ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου ) Δίνεται ο πίνακας Α= 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Α 4 1 4) Δίνεται ο πίνακας Α= α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ : R 3 R 3, που αντιστοιχεί στον πίνακα Α ως προς την συνήθη βάση του R 3, καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού Τ. 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,) 6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x 1, x, x 3, x 4 ) / x 1 -x =x 3 +x 4, x 1, x, x 3, x 4 R} του χώρου R 4. Να βρεθεί μια βάση του V η οποία να περιέχει το διάνυσμα (1,1,-1,1).

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1998 Β ) Δίνεται ο πίνακας Α= α) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. Είναι ο πίνακας Α διαγωνοποιήσιμος ; β) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός Τ : R 3 R 3, που αντιστοιχεί στον πίνακα Α ως προς την συνήθη βάση του R 3, καθώς και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του μετασχηματισμού Τ. 5) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g C[-1,1] η σχέση : 1 <f g>= ( 1 x) fxgxdx ( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να 1 επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x 3. 6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x 1, x, x 3, x 4 ) / x 1 +x =x 3 -x 4, x 1, x, x 3, x 4 R} του χώρου R 4. Να βρεθεί μια βάση του V η οποία να περιέχει το στοιχείο (1,1,3,1).

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Α Εξετάσεις Σεπτεμβρίου ) Έστω Β 1 ={e 1,e } μια βάση ενός διαν. χώρου V[R] και T : V V γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τις σχέσεις Te 1 =3e 1 -e και Te =e 1 +4e. Αν Β ={f 1,f } με f 1 =e 1 +e και f =e 1 +3e είναι επίσης μια βάση του V, να βρεθεί ο πίνακας του μετ/σμού Τ ως προς την βάση Β, δηλ. ο [Τα] Β (1.6) 6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Β Εξετάσεις Σεπτεμβρίου ) Έστω T : R 3 R γραμμικός μετασχηματισμός ο οποίος ορίζεται από τη σχέση T(x,y,z)=(x+y-z,3x-y+4z). Nα βρεθεί ο πίνακας του μετ/σμού Τ ως προς τις βάσεις Β 1 ={f 1 =(1,1,1), f =(1,1,0), f 3 =(1,0,0)} και Β ={g 1 =(1,3), g =(1,4)} των R 3 και R αντίστοιχα, δηλ. ο πίνακας Β1 [Τ] Β. (1.6) α 0 0 5) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 του χώρου Μ 3 [R]. Να βρεθούν οι τιμές του α 0 0 α για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος. (1.7) 6) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (1.7)

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1999 Α 4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i, i) και w=(1, 1+i) του διαν. χώρου C είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα v 1 (x)=x 3 -x +4x+1, v (x)=x 3 +6x-5, v 3 (x)=x 3-3x +9x-1, v 4 (x)=x 3-5x +7x+5 Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. 6) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση : ( fx gx ) 1 ( ), ( ) = fxgxdx ( ) ( ) 0 αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+, g(x)=x -x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)), β) f(x), g(x). ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 1999 B 4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i, i) και w=(1, 1+i) του διαν. χώρου C είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω U και W οι υπόχωροι του R 4, οι οποίοι ορίζονται ως εξής : U={(α,β,γ,δ) / β+γ+δ=0}, W={(α,β,γ,δ) / α+β=0, γ=δ}

5 Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση των υποχώρων i) U, ii) W, iii) U W 6) Ποιές από τις επόμενες εκφράσεις ορίζουν εσωτερικά γινόμενα στον διανυσματικό χώρο C[-1,1] των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [-1,1], όπου f(x), g(x) C[-1,1]. 1 α) (f,g)= ( 1 ) x f( x) g( x) dx 1 β) (f,g)= x f( x) g( x) dx 1 1 A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 Έστω U( S ) ο υπόχωρος του 4 R που παράγεται από το σύνολο: S = {( 1, 0, 1,1 ), (, 1, 0,1 ), ( 1,1,,1) }. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα x = ( 1,3,3, ) στον U( S) και να βρεθεί μια βάση του U( S) που να περιέχει το x. ανήκει ΘΕΜΑ Δίνεται ο πίνακας x+ 1 1 x+ 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο 1 1 x + 1 πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΘΕΜΑ 3 Να αποδείξετε ότι η έκφραση uv, xy 1 1 xy 1 xy 1 3xy (, ) v = y y ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο 1 = +, όπου u ( x, x ) R =, 1

6 Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 Έστω 1 0 A = ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : V V v1, v, v 3 ενός χώρου V. Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση ως πρός την βάση { } { = +, = +, = } u v v v u v v v u v v του χώρου V ΘΕΜΑ Δίνεται ο πίνακας 1 x 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις 0 x 1 οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΘΕΜΑ 3 Να αποδείξετε ότι η έκφραση uv = x1y1 x1y xy1 + 5xy, όπου u = ( x, x ), v = ( y, y ) 1 ΘΕΜΑ 4 1 ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ R. Α- Έστω Μ [R] ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων με στοιχεία από το σώμα των πραγματικών αριθμών και W ο υπόχωρος αυτού ο οποίος παράγεται από τους πίνακες

7 A=, B = Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την T CD, M, CD = Tr DC. σχέση: για κάθε [ ] R ( ) ΘΕΜΑ 5 Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : R 1 1 την βάση B= { e1 = ( 1,0 ), e = ( 0,1) } είναι ο [ T] B = 1 1. R ως προς Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση B = = +, = T. { w1 e1 e w e1 e }, δηλαδή ο [ ] B ΘΕΜΑ Δίνεται ο πίνακας A( x) = με x R. Να βρεθούν οι τιμές του 0 0 x x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ -Β ΘΕΜΑ 4 3 Έστω W ο υπόχωρος του διανυσματικού χώρου C [ ] από τα στοιχεία u = ( 1, i,1 ), u = ( 1,,1 i) 1 C ο οποίος παράγεται Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την σχέση: για κάθε vw, C με v = ( z1, z, z3), w = ( c1, c, c3), vw = zc zc + zc 3 3. ΘΕΜΑ 5 Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : R 1 1 την βάση β = { e1 = ( 1, 0 ), e = ( 0,1) } είναι ο [ T ] = B 1 1. R ως προς

8 Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση B = =, = + T. { w1 e1 e w e1 e }, δηλαδή ο [ ] B ΘΕΜΑ 6 x 0 0 Δίνεται ο πίνακας A( x) = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 001 Α (Μεταφερομένη Εξεταστική περίοδος) 1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R 3 και γιατί: Α) (v,u)= v u B) (v,u)= v u cos 3 θ, Γ) (v,u)= v u cosθ ) Έστω V ο διαν. χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου επί του σώματος R και Μ ο πίνακας : M= 1. Θεωρούμε τον τελεστή Τ : V V που ορίζεται από την σχέση T : 3 4 A V T(A) MA. Να βρεθεί η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση του V που είναι : E 1 = 1 0, E = 0 1, E 3 = 0 0, E 4 = Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 001 Β 1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί; Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=( x,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y) E) T(x,y)=(cosx, siny) ) Δίνεται ο τελεστής T : R 3 R, Τ(x,y,z)=(3x+y-4z, x-5y+3z) α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις : {f 1 =(1,1,1), f =(1,1,0), f 3 =(1,0,0)} του R 3 και {g 1 =(1,3), g =(,5)} του R β) Να επαληθευθεί η σχέση [ T] g f [v] f =[T(v)] g ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Α Εξετάσεις Ιουνίου 00 (μεταφερομένη) 1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός.

10 β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,0,1), u =(0,1,1), u 3 =(1,1,1)) ) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R 3 και την απεικόνιση f : R 3 R 3 R f : (v, u) f(v, u) p 1 v 1 u 1 + p v u + p 3 v 3 u 3 όπου v=v 1 i+ v j+ v 3 k, u=u 1 i+ u j+ u 3 k και p 1, p, p 3 τυχαίοι θετικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R 3. 3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων f : R R επί του σώματος των πραγματικών αριθμών. Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του V είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αροθμών; α) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού ακριβώς n. β) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού > n. γ) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού n. () ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 00 Β 1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(y, x-z, -x+y+z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,1,0), u =(1,1,1), u 3 =(1,0,1)) ) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R και την απεικόνιση

11 f : R R R f : (v, u) f(v, u) v 1 u 1 -v 1 u -v u 1 +3v u όπου v=v 1 i+ v j, γινόμενο επί του R. u=u 1 i+ u j. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό 3) Έστω C[0, 1] ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί του σώματος R των πραγματικών αριθμών, που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [0, 1]. Ποια από τα επόμενα υποσύνολα του είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αριθμών; (i) {f C[0,1] f(1) = 0 } (ii) {f C[0,1] f(1) = 1 } (iii) {f C[0,1] f(0) = f(1) } () ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 003 Α 1) Έστω T : R 3 R 3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x-y+3z, x+4y+z, -5y+z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT 1 1 ) Δίνεται ο πίνακας A( x) = με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 0 0 x τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 3) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης :

12 x = 5 3 x y 3 5 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 003 Β 1) Έστω T : R 3 R 3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x-y+6z, x+y-3z, 3x-y+3z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT x 0 0 ) Δίνεται ο πίνακας A( x) = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 3) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης : x 3 x = y 3 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.

13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα u1, u και u 3 ενός διανυσματικού χώρου V [ R ], είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα { u u, u 3 u, u u } και S = {,, } S = εξαρτημένα ή ανεξάρτητα ( μονάδες) u u u u u u είναι γραμμικώς ΘΕΜΑ Να αποδείξετε ότι α) το σύνολο a b V = / a, b R είναι διανυσματικός υπόχωρος του a+ b a b διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων στο σώμα R (1 μονάδα) β) να βρεθεί η διάσταση του υπόχωρου αυτού. (1 μονάδα) ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R ο οποίος ορίζεται από την 3 3 σχέση T( x, x, x ) = ( x + x x, x x + x, x + x + x ) α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση = {( ) ( ) ( )} είναι [ T] B = B 1,1,0, 1,0,1, 0,1,1. (1 μονάδα) β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος; (1 μονάδα)

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα u1, u και u 3 ενός διανυσματικού χώρου V [ R ], είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα { u u u, u u, u u } και S = { u + u + u, u + u, u u } S = είναι γραμμικώς εξαρτημένα ή ανεξάρτητα. ( μονάδες) ΘΕΜΑ Να αποδείξετε ότι α) το σύνολο a a+ b V = / a, b R είναι διανυσματικός υπόχωρος του a b b διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων στο σώμα R (1 μονάδα) β) να βρεθεί η διάσταση του υποχώρου αυτού. (1 μονάδα) ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός σχέση T( x, x, x ) = ( x + x, x + x, x + x ) T : R R ο οποίος ορίζεται από την 3 3 α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση = {( ) ( ) ( )} είναι ( T ) B 1,1, 1, 1, 1,1, 1,1, = (1 μονάδα) b β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος; (1 μονάδα)

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 4 ( μονάδες) a. Να εξετάσετε αν το υποσύνολο,,, των τετραγωνικών πινάκων, είναι γραμμικώς εξαρτημένο ή ανεξάρτητο. b. Να αποδείξετε ότι η έκφραση x = x1 + x, ;όπου x = ( x1, x), ορίζει στάθμη στον χώρο R. ΘΕΜΑ 5 ( μονάδες) { 1,, 3, 4 / 3 4 0} Έστω ( ) U = x x x x x x + x = υποσύνολο του 4 R. a. Να αποδειχθεί ότι το U είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 4. b. Να βρεθεί μια βάση του U. ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο πίνακας A = 1 1. Να βρεθούν 1 a. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. (1 μονάδα) n b. Ο πίνακας A όπου n =, 3,. (1.5 μονάδες)

16 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Φεβρουαρίου 011 Α 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 0 [ T] = Be 1 0 α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(,3,5), f =(1,0,0), f 3 =(0,1,-1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. dx T : f(x) T(f(x) ( + + ) α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. d x 3x f(x) β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } ) Δίνεται ο πίνακας A( x ) = με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 0 0 x τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g C[-1,1] η σχέση : 1 <f g>= ( 1 x) fxgxdx ( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να 1 επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x 3

17 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Φεβρουαρίου 011 B 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 1 0 [ T] = 0 Be α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(3,,1), f =(1,0,-), f 3 =(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. dx T : f(x) T(f(x) ( x ) α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. d 1 f(x) β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } x 0 0 3) Δίνεται ο πίνακας A( x ) = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,)

18 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιουνίου 011 (για τους επί πτυχίω) 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 1 0 [ T] = 0 Be α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(3,,1), f =(1,0,-), f 3 =(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. dx T : f(x) T(f(x) ( x ) α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. d 1 f(x) β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } x 0 0 3) Δίνεται ο πίνακας A( x ) = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,)

19 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 011 Α 1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P( x ) 3 ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 7) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου () ) Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R 3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R 3 ; α) U={ (x,y,z) / x+y+z=0} β) W={ (x,y,z) / x+y+z=} (1) 3) Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ των τετραγωνικών πινάκων και η απεικόνιση a b a b c a+ c T:M M, T: T c d c d b c d Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική. Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T. Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T). (Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα a c b d σαν διάνυσμα-στήλη a b. (,5) c d 4) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού d τελεστή ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο P3 ( x ) των πολυωνύμων 3 ου dx βαθμού. () 5) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (.5)

20 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 011 B 1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P( x ) 3 ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 5) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου () ) Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R 3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R 3 ; α) U={ (x,y,z) / x+y-z=0} β) W={ (x,y,z) / x+y-z=} (1) 3) Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ των τετραγωνικών πινάκων και η απεικόνιση a b a b c a+ c T:M M, T: T c d c d b c d Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική. Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T. Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T). (Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα a c b d σαν διάνυσμα-στήλη a b.(,5) c d 4) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού d τελεστή ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο P ( x ) των πολυωνύμων 3 ου dx βαθμού. () 5) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (,5)

21 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιουνίου 01 (για τους επί πτυχίω) α 0 0 1) Δίνεται ο πίνακας Α= 0 του χώρου Μ 3 [R]. Να βρεθούν οι τιμές του α 0 0 α για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος. ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. 3) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση : ( fx gx ) 1 ( ), ( ) = fxgxdx ( ) ( ) 0 αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+, g(x)=x -x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)), β) f(x), g(x). 4) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης : x 3 x = y 3 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.

22 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 01 Α 1) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,). () ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. () ) Δίνεται ο πίνακας x+ 1 1 x+ 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις 1 1 x + 1 οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. () 4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R 3 και γιατί: Α) (v,u)= v u B) (v,u)= v u cos 3 θ, Γ) (v,u)= v u cosθ (1,5) 5) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,0,1), u =(0,1,1), u 3 =(1,1,1) (,5)

23 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 01 B 1) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g C[-1,1] η σχέση : 1 <f g>= ( 1 x) fxgxdx ( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να 1 επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x 3. () ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. () ) Δίνεται ο πίνακας 1 x 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο 0 x 1 πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. () 4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί; Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=( x,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y) E) T(x,y)=(cosx, siny) (1,5) 5) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(y, x-z, -x+y+z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,1,0), u =(1,1,1), u 3 =(1,0,1)) (,5)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 42. (2)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 42. (2) Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1999 1) Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας, η οποία έχει κέντρο το σημείο Κ(1,3,) και τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 4. () ) Να βρεθεί η εξίσωση της

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ - Διανυσματικοί Χώροι Διδάσκουσα : Δρ Μ Αδάμ Λαμία, 6//05 Έστω = (,,), = (0,,)

Διαβάστε περισσότερα

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

«ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ και ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

«ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ και ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ και ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ IV ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ 1) Να δειχθεί ότι οι επόμενες απεικονίσεις είναι γραμμικές:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ - Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών «Γραµµική Άλγεβρα Ι» (ΕΜ111) Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007, ιδάσκων: Ι. Τσαγράκης 5 Ο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1: Έστω V ένας διανυσµατικός χώρος επί

Διαβάστε περισσότερα

= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3

= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ, 6/06/017 Θέμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(0, 0) = 0 και f(x, y) = x3 + y 3 x + y αν (x, y) (0, 0). (i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (ii) Αν u

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 5 Ιουλίου 009 Θέμα (0 μονάδες) Έστω U = (, y, z, w) = z, y = w υποσύνολο του και V ο υπόχωρος

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f b) f : R R f y, ( +, y

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10)

1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 (10) B 2, B 1. (10) Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β (Τζουβάρας/Χαραλάμπους) Φεβρουάριος 07 (I) Εστω n n πίνακας A τέτοιος ώστε A = 6A, έστω δ.χ. V με dim(v ) = n και f : V V η γραμμική απεικόνιση με πίνακα A ως πρός κάποια βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά)

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 4 Ιουνίου 009 Θέμα (0 μονάδες) α) (7 μον) Για τις διάφορες τιμές του k R, να λυθεί το σύστημα y+ kz =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 7: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Λύση: Για τα σημεία x, x, x 4, y, y, y υπολογίζουμε x x x x () x x x x x x 4 L

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

b proj a b είναι κάθετο στο

b proj a b είναι κάθετο στο ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 5/9/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να δειχθεί ότι το πεδίο F( x, y) = y cos x + y,sin x

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις:

(Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/2004) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: 1 η Εργασία 004-005 (Καταληκτική ηµεροµηνία παραλαβής 16/11/004) Άσκηση 1 (7 µονάδες) (Α) Ποιες είναι οι προϋποθέσεις ώστε να ισχύουν οι παρακάτω διανυσµατικές σχέσεις: (α) A+ B C µε A + B C (β) A+ B AB

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2: http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 6 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ -: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής 00 uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός

Διαβάστε περισσότερα

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0).

= DX(0, 0)(ae 1 + be 2 ) = adx(0, 0)e 1 + bdx(0, 0)e 2 = ax u (0, 0) + bx v (0, 0). Κεφάλαιο 3 Ο εφαπτόμενος χώρος Σύνοψη Ο εφαπτόμενος χώρος μιας κανονικής επιφάνειας αποτελεί τη βέλτιση γραμμική προσέγγιση της επιφάνειας σε ένα σημείο της. Αποτελείται από όλα τα εφαπτόμενα διανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 9 Γραμμικοί Ισομορφισμοί Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 19/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 9 19/3/2014 1 / 12 Γραμμικές απεικονίσεις και υπόχωροι Εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών

Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Διαφορικός Λογισμός πολλών μεταβλητών Πρόχειρες σημειώσεις Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Τα στοιχεία του R n είναι όλα τα n-διάστατα διανύσματα ή, ισοδύναμα,

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.

, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0. Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού: με V και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Παράδειγμα Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f + 4 4+ b) f : R R με f + a+ b ac c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d b d f :

Διαβάστε περισσότερα