ιι) Κάθε κυρτό σύνολο στον είναι σύνολο συνεκτικό. Απόδειξη: (ι) Έστω, a, b, τότε η απεικόνιση ϕ :[, ] [ a, b] : ϕ( t) ( t) a tb, t [,] ϕ [, ] = a, b. Εποµένως το [, ] = + είναι συνεχής και [ ] a b είναι συνεκτικό. Το γεγονός ότι µια πολυγωνική γραµµή Ρ µε - κορυφές είναι σύνολο συνεκτικό αποδεικνύεται µε επαγωγή στον αριθµό των κορυφών της ( για = η Ρ είναι ένα ευθύγραµµο τµήµα στον και άρα σύνολο συνεκτικό ). Για το επόµενο βήµα της επαγωγής χρησιµοποιούµε το Λήµµα 3..

4 43 (ιι) Έστω Κ κυρτό και a Κ. Επειδή το Κ είναι κυρτό ισχύει ότι [ a, ] Κ για κάθε Κ, εποµένως Κ = {[ a, ] : Κ}. Από το Λήµµα 3. έπεται το συµπέρασµα. Παραδείγµατα κυρτών συνόλων: ) Κάθε ανοικτή ή κλειστή σφαίρα στον είναι σύνολο κυρτό. Η απόδειξη είναι απλή ( και διαισθητικά προφανής αν = ή 3). )Κάθε ηµιεπίπεδο ( ανοικτό ή κλειστό ) είναι κυρτό σύνολο στον. 3) Το εσωτερικό ενός τριγώνου ή ενός παραλληλογράµµου είναι σύνολο κυρτό στον. Βέβαια και κάθε κλειστό τρίγωνο ή παραλληλόγραµµο ( το εσωτερικό µαζί µε το σύνορο ) είναι κυρτό σύνολο. Αποδεικνύεται ο ακόλουθος χαρακτηρισµός των ανοικτών και συνεκτικών υποσυνόλων του. 3.5 Θεώρηµα. Έστω, U ανοικτό σύνολο. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (ι) Το U είναι συνεκτικό. (ιι) Για κάθε a, b Uυπάρχει πολυγωνική γραµµή Ρ Uαπό το a στο b ( το U είναι όπως λέµε πολυγωνικά συνεκτικό). Απόδειξη: Παραλείπεται. Ένα ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο του θα ονοµάζεται και τόπος. Παραδείγµατα: Χρησιµοποιώντας τα προηγούµενα αποτελέσµατα µπορούµε να αποδείξουµε ότι τα ακόλουθα ανοικτά σύνολα είναι συνεκτικά: )Αν F είναι πεπερασµένο σύνολο τότε το F Β, ε F είναι συνεκτικά σύνολα. (όπου )Αν και ε ε συνεκτικό., καθώς και το ε > και ). Β, ε Β, ε είναι σύνολο < < τότε ο δακτύλιος ( ) 3)Αν οι ανοικτές σφαίρες (, ε ), (, ε ) Β Β τέµνονται τότε η ένωση τους είναι σύνολο συνεκτικό. Η απόδειξη των (), (), (3) αφήνεται ως άσκηση. Καθόσον αφορά τις συνεκτικές συνιστώσες ενός ανοικτού συνόλου του αποδεικνύεται εύκολα το ακόλουθο. (*) 3.6Θεώρηµα. Έστω Uανοικτό σύνολο στον. Τότε ισχύουν: (ι) Κάθε συνεκτική συνιστώσα του U είναι σύνολο ανοικτό στον (ιι) Το U έχει αριθµήσιµο πλήθος συνεκτικών συνιστωσών. Η απόδειξη του (ι) ισχυρισµού αφήνεται ως άσκηση. Για τον (ιι) ισχυρισµό χρησιµοποιούµε τον πρώτο ισχυρισµό καθώς και το γεγονός ότι ο περιέχει ένα αριθµήσιµο πυκνό υποσύνολο, π.χ. το σύνολο Q ( Q =το σύνολο των ρητών στο ). Ένα υποσύνολο Α του λέγεται ότι είναι πυκνό στον αν, Α=..

5 44 Σηµείωση: Για την απόδειξη των θεωρηµάτων 3.6 και 3.5 καθώς και για πληρέστερη ενηµέρωση επί της συνεκτικότητας παραπέµπουµε στην Βιβλιογραφία. Ασκήσεις )Αποδείξτε χρησιµοποιώντας µόνο τον ορισµό της συνεκτικότητας ότι τα ακόλουθα σύνολα δεν είναι συνεκτικά. (α) Η υπερβολή y = στον. (β) Κάθε πεπερασµένο υποσύνολο του µε τουλάχιστον δύο σηµεία., y : + y 4 και y + { } (,,δ) (γ) (,,δ) (δ) Η ένωση των ανοικτών δίσκων Β και Β, του, όπου δ =. )Έστω U ένα ανοικτό υποσύνολο του. Αποδείξτε ότι το U είναι µη συνεκτικό αν και µόνο αν U =Α Β, όπου Α, Β µη κενά ανοικτά και ξένα υποσύνολα του. Αποδείξτε το αντίστοιχο αποτέλεσµα αντικαθιστώντας παντού το επίθετο «ανοικτό» µε το επίθετο «κλειστό». Α ακολουθία συνεκτικών υποσυνόλων του ώστε Α Α+ 3)Έστω για κάθε. Αποδείξτε ότι το σύνολο Α είναι συνεκτικό στον = [ Υπόδειξη: Τα σύνολα Α Α, Α Α Α3,... είναι συνεκτικά]. 4)Έστω f : Α συνεχής συνάρτηση όπου Α συνεκτικό στον Αποδείξτε ότι το γράφηµα της f, δηλαδή το σύνολο. {(, ) : } G f = f Α είναι συνεκτικό υποσύνολο του. S = : = της Ευκλείδειας µοναδιαίας 5)Αποδείξτε ότι η επιφάνεια { } σφαίρας ( ), είναι σύνολο συνεκτικό στον { }, είναι συνεχής].. [ Υπόδειξη: Η απεικόνιση 6) Θεωρήστε µια οικογένεια συνεκτικών υποσυνόλων κάποιου ευκλείδειου χώρου τα οποία έχουν ανά δύο µια κενή τοµή. Αποδείξτε ότι η ένωση των µελών της είναι συνεκτικό σύνολο.

Σχετικά έγγραφα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (