A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n"

ÔΠρωτεύς Λιακόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x) = Κατά συνέπεια f(f i (x)) = f() = Άρα f i+1 (x) =, δηλαδή x ker(f i+1 ) (ii) Εστω x ker(f i+1 ) Τότε f i+1 (x) = Κατά συνέπεια f i (f(x)) = Άρα f(x) ker(f i ) Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εάν W είναι ένας υπόχωρος του V ο οποίος είναι αναλλοίωτος από την f, δείξτε ότι υπάρχει μια βάση B του V, ως προς την οποία ο πίνακας της f είναι της μορφής: (f; B) = ( A B C Επιπλέον, αν υπάρχουν W 1, W υπόχωροι του V, αναλλοίωτοι από την f, τέτοιοι ώστε V = W 1 W, δείξτε ότι υπάρχει μια βάση B του V, ως προς την οποία ο πίνακας της f είναι της μορφής: ( ) A (f; B) = B Αποδ: Εστω B 1 = {x 1, x,, x k } μια βάση του W Επεκτείνουμε τη βάση αυτή σε μια βάση B = {x 1,, x k, x k+1,, x n } του V Υπολογίζουμε τον πίνακα της f ως προς τη βάση B Επειδή ο W είναι αναλλοίωτος από την f θα έχουμε: ) f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + x k x n f(x ) = a 1 x 1 + a k x k + x k x n Άρα ο πίνακας της f ως προς τη βάση B θα είναι: a 11 a 1 a 1k a 1,k+1 a 1n a 1 a a k a,k+1 a n (f; B) = a k1 a k a kk a k,k+1 a kn a k+1,k+1 a k+1,n a n,k+1 a nn 1

2 Αν τώρα υπάρχουν W 1, W υπόχωροι του V, αναλλοίωτοι από την f, τέτοιοι ώστε V = W 1 W, επιλέγουμε βάσεις B 1 = {x 1, x,, x k } και B = {y k+1, y k+,, y n } των W 1 και W αντίστοιχα Τότε το σύνολο B = {x 1, x,, x k, y k+1, y k+,, y n } αποτελεί βάση του V Υπολογίζουμε στη συνέχεια τον πίνακα της f ως προς τη βάση B του V Επειδή οι W 1 και W είναι αναλλοίωτοι από την f θα έχουμε: f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + y k y n f(x ) = a 1 x 1 + a k x k + y k y n f(x k ) = a 1k x a kk x k + y k y n f(y k+1 ) = x 1 + x k + a k+1,k+1 y k a n,k+1 y n f(y n ) = x x k + a k+1,n y k a nn y n Άρα ο πίνακας της f ως προς τη βάση B θα είναι: a 11 a 1 a 1k a 1 a a k (f; B) = a k1 a k a kk a k+1,k+1 a k+1,n a n,k+1 a nn 3 Εστω A M n (C) με A I n Υποθέτουμε ότι A 3 = I n Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιμος; Ισχύει το ίδιο αν A M n (R); Αποδ: Στην πρώτη περίπτωση θεωρούμε A M n (C) (διανυσματικός χώρος υπεράνω του C) Επειδή από την υπόθεση έχουμε A 3 = I, έπεται ότι το πολυώνυμο p(t) = t 3 1 = (t 1)(t + 1+i 3 )(t 1+i 3 ) μηδενίζεται από τον πίνακα A Από την άσκηση 7 του φυλλαδίου, έπεται ότι το ελάχιστο πολυώνυμο Q A του πίνακα A διαιρεί το πολυώνυμο p(t) Επιπλέον από την υπόθεση έχουμε A I n, δηλαδή το ελάχιστο πολυώνυμο του A δεν μπορεί να είναι το t 1 Άρα Q A (t) = (t 1)(t + 1+i 3 ) ή Q A (t) = (t 1)(t + 1 i 3 ) ή Q A (t) = t 3 1 Συνεπώς επειδή σε κάθε περίπτωση οι ιδιοτιμές ανήκουν στο σώμα C και το ελάχιστο πολυώνυμο είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων όρων, έπεται ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιμος Στη δεύτερη περίπτωση θεωρούμε A M n (R) (διανυσματικός χώρος υπεράνω του R) Τώρα επειδή οι ιδιοτιμές δεν ανήκουν στο σώμα, έπεται ότι ο A δεν είναι διαγωνοποιήσιμος 4 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Αν χ f (t) = (t ) 4 (t 3) 3 και Q f (t) = (t ) (t 3), βρείτε τις πιθανές κανονικές μορφές Jordan της f Αποδ: Αν χ f (t) = (t ) 4 (t 3) 3 και Q f (t) = (t ) (t 3) τότε οι

3 πιθανές κανονικές μορφές Jordan της f είναι: ( ) 1 ( ) 1 (3) (3) (3) ή ( ) 1 () () (3) (3) (3) 5 Βρείτε όλες τις πιθανές κανονικές μορφές Jordan μιας γραμμικής απεικόνισης f : V V με χ f (t) = (t ) 3 (t 5) Αποδ: Επειδή το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι πέμπτου βαθμού, έπεται ότι ο πίνακας της f θα είναι 5 5 Οι πιθανές τιμες του ελάχιστου πολυωνύμου είναι: Q A (t) = (t ) 3 (t 5) ή Q A (t) = (t ) (t 5) ή Q A (t) = (t )(t 5) ή Q A (t) = (t ) 3 (t 5) ή Q A (t) = (t ) (t 5) ή Q A (t) = (t )(t 5) Αν Q A (t) = (t ) 3 (t 5) τότε οι κανονικές μορφές Jordan της f είναι: 1 1 ( ) Αν Q A (t) = (t ) (t 5) τότε οι κανονικές μορφές Jordan της f είναι: ( ) 1 () ( ) Αν Q A (t) = (t )(t 5) τότε οι κανονικές μορφές Jordan της f είναι: () () () ( ) Αν Q A (t) = (t ) 3 (t 5) τότε οι κανονικές μορφές Jordan της f είναι: 1 1 (5) (5) 3

4 Αν Q A (t) = (t ) (t 5) τότε οι κανονικές μορφές Jordan της f είναι: ( ) 1 () (5) (5) Αν Q A (t) = (t )(t 5) τότε οι κανονικές μορφές Jordan της f είναι: () () () (5) (5) 6 Βρείτε όλες τις πιθανές κανονικές μορφές Jordan ενός πίνακα A M 5 (C) του οποίου το ελάχιστο πολυώνυμο είναι Q A (t) = (t ) Επειδή ο πίνακας A είναι 5 5, έπεται ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι χ A (t) = (t ) 5 Άρα οι πιθανές κανονικές μορφές Jordan του A είναι: ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ή () 7 Να βρεθεί η κανονική μορφή Jordan του πίνακα: A = M 5(R) () () () Αποδ: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι χ A (t) = (t 1) 3 (t ) και το ελάχιστο πολυώνυμο του A είναι Q A (t) = (t 1) (t ) Συνεπώς η μορφή Jordan του A είναι: ( ) (1) ( ) 1 8 Θεωρούμε τις γραμμικές απεικονίσεις f : V V και g : V V Εστω λ 1, λ,, λ k οι ιδιοτιμές της f τέτοιες ώστε V = V (λ 1 ) V (λ ) V (λ k ), (όπου V (λ i ), i = 1,, k είναι οι αντίστοιχοι ιδιόχωροι) Αν κάθε ιδιόχωρος V (λ i ), i = 1,, k είναι αναλλοίωτος από τη g, να δειχθεί fg = gf 4

5 (Υποδ Γράψτε ένα τυχαίο διάνυσμα v V στη μορφή v = v 1 + v + + v k με v i V (λ i ) i = 1,,, k και δείξτε ότι g(f(v)) = f(g(v))) Αποδ: Γράφουμε ένα τυχαίο διάνυσμα v V στη μορφή v = v 1 +v + +v k με v i V (λ i ) i = 1,,, k Εχουμε g(f(v)) = g(f(v 1 + v + + v k )) = g(λ 1 v 1 + λ v + + λ k v k ) (Επειδή v i V (λ i )) = λ 1 g(v 1 ) + λ g(v ) + + λ k g(v k ) (Επειδή g γραμμική) (1) Από την άλλη μεριά έχουμε f(g(v)) = f(g(v 1 + v + + v k )) = f(g(v 1 )) + f(g(v )) + + f(g(v k )) (Επειδή f, g γραμμικές) = λ 1 g(v 1 ) + λ g(v ) + + λ k g(v k ) (Επειδή g(v i ) V (λ i ) για κάθε i) () Από (1) και () προκύπτει ότι g(f(v)) = f(g(v)) για κάθε v V άρα gf = fg 9 Δίνεται ο πίνακας: A = M 3 (R) 1 1 Να βρεθεί πίνακας P τέτοιος ώστε ο πίνακας P 1 AP να είναι σε κανονική μορφή Jordan Αποδ: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι χ A (t) = (t 1) 3 και το ελάχιστο πολυώνυμο του A είναι Q A (t) = (t 1) 3 Συνεπώς η μορφή Jordan του A είναι: J = Επομένως υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε P 1 AP = J AP = P J Θέτουμε P = p 11 p 1 p 13 p 1 p p 3 p 31 p 3 p 33 Επομένως θα έχουμε: p 11 p 1 p 13 p 1 p p 3 = p 11 p 1 p 13 p 1 p p p 31 p 3 p 33 p 31 p 3 p

6 απ όπου προκύπτει το σύστημα των εξισώσεων: p 11 + p 1 + p 31 = p 11 p 11 + p 1 p 31 = p 1 p 11 p 1 = p 31 p 1 + p + p 3 = p 11 + p 1 p 1 + p p 3 = p 1 + p p 1 p = p 31 + p 3 p 13 + p 3 + p 33 = p 1 + p 13 p 13 + p 3 p 33 = p + p 3 p 13 p 3 = p 3 + p 33 p 11 + p 1 + p 31 = p 11 + p 31 = p 11 + p 1 + p 31 = p 1 + p + p 3 p 11 = p 1 + p 3 + p 1 = p 1 + p + p 31 + p 3 = p 13 + p 3 + p 33 p 1 = p 13 + p 3 + p = p 13 + p 3 + p 3 + p 33 = p 1 = p 31 = p 11 p 11 R p 1 R p = p 11 p 3 = p 1 p 13 R p 3 = p 11 + p 1 p 33 = p 13 p 11 Λύνοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε (υπάρχουν άπειροι πίνακες P ): P = Δίνεται ο πίνακας: A = M 3 (R) Να βρεθεί πίνακας B, όμοιος του A, που να είναι σε κανονική μορφή Jordan Αποδ: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A είναι χ A (t) = (t + )(t 4) Το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα A είναι Q A (t) = (t + )(t 4) 6

7 Επομένως ο πίνακας B όμοιος του A, που να είναι σε κανονική μορφή Jordan είναι ο: B = Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε f = id V Να δείξετε ότι υπάρχουν W 1, W υπόχωροι του V τέτοιοι ώστε V = W 1 W, f(x) = x, x W 1 και f(y) = y, y W (Υποδ: α) τρόπος: βρείτε τις πιθανές περιπτώσεις του ελάχιστου πολυωνύμου της f και εφαρμόστε την πρωταρχική ανάλυση, β) τρόπος: Θέσετε W 1 = {x V f(x) = x} και W = {x V f(x) = x} και αποδείξτε ότι V = W 1 W γράφοντας ένα τυχαίο διάνυσμα του V στη μορφή x = x f(x) + x+f(x) ) Αποδ: Α τρόπος: Το πολυώνυμο p(t) = t 1 μηδενίζεται από την f Επομένως το ελάχιστο πολυώνυμο της f είναι Q f (t) = t 1 ή Q f (t) = t + 1 ή Q f (t) = t 1 Αν Q f (t) = t 1 τότε f id V =, δηλαδή f(x) = x για κάθε x V Άρα αν θέσουμε W 1 = V και W = {} έχουμε το αποτέλεσμα Ομοια, αν Q f (t) = t + 1 τότε f + id V =, δηλαδή f(x) = x για κάθε x V Άρα αν θέσουμε W 1 = {} και W = V έχουμε το αποτέλεσμα Εάν τώρα Q f (t) = t 1 = (t 1)(t + 1), εφαρμόζουμε την πρωταρχική ανάλυση: N t 1 = {v V (f id V )v = } = {v V f(v) = v}, N t+1 = {v V (f + id V )v = } = {v V f(v) = v} Εχουμε V = N t 1 N t+1 Επομένως αν θέσουμε W 1 = N t 1 και W = N t+1 έχουμε το αποτέλεσμα Β τρόπος: Θέτουμε W 1 = {x V f(x) = x} και W = {x V f(x) = x} Εαν x είναι ένα τυχαίο διάνυσμα του V, τότε το x γράφεται: x = x f(x) + x+f(x) Εχουμε f = id V, συνεπώς f (x) = x για κάθε x V Άρα, f( x f(x) ) = f(x) f (x) = f(x) x = x f(x) Άρα x f(x) W Επίσης, f( x+f(x) ) = f(x)+f (x) = f(x)+x κατά συνέπεια x+f(x) W 1 Άρα δείξαμε ότι V = W 1 + W Αν τώρα x W 1 W, τότε f(x) = x και f(x) = x Συνεπώς x = x, άρα x = Δηλαδή W 1 W = {}, συνεπώς V = W 1 W 7

Σχετικά έγγραφα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη