= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= lim. e 1. e 2. = lim. 2t 3"

Νάρκισσα Καλύβας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ, 6/06/017 Θέμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με f(0, 0) = 0 και f(x, y) = x3 + y 3 x + y αν (x, y) (0, 0). (i) Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (ii) Αν u = (u 1, u ) είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα του επιπέδου, να βρεθεί η παράγωγος της f στο (0, 0) κατά την κατεύθυνση u. (iii) Δείξτε ότι η f δεν είναι διαϕορίσιμη στο (0, 0). ΛΥΣΗ: (i) Για κάθε (x, y) (0, 0) έχουμε f(x, y) = x 3 + y 3 x + y x 3 x + y + y 3 x + y x 3 x + y 3 y Άρα (x,y) (0,0) f(x, y) = 0 = f(0, 0) και άρα η f είναι συνεχής. (ii) Είναι f f(tu) f(0) (0, 0) = u t 0 t αϕού u = u 1 + u = 1 (u μοναδιαίο). (iii) Απο το (ii) για u = e 1 = (1, 0), = t 0 t 3 u 3 1 +t3 u 3 t u 1 +t u t f x (0, 0) = f e 1 (0, 0) = 1, και αντίστοιχα για u = e = (0, 1), f y (0, 0) = f e (0, 0) = 1. Γνωρίζουμε ότι η f είναι διαϕορίσιμη στο (0, 0) αν = u3 1 + u 3 u 1 + u = x + y = u u 3. (1,5 μον) f(x, y) f(0, 0) f x (0, 0)x f y (0, 0)y f(x, y) f(0, 0) x y = = 0, (x,y) (0,0) x + y (x,y) (0,0) x + y ισοδύναμα, x 3 +y 3 x y x +y x y + xy = (x,y) (0,0) x + y (x,y) (0,0) (x + y ) = 0 3/ Αλλά τότε αν x = y = t θα πρέπει που βέβαια δεν ισχύει. t 3 = 0 ή t t 0 t 3 t 0 t = 0,

2 Θέμα. (α) Εστω f : R n R διαϕορίσιμη συνάρτηση. Αν υπάρχει M > 0 με f(x) M, για όλα τα x R n, δείξτε ότι η f είναι M-Lipschitz, δηλαδή για όλα τα a, b R n. f(b) f(a) M b a, (1 μον) (β) Εστω f 1,..., f n : R n R διαϕορίσιμες συναρτήσεις. Αν για κάθε n συνευθειακά ( ) σημεία x 1,..., x n του R n fi, όχι απαραίτητα διαϕορετικά μεταξύ τους, ο πίνακας (x i ) x j είναι αντιστρέψιμος, δείξτε ότι η f = (f 1,..., f n ) : R n R n είναι 1 1. (1,5 μον) ΛΥΣΗ: (α) Αρκεί να δειχθεί ότι f(b) f(a) M b a για a b ( Οταν a = b και τα δύο μέλη μηδενίζονται). Εστω a, b δύο διαϕορετικά σημεία του R n. Απο το Θεώρημα Μέσης Τιμής για συναρτήσεις f : R n R έχουμε ότι υπάρχει x [a, b] με f(b) f(a) = f(x) (b a). Απο την ανισότητα Cauchy Schwarz παίρνουμε και το ζητούμενο έπεται. f(x) (b a) f(x) b a M b a (β) Εστω a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) δύο διαϕορετικά σημεία του R n. Απο το Θεώρημα Μέσης Τιμής για συναρτήσεις f : R n R έχουμε ότι 1 i n υπάρχει x i [a, b] με f i (b) f i (a) = f i (x i ) (b a) = [ f i (x i )... f i (x i )] [b 1 a 1... b n a n ]. x 1 x n ( ) fi Θέτοντας A = (x i ) να είναι ο n n πίνακας με γραμμές τα f i (x i ), 1 i n, x j έχουμε συνεπώς, [f 1 (b) f 1 (a),..., f n (b) f n (a)] = A [b 1 a 1,..., b n a n ] ή ταυτίζοντας τα διανύσματα του R n με πίνακες στήλες, f(b) f(a) = A (b a). Αϕού x i [a, b], για όλα τα 1 i n, έχουμε ότι τα x 1,..., x n ειναι συνευθειακά και άρα απο την υπόθεσή μας ο A είναι αντιστρέψιμος. Συνεπώς που σημαίνει ότι f(a) f(b). A 1 (f(b) f(a) ) = b a 0

3 Θέμα 3. (α) Εστω τ R με τ > 0 και A = {(x, y) R : x > 0, y > 0 και x + y < τ}, το εσωτερικό του τριγώνου του επιπέδου με κορυϕές τα σημεία (0, 0), (τ, 0) και (0, τ). Εστω επίσης η συνάρτηση f : A R με τύπο f(x, y) = xy(τ x y), για κάθε (x, y) A. (i) Δείξτε ότι η f έχει ακριβώς ένα τοπικό ακρότατο που είναι τοπικό μέγιστο στο σημείο (τ/3, τ/3). (1,5 μον) (ii) Δείξτε η f έχει ολικό μέγιστο στο σημείο (τ/3, τ/3). (β) Δείξτε ότι απο όλα τα τρίγωνα με την ίδια περίμετρο το ισόπλευρο είναι εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδό. Δίνεται ότι το εμβαδό ενός τριγώνου με πλευρές α, β, γ δίνεται απο τον τύπο E = τ(τ α)(τ β)(τ γ) όπου τ = α + β + γ η ημιπερίμετρος του τριγώνου. ΛΥΣΗ: (i) Εχουμε f(x, y) = xy(τ x y) = τxy x y xy και άρα f x (x, y) = τy xy y = y(τ x y) και f y (x, y) = τx x xy = x(τ x y). Τα κρίσιμα σημεία της f είναι οι λύσεις του συστήματος f x = f y = 0 που επειδή x, y 0 γράϕεται τ x y = 0 τ x y = 0 Συνεπώς x = y = τ/3. Άρα η f αν έχει τοπικό ακρότατο αυτό θα είναι μοναδικό και θα είναι στο σημείο (τ/3, τ/3). Θα δείξουμε τώρα ότι όντως η f έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο (τ/3, τ/3). Εχουμε f xx (x, y) = y, f yy (x, y) = x, f xy (x, y) = τ x y και άρα f xx (τ/3, τ/3) = τ/3, f yy (τ/3, τ/3) = τ/3 και f xy (τ/3, τ/3) = τ/3. Συνεπώς f xx (τ/3, τ/3) < 0 και (0, 0) = f xx (0, 0)f yy (0, 0) f xy(0, 0) = 4τ /9 τ /9 = τ /3 > 0 και άρα το (τ/3, τ/3) είναι τοπικό μέγιστο. (ii) α τρόπος: Εστω f η επέκταση της f σε όλο το κλειστό τρίγωνο (εσωτερικό και σύνορο μαζί). Επειδή η f είναι συνεχής και ορίζεται σε ένα κλειστό και ϕραγμένο υποσύνολο του R θα λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Επειδή f(x, y) = 0 αν το (x, y) είναι στο σύνορο του τριγώνου και f(x, y) > 0 αν (x, y) είναι στο εσωτερικό του, θα έχουμε ότι η μέγιστη τιμή της f θα λαμβάνεται στο εσωτερικό του τριγώνου, οπότε θα είναι και μέγιστη τιμή της f. Επειδή όμως όπως αποδείξαμε η f έχει μόνο ένα τοπικό μέγιστο στο (τ/3, τ/3) θα πρέπει το (τ/3, τ/3) να είναι και το σημείο όπου η f λαμβάνει μέγιστη τιμή. Ενας πιο γρήγορος τρόπος είναι και ο εξής: β τρόπος: Από την ανισότητα γεωμετρικού και αριθμητικού μέσου παίρνουμε ότι ( ) 3 x + y + (τ x y) ( τ ) 3 f(x, y) = xy(τ x y) = = f(τ/3, τ/3) 3 3 και άρα το σημείο (τ/3, τ/3) είναι ολικό μέγιστο της f.

4 (β) Στον τύπο E = τ(τ α)(τ β)(τ γ) όπου τ = α + β + γ ημιπερίμετρος του τριγώνου, θέτουμε x = τ α και y = τ β. Είναι x + y = τ α β = γ οπότε και τ γ = τ x y. Επίσης έχουμε x = τ α = β+γ α > 0 απο τριγωνική ανισότητα. Ομοίως y = τ β > 0 και τ x y = τ γ > 0 x + y < τ. Συνεπώς (x, y) A και E = τxy(τ x y) = τ f(x, y). Συνεπώς η μεγιστοποίηση του E είναι ισοδύναμη με την μεγιστοποίηση της f. Απο το (α) ερώτημα έχουμε ότι η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο μοναδικό σημείο (τ/3, τ/3). Άρα α = τ x = τ/3, β = τ y = τ/3 και γ = x + y = τ/3, ισοδύναμα το εμβαδό γίνεται μέγιστο όταν και μόνον όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Θέμα 4. Δίνεται η συνάρτηση F : R 3 R με τύπο F (x, y, z) = z 5 + z x y. (i) Δείξτε ότι η F είναι κλάσης C και ότι η εξίσωση F (x, y, z) = 0 ορίζει μια μοναδική συνάρτηση z = : U R (επίσης κλάσης C ) σε μια περιοχή U του σημείου (0, 0) με z(0, 0) = 0. (ii) Υπολογίστε τις πρώτης και δεύτερης τάξης μερικές παραγώγους της z = στο σημείο (0, 0). (1 μον) (iii) Δώστε το πολυώνυμο Taylor της z = δεύτερης τάξης στο (0, 0). (iv) Βρείτε το (x,y) (0,0) x + y. ΛΥΣΗ: (i) Εχουμε F x (x, y, z) = x, F y (x, y, z) = y, F z (x, y, z) = 5z 4 +1 F xx (x, y, z) =, F yy (x, y, z) =, F zz (x, y, z) = 0z 3, F xy = F yx = 0, F yz = F yz = 0 και F zx = F xz = 0. Άρα η F έχει συνεχείς μερικές παραγώγους έως και δεύτερης τάξης, δηλαδή είναι C. Επειδή F z (x, y, z) = 5z για κάθε (x, y, z) R 3 έχουμε (Θεώρημα των Πεπλεγμένων Συναρτήσεων) ότι σε κάθε (x 0, y 0, z 0 ) με F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 υπάρχει κατάλληλη περιοχή του (x 0, y 0, z 0 ) όπου η εξίσωση F (x, y, z) λύνεται ως προς z =. Επειδή F (0, 0, 0) = 0 το ζητούμενο έπεται. F z (x, y, z) = 5z (ii) Είναι z x (x, y) = F x(x, y) F z (x, y) = x 5z 4 (x, y) + 1, z y(x, y) = F y(x, y) F z (x, y) = z xx (x, y) = (5z4 (x, y) + 1) 40xz 3 z x (x, y) (5z 4 (x, y) + 1) z yy (x, y) = (5z4 (x, y) + 1) 40yz 3 z y (x, y) (5z 4 (x, y) + 1) z xy (x, y) = 40xz3 z y (x, y) (5z 4 (x, y) + 1) Άρα z x (0, 0) = z y (0, 0) = 0, z xx (0, 0) = z yy (0, 0) = και z xy (0, 0) = 0. y 5z 4 (x, y) + 1

5 (iii) Οπως γνωρίζουμε το πολυώνυμο Taylor της z = δεύτερης τάξης στο σημείο (0, 0) δίνεται απο τον τύπο T (x, y) = z(0, 0) + z x (0, 0)x + z y (0, 0)y + 1 [ zxx (0, 0)x + z xy (0, 0)xy + z yy (0, 0)y ] και άρα αντικαθιστώντας τις τιμές των μερικών παραγώγων παίρνουμε ότι T (x, y) = x + y. (iv) Απο το Θεώρημα Taylor έχουμε ότι Απο το (iii) έχουμε και συνεπώς T (x, y) = 0 x,y) (0,0) x + y T (x, y) x + y = (x + y ) x + y = x,y) (0,0) x + y = 1. x + y 1

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν