ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB. Εξετάσεις Ιουνίου τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 42. (2)

Transcript

1 Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου ) Να βρεθεί η εξίσωση της σφαίρας, η οποία έχει κέντρο το σημείο Κ(1,3,) και τέμνει το επίπεδο 4x+3z+5=0 κατά τον κύκλο ακτίνας 4. () ) Να βρεθεί η εξίσωση της κωνικής επιφάνειας η οποία έχει κορυφή το σημείο Ρ(1,1,1) και οδηγό την καμπύλη (c) : y +z =1, x+y+z=0 3) Δίνεται η καμπύλη r(t)=rcosti+rsintj+btk. Να βρεθούν οι εξισώσεις του καθέτου, του ευθειοποιούντος και του εγγυτάτου επιπέδου σε κάθε σημείο της καμπύλης 4) Να εξετασθεί εάν το υποσύνολο W={(α,β,γ)} του R 3 είναι υπόχωρος όταν α) αβ =0, β) λ 1 α+λ β+λ 3 γ=0, λ i R και λ i =σταθερές. 5) Έστω Τ ο τελεστής επί του R 3 οριζόμενος από την σχέση : T(x,y,z)=(x, 4x-y, x+3y-z) α) Να δειχθεί ότι ο Τ είναι αντιστρέψιμος, β) να βρεθεί ο τύπος του Τ -1. 6) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων: 1 A= , B= και να ελεχθεί εάν διαγωνοποιούνται ή όχι.

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 1999 Β 1) Δίδεται η επιφάνεια (S) με εξίσωση : x +y +z -x+y-4z+=0 και το επίπεδο (Π): 3x-y+z-5=0. Να αναγνωρισθεί η επιφάνεια (S) και να βρεθεί το είδος και τα χαρακτηριστικά της καμπύλης, που είναι η τομή της (S)και του επιπέδου (Π). ) Να βρεθεί η εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας η οποία έχει οδηγό την καμπύλη (c) f 1 =4y -z +x-8y-8z-=0, f =x+y-z=0 και γενέτειρα παράλληλη προς την ευθεία x=- y=z. 4) Να εξετασθεί εάν το υποσύνολο W={(α,β,γ)} του R 3 είναι υπόχωρος όταν α) αβ=0, β) α=β=γ. 5) Έστω Τ ο τελεστής επί του R 3 οριζόμενος από την σχέση : T(x,y,z)=(x, 4x-y, x+3y-z) α) Να δειχθεί ότι ο Τ είναι αντιστρέψιμος, β) να βρεθεί ο τύπος του Τ -1. 6) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα των παρακάτω πινάκων: 1 A= , B= και να ελεχθεί εάν διαγωνοποιούνται ή όχι.

3 Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου ) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου, που είναι παράλληλο προς τον άξονα ΟΥ και διέρχεται από την τομή των επιπέδων με εξισώσεις x+y+3z=4 και x+y+z=. ) Δίδονται οι αναλυτικές εξισώσεις των ευθειών : (ε 1 ) : x = y = z 3 (ε ) : x = y 3 = z α) Να δειχθεί ότι οι ευθείες αυτές είναι συνεπίπεδες. β) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου, που τις περιέχει. 3) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης, η οποία βρίσκεται στο επίπεδο x+y+z=0 έχει εστίες τα σημεία F 1 (1,0,-1) και F (0,1,-1) και εκκεντρότητα e=1/ 3. Να βρεθεί η εξίσωση της προβολής της στο επίπεδο ΟΧΖ. 4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i, i) και w=(1, 1+i) του διαν. χώρου C είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα v 1 (x)=x 3 -x +4x+1, v (x)=x 3 +6x-5, v 3 (x)=x 3-3x +9x-1, v 4 (x)=x 3-5x +7x+5 Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. 6) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση : ( fx gx ) 1 ( ), ( ) = fxgxdx ( ) ( ) 0 αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+, g(x)=x -x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)), β) f(x), g(x).

4 Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου ) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου, που είναι παράλληλο προς το διάνυσμα v 1 =3i-j+k και διέρχεται από την τομή των επιπέδων με εξισώσεις x+y=3 και y+3z=4. ) Δίδονται οι αναλυτικές εξισώσεις των ευθειών : (ε 1 ) : x = y = z 3 (ε ) : x = y 3 = z α) Να δειχθεί ότι οι ευθείες αυτές είναι συνεπίπεδες. β) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου, που τις περιέχει. 3) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής, η οποία βρίσκεται στο επίπεδο x+y+z=0 έχει εστίες τα σημεία F 1 (1,0,-1) και F (0,1,-1) και εκκεντρότητα e= 3. Να βρεθεί η εξίσωση της προβολής της στο επίπεδο ΟΥΖ. 4) Δείξτε ότι τα διανύσματα v=(1+i, i) και w=(1, 1+i) του διαν. χώρου C είναι γραμμικά εξαρτημένα επί του σώματος C και γραμμικά ανεξάρτητα επί του σώματος R. 5) Έστω U και W οι υπόχωροι του R 4, οι οποίοι ορίζονται ως εξής : U={(α,β,γ,δ) / β+γ+δ=0}, W={(α,β,γ,δ) / α+β=0, γ=δ} Να βρεθεί η διάσταση και μια βάση των υποχώρων i) U, ii) W, iii) U W 6) Ποιές από τις επόμενες εκφράσεις ορίζουν εσωτερικά γινόμενα στον διανυσματικό χώρο C[-1,1] των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [-1,1], όπου f(x), g(x) C[-1,1]. 1 α) (f,g)= ( 1 ) x f( x) g( x) dx 1 β) (f,g)= x f( x) g( x) dx 1 1

5 Α- ΘΕΜΑ 1 ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ Να βρεθεί η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία { x+ y z = 1, x+ 3y+ z = } Να βρεθεί η διανυσματική και η καρτεσιανή εξίσωση της κωνικής επιφάνειας με κορυφή το σημείο M 0 ( 1,1, 0) και οδηγό την καμπύλη 4x + z = 4 ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η καμπύλη r() t = costi+ sin tj + tk. Να βρεθούν οι εξισώσεις του ΘΕΜΑ 4 καθέτου και του ευθειοποιούντος επιπέδου της καμπύλης στο σημείο αυτής με δ ιανυσματική ακτίνα ( π ) r. 4 Έστω Μ [R] ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων με στοιχεία από το σώμα των πραγματικών αριθμών και W ο υπόχωρος αυτού ο οποίος παράγεται από τους πίνακες A=, B = Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο T CD, M, CD = Tr DC. ορίζεται από την σχέση: για κάθε [ ] R ( ) ΘΕΜΑ 5 Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού T : R την βάση β = { e1 = ( 1, 0 ), e = ( 0,1) } είναι ο ( ) T β 1 1 =. 1 1 R ως προς Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση { w e e, w e e }, δηλαδή ο ( ) β = = + = ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο πίνακας A( x) για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. T β. 1 1 = με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x 0 0 x

6 -Β- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 Να βρεθεί η απόσταση του σημείου M ( 1,1, 0) από την ευθεία ΘΕΜΑ { x = z, y = z} Να βρεθεί η διανυσματική και η καρτεσιανή εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας με οδηγό την καμπύλη διάνυσμα v = 3i+ j + 3k x + 4y = 4 και γενέτειρα παράλληλη προς το ΘΕΜΑ 3 Δίνεται η καμπύλη ( ) cos sin r t = ti+ tj+ tk. Να βρεθούν οι εξισώσεις της ευθείας της εφαπτομένης και της ευθείας της πρώτης καθέτου της καμπύλης στο σημείο αυτής με διανυσματική ακτίνα ( π ) r. 4 3 ΘΕΜΑ 4 Έστω W ο υπόχωρος του διανυσματικού χώρου C [ ] από τα στοιχεία u = ( 1, i,1 ), u = ( 1,,1 i) 1 C ο οποίος παράγεται Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του χώρου W. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από την σχέση: για κάθε, vw = zc+ zc + zc. ΘΕΜΑ vw C με = ( z, z, z ), = ( c, c, c ) Έστω ότι ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού την βάση β = { e1 = ( 1, 0 ), e = ( 0,1) } είναι ο ( ) 1 1 T β =. 1 1 v w, T : R R ως προς Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς την βάση { w e e, w e e }, δηλαδή ο ( ) β = = = + ΘΕΜΑ Δίνεται ο πίνακας A( x) T β. x 0 0 = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος.

7 ΘΕΜΑ 1 (3 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 000 Δίνονται τα σημεία M 1 ( 0,1,1 ), M ( 1,1, 0 ), M 3 ( 1,, 1) και 4 ( 1,, 1) βρεθούν α) η εξίσωση του επιπέδου ( Π) που είναι παράλληλο προς την ευθεία ( ) M, M περιέχει τα σημεία 3 4 β) η απόσταση των ασυμβάτων ευθειών ( M1M ) και ( M 3M 4) -Α- M. Να M M και γ) η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει τα σημεία M 3, M 4και είναι κάθετο στο επίπεδο ( Π ). ΘΕΜΑ ( μονάδες) Να βρεθεί η διανυσματική και η καρτεσιανή εξίσωση της επιφάνειας που παράγεται από την περιστροφή της καμπύλης { x 0, z ln y} ΘΕΜΑ 3 ( μονάδες) Να αποδείξετε ότι το σύνολο ( ) = = γύρω από τον z-άξονα. {,,, /, } 1 V = x y z w x= w y= z είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 4 και να βρείτε μια βάση του υπόχωρου αυτού. ΘΕΜΑ 4 (1 μονάδα) Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός 3 T : T x, y = 3 x y, x+ 4 y, 5x 6y και οι βάσεις R R με ( ) ( ) { w1 ( 1,3 ), w ( 1, 4) } του R και { 1 ( 1,1,1 ), ( 1,1, 0 ), 3 ( 1, 0, 0) } β και β, δηλαδή ο ( T ) β = = = β = u = u = u = του R 3. Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς τις βάσεις ΘΕΜΑ 5 ( μονάδες) Δίνεται ο πίνακας διαγωνοποίησης ο πίνακας β β A = 1 0. Να υπολογισθεί, με την μέθοδο της ν Α όπου ν Ν.

8 -Β- ΘΕΜΑ 1 (3 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ Δίνονται οι ευθείες ε : 1 { x = y= z } και ε : { x + y = 1, z = 1 }, Να βρεθούν α) η εξίσωση του επιπέδου ( Π) που είναι παράλληλο προς την ευθεία ( ε 1 ) και περιέχει την ευθεία ( ε ) β) η απόσταση των ασυμβάτων ευθειών ( ε 1 ) και ( ε ) γ) η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την ευθεία ( ε ) και είναι κάθετο στο επίπεδο ( Π ). ΘΕΜΑ ( μονάδες) Να βρεθεί η διανυσματική και η καρτεσιανή εξίσωση της επιφάνειας που παράγεται από y την περιστροφή της καμπύλης { x 0, z e } ΘΕΜΑ 3 ( μονάδες) Να αποδείξετε ότι το σύνολο ( ) = = γύρω από τον z-άξονα. {,,, / 0} V = x y z w y z+ w = είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 4 και να βρείτε μια βάση του υπόχωρου αυτού. ΘΕΜΑ 4 (1 μονάδα) Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T : 3 R R με T( x, y, z) = ( x+ y z, 3x y+ 4z) { 1 3 } και οι βάσεις β = = ( 1,1,1 ), = ( 1,1, 0 ), = ( 1, 0,0) { 1 ( 1,3 ), ( 1, 4) } u u u του R 3 και β = w = w = του R. Να βρεθεί ο πίνακας του μετασχηματισμού ως προς τις βάσεις β και β, δηλαδή ο ( T ) β β. ΘΕΜΑ 5 ( μονάδες) Δίνεται ο πίνακας 1 1 A = Να υπολογισθεί, με την μέθοδο της 0 0 διαγωνοποίησης ο πίνακας ν Α όπου ν Ν.

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 001 Α (Μεταφερομένη Εξεταστική περίοδος) 1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R 3 και γιατί: Α) (v,u)= v u B) (v,u)= v u cos 3 θ, Γ) (v,u)= v u cosθ ) Έστω V ο διαν. χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου επί του σώματος R και Μ ο πίνακας : M= 1. Θεωρούμε τον τελεστή Τ : V V που ορίζεται από την σχέση T : 3 4 A V T(A) MA. Να βρεθεί η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση του V που είναι : E 1 = 1 0, E = 0 1, E 3 = 0 0, E 4 = Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α 3) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση r(u) = x(u)i + y(u) j + z(u)k. Να βρεθεί η επιφάνεια που παράγεται κατά την μετατόπιση της καμπύλης C παράλληλα προς το διάνυσμα w = α i +β j+γk. Εφαρμογή για την καμπύλη z=siny με 0 y π και w = i. Κάντε ένα πρόχειρο σχέδιο της επιφάνειας από x=0 έως x=8. Στην νέα θέση της καμπύλης που αντιστοιχεί για x=8, περιστρέψτε την καμπύλη γύρω από τον άξονα με εξισώσεις x=8, y=0,z=0 κατά γωνία π/. Ποια είναι η εξίσωση του νέου τμήματος της επιφάνειας; 4) Δίδεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση r(u) = x(u)i + y(u) j + z(u)k και το επίπεδο Ax+By+Γz=Δ. Να βρείτε τις συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για να τέμνει η καμπύλη το επίπεδο. Εφαρμόστε τα παραπάνω για την καμπύλη r(u)=ui+u j+(u-)k και το επίπεδο x-y+3z=- 5) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση: r(t)=ti+t j+αt 3 k Να προσδιοριστεί η σταθερά α έτσι ώστε η τιμή της καμπυλότητας και της στρέψης να ταυτίζονται σε κάθε σημείο, δηλ. κ(t)=τ(t) t

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 001 Β 1) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί; Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=( x,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y) E) T(x,y)=(cosx, siny) ) Δίνεται ο τελεστής T : R 3 R, Τ(x,y,z)=(3x+y-4z, x-5y+3z) α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις : {f 1 =(1,1,1), f =(1,1,0), f 3 =(1,0,0)} του R 3 και {g 1 =(1,3), g =(,5)} του R β) Να επαληθευθεί η σχέση [ T] g f [v] f =[T(v)] g 3) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση r(u) = x(u)i + y(u) j + z(u)k. Να βρεθεί η επιφάνεια που παράγεται κατά την μετατόπιση της καμπύλης C παράλληλα προς το διάνυσμα w = α i +β j+γk. Εφαρμογή για την καμπύλη z=sinx και w = j. Κάντε ένα πρόχειρο σχέδιο της επιφάνειας. Κάντε ένα πρόχειρο σχέδιο της επιφάνειας. Στην νέα θέση της καμπύλης που αντιστοιχεί για y=8, περιστρέψτε την καμπύλη γύρω από τον άξονα με εξισώσεις y=8, z=0 κατά γωνία π/. Ποια είναι η εξίσωση του νέου τμήματος της επιφάνειας; 4) Δίδεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k και το επίπεδο Ax+By+Γz=Δ. Να βρείτε τις συνθήκες που πρέπει να ισχύουν για να τέμνει η καμπύλη το επίπεδο. Εφαρμόστε τα παραπάνω για την καμπύλη r(t)=(t-)i+tj+t k και το επίπεδο 3x+y-z= 5) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση: r(t)=ti+βt j+/3t 3 k Να προσδιοριστεί η σταθερά β έτσι ώστε η τιμή της καμπυλότητας και της στρέψης να ταυτίζονται σε κάθε σημείο, δηλ. κ(t)=τ(t) t

11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 001 Α 1) Έστω U, W οι εξής υπόχωροι του R 3 : U={(α,β,γ) / α+β+γ=0}, W={(0,0,γ) / γ R} Να δειχθεί ότι R 3 =U+W. Είναι το άθροισμα αυτό ευθύ ; ) Έστω W ο υπόχωρος του R 4 που παράγεται από τα διανύσματα : v 1 =(1,-,5,-3), v (,3,1,-4), v 3 =(3,8,-3,-5) α) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. β) Να επεκταθεί η βάση αυτή σε μια βάση όλου του χώρου R 4. 3) Έστω v, u ιδιοδιανύσματα του τελεστή Α που αντιστοιχούν σε διακεκριμένες ιδιοτιμές. Εξετάστε εάν το διάνυσμα αv+βu, (α 0, β 0), μπορεί να είναι ιδιοδιάνυσμα του Α. 4) Δίνονται οι αναλυτικές εξισώσεις της ευθείας (ε) : x-1= y =z-3. Να βρεθεί η εξίσωση της προβολής της πάνω στο επίπεδο (Π 1 ) με εξίσωση : x-y+4z-3=0 5) Να βρεθεί η εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας με οδηγό την καμπύλη : z=0, y=x και γενέτειρα παράλληλη προς την ευθεία : x-y+z=0, x+5y-z-4=0. 6) α) Πως ορίζεται η καμπυλότητα μιας καμπύλης. β) Να δείξετε ότι εάν η καμπυλότητα μιας καμπύλης είναι εκ ταυτότητος μηδέν, τότε η καμπύλη είναι ευθεία γραμμή.

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 001 Β 1) Έστω V, W οι εξής υπόχωροι του R 3 : V={(α,β,γ) / α=γ}, W={(0,0,γ) / γ R} Να δειχθεί ότι R 3 =V+W. Είναι το άθροισμα αυτό ευθύ ; ) Έστω W ο υπόχωρος που παράγεται από τα πολυώνυμα v 1 (x)=x 3 -x +4x+1, v (x)=x 3 +6x-5, v 3 (x)=x 3-3x +9x-1, v 4 (x)=x 3-5x +7x+5 Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του W. 3) Να δειχθεί ότι εάν κάθε διάνυσμα του χώρου V είναι ιδιοδιάνυσμα του τελεστή Α, τότε Α=λΙ, (λ R). 4) Δίνονται οι αναλυτικές εξισώσεις της ευθείας (ε) : x-1= y =z-3. Να βρεθεί η εξίσωση της προβολής της : πάνω στο επίπεδο (Π ) με εξίσωση : x-y+3z-3=0. 5) Να βρεθεί η εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας με οδηγό την καμπύλη : xy=1, z=0 και γενέτειρα παράλληλη προς την ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Α(,3,4) και Β(3,4,5). 6) α) Πως ορίζεται η στρέψη μιας καμπύλης. β) Να δείξετε ότι εάν η στρέψη μιας καμπύλης είναι εκ ταυτότητος μηδέν, τότε η καμπύλη είναι επίπεδη.

13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 00 (μεταφερομένη) Α 1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,0,1), u =(0,1,1), u 3 =(1,1,1)) ) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R 3 και την απεικόνιση f : R 3 R 3 R f : (v, u) f(v, u) p 1 v 1 u 1 + p v u + p 3 v 3 u 3 όπου v=v 1 i+ v j+ v 3 k, u=u 1 i+ u j+ u 3 k και p 1, p, p 3 τυχαίοι θετικοί αριθμοί. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R 3. 3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων f : R R επί του σώματος των πραγματικών αριθμών. Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του V είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αροθμών; α) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού ακριβώς n. β) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού > n. γ) Το σύνολο όλων των πραγματικών πολυωνύμων βαθμού n. () 4) Τι παριστάνουν στον χώρο R 3 οι παρακάτω εκφράσεις: α) x+y=5 β) x +3y =5 γ) x α y β z γ = = v w s Τι παριστάνουν οι παράμετροι α, β, γ, v, w, s; (1) 5) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την τομή των επιπέδων (Π 1 ): 7x+z-6=0, (Π ) : 17x+y-18=0 και από το σημείο Ρ(1,,). 6) Δίνεται η κυλινδρική ελλειπτική επιφάνεια (S) με εξίσωση x +3y =1 και το σημείο P 0 (4,,3). Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει το σημείο P 0 και εφάπτεται της επιφάνειας S.

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 00 Β 1) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(y, x-z, -x+y+z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,1,0), u =(1,1,1), u 3 =(1,0,1)) ) Θεωρούμε τον διανυσματικό χώρο V=R και την απεικόνιση f : R R R f : (v, u) f(v, u) v 1 u 1 -v 1 u -v u 1 +3v u όπου v=v 1 i+ v j, u=u 1 i+ u j. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση f ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο επί του R. 3) Έστω C[0, 1] ο διανυσματικός χώρος των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί του σώματος R των πραγματικών αριθμών, που ορίζονται στο κλειστό διάστημα [0, 1]. Ποια από τα επόμενα υποσύνολα του είναι διανυσματικοί υπόχωροι επί του σώματος των πραγματικών αριθμών; (i) {f C[0,1] f(1) = 0 } (ii) {f C[0,1] f(1) = 1 } (iii) {f C[0,1] f(0) = f(1) } () 4) Τι παριστάνουν στο χώρο R 3 οι παρακάτω εκφράσεις: α) x+8z=5 β) 4x +y =5 γ) r = r1+λ( r r1) +μv Τι παριστάνουν τα διανύσματα r, r 1, r, v και οι παράμετροι λ, μ; (1) 5) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από την τομή των επιπέδων (Π 1 ): 8x+3y-6=0, (Π ) : y+3z-8=0 και από το σημείο Ρ(,,1). 6) Δίνεται ο κύλινδρος Κ με εξίσωση x +y =5 και το σημείο P 0 (7,1,3). Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει το σημείο P 0 και εφάπτεται του κυλίνδρου Κ.

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 00 Α 1) Δίνεται το υποσύνολο V του R 4 που ορίζεται ως εξής: V={(x 1, x, x 3, x 4 ) / x 1 +x =x 3 +x 4 }. α) Να δειχθεί ότι το V είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 4 και β) να βρεθεί μια βάση του και η διάσταση του. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 0 T = [ ] Be α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(,3,5), f =(1,0,0), f 3 =(0,1,- 1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. 3) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: dx T : f(x) T(f(x) ( + + ) d x 3x f(x) όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } 4) Να βρεθεί η ευθεία (η), που διέρχεται από το σημείο Ρ(1,0,-1) και είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : x-3= y 4 3 =-z 5) Δίνεται η σφαίρα S με εξίσωση x +y +z =9 και το σημείο της Ρ(1,,-). Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτομενικού επιπέδου της σφαίρας στο σημείο Ρ και η εξίσωση της τομής του επιπέδου αυτού με το επίπεδο x-y+6z=3. 6) Δείξτε ότι η καμπύλη r(t)=αcosti+βsintj+(cost+γ)k είναι επίπεδη. Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου.

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 00 B 1) Δίνεται το υποσύνολο V του R 4 που ορίζεται ως εξής: V={(x 1, x, x 3, x 4 ) / x 1 - x =x 3 -x 4 }. α) Να δειχθεί ότι το V είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 4 και β) να βρεθεί μια βάση του και η διάσταση του. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 1 0 T = [ ] Be α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(3,,1), f =(1,0,-), f 3 =(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. 3) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: dx T : f(x) T(f(x) ( + + ) d x 3x f(x) όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } 4) Να βρεθεί το ίχνος της καθέτου από το σημείο Ρ(1,0,-1) προς την ευθεία : x 3 y 4 z = = ) Δίνεται ο κύλινδρος Κ με εξίσωση x +y =5 και το σημείο του Ρ(3,4,). Να βρεθεί η εξίσωση του εφαπτομενικού επιπέδου του κυλίνδρου στο σημείο Ρ και η εξίσωση της τομής του επιπέδου αυτού με το επίπεδο x+y-z=. 6) Δείξτε ότι η καμπύλη r(t)=αsinti+βcosj+(sint+γ)k είναι επίπεδη. Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου.

17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 003 Α 1) Έστω T : R 3 R 3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x-y+3z, x+4y+z, -5y+z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT ) Δίνεται ο πίνακας A( x) τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 1 1 = με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 0 0 x 3) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης : x = 5 3 x y 3 5 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης. 4) Να βρεθεί η ευθεία (η), που διέρχεται από το σημείο Ρ(1,0,-1) και είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : x-3= y 4 3 =-z 5) Θεωρούμε την σφαίρα (Σ) x +y +z =4 και το επίπεδο (Π) 3x+8y-4z=10. Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου (Π 1 ) που είναι παράλληλο προς το επίπεδο (Π) και εφάπτεται της σφαίρας (Σ). 6) α) Το σημείο στον άξονα ΟΧ με τετμημένη 5 β) κενό σύνολο γ) την ευθεία, που τέμνει κάθετα τον άξονα ΟΧ στο σημείο x=5 δ) το επίπεδο, που τέμνει κάθετα τον άξονα ΟΧ στο σημείο x=5

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IIB Εξετάσεις Ιουνίου 003 Β 1) Έστω T : R 3 R 3 η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από την σχέση T(x,y,z)=(x-y+6z, x+y-3z, 3x-y+3z) Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση α) της εικόνας U=ImT και β) του πυρήνος W=kerT ) Δίνεται ο πίνακας A( x) x 0 0 = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 3) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης : x 3 x = y 3 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης. 4) Να βρεθεί το ίχνος της καθέτου από το σημείο Ρ(1,0,-1) προς την ευθεία : x 3 y 4 z = = (1.5) ) Θεωρούμε την σφαίρα (Σ) x +y +z =5 και το επίπεδο (Π) x-3y+4z=30. Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου (Π 1 ) που είναι παράλληλο προς το επίπεδο (Π) και εφάπτεται της σφαίρας (Σ). 6) Ποιο σημειοσύνολο παριστάνει η εξίσωση y=5 α) στον άξονα ΟΧ β) στον άξονα ΟΥ γ) στο επίπεδο ΟΧΥ δ) στο χώρο ΟΧΥΖ

19 A ΘΕΜΑ 1 Έστω U( S) ο υπόχωρος του ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ R που παράγεται από το σύνολο S = {( 1, 0, 1,1 ), (, 1, 0,1 ), ( 1,1,,1) }. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα x = ( 1,3,3, ) στον U( S) και να βρεθεί μια βάση του U( S) που να περιέχει το x. ΘΕΜΑ ανήκει Δίνεται ο πίνακας x+ 1 1 x+ 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο 1 1 x + 1 πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. ΘΕΜΑ 3 = +, όπου u ( x, x ) Να αποδείξετε ότι η έκφραση uv, xy 1 1 xy 1 xy 1 3xy (, ) v = y y ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο 1 R =, 1 ΘΕΜΑ 4 Να βρεθεί η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία { x y 3z 4, x y z } + + = + + = και η εξίσωση της ευθείας η οποία φέρεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην προϋγούμενη ευθεία. ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε την σφαίρα x + y + z = 4 και το επίπεδο (Π) με εξίσωση x+ y+ z = 5. Να βρεθούν οι εξισώσεις των επιπέδων που είναι παράλληλα στο ανωτέρω επίπεδο και εφάπτονται της σφαίρας καθώς επίσης και την απόσταση των επιπέδων αυτών από το επίπεδο (Π).

20 Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 T : V Έστω 1 0 A = ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού V ως πρός την βάση { v, v, v } ενός χώρου V. Να βρεθεί ο πίνακας του 1 3 μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση { = +, = +, = } u v v v u v v v u v v του χώρου V ΘΕΜΑ Δίνεται ο πίνακας x 1 0 x 1 οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις ΘΕΜΑ 3 Να αποδείξετε ότι η έκφραση uv = x1y1 x1y xy1 + 5xy, όπου u = ( x, x ), v = ( y, y ) 1 1 ορίζει εσωτερικό γινόμενο στον χώρο R. ΘΕΜΑ 4 Να βρεθεί η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία { 4x 3y z 1, x y 3z 1} + = + = και η εξίσωση της ευθείας η οποία φέρεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην προϋγούμενη ευθεία. ΘΕΜΑ 5 Θεωρούμε την σφαίρα x + y + z = 5 και το επίπεδο (Π) με εξίσωση x+ y+ z = 7. Να βρεθούν οι εξισώσεις των επιπέδων που είναι παράλληλα στο ανωτέρω επίπεδο και εφάπτονται της σφαίρας καθώς επίσης και την απόσταση των επιπέδων αυτών από το επίπεδο (Π).

21 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα u1, u και u 3 ενός διανυσματικού χώρου V [ R ], είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα { u u, u 3 u, u u } και S = {,, } S = εξαρτημένα ή ανεξάρτητα ( μονάδες) A u u u u u u είναι γραμμικώς ΘΕΜΑ Να αποδείξετε ότι α) το σύνολο a b V = / a, b R είναι διανυσματικός υπόχωρος του a+ b a b διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων στο σώμα R (1 μονάδα) β) να βρεθεί η διάσταση του υπόχωρου αυτού. (1 μονάδα) ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R ο οποίος ορίζεται από την 3 3 σχέση T( x, x, x ) = ( x + x x, x x + x, x + x + x ) α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση B = {( 1,1,0 ),( 1,0,1 ),( 0,1,1) } είναι [ T] B = (1 μονάδα) β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος; (1 μονάδα) ΘΕΜΑ 4 Να βρεθεί η καρτεσιανή (αναλυτική) και η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου το οποίο περιέχει το σημείο ( 1, 0, ) { x y z 1, x y } M και την ευθεία + = =. ( μονάδες) 1 ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η καμπύλη r() t = 3ti+ costj + sintk, 0 t π. Να βρεθούν α) Η φυσική παράσταση της καμπύλης (0.5 μονάδες) β) Η καμπυλότητα και η καρτεσιανή εξίσωση του καθέτου επιπέδου της καμπύλης στο σημείο t = π /4. (1.5 μονάδες) ΘΕΜΑ 6 Να βρεθεί η καρτεσιανή ή η διανυσματική εξίσωση της επιφάνειας που παράγεται κατά την περιστροφή της καμπύλης { z y, x 0} μονάδες = = γύρω από τον z-άξονα. (

22 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 Έστω ότι τα διανύσματα u1, u και u 3 ενός διανυσματικού χώρου V [ R ], είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Να εξετάσετε αν τα σύνολα S 1 = { u1 + u + u3, u1 + u, u u3} και S = { u1 + u + u3, u1 + u, u u 3} είναι γραμμικώς εξαρτημένα ή ανεξάρτητα. ( μονάδες) ΘΕΜΑ Να αποδείξετε ότι a a+ b α) το σύνολο V = / a, b R είναι διανυσματικός υπόχωρος του a b b διανυσματικού χώρου των τετραγωνικών πινάκων στο σώμα R (1 μονάδα) β) να βρεθεί η διάσταση του υποχώρου αυτού. (1 μονάδα) ΘΕΜΑ 3 Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός σχέση T( x, x, x ) = ( x + x, x + x, x + x ) T : R 3 3 B R ο οποίος ορίζεται από την α) Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού αυτού ως προς την βάση B = {( 1,1, 1 ),( 1, 1,1 ),( 1,1,1) } είναι ( T ) = b (1 μονάδα) β) Είναι ο ανωτέρω πίνακας διαγωνοποιήσιμος; (1 μονάδα) ΘΕΜΑ 4 Να βρεθεί η καρτεσιανή (αναλυτική) και η διανυσματική εξίσωση του επιπέδου το οποίο περιέχει την ευθεία { x y, x y z 1} + = + = και είναι κάθετο στο επίπεδο 3x+ 6y+ z = 10. ( μονάδες) ΘΕΜΑ 5 Δίνεται η καμπύλη r() t = costi+ 3tj + sin tk, 0 t π. Να βρεθούν α) Η φυσική παράσταση της καμπύλης (0.5 μονάδες) β) Η καμπυλότητα και η καρτεσιανή εξίσωση του ευθειοποιούντος επιπέδου της καμπύλης στο σημείο t = π /4. (1.5 μονάδες) ΘΕΜΑ 6 Να βρεθεί η καρτεσιανή ή η διανυσματική εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας με οδηγό την καμπύλη x = y = z. ( μονάδε x y + = 1, z = 0 4 και γενέτειρα την ευθεία Α

23 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ ΘΕΜΑ 1 (1.5 μονάδες) a. Να βρεθεί η διανυσματική και η καρτεσιανή εξίσωση της ευθείας η οποία περνάει M 1,1, 0 0 και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα v = i + j + k. b. Να βρεθεί η διανυσματική και η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου που περνάει από το σημείο ( ) από το σημείο M 0 ( 1,1,1) και είναι κάθετο στο διάνυσμα N= i + j + k ΘΕΜΑ ( μονάδες) y Δίνονται η ευθεία ( ε ) με εξίσωση x 1 z 3 x y + 3z = 3. = = και το επίπεδο ( ) Π με εξίσωση a. Να βρεθεί η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου ( Π1 ) το οποίο περιέχει την ευθεία ( ε ) και είναι κάθετο στο επίπεδο ( Π ). b. Να βρεθεί η διανυσματική εξίσωση της τομής των επιπέδων ( Π ) και ( Π ). ΘΕΜΑ 3 (1 μονάδα) Να βρεθεί η διανυσματική ή η καρτεσιανή εξίσωση της επιφάνειας που παράγεται από την περιστροφή της καμπύλης (x-4) +(z-1) =1 γύρω από τον z-άξονα. ΘΕΜΑ 4 ( μονάδες) a. Να εξετάσετε αν το υποσύνολο,,, των τετραγωνικών πινάκων, είναι γραμμικώς εξαρτημένο ή ανεξάρτητο. b. Να αποδείξετε ότι η έκφραση = x + x x = x, x, ορίζει στάθμη στον χώρο R. ΘΕΜΑ 5 ( μονάδες) Έστω U {( x1, x, x3, x4) / x x3 x4 0} x, ;όπου ( ) 1 = + = υποσύνολο του 4 R. 1 a. Να αποδειχθεί ότι το U είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 4. b. Να βρεθεί μια βάση του U ΘΕΜΑ 6 Δίνεται ο πίνακας A = 1 1. Να βρεθούν 1 a. Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Α. (1 μονάδα) n b. Ο πίνακας A όπου n =,3,. (1.5 μονάδες) 1

24 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ A ΘΕΜΑ 1 ( μονάδες) α) Να αποδείξετε ότι το σύνολο W = { x = ( a, β,0,0 ) με a, β } διανυσματικός υπόχωρος του R 4. β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο V = { u1 = ( 1,,3 ), u = ( 1,0,1 ), u 3 = (,1,3 )} R είναι παράγει τον χώρο R 3 και ότι τα διανύσματα u1, u, u3είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. ΘΕΜΑ ( μονάδες) α) Να αποδειχθεί ότι η σχέση = x1y1 + x1y + xy1 + xy ( y, y ) xy με = ( x, x ) x και y = 1 ορίζει στον R εσωτερικό γινόμενο. β) Χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο του ερωτήματος (α), να μετατρέψετε την βάση 1 = { u1 = ( 1,1 ), u = ( 1, ) } γ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος = ( 5,10) B του R σε μια ορθογώνια βάση B. v ως προς την βάση B. ΘΕΜΑ 3 ( μονάδες) Δίνονται η βάση B = { u1, u, u3} του χώρου R 3 και ο πίνακας A = α) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός που αντιστοιχεί στον πίνακα Α. β) Να αποδείξετε ότι ο Α είναι διαγωνοποιήσιμος. 1 γ) Να βρεθεί ένας αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε ο πίνακας P AP να είναι διαγώνιος. ΘΕΜΑ 4 ( μονάδες) Να βρεθούν α) η διανυσματική και η καρτεσιανή εξίσωση της ευθείας (ε) που περνάει από το σημείο M 0 ( 1,1, 1 ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα v = i 3 j k. β) η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία (ε) και γ) η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την ανωτέρω ευθεία (ε) και είναι κάθετο στο επίπεδο x y+ 3z = 1. ΘΕΜΑ 5 ( μονάδες) Δίνεται η καμπύλη (C) με εξίσωση r = 1 cos( θ) i+ 1 ( 1+ sinθ) j + k με 0 θ π. Να βρεθούν α) η φυσική παράσταση της (C) β) η ακτίνα καμπυλότητας σε ένα σημείο της M 0 και γ) η καρτεσιανή εξίσωση της κωνικής επιφάνειας με κορυφή την αρχή των αξόνων και οδηγό την καμπύλη (C). 1

25 ΘΕΜΑ 1 ( μονάδες) -B- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙβ -B α) Να αποδείξετε ότι το σύνολο W = { x = ( a,0,0, β) με a, β } διανυσματικός υπόχωρος του R 4. R είναι β) Να αποδείξετε ότι το σύνολο V = { u1 = (,0,1 ), u = ( 1,3, 1 ), u 3 = (, 4,3) } παράγει τον χώρο R 3 και ότι τα διανύσματα u1, u, u3είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. ΘΕΜΑ ( μονάδες) α) Να αποδειχθεί ότι η σχέση == x1y1 + x1y + xy1 + 4xy ( y, y ) xy με = ( x, x ) x και y = 1 ορίζει στον R εσωτερικό γινόμενο. β) Χρησιμοποιώντας το εσωτερικό γινόμενο του ερωτήματος (α), να μετατρέψετε την βάση B 1 = { u1 = (,1 ), u = ( 1,3) } του R σε μια ορθογώνια βάση B. γ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του διανύσματος v = ( 3,5) ως προς την βάση B. ΘΕΜΑ 3 ( μονάδες) Δίνονται η βάση B = { u1, u, u3} του χώρου R 3 και ο πίνακας A = α) Να βρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός που αντιστοιχεί στον πίνακα Α. β) Να αποδείξετε ότι ο Α είναι διαγωνοποιήσιμος. 1 γ) Να βρεθεί ένας αντιστρέψιμος P τέτοιος ώστε ο πίνακας P AP να είναι διαγώνιος. ΘΕΜΑ 4 ( μονάδες) Να βρεθούν α) η διανυσματική και η καρτεσιανή εξίσωση της ευθείας (ε) που περνάει από το σημείο M 0 ( 1,1, ) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα v = i j + k. β) η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία (ε) και γ) η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου που περιέχει την ανωτέρω ευθεία (ε) και είναι κάθετο στο επίπεδο x 3y+ z = 1. ΘΕΜΑ 5 ( μονάδες) Δίνεται η καμπύλη (C) με εξίσωση r = 1 ( 1+ cosθ) i+ 1 sin( θ) j + k με 0 θ π. Να βρεθούν α) η φυσική παράσταση της (C) β) η ακτίνα καμπυλότητας σε ένα σημείο της M 0 και γ) η καρτεσιανή εξίσωση της κωνικής επιφάνειας με κορυφή την αρχή των αξόνων και οδηγό την καμπύλη (C). 1

26 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Φεβρουαρίου 011 Α 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 0 T = [ ] Be α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(,3,5), f =(1,0,0), f 3 =(0,1,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: dx T : f(x) T(f(x) ( + + ) d x 3x f(x) όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } 3) Δίνεται ο πίνακας A( x) 1 1 = με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 0 0 x τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g C[-1,1] η σχέση : x fxgxdx ( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να 1 <f g>= ( 1 ) 1 επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x 3.

27 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Φεβρουαρίου 011 B 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 1 0 T = [ ] Be α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(3,,1), f =(1,0,-), f 3 =(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: dx T : f(x) T(f(x) ( x ) d 1 f(x) όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } 3) Δίνεται ο πίνακας A( x) x 0 0 = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 5) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,)

28 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιουνίου 011 1) Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R 3 επί του σώματος R. Θεωρούμε την συνήθη βάση B e ={e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} και τον τελεστή T : R 3 R 3, του οποίου η παράσταση υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β e είναι: 1 0 T = [ ] Be α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ ως προς την βάση B f ={f 1 =(3,,1), f =(1,0,-), f 3 =(0,0,1)}. β) Να βρεθούν οι διανυσματικοί υπόχωροι Im(T), Ker(T) και οι διαστάσεις τους. ) Έστω ο διανυσματικός χώρος P 3 (x) των πολυωνύμων 3 ου βαθμού. Θεωρούμε την απεικόνιση T: P 3 (x) P 3 (x) που ορίζεται από την σχέση: dx T : f(x) T(f(x) ( x ) d 1 f(x) όπου f(x) πολυώνυμο 3 ου βαθμού. α) Να δείξετε ότι η απεικόνιση αυτή είναι γραμμική. β) Nα βρείτε την παράσταση της υπό μορφή πίνακα ως προς την βάση Β={1, x, x, x 3 } 3) Δίνεται ο πίνακας A( x) x 0 0 = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz <f(x) g(x)> f(x) g(x) στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,)

29 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Νοεμβρίου 011 (για τους επί πτυχίω) 1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P( x ) 3 ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 7) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου ) Έστω ο διανυσματικός χώρος Μ των τετραγωνικών πινάκων και η απεικόνιση T:M M a b a b c a+ c T: T c d c d b c d Α) Να αποδειχθεί ότι η απεικόνιση Τ είναι γραμμική. Β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της απεικόνισης T. Γ) Οι διαστάσεις της εικόνας Im(T) και του πυρήνα Ker(T). a (Υπόδειξη: Θεωρείστε το διάνυσμα-πίνακα c a b b σαν διάνυσμα-στήλη. d c d 4) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού d τελεστή dx βαθμού. ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο P ( x ) των πολυωνύμων 3 ου 3

30 Α ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιανουαρίου 01 1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P ( x ) 4 ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 3) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου γ) Εάν ζητήσουμε το πολυώνυμο P( x ) να έχει και το 4 σαν ρίζα τότε το νέο υποσύνολο W που ορίζεται W = p( x) / p( x) = ( x 3)( x 4)( b + b x+ b x ) είναι διανυσματικός υπόχωρος; Εάν ναι βρείτε μια βάση του. { 0 } ) Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R 3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R 3 και γιατί ; α) U={ (x,y,z) / x-3y+z=0} β) W={ (x,y,z) / x-3y+z=} 3) Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz ( vu, ) v u να δειχθεί ότι n n εάν α 1, α,, α n >0 τότε 1 α j n j=1 k=1 α. k 4) Έστω Α ένας πίνακας. Αποδείξτε ότι εάν το ίχνος του Α είναι μηδέν, τότε ο Α είναι πολλαπλάσιος του ταυτοτικού πίνακα. 5) Δίνεται ο πίνακας A( x) τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 1 1 = με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 0 0 x

31 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιανουαρίου 01 B 1) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P( x ) 4 ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 5) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου γ) Εάν ζητήσουμε το πολυώνυμο P( x ) να έχει και το 3 σαν ρίζα τότε το νέο υποσύνολο W που ορίζεται W = p( x) / p( x) = ( x 3)( x 5)( b + b x+ b x ) είναι διανυσματικός υπόχωρος; Εάν ναι βρείτε μια βάση του. { 0 } ) Ποια από τα παρακάτω υποσύνολα του διανυσματικού χώρου R 3 αποτελούν διανυσματικό υπόχωρο του R 3 και γιατί ; α) U={ (x,y,z) / x-3y+z=0} β) W={ (x,y,z) / x-3y+z=} 3) Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy-Schwarz ( vu, ) v u να δειχθεί ότι n n εάν α 1, α,, α n >0 τότε 1 α j n j=1 k=1 α. k 4) Αποδείξτε ότι ο μεταθέτης δύο πινάκων Α και Β ποτέ δεν μπορεί να είναι μη μηδενικό πολλαπλάσιο του ταυτοτικού πίνακα. 5) Δίνεται ο πίνακας A( x) τις οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. x 0 0 = 1 0 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για 1 1 3

32 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Ιουνίου 01 (για τους επί πτυχίω) α 0 0 1) Δίνεται ο πίνακας Α= α του χώρου Μ 3 [R]. Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος. (1.7) ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (1.7) 3) Έστω V ο διαν. χώρος των πολυωνύμων. Να δείξετε ότι η έκφραση : ( fx gx ) 1 ( ), ( ) = fxgxdx ( ) ( ) 0 αποτελεί εσωτερικό γινόμενο : Έστω f(x)=x+, g(x)=x -x-3. Να υπολογιστούν α) (f(x),g(x)), β) f(x), g(x). 4) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα κύκλου, του οποίου η περιφέρεια έχει εξίσωση x +y =1. Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης : x 3 x = y 3 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης.

33 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 01 Α 1) α) Αν v 0 ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να απόδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=1} δεν είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Να αποδειχθεί ότι η σχέση <x y>=x 1 y 1 +x y +3x 3 y 3 με x=(x 1,x,x 3 ) και y=(y 1,y,y 3 ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο R 3 και να επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση x=(1,0,) και y=(,1,) ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y-z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V ) Δίνεται ο πίνακας x+ 1 1 x+ 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις 1 1 x + 1 οποίες ο πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις αποτελούν εσωτερικό γινόμενο στον διανυσματικό χώρο V=R 3 και γιατί: Α) (v,u)= v u B) (v,u)= v u cos 3 θ, Γ) (v,u)= v u cosθ 5) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(x+3z, y+4z, z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,0,1), u =(0,1,1), u 3 =(1,1,1

34 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 01 B 1) α) Αν v ένα στοιχείο ενός διαν. χώρου V[F] με εσωτερικό γινόμενο, να αποδειχθεί ότι το σύνολο W={u V / <u v>=0} είναι διαν. υπόχωρος του V. β) Έστω C[-1,1] ο διανυσματικός χώρος των πραγματικών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [-1,1]. Να αποδειχθεί ότι για f,g C[-1,1] η σχέση : x fxgxdx ( ) ( ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στον χώρο C[-1,1] και να 1 <f g>= ( 1 ) 1 επαληθευτεί η ανισότητα του Schwarz στην περίπτωση όπου f(x)=x και g(x)=x 3. ) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (1.7) ) Δίνεται ο πίνακας 1 x 1 με x R. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες ο 0 x 1 πίνακας αυτός είναι διαγωνοποιήσιμος. 4) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις ορίζουν γραμμικούς μετασχηματισμούς και σε ποιους χώρους και γιατί; Α) T(x,y)=(x+1, 3y, y-x) B) T(x,y)=( x,0) Γ) T(x,y)=(xy,y) Δ) T(x,y,z)=(z,x,y) E) T(x,y)=(cosx, siny) 5) Δίνεται ο μετασχηματισμός T : R 3 R 3 που ορίζεται από τη σχέση: T(x,y,z)=(y, x-z, -x+y+z) α) Να αποδειχθεί ότι ο T είναι γραμμικός. β) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του Τ. γ) Ελέγξτε εάν ο Τ είναι αντιστρέψιμος και σε θετική περίπτωση να βρεθεί ο αντίστροφος. δ) Να βρεθεί η παράταση του T ως προς την βάση B={u 1 =(1,1,0), u =(1,1,1), u 3 =(1,0,1))

35 Α ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εξετάσεις Ιανουαρίου 013 1) Να δειχθεί ότι το σύνολο των διανυσμάτων {( a b, a b, a) / a, b R} + είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 3. Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του υποχώρου. (1 ή 1,) ) Να δείξετε ότι η επίδραση ενός πίνακα Α 3 3 πάνω στα σημεία μιας ευθείας την μετασχηματίζει πάλι σε ευθεία. (1 ή 1,) 3) Να βρεθούν όλα τα διανύσματα που είναι ορθογώνια στα διανύσματα v 1 =(,4,,-6) και v =(3,-,-5,-1). Το σύνολο αυτό των ορθογωνίων διανυσμάτων αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο του R 4 ; (1,5 ή 1,8) 4) Στον διανυσματικό χώρο Ρ 3 (x) των πολυωνύμων τρίτου βαθμού, ποιος πίνακας παριστά την δεύτερη παράγωγο; (1 ή 1,) 5) Θεωρούμε την ευθεία (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει γωνία t με τον άξονα ΟΧ. Να βρεθεί ο πίνακας Α που προβάλλει ένα τυχαίο διάνυσμα v=(x,y) στην ευθεία (ε). Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία για τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Είναι ο πίνακας αντιστρέψιμος; Είναι ο πίνακας διαγωνοποιήσιμος; ( ή,4) 6) Έστω ο διανυσματικός χώρος R 3 επί του σώματος F=R και W={w=(x,y,z) / x,y,z R} ένα υποσύνολο του R 3. Ποια σχέση f(x,y,z)=0 πρέπει να πληρούν οι συνιστώσες x,y,z των διανυσμάτων w του W για να είναι το υποσύνολο W διανυσματικός υπόχωρος του R 3, α) διαστάσεως δυο, β) διαστάσεως ένα; Τι γεωμετρικό σχήμα έχει ο υπόχωρος αυτός στις περιπτώσεις α) και β). ( ή,4) 7) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση: () = cos + sin + ( 4sin + 6cos + 10) r t ti tj t t k. C α) Να δειχθεί ότι η καμπύλη αυτή βρίσκεται πάνω σε επίπεδο Π 1 και να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου. β) Να βρεθεί η κωνική επιφάνεια με κορυφή την αρχή των αξόνων και οδηγό την καμπύλη r C. γ) Έστω Π το επίπεδο x+ 3y z+ 75= 0. Εάν στην αρχή των αξόνων υπάρχει φωτεινή πηγή και θεωρήσουμε το επίπεδο Π 1 να είναι διαφανές, ενώ το Π αδιαφανές, (όπως και η καμπύλη r C ), να βρεθεί η διανυσματική εξίσωση της σκιάς, που δημιουργεί η καμπύλη στο επίπεδο Π. (,5)

36 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εξετάσεις Ιανουαρίου 013 1) Να δειχθεί ότι το σύνολο των διανυσμάτων {( a b, a b, a) / a, b R} Β + είναι διανυσματικός υπόχωρος του R 3. Να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του υποχώρου. (1 ή 1,) ) Να δείξετε ότι η επίδραση ενός πίνακα Α 3 3 πάνω στα σημεία μιας ευθείας την μετασχηματίζει πάλι σε ευθεία. (1 ή 1,) 3) Να βρεθούν όλα τα διανύσματα που είναι ορθογώνια στα διανύσματα v 1 =(,3,-8,-7) και v =(1,-4,7,). Το σύνολο αυτό των ορθογωνίων διανυσμάτων αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο του R 4 ; (1,5 ή 1,8) 4) Θεωρούμε τους διανυσματικούς χώρους Ρ 3 (x) και Ρ 4 (x) των πολυωνύμων τρίτου και τέταρτου βαθμού αντίστοιχα. Να βρεθεί ο πίνακας που παριστάνει την ολοκλήρωση των πολυωνύμων του Ρ 3 (x). (1 ή 1,) 5) Θεωρούμε την ευθεία (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει γωνία t με τον άξονα ΟΧ. Να βρεθεί ο πίνακας Α που απεικονίζει ένα τυχαίο διάνυσμα v=(x,y) στο συμμετρικό του ως προς την ευθεία (ε). Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία για τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Είναι ο πίνακας Α αντιστρέψιμος ; Είναι διαγωνοποιήσιμος; ( ή,4) 6) Έστω ο διανυσματικός χώρος R 3 επί του σώματος F=R και W={w=(x,y,z) / x,y,z R} ένα υποσύνολο του R 3. Ποια σχέση f(x,y,z)=0 πρέπει να πληρούν οι συνιστώσες x,y,z των διανυσμάτων w του W για να είναι το υποσύνολο W διανυσματικός υπόχωρος του R 3, α) διαστάσεως δυο, β) διαστάσεως ένα; Τι γεωμετρικό σχήμα έχει ο υπόχωρος αυτός στις περιπτώσεις α) και β). ( ή,4) 7) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση: r () t = t i+ C sin tj+ ( t sin t 10) k. α) Να δειχθεί ότι η καμπύλη αυτή βρίσκεται πάνω σε επίπεδο Π 1 και να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου. β) Να βρεθεί η κωνική επιφάνεια με κορυφή την αρχή των αξόνων και οδηγό την καμπύλη r C. γ) Έστω Π το επίπεδο x y+ 3z+ 0= 0. Εάν στην αρχή των αξόνων υπάρχει φωτεινή πηγή και θεωρήσουμε το επίπεδο Π 1 να είναι διαφανές, ενώ το Π αδιαφανές, (όπως και η καμπύλη r C ), να βρεθεί η διανυσματική εξίσωση της σκιάς, που δημιουργεί η καμπύλη στο επίπεδο Π. (,5)

37 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ και ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εξετάσεις Ιουνίου 013 1) Στον διανυσματικό χώρο Ρ 3 (x) των πολυωνύμων τρίτου βαθμού, ποιος πίνακας παριστά την δεύτερη παράγωγο ως προς την βάση {1, x, x, x 3 }; Ποιούς διανυσματικούς υπόχωρους έχει ο Ρ 3 (x); Για κάθε υπόχωρο βρείτε μια βάση και την διάσταση του. (1) ) Να βρεθούν όλα τα διανύσματα που είναι ορθογώνια στα διανύσματα v 1 =(,4,,4,) και v =(,-1,,-1,). Το σύνολο αυτό των ορθογωνίων διανυσμάτων αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο του R 5 ; Σε θετική περίπτωση να βρεθεί μια βάση και η διάσταση του. () 3) α) Πότε ένας άνω τριγωνικός πίνακας είναι μη ιδιάζων; β) Πόσα στοιχεία ενός συμμετρικού πίνακα n n είναι ανεξάρτητα; γ) Πόσα στοιχεία ενός αντισυμμετρικού πίνακα n n είναι ανεξάρτητα; (1,5) 4) Να δείξετε ότι ένα κριτήριο για την γραμμική ανεξαρτησία n διανυσμάτων του χώρου R n είναι να μην μηδενίζεται η ορίζουσα του πίνακα που σχηματίζεται από τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων. (1,5) 5) Να διατυπωθεί και αποδειχθεί η ανισότητα των Cauchy-Schwarz και στη συνέχεια να δείξετε ότι ( u1+ u + un) n( u1 + u + + un). Πότε ισχύει η ισότητα; () 6) Έστω v, u ιδιοδιανύσματα του τελεστή Α που αντιστοιχούν σε διακεκριμένες ιδιοτιμές. Να δείξετε ότι το διάνυσμα αv+βu, (α 0, β 0), δεν μπορεί να είναι ιδιοδιάνυσμα του Α. () Καλή επιτυχία

38 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ και ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 013 1) Να αποδείξετε ότι εάν οι γραμμικοί τελεστές Α, Β μετατίθενται, (ΑΒ=ΒΑ), τότε κάθε ιδιόχωρος του τελεστή Α είναι ένας αναλλοίωτος υπόχωρος του τελεστή Β. (Ένας υπόχωρος U ενός διαν. χώρου V λέγεται αναλλοίωτος υπόχωρος ενός τελεστή Τ εάν Τx U, x U). (1) ) Μια επίπεδη ελαστική μεμβράνη έχει σχήμα τριγώνου, του οποίου οι κορυφές ορίζονται από τα σημεία: (0,0), (1,), (3,). Τεντώνουμε την μεμβράνη έτσι ώστε ένα σημείο της P(x,y) να μεταφέρεται στο σημείο Q(x,y ) βάσει της σχέσης : x 3 x = y 3 y Nα βρεθούν τα σημεία της μεμβράνης, των οποίων τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης δεν περιστρέφονται κατά το τέντωμα της. Να βρεθεί το νέο σχήμα της μεμβράνης. () 3) Έστω Τ: R R μια γραμμική απεικόνιση για την οποία γνωρίζουμε ότι Τ(1,1)=3 και Τ(0,1)=-. Να βρεθεί η γενική έκφραση T(x,y). (1,5) 4) Θεωρούμε α) το σύνολο των διανυσμάτων του επιπέδου, των οποίων οι αρχές βρίσκονται στην αρχή των συντεταγμένων και τα πέρατα μέσα στο πρώτο τεταρτημόριο (0 x,y). β) το σύνολο των διανυσμάτων του χώρου R 3, των οποίων οι αρχές βρίσκονται στην αρχή των συντεταγμένων και τα πέρατα μέσα στο πρώτο οκταημόριο (0 x,y,z). Να εξετάσετε εάν τα σύνολα αυτά αποτελούν διανυσματικό χώρο, (με τις γνωστές πράξεις). (1,5) 5) Έστω ο διανυσματικός V=R 3. Να ορίσετε όλους τους δυνατούς γνήσιους υποχώρους. Ποιές είναι οι διαστάσεις τους; Τι παριστούν γεωμετρικά οι υπόχωροι αυτοί και από ποιές σχέσεις ορίζονται; Βρείτε βάσει των σχέσεων αυτών κάποια βάση τους. Έστω ο διανυσματικός V=R 3. () 6) α) Πότε ένας άνω τριγωνικός πίνακας είναι μη ιδιάζων; β) Πόσα στοιχεία ενός συμμετρικού πίνακα n n είναι ανεξάρτητα; γ) Πόσα στοιχεία ενός αντισυμμετρικού πίνακα n n είναι ανεξάρτητα; ()

39 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ και ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Εξετάσεις Ιανουαρίου 014 1) Στον διανυσματικό χώρο V=R να βρεθεί ο πίνακας που περιστρέφει κάθε διάνυσμα v κατά γωνία θ. Είναι ο πίνακας αυτός: α) διαγωνοποιήσιμος; β) αντιστρέψιμος; Εάν ναι να βρεθεί ο αντίστροφος. ( ή,5) ) α) Πότε ένας άνω τριγωνικός πίνακας είναι μη ιδιάζων; β) Πόσα στοιχεία ενός συμμετρικού πίνακα n n είναι ανεξάρτητα; γ) Πόσα στοιχεία ενός αντισυμμετρικού πίνακα n n είναι ανεξάρτητα; (1 ή 1,5) 3) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων P( x ) 3 ου βαθμού. α) Να αποδειχθεί ότι το υποσύνολο U του V που ικανοποιεί την σχέση P ( 5) = 0 αποτελεί διανυσματικό υπόχωρο. β) Να βρεθεί μια βάση αυτού του υποχώρου P x να έχει και το σαν ρίζα τότε να δείξετε γ) Εάν ζητήσουμε το πολυώνυμο ( ) ότι το νέο υποσύνολο W, που ορίζεται W = { p( x) / p( x) = ( x 5)( x )( b0 + bx) } είναι διανυσματικός υπόχωρος. Να βρεθεί μια βάση του. ( ή,5) 4) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του διαφορικού d τελεστή ο οποίος επιδρά στον διανυσματικό χώρο P3 ( x ) των πολυωνύμων 3 ου dx βαθμού. (1,5ή 1,85) 5) Δίνεται ο διαν. υπόχωρος V={(x,y,z,w) / y+z+w=0} του R 4. Να βρεθεί μια ορθοκανονική βάση του V. (1,5 ή 1,9) 6) Δίνεται η καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση: r () t = cos ti+ C sin tj+ ( 4sin t+ 6cos t+ 10) k. α) Να δειχθεί ότι η καμπύλη αυτή βρίσκεται πάνω σε επίπεδο Π 1 και να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου. β) Να βρεθεί η κωνική επιφάνεια με κορυφή την αρχή των αξόνων και οδηγό την καμπύλη r C. β) Έστω Π το επίπεδο x+ 3y z+ 75= 0. Εάν στην αρχή των αξόνων υπάρχει φωτεινή πηγή και θεωρήσουμε το επίπεδο Π 1 να είναι διαφανές, ενώ το Π αδιαφανές, (όπως και η καμπύλη r C ), να βρεθεί η διανυσματική εξίσωση της σκιάς, που δημιουργεί η καμπύλη στο επίπεδο Π. ( )