Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Transcript

1 Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου 1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται., η πλευρά ΑΓ ονομάζεται.. κάθετη πλευρά στη γωνία Β και η πλευρά ΑΒ ονομάζεται.. κάθετη πλευρά στη γωνία Β 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕΖ του διπλανού σχήματος, ορθή γωνία είναι η γωνία. και υποτείνουσα είναι η πλευρά. Απέναντι από τη γωνία Ζ βρίσκεται η πλευρά. και προσκείμενη στη γωνία Ζ είναι η (κάθετη) πλευρά.. Απέναντι από τη γωνία Ε βρίσκεται η πλευρά. και προσκείμενη στη γωνία Ε είναι η (κάθετη) πλευρά.. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας 3. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε έναν ανηφορικό δρόμο ΟΖ και μια πινακίδα της τροχαίας, η οποία βρίσκεται στην αρχή της ανηφόρας. Γνωρίζετε τι σημαίνει η πινακίδα;. 4. Όταν ένα αυτοκίνητο ξεκινήσει από το Ο και φτάσει στο σημείο Ζ, τότε λέμε ότι έχει διανύσει οριζόντια απόσταση ΟΓ και ότι έχει ανέβει ύψος ίσο με ΓΖ. Κάτω από το σημείο Ο το μήκος 10 m (μέτρα) που δίνεται δηλώνει την κλίμακα που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή του σχήματος. Κατά συνέπεια κάθε τετραγωνάκι στο σχήμα έχει πλευρά ίση με. μέτρα. 5. Αν το αυτοκίνητο μετακινηθεί από το Ο στο Δ, τότε έχει διανύσει οριζόντια απόσταση OA=... μέτρα και έχει ανέβει κατά =. μέτρα. Τότε ο λόγος είναι ίσος με. ΟΑ 1

2 6. Με βάση τα παραπάνω, να συμπληρωθεί ο επόμενος πίνακας. Στη δεξιά στήλη του πίνακα να μετατραπούν τα κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς. ΟΑ =. μέτρα =. μέτρα = =. ΟΑ ΒΕ ΟΒ =. μέτρα ΒΕ =. μέτρα = =. ΟΒ ΓΖ ΟΓ =. μέτρα ΓΖ =. μέτρα = =. ΟΓ ΒΕ ΓΖ 7. Από τον προηγούμενο πίνακα παρατηρούμε ότι οι λόγοι, και είναι.. με τον ΟΑ ΟΒ ΟΓ αριθμό Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας ΟΖ ο λόγος του ύψους του σημείου προς την οριζόντια αντίστοιχη απόσταση με τι πιστεύετε ότι θα ισούται;. 9. Αν ονομάσουμε ω τη γωνία που σχηματίζει ο ανηφορικός δρόμος ΟΖ με το οριζόντιο επίπεδο ΟΓ, να σχεδιάσετε τη γωνία ω στο σχήμα της προηγούμενης σελίδας. 10. Ο σταθερός αυτός λόγος ονομάζεται εφαπτομένη της γωνίας ω και γράφουμε εφω=0, Να μετατρέψετε το ποσοστό 10% σε δεκαδικό αριθμό: 10 % = =. 100 ΒΕ ΓΖ 12. Τι σχέση έχει ο αριθμός που βρήκατε με τους λόγους, και ; ΟΑ ΟΒ ΟΓ Μήπως τώρα μπορείτε να απαντήσετε τι δηλώνει η πινακίδα που βρίσκεται στην αρχή της ανηφόρας; Ειδικά, όταν αναφερόμαστε σε δρόμο, όπως παραπάνω, η εφαπτομένη της γωνίας ω ονομάζεται κλίση του δρόμου. εφω = κλίση 15. Σε οποιοδήποτε ορθογώνιο τρίγωνο, όπως το παρακάτω ΑΒΓ, με οξεία γωνία εφαπτομένη της γωνίας το λόγο: εφβ = εφω = Όμοια εφγ = απέναντι κάθετη πλευρά =... προσκείμενη κάθετη πλευρ ά Β =ω, ορίζουμε την Παρατήρηση : εφβ εφγ = =..., με Β+Γ=... ( γωνίες...) δηλαδή : οι εφαπτόμενες των γωνιών Β και Γ είναι αριθμοί... 2

3 16. Άσκηση: Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι ΑΓ=3 cm., και ΒΓ=5 cm, άρα ΑΒ =... α) Να βρεθεί η εφαπτομένη της γωνίας Β. εφ Β = = = β) Να βρεθεί η εφαπτομένη της γωνίας Γ. εφ Γ = = = 17. Στο διπλανό σχήμα να σχεδιάσετε μια ανηφόρα που να έχει κλίση 20% καθώς και μια ανηφόρα με κλίση 100%. 18. Ποια γωνία σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο η ανηφόρα που έχει κλίση 100%;.. 1. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση : α. Στο διπλανό σχήμα η εφθ είναι ίση με : ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΥΤΕΝΕΡΓΕΙΑ Α Β. 8 6 Γ. 3 4 β. Στο διπλανό σχήμα είναι : Α. εφθ < εφω Β. εφθ = 2 εφω Γ. εφθ = εφω 2. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά : α. Η γωνία ω ανήκει στα τρίγωνα :., και.. β.... ΓΖ εφω = = = = ΟΒ... γ. εφω =.., =., ΒΕ =.. 3

4 3. Να υπολογίσετε τις εφαπτόμενες των γωνιών ω, φ, x και y του διπλανού σχήματος Λύση: εφ ω =... εφ φ =... εφ x =... εφ y = Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστές και (Λ) αν είναι λανθασμένες ΑΓ α. εφθ = ( ) β. εφω = ( ) ΑΒ ΒΔ γ. εφθ = ΔΓ ( ) δ. ΑΒ εφω = ΒΓ ( ) 5. Να βρεθεί το ύψος του πύργου ΒΓ αν είναι γνωστό ότι : ΑΓ = 24,5 m και ΑΒΓ = 42 ο Λύση: 6. Αν η κλίση του δρόμου ΔΕ είναι 28%, να υπολογίσετε πόσα μέτρα είναι ψηλότερα το σημείο Ε από το σημείο Ζ. Λύση: 4

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ 6. Ένα ελικόπτερο Ε προσπαθεί να διασώσει έναν ναυαγό Ν. Στη θέση που βρίσκεται όπως δείχνει η εικόνα, απέχει από την επιφάνεια της θάλασσας 180 m και βλέπει τον ναυαγό υπό γωνία βάθους 26 ο. Να υπολογιστεί η απόσταση ΝΡ με προσέγγιση μέτρου. 7. Ένας λιμενοφύλακας παρατηρεί έναν κολυμβητή στην θέση Γ να προσπαθεί να φτάσει στην σημαδούρα. Πόσα μέτρα θα κολυμπήσει; 8. Ένας παιδί βλέπει την κορυφή του φανοστάτη ΑΒ υπό γωνία 12, ενώ βλέπει τη βάση του υπό γωνία 42. Αν η απόσταση του ανθρώπου από τον φανοστάτη είναι 2m, να υπολογίσετε το ύψος του φανοστάτη ΑΒ. 9. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσετε το ΓΔ 5

6 10. Στο διπλανό σχήμα, να υπολογίσετε τα x και y Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι: εφβ = και εφγ = Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ 12. Δύο παρατηρητές Β και Γ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο απέχουν δε μεταξύ τους 1000m και μετρούν την ίδια χρονική στιγμή μ ένα γωνιόμετρο τις γωνίες φ και ω με τις οποίες βλέπουν το αεροπλάνο Α, φ= 68 ο και ω= 80 ο. Να βρεθεί το ύψος h που βρίσκεται το αεροπλάνο, αν τα γωνιόμετρα βρίσκονται σε ύψος 1,6m. 6