ΠΑΡΑΛΙΓΟ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΕΝΤΑΓΩΝΑ: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΤΕΧΝΗΣ
|
|
- Ζωτικός Πάτροκλος Ιωάννου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΑΡΑΛΙΓΟ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΕΝΤΑΓΩΝΑ: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΤΕΧΝΗΣ Μπάμπης Τουμάσης Νόρμαν 33-35, , Πάτρα Τηλ: Περίληψη Ο Άλμπρεχτ Ντύρερ είναι ίσως ο πιο σπουδαίος καλλιτέχνης που έχει προσφέρει η Γερμανία στη Δυτική κουλτούρα. Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε μια ξεχασμένη εργασία του Ντύρερ, η οποία συνίσταται σε μία προσεγγιστική κατασκευή του κανονικού πενταγώνου με διαβήτη, που θεωρείται α- κόμη η γρηγορότερη γνωστή μέθοδος για πρακτική σχεδίαση. Στη συνέχεια αναφέρουμε κάποιες ιδέες και υποδείξεις για την ενσωμάτωση της παραπάνω κατασκευής στη διδακτική πράξη. Εισαγωγή Τα μαθηματικά και η τέχνη είναι αχώριστα συνδεδεμένα, όχι μόνο με την έννοια ότι η τέχνη δανείζεται συνέχεια στοιχεία από τα μαθηματικά, αλλά και επειδή και τα δύο αντιπροσωπεύουν τη τάξη, την αρμονία και την ομορφιά. τα μαθηματικά στη φύση και η τέχνη ως έκφραση του δημιουργικού ένστικτου του ανθρώπου[1]. Οι εικαστικές τέχνες δεν είναι δυνατόν να νοηθούν ανεξάρτητα από τα μαθηματικά και ιδιαίτερα από τη Γεωμετρία. Γενικά η αρχιτεκτονική σύλληψη, η γλυπτική και η ζωγραφική υλοποιούνται πάντοτε με τη βοήθεια των νόμων του ρυθμού, της αναλογίας, της αρμονίας και της αισθητικής πληρότητας. Τέχνη και Γεωμετρία ιδιαίτερα, αποτελούν ένα αναπόσπαστο σύμπλεγμα. Το γεωμετρικό σχήμα έπαιζε ανέκαθεν πρωταγωνιστικό ρόλο στις εικαστικές τέχνες. Ο καλλιτέχνης, ως συνθέτης και δημιουργός εμψύχωνε τα απλά αδρανή και αμίλητα γεωμετρικά σχήματα και τα έβαζε να μιλήσουν στις συνθέσεις του [2]. Τα στοιχεία που δανείζονται οι τέχνες από τη Γεωμετρία είναι το σημείο η γραμμή, τα σχήματα των επιπέδων και στερεών αντικειμένων και η προοπτική. Τα στοιχεία αυτά συντίθενται κάθε φορά με βασικούς άξονες την οπτική ισορροπία, τη συμμετρία και την αναλογία, προκειμένου να αποδώσουν σε μια σχεδιαστική λύση αρμονία, πληρότητα και κάλος [3 ]. 1
2 Κάθε φορά που εμφανίζονται νέα μαθηματικά αντικείμενα ως αποτέλεσμα της μαθηματικής έρευνας, όπως π.χ. η Διαφορική Γεωμετρία, η Τοπολογία και η μοντέρνα Άλγεβρα κατά τον 19 ο αιώνα ή τα Φράκταλ κατά τον 20 ο αιώνα [4], ένας μεγάλος αριθμός ζωγράφων, γλυπτών ή αρχιτεκτόνων ανακαλύπτουν θέματα μέσα σ αυτόν τον πρόσφατο μαθηματικό χώρο. Η μαθηματική τέχνη συμβάλλει έτσι στην ανανέωση της εικαστικής τέχνης. Και δεν υπάρχει αμφιβολία ότι με το πέρασμα του χρόνου όλο και περισσότεροι καλλιτέχνες θα αντλούν ένα μέρος της έμπνευσης τους από τα μαθηματικά αντικείμενα [5]. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μεγάλου ζωγράφου, ο οποίος ενσωμάτωσε στα έργα του γεωμετρικά στοιχεία, ενώ υπήρξε παράλληλα και σπουδαίος ερασιτέχνης μαθηματικός ήταν ο Άλμπρεχτ Ντύρερ (Albrecht Durer, ). Ο Ντύρερ, που πέρα των άλλων ήταν και μεγάλος διανοητής, θεωρείται ο πατέρας της μοντέρνας Γερμανικής ζωγραφικής και συχνά θεωρείται ως ο ενσαρκωτής της αναγέννησης στη Γερμανία [6]. Καθ όλη τη διάρκεια της ζωής του ασχολήθηκε με όλα εκείνα τα προβλήματα που εμπίπτουν στην περιοχή της γεωμετρικής τέχνης και που αργότερα διαμόρφωσαν αυτό που αποκαλούμε σήμερα αισθητική ή θεωρία του κάλους. Ένα από τα διασημότερα έργα του είναι το χαρακτικό με τίτλο «Μελαγχολία», που το φιλοτέχνησε το Στο έργο αυτό είναι έκδηλα τα μαθηματικά στοιχεία, με το πολύεδρο, τη σφαίρα και το μαγικό τετράγωνο να κατέχουν περίοπτη θέση [7,8] (σχήμα 1). Σχήμα 1 : Μελαγχολία, χαρακτικό του Ντύρερ 2
3 Το 1525 ο Ντύρερ εξέδωσε ένα βιβλίο με τίτλο Οδηγίες για τη μέτρηση με κανόνα και διαβήτη, στο οποίο ασχολούνταν με τη θεωρία της προοπτικής και τις γεωμετρικές κατασκευές. Στο βιβλίο αυτό δίνει έμφαση στην κατασκευή των κανονικών πολυγώνων, ιδιαίτερα δε εκείνων που δεν προκύπτουν άμεσα από το ισόπλευρο τρίγωνο και το τετράγωνο. Ο Ντύρερ ασχολήθηκε ιδιαίτερα με την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου. Ο αριθμός 5 ασκούσε μια μαγεία στους καλλιτέχνες της εποχής εκείνης επειδή ήταν ταυτισμένος με τη μυστική και θεϊκή τελειότητα. Ο α- ριθμός αυτός πολλαπλασιαζόμενος επί τον εαυτό του κάθε φορά επαναλαμβάνεται (5. 5=25, 25. 5=125, =625 ). Στο Μεσαίωνα ο αριθμός 5 α- ναφέρονταν σε όλα τα ζωντανά είδη (πουλιά, ψάρια, φυτά, ζώα και ανθρώπινα όντα) και συμβόλιζε τα πέντε πλάσματα του Θεού. Ένας λόγος παραπάνω ήταν επίσης το ότι o λόγος της διαγωνίου του κανονικού πενταγώνου προς την πλευρά του ισούται με το χρυσό λόγο Φ, οποίος από την αρχαιότητα αντιπροσώπευε την απόλυτη αρμονία. Τόσο ο Ντύρερ όσο και Λεονάρντο ντα Βίντσι, κατανόησαν τη σημασία του κανονικού πενταγώνου και ήθελαν να κατασκευάζουν με απλό και γρήγορο τρόπο ένα τέτοιο θεϊκό πολύγωνο. Ο Ντύρερ επιπλέον ασχολήθηκε και με πλακοστρώσεις κανονικών πενταγώνων και γενικότερα με διακοσμητικά σχήματα που ως βασικό συστατικό στοιχείο είχαν το κανονικό πεντάγωνο (σχήμα 2). Σχήμα 2: Πλακόστρωση Ντύρερ με κανονικά πεντάγωνα 3
4 Στην εργασία αυτή θα ασχοληθούμε ιδιαίτερα με την προσεγγιστική κατασκευή του κανονικού πενταγώνου, που πρότεινε ο Ντύρερ στο προαναφερθέν βιβλίο του και στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε κάποιες ιδέες για την αξιοποίηση της στη διδακτική πράξη. Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού πενταγώνου από τον Ντύρερ. O Ντύρερ γνώριζε την ακριβή κατασκευή του κανονικού πενταγώνου με κανόνα και διαβήτη, όπως δίνεται από τον Ευκλείδη στα «Στοιχεία». Το ενδιαφέρον του για μια γρήγορη και πρακτική κατασκευή του κανονικού πενταγώνου προήλθε από την ανάγκη για την κατασκευή τέτοιων πενταγώνων από τους τεχνίτες των Μεσαιωνικών χρόνων και αργότερα της Αναγέννησης, λόγω της διαδεδομένης χρήσης τους στη διακόσμηση, τόσο των Ισλαμικών όσο και των Γοτθικών έργων τέχνης [9]. Οι κατασκευές αυτές προκειμένου να είναι εύχρηστες, έπρεπε να είναι απλές, γρήγορες και το κυριότερο να γίνονται με ένα συγκεκριμένο άνοιγμα του διαβήτη, γιατί δεν υπήρχε κάποια τεχνική να επανακτούσαν το αρχικό άνοιγμα μόλις αυτό άλλαζε. Τα βήματα της κατασκευής είναι τα παρακάτω [10](σχήμα 3): 1. Ανοίγουμε το διαβήτη, διατηρώντας το άνοιγμά του σταθερό καθ όλη την κατασκευή, και έστω Α, Β τα σημεία που ορίζονται από τα άκρα του. 2. Με ακτίνα ΑΒ κατασκευάζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα Α και Β, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Γ και Δ. 3. Κατασκευάζουμε τον κύκλο κέντρου Δ και ακτίνας ΔΑ, ο οποίος θα διέλθει από το Β και θα τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο Ε και τους κύκλους με κέντρα τα Α και Β στα σημεία Ζ και Η. 4. Φέρουμε τη ΖΕ, η οποία τέμνει τον κύκλο κέντρου Β στο Θ και την ΗΕ, η οποία τέμνει τον κύκλο κέντρου Α στο Ι. 5. Κατασκευάζουμε τους κύκλους με κέντρα τα Θ και Ι και την ίδια αρχική ακτίνα ΑΒ, οι οποίοι τέμνονται στο Κ. Το ζητούμενο κανονικό πεντάγωνο είναι το ΑΒΘΚΙ. 4
5 Κ Ι Γ Θ Ε Α Β Ζ Δ Η Σχήμα 3 : Προσεγγιστική κατασκευή κανονικού πενταγώνου Το πεντάγωνο αυτό δημιουργεί αμέσως την αίσθηση ότι είναι κανονικό. ότι έχει δηλαδή όλες τις πλευρές και τις γωνίες ίσες. Αυτό, βέβαια, είναι αληθές όσο αφορά τις πλευρές του, αφού αυτές είναι ακτίνες κύκλων, οι οποίοι έχουν παραχθεί από διαβήτη με σταθερό άνοιγμα ίσο με ΑΒ. Δεν συμβαίνει όμως το ίδιο και ως προς τι γωνίες του. Ως γνωστόν η κεντρική γωνία ενός κανονικού πενταγώνου είναι 72 ο, ενώ η γωνία των κορυφών του ισούται με 108 ο. Στην πραγματικότητα, όπως θα δούμε παρακάτω, ˆ ΑΒΘ =, δηλαδή, κάτι λίγο περισσότερο από 108 ο, έτσι ώστε κάποια άλλη γωνία της κορυφής θα πρέπει να είναι λίγο μικρότερη από 108 ο. Απόδειξη: Πράγματι, ΒΑΙ ˆ = ΑΒΘ ˆ και κάθε μια από τις γωνίες ΒΘΚ ˆ και ΑΙΚ ˆ είναι ελαφρώς μεγαλύτερες από 107 ο, ενώ η γωνία ΘΚΙ ˆ είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από 109 ο, κάτι που είναι δύσκολο να εντοπιστεί σε ένα σχήμα που γίνεται με το χέρι. 5
6 Παρατηρώντας το σχήμα 3 βλέπουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισόπλευρο και το τετράπλευρο ΑΒΔΖ είναι ρόμβος από κατασκευή, οπότε ΑΖΔ ˆ = 60 0 και ΒΖ =ΑΒ 3 (το διπλάσιο του ύψους ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς ΑΒ). Το τρίγωνο ΕΔΖ είναι ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με 0 EZˆ Δ= 45, οπότε ˆ ΒΖΘ = = 15. Εφαρμόζοντας το νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ΒΖΘ θα έχουμε: ΒΖ ˆ = ΒΘ, δηλαδή ημβθζ ημβζθ ˆ AB 3 ΑΒ = ή ημβθζ ˆ = 3ημ 15 0, οπότε ΒΘΖ ˆ 26, ˆ ημ 0 ημβθζ 15 Στο τρίγωνο ΒΖΘ θα έχουμε ˆ 0 ˆ ˆ ΖΒΘ = 180 ΒΖΘ ΒΘΖ = , , , οπότε ΑΒΘ ˆ = ΖΒΘ ˆ ΖΒΑ ˆ 138, , ή 108 ο Διδακτική αξιοποίηση Αυτό που δίνει ιδιαίτερη αξία στην παραπάνω προσεγγιστική κατασκευή από διδακτική άποψη είναι το γεγονός ότι είναι σχετικά απλή, γρήγορη και δίνει πολύ καλή προσέγγιση, έτσι που με το μάτι δεν διακρίνει κανείς ότι το πεντάγωνο δεν έχει όλες τις γωνίες των κορυφών του ίσες. Το πεντάγωνο, δηλαδή, φαίνεται κανονικό μολονότι στην πραγματικότητα δεν είναι. Γι αυτό ακριβώς μπορεί να αποτελέσει ένα πρώτης τάξεως παράδειγμα προκειμένου να κατανοήσουν οι μαθητές ότι στα μαθηματικά δεν είναι φρόνιμο να βασιζόμαστε μόνο στις αισθήσεις μας προκειμένου να α- ποφανθούμε εάν μια πρόταση είναι αληθής ή όχι αλλά απαιτείται η απόδειξη, η οποία θα επιβεβαιώσει πέρα κάθε αμφισβήτησης την ορθότητα ενός συμπεράσματος. Η προσεγγιστική κατασκευή του Ντύρερ είναι ένα παράδειγμα μέσω του οποίου καταδεικνύεται η αξία, η χρησιμότητα και η ανάγκη της μαθηματικής απόδειξης. Σε ένα πρώτο επίπεδο η προσεγγιστική αυτή κατασκευή μπορεί να προταθεί από το διδάσκοντα ως θέμα δραστηριότητας μετά τη διδασκαλία της Ευκλείδειας κατασκευής του κανονικού πενταγώνου με κανόνα και διαβήτη. Οι μαθητές μπορεί να εργαστούν πρώτα με τα γεωμετρικά τους όργανα και αφού διαπιστώσουν ότι υπάρχει μια μικρή απόκλιση από την ακριβή κατασκευή, να αναζητήσουν μια αυστηρή απόδειξη, η οποία θα βεβαιώνει ότι η κατασκευή δεν οδηγεί πραγματικά σε κανονικό πεντάγωνο. 6
7 Εναλλακτικά, θα μπορούσε ο διδάσκων να κατασκευάσει στο Sketchpad [11] ένα αρχείο με την κατασκευή του Ντύρερ και να το παρουσιάσει στους μαθητές μετά την εργασία με τα γεωμετρικά όργανα. Οι μαθητές έτσι θα είχαν τη δυνατότητα να πειραματιστούν και να διερευνήσουν την ακρίβεια της κατασκευής, αξιοποιώντας τη δυνατότητα του λογισμικού να μετράει γωνίες (σχήμα 4). Σχήμα 4 Με τη βοήθεια του λογισμικού οι μαθητές μπορούν να διαπιστώσουν ότι το μέτρο των γωνιών των κορυφών δεν είναι ακριβώς 108 ο, οπότε δεν πρόκειται για κανονικό πεντάγωνο, αλλά για ένα «παραλίγο» κανονικό πεντάγωνο. Εδώ, βέβαια, είναι δυνατόν να προκληθεί μια ενδιαφέρουσα συζήτηση στην τάξη σχετικά με τα σφάλματα στρογγυλοποίησης του λογισμικού. Ως γνωστόν, το Sketchpad, καθώς επίσης και όλα τα παρεμφερή λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας, στρογγυλοποιεί τα μέτρα των γωνιών στον πλησιέ- 7
8 στερο ακέραιο. Αυτό δημιουργεί κάποιο πρόβλημα, αφού το άθροισμα των γωνιών του πενταγώνου, έτσι όπως το υπολογίζει το λογισμικό, είναι 539 ο και όχι 540 ο. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να ξεπεραστεί εύκολα εάν το λογισμικό ρυθμιστεί έτσι ώστε τα μέτρα των γωνιών να υπολογίζονται με ακρίβεια δύο ή τριών δεκαδικών ψηφίων. Στο σχήμα 5 φαίνονται οι μετρήσεις των γωνιών του πενταγώνου του Ντύρερ από το Sketchpad με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων. Εδώ το άθροισμα των γωνιών βγαίνει 540,01 ο και γίνεται πλέον κατανοητό ότι όσο η ακρίβεια μέτρησης γίνεται μεγαλύτερη (περισσότερα δεκαδικά ψηφία) τόσο το σφάλμα μικραίνει και το άθροισμα των γωνιών προσεγγίζει τις 540 ο. Σχήμα 5 8
9 Στη συνέχεια η παρακίνηση για την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού θα προέκυπτε τώρα, όχι από την ανάγκη επιβεβαίωσης, αφού την εργασία αυτή την έχει αναλάβει το λογισμικό πέραν κάθε αμφιβολίας, αλλά από καθαρή περιέργεια να διερευνήσουμε παραπέρα για πιο λόγο συνέβη αυτό και έτσι να κατανοήσουμε καλύτερα το όλο θέμα [12]. Σε ένα δεύτερο επίπεδο, το παραπάνω θέμα θα μπορούσε να αποτελέσει το αντικείμενο ενός project ή συνθετικής δημιουργικής εργασίας με διαθεματικό περιεχόμενο. Οι μαθητές μπορούν να αξιοποιήσουν και να συνθέσουν γνώσεις από διάφορους θεματικούς άξονες, όπως δείχνει το σχήμα 6. Γεωμετρία Ιστορία των Μαθηματικών Ιστορία της Τέχνης Σχήμα 6 Η εργασία αυτή θα μπορούσε να βασιστεί σε κάποια ερωτήματα όπως τα παρακάτω: Ερωτήματα προς διερεύνηση από τη Γεωμετρία: Τι ονομάζουμε κανονικό πεντάγωνο και ποιες είναι οι ιδιότητές του; Η κατασκευή του Ντύρερ μας δίνει κανονικό πεντάγωνο; Γιατί το πεντάγωνο δεν είναι κανονικό; Πώς μπορεί να αποδειχθεί ότι το πεντάγωνο δεν είναι κανονικό; Ερωτήματα προς διερεύνηση από την ιστορία των Μαθηματικών: Ποια είναι η σχέση μεταξύ Γεωμετρίας και Τέχνης γενικότερα; Ποια είναι ειδικότερα η σχέση μεταξύ Γεωμετρίας και Ζωγραφικής; Ποιοι μεγάλοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν με τις εφαρμογές των μαθηματικών στην τέχνη; Ποιοι μεγάλοι καλλιτέχνες χρησιμοποίησαν μαθηματικούς νόμους και αντικείμενα στην τέχνη τους; 9
10 Ερωτήματα προς διερεύνηση από την ιστορία της Τέχνης: Πώς η ανάγκη για εικαστικές δημιουργίες επηρέασε την εξέλιξη της Γεωμετρίας; Ποιες ήταν οι μαθηματικές τεχνοτροπίες στη ζωγραφική; Ποιοι μεγάλοι ζωγράφοι έδωσαν ώθηση στην εξέλιξη της Γεωμετρίας; Επέκταση Για παραπέρα εξερεύνηση, αναζήτηση και προβληματισμό μπορούν να δοθούν από το διδάσκοντα τα παρακάτω δύο θέματα: α) Να μελετηθεί η προσεγγιστική κατασκευή που πρότεινε ο Λεονάρντο ντα Βίντσι για το κανονικό πεντάγωνο και να γίνουν συγκρίσεις με την κατασκευή του Ντύρερ. Η κατασκευή αυτή βασίζεται στα παρακάτω βήματα (σχήμα 7): 1. Έστω ΑΒ η πλευρά του κανονικού πενταγώνου με ΑΒ = α. 2. Κατασκευάζουμε κύκλους ακτίνας α με κέντρα τα Α και Β, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Γ και Δ πάνω στη μεσοκάθετο του ΑΒ. 3. Διαιρούμε το ΑΒ σε οκτώ ίσα μέρη. 4. Φέρνουμε την ΓΕ // ΑΒ με ΓΕ = α/8. 5. Οι ΒΕ και ΓΜ τέμνονται στο Ο, που είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο ζητούμενο κανονικό πεντάγωνο. 6. Κατασκευάζουμε τέσσερις επιπλέον επίκεντρες γωνίες ίσες με την AOB ˆ και σχηματίζονται οι κορυφές του κανονικού πενταγώνου. Εδώ παρατηρούμε ότι αφού τα τρίγωνα ΜΒΟ και ΓΕΟ είναι όμοια θα ΜΟ ΒΜ 4 ισχύει ότι = = και αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο πλευράς α, το ύψος του ΓΜ =. Επίσης θα έχουμε ότι = ή ΟΓ ΓΕ 1 α 3 ΜΟ 4 2 ΜΟ + ΟΓ 5 ΜΟ α 3 2α 3 = ή ΜΟ = ΜΓ = =. Ισχύει ακόμη ότι ΜΓ
11 ˆ ΜΒ α / εφμοβ = = = = = 0, , οπότε ΜΟ 2α 3/ ΜΟΒ ˆ = 35, , ενώ ως γνωστόν, το μισό της κεντρικής γωνίας του ο κανονικού πενταγώνου είναι 36. Ε Γ Ο A Μ B Δ Σχήμα 7 β) Να μελετηθεί η κατασκευή που πρότεινε ο Ντύρερ για το κανονικό εννεάγωνο. Η κατασκευή αυτή περιέχει τα εξής βήματα (σχήμα 8): 1. Κατασκευάζουμε έναν κύκλο κέντρου Ο και το εγγεγραμμένο σ αυτόν κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. 2. Με κέντρα τα Β και Δ και ακτίνα ΒΟ = ΟΔ κατασκευάζουμε δύο κύκλους που διέρχονται από το Γ. 3. Με κέντρο Ο και ακτίνα το 1/3 της ακτίνας του αρχικού κύκλου, κατασκευάζουμε έναν κύκλο, ο οποίος τέμνει τους κύκλους με κέντρα Β και Δ στα σημεία Η και Θ αντίστοιχα. 11
12 4. Η ΗΘ είναι η πλευρά του ζητούμενου κανονικού εννεαγώνου. Γ Β H Θ Δ Ο A E Z Σχήμα 8 Μεγάλο ενδιαφέρον από διδακτική άποψη θα είχε να διερευνηθεί ο τρόπος που επινοήθηκαν οι παραπάνω προσεγγιστικές κατασκευές των Ντύρερ και Λεονάρντο ντα Βίντσι. Προφανώς αυτές δεν εμφανίστηκαν από το πουθενά ως προϊόν θείας επιφοίτησης, αλλά στηρίχθηκαν σε κάποια ευρετική διαδικασία, η οποία αξιοποιεί τη δύναμη της ανάλυσης που προηγείται μιας γεωμετρικής κατασκευής (π.χ. στο [5], υπάρχουν υποθετικές ανακατασκευές). Ο τρόπος αυτός επινόησης μπορεί να προκαλέσει στην τάξη μια πολύ ενδιαφέρουσα συζήτηση, όχι μόνο για το ζήτημα της απόδειξης, αλλά για το πλήρες σχήμα «ανάλυση-σύνθεση-απόδειξη-διερεύνηση» που συνιστά την πεμπτουσία μιας αυστηρής γεωμετρικής κατασκευής. Αλλά το ζήτημα αυτό είναι δυνατόν να αποτελέσει το θέμα μιας ξεχωριστής εργασίας με πλούσιες διδακτικές προεκτάσεις. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [1] Φίλη, Χ.: Γεωμετρία και τέχνη: Δυο παράλληλες αναζητήσεις, Πρακτικά του 17 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., [2] Pumfrey, E. & Beardon, T.: Art and mathematics-mutual enrichment, Micromath, 18(2), 2000, pp
13 [3] Τουμάσης, Μπ. & Αρβανίτης, Τ.: Μαθηματικά και τέχνη: Διακοσμητικά σχήματα με χρήση γεωμετρικού λογισμικού, Πρακτικά του 17 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., [4] Τουμάσης, Μπ. & Αρβανίτης, Τ.: Αξιοποίηση του Sketchpad για τη δημιουργία και εξερεύνηση του κόσμου των φράκταλ, Πρακτικά του 23 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., [5] Coolidge, J,L.: The mathematics of great amateurs, Oxford University Press, [6] Βικιπαίδεια,: Άλμπρεχτ Ντύρερ, Ντύρερ [7] Federico, P,J.: The Melancholy Octahedron, Mathematics Magazine, 30-36, [8] Rivera,C.: Melancholia, [9] Walton, K, D.: Albrecht Durer s Renaissance connections between Mathematics and Art, Mathematics Teacher, 87(1994), [10] Pedoe, D.: Geometry and the liberal arts, Penguin, London, [11] The Geometer s Sketchpad, Key Curriculum Press, Berkeley, 1995 (Eλληνική έκδοση: Καστανιώτης, Αθήνα, 2000). [12] Τουμάσης, Μπάμπης : Έχει κάποια αξία το μαθηματικό λογισμικό για την κατασκευή μιας απόδειξης;, Πρακτικά του 21 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε., 2004, ABSΤRACT 13
14 Perhaps the most important artist Germany has contributed to Western culture is Albrecht Durer. In the present paper we present a forgotten Durer work which consists of an approximate construction for regular pentagon with a compass which is still the quickest method known for practical drawing. Next we offer some ideas and suggestions in order to incorporate the above construction in the teaching process. 14
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΤΕΧΝΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ Μπάμπης Τουμάσης Νόρμαν 33, 262 23, Πάτρα Τηλ: 2610-455003 toumasis@sch.gr Τάσος Αρβανίτης Παμίσου 26, 26442, Πάτρα Τηλ: 2610 428565 tasosarv@otenet.gr anarvaniti@sch.gr Περίληψη
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα; Πρέπει να σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο που τα μήκη των πλευρών του έχουν άθροισμα
Διαβάστε περισσότεραΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια
Διαβάστε περισσότεραΙδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις /
Ιδιότητες τετραπλεύρων / Σύγκριση τριγώνων / Πυθαγόρειο Θεώρημα Θεμελιώδη θεωρήματα / Προτάσεις / Οι παρακάτω πίνακες καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος της ύλης του αναλυτικού προγράμματος σπουδών της Γεωμετρίας.
Διαβάστε περισσότεραΑνακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691
ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 16691 1.. 2.. 1.,. ( ) ( ) (2 ).. ( ) (5 ),,. ; ; 2.,,. 3.,.,,. (,,,, ). : ), ) ),, ),...1 16692 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ (ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ) 4. 5.. 6. (,, ). 1.,
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΑ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος
Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι
Διαβάστε περισσότερα6 Γεωμετρικές κατασκευές
6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά
Διαβάστε περισσότεραΚανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος
Κανονικά πολύγωνα Τουρναβίτης Στέργιος Κανονικά πολύγωνα στη φύση, τέχνη, ανθρώπινες κατασκευές, Μαθηματικά Κανονικά πολύγωνα στη φύση Η κηρήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής Οι μέλισσες έχουν
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση
Διαβάστε περισσότερα66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA
ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ
1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου
Θέματα Εξετάσεων ΕΠΑ.Λ. Ορισμένα από τα θέματα συντάχθηκαν πριν την αναδιάταξη της διδακτέας ύλης μεταξύ Α και Β Λυκείου Συλλογή-Επιμέλεια: Γ. Κοντογιάννης, Μαθηματικός ΜPhil Α Λυκείου Άλγεβρα Θέματα Εξετάσεων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
Διαβάστε περισσότεραΈρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών
Μέσα χορδών Έρευνα 1: Μέσα παράλληλων χορδών Σχεδιάστε με το Sketchpad το ίχνος των μέσων των χορδών κατά την παράλληλη μεταφορά μιας ευθείας. Για το σκοπό αυτό, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε τα μέσα.
Διαβάστε περισσότεραΟµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου
Διαβάστε περισσότερα«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης
Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος
Διαβάστε περισσότερα(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)
(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ
ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότερα2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΟ χρυσός αριθμός φ. Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών
Ο χρυσός αριθμός φ Η συνάντηση της αισθητικής τελειότητας και των μαθηματικών ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Το πρόβλημα της χρυσής τομής, σε απλή διατύπωση είναι το εξής: Να χωριστεί ένα τμήμα ΑΒ σε μέσο και άκρο λόγο δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΤάξη A Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και
Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότερα1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688
1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΟ Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.
Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια
Διαβάστε περισσότεραΦύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II
1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H
Εισαγωγή 1. Εξωτερικά του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΔΓΘΗ. Να αποδείξετε ότι : α. ZH E, H, Z,. Τα τμήματα ΑΓ και ΗΕ έχουν κοινό μέσο γ. Το κέντρο του παραλληλογράμμου είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότερα: :
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou
Διαβάστε περισσότερα1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;
Διαβάστε περισσότερα2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015
ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Το Θεώρημα του Θαλή και οι Συνέπειές του 198 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α. Αν ΑΔ ΒΓ, ΕΔ ΑΒ τότε το τρίγωνο
Διαβάστε περισσότεραΧαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλες Ευθείες. Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός)
Παράλληλες Ευθείες Αθανασίου Δημήτριος (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 4.1 Εισαγωγή 2 ΟΡΙΣΜΟΣ Δυο ευθείες ε 1 και ε 2 που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της
Διαβάστε περισσότεραΚατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α):
Κατασκευή ρόμβων Ονοματεπώνυμο(α): Πόσους τρόπους μπορείτε να σκεφτείτε για την κατασκευή ενός ρόμβου; Εξετάστε μεθόδους που χρησιμοποιούν το μενού Κατασκευή, το μενού Μετασχηματισμός ή συνδυασμούς αυτών.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν
Διαβάστε περισσότεραΗ προέλευση του Sketchpad 1
Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».
Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός
Διαβάστε περισσότεραΣε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»
ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου
Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία
Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.
1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει
Διαβάστε περισσότεραΓραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x
1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο
Διαβάστε περισσότεραVAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ
VAN HIELE GEOMETRY TEST * (USISKIN) ΟΔΗΓΙΕΣ Μην γυρίσετε την επόμενη σελίδα πριν σας το πουν. Για το test αυτό πρέπει να γνωρίζετε ότι: Δεν επηρεάζει τη βαθμολογία σου στο σχολείο. Χρησιμοποιείται αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότερα24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότερα4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα
4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ λ + λ = + = + = = = λ.
ΚΦΑΛΑΙΟ 11. Παραθέτουμε για εύκολη αναφορά το πινακάκι με την αντιστοιχία χορδών-αποστημάτων-τόξων που χρειάζεται σε όλες σχεδόν τις παρακάτω ασκήσεις Κανονικό εξάγωνο Πλευρά λν Χορδή λ = Απόστημα α =
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότερα5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1 (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Μονάδες 2 (β) Αν ισχύει ότι: και αβγ 0, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Γ= + +.
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙ- ΚΑ B τάξη Γυμνασίου (α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 3 3 0 3 3 1 1 1 8 3 Α= + + : και Β= : 4 +. 4 31 8 4 4 1 3 9 Μονάδες (β) Αν ισχύει ότι: 6( αβ + βγ + γα) = 11αβγ και αβγ 0, να βρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΌμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.
Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43. Ύλη: Όλη η ύλη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 43 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Όλη η ύλη 08-05-16 Θέμα 1 ο : Α. Σε ποιες κατηγορίες ταξινομούνται τα τρίγωνα με βάση τις πλευρές τους και σε ποιες με βάση τις γωνίες τους; (αναλυτικά)
Διαβάστε περισσότερα