GRČKA RELIGIJA I FILOZOFIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "GRČKA RELIGIJA I FILOZOFIJA"

Transcript

1 1 GRČKA RELIGIJA I FILOZOFIJA OLIMPIJSKE IGRE Postoji mnogo legendi o nastanku Olimpijskih igara, u najvećem broju legendi bogovi su ti koji su utemeljili Olimpijske igre. Prema jednoj od tih legendi Zeus je priredio Igre zbog sreće što je pobijedio oca Krona i zavladao Olimpom. Najpoznatija legenda o nastanku Olimpijskih igara kaže da su one nastale kada je Ifit, kralj Elide obrativši se Delfskom proročištvu kako ukloniti kugu i ratove koji uništavaju njegovu zemlju, dobio savjet od svećenice Pitije da osnuje igre koje bogovi toliko vole. Povijesne Olimpijske igre počele su 776. B.C., a od tada Grci broje svoje godine prema Olimpijadama četverogodišnjim razdobljima između dviju Olimpijskih igara. Olimpijske su igre samo jedne od četiriju velikih igara održavanih u staroj Grčkoj, jer još su postojale Istmijske, Nemejske i Pitijske, ali Olimpijske su svojom slavom i veličinom nadmašile ostale. Na početku su se natjecanja održavala samo u brzom trčanju na dužini od jednog stadija (1 stadij oko 192 m), a na kasnijim natjecanjima uvode se nove discipline: Diáulos trčanje na 2 stadija Dólichos trka izdržljivosti na 24 stadija Pentaethlon natjecanje u petoboju (trčanje, bacanje diska i koplja, skok u dalj, hrvanje) Pále hrvanje Pygme šakanje, tj. boks Pankration kombinacija šakanja i hrvanja Natjecanje četveroprega U vrijeme igara trajao je sveti mjesec ili sveti mir, kada se moralo odložiti sve oružje i svi su ratovi morali prestati. Onaj tko mir nije poštivao, morao je platiti veliku kaznu u blagajnu, a od tog su se novca gradili spomenici u Olimpiji. Kada nisu trajale igre, u Olimpiji su živjeli samo svećenici koji su primali putnike koji su dolazili razgledati ljepote Olimpije, a posebno se to odnosi na Zeusov hram u kojem je bio Fidijin kip Zeusa (jedno od sedam čuda starog svijeta), za koji grčka poslovica kaže da umire nesretan tko ga barem jednom u životu nije vidio. Na igrama su mogli sudjelovati svi slobodni i pošteni grčki građani. Robovi su mogli samo gledati igre, a udatim ženama bio je zabranjen pristup Olimpiji u vrijeme igara. Ako bi neka žena to prekršila morala je biti bačena sa brda Tipeja. Slika 1: Zeusov hram u Olimpiji. Remek djelo grčkog kipara Fidije. Vjerojatni razlog ovakve zabrane leži u činjenici da su se svi sportaši natjecali goli. Gužva u Olimpiji počinjala je (slično kao i danas) nekoliko dana prije igara, kada su počeli pristizati ljudi iz svih krajeva Grčke, pa je to bila prilika za sklapanje novih prijateljstava, trgovačkih i poslovnih dogovora, političkih rasprava Mnogi su gledatelji zauzimali puno ranije što bolja mjesta, pa su na jakim vrućinama mnogi i smrtno stradali, a jedan od takvih bio je slavni Tales iz Mileta. Petog, zadnjeg dana igara bilo je proglašenje pobjednika i njihovih rodnih mjesta. Na ovom svijetu nije moglo biti veće časti do pobjede na Olimpijskim igrama, a slavu pobjede dijelila je i domovina pobjednika, pa se nerijetko događalo da je pobjedniku nuđeno

2 2 veliko bogatstvo i počasti da promjeni domovinu. Gradovi su svečano dočekivali svoje pobjednike, dizali bi im spomenike, u kazalištima bi imali počasna mjesta, dobivali su doživotnu plaću, bili su oslobođeni plaćanja poreza Jedan od najslavnijih olimpijskih pobjednika bio je slavni Leonida, koji je osvojio 12 olimpijskih vijenaca. Najveću slavu stekli bi oni koji su u jednom ciklusu pobijedili na sve četiri Olimpijske igre (kao da danas netko u istoj godini osvoji sva četiri Grand Slam turnira u tenisu), oni bi nosili titulu periodonica. Olimpijske igre nisu bile samo sportsko natjecanje, već su tu bila i natjecanja umjetnika, pjevačkih zborova, govornika Postojalo je čak i natjecanje u ljepoti tijela. To tjelesno i duhovno Slika 2: Mironov Discobolos jedinstvo i ravnoteža starim je Grcima bilo jako važno, a oni su to nazivali kalokagatija. Najpoznatiji umjetnički prikaz duha igara je "Diskobol" (bacač diska), kipara Mirona. Rimljani nikako nisu mogli shvatiti Grke i njihovu potrebu za sportom i sportskim duhom, pa je rimski car Teodozije I 393.g. zabranio Olimpijske igre, a 426.g. Teodozije II naredio je uništenje Olimpije. Moderne Olimpijske igre obnovljene su 1896.g. zaslugom Pierrea de Coubertina. DELFIJSKO PROROČIŠTE Proročišta u antičkom svijetu bila su česta, a posebno su brojna bila grčka. Bogu Apolonu bilo je posvećeno nekoliko desetaka proročišta, a najslavnije je bilo ono u Delfima na padinama 2500 m visoke planine Parnas. Delfijskom proročištu obraćali su se za savjet najpoznatije ličnosti antičke Grčke: Heraklo i Edip, Solon, Temistoklo, Aleksandar Veliki, Sokrat, Krez i dr., ali u proročište po savjete dolazili su i obični ljudi sa svojim malim problemima. Prema legendi, osnivač proročišta bio je Apolon, sin Zeusa i titanke Lete. Ljubomorna Hera poslala je golemu zmiju Pitona da progoni Letu, ali se ona uz Zeusovu pomoć uspjela spasiti na otoku Delosu i tamo roditi Apolona. Kada je Apolon odrastao krenuo je protiv Pitona i ubio ga strijelom na padinama Parnasa. Na tom je mjestu Apolon osnovao svoje proročište gdje će kroz usta Pitije izricati volju svog oca Zeusa. Slika 3: Ostatak jednog od hramova u Delfima U Delfima je podignut Apolonov hram, a na njegovom pročelju bilo je napisano sedam slavnih izreka, koje je, prema legendi, sastavilo sedam grčkih mudraca. Najpoznatije su dvije:"gnothi seautón" (Spoznaj samog sebe) i "Meden ágan" (Ničega previše). U samom hramu nalazio se omfalos pupak svijeta, ovalni kamen omotan zmijama. Grcima su Delfi bili centar svijeta, jer je prema legendi Zeus sa dva kraja svijeta pustio dva orla i oni su se susreli u Delfima, a ta je točka označena s omfalosom. Svaki molitelj koji je došao u Delfe morao je uplatiti pristojbu, a bio je običaj Slika 4: Omfalos, prema grčkom vjerovanju središte svijeta nalazi se u Delfima, a ovaj kamen to obilježava.

3 3 donositi sa sobom i zavjetne darove. Ovi su se darovi čuvali u riznicama koju je unutar svetišta imao svaki grčki polis. U Delfima se tako skupilo veliko bogatstvo, što u novčanoj, što u umjetničkoj vrijednosti. Sama proročanstva izricala je Pitija, koja je bila jedna od Sibila, legendarnih proročica. Pitija je sjedila na tronošcu nad provalijom u omamljujućem isparenju, žvakala je lišće lovora (?) i padala u entuzijazam (grč. en u i theos bog) ili zanos i ispuštala nerazumljive glasove, a svećenici koji su bili prisutni zapisali bi njezino tumačenje. Mnoga pitijska proročanstva ostala su zabilježena u povijesti, posebno zbog njihovog dvosmislenog značenja: Ibis redibis numquam in bello peribis značenje je ovisilo o mjestu zareza u rečenici: "Ići ćeš, vratit ćeš se, nećeš poginuti u ratu" ili "Ići ćeš, vratit se nećeš, poginut ćeš u ratu" Ako Krez prijeđe rijeku Halis, uništit će veliku državu Perzija je bila velika država i Krez je vjerujući u pobjedu krenuo u rat i uništio veliku državu, ali svoju, Lidiju koja je također bila velika. Temistoklu, atenskom vojskovođi i državniku proročište je reklo da će ga protiv Perzijanaca spasiti drveni zidovi u čemu je on prepoznao zid lađa, s kojima je stvarno pobijedio perzijsku mornaricu. Car Teodozije je 392.g. naredio zatvaranje hramova, čime završava povijest Delfijskog proročišta. GRČKA RELIGIJA Grčka religija je po mnogočemu specifična, iako su mnoge stvari preuzete iz starih mezopotamskih i bliskoistočnih kultura. Grčki bogovi nisu daleki i nedokučivi kao u mnogim spomenutim religijama, oni se vrlo aktivno upetljavaju u ljudska događanja, tj. priskaču u pomoć onima koji im se sviđaju ili kažnjavaju one koji im nisu simpatični. Slično sumerskim božanstvima i grčki bogovi su antropomorfni, tj. imaju sve ljudske karakteristike, ali su za razliku od ljudi besmrtni, čak se i njihovo legendarno boravište planina Olimp, nalazi na Zemlji. Grci nisu nikada razvili kodeks vjerskih rituala kao što je to bilo u Izraelu ili Egiptu. Bogovi nisu naređivali ljudima da ih poštuju na neki određeni način, kao npr. Jahve u Izraelu, ali Grci su bili svjesni da uvredom bogova mogu izazvati njihovu srdžbu, zato su udovoljavali bogovima jednostavnim molitvama i darovima, a postojalo je samo nekoliko ceremonija s kompleksnim ritualima poštivanja bogova (npr. Eleuzijske misterije). U grčkoj religiji nije postojalo neko posebno utjelovljenje zla ili dobra, ali Grci su poznavali Nemezis utjelovljenje božanske pravde, koja je mogla oštro kažnjavati i bogato nagrađivati ljude, a njenoj pravdi nitko nije mogao uteći. Jedna od značajnih karakteristika grčke religije je nepostojanje svećeničkog staleža, a glavni uzrok toj karakteristici nalazi se u nastanku mnogih nezavisnih polisa, pa prema tome nije bilo jednog moćnog vladara koji bi imao potrebu za snažnim vjersko političkim asistentima. Većina bogova bila je zajednička svim Grcima, ali svaki polis imao je svog zaštitnika kojem se podižu prekrasni hramovi, o čemu opet odlučuju stanovnici polisa, a ne po zahtjevu nekog moćnika ili svećenika. Mnogi polisi imali su istog boga zaštitnika, pa je tako interesantno da su potpuno oprečni polisi, kao što su Atena i Sparta imali istog zaštitnika božicu Atenu. Kozmogonija (Postanak svijeta) i Teog onija (Rođenje bogova) Prema grčkim mitovima o stvaranju, temelj svega bio je Kaos. Iz njega su nastali Gea (zemlja), Tartar (podzemlje) i Eros (ljubav). Gea je sama stvorila i rodila Urana (boga neba), a zajedno su na svijet donijeli 12 Titana. Najmlađi i najvažniji Titan bio je Kron, koji je uz pomoć majke Gee zbacio Urana sa vodeće pozicije (jer je Uran svoju ružnu djecu bacio u utrobu zemlje) odrezavši mu spolovilo.

4 4 Uranov ud pao je u more, a iz krvave morske pjene koja se stvorila oko odbačenog uda nastala je Afrodita božica seksualne privlačnosti i ljepote. Kron je sada postao glavni bog, ali je strahovao da njega ne bi snašla ista sudbina kao njegovog oca, pa je progutao djecu koju je imao sa svojom sestrom i ženom Reom Hestiju, Demetru, Heru, Hada i Posejdona. Najmlađi sin, Zeus izbjegao je toj sudbini, jer je Rea prevarila Krona davši mu kamen umotan u krpe da proguta umjesto Zeusa, a Zeusa je Rea sakrila na Kreti gdje ga je medom i mlijekom othranila koza Amalteja (i danas kada nekome sve sjajno ide kažemo da mu teku med i mlijeko). Zeus i Olimpijski bogovi Kada je odrastao, Zeus je natjerao oca da povrati svu djecu, pa je uz njihovu pomoć i naoružan munjama pobijedio Krona i Titane i preuzeo vrhovnu vlast, a središte glavnih bogova ili 12 olimpijskih bogova postaje planina Olimp u sjevernoj Grčkoj. 1. Zeus vrhovni bog i bog neba 7. Ares bog rata 2. Posejdon bog mora 8. Apolon umjetnosti, proročanstava, svjetla 3. Had bog podzemlja 9. Artemida lova i divljih životinja 4. Hestija božica srca 10. Hermes trgovaca, putnika, lopova 5. Demetra božica poljoprivrede 11. Atena mudrosti, pravednosti 6. Hera zaštitnica braka i rođenja 12. Hefest vatre, božanski kovač Muze Zeus, poznati i nepopravljivi ženskaroš, družio se devet dana i devet noći za redom s Titankom Mnemozinom boginjom pamćenja. Iz te se veze rodilo devet muza boginja umjetnosti, a svaka je bila zaštitnica jedne umjetnosti, a ujedno su bile i glavne zabavljačice bogova i njihovih gostiju na svečanostima na Olimpu. Erata (lirsko pjesništvo) Euterpa (glazba) Kaliopa (epika i govorništvo) Klio (povijest) Melpomena (tragedija) Polihimnija (zborsko pjevanje) Terpsihora (ples) Talia (komedija) Uranija (astronomija) Slikarstvo i kiparstvo nisu imali muze jer su to Grci smatrali vještinom, a ne umjetnošću. Muze su jedine božice kojima se i danas grade hramovi muzeji. Prometej i prsten Prometej je bio jedan od Titana koji je stao na Zeusovu stranu u borbi protiv Krona, ali kada se nakon uspjeha Zeus okrenuo protiv ljudi, Prometej je i njima skočio u pomoć jer je suosjećao sa slabijima. Naučio je ljude upotrebljavati vatru, graditi kuće, liječiti bolesne, čitati, pisati Ljudi su postali razumni i prestali su se bojati bogova, što je razljutilo Zeusa. Zeus je osudio Prometeja na tešku kaznu, morao je visiti prikovan za stijenu na vrhu Kavkaza, a golemi orao mu je kljucao jetru. Prometej je strpljivo podnosio patnje, ali nije želio moliti Zeusa da Slika 5: Rea je prevarila Krona davši mu kamen umotan u pelene Slika 6: Prometej prikovan za kavkaske stijene, dok mu orao kljuca jetru.

5 5 ga oslobodi, iako se Zeus promijenio i postao puno blaži. Zeus je preko glasnika Hermesa obavijestio Prometeja da će ga pustiti ako mu ovaj oda tajno proročanstvo koje je znao o Zeusu. Nakon što je Prometej pušten Zeus je morao ispuniti zakletvu kojom se obvezao da će Prometej zauvijek ostati prikovan za stijenu, zato je Prometej morao nositi prsten s komadićem kavkaske stijene. U počast Prometeju ljudi i danas nose prstenje s kamenjem, doduše dragim kamenjem, ali ipak kamenjem. Pandorina kutija Slika 7: Pandora upravo otvara kutiju, i eto vraga... Zbog Prometejevih djela odlučio je Zeus na ljude poslati zlo. Naredio je Hefestu da načini djevojku kojoj je udahnuo život, a svi su je bogovi bogato obdarili (Pandora = Obdarena), ali su joj osim dobrih osobina i darova uvalili i mnoge grozne stvari. Sa svim tim darovima spakiranim u kutiju, poslana je na zemlju, gdje se udala za Prometejeva brata Epimeteja. Znatiželjna Pandora otvorila je kutiju, iako joj je rečeno da to ne radi, iz koje su izletile sve nevolje, boleštine, muke i raširile se po svijetu. Pandora je brzo zatvorila kutiju, ali bilo je kasno, ali ne i prekasno, jer na dnu kutije ostala je još samo Nada (nada umire posljednja). Tantal Tantalove muke Tantal je bio smrtnik, sin boga Zeusa kojeg je Zeus najviše volio. Zeus ga je s ostalim bogovima posjećivao, čak ga je pozivao na Olimp da sudjeluje na gozbama i sastancima bogova. Tantalu je ta prevelika pažnja udarila u glavu pa se počeo ponašati kao bogovi, ali Zeus mu je mnoge njegove nepodopštine, kao npr. odnošenje nektara i ambrozije (božanska hrana i piće) i dijeljenje svojim prijateljima, opraštao zbog prevelike ljubavi. Ali Tantal je na kraju pretjerao i taknuo u nešto na što su bogovi jako osjetljivi posumnjao je u njihovo sveznanje. Da bi to potvrdio učinio je groznu stvar, ubio je svog sina Pelopa, rasjekao ga na komade i ukusno pripremio za jelo bogovima. Bogovi nisu nasjeli na taj pokušaj prevare, jer su shvatili o čemu se radi, Pelopovo tijelo su opet sastavili i oživjeli, a Zeus je donio presudu Tantalu biti će bačen u podzemni svijet boga Hada gdje će biti mučen najtežim mukama: stajat će u bistroj vodi, ali žeđ neće moći ugasiti, jer će se voda povući svaki put kada se sagne da je popije. Nad glavom će mu visiti najsočnije voće, ali kad god posegne za njim, vjetar će podići grane da ih ne može dosegnuti. Osuđen je i na vječni strah, jer iznad glave obješena mu je golema stijena koja može pasti svaki tren, što će uvećati Tantalove muke. Tantalova muka i danas je simbol najtežih patnji koje mogu snaći čovjeka. Sizif Sizifov posao Sizif je bio kralj Korinta, koji nikako nije želio umrijeti, a Zeus je bio posebno zainteresiran za njegovu smrt. Naime Sizif je vidio Zeusa kako riječnom bogu Asopu otima kćer Eginu (Zeusove suptilne metode zavođenja) i o tome je trubio okolo po cijeloj Grčkoj. Zeus je po njega poslao Tanatosa (bog smrti), ali ga je Sizif prevario i zatvorio ga u bačvu, što je imalo teške posljedice, jer su ljudi prestali umirati i prinositi bogovima žrtve, jer ih se više nisu bojali. Zeus je uspio osloboditi Tanatosa koji je ponovno odveo Sizifa u podzemni svijet. Sizif je uspio prevariti boga Hada i nagovoriti ga da ga pusti van u svijet jer

6 6 on jedini može uvjeriti svoju ženu da prinese žrtvu bogovima u čast njegove smrti. Naravno nije se vratio u podzemni svijet kako je obećao. Kada ga je Tanatos treći put odvukao do boga Hada, ovaj ga je primjereno kaznio: Neprekidno je morao gurati golemi kamen na vrh brijega, ali kamen bi mu se na vrhu uvijek izmaknuo i otkotrljao se u podnožje, a čitav posao Sizif je morao započeti iznova. To je bio težak, besmislen i zaglupljujući posao pa je termin Sizifov posao i do danas ostao izreka za sve takve radnje. Narcis i Echo (Jeka) Narcis je u grčkoj mitologiji bio prekrasan mladić zbog čije su se ljepote mnoge žene u njega zaljubljivale, ali on ih je sve hladno odbijao. Među zaljubljenima je bila i nimfa Echo, koja je od božice Here kažnjena na način da nikada više ne govori, osim ponavljanja riječi koje su joj upućene, pa tako nije mogla objaviti Narcisu svoju ljubav. Jednom je Narcis šetao šumom i odvojio se od prijatelja, pa je počeo vikati: "Ima li koga ovdje?" Echo je radosno odgovorila: "Ovdje, ovdje." Narcis je povikao: "Dođi!" Stigao je odgovor: "Dođi, dođi." Kada ga je Echo ugledala krenula mu je u zagrljaj, ali Narcis je i nju hladno odbio. Bila je toliko ponižena da se povukla u jednu pećinu gdje je dočekala kraj života, a od nje je ostao samo glas koji i danas još odzvanja kroz pećine i gorske klance. Da bi kaznila Narcisa, boginja Nemezis učinila je da se beznadno zaljubi u samog sebe kada Slika 8: Eto vidiš Narcise što te spopade! je vidio svoj odraz na površini jezera. Od zaljubljenosti se nije mogao prestati gledati, pa je na tom mjestu ostao do svoje smrti. Na mjestu njegova tijela izrastao je istoimeni prekrasni cvijet. I danas osobe okrenute samo sebi nazivamo narcisoidnim osobama. GRČKA FILOZOFIJA Za filozofiju se slobodno može reći da je grčki izum, a njeno najjednostavnije objašnjenje bilo bi da se služi razumom i argumentima u pokušaju utvrđivanja razloga zašto su stvari takve kakve jesu. Filozofija započinje onog trenutka kada ljudi više nisu bili zadovoljni natprirodnim i mitološkim objašnjenjima za stvari i događaje koji ih okružuju. Postupno su počeli vjerovati da postoji logično objašnjenje i da čovjek ima kapaciteta za njegovo otkrivanje. Jednom prilikom se Ksenofan, grčki filozof i pjesnik iz VI st.b.c., izrugivao grčkim mitovima, tvrdeći da bogovi sliče ljudima i ponašaju se kao ljudi, samo zato što su ljudi izmislili priče o njima. Da konji imaju bogove i da im mogu raditi kipove, njihovi bogovi bi sigurno izgledali kao konji!! Prvi grčki filozofi živjeli su u Miletu, na zapadnoj obali Male Azije, što nije nimalo čudno jer je Milet bio trgovački centar, pa su njegovi stanovnici bili u direktnom kontaktu s idejama i postignućima Bliskog Istoka. Prvi filozofi ponajviše su se bavili pitanjima nastanka svih stvari koje ih okružuju. Tako je npr. Tales (koji se često spominje kao prvi filozof), smatrao je da je sve poteklo iz vode, drugi filozofi su imali neka druga tumačenja, pa će s vremenom sve voditi prema uvjerenosti u četiri osnovne tvari: zemlja, zrak, vatra, voda, koju je postavio Empedoklo.

7 7 Pitagora je pristupao osnovnim postavkama svijeta oko sebe proučavanjem brojeva, a pod time je prije svega mislio da unutar svih stvari postoji brojčano uravnotežena količina raznih tvari. Savršenim brojem smatrao je broj 10. Pitagora je vjerojatno najpoznatiji po geometrijskom poučku, Pitagorinom teoremu i matematičkom obradom skale muzičkih tonova. Heraklit je odbacio ideju o stalnoj supstanci od koje su sve stvari sačinjene. Tvrdio je da se sve stvari konstantno mijenjaju, te da stanje stvari u univerzumu nije stanje nego proces, tj. da sve teče ili Panta rei (πάντα ῥεῖ). Heraklitova razmišljanja najbolje su sažeta u njegovim riječima: "nitko ne može stati u istu rijeku dva puta". Leukip i Demokrit smatrali su da svijet tvore čvrste, ali nevidljive čestice ili atomi (na grčkom a-toma znači "stvari koje se ne mogu dijeliti"), a njihovim stalnim kretanjem i promjenama nastaju sve stvari. Prema njihovom razmišljanju smrt je samo preraspodjela atoma koji grade naše tijelo i dušu, pa ne treba imati strah pred njom. Ta atomska teorija kasnije je inspirirala Epikura, koji je želio osloboditi ljude straha od smrti. Sofisti Polovinom V st.b.c. naglasak u filozofiji okrenut je prema proučavanju ljudskog ponašanja i moralnih obveza čovjeka prema prirodnom i društvenom okruženju. Prvi Grci koji su se počeli baviti takvom filozofijom bili su sofisti (prema grčkom značenju za instruirati ili učiniti mudrim). Protagora je bio jedan od najranijih sofista, koji nam je ostavio poznatu izjavu: "čovjek je mjerilo svega", pa prema tome ono što je nekom čovjeku dobro drugome može biti loše i obratno. Naučavali su kako svaki čovjek ima svoja mjerila koja moraju biti pravilo njegova djelovanja, pa prema tome treba druge uvjeriti u svoje mišljenje. Sofisti uče svoje učenike najefikasnijoj metodi toga uvjeravanja govorništvu (retorika), a osim toga podučavaju učenike u filozofiji, književnosti, umjetnosti, gramatici, pravu, politici, matematici i astrologiji. Zbog takvih aktivnosti može se sofiste smatrati prvim pedagozima. Vještina govorništva kod sofista imala je mogućnost vrlo praktične primjene, pogotovo u Narodnoj skupštini ili u obrani pred sudom. Mogla se i lako zloupotrijebiti za stjecanje političke moći kroz razne institucije vlasti, jer su spomenutom vještinom govorništva, i slabijim argumentima pobjeđivali u političkim duelima. Zato se riječ sofist i danas koristi u Grčkoj kao termin za zloupotrebu. Sokrat Najveći kritičar sofista bio je Sokrat, jedan od vodećih filozofa antike. Njegova razmišljanja najviše su se doticala moralne odgovornosti pojedinca, pa je prema tome njegovo temeljno pitanje glasilo: "Koji je pravilan i koristan postupak i kako znam da je pravilan i koristan?". Sokrat je bio zabrinut gubitkom etičkih vrijednosti tijekom Peloponeskog rata, pa je on svoju ulogu vidio u uvjeravanju Atenjana da preispitaju svoje živote, te da se okrenu pronalasku moralnih vrijednosti. Sokratova tehnika podučavanja svojih učenika (i ne samo njih) sastojala se od niza vezanih pitanja kojima im ukazuje na mnoge zablude, ispravlja ih i vodi ih prema pravim odgovorima, želeći im ukazati na njihovo neznanje. Osobno je svojom velikom vrlinom smatrao svjesnost svog neznanja ("znam da ništa ne znam") i potrebu za njegovim umanjivanjem. Znanje i istina stječu se kritičkim razmišljanjem i time se postiže aretê, ili kako je Sokrat tvrdio: "Aretê je znanje". Sokratu je suđeno zbog navodnog ateizma i lošeg utjecaja na mlade, pa je osuđen na smrt 399.B.C. Njegova optužnica smatra se jednom od najvećih pravnih pogrešaka u povijesti i najvećom pogreškom atenske demokracije.

8 8 Platon Kako Sokrat ništa od svojih razmišljanja nije zapisivao, za poznavanje njegovog rada ovisni smo o drugima, a jedan od najzaslužnijih je Platon, Sokratov učenik, koji je opet bio učitelj Aristotela. Njih trojica zajedno položila su temelje zapadnjačke filozofske tradicije. Za razliku od Sokrata Platon se nije bavio filozofskim diskusijama u javnosti, nego je u predgrađu Atene osnovao školu koju su pohađali njegovi učenici Akademiju. Ostavio je i gomilu filozofskih spisa koji su najčešće pisani u obliku dijaloga u kojima je Sokrat (ne uvijek) glavni govornik. Platon je vjerovao da moramo ići iznad razuma da bi shvatili pravu realnost. Svi mi vidimo objekte kao prave i realne, ali u stvari to su samo slabe refleksije idealnih modela ili formi. Da bi ilustrirao svoja razmišljanja Platon je upotrijebio poznatu metaforu u svom najpoznatijem djelu "Država". Čovjek sjedi u pećini okrenut prema zidu, a vatra gori iza njegovih leđa. Između njega i vatre prolaze ljudi noseći razne predmete, a čovjek koji sjedi ispred vatre, na zidu vidi samo nejasne sjene pa zbog toga ne može shvatiti realnost iza svojih leđa. Prema tome ono što mi mislimo da vidimo kao pravdu npr. samo je približna slika prave, vječne forme pravde. Samo dugim proučavanjem filozofije možemo shvatiti prave forme koje postoje negdje izvan našeg svijeta. Platon je bio protivnik demokracije, i tvrdio je da mase ne mogu shvatiti idealnu formu i pravu realnost, već da uprava mora biti u rukama državnika koji su filozofski obrazovani, i oni čine prvi stalež u njegovoj idealnoj državi. Drugi stalež čine ratnici, a treći radnici. Platon je sumirao svoju koncepciju dobre vladavine slijedećim riječima: "državna će uprava biti uspješna kada kraljevi postanu filozofi, a filozofi postanu kraljevi" Aristotel Platon je imao gotovo jednako poznatog učenika, Aristotela koji je također utemeljio svoju školu Liceum (Licej), u kojoj je podučavao sva poznata znanja u antici, logiku, metafiziku, astronomiju, biologiju, fiziku, politiku, poeziju.njegovi učenici nazivani su i perpatetici (peripatos šetalište). Iako je bio pod utjecajem Platonovog idealizma, bio je puno prizemniji, a možda se to može zahvaliti njegovom ocu koji je bio liječnik, pa mu je usadio interes i za primijenjene znanosti, a ne samo za filozofiju. Prema Aristotelu svaki objekt, pa i njegov najmanji dio imao je svoje razloge postojanja kao dio prirodnog Velikog plana, ili kako je znao reći "priroda ne radi ništa slučajno" (zašto su leptiri šareni, zašto vuk ima velike očnjake...). Zadatak filozofa je proučavati pojedine pojave i objekte da bi se otkrila njihova svrha, a sam filozof bi preko zaključaka koje je stekao mogao shvatiti taj Veliki plan. Aristotel je u svojim razmišljanjima odredio koncepciju cijelog svemira što će imati jak utjecaj dugo poslije njega, naime on je tvrdio da izvan poznatog svemira postoji "prapokretač" koji daje poticaj za kretanje svim djelićima svemira, a prapokretač je Bog, odnosno božanska misao ili duh. U svojim političkim razmišljanjima, Aristotel je tvrdio da cilj vlasti mora biti dobar život za pojedinca i cijelu zajednicu, a to se podudara s njegovim etičkim razmišljanjima, kojima ističe da je sreća najveće dobro za pojedinca, a da bi se sreća postigla čovjek se mora u svojim željama i djelima držati "zlatne sredine", tj. između ekstremnog zadovoljstva i asketskog odricanja.

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 8: H χρήση της Γενικής στην σύνταξη των προτάσεων 2ο Μέρος

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 8: H χρήση της Γενικής στην σύνταξη των προτάσεων 2ο Μέρος Ενότητα 8: H χρήση της Γενικής στην σύνταξη των προτάσεων 2ο Μέρος Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα