Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος"

Transcript

1 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : abeligia/linearalgebrai/laiihtml 30 Ιουνιου 01 If you can reduce a mathematical problem to a problem in Linear Algebra, you can most likely solve it, provided that you know enough Linear Algebra Peter Lax Βραβείο Abel 005

2 Περιεχόµενα Μέρος 1 Ασκήσεις Προς Λύση 4 Μέρος Πρόχειρες οκιµασίες στην Τάξη 4 Μέρος 3 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση 7 Μέρος 4 Επίλυση Πρόχειρων οκιµασιών στην Τάξη 46 Μέρος 5 Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων 64 Μέρος 6 Θεωρητικά Θέµατα 147 Ι Η οµή Ενός Ενδοµορφισµού Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Ιδιοτιµές Σύνθεσης Γραµµικών Απεικονίσεων και Γινοµένου Πινάκων Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων 148 Τριγωνοποίηση Άνω Τριγωνικοί Πίνακες και Κάτω Τριγωνικοί Πίνακες 150 Πότε είναι ένας πίνακας όµοιος µε έναν άνω τριγωνικό πίνακα; Αλγόριθµος Τριγωνοποίησης Πίνακα Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Πολυωνυµικές Γραµµικές Απεικονίσεις και Πολυωνυµικοί Πίνακες Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Μια άλλη απόδειξη τού Θεωρήµατος Cayley-Hamilton Ελάχιστο Πολυώνυµο Πυρήνες Πολυωνυµικών Γραµµικών Απεικονίσεων Κριτήριο ιαγωνοποίησης Μηδενοδύναµοι Ενδοµορφισµοί και Πίνακες Κανονική Μορφή Fitting Αποσύνθεση Fitting Κανονική Μορφή Fitting Ευθύ Άθροισµα Γραµµικών Απεικονίσεων και Πινάκων 17 6 Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Πινάκων Ταυτόχρονη διαγωνοποίηση Γραµµικών Απεικονίσεων Η Κανονική Μορφή Jordan - I Μηδενοδύναµες Γραµµικές Απεικονίσεις Μηδενοδύναµοι Πίνακες Βάσεις Jordan Η Κανονική Μορφή Jordan ενός πίνακα Αλγόριθµος Εύρεσης Κανονικής Μορφής Jordan Αλγόριθµος Εύρεσης Αντιστρέψιµου Πίνακα P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 AP να είναι η Κανονική Μορφή Jordan του A 186

3 3 77 Κριτήριο Οµοιότητας Πινάκων Κριτήριο ιαγωνοποίησης Πινάκων Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι όµοιος µε τον ανάστροφό του Ανάλυση τετραγωνικού πίνακα σε γινόµενο δύο συµµετρικών πινάκων ένας εκ των οποίων είναι αντιστρέψιµος Ανάλυση τετραγωνικού πίνακα σε άθροισµα διαγωνοποιήσιµου και µηδενοδύναµου πίνακα Η Κανονική Μορφή Jordan - II Αναλλοίωτοι και κυκλικοί υπόχωροι Μηδενοδύναµοι ενδοµορφισµοί κυκλικοί υπόχωροι 197 ΙΙ Ευκλείδειοι Χώροι Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Σταθµητοί Χώροι Το Θεώρηµα των Jordan-Von Neumann Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Πίνακας και Ορίζουσα Gram ιαδικασία Gram-Schmidt Ογκος Παραλληλεπιπέδου σε Ευκλείδειους Χώρους Η Γεωµετρική Ερµηνεία της Ορίζουσας και η Ανισότητα του Hadamard 15 1 Ισοµετρίες 0 11 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών 0 1 Κανονική µορφή Ορθογωνίων Πινάκων 1 13 Ανακλάσεις 13 Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Η Παραγοντοποίηση QR ενός πίνακα 4 13 Πολική Ανάλυση Ορθογώνια Τριγωνοποίηση 9 14 Αντισυµµετρικοί Πίνακες Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Ο υϊκός Χώρος 3 17 Κανονικοί Ενδοµορφισµοί και Κανονικοί Πίνακες Τετραγωνικές Μορφές Μέτρο Πίνακα 35 0 Βιβλιογραφία 36

4 4 Μέρος 1 Ασκήσεις Προς Λύση Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : abeligia/linearalgebraii/laiihtml Ασκηση 1 Θεωρούµε τους υπόχωρους του R 3 : V = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0, 3x + y + z = 0 } W = { (x, y, z) R 3 5x + 4y + 3z = 0 } Να εξετάσετε αν ισχύει ότι : R 3 = V W Αν αυτό δεν ισχύει να ϐρείτε υπόχωρους U και Z έτσι ώστε R 3 = V U = W Z Ασκηση Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του R 4 : V = (1,, 1, 1), (1, 1, 1, 1) και W = ( 1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1) (1) Είναι το άθροισµα V + W ευθύ ; () Πόσοι υπόχωροι Z του R 4 υπάρχουν έτσι ώστε V Z = R 4 ; ικαιολογήστε την απάντηση σας Ασκηση 3 Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του C-διανυσµατικού χώρου C 3 : V = (1, 1, 0), (i, 1 + i, 1), (1 + i, 1 + i, 0) και W = (1, 0, 1), (i, i, 0), (0, i, i) Να ϐρείτε υπόχωρο U του C 3 έτσι ώστε (V W) U = C 3 Ασκηση 4 Να εξετάσετε αν ισχύει ότι : R 3 [t] = V W, όπου V και W είναι οι ακόλουθοι υπόχωροι του R 3 [t]: V = 1, t + t, + 3t + 3t και W = t, t 3 Ασκηση 5 Να δείξετε, µε ένα αντιπαράδειγµα, ότι αν V 1,, V n είναι υπόχωροι του διανυσµατικού χώρου E, και ισχύουν οι σχέσεις : V i V j = { 0}, i, j = 1,, n, i j τότε δεν ισχύει απαραίτητα ότι το άθροισµα V 1 V V n είναι ευθύ Ασκηση 6 Θεωρούµε τα ακόλουθα υποσύνολα του R 4 : W 1 = {(t, t, t, t) R 4 t R}, W = {(t, s, t 3s, s) R 4 t, s R} W 3 = {(t, s, 0, r) R 4 t s + r = 0}

5 5 (1) Να δείξετε ότι τα υποσύνολα W 1, W, W 3 είναι υπόχωροι του R 4 και να ϐρεθεί η διάσταση τους () Να εξετασθεί αν το άθροισµα W 1 + W + W 3 είναι ευθύ (3) Να δείξετε ότι R 4 = W 1 (W + W 3 ) Ασκηση 7 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση (1) Αν f = f, να δείξετε ότι E = Ker f Im f () Αν f = Id E, να δείξετε ότι E = V 1 V όπου : V 1 = { x E f( x) = x } και V = { x E f( x) = x } Ασκηση 8 Εστω A M n n (K) (1) Αν A = A, να δείξετε ότι ο A είναι όµοιος µε τον πίνακα : ( ) O(n r) (n r) O B = r (n r) = O (n r) r I r όπου I r είναι ο µοναδιαίος r r πίνακας και r = r(a) () Αν A = I n, να δείξετε ότι ο A είναι όµοιος µε τον πίνακα ( ) In r O B = r (n r) = O (n r) r I r όπου r είναι η διάσταση του υπόχωρου {X K n A X = X} του K n Ασκηση 9 Εστω ότι V 1, V,, V m είναι υπόχωροι ενός K-διανυσµατικού χώρου E Θεωρούµε τον K-διανυσµατικό χώρο V 1 V V m και ορίζουµε µια απεικόνιση f : V 1 V V m E, f( v 1, v,, v m ) = v 1 + v + + v m (1) Να δείξετε ότι η f είναι γραµµική () Ποιά είναι η εικόνα Im(f) της f; (3) Να δείξετε ότι η f είναι µονοµορφισµός αν και µόνον αν το άθροισµα V 1 + V + + V m είναι ευθύ (4) Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός αν και µόνον αν E = V 1 V V m Ασκηση 10 Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση, όπου E και F είναι K-διανυσµατικοί χώροι πεπερασµένης διάστασης Υποθέτουµε ότι η f είναι επιµορφισµός (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση g : F E έτσι ώστε : f g = Id F

6 6 () Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός : E = Ker(f) Im(g)

7 7 Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 11 (1) Να εφαρµόσετε την Ευκλείδεια διαίρεση στα πολυώνυµα P (t) = 9t 6 + 4t και Q(t) = t + t + 3 () Βρείτε τις ϱίζες των πολυωνύµων t 3 t +t και t εξετάζοντας τους διαιρέτες των σταθερών όρων (3) ίνεται το πολυώνυµο P (t) = t 4 7t 3 +18t 0t+8 Να ϐρείτε τις ϱίζες του και την πολλαπλότητα κάθε ϱίζας Ασκηση 1 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και f : E E ένας ενδοµορ- ϕισµός του E Εστω x και y δύο ιδιοδιανύσµατα του f τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές του f Αν a, b K και ab 0, να δείξετε ότι το διάνυσµα a x + b y δεν είναι ιδιοδιάνυσµα της f Ασκηση 13 Βρείτε τις ιδιοτιµές καθώς και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους του πίνακα 0 i i i 0 i M 3 3 (C) i i 0 Ασκηση 14 Θεωρούµε τον ακόλουθο ενδοµορφισµό του R-διανυσµατικού χώρου R 3 : f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y, x + y, y z) Να ϐρείτε τις ιδιοτιµές του f καθώς και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους Ασκηση 15 Βρείτε τις ιδιοτιµές και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους του πίνακα M 3 3 (R) 1 1 Ασκηση 16 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του πίνακα M 3 3 (R) 4 4 Ασκηση 17 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδοµορφισµού f : R [t] R [t], P (t) f(p (t)) = P (t) P (t)

8 8 Ασκηση 18 Αν λ είναι µια ιδιοτιµή ενός ενδοµορφισµού f : E E ή ενός πίνακα A M n n (K), να δείξετε ότι το λ m είναι ιδιοτιµή του ενδοµορφισµού f m ή του πίνακα A m αντίστοιχα, m 1 Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V f (λ) και V f m(λ m ) ή των ιδιοχώρων V A (λ) και V A m(λ m ) αντίστοιχα ; Ασκηση 19 Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του K-διανυσµατικού χώρου E Αν ο f είναι ισοµορφισµός, να δείξετε ότι το λ K είναι ιδιοτιµή του f αν και µόνον αν το λ 1 είναι ιδιοτιµή του f 1 Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V f (λ) και V f 1(λ 1 );

9 9 Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 0 Θεωρούµε τη γραµµική απεινόνιση f : C 3 C 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (x y, x + y, y z) Είναι η f διαγωνοποιήσιµη ; Αν ναι να διαγωνοποιηθεί Ασκηση 1 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων του πίνακα A = M 3 3 (R) Ακολούθως να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 AP να είναι διαγώνιος Ασκηση Θεωρούµε τον πίνακα A = M 3 3 (R) Να ϐρεθεί ο πίνακας A m, m 1 Ασκηση 3 Ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι αριθµοί α, β, γ, δ, ɛ, ζ, έτσι ώστε ο πίνακας 3 α β γ A = 0 3 δ ɛ ζ να είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 4 Θεωρούµε τον πίνακα A = M 3 3 (R) 1 5 Να δειχθεί ότι : A 593 A 15 = A

10 10 Ασκηση 5 Να ϐρεθούν αναγκαίες και ικανές συνθήκες τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν τα µ, ν R, έτσι ώστε ο πίνακας A = µ 3 0 ν να είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 6 Να δείξετε ότι οι πίνακες και είναι όµοιοι Ασκηση 7 Να ϐρεθεί ένας 3 3-πίνακας A για τον οποίο τα διανύσµατα στήλες X = 1 1, Y = 0 1, Z = είναι ιδιοδιανύσµατα του A µε αντίστοιχες ιδιοτιµές 1, και 3 Ασκηση 8 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < (α ) Αν f = Id E, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη (ϐ ) Αν f = f, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη () Εστω A M n n (K) (α ) Αν A = I n, να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐ ) Αν A = A, να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 9 Εστω (x n ) n 0, (y n ) n 0 και (z n ) n 0 ακολουθίες πραγµατικών αριθµών οι οποίες συνδέονται µε τις παρακάτω αναγωγικές σχέσεις, n 1: x n = x n 1 y n = x n 1 3y n 1 z n 1 z n = x n 1 + 4y n 1 + 3z n 1 Να ϐρεθούν οι ακολουθίες, αν γνωρίζουµε ότι : x 0 =, y 0 = 3, z 0 = 1

11 Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 30 Βρείτε τα ελάχιστα πολυώνυµα των ακόλουθων πινάκων πραγµατικών αριθµών : A = και B = Ασκηση 31 Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A (t) του πίνακα A = και στη συνέχεια µε τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να υπολογίσετε τον πίνακα B = A 3 3A 4A A 0 A 6 + 3A 5 + 4A 4 11A 3 + 4A + 5A + I 3 Ασκηση 3 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : 4 0 A = (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικος ( ) 5 Ασκηση 33 Εστω A = Με τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να εκφράσετε 1 3 τον αντίστροφο του πίνακα B = A 4 + 5A 3 48A I µε τη µορφή κa + λi, κ, λ R Ασκηση 34 Εστω A ένας πίνακας µε στοιχεία από το R, και έστω k ένας ϕυσικός αριθµός, k > Με τη ϐοήθεια του Θεωρήµατος των Cayley-Hamilton να αποδείξετε ότι A k = 0 = A = 0 Ασκηση 35 Εστω R(t) = a 0 + a 1 t + + a k t k ένα πολυώνυµο υπεράνω του K µε a 0 0 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του K Αν R(f) = 0, δείξτε ότι η f είναι ισοµορφισµός Να υπολογισθεί η f 1 () Αν A M n n (K) και R(A) = 0, δείξτε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και υπολογίστε τον A 1

12 1 Ασκηση 36 Εστω ο n n πίνακας A = (1) Να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 n A είναι ταυτοδύναµος, δηλαδή ( 1 n A) = 1 n A () Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του 1 n A (3) Να δειχθεί ότι ο πίνακας 1 na είναι διαγωνοποιήσιµος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Ασκηση 37 Εστω A M n (C) Αν η µόνη ιδιοτιµή του A είναι η λ = 0, να δειχθεί ότι A n = 0 Ασκηση 38 Θεωρούµε τον πίνακα A = (1) Να ϐρεθεί µη-µηδενικό πολυώνυµο Q(t) έτσι ώστε Q(A) = 0 () Να δείξετε ότι ο A είναι αντιστρέψιµος και να ϐρεθεί πολυώνυµο P (t) έτσι ώστε P (A) = A 1 Ασκηση 39 Να δείξετε ότι αν A M n n (R) είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε A 3 = A τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Αν ο A είναι πίνακας ϱητών αριθµών, δηλαδή A M n n (Q), είναι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 40 Εστω A και B δύο όµοιοι n n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δείξετε ότι οι πίνακες A και B έχουν το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο : Q A (t) = Q B (t) Ασκηση 41 Να δείξετε ότι ένας µηδενοδύναµος πίνακας A M n n (K), δηλαδή A m = O, είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µονο αν A = O Ασκηση 4 Εστω A ένας 4 4 πίνακας πραγµατικών αριθµών για τον οποίο ισχύουν τα εξής : A 0 1 = 0 0, A 0 0 = 0 0, A 0 = 4 0, A 0 = Να ϐρεθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του A Ασκηση 43 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικός

13 13 Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 44 Εστω η απεικόνιση, : R R R η οποία ορίζεται ως εξής : (x 1, y 1 ), (x, y ) = 5x 1 x (x 1 y + y 1 x ) + y 1 y ) (1) είξτε ότι η παραπάνω απεικόνιση ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R () Βρείτε τα µήκη των διανυσµάτων (1, 0), (0, 1), (1, 3), ( 1, ) ως προς το παραπάνω το εσωτερικό γινόµενο Ασκηση 45 Εστω R n [t] ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων ϐαθµού n, µε πραγµατικούς συντελεστές Εστω α 0, α 1,, α n ανα δύο διαφορετικοί πραγµατικοί αριθµοί είξτε ότι η σχέση P (t), Q(t) = P (α 0 )Q(α 0 ) + + P (α n )Q(α n ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στο R n [t] Να ϐρεθεί το µήκος καθενός από τα διανύσµατα της κανονικής ϐάσης B = {1, t, t,, t n } του R n [t] ως προς το παραπάνω εσωτερικό γινόµενο Ασκηση 46 Εστω B = { ε 1 = (1, 1), ε = (1, 1)} µια ϐάση του R-διανυσµατικού χώρου R Υπο- ϑέτουµε ότι η απεικόνιση, : R R R ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο επί του R έτσι ώστε : ε 1, ε 1 = ε, ε = 1, ε 1, ε = 0 Να υπολογισθούν οι αριθµοί (x 1, y 1 ), (x, y ), όπου (x 1, y 1 ), (x, y ) R Ασκηση 47 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R [t] µε εσωτερικό γινόµενο P (t), Q(t) = 1 0 P (t)q(t) dt, P (t), Q(t) R [t] και τα πολυώνυµα P (t) = 1, Q(t) = t 1, W (t) = t t Να υπολογίσετε τα µήκη P (t), Q(t), W (t) Ασκηση 48 Να υπολογισθεί η γωνία των διανυσµάτων x = (1, 0, 1), y = ( 1, 1, 0) R 3 ως προς το συνήθες εσωτερικό γινόµενο του R 3 Ακολούθως να ϐρείτε όλα τα διανύσµατα του R 3 τα οποία είναι κάθετα στα διανύσµατα x, y

14 14 Ασκηση 49 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και B = { ε 1,, ε n } µια ϐάση του E Θεωρούµε τον πίνακα : A = (a ij ), a ij = ε i, ε j, 1 i, j n Αν x, y E, να δείξετε ότι : όπου : είναι οι συνιστώσες των x, y στη ϐάση B x, y = X A Y X = (x 1 x n ) και Y = y 1 y n Ασκηση 50 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και { ε 1,, ε m } ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσµάτων του E Να δείξετε ότι y, ε y, ε m y, y E Ασκηση 51 Εστω η απεικόνιση, : R 3 R 3 R η οποία ορίζεται ως εξής : (x 1, x, x 3 ), (y 1, y, y 3 ) = x 1 y 1 + x y + 3x 3 y 3 (1) είξτε ότι η παραπάνω απεικόνιση ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R 3 () Να ϐρεθούν όλα τα διανύσµατα του R 3 τα οποία είναι κάθετα, ως προς το εσωτερικό γινόµενο,, µε κάθε διάνυσµα του υπόχωρου V = {(x, y, z) x y + z = 0} Ασκηση 5 Εστω x = (x 1,, x n ) και y = (y 1,, y n ) δύο διανύσµατα του Ευκλείδειου χώρου (R n,, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το κανονικό (συνηθισµένο) εσωτερικό γινόµενο Θεωρούµε τον πίνακα-γραµµή Y = (y 1 y n ) M 1 n (R) των συνιστωσών του y και τον πίνακα-στήλη X = x 1 x n M n 1 (R) των συνιστωσών του x Να υπολογίσετε το µήκος του n n πίνακα X Y M n n (R) στον Ευκλείδειο χώρο (M n n (R),, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το κανονικό εσωτερικό γινόµενο, συναρτήσει των µηκών των διανυσµάτων x και y του Ευκλείδειου χώρου (R n,, ) Ποιό είναι το µήκος του πίνακα Y X;

15 15 Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 53 Εστω V και W δυο υπόχωροι του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) (1) Αν V W να δείξετε ότι : W V () Να δείξετε ότι : (V + W) = V W (3) Αν dim R E <, να δείξετε ότι : (α ) (V ) = V (ϐ ) (V W) = V + W Ασκηση 54 Θεωρούµε τον ακόλουθο υπόχωρο του R n : V = { x = (x 1,, x n ) R n x 1 + x + + nx n = 0 } R n Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V, όταν : (1) Ο R n είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο () Ο R n είναι εφοδιασµένος µε το εσωτερικό γινόµενο x, y = x 1 y 1 + x y + + nx n y n όπου : x = (x 1,, x n ) και y = (y 1,, y n ) Ασκηση 55 Στον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο να ϐρείτε µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα x 1 = (1, 1, 0, 0), x = (0, 1, 0, ), x 3 = (0, 0,, 1) και ακολούθως µια ορθοκανονική ϐάση του V Ασκηση 56 Θεωρούµε τους υπόχωρους V και W του R 3, όπου : V = { (x, y, z) R 3 x + y + z = 0 } και W είναι ο χώρος λύσεων του οµογενούς συστήµατος x y + 3z = 0 x + y 3z = 0 Θεωρούµε τον Ευκείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Να ϐρεθούν : (1) Ορθοκανονικές ϐάσεις των V και W () Τις προβολές των διανυσµάτων τυχούσας ϐάσης του W στον υπόχωρο V

16 16 Ασκηση 57 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τους υποχώρους του V = {(x, y, z, w) R 4 x + 3y + z = 0} W = {(x, y, z, w) R 4 x y + w = 0} (1) Να εξετάσετε αν οι V και W είναι ορθοσυµπληρωµατικοί () Βρείτε το ορθογώνιο συµπλήρωµα (V W) του υπόχωρου V W Ασκηση 58 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος R 3 εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και έστω V = { (x, y, z) R 3 x y z = 0 } (1) Να ϐρεθούν ορθοκανονικές ϐάσεις των υποχώρων V και V () Να γραφεί το διάνυσµα x = (, 1, 0) ως x = y + z, όπου y V και z V Ασκηση 59 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος R 3 εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και έστω η γραµµική απεικόνιση f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y, y z, z x) (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση της εικόνας Im(f) της f () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του ορθοσυµπληρωµατικού υποχώρου Im(f) Ασκηση 60 Θεωρούµε έναν Ευκλείδειο χώρο (E,, ) και έστω U, V, W τρείς υπόχωροι του E εξετάσετε ποιοί από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστοί : (1) { 0} = E () E = { 0} (3) V W = V W (4) V W και W U = V U Να Ασκηση 61 Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R 4 : ε 1 = (, 3, 1, 0), ε = (7, 3, 0, 1), ε 3 = ( 1, 0, 1, 0), ε 4 = (0, 1, 1, 1) Να ϐρεθεί ένα εσωτερικό γινόµενο, στον R 4 έτσι ώστε το σύνολο B = { ε 1, ε, ε 3, ε 4 } να αποτελεί ορθοκανονική ϐάση του R 4 Ασκηση 6 Εστω e ένα µοναδιαίο διάνυσµα σε έναν Ευκλείδειο χώρο (E,, ) διάνυσµα x E γράφεται µοναδικά ως εξής : x = α e + y, όπου : α R και y, e = 0 Να δείξετε ότι κάθε Ο µοναδικά προσδιορισµένος από το διάνυσµα x αριθµός α καλείται η αριθµητική προβολή του x στην διεύθυνση του e και συµβολίζεται µε : α := π e ( x) 1 Να αποδείξετε τα ακόλουθα, x, y E και r R: (1) π e ( x + y) = π e ( x) + π e ( y) () π e (r x) = rπ e ( x) (3) π e ( x) = x, e 1 Ετσι, επειδή το e είναι µοναδιαίο, η προβολή του x στο διάνυσµα e είναι το διάνυσµα Π e ( x) = π e ( x) e

17 17 (4) Αν B = { ε 1, ε,, ε n } είναι µια ορθοκανονική ϐάση του E, να δείξετε ότι : n n x = π εi ( x) ε i = x, ε i ε i = x, ε 1 ε 1 + x, ε ε + + x, ε n ε n i=1 i=1

18 18 Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 63 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : E E, f( x) = λ x όπου λ R, λ 0 Να δείξετε ότι η f είναι ισοµορφισµός, αλλά γενικά όχι ισοµετρία Να ϐρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε η f να είναι ισοµετρία Ασκηση 64 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης (1) Αν x, y είναι δύο διανύσµατα του E έτσι ώστε x = y, να δείξετε ότι υπάρχει µια ισοµετρία f : E E, έτσι ώστε : f( x) = y () Αν x, y, z, w είναι τέσσερα διανύσµατα του E έτσι ώστε x = y και z = w να εξετασθεί αν υπάρχει ισοµετρία f : E E, έτσι ώστε : f( x) = y και f( z) = w Ασκηση 65 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης, και f : E E µια ισοµετρία Να δείξετε ότι αν V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε : f(v) V = f(v ) V Ισχύει η αντίστροφη συνεπαγωγή ; Ασκηση 66 (1) Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τους υποχώρους του V = {(x, y, z, w) R 4 x + 3y + z = 0} W = {(x, y, z, w) R 4 x y + w = 0} Να ϐρεθεί µια ισοµετρία f : (V,, ) (R [t],, ) και µια ισοµετρία g : (W,, ) (R 3,, ) () Να εξετασθεί αν υπάρχει ισοµετρία h: (V W,, ) (M n n (R),, ), για κατάλληλο n 1

19 19 Ασκηση 67 Θεωρούµε τον πίνακα A = Συµπληρώστε τον πίνακα A έτσι ώστε να είναι ορθογώνιος Ασκηση 68 Θεωρούµε την απεικόνιση, : R 3 R 3 R, (x1, x, x 3 ), (y 1, y, y 3 ) = 4x1 y 1 + x y + 8x 3 y 3 (1) είξτε ότι η απεικόνιση, ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R 3 () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση ( f : R 3,, ) ( R 3,, ), f(x, y, z) = ( x, y z, ) είναι µια ισοµετρία, όπου, είναι το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο του R 3 Ασκηση 69 Να δείξετε ότι ο πίνακας A = παριστάνει στροφή επιπέδου περί άξονα κάθετο σ αυτό και να προσδιορίσετε τον άξονα και τη γωνία στροφής Ασκηση 70 Στον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση ( f : R 3 R 3, f(x, y, z) = 3 x + 3 y + az, 3 x 1 3 y + bz, 1 3 x + ) 3 y + cz (1) Να υπολογίσετε τις τιµές των πραγµατικών αριθµών a, b και c έτσι ώστε η f να είναι ισοµετρία η οποία παριστά στροφή επιπέδου γύρω από άξονα κάθετο σ αυτό () Αν η f είναι ισοµετρία, (α ) να υπολογίσθεί η γωνία των διανυσµάτων f(1, 0, 0) και f(0, 1, 0) (ϐ ) να ϐρεθεί το επίπεδο και ο άξονας περιστροφής του ερωτήµατος (1)

20 0 Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 71 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι : f( x), x = 0, x E f = f Αν f = f, ποιές είναι οι πραγµατικές ιδιοτιµές της f; Ασκηση 7 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Εστω f : R 3 R 3 η µοναδική γραµµική απεικόνιση της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση του R 3 είναι ο πίνακας A = Να προσδιοριθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R 3 R 3 της f Ασκηση 73 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο Εστω f : R 3 R 3 µια γραµµική απεικόνιση για την οποία ισχύει : f(1, 0, 1) = (1, 4, 1), f(1, 0, 1) = ( 3, 0, 3), f(0, 1, 0) = (, 1, ) Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R 3 R 3 της f Ασκηση 74 Στον Ευκλείδειο χώρο M (R) εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο A, B = Tr(A tb) ϑεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : M (R) M (R), f ( ) ( x y z w = x z ) y w Να εξετάσετε αν η f είναι : (α) ισοµετρία, και (β) αυτοπροσαρτηµένη Ασκηση 75 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Εστω f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις, και λ, µ R Να δείξετε ότι : (1) (λf + µg) = λf + µg () (f ) = f

21 1 Ασκηση 76 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R [t] µε εσωτερικό γινόµενο P (t), Q(t) = 1 0 P (t)q(t) dt, P (t), Q(t) R [t] Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : R [t] R [t] της οποίας ο πίνακας στην κανονική ϐάση B = { 1, t, t } του R [t] είναι ο πίνακας : A = Να προσδιορίσετε τη προσαρτηµένη απεικόνιση f : R [t] R [t] της f Ασκηση 77 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε : f = f : E E µια (1) Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση Id E + f : E E είναι ισοµορφισµός () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση (Id E f) (Id E + f) 1 : E E είναι ισοµετρία Ασκηση 78 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης, και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι : (1) Ker(f ) = Im(f) () Ker(f) = Im(f ) (3) Im(f ) = Ker(f) (4) Im(f) = Ker(f ) (5) Αν V είναι ένας υπόχωρος του E, τότε : f(v) V f (V ) V

22 Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 79 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών A = a b (1) Να προσδιορισθούν οι αριθµοί a, b, έτσι ώστε ο πίνακας A να έχει ως ιδιοτιµή το 0 µε πολλαπλότητα () Για τις τιµές των a, b που ϑα ϐρείτε, να υπολογίσετε ορθογώνιο πίνακα P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι διαγώνιος (3) Να υπολογίσετε τον πίνακα A m, m 1 Ασκηση 80 Να πρσδιορισθεί ο αριθµός a έτσι ώστε ο πίνακας A = 1 a a a 4 4 a 4 4 να είναι µη-αρνητικός Ασκηση 81 Θεωρούµε τον πίνακα 0 7 A = Να ϐρεθεί πίνακας B M 3 3 (R), έτσι ώστε : B 3 = A 9 Ασκηση 8 Θεωρούµε τον πίνακα A = (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι ϑετικός () Να ϐρείτε συµµετρικό και αντιστρέψιµο πίνακα B έτσι ώστε : A = B Ασκηση 83 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f : E E µια αυτοπροσαρτηµένη γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι αν f n = 0, τότε f = 0 ( f n = f f f είναι η σύνθεση της f µε τον εαυτό της n-ϕορές )

23 Ασκηση 84 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και f γραµµική απεικόνιση 3 : E E µια (1) Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση f f : E E είναι αυτοπροσαρτηµένη και µη-αρνητική () Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση f f είναι ϑετική αν και µόνον αν η f είναι ισοµορφισµός Ασκηση 85 Εστω A M n n (R) ένας αντισυµµετρικός πίνακας Να δείξετε ότι υπάρχει ορθογώνιος πίνακας P και πίνακας B µε την ιδιότητα ο πίνακας B να είναι διαγώνιος, έτσι ώστε : P 1 B P = A Ασκηση 86 Να αναχθεί η τετραγωνική µορφή q : R 3 R, q(x, y, z) = 7 x + 7 y + 5z xy xz + yz στους κύριους άξονές της, οι οποίοι και να ϐρεθούν Ασκηση 87 Να προσδιορισθεί το είδος των καµπύλων οι οποίες ορίζονται από τις εξισώσεις : (C 1 ) : xy = 1 (C ) : 5x 4xy + 8y = 1 Ασκηση 88 Να προσδιορισθεί το είδος της τετραγωνικής επιφάνειας η οποία ορίζεται από την εξίσωση : (S) : 9x 4xy + 6y + 3z + 5x + 4 5y + 1z + 16 = 0 Ασκηση 89 Θεωρούµε την τετραγωνική µορφή q : R 3 R, q(x, y, z) = 3x + 3y + z xy (1) Να αναχθεί η τετραγωνική µορφή q στους κύριους άξονές της, οι οποίοι και να ϐρεθούν () Να προσδιορισθεί το είδος της τετραγωνικής επιφάνειας η οποία ορίζεται από την εξίσωση : (S) : 3x + 3y + z xy = 8 (3) Να δείξετε ότι ο πίνακας A της τετραγωνικής µορφής q είναι ϑετικός και στη συνέχεια να ϐρεθεί συµµετρικός και αντιστρέψιµος πίνακας B έτσι ώστε : B = A

24 4 Μέρος Πρόχειρες οκιµασίες στην Τάξη Προχειρη οκιµασια οκιµασία 1 ϑεωρούµε τους ακόλουθους υποχώρους του R 4 : V = { (x 1, x, x 3, x 4 ) R 4 x x 3 + x 4 = 0 } W = { (x, x, x, x) R 4 x R } (1) Να εξετασθεί αν ισχύει ότι R 4 = V W () Αν R 4 V W, να ϐρεθούν υπόχωροι U και Z του R 4 έτσι ώστε : R 4 = V U = W Z Προχειρη οκιµασια οκιµασία ϑεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων Προχειρη οκιµασια οκιµασία 3 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση : f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x + kz, ky, ky + z) Να ϐρεθούν οι τιµές του k R για τις οποίες η f είναι διαγωνοποιήσιµη

25 Προχειρη οκιµασια οκιµασία 4 ϑεωρούµε έναν πίνακα A M 3 3 (R) για τον οποίο ισχύει ότι : A 5A + 6I 3 = O (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος () Να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος (3) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος A 1 συναρτήσει των πινάκων A και I 3 Προχειρη οκιµασια οκιµασία 5 Να εξετασθεί αν οι παρακάτω απεικονίσεις ορίζουν εσωτερικό γινόµενο στον R-διανυσµατικό χώρο M n n (R) των n n πινάκων :, 1 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 1 = det(a B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A B), 3 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 3 = Tr(A + B), 4 : M n n (R) M n n (R) R, A, B 4 = det(a + B) Προχειρη οκιµασια οκιµασία 6 Εστω ο Ευκλείδειος χώρος (R 4,, ), όπου, είναι το κανονικό (συνηθισµένο) εσωτερικό γινόµενο Θεωρούµε τον ακόλουθο υπόχωρο V του Ευκλείδειου χώρου R 4 : V = { (x, y, z, w) R 4 x y z = 0 και y z w = 0 } 1 Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του V Να ϐρεθεί ο ορθογώνιος υπόχωρος V του V Προχειρη οκιµασια οκιµασία 7 (1) Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και υποθέτουµε ότι B = { } e 1, e, e 3, e 4 µια ορθοκανονική ϐάση του E Εστω f : E E η µοναδική γραµµική απεικόνιση έτσι ώστε : f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Να εξετάσετε αν η f είναι ισοµετρία () Να εξετασθεί αν το άθροισµα f + g δύο ισοµετριών f, g : E E είναι ισοµετρία

26 6 (3) Να εξετασθεί αν το άθροισµα A + B ή A + B, όπου A και B είναι δύο n n ορθογώνιοι πίνακες, είναι ορθογώνιος πίνακας Προχειρη οκιµασια οκιµασία 8 Να δείξετε ότι ο πίνακας 1/ 1/ / A = 1/ 1/ / / / 0 παριστάνει στροφή επιπέδου (Π) κατά γωνία ϑ, γύρω από άξονα (ε) ο οποίος είναι κάθετος στο (Π) Στη συνέχεια να ϐρεθούν : (1) Η γωνία στροφής ϑ () Ο άξονας (ε) (3) Το επίπεδο (Π) Προχειρη οκιµασια οκιµασία 9 Να δείξετε ότι ο πίνακας πραγµατικών αριθµών ( ) 3 1 A = 1 3 είναι ϑετικός και ακολούθως να ϐρεθεί µια τετραγωνική ϱίζα A του A Επιπρόσθετα να δείξετε ότι : { A ( ) }01 = 1005 ( ) Προχειρη οκιµασια οκιµασία 10 Να ϐρεθούν οι κύριοι άξονες της τετραγωνικής µορφής q : R 3 R, q(x, y, z) = xy + yz

27 7 Μέρος 3 Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : abeligia/linearalgebraii/laiihtml Ασκηση 90 Εστω ε 1 = (1, 1, 1), ε = (1, 0, 1) R 3 Αν V = ε 1, ε, να ϐρεθεί υπόχωρος W του R 3 έτσι ώστε R 3 = V W Ασκηση 91 Στον διανυσµατικό χώρο M n n (K) ϑεωρούµε τα ακόλουθα υποσύνολα : V = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, j i } W = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, i j } Z = { A = (a ij ) M n n (K) a ij = 0, i, j = 1,, n, i j } Να δείξετε ότι τα υποσύνολα V, W, Z είναι υπόχωροι του M n n (K) και ακολούθως να δείξετε ότι : M n n (K) = V Z W Ασκηση 9 Θεωρούµε τους ακόλουθους υπόχωρους του R n : V = { (x 1, x,, x n ) R n x 1 + x + + x n = 0 } Να δείξετε ότι R n = V W W = { (x 1, x,, x n ) R n x 1 = x = = x n } Ασκηση 93 Θεωρούµε τους ακόλουθους υποχώρους του R 3 : W 1 = { (a, b, 0) R 3 a, b R } να εξετασθεί αν ισχύει ότι : R 3 = W 1 W W 3 W = { (0, 0, c) R 3 c R } W 3 = { (d, 0, d) R 3 d R }

28 8 Ασκηση 94 Θεωρούµε τις ακόλουθες γραµµικές απεικονίσεις f i : R 3 R 3, i = 1,, 3, 4: Να δείξετε ότι, i = 1,, 3, 4: f 1 (x, y, z) = (x + y, y + z, z + x) f (x, y, z) = (x y, y z, 0) f 3 (x, y, z) = ( y, x, z) f 4 (x, y, z) = (x, y, y) R 3 = Im(f i ) Ker(f i ) Ασκηση 95 Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω από το σώµα K µε dim K E <, και f : E E µια γραµµική απεικόνιση (1) Αν dim K Ker(f) = dim K Ker(f ), τότε : E = Ker(f) Im(f) () Αν dim K Im(f) = dim K Im(f ), τότε : E = Ker(f) Im(f) Ασκηση 96 Εστω f : E F και g : F G γραµµικές απεικονίσεις µεταξύ διανυσµατικών χώρων πεπερασµένης διάστασης υπεράνω ένός σώµατος K Συµβολίζουµε µε r(f) = dim K Im(f) και r(g) = dim K Im(g) τη ϐαθµίδα των f και g αντίστοιχα (1) Να δείξετε ότι r(g f) = r(f) αν και µόνο αν Im(f) Ker(g) = { 0} () Να δείξετε ότι r(g f) = r(g) αν και µόνο αν Im(f) + Ker(g) = F (3) Να δείξετε ότι r(f) = r(g f) = r(g) αν και µόνο αν F = Im(f) Ker(g) Ασκηση 97 Εστω f : E F µια γραµµική απεικόνιση µεταξύ των K-διανυσµατικών χώρων πεπε- ϱασµένης διάστασης E και F Υποθέτουµε ότι η f είναι µονοµορφισµός (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια γραµµική απεικόνιση g : F E έτσι ώστε : g f = Id E () Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφσιµός : E = Im(f) Ker(g) Ασκηση 98 Εστω E ένας K-διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης υπεράνω του σώµατος K Συµβολίζουµε µε f k = f f f (k-ϕορές) την σύνθεση της f µε τον εαυτό της k-ϕορές, όπου k 1 (1) Να δείξετε ότι υπάρχει µια (αύξουσα) ακολουθία υποχώρων του E: { 0} Ker(f) Ker(f ) Ker(f k ) Ker(f k+1 ) E για την οποία υπάρχει κ 0 έτσι ώστε : Ker(f κ ) = Ker(f κ+1 ) = Ker(f κ+ ) = () Να δείξετε ότι υπάρχει µια (ϕθίνουσα) ακολουθία υποχώρων του E: { 0} Im(f λ+1 ) Im(f λ ) Im(f ) Im(f) E για την οποία υπάρχει λ 0 έτσι ώστε : Im(f λ ) = Im(f λ+1 ) = Im(f λ+ ) = (3) Να δείξετε ότι υπάρχει m 1 έτσι ώστε : E = Ker(f m ) Im(f m ) Υπόδειξη: Θέτουµε m = max{κ, λ}, όπου τα κ και λ είναι όπως στο (1) και () αντίστοιχα

29 9 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 99 Αν n 1, να υπολογισθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του n n-πίνακα A = Ασκηση 100 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις για τους αντίστοιχους ιδιοχώρους της γραµµικής απεικόνισης f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (y, x + z, y) Ασκηση 101 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι ιδιοχώροι του πίνακα ( ) 1 1 A = 1 0 Ασκηση 10 Θεωρούµε το πολυώνυµο P (t) = ( 1) n( a 0 + a 1 t + + a n 1 t n 1 + t n) K[t] και τον πίνακα a a a A = an a n a n 1 ο οποίος καλείται ο συνοδεύων πίνακας του πολυωνύµου P (t) Να δείξετε ότι P A (t) = A ti n = ( 1) n( a 0 + a 1 t + + a n 1 t n 1 + t n) Ασκηση 103 Με τη ϐοήθεια της σκησης 4 να ϐρείτε το πολυώνυµο A ti 4, όπου A είναι ο πίνακας A =

30 30 Ασκηση 104 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις για τους αντίστοιχους ιδιοχώρους της γραµµικής απεικόνισης ( ) ( ) a b a b + c f : M (R) M (R), f = c d 5b + c d Ασκηση 105 Εστω A M n n (R) µε την ιδιότητα ότι A = I n Να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές του πίνακα A και να αποδείξετε ότι ο n δεν µπορεί να είναι περιττός αριθµός Ασκηση 106 Θεωρούµε ένα πίνακα A M n n (R) µε ϑετικές ιδιοτιµές Να εξετάσετε αν ο πίνακας A+I είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 107 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση f : M (R) M (R), f(a) = t A Να ϐρείτε τις ιδιοτιµές της f και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων Ασκηση 108 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου E είναι ένας K-διανυσµατικός χώρος Υποθέτουµε ότι κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα της f Να δείξετε ότι υπάρχει λ K έτσι ώστε f( x) = λ x, x E Ασκηση 109 Εστω A ένας n n-πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Υποθέτουµε ότι το άθροισµα των στοιχείων καθεµιάς γραµµής του είναι ίσο µε 1 (1) Να δείξετε ότι το 1 είναι ιδιοτιµή του A () Αν κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα στήλη του χώρου K n είναι ιδιοδιάνυσµα του A, να δείξετε ότι ο A είναι ο µοναδιαίος πίνακας : A = I n

31 31 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 110 Θεωρούµε τον πίνακα A = Να υπολογισθεί ο πίνακας A 011 (A I ) 01 ( 1 ) 3 Ασκηση 111 Να ϐρεθεί ένας 3 3-πίνακας A για τον οποίο τα διανύσµατα στήλες X = 1 1, Y = 1 1, Z = είναι ιδιοδιανύσµατα του A µε αντίστοιχες ιδιοτιµές 1, 1 και 0 Ασκηση 11 Να εξετασθεί εαν ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος A = Ασκηση 113 Θεωρούµε τη γραµµική απεινόνιση f : R 3 R 3, (x, y, z) f(x, y, z) = (3x + y z, x + 3y + z, x + y + 3z) Να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη και ακολούθως να την διαγωνοποιήσετε Ασκηση 114 Να ϐρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες τις οποίες πρέπει να πληρούν τα α, β, γ R έτσι ώστε ο πίνακας A = 3 α β 0 3 γ 0 0 να είναι διαγωνοποιήσιµος

32 3 Ασκηση 115 Να εξετασθεί ως προς τη διαγωνοποίηση ο πίνακας µιγαδικών αριθµών A = 0 i i i 0 i i i 0 Ασκηση 116 Να υπολογισθεί η m-οστή δύναµη A m, m 1, του πίνακα A = Ασκηση 117 Να δείξετε ότι η γραµµική απεικόνιση είναι διαγωνοποιήσιµη f : M n n (K) M n n (K), A f(a) = t A Ασκηση 118 Εστω A M n (K) Υποθέτουµε ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και η µοναδική ιδιοτιµή του είναι το λ K Να δείξετε ότι λ λ 0 A = λ Ασκηση 119 Εστω (x n ) n 0, (y n ) n 0 και (z n ) n 0 ακολουθίες πραγµατικών αριθµών έτσι ώστε x n = x n 1 + y n 1 z n 1 y n = x n 1 + 3y n 1 z n 1 z n = x n 1 + z n 1 για κάθε n 1 Αν x 0 = 1, y n = 0, z n = 1, να ϐρεθούν οι ακολουθίες (x n ) n 0, (y n ) n 0, (z n ) n 0

33 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 10 ίνεται ο πίνακας Ποιο είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; A = Ασκηση 11 (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεκόνιση Αν f = f να υπολογισθεί το ελάχιστο πολυώνυµο της f () Αν A M n n (K) µε A = A, να υπολογισθεί το ελάχιστο πολυώνυµο του A Ασκηση 1 Να προσδιοριστούν οι πίνακες A M n n (K) των οποίων το ελάχιστο πολυώνυµο είναι της µορφής Q A (t) = t λ Ασκηση 13 Να ϐρείτε όλους τους πίνακες A M (R) που είναι διαγωνιοποιήσιµοι και ικανοποιούν τη σχέση A 3A + I = 0 Ασκηση 14 Να δείξετε ότι αν A M n n (R) είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε A 3 = 7A τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος όταν ϑεωρηθεί ως πίνακας ϱητών αριθµών ; Ασκηση 15 Εστω k 1 και A ο n n πίνακας k k k k k k A = k k k (1) Να ϐρεθεί το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A () Να εξετάσετε αν ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος (3) Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A;

34 34 Ασκηση 16 Ενας πίνακας B = (b ij )M n n (K) καλείται δίκαιος αν : (a) b ij > 0, i, j = 1,,, n (b) b ij b jk = b ik, i, j, k = 1,,, n Για τους δίκαιους πίνακες να δείξετε τα ακόλουθα : (1) Να δείξετε ότι ο πίνακας A = είναι δίκαιος () Να δείξετε ότι αν B είναι ένας δίκαιος πίνακας, τότε : B = nb (3) Κάθε δίκαιος πίνακας είναι όµοιος µε τον A (4) Να δείξετε ότι κάθε δίκαιος πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος και να προσδιορισθεί ένας αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 BP να είναι διαγώνιος Ποιά είναι η διαγώνια µορφή του ; Ασκηση 17 Εστω R(t) K[t] ένα πολυώνυµο το οποίο έχει όλες τις ϱίζες του στο σώµα K και καθε ϱίζα έχει πολλαπλότητα 1, δηλαδή το R(t) αναλύεται σε γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβαθµίων παραγόντων (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < Αν R(f) = 0, να δείξετε ότι η f είναι διαγωνοποιήσιµη () Εστω A M n n (K) Αν R(A) = 0, να δείξετε ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 18 Για κάθε τετραγωνικό πίνακα A δείξτε ότι ο A και ο t A έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο και το ίδιο ελάχιστο πολυώνυµο Ασκηση 19 Αν οι αριθµοί λ 1,, λ n είναι όλες οι ιδιοτιµές του διαγωνοποιήσιµου πίνακα A, τότε να δείξετε οτι οι αριθµοί λ 1,, λ n είναι όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα A Ισχύει αυτό το συµπέρασµα αν ο A δεν είναι διαγωνοποιήσιµος ; Ασκηση 130 Εστω k 1 ένας ϕυσικός αριθµός (1) Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E = n Να δείξετε ότι : f k = 0 = f n = 0 () Εστω A M n n (K) Να δείξετε ότι : A k = 0 = A n = 0 Ασκηση 131 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A = (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ;

35 35 () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικός Ασκηση 13 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα µιγαδικών αριθµών : A = 0 i i i 0 i i i 0 (1) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Ποιό είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του A; (3) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P 1 A P να είναι άνω τριγωνικος Οι παρακάτω δύο ασκήσεις είναι αυξηµένης δυσκολίας Ασκηση 133 Εστω f : E E µια γραµµική απεικόνιση, όπου dim K E < Να δείξετε ότι η f µπορεί να γραφεί ώς ευθύ άθροισµα κατάλληλων γραµµικών απεικονίσεων : f = g + h όπου V και W είναι κατάλληλοι υπόχωροι του E έτσι ώστε E = V W και : (1) η γραµµική απεικόνιση g : V V είναι ισοµορφισµός () η γραµµική απεικόνιση h : W W είναι µηδενοδύναµη, δηλ h m = 0, για κάποιο m 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την σκηση 9 του Φυλλαδίου 1 Ασκήσεων πρός Λύση Ασκηση 134 Εστω A M n n (K) ένας τετραγωνικός πίνακας Να δείξετε ότι ο A µπορεί να γραφεί ώς ευθύ άθροισµα πινάκων : A = B + C όπου για κατάλληλα 1 r, s n έτσι ώστε s + r = n: (1) ο B είναι αντιστρέψιµος s s πίνακας () ο C είναι µηδενοδύναµος r r πίνακας, δηλ C m = 0, για κάποιο m 1 Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την Ασκηση 14 παραπάνω

36 36 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 135 Να δείξετε ότι η απεικόνιση, : R R R η οποία ορίζεται ως εξής : ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο στον R (x 1, x ), (y 1, y ) = x 1 y 1 + x 1 y + x y 1 + 5x y Ασκηση 136 Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R 4 : x 1 = (, 3, 1, 0), x = (7, 3, 0, 1), x 3 = ( 1, 0, 1, 0), x 4 = (0, 1, 1, 1) Να ϐρεθεί ένα εσωτερικό γινόµενο, : R 4 R 4 R έτσι ώστε τα { x 1, x, x 3, x 4 } να αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (R 4,, ) Ασκηση 137 Εστω ( ) x y A = z w ένας πίνακας πραγµατικών αριθµών Να δείξετε ότι η απεικόνιση, : R R R, (a 1, a ), (b 1, b ) = (a 1 a ) A ορίζει ένα εσωτερικό γινόµενο επί του R αν και µόνον αν ο πίνακας A είναι συµµετρικός και ισχύει : x, w, xw y > 0 ( b1 b ) Ασκηση 138 Εστω x, y R n µε x 0 και y 0 Να δείξετε ότι (1) x = a y όπου a > 0 αν και µόνο αν η γωνία την οποια σχηµατίζουν τα x, y είναι ίση µε 0 () x = a y όπου a < 0 αν και µόνο αν η γωνία την οποια σχηµατίζουν τα x, y είναι ίση µε π Ασκηση 139 Να ϐρεθούν όλα τα διανύσµατα τα οποία είναι κάθετα προς τα : (1) x = ( 1, 1,, 1) R 4 () x = t R 3 [t] Ασκηση 140 Εστω { e 1,, e n } µια ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) και x E Να δείξετε ότι x, e i = 0 για κάθε i = 1,,, n αν και µόνο αν x = 0

37 37 Ασκηση 141 Χρησιµοποιώντας ιδιότητες του Ευκλείδειου χώρου R n, ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, να δείξετε ότι αν a 1,, a n είναι ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί τότε n (a a n )( 1 a a n ) Ασκηση 14 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και x, y E Να δείξετε ότι : x, y = 0 x x + λ y, λ R Ασκηση 143 Να εξετασθεί αν οι παρακάτω απεικονίσεις ορίζουν εσωτερικό γινόµενο :, : M n n (R) M n n (R) R, A, B = det(a B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = Tr(A + B), : M n n (R) M n n (R) R, A, B = det(a + B) Ασκηση 144 Στον Ευκλείδειο χώρο (R 3,, ), ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, ϑεωρούµε δύο διανύσµατα x και y Αν x y είναι το εξωτερικό γινόµενο των x και y, να δείξετε ότι : x y = x y x, y

38 38 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 145 Εστω B = { } e 1,, e n µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (E,, ) προκύπτει µε την εφαρµογή της διαδικασίας Gram-Schmidt στο σύνολο B; Τι Ασκηση 146 Στον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένον µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, να ϐρείτε µια ορθοκανονική ϐάση του υποχώρου V ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα : x = (1, 1, 0, 1), y = ( 1, 0, 0, ), z = (1, 0,, 1) Ασκηση 147 Να επεκταθεί σε µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 το σύνολο διανυσµάτων { x 1, x }, όπου : x 1 = ( 1 1 ), 0,, x = (0, 1, 0) Ασκηση 148 Θεωρούµε τα ακόλυθα διανύσµατα του R 4 : x = (, 1, 3, 1), y = (7, 4, 3, 3), z = (1, 1, 6, 0), w = (5, 7, 7, 8) Με την διαδικασία Gram-Schmidt, να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V ο οποίος παράγεται από τα παραπάνω διανύσµατα Ασκηση 149 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο M (R), εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω οι ακόλουθοι πίνακες πραγµατικών αρθµών : ( ) ( ) A = και B = Εστω V ο υπόχωρος του M (R) ο οποίος παράγεται από τους πίνακες A και B (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονονική ϐάση B 1 του V () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση B του V (3) Να συµπληρωθεί η B 1 σε µια ορθοκανονική ϐάση B του M (R) (4) Να ϐρεθεί η ορθογώνια προβολή του πίνακα ( ) 1 1 X = 1 1 στον υπόχωρο V

39 39 Ασκηση 150 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και { ε 1,, ε m } ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσµάτων του E Εστω y E Αν dim R E = n <, τότε να δείξετε ότι στην ανισότητα ισχύει η ισότητα αν και µόνον αν m = n y, ε y, ε m y Ασκηση 151 ίνεται ο υπόχωρος του R 4 : V = { (x, y, z, w) R 4 x y z = 0, y z w = 0 } (1) Να ϐρεθούν δυο διαφορετικοί υπόχωροι V 1 και V του R 4 διάστασης 3 έτσι ώστε V = V 1 V () Να ϐρεθεί ένα ορθογώνιο συµπλήρωµα του V 1 και ένα ορθογώνιο συµπλήρωµα του V στον R 4, ως προς το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο του R 4 (3) Είναι το u = (0, 0, 1, 1) στοιχείο του V; Αν όχι ϐρείτε την προβολή του u στον V Ασκηση 15 Θεωρούµε τους Ευκλείδειους χώρους R 4 και R 3, εφοδιασµένους µε το συνηθισµένο εσωτε- ϱικό γινόµενο, και έστω η γραµµική απεικόνιση : f : R 4 R 3, f(x, y, z, w) = (x + y, z + w, x + z) (1) Να ϐρεθούν ορθοκανονικές ϐάσεις των υποχώρων Ker(f) και Ker(f) () Να ϐρεθούν οι ορθογώνιες προβολές το διανύσµατος στους υποχώρους Ker(f) και Ker(f) z = (5,, 1, 4) Ασκηση 153 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένον µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω V = { (x, y, z) R 3 x 5y z = 0 } (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 η οποία να περιέχει δύο διανύσµατα του V () Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 η οποία να περιέχει ένα διανύσµα του V Ασκηση 154 Εστω a 1, a,, a n, b 1, b,, b n, και c 1, c,, c n πραγµατικοί αριθµοί Αν c 1, c,, c n > 0, να δείξετε ότι : n c i a i b i n c i a i n c i b i i=1 i=1 i=1 Ασκηση 155 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Να δείξετε την ισότητα του Απολλώνιου : z x + z y = 1 x y + z 1 ( x + y z, x, y E

40 40 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 156 Να ορίσετε µια ισοµετρία από τον Ευκλείδειο χώρο R 4 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, στον Ευκλείδειο χώρο M (R) ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο A, B = Tr(A tb) Υπάρχει ισοµετρία από τον R 3 στον Ευκλείδειο χώρο M n n (R), για κατάλληλο n; Ασκηση 157 Να δείξετε ότι ο πραγµατικός πίνακας ( ) 1/ 3/ A = 3/ 1/ παριστάνει συµµετρία ως προς άξονα ο οποίος και να ϐρεθεί Ασκηση 158 Να συµπληρωθεί ο ακόλουθος πίνακας A σε έναν 3 3 ορθογώνιο πίνακα A = Ασκηση 159 Στον διανυσµατικό χώρο R ϑεωρούµε την απεικόνιση, : R R R, (x, y), (x, y ) = xx yx xy + 4yy (1) Να δειξετε ότι η παραπάνω( απεικόνιση είναι ένα εσωτερικό γινόµενο στον R () Να ορίσετε ισοµετρία f : R,, ) ( R 1 [t],, ), όπου, συµβολίζει το συνηθισµένο εσωτε- ϱικό γινόµενο του R 1 [t] Ασκηση 160 Εστω B = { e 1, e, e 3, e 4 } µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλειδείου χώρου E Αν f : E E είναι η µοναδική γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε να εξετάσετε αν η f είναι ισοµετρία f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Ασκηση 161 Εστω A = (a ij ) M n n (R) ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει : a ij = 1 4 ή a ij = 1 4 Αν ο A είναι ορθογώνιος, να ϐρεθεί το n

41 41 Ασκηση 16 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3 εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο και τη γραµµική απεικόνιση ( ) f : R 3 R 3, f(x, y, z) = x, y + z, y + z (1) είξτε ότι η f είναι ισοµετρία και υπολογίστε την γωνία µεταξύ των διανυσµάτων f(3, 7, 1) και f(, 1, 3) () Τι παριστάνει η ισοµετρία f γεωµετρικά ; (εξηγήστε χωρίς απόδειξη) Ασκηση 163 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Μια γραµµική απεικόνιση f : E E καλείται απεικόνιση οµοιότητας αν : υπάρχει λ R \ {0} : f( x) = λ x, x E είξτε ότι µια µη-µηδενική γραµµική απεικόνιση f : E E είναι απεικόνιση οµοιότητας αν και µόνον αν : x y = f( x) f( y), x, y E Τι µορφή έχει ο πίνακας µιας οµοιότητας σε µια ορθοκανονική ϐάση του E; Ασκηση 164 (1) Να εξετασθεί αν το άθροισµα f + g δύο ισοµετριών f, g : E E είναι ισοµετρία () Να εξετασθεί αν το άθροισµα A + B δύο ορθογωνίων πινάκων A, B M n n (R) είναι ορθογώνιος πίνακας

42 4 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 165 Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R n, εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω η γραµµική απεικόνιση f : R n R n, f(x 1, x,, x n ) = (0, x 1, x,, x n 1 ) Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f : R n R n της f Ασκηση 166 Να προσδιορισθούν οι προσαρτηµένες απεικονίσεις f και g των γραµµικών απεικονίσεων : g : R R, f(x, y) = (x + 3y, x + y) f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (x y + z, x + y, z x) Ασκηση 167 Εστω { e 1, e, e 3, e 4 } µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλειδείου χώρου E Αν f : E E είναι µια γραµµική απεικόνιση, έτσι ώστε f( e 1 ) = e, f( e ) = e 3, f( e 3 ) = e 4, f( e 4 ) = e 1 Να προσδιορισθεί η προσαρτηµένη απεικόνιση f της f Ασκηση 168 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι η f είναι ισοµετρία αν και µόνο αν f f = Id E Ασκηση 169 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Να δείξετε ότι για κάθε γραµµική απεικόνιση f : E E, υπάρχουν γραµµικές απεικονίσεις g, h : E E έτσι ώστε : f = g + h, όπου : g = g και h = h Επιπλέον αν g, h : E E είναι γραµµικές απεικονίσεις, έτσι ώστε f = g + h, όπου : (g ) = g και (h ) = h, τότε g = g και h = h Ασκηση 170 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και f : E E µια γραµµική απεικόνιση Να δείξετε ότι αν η f ικανοποιεί δύο από τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες : (1) η f είναι αυτοπροσαρτηµένη () η f είναι ισοµετρία (3) f = Id E τότε ικανοποιεί και την τρίτη Τι µορφή έχει η f αν ικανοποιούνται οι παραπάνω ιδιότητες

43 43 Ασκηση 171 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Εστω f, g : E E δύο γραµµικές απεικονίσεις, και λ, µ R Να δείξετε ότι : (1) (f g) = g f () Η f είναι ισοµορφισµός αν και µόνο αν η προσαρτηµένη της f είναι ισοµορφισµός Αν η f είναι ισοµορφισµός, να δείξετε ότι : (f ) 1 = (f 1 ) Ασκηση 17 Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος Αν f : E E είναι µια γραµµική απεικόνιση, για την οποία ισχύει : f f = f f να δείξετε ότι : f( x) = 0 = f ( x) = 0

44 44 Ασκησεις Προς Λυση - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Ασκηση 173 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών 7/ 1/ 1 A = 1/ 7/ Να ϐρεθεί ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε : P 1 A P να είναι διαγώνιος Ασκηση 174 Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών A = Να ϐρεθεί ορθογώνιος πίνακας P έτσι ώστε : P 1 A P να είναι διαγώνιος Ασκηση 175 Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι ϑετικοί ή µη-αρνητικοί : ( ) ( ) 1 1 1,, Ασκηση 176 Εστω A, B δυο συµµετρικοί n n πίνακες πραγµατικών αριθµών Αν οι πίνακες A, B είναι ϑετικοί, να δείξετε ότι και ο πίνακας κa + λb είναι ϑετικός, για κάθε Ϲεύγος µη-αρνητικών πραγµατικών αριθµών (κ, λ) (0, 0) Ασκηση 177 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός πίνακας Αν A = A, να δείξετε ότι : (1) Οι ιδιοτιµές του A είναι 0 ή 1 () Η ϐαθµίδα r(a) του A είναι ίση µε το ίχνος Tr(A) του A (3) Πότε ο A είναι ϑετικός ; Ασκηση 178 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός πίνακας Αν A 3 = A, να δείξετε ότι A = A Ασκηση 179 Εστω A M n n (R) ένας συµµετρικός ορθογώνιος πίνακας Αν A > 0, να δείξετε ότι A = I n

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ 1) Έστω A, Β Μ n (R) τέτοιοι, ώστε A + Β = Ι n. Να δείξετε ότι : A = A 2 κκκ Β = Β 2 ΑΑ = Ο 2) Έστω A, Β Μ n (R), με A = A 2 και ΑΑ + ΒΒ = Ο. Να δειχθεί ότι ΑΑ = ΒΒ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Παν/µίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος εαρινού εξαµήνου Πέµπτη, 2 Ιούνη 28 Γραµµική Αλγεβρα II ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Θέµα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαιο 7 ιασκοντες: Ν. Μαρµαρίης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ. Ψαρουάκης Ιστοσελια Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii.html - - Ασκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων

Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων Λύσεις και Υποδείξεις Επιλεγµένων Ασκήσεων 11 1 i) ii) 1 1 1 0 1 1 0 0 0 x = 0 x +x 4 +x 5 = x = 1 Λύνοντας ως προς x και στη συνέχεια ως προς x 4, ϐρίσκουµε ότι η γενική λύση του συστήµατος είναι η 5άδα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο

Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

ΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2004 Θέμα 1 ο. 4 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 00 Θέμα 1 ο Έστω U ο υπόχωρος του που παράγεται από τα στοιχεία (1-11α) (10β) (5-γ) και (-δ) (I) Να προσδιορίσετε τις αναγκαίες

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). 1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2 http://elearn.maths.gr/, maths@maths.gr, Τηλ: 979 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 7-8: Οι φοιτητές θα κάνουν την δική τους εργασία σκεπτόµενοι πάνω στις ενδεικτικές απαντήσεις. Σε περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού

Θέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες) Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος 2010 Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ιούνιος Επιλεγµένες απαντήσεις και σχόλια Ι.. (Σωστό-Λάθος) με επαρκή αιτιολόγηση α) Για κάθε μητρώο A μεγέθους x μπορείτε να βρείτε ένα αντιστρέψιμο μητρώο X τέτοιο ώστε ΑΧ ΧK, όπου το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα